int_{0}^{1} frac{8 log(1+x)}{1+x^{2}} dx = | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) ધારો કે $I = \int_{0}^{1} \frac{8 \log(1+x)}{1+x^{2}} dx$. $x = 	an 	heta$ આદેશ લેતા,$dx = \sec^{2} 	heta d	heta$ મળે. જ્યારે $x=0, 	heta=0$

Vedclass · Accepted Answer

$\pi \log 2$

Vedclass · Answer

(D) ધારો કે $I = \int_{0}^{1} \frac{8 \log(1+x)}{1+x^{2}} dx$. $x = 	an 	heta$ આદેશ લેતા,$dx = \sec^{2} 	heta d	heta$ મળે. જ્યારે $x=0, 	heta=0$ અને જ્યારે $x=1, 	heta=\frac{\pi}{4}$ થાય. $I = 8 \int_{0}^{\pi/4} \frac{\log(1+	an 	heta)}{1+	an^{2} 	heta} \sec^{2} 	heta d	heta = 8 \int_{0}^{\pi/4} \log(1+	an 	heta) d	heta$ ... $(i)$. ગુણધર્મ $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા: $I = 8 \int_{0}^{\pi/4} \log(1+	an(\frac{\pi}{4}-	heta)) d	heta$. $	an(\frac{\pi}{4}-	heta) = \frac{1-	an 	heta}{1+	an 	heta}$ હોવાથી: $I = 8 \int_{0}^{\pi/4} \log(1 + \frac{1-	an 	heta}{1+	an 	heta}) d	heta = 8 \int_{0}^{\pi/4} \log(\frac{2}{1+	an 	heta}) d	heta$. $I = 8 \int_{0}^{\pi/4} (\log 2 - \log(1+	an 	heta)) d	heta$. $I = 8 \log 2 [	heta]_{0}^{\pi/4} - 8 \int_{0}^{\pi/4} \log(1+	an 	heta) d	heta$. $I = 8 \log 2 (\frac{\pi}{4}) - I$. $2I = 2\pi \log 2 \Rightarrow I = \pi \log 2$.

List-$I$	List-$II$
$I. \int_{-1}^1 x\|x\| dx$	$(a) \frac{\pi}{2}$
$II. \int_0^{\pi/2} \left(1 + \log \left(\frac{4+3\sin x}{4+3\cos x}\right)\right) dx$	$(b) \int_0^a 2f(x) dx$
$III. \int_0^a f(x) dx$	$(c) \int_0^a [f(x) + f(-x)] dx$
$IV. \int_{-a}^a f(x) dx$	$(d) 0$
	$(e) \int_0^a f(a-x) dx$

$\int_{0}^{1} \frac{8 \log(1+x)}{1+x^{2}} dx = $

Similar Questions

$\int_0^{\pi / 2} \log |\tan x+\cot x| \, dx=$

$\int_{0}^{1} x(1 - x)^{5} dx = . . . . . .$

જો $f(x) = \frac{e^x}{1 + e^x}$,$I_1 = \int_{f(-a)}^{f(a)} x g\{x(1 - x)\} dx$,અને $I_2 = \int_{f(-a)}^{f(a)} g\{x(1 - x)\} dx$ હોય,તો $\frac{I_2}{I_1}$ ની કિંમત શોધો.

$x \in \mathbb{R}$ માટે,ધારો કે $f(x) = |\sin x|$ અને $g(x) = \int_0^x f(t) \, dt$. ધારો કે $p(x) = g(x) - \frac{2}{\pi} x$. તો:

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module