AIEEE 2004 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) સૂર્ય દ્વારા ઉત્સર્જિત કુલ પાવર (એકમ સમય દીઠ વિકિરણ ઉર્જા) સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $P = \sigma A T^4 = \sigma (4 \pi R^2) T^4$.
પૃથ્વી અને સૂર્ય વચ્ચેનું અંતર અચળ રહેતું હોવાથી,પૃથ્વી પર મળતી વિકિરણ ઉર્જા એ સૂર્ય દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવરના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $Q \propto R^2 T^4$.
ધારો કે પ્રારંભિક ઉર્જા $Q_1 = k R^2 T^4$ છે.
ફેરફારો પછી,નવી ત્રિજ્યા $R' = 2R$ અને નવું તાપમાન $T' = 2T$ છે.
નવી વિકિરણ ઉર્જા $Q_2 = k (R')^2 (T')^4$ થશે.
નવી કિંમતો મૂકતા: $Q_2 = k (2R)^2 (2T)^4 = k (4R^2) (16T^4) = 64 (k R^2 T^4)$.
તેથી,ગુણોત્તર $Q_2 / Q_1 = 64$ થશે.

(B) યંગના ડબલ-સ્લિટ પ્રયોગમાં વ્યતિકરણ મહત્તમ માટેની શરત $\Delta x = d \sin \theta = n \lambda$ છે,જ્યાં $n$ એ પૂર્ણાંક છે.
આપેલ છે કે સ્લિટનું અંતર $d = 2 \lambda$,તેથી સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$2 \lambda \sin \theta = n \lambda$
$2 \sin \theta = n$
$\sin \theta = \frac{n}{2}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin \theta$ ની મહત્તમ કિંમત $1$ છે,તેથી $-1 \le \frac{n}{2} \le 1$,જેનો અર્થ છે કે $-2 \le n \le 2$.
$n$ માટે શક્ય પૂર્ણાંક કિંમતો $-2, -1, 0, 1, 2$ છે.
આ કિંમતો ગણતા,આપણને કુલ $5$ વ્યતિકરણ મહત્તમ મળે છે.

(A) પ્રમાણિત કોષ પોટેન્શિયલ $(E_{cell}^{0})$ અને સંતુલન અચળાંક $(K)$ વચ્ચેનો સંબંધ $25 \ ^oC$ $(298 \ K)$ તાપમાને નર્ન્સ્ટ સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$E_{cell}^{0} = \frac{0.0591}{n} \log K$
આપેલ છે:
$E_{cell}^{0} = 0.591 \ V$
$n = 1$ (એક ઇલેક્ટ્રોનનો ફેરફાર)
કિંમતો મૂકતા:
$0.591 = \frac{0.0591}{1} \log K$
$\log K = \frac{0.591}{0.0591} = 10$
$K = 10^{10}$

(A) $4f$ ઓર્બિટલ માટે,મુખ્ય ક્વોન્ટમ નંબર $n = 4$ છે.
$f$ સબશેલ માટે,એઝિમુથલ ક્વોન્ટમ નંબર $l = 3$ છે.
ચુંબકીય ક્વોન્ટમ નંબર $m$ ની કિંમત $-l$ થી $+l$ સુધીની હોય છે,એટલે કે $-3, -2, -1, 0, +1, +2, +3$.
સ્પિન ક્વોન્ટમ નંબર $s$ ની કિંમત $+\frac{1}{2}$ અથવા $-\frac{1}{2}$ હોઈ શકે છે.
વિકલ્પો તપાસતા:
વિકલ્પ $A$: $n = 4, l = 3, m = +1, s = +\frac{1}{2}$ માન્ય છે કારણ કે $m = +1$ એ $[-3, +3]$ ની રેન્જમાં આવે છે.

(B) એલ્યુમિનિયમ ક્લોરાઈડ $(Al_2Cl_6)$ એ સહસંયોજક સંયોજન છે જે લુઈસ એસિડ તરીકે વર્તે છે.
જ્યારે તે પાણીમાં ઓગળે છે,ત્યારે તે અષ્ટફલકીય હેક્ઝાએક્વાએલ્યુમિનિયમ$(III)$ આયન બનાવવા માટે જલીયકરણ પામે છે.
પ્રક્રિયા આ મુજબ છે:
$Al_2Cl_6 + 12H_2O \rightarrow 2[Al(H_2O)_6]^{3+} + 6Cl^-$.
આમ,જલીય દ્રાવણમાં હાજર સ્પીસીઝ $[Al(H_2O)_6]^{3+}$ અને $Cl^-$ આયનો છે.

(B) $AlCl_3$ સ્વભાવે સહસંયોજક છે,પરંતુ જ્યારે તેને પાણીમાં ઓગાળવામાં આવે છે,ત્યારે $Al^{3+}$ આયનની ઉચ્ચ જલીયકરણ ઉર્જાને કારણે તે આયનીય સંકીર્ણ બનાવે છે.
પ્રક્રિયા નીચે મુજબ છે:
$AlCl_3 + 6H_2O \rightarrow [Al(H_2O)_6]^{3+} + 3Cl^{-}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) મધ્યક $\bar{x}$ આ મુજબ ગણવામાં આવે છે: $\bar{x} = \frac{n(a) + n(-a)}{2n} = \frac{0}{2n} = 0$.
વિચરણ $\sigma^2$ નું સૂત્ર $\sigma^2 = \frac{1}{N} \sum x_i^2 - \bar{x}^2$ છે.
અહીં,$N = 2n$,$\sum x_i^2 = n(a^2) + n(-a)^2 = 2na^2$,અને $\bar{x} = 0$.
તેથી,$\sigma^2 = \frac{2na^2}{2n} - 0^2 = a^2$.
આપેલ છે કે પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = 2$,તેથી $\sigma^2 = 4$.
આમ,$a^2 = 4$,જેનો અર્થ છે કે $|a| = 2$.

(B) આંતરિક ઉર્જા એ અવસ્થા વિધેય છે જે માત્ર સિસ્ટમની અવસ્થા પર આધાર રાખે છે,તે કેવી રીતે પ્રાપ્ત થઈ તેના પર નહીં. તેવી જ રીતે,એન્ટ્રોપી પણ એક અવસ્થા વિધેય છે.
સમતાપી (isothermal) પ્રક્રિયામાં,આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા અચળ રહે છે,તેથી $\Delta U = 0$ થાય છે.
ઉલટાવી શકાય તેવી એડિયાબેટિક પ્રક્રિયા માટે,એન્ટ્રોપીમાં ફેરફાર $\Delta S$ શૂન્ય હોય છે.
એડિયાબેટિક પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્ય $W = -\Delta U$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે સામાન્ય રીતે શૂન્ય હોતું નથી.
તેથી,આંતરિક ઉર્જા અને એન્ટ્રોપી એ અવસ્થા વિધેયો છે તે વિધાન જ સાચું છે.

(D) આપેલ છે: ગોળીનું દળ $m = 40\, g = 0.04\, kg$,વેગ $v = 1200\, m/s$,અને મહત્તમ બળ $F = 144\, N$.
ધારો કે પ્રતિ સેકન્ડ છોડવામાં આવતી ગોળીઓની સંખ્યા $n$ છે.
વ્યક્તિ દ્વારા લગાડવામાં આવતું બળ એ ગોળીઓના વેગમાનમાં થતા ફેરફારના દરને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
બળ $F = n \times (m \times v)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $144 = n \times (0.04\, kg \times 1200\, m/s)$.
$144 = n \times 48$.
$n = \frac{144}{48} = 3$.
તેથી,તે વ્યક્તિ પ્રતિ સેકન્ડ વધુમાં વધુ $3$ ગોળીઓ છોડી શકે છે.

(A) ઢળતા સમતલ પર સ્થિર રહેલા બ્લોક માટે,સમતલની નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળનું ઘટક એ સમતલની ઉપરની તરફ લાગતા સ્થિત ઘર્ષણ બળ દ્વારા સંતુલિત થાય છે.
$f_s = mg \sin \theta$
આપેલ છે:
$f_s = 10 \, N$
$\theta = 30^{\circ}$
$g = 10 \, m/s^2$
કિંમતો મૂકતા:
$10 = m \times 10 \times \sin 30^{\circ}$
$10 = m \times 10 \times 0.5$
$10 = 5m$
$m = \frac{10}{5} = 2 \, kg$
આમ,બ્લોકનું દળ $2 \, kg$ છે.

(C) આપેલ છે: $\cos \alpha + \cos \beta = -\frac{27}{65}$ અને $\sin \alpha + \sin \beta = -\frac{21}{65}$.
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} = -\frac{27}{65}$ $(1)$
$2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} = -\frac{21}{65}$ $(2)$
$(1)$ અને $(2)$ નો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$4 \cos^2 \frac{\alpha - \beta}{2} (\cos^2 \frac{\alpha + \beta}{2} + \sin^2 \frac{\alpha + \beta}{2}) = (-\frac{27}{65})^2 + (-\frac{21}{65})^2$
$4 \cos^2 \frac{\alpha - \beta}{2} = \frac{729 + 441}{4225} = \frac{1170}{4225} = \frac{18}{65}$
$\cos^2 \frac{\alpha - \beta}{2} = \frac{18}{4 \times 65} = \frac{9}{130}$
કારણ કે $\pi < \alpha - \beta < 3\pi$,તેથી $\frac{\pi}{2} < \frac{\alpha - \beta}{2} < \frac{3\pi}{2}$.
આ અંતરાલમાં,$\cos \frac{\alpha - \beta}{2}$ બીજા અને ત્રીજા ચરણમાં ઋણ હોય છે.
તેથી,$\cos \frac{\alpha - \beta}{2} = -\sqrt{\frac{9}{130}} = -\frac{3}{\sqrt{130}}$.

(B) તંત્ર સંતુલનમાં રહે તે માટે,દરેક વિદ્યુતભાર પર લાગતું કુલ બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ. ધારો કે ચોરસની બાજુ $a$ છે. કેન્દ્રથી દરેક ખૂણાનું અંતર $r = \frac{a}{\sqrt{2}}$ છે.
એક ખૂણા પર રહેલા $-Q$ વિદ્યુતભાર પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. અન્ય ત્રણ $-Q$ વિદ્યુતભારો દ્વારા લાગતું બળ.
$2$. કેન્દ્રમાં રહેલા $q$ વિદ્યુતભાર દ્વારા લાગતું બળ.
પાસેના બે ખૂણાઓ દ્વારા લાગતું પરિણામી બળ $F_{adj} = \sqrt{(\frac{kQ^2}{a^2})^2 + (\frac{kQ^2}{a^2})^2} = \frac{\sqrt{2}kQ^2}{a^2}$ છે.
વિકર્ણની સામેના ખૂણા દ્વારા લાગતું બળ $F_{diag} = \frac{kQ^2}{(a\sqrt{2})^2} = \frac{kQ^2}{2a^2}$ છે.
ત્રણ ખૂણાઓ દ્વારા લાગતું કુલ બળ $F_{corners} = \frac{kQ^2}{a^2}(\sqrt{2} + \frac{1}{2})$ છે.
સંતુલન માટે,આ બળ કેન્દ્રના વિદ્યુતભાર $q$ દ્વારા લાગતા બળ $F_{centre} = \frac{kQq}{(a/\sqrt{2})^2} = \frac{2kQq}{a^2}$ દ્વારા સંતુલિત થવું જોઈએ.
બળોના મૂલ્યોને સરખાવતા: $\frac{kQ^2}{a^2}(\sqrt{2} + \frac{1}{2}) = \frac{2kQq}{a^2}$.
$q$ માટે ઉકેલતા: $q = \frac{Q}{2}(\sqrt{2} + \frac{1}{2}) = \frac{Q}{4}(2\sqrt{2} + 1)$.
ખૂણા પરના વિદ્યુતભારો ઋણ હોવાથી,આકર્ષી બળ પૂરું પાડવા માટે કેન્દ્રનો વિદ્યુતભાર $q$ ધન હોવો જોઈએ.

(B) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $T \propto \frac{1}{\sqrt{K}}$ અથવા $T^2 \propto \frac{1}{K}$.
જ્યારે $K_1$ અને $K_2$ સ્પ્રિંગ અચળાંક ધરાવતી બે સ્પ્રિંગને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે,ત્યારે સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક $K_s$ માટેનું સૂત્ર $\frac{1}{K_s} = \frac{1}{K_1} + \frac{1}{K_2}$ છે.
$T^2 = \frac{4\pi^2 m}{K}$ હોવાથી,$\frac{1}{K} = \frac{T^2}{4\pi^2 m}$ થાય.
આ કિંમતને શ્રેણી જોડાણના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{T^2}{4\pi^2 m} = \frac{t_1^2}{4\pi^2 m} + \frac{t_2^2}{4\pi^2 m}$.
બંને બાજુ $4\pi^2 m$ વડે ગુણતા,આપણને $T^2 = t_1^2 + t_2^2$ મળે છે.

(C) કાર્ય વિધેય $\phi_{0}$ એ થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ $\lambda_{max}$ સાથે નીચે મુજબ સંબંધિત છે: $\phi_{0} = \frac{hc}{\lambda_{max}}$.
અહીં $\phi_{0} = 4.0 \, eV$ આપેલ છે અને $hc \approx 1240 \, eV \cdot nm$ લેતા,આપણે $\lambda_{max}$ માટે સૂત્રને આ રીતે લખી શકીએ:
$\lambda_{max} = \frac{hc}{\phi_{0}} = \frac{1240 \, eV \cdot nm}{4.0 \, eV} = 310 \, nm$.
તેથી,ફોટોઈલેક્ટ્રોન ઉત્સર્જન કરી શકે તેવી પ્રકાશની સૌથી લાંબી તરંગલંબાઈ $310 \, nm$ છે.

(A) ધારો કે બ્લોકનું દળ $m$ છે.
બ્લોક ઢળતા સમતલ પર સ્થિર છે.
ઢળતા સમતલની નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો ઘટક $mg \sin 30^{\circ}$ છે.
બ્લોક સંતુલનમાં હોવાથી,સ્થિત ઘર્ષણ બળ $F$ આ ઘટકને સંતુલિત કરશે:
$F = mg \sin 30^{\circ}$
આપેલ છે કે $F = 10 \, N$,$g = 10 \, m/s^2$,અને $\sin 30^{\circ} = 0.5$:
$10 = m \times 10 \times 0.5$
$10 = 5m$
$m = \frac{10}{5} = 2 \, kg$.
નોંધ: આપણે તપાસવું જોઈએ કે શું આ સ્થિતિ શક્ય છે. મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ $f_{max} = \mu_s N = \mu_s mg \cos 30^{\circ} = 0.8 \times 2 \times 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 13.86 \, N$ છે. કારણ કે $F = 10 \, N < 13.86 \, N$,તેથી બ્લોક સ્થિર રહેશે.

(A) ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F \propto \frac{1}{R^n} = R^{-n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વર્તુળાકાર કક્ષામાં ફરતા ગ્રહ માટે,કેન્દ્રગામી બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે:
$M R \omega^2 = F \propto R^{-n}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega = \frac{2\pi}{T}$,તેથી $\omega^2 \propto \frac{1}{T^2}$.
આ કિંમતને બળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$R \cdot \frac{1}{T^2} \propto R^{-n}$.
$\frac{1}{T^2} \propto R^{-n-1} = R^{-(n+1)}$.
$T^2 \propto R^{n+1}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$T \propto R^{\frac{n+1}{2}}$.

(A) પ્રતિપ્રવેગ $a$ એ સ્થાનાંતર $x$ ના સમપ્રમાણમાં છે,તેથી $a = -kx$,જ્યાં $k$ એ ધન અચળાંક છે.
ન્યુટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,બળ $F = ma = -mkx$ થાય.
આ બળ દ્વારા $x$ સ્થાનાંતર માટે થયેલું કાર્ય $W = \int_{0}^{x} F \cdot dx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$W = \int_{0}^{x} (-mkx) \cdot dx = -mk \int_{0}^{x} x \cdot dx = -mk \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{x} = -\frac{1}{2} mkx^2$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,થયેલું કાર્ય એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે,$W = \Delta KE = KE_f - KE_i$.
અહીં બળ પ્રતિપ્રવેગ હોવાથી,ગતિઊર્જામાં ઘટાડો થાય છે,તેથી ગતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો $|W| = \frac{1}{2} mkx^2$ છે.
તેથી,ગતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો $x^2$ ના સમપ્રમાણમાં છે.

(D) બ્રુસ્ટરના નિયમ મુજબ,જ્યારે પ્રકાશ એક ચોક્કસ ખૂણે આપાત થાય છે જેને ધ્રુવીભવન કોણ $(i_p)$ કહેવામાં આવે છે,ત્યારે પરાવર્તિત પ્રકાશ સંપૂર્ણપણે સમતલ ધ્રુવીભૂત થાય છે.
આ સંબંધ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\tan i_p = n$,જ્યાં $n$ એ માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે.
તેથી,આપાતકોણ $i_p$ નીચે મુજબ મળે છે: $i_p = \tan^{-1}(n)$.

(D) તાંબુ એ ધાતુ છે અને જર્મેનિયમ એ અર્ધવાહક પદાર્થ છે.
ધાતુઓ માટે,તાપમાન ઘટતા અવરોધ ઘટે છે.
અર્ધવાહકો માટે,તાપમાન ઘટતા અવરોધ વધે છે કારણ કે તેમાં વિદ્યુતભાર વાહકોની સંખ્યા ઘટે છે.
જ્યારે બંનેને ઓરડાના તાપમાનથી $80\,K$ સુધી ઠંડા કરવામાં આવે છે,ત્યારે તાંબાનો અવરોધ ઘટે છે અને જર્મેનિયમનો અવરોધ વધે છે.
તેથી,સાચું વિધાન એ છે કે તાંબાનો અવરોધ ઘટે છે જ્યારે જર્મેનિયમનો અવરોધ વધે છે.

(A) વાયુઓના મિશ્રણ માટે,સમોષ્મી ઘાતાંક $\gamma_{\text{mix}}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{n_1 + n_2}{\gamma_{\text{mix}} - 1} = \frac{n_1}{\gamma_1 - 1} + \frac{n_2}{\gamma_2 - 1}$.
આપેલ છે: $n_1 = 1$ મોલ,$\gamma_1 = 5/3$ (એકપરમાણ્વીય); $n_2 = 1$ મોલ,$\gamma_2 = 7/5$ (દ્વિપરમાણ્વીય).
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1 + 1}{\gamma_{\text{mix}} - 1} = \frac{1}{5/3 - 1} + \frac{1}{7/5 - 1}$
$\frac{2}{\gamma_{\text{mix}} - 1} = \frac{1}{2/3} + \frac{1}{2/5} = \frac{3}{2} + \frac{5}{2} = \frac{8}{2} = 4$.
$\frac{2}{\gamma_{\text{mix}} - 1} = 4 \implies \gamma_{\text{mix}} - 1 = 2/4 = 1/2$.
$\gamma_{\text{mix}} = 1 + 0.5 = 1.5 = 3/2$.

(B) એમ્પિયરના સર્કિટલ નિયમ મુજબ,કોઈપણ બંધ માર્ગ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ નું રેખીય સંકલન તે માર્ગ દ્વારા ઘેરાયેલા કુલ વિદ્યુતપ્રવાહ $I_{en}$ ના $\mu_0$ ગણું હોય છે: $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{en}$.
અનંત લંબાઈ ધરાવતી પાતળી દીવાલવાળી નળીની અંદરના કોઈપણ બિંદુ માટે,આપણે નળીની અક્ષ પર કેન્દ્રિત $r$ ત્રિજ્યાનો એક વર્તુળાકાર એમ્પેરિયન લૂપ વિચારી શકીએ છીએ.
જેহেতু વિદ્યુતપ્રવાહ $i$ ફક્ત નળીની દીવાલોમાંથી વહે છે,તેથી નળીની અંદરના કોઈપણ લૂપ દ્વારા ઘેરાયેલો વિદ્યુતપ્રવાહ $I_{en} = 0$ થાય છે.
તેથી,$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0(0) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે નળીની અંદરના કોઈપણ બિંદુએ ચુંબકીય પ્રેરણ $B$ શૂન્ય છે.

(D) તાંબુ એ ધાતુ છે અને જર્મેનિયમ એ અર્ધવાહક પદાર્થ છે.
ધાતુઓ માટે,જેમ તાપમાન ઘટે છે તેમ અવરોધ ઘટે છે.
અર્ધવાહકો માટે,જેમ તાપમાન ઘટે છે તેમ અવરોધ વધે છે કારણ કે નીચા તાપમાને વિદ્યુતભાર વાહકોની (ઇલેક્ટ્રોન અને હોલ્સ) સંખ્યામાં નોંધપાત્ર ઘટાડો થાય છે.
આમ,જ્યારે બંને પદાર્થોને ઓરડાના તાપમાનેથી $80 \, K$ સુધી ઠંડા કરવામાં આવે છે,ત્યારે તાંબાનો અવરોધ ઘટે છે અને જર્મેનિયમનો અવરોધ વધે છે.
તેથી,સાચું વિધાન એ છે કે તાંબાનો અવરોધ ઘટે છે જ્યારે જર્મેનિયમનો અવરોધ વધે છે.

(A) ઢળતા સમતલ પર સ્થિર રહેલા બ્લોક માટે,સમતલની નીચેની દિશામાં લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો ઘટક $F_g = mg \sin(\theta)$ છે.
અહીં $\theta = 30^o$,$g = 10\,m/s^2$,અને ઘર્ષણ બળ $f = 10\,N$ આપેલ છે.
બ્લોક સ્થિર હોવાથી,સ્થિત ઘર્ષણ બળ એ સમતલની નીચેની દિશામાં લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળના ઘટકને સંતુલિત કરે છે.
તેથી,$f = mg \sin(30^o)$.
કિંમતો મૂકતા: $10 = m \times 10 \times \sin(30^o)$.
$\sin(30^o) = 0.5$ હોવાથી,$10 = m \times 10 \times 0.5$.
$10 = 5m$.
$m = 10 / 5 = 2\,kg$.
નોંધ: સ્થિત ઘર્ષણાંક $\mu_s = 0.8$ એ બ્લોક સ્થિર રહી શકે છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે આપેલ છે. મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ $f_{max} = \mu_s N = \mu_s mg \cos(30^o) = 0.8 \times 2 \times 10 \times 0.866 \approx 13.86\,N$ છે. $10\,N < 13.86\,N$ હોવાથી,બ્લોક સ્થિર રહેશે.

(A) વિશ્રામ કોણ $\alpha = \tan^{-1}(\mu) = \tan^{-1}(0.8) \approx 38.6^{\circ}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઢળતા સમતલનો ખૂણો $\theta = 30^{\circ}$ એ વિશ્રામ કોણ $\alpha$ કરતા ઓછો હોવાથી,બ્લોક સ્થિર રહે છે.
ઢળતા સમતલ પર સ્થિર રહેલા બ્લોક માટે,સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_s$ એ સમતલની નીચેની દિશામાં લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળના ઘટકને સંતુલિત કરે છે.
તેથી,$f_s = mg \sin(\theta)$.
આપેલ છે કે $f_s = 10 \, N$,$g = 10 \, m/s^2$,અને $\theta = 30^{\circ}$,તેથી:
$10 = m \times 10 \times \sin(30^{\circ})$
$10 = m \times 10 \times 0.5$
$10 = 5m$
$m = \frac{10}{5} = 2 \, kg$.

(B) $k$ અચળાંક ધરાવતી સ્પ્રિંગ સાથે જોડાયેલા $m$ દળનો આવર્તકાળ $t = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$t_1 = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k_1}}$ અને $t_2 = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k_2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$t_1^2 = 4 \pi^2 \frac{m}{k_1}$ અને $t_2^2 = 4 \pi^2 \frac{m}{k_2}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{k_1} = \frac{t_1^2}{4 \pi^2 m}$ અને $\frac{1}{k_2} = \frac{t_2^2}{4 \pi^2 m}$.
જ્યારે બે સ્પ્રિંગને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_{eff}$ એ $\frac{1}{k_{eff}} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}$ દ્વારા મળે છે.
શ્રેણીમાં તંત્રનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k_{eff}}}$ છે,તેથી $T^2 = 4 \pi^2 \frac{m}{k_{eff}}$.
શ્રેણીના સૂત્રમાં $\frac{1}{k_1}$ અને $\frac{1}{k_2}$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\frac{T^2}{4 \pi^2 m} = \frac{t_1^2}{4 \pi^2 m} + \frac{t_2^2}{4 \pi^2 m}$.
$4 \pi^2 m$ વડે ગુણતા,આપણને $T^2 = t_1^2 + t_2^2$ મળે છે.

(C) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણની કુલ ઊર્જા $(E)$ એ તેની ગતિ ઊર્જા $(K)$ અને સ્થિતિ ઊર્જા $(U)$ ના સરવાળા જેટલી હોય છે.
$E = K + U = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$,જ્યાં $m$ એ દળ છે,$\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે અને $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
આપેલ સરળ આવર્ત ગતિ માટે $m$,$\omega$ અને $A$ અચળ હોવાથી,કુલ ઊર્જા $E$ ગતિ દરમિયાન અચળ રહે છે.
તેથી,કુલ ઊર્જા સંતુલન સ્થાનથી સ્થાનાંતર $x$ થી સ્વતંત્ર છે.
આમ,વિકલ્પ $(c)$ સાચો છે.

(B) જ્યારે $2$ મોલ ક્લોરોબેન્ઝીન સાંદ્ર $H_2SO_4$ ની હાજરીમાં $1$ મોલ ક્લોરલ $(CCl_3CHO)$ સાથે પ્રક્રિયા કરે છે,ત્યારે મળતી નીપજ $1,1,1$-ટ્રાયક્લોરો-$2,2$-બિસ($p$-ક્લોરોફિનાઈલ)ઈથેન છે,જેને સામાન્ય રીતે $DDT$ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
પ્રક્રિયા: $2C_6H_5Cl + CCl_3CHO \xrightarrow{conc. H_2SO_4} (ClC_6H_4)_2CHCCl_3 + H_2O$.

(C) હેલોજનની ઓક્સિડેશન શક્તિ પ્રમાણિત ઇલેક્ટ્રોડ પોટેન્શિયલ $(E^{\circ})$ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે,જે ત્રણ પરિબળો પર આધાર રાખે છે: વિયોજન એન્થાલ્પી,ઇલેક્ટ્રોન પ્રાપ્તિ એન્થાલ્પી અને જલીયકરણ એન્થાલ્પી.
ફ્લોરિન સૌથી શક્તિશાળી ઓક્સિડાઇઝિંગ એજન્ટ છે કારણ કે તેની ઓછી બંધ વિયોજન ઉર્જા અને ખૂબ જ ઊંચી નકારાત્મક જલીયકરણ એન્થાલ્પી,ક્લોરિનની તુલનામાં તેની પ્રમાણમાં ઓછી ઇલેક્ટ્રોન પ્રાપ્તિ એન્થાલ્પીને નોંધપાત્ર રીતે સરભર કરે છે.

(D) ક્લોરોફિલ એ વનસ્પતિઓમાં લીલા રંજકદ્રવ્યો છે અને તેમાં કેલ્શિયમ નહીં પણ મેગ્નેશિયમ $(Mg)$ હોય છે.
તેઓ પ્રકાશસંશ્લેષણ દરમિયાન સૂર્યપ્રકાશની હાજરીમાં કાર્બન ડાયોક્સાઇડ અને પાણીમાંથી ગ્લુકોઝના સ્વરૂપમાં ઉર્જા સંગ્રહિત કરવા માટે ઉપયોગી છે.

(C) $LCR$ સર્કિટની રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સી $f_r$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$f_r = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$
રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સી અપરિવર્તિત રહે તે માટે,ગુણાકાર $LC$ અચળ રહેવો જોઈએ:
$L_1 C_1 = L_2 C_2$
અહીં આપેલ છે કે $L_1 = L$,$C_1 = C$,અને $C_2 = 2C$,આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$L \cdot C = L_2 \cdot (2C)$
$L_2$ માટે ઉકેલતા:
$L_2 = \frac{LC}{2C} = \frac{L}{2}$
તેથી,ઇન્ડક્ટન્સને બદલીને $L/2$ કરવું જોઈએ.

(A) ગ્રહને સૂર્યની આસપાસ ફરવા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
ધારો કે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F = \frac{k}{R^n}$ છે,જ્યાં $k$ અચળાંક છે.
કેન્દ્રગામી બળ $F_c = \frac{mv^2}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંનેને સરખાવતા,આપણને મળે છે $\frac{mv^2}{R} = \frac{k}{R^n}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $v^2 = \frac{k}{mR^{n-1}}$,તેથી $v \propto R^{-\frac{n-1}{2}}$.
આવર્તકાળ $T$ એ $T = \frac{2\pi R}{v}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$v$ નું પદ મૂકતા,આપણને મળે છે $T \propto \frac{R}{R^{-\frac{n-1}{2}}}$.
તેથી,$T \propto R^{1 + \frac{n-1}{2}} = R^{\frac{2+n-1}{2}} = R^{\frac{n+1}{2}}$.

(A) આપેલ છે કે પ્રતિપ્રવેગ $a$ એ સ્થાનાંતર $x$ ના સમપ્રમાણમાં છે,તેથી $a = -kx$ (જ્યાં $k$ એ ધન અચળાંક છે).
સંબંધ $a = v \frac{dv}{dx}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $v \frac{dv}{dx} = -kx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int v dv = \int -kx dx$.
આનાથી મળે $\frac{v^2}{2} = -\frac{kx^2}{2} + C$.
$x = 0$ સમયે,ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $u$ છે,તેથી $C = \frac{u^2}{2}$.
આમ,$\frac{v^2}{2} = \frac{u^2}{2} - \frac{kx^2}{2}$,જે સૂચવે છે કે $u^2 - v^2 = kx^2$.
ગતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો $\Delta K = \frac{1}{2}m(u^2 - v^2) = \frac{1}{2}m(kx^2)$.
અહીં $m$ અને $k$ અચળાંક હોવાથી,ગતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો $x^2$ ના સમપ્રમાણમાં છે.

(B) $k$ અચળાંક ધરાવતી સ્પ્રિંગ સાથે જોડાયેલા $m$ દળનો આવર્તકાળ $t = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$t_1 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_1}}$ અને $t_2 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_2}}$.
આનો વર્ગ કરતા,આપણને $t_1^2 = 4\pi^2 \frac{m}{k_1}$ અને $t_2^2 = 4\pi^2 \frac{m}{k_2}$ મળે છે.
જ્યારે બે સ્પ્રિંગને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_{eq}$ એ $\frac{1}{k_{eq}} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}$ દ્વારા મળે છે.
શ્રેણી જોડાણ માટે દોલનનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_{eq}}}$ છે.
આનો વર્ગ કરતા,$T^2 = 4\pi^2 \frac{m}{k_{eq}} = 4\pi^2 m \left( \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} \right)$.
$t_1^2$ અને $t_2^2$ માટેના પદોને મૂકતા,આપણને $T^2 = 4\pi^2 \frac{m}{k_1} + 4\pi^2 \frac{m}{k_2} = t_1^2 + t_2^2$ મળે છે.

(B) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે ગુરુત્વીય સ્થિતિ ઊર્જા $U = -\frac{GMm}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર,$r = R$,તેથી $U_i = -\frac{GMm}{R}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $g = \frac{GM}{R^2}$,તેથી $GM = gR^2$. આ કિંમત મૂકતા,$U_i = -mgR$.
સપાટીથી $h = R$ ઊંચાઈએ,કેન્દ્રથી અંતર $r = R + h = 2R$ થાય.
તેથી,$U_f = -\frac{GMm}{2R} = -\frac{gR^2m}{2R} = -\frac{1}{2}mgR$.
સ્થિતિ ઊર્જામાં થતો વધારો $\Delta U = U_f - U_i = -\frac{1}{2}mgR - (-mgR) = \frac{1}{2}mgR$ છે.

(B) સાંકળની કુલ લંબાઈ $L = 2\, m$ છે અને તેનું કુલ દળ $M = 4\, kg$ છે.
લટકતા ભાગની લંબાઈ $l = 60\, cm = 0.6\, m$ છે.
સાંકળની એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\lambda = \frac{M}{L} = \frac{4}{2} = 2\, kg/m$ છે.
લટકતા ભાગનું દળ $m = \lambda \times l = 2 \times 0.6 = 1.2\, kg$ છે.
લટકતા ભાગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ટેબલની ધારથી $h = \frac{l}{2} = \frac{0.6}{2} = 0.3\, m$ નીચે છે.
સાંકળને ટેબલ પર ખેંચવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્ય એ લટકતા ભાગની સ્થિતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે,જે $W = mgh$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $W = 1.2 \times 10 \times 0.3 = 3.6\, J$.

(A) વાયુઓના મિશ્રણ માટે,સમોષ્મી ઘાતાંક $\gamma_{mix}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{\mu_1 + \mu_2}{\gamma_{mix} - 1} = \frac{\mu_1}{\gamma_1 - 1} + \frac{\mu_2}{\gamma_2 - 1}$.
આપેલ છે: $\mu_1 = 1$,$\gamma_1 = 5/3$ (એકપરમાણ્વીય) અને $\mu_2 = 1$,$\gamma_2 = 7/5$ (દ્વિપરમાણ્વીય).
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1 + 1}{\gamma_{mix} - 1} = \frac{1}{5/3 - 1} + \frac{1}{7/5 - 1}$.
$\frac{2}{\gamma_{mix} - 1} = \frac{1}{2/3} + \frac{1}{2/5} = \frac{3}{2} + \frac{5}{2} = \frac{8}{2} = 4$.
$\frac{2}{\gamma_{mix} - 1} = 4 \implies \gamma_{mix} - 1 = 2/4 = 0.5$.
$\gamma_{mix} = 1 + 0.5 = 1.5 = 3/2$.

(D) તાર પર લગાડવામાં આવતું બળ $0$ થી $F$ સુધી રેખીય રીતે વધે છે જ્યારે તે $0$ થી $l$ સુધી ખેંચાય છે.
ખેંચાણની પ્રક્રિયા દરમિયાન સરેરાશ બળ $F_{av} = \frac{0 + F}{2} = \frac{F}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તારને ખેંચવામાં થયેલું કાર્ય $(W)$ એ સરેરાશ બળ અને સ્થાનાંતર (લંબાઈમાં વધારો) ના ગુણાકાર જેટલું હોય છે.
$W = F_{av} \times l = \left( \frac{F}{2} \right) \times l = \frac{Fl}{2}$.
તેથી,થયેલું કાર્ય $\frac{Fl}{2}$ છે.

(B) આંતરિક ઉર્જા એ અવસ્થા વિધેય છે,જેનો અર્થ છે કે તે ફક્ત સિસ્ટમની અવસ્થા પર આધાર રાખે છે,પ્રક્રિયાના માર્ગ પર નહીં. તેવી જ રીતે,એન્ટ્રોપી પણ એક અવસ્થા વિધેય છે.
સમતાપી (isothermal) પ્રક્રિયામાં,તાપમાન અચળ રહે છે,અને આદર્શ વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જા બદલાતી નથી $(\Delta U = 0)$.
પ્રતિવર્તી એડિયાબેટિક પ્રક્રિયામાં,એન્ટ્રોપીમાં ફેરફાર શૂન્ય હોય છે $(\Delta S = 0)$.
એડિયાબેટિક પ્રક્રિયામાં થયેલું કાર્ય $W = -\Delta U$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે સામાન્ય રીતે શૂન્ય હોતું નથી.
તેથી,આંતરિક ઉર્જા અને એન્ટ્રોપી અવસ્થા વિધેયો છે તે વિધાન સાચું છે.

(D) સૂર્યની વિકિરણ શક્તિ (લ્યુમિનોસિટી) સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $E = \sigma A T^4$.
ક્ષેત્રફળ $A = 4\pi R^2$ હોવાથી,$A \propto R^2$ થાય.
તેથી,વિકિરણ ઉર્જા $E \propto R^2 T^4$ થાય.
ધારો કે $E_1$ એ પ્રારંભિક ઉર્જા છે અને $E_2$ એ અંતિમ ઉર્જા છે.
આપેલ છે કે $R_1 = R$,$T_1 = T$ અને $R_2 = 2R$,$T_2 = 2T$.
ગુણોત્તર $\frac{E_2}{E_1} = \frac{R_2^2 T_2^4}{R_1^2 T_1^4}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{E_2}{E_1} = \frac{(2R)^2 (2T)^4}{R^2 T^4} = \frac{4R^2 \cdot 16T^4}{R^2 T^4} = 4 \cdot 16 = 64$.

(B) $N_{2(g)} + O_{2(g)} \rightleftharpoons 2 NO_{(g)}$ પ્રક્રિયા માટે,સંતુલન અચળાંક $K_C = 4 \times 10^{-4}$ છે.
$NO_{(g)} \rightleftharpoons \frac{1}{2} N_{2(g)} + \frac{1}{2} O_{2(g)}$ પ્રક્રિયા માટે,આ પ્રક્રિયા મૂળ પ્રક્રિયાની ઉલટી છે અને તેને $\frac{1}{2}$ વડે ગુણવામાં આવી છે.
તેથી,નવો સંતુલન અચળાંક $K_C' = \frac{1}{\sqrt{K_C}}$ દ્વારા મળે છે.
$K_C' = \frac{1}{\sqrt{4 \times 10^{-4}}} = \frac{1}{2 \times 10^{-2}} = \frac{1}{0.02} = 50$.