दो कलश (urns) हैं। कलश $A$ में $3$ अलग-अलग लाल गेंदें हैं और कलश $B$ में $9$ अलग-अलग नीली गेंदें हैं। प्रत्येक कलश से यादृच्छिक रूप से दो गेंदें निकाली जाती हैं और फिर दूसरे में स्थानांतरित कर दी जाती हैं। इसे कितने तरीकों से किया जा सकता है?

गणित की परीक्षा में,समान अंकों के $20$ प्रश्न हैं। प्रश्न पत्र को तीन खंडों में विभाजित किया गया है: $A, B$ और $C$। एक छात्र को कुल $15$ प्रश्नों का प्रयास करना आवश्यक है,जिसमें प्रत्येक खंड से कम से कम $4$ प्रश्न लेने हैं। यदि खंड $A$ में $8$ प्रश्न,खंड $B$ में $6$ प्रश्न और खंड $C$ में $6$ प्रश्न हैं,तो एक छात्र द्वारा $15$ प्रश्नों का चयन करने के कुल तरीकों की संख्या क्या है?

एक टूरिंग क्रिकेट टीम में कुल $16$ खिलाड़ी हैं,जिनमें $5$ गेंदबाज और $2$ विकेट-कीपर शामिल हैं। इनमें से $11$ खिलाड़ियों की कितनी टीमें इस प्रकार चुनी जा सकती हैं कि उनमें $3$ गेंदबाज और $1$ विकेट-कीपर शामिल हों?

$17$ खिलाड़ियों में से $11$ खिलाड़ियों की एक क्रिकेट टीम कितने तरीकों से चुनी जा सकती है,जिसमें केवल $5$ खिलाड़ी गेंदबाजी कर सकते हैं,यदि $11$ खिलाड़ियों की प्रत्येक टीम में ठीक $4$ गेंदबाज शामिल होने चाहिए?

वह सबसे बड़ा धनात्मक पूर्णांक जो सभी धनात्मक पूर्णांकों $n$ के लिए $(n+16)(n+17)(n+18)(n+19)$ को विभाजित करता है,है

$n$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए ${ }^{(n-1)} C_2 + { }^{(n-1)} C_3 > { }^n C_2$ है।