Probability Questions in Gujarati

(D) કુલ ઘોડાઓની સંખ્યા = $5$.
$Mr. A$ દ્વારા પસંદ કરાયેલા ઘોડાઓની સંખ્યા = $2$.
$5$ માંથી $2$ ઘોડા પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ છે.
માત્ર $1$ જ વિજેતા ઘોડો છે.
વિજેતા ઘોડો પસંદ ન થાય તેવી રીતે $2$ ઘોડા પસંદ કરવાની રીતો એ $4$ હારનાર ઘોડાઓમાંથી $2$ ઘોડા પસંદ કરવાની રીતો છે,જે $^4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ છે.
વિજેતા ઘોડો પસંદ ન થાય તેની સંભાવના = $\frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ છે.
તેથી,વિજેતા ઘોડો પસંદ થાય તેની સંભાવના = $1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$ છે.

(C) ધારો કે $P(X)$ એ $X$ સાચું બોલે તેની સંભાવના છે અને $P(Y)$ એ $Y$ સાચું બોલે તેની સંભાવના છે.
આપેલ છે: $P(X) = 60\% = \frac{60}{100} = \frac{3}{5}$ અને $P(Y) = 50\% = \frac{50}{100} = \frac{1}{2}$.
જો એક વ્યક્તિ સાચું બોલે અને બીજી વ્યક્તિ જૂઠું બોલે તો $X$ અને $Y$ એકબીજાનો વિરોધાભાસ કરે છે.
આ બે રીતે થઈ શકે છે: ($X$ સાચું બોલે અને $Y$ જૂઠું બોલે) અથવા ($X$ જૂઠું બોલે અને $Y$ સાચું બોલે).
જરૂરી સંભાવના $= P(X) \cdot P(\bar{Y}) + P(\bar{X}) \cdot P(Y)$.
અહીં,$P(\bar{X}) = 1 - P(X) = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$ અને $P(\bar{Y}) = 1 - P(Y) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
જરૂરી સંભાવના $= (\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2}) + (\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2}) = \frac{3}{10} + \frac{2}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.

(C) ધારો કે $P(A)$ એ $A$ સાચું બોલે તેની સંભાવના છે અને $P(B)$ એ $B$ સાચું બોલે તેની સંભાવના છે.
આપેલ છે: $P(A) = \frac{4}{5}$ અને $P(B) = \frac{3}{4}$.
$A$ જૂઠું બોલે તેની સંભાવના $P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$ છે.
$B$ જૂઠું બોલે તેની સંભાવના $P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ છે.
તેઓ એકબીજાનો વિરોધાભાસ ત્યારે કરે જો $A$ સાચું બોલે અને $B$ જૂઠું બોલે,અથવા $A$ જૂઠું બોલે અને $B$ સાચું બોલે.
જરૂરી સંભાવના $= P(A) \cdot P(\bar{B}) + P(\bar{A}) \cdot P(B)$
$= (\frac{4}{5} \cdot \frac{1}{4}) + (\frac{1}{5} \cdot \frac{3}{4})$
$= \frac{4}{20} + \frac{3}{20} = \frac{7}{20}$.

(A) ત્રણ પાસાઓને ફેંકતા કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 6 \times 6 \times 6 = 216$ છે.
સરવાળો $16$ મળે તેવા શક્ય પરિણામો $(x, y, z)$ નીચે મુજબ છે:
$(6, 6, 4), (6, 4, 6), (4, 6, 6), (6, 5, 5), (5, 6, 5), (5, 5, 6)$.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 6$ છે.
તેથી,માંગેલ સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{6}{216} = \frac{1}{36}$ થાય.

(D) ધારો કે $A$ એ $1$ થી $90$ ની શ્રેણીમાં $6$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓનો ગણ છે અને $B$ એ $8$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓનો ગણ છે.
કુલ સંખ્યાઓ $n(S) = 90$ છે.
$6$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓની સંખ્યા $n(A) = \lfloor \frac{90}{6} \rfloor = 15$ છે.
$8$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓની સંખ્યા $n(B) = \lfloor \frac{90}{8} \rfloor = 11$ છે.
$6$ અને $8$ બંને વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓ $\text{lcm}(6, 8) = 24$ વડે વિભાજ્ય હોય.
$24$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓની સંખ્યા $n(A \cap B) = \lfloor \frac{90}{24} \rfloor = 3$ છે.
ગણના સિદ્ધાંત મુજબ,$6$ અથવા $8$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓની કુલ સંખ્યા $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 15 + 11 - 3 = 23$ છે.
તેથી,સંભાવના $P(A \cup B) = \frac{n(A \cup B)}{n(S)} = \frac{23}{90}$ થાય.

(A) ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે પ્રથમ વિદ્યાર્થી સમસ્યા ઉકેલે છે,તેથી $P(A) = \frac{1}{2}$.
ધારો કે $B$ એ ઘટના છે કે બીજો વિદ્યાર્થી સમસ્યા ઉકેલે છે,તેથી $P(B) = \frac{1}{3}$.
સમસ્યા ત્યારે ઉકેલાય છે જો ઓછામાં ઓછો એક વિદ્યાર્થી તેને ઉકેલે.
બંને વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા સમસ્યા ન ઉકેલાય તેની સંભાવના $P(A^c) \times P(B^c) = (1 - \frac{1}{2}) \times (1 - \frac{1}{3}) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ છે.
તેથી,સમસ્યા ઉકેલાય તેની સંભાવના $1 - P(\text{ન ઉકેલાય}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ થાય.

(D) અહીં $3$ મકાનો ઉપલબ્ધ છે અને $3$ વ્યક્તિઓ અરજી કરી રહી છે.
દરેક વ્યક્તિ પાસે મકાન પસંદ કરવા માટે $3$ વિકલ્પો છે.
દરેક વ્યક્તિ સ્વતંત્ર રીતે અરજી કરતી હોવાથી,$3$ વ્યક્તિઓ $3$ મકાનો માટે અરજી કરી શકે તેવા કુલ પ્રકારો $3 \times 3 \times 3 = 27$ છે.
ત્રણેય વ્યક્તિઓ એક જ મકાન માટે અરજી કરે તે માટે,તેઓ કાં તો ત્રણેય પ્રથમ મકાન પસંદ કરે,અથવા ત્રણેય બીજું મકાન પસંદ કરે,અથવા ત્રણેય ત્રીજું મકાન પસંદ કરે.
આવા $3$ સાનુકૂળ પરિણામો છે.
તેથી,ત્રણેય વ્યક્તિઓ એક જ મકાન માટે અરજી કરે તેની સંભાવના $\frac{3}{27} = \frac{1}{9}$ છે.

(B) ધારો કે એક ફેંકમાં $1$ મેળવવાની સંભાવના $p = \frac{1}{6}$ છે.
તેથી,$1$ ન મેળવવાની સંભાવના $q = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ છે.
બેકી સંખ્યાના ફેંકમાં $1$ મેળવવાની ઘટના એટલે કે $2^{nd}, 4^{th}, 6^{th}, \dots$ ફેંક પર $1$ મળે.
આ સંભાવનાઓનો સરવાળો છે: $q \cdot p + q^3 \cdot p + q^5 \cdot p + \dots$
આ એક અનંત ભૂમિતિ શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = qp = \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{5}{36}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = q^2 = (\frac{5}{6})^2 = \frac{25}{36}$ છે.
અનંત ભૂમિતિ શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1 - r}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$S = \frac{5/36}{1 - 25/36} = \frac{5/36}{11/36} = \frac{5}{11}$.

(D) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે,તેથી $A$ પણ નહીં અને $B$ પણ નહીં બને તેની સંભાવના $P(\bar{A} \cap \bar{B})$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
જ્યારે $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર હોય,ત્યારે તેમના પૂરક ઘટનાઓ $\bar{A}$ અને $\bar{B}$ પણ સ્વતંત્ર હોય છે.
તેથી,$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\bar{A}) \times P(\bar{B})$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 1/2 = 1/2$.
તે જ રીતે,$P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - 1/3 = 2/3$.
આમ,$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = (1/2) \times (2/3) = 1/3$.

(NONE) આ સર્કિટ બિંદુ $A$ અને $B$ વચ્ચે જોડાયેલી બે સમાંતર શાખાઓ ધરાવે છે.
$1$. ઉપરની શાખામાં શ્રેણીમાં બે સ્વીચ $a$ અને $b$ છે. આ શાખામાંથી પ્રવાહ ત્યારે જ વહેશે જો બંને સ્વીચ $a$ અને $b$ બંધ હોય.
દરેક સ્વીચ બંધ હોવાની સંભાવના $p$ હોવાથી,ઉપરની શાખા બંધ હોવાની સંભાવના $P(\text{upper}) = p \cdot p = p^2$ થાય.
$2$. નીચેની શાખામાં એક સ્વીચ $c$ છે. જો સ્વીચ $c$ બંધ હોય તો આ શાખામાંથી પ્રવાહ વહેશે.
નીચેની શાખા બંધ હોવાની સંભાવના $P(\text{lower}) = p$ છે.
$3$. જો ઉપરની શાખા બંધ હોય અથવા નીચેની શાખા બંધ હોય તો $A$ થી $B$ સુધી પ્રવાહ વહેશે.
સંભાવના માટે ઇન્ક્લુઝન-એક્સક્લુઝન સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
અહીં,$P(\text{upper} \cup \text{lower}) = P(\text{upper}) + P(\text{lower}) - P(\text{upper} \cap \text{lower})$.
$P(\text{upper} \cap \text{lower}) = p^2 \cdot p = p^3$.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $p^2 + p - p^3$ છે.

(C) $52$ પત્તાંમાંથી $2$ પત્તાં પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{52}C_2$ છે.
$13$ કાળીના પત્તાંમાંથી $2$ કાળીના પત્તાં પસંદ કરવાની રીતો $^{13}C_2$ છે.
જરૂરી સંભાવના $P = \frac{^{13}C_2}{^{52}C_2}$ છે.
સંયોજનોની ગણતરી કરતા: $^{13}C_2 = \frac{13 \times 12}{2 \times 1} = 78$ અને $^{52}C_2 = \frac{52 \times 51}{2 \times 1} = 1326$.
આમ,$P = \frac{78}{1326} = \frac{1}{17}$.

(C) તાશના પેકમાં કુલ $52$ પત્તા હોય છે.
પેકમાં $26$ લાલ પત્તા અને $26$ કાળા પત્તા હોય છે.
આપણે એકસાથે $6$ પત્તા ખેંચવાના છે,જે $^{52}C_6$ રીતે કરી શકાય છે.
$26$ લાલ પત્તામાંથી $3$ લાલ પત્તા પસંદ કરવાની રીતો $^{26}C_3$ છે.
$26$ કાળા પત્તામાંથી $3$ કાળા પત્તા પસંદ કરવાની રીતો $^{26}C_3$ છે.
તેથી,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $^{26}C_3 \times ^{26}C_3$ છે.
સંભાવના એ સાનુકૂળ પરિણામો અને કુલ પરિણામોનો ગુણોત્તર છે: $P = \frac{^{26}C_3 \times ^{26}C_3}{^{52}C_6}$.

(C) પત્તાના પેકમાં કુલ પત્તાની સંખ્યા $52$ છે.
કાળીના પત્તાની સંખ્યા $13$ છે.
એક પ્રયત્નમાં કાળીનું પત્તું ખેંચવાની સંભાવના $P(S) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$ છે.
એક પ્રયત્નમાં કાળીનું પત્તું ન ખેંચવાની (નિષ્ફળતા) સંભાવના $P(F) = 1 - P(S) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ છે.
કારણ કે પત્તું પાછું મૂકવામાં આવે છે અને પેકને ચીપવવામાં આવે છે,તેથી દરેક પ્રયત્ન સ્વતંત્ર છે.
તે પ્રથમ બે વાર નિષ્ફળ જાય તેની સંભાવના એ પ્રથમ પ્રયત્નમાં કાળીનું પત્તું ન મળે અને બીજા પ્રયત્નમાં પણ કાળીનું પત્તું ન મળે તેની સંભાવના છે.
જરૂરી સંભાવના $= P(F) \times P(F) = \frac{3}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{9}{64}$.

(B) $20$ ક્રમિક પૂર્ણાંકોમાંથી $2$ પૂર્ણાંકો પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${}^{20}C_2 = \frac{20 \times 19}{2} = 190$ છે.
કોઈપણ $20$ ક્રમિક પૂર્ણાંકોના સમૂહમાં,બરાબર $10$ બેકી સંખ્યાઓ અને $10$ એકી સંખ્યાઓ હોય છે.
બે સંખ્યાઓનો સરવાળો એકી ત્યારે જ થાય જો એક સંખ્યા બેકી અને બીજી સંખ્યા એકી હોય.
$10$ બેકી સંખ્યાઓમાંથી એક અને $10$ એકી સંખ્યાઓમાંથી એક સંખ્યા પસંદ કરવાની રીતો ${}^{10}C_1 \times {}^{10}C_1 = 10 \times 10 = 100$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{100}{190} = \frac{10}{19}$ છે.

(C) કુલ દડાની સંખ્યા $= 3 + 7 + 4 = 14$.
$14$ દડામાંથી $3$ દડા પસંદ કરવાની રીતો $= ^{14}C_3 = \frac{14 \times 13 \times 12}{3 \times 2 \times 1} = 14 \times 13 \times 2 = 364$.
ત્રણેય દડા એક જ રંગના હોય તે માટે,કાં તો ત્રણેય લાલ,ત્રણેય સફેદ અથવા ત્રણેય કાળા હોવા જોઈએ.
$3$ લાલ દડા પસંદ કરવાની રીતો $= ^3C_3 = 1$.
$3$ સફેદ દડા પસંદ કરવાની રીતો $= ^7C_3 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$.
$3$ કાળા દડા પસંદ કરવાની રીતો $= ^4C_3 = 4$.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 1 + 35 + 4 = 40$.
જરૂરી સંભાવના $= \frac{40}{364} = \frac{10}{91}$.

(A) કુલ વ્યક્તિઓની સંખ્યા $= 3 + 2 + 4 = 9$ છે.
$9$ માંથી $4$ વ્યક્તિઓની પસંદગી કરવાની કુલ રીતો $= {}^9C_4$ છે.
${}^9C_4 = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$.
આપણે $4$ બાળકોમાંથી બરાબર $2$ બાળકો પસંદ કરવાના છે,જે ${}^4C_2$ રીતે કરી શકાય.
${}^4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$.
બાકીની $2$ વ્યક્તિઓ $5$ પુખ્ત વયના લોકો ($3$ પુરુષો $+ 2$ સ્ત્રીઓ) માંથી પસંદ કરવાની રહેશે,જે ${}^5C_2$ રીતે કરી શકાય.
${}^5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= {}^4C_2 \times {}^5C_2 = 6 \times 10 = 60$.
માગેલ સંભાવના $= \frac{60}{126} = \frac{10}{21}$.

(C) $25$ ટિકિટમાંથી $2$ ટિકિટ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{25}C_2 = \frac{25 \times 24}{2} = 300$ છે.
બે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર બેકી ત્યારે જ થાય જો ઓછામાં ઓછી એક સંખ્યા બેકી હોય.
પૂરક ઘટનાની સંભાવના શોધવી સરળ છે: ગુણાકાર એકી (odd) હોય.
ગુણાકાર એકી ત્યારે જ થાય જો બંને પસંદ કરેલી સંખ્યાઓ એકી હોય.
${1, 2, \dots, 25}$ ગણમાં $13$ એકી સંખ્યાઓ $(1, 3, 5, \dots, 25)$ અને $12$ બેકી સંખ્યાઓ છે.
$2$ એકી ટિકિટ પસંદ કરવાની રીતો $^{13}C_2 = \frac{13 \times 12}{2} = 78$ છે.
ગુણાકાર એકી હોય તેની સંભાવના $P(\text{odd}) = \frac{78}{300} = \frac{13}{50}$ છે.
તેથી,ગુણાકાર બેકી હોય તેની સંભાવના $1 - P(\text{odd}) = 1 - \frac{13}{50} = \frac{37}{50}$ થાય.

(A) કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા = $12 + 18 = 30$.
$30$ માંથી $2$ વિદ્યાર્થીઓને પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^{30}C_2 = \frac{30 \times 29}{2 \times 1} = 435$ છે.
$12$ માંથી $2$ છોકરીઓને પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^{12}C_2 = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = 66$ છે.
બંને પસંદ કરેલ વિદ્યાર્થીઓ છોકરીઓ હોય તેની સંભાવના $P = \frac{^{12}C_2}{^{30}C_2} = \frac{66}{435}$ છે.
અંશ અને છેદ બંનેને $3$ વડે ભાગતા,આપણને $P = \frac{22}{145}$ મળે છે.

(B) કુલ અક્ષરોની સંખ્યા = $11$.
વ્યંજનોની સંખ્યા = $7$.
સ્વરોની સંખ્યા = $4$.
આપણે $11$ માંથી $2$ અક્ષરો પસંદ કરવાના છે. $2$ અક્ષરો પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{11}C_2 = \frac{11 \times 10}{2 \times 1} = 55$ છે.
$7$ વ્યંજનોમાંથી $2$ વ્યંજનો પસંદ કરવાની રીતો $^7C_2 = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$ છે.
બંને પસંદ કરેલા અક્ષરો વ્યંજન હોય તેની સંભાવના એ સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા અને કુલ પરિણામોની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે.
જરૂરી સંભાવના = $\frac{^7C_2}{^{11}C_2} = \frac{21}{55}$.

(A) $20$ માંથી $3$ ટિકિટ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{20}C_3 = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = 1140$ છે.
આપણે એવી સંભાવના શોધવી છે કે જેમાં $7$ અને $11$ નંબરવાળી ટિકિટો પસંદગીમાં સામેલ હોય.
કારણ કે $2$ ટિકિટો ($7$ અને $11$) પહેલેથી જ નિશ્ચિત છે,તેથી આપણે બાકીની $18$ ટિકિટો $(20 - 2 = 18)$ માંથી માત્ર $1$ ટિકિટ પસંદ કરવાની જરૂર છે.
ત્રીજી ટિકિટ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^{18}C_1 = 18$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{18}{1140} = \frac{3}{190}$ છે.

(A) કુલ ટિકિટોની સંખ્યા $= 3 + 9 = 12$ છે.
મોહન $12$ માંથી $3$ ટિકિટ પસંદ કરે છે. $3$ ટિકિટ પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${}^{12}C_3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$ છે.
ઓછામાં ઓછું એક ઇનામ જીતવાની સંભાવના $= 1 - P(\text{એક પણ ઇનામ ન જીતવાની સંભાવના})$.
એક પણ ઇનામ ન જીતવાનો અર્થ એ છે કે $3$ ટિકિટો $9$ ખાલી ટિકિટોમાંથી પસંદ કરવામાં આવી છે.
$9$ માંથી $3$ ખાલી ટિકિટ પસંદ કરવાની રીતો ${}^9C_3 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$ છે.
એક પણ ઇનામ ન જીતવાની સંભાવના $\frac{84}{220} = \frac{21}{55}$ છે.
તેથી,ઓછામાં ઓછું એક ઇનામ જીતવાની સંભાવના $1 - \frac{21}{55} = \frac{34}{55}$ છે.

(D) થેલીમાં કુલ દડાની સંખ્યા = $3$ (સફેદ) + $7$ (લાલ) = $10$ દડા.
ધારો કે $E$ એ સફેદ અથવા લાલ દડો પસંદ કરવાની ઘટના છે.
થેલીમાં રહેલા તમામ દડા કાં તો સફેદ છે અથવા લાલ,તેથી આ એક ચોક્કસ ઘટના છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા = $3 + 7 = 10$.
કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા = $10$.
સંભાવના $P(E) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{10}{10} = 1$.

(A) દડાઓની કુલ સંખ્યા $= 4 + 5 + 6 = 15$ છે.
$15$ દડામાંથી $2$ દડા પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^{15}C_2 = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 105$ છે.
આપણે એવી સંભાવના શોધીએ છીએ કે એક દડો સફેદ હોય અને બીજો દડો સફેદ ન હોય (લાલ અથવા કાળો).
સફેદ દડાઓની સંખ્યા $= 4$ છે.
સફેદ ન હોય તેવા દડાઓની સંખ્યા $= 5 + 6 = 11$ છે.
$1$ સફેદ દડો અને $1$ સફેદ ન હોય તેવો દડો પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $= ^4C_1 \times ^{11}C_1 = 4 \times 11 = 44$ છે.
માટે,જરૂરી સંભાવના $= \frac{44}{105}$ છે.

(C) દડાઓની કુલ સંખ્યા = $6 + 4 + 8 = 18$.
$18$ દડામાંથી $3$ દડા પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા ${}^{18}C_3 = \frac{18 \times 17 \times 16}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 17 \times 16 = 816$ છે.
આપણે $4$ માંથી $2$ સફેદ દડા અને $6$ માંથી $1$ લાલ દડો પસંદ કરવાનો છે.
$2$ સફેદ દડા પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા = ${}^4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$.
$1$ લાલ દડો પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા = ${}^6C_1 = 6$.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો = ${}^4C_2 \times {}^6C_1 = 6 \times 6 = 36$.
જરૂરી સંભાવના = $\frac{36}{816} = \frac{3}{68}$.

(C) $9$ લોકોમાંથી $5$ સભ્યોની સમિતિ પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${}^9C_5 = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$ છે.
કિસ્સો $1$: દંપતી સાથે સેવા આપે.
જો દંપતીનો સમાવેશ થાય,તો બાકીના $7$ લોકોમાંથી $3$ વધુ લોકો પસંદ કરવા પડે. આ ${}^7C_3 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ રીતે કરી શકાય.
કિસ્સો $2$: દંપતી બિલકુલ સેવા ન આપે.
જો દંપતીને બાકાત રાખવામાં આવે,તો બાકીના $7$ લોકોમાંથી $5$ લોકો પસંદ કરવા પડે. આ ${}^7C_5 = {}^7C_2 = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$ રીતે કરી શકાય.
કુલ સાનુકૂળ રીતો $= 35 + 21 = 56$.
જરૂરી સંભાવના $= \frac{56}{126} = \frac{4}{9}$.

(B) $ASSASSIN$ શબ્દમાં $8$ અક્ષરો છે: $A(2), S(4), I(1), N(1)$.
કુલ ગોઠવણીઓની સંખ્યા $ = \frac{8!}{4! \times 2!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4!}{4! \times 2} = 840$.
કોઈ પણ બે $S$ સાથે ન આવે તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે,આપણે ગેપ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. પ્રથમ,બાકીના $4$ અક્ષરો $(A, A, I, N)$ ને ગોઠવો.
આ $4$ અક્ષરોને ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $\frac{4!}{2!} = 12$ છે.
આ $4$ અક્ષરો $5$ જગ્યાઓ (છેડાઓ સહિત) બનાવે છે: $\_ L_1 \_ L_2 \_ L_3 \_ L_4 \_$.
આ $5$ જગ્યાઓમાંથી $4$ જગ્યાઓ પસંદ કરીને $S$ ને મૂકવાની રીતો $\binom{5}{4} = 5$ છે.
કુલ સાનુકૂળ ગોઠવણીઓ $ = 12 \times 5 = 60$.
સંભાવના $ = \frac{\text{સાનુકૂળ ગોઠવણીઓ}}{\text{કુલ ગોઠવણીઓ}} = \frac{60}{840} = \frac{1}{14}$.

(D) $n$ સ્વતંત્ર બર્નુલી પ્રયત્નોમાં $k$ સફળતાઓ મેળવવાની સંભાવના દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $P(X = k) = {}^nC_k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$.
અહીં,$n = 8$ (કુલ પ્રયત્નો),$k = 4$ (જરૂરી છાપની સંખ્યા),$p = \frac{1}{2}$ (છાપ મળવાની સંભાવના),અને $q = 1 - p = \frac{1}{2}$ (કાંટો મળવાની સંભાવના).
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$P(X = 4) = {}^8C_4 \cdot (\frac{1}{2})^4 \cdot (\frac{1}{2})^{8-4}$
$P(X = 4) = {}^8C_4 \cdot (\frac{1}{2})^4 \cdot (\frac{1}{2})^4$
$P(X = 4) = {}^8C_4 \cdot (\frac{1}{2})^8$
$P(X = 4) = \frac{{}^8C_4}{2^8}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(A) કુલ ટિકિટોની સંખ્યા = $50$.
ઇનામી ટિકિટોની સંખ્યા = $14$.
ખાલી (ઇનામ વગરની) ટિકિટોની સંખ્યા = $50 - 14 = 36$.
માણસ $2$ ટિકિટ ખરીદે છે.
$50$ માંથી $2$ ટિકિટ પસંદ કરવાની કુલ રીતો = ${}^{50}C_2 = \frac{50 \times 49}{2 \times 1} = 1225$.
એવી રીતે $2$ ટિકિટ પસંદ કરવાની રીતો કે જેમાં એક પણ ઇનામ ન હોય = ${}^{36}C_2 = \frac{36 \times 35}{2 \times 1} = 630$.
કોઈ પણ ઇનામ ન જીતવાની સંભાવના $P(\text{કોઈ ઇનામ નહીં}) = \frac{630}{1225} = \frac{18}{35}$.
ઓછામાં ઓછું એક ઇનામ જીતવાની સંભાવના $P(\text{ઓછામાં ઓછું એક ઇનામ}) = 1 - P(\text{કોઈ ઇનામ નહીં}) = 1 - \frac{18}{35} = \frac{17}{35}$.

(B) કુલ દડાની સંખ્યા $= 8 + 7 = 15$.
$2$ દડા પસંદ કરવાની કુલ રીતો $= {}^{15}C_2 = \frac{15 \times 14}{2} = 105$.
$1$. બંને દડા સફેદ હોવાની સંભાવના: $P(WW) = \frac{{}^7C_2}{{}^{15}C_2} = \frac{21}{105} = \frac{1}{5} = 0.2$.
$2$. બંને દડા કાળા હોવાની સંભાવના: $P(BB) = \frac{{}^8C_2}{{}^{15}C_2} = \frac{28}{105} = \frac{4}{15} \approx 0.266$.
$3$. એક દડો સફેદ અને એક કાળો હોવાની સંભાવના: $P(WB) = \frac{{}^7C_1 \times {}^8C_1}{{}^{15}C_2} = \frac{7 \times 8}{105} = \frac{56}{105} = \frac{8}{15} \approx 0.533$.
સંભાવનાઓની સરખામણી કરતા: $\frac{8}{15} > \frac{4}{15} > \frac{3}{15}$.
આમ,એક સફેદ અને એક કાળો દડો પસંદ કરવાની સંભાવના સૌથી વધુ છે.

(B) $10$ વ્યક્તિઓ ($6$ પુરુષો + $4$ સ્ત્રીઓ) માંથી $5$ સભ્યો પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${}^{10}C_5 = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 252$ છે.
એક પણ સ્ત્રી ન હોય તેવી સમિતિ પસંદ કરવાની રીતો (એટલે કે,બધા $5$ સભ્યો પુરુષો હોય) ${}^{6}C_5 = 6$ છે.
ઓછામાં ઓછી એક સ્ત્રી હોય તેવી પસંદગીની રીતો = (કુલ રીતો) - (એક પણ સ્ત્રી ન હોય તેવી રીતો) = $252 - 6 = 246$.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $P = \frac{246}{252} = \frac{41}{42}$ થાય.

(C) $1, 2, 3$ અને $4$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને (પુનરાવર્તન વગર) ત્રણ અંકની સંખ્યા બનાવવાની કુલ રીતો $P(4, 3) = 4 \times 3 \times 2 = 24$ છે.
જો સંખ્યાના અંકોનો સરવાળો $3$ વડે વિભાજ્ય હોય,તો તે સંખ્યા $3$ વડે વિભાજ્ય હોય છે.
${1, 2, 3, 4}$ માંથી $3$ અંકોના એવા સમૂહ જેનો સરવાળો $3$ વડે વિભાજ્ય હોય:
$1) \{1, 2, 3\}$ (સરવાળો $= 6$,જે $3$ વડે વિભાજ્ય છે)
$2) \{2, 3, 4\}$ (સરવાળો $= 9$,જે $3$ વડે વિભાજ્ય છે)
દરેક સમૂહ માટે,$3$ અંકોને ગોઠવવાની રીતો $3! = 6$ છે.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 6 + 6 = 12$.
જરૂરી સંભાવના $= \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામો}}{\text{કુલ પરિણામો}} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$.

(B) $52$ પત્તામાંથી $3$ પત્તા પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${}^{52}C_3 = \frac{52 \times 51 \times 50}{3 \times 2 \times 1} = 22100$ છે.
$4$ રાજામાંથી $1$ રાજા,$4$ રાણીમાંથી $1$ રાણી અને $4$ ગલ્લામાંથી $1$ ગલ્લો પસંદ કરવાની રીતો ${}^4C_1 \times {}^4C_1 \times {}^4C_1 = 4 \times 4 \times 4 = 64$ છે.
માટે,જરૂરી સંભાવના $P = \frac{64}{22100}$ છે.
અંશ અને છેદને $4$ વડે ભાગતા,આપણને $P = \frac{16}{5525}$ મળે છે.

(C) '$UNIVERSITY$' શબ્દમાં $10$ અક્ષરો છે,જેમાં '$I$' બે વાર આવે છે અને બાકીના બધા અક્ષરો અલગ છે.
કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા $ = \frac{10!}{2!}$ છે.
બંને '$I$' સાથે આવે તેની સંભાવના શોધવા માટે,આપણે બંને '$I$' ને એક એકમ $(II)$ તરીકે ગણીએ છીએ. હવે આપણી પાસે ગોઠવવા માટે $9$ એકમો છે: $(U, N, V, E, R, S, T, Y, (II))$.
આ $9$ એકમોને ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $9!$ છે.
બંને '$I$' સાથે આવે તેની સંભાવના $ = \frac{9!}{\frac{10!}{2!}} = \frac{9! \times 2!}{10!} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
તેથી,બંને '$I$' સાથે ન આવે તેની સંભાવના $ = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ થાય.

(A) ધારો કે $E_i$ એ ઘટના છે કે $i^{th}$ વસ્તુ $i^{th}$ સ્થાન પર છે.
$n$ વસ્તુઓને $n$ સ્થાનો પર ગોઠવવાની કુલ રીતો $n!$ છે.
$n$ માંથી $3$ વસ્તુઓ પસંદ કરવાની રીત જે તેમના અનુરૂપ સ્થાનો પર હોય તે $\binom{n}{3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બાકીની $(n-3)$ વસ્તુઓને $(n-3)!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
તેથી, ઓછામાં ઓછી $3$ વસ્તુઓ તેમના સાચા સ્થાનો પર હોય તેવી રીતોની સંખ્યા $\binom{n}{3} \times (n-3)!$ છે.
સંભાવના $\frac{\binom{n}{3} \times (n-3)!}{n!} = \frac{n!}{3!(n-3)!} \times \frac{(n-3)!}{n!} = \frac{1}{3!} = \frac{1}{6}$ થાય છે.

(C) $6$ બાજુવાળા પાસાને $5$ વાર ફેંકતા કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6^5 = 7776$ છે.
ધારો કે $X$ એ એક ફેંકનું પરિણામ છે. શક્ય મૂલ્યો $0$ (ખાલી),$2$ અને $3$ છે.
આપણે $5$ ફેંકનો સરવાળો $12$ જોઈએ છે.
ધારો કે $n_0, n_2, n_3$ એ અનુક્રમે $0, 2, 3$ કેટલી વાર આવે છે તે દર્શાવે છે,જ્યાં $n_0 + n_2 + n_3 = 5$.
સરવાળો $0(n_0) + 2(n_2) + 3(n_3) = 12$ છે.
કિસ્સો $1$: જો $n_0 = 1$ હોય,તો $2n_2 + 3n_3 = 12$. જો $n_3 = 4$ હોય,તો $2n_2 = 0 \implies n_2 = 0$. આથી $(n_0, n_2, n_3) = (1, 0, 4)$ મળે.
રીતોની સંખ્યા $\frac{5!}{1!0!4!} = 5$ છે.
કિસ્સો $2$: જો $n_0 = 0$ હોય,તો $2n_2 + 3n_3 = 12$. જો $n_3 = 2$ હોય,તો $2n_2 = 6 \implies n_2 = 3$. આથી $(n_0, n_2, n_3) = (0, 3, 2)$ મળે.
રીતોની સંખ્યા $\frac{5!}{0!3!2!} = 10$ છે.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો = $5 + 10 = 15$.
સંભાવના = $\frac{15}{6^5} = \frac{15}{7776} = \frac{5}{2592}$.

(C) ${p_1}$ માટે: બે વ્યક્તિઓ પાસો ફેંકે છે. કુલ પરિણામો $= 6 \times 6 = 36$. સાનુકૂળ પરિણામો (સમાન મૂલ્ય) $(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)$ છે,જે $6$ પરિણામો છે. તેથી,${p_1} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
${p_2}$ માટે: ચાર વ્યક્તિઓ પાસો ફેંકે છે. કુલ પરિણામો $= 6^4 = 1296$. આપણે એવી સંભાવના શોધવાની છે કે જેમાં બરાબર ત્રણ વ્યક્તિઓને સમાન મૂલ્ય મળે.
પગલું $1$: જે મૂલ્ય ત્રણ વાર આવે તે પસંદ કરો: ${}^6C_1 = 6$ રીતે.
પગલું $2$: ચારમાંથી ત્રણ વ્યક્તિઓ પસંદ કરો જેમને આ મૂલ્ય મળે: ${}^4C_3 = 4$ રીતે.
પગલું $3$: ચોથી વ્યક્તિ માટે મૂલ્ય પસંદ કરો (પ્રથમ મૂલ્યથી અલગ હોવું જોઈએ): ${}^5C_1 = 5$ રીતે.
સાનુકૂળ પરિણામો $= 6 \times 4 \times 5 = 120$.
તેથી,${p_2} = \frac{120}{1296} = \frac{5}{54}$.
${p_1} = \frac{1}{6} = \frac{9}{54}$ અને ${p_2} = \frac{5}{54}$ ની સરખામણી કરતા,આપણને ${p_1} > {p_2}$ મળે છે.

(A) $n$ કેડેટ્સને હરોળમાં ગોઠવવાની કુલ રીતો $n!$ છે.
બે ચોક્કસ કેડેટ્સ એકબીજાની બાજુમાં હોય તેવા સાનુકૂળ કિસ્સાઓ શોધવા માટે,આપણે આ બે કેડેટ્સને એક એકમ તરીકે ગણીએ છીએ.
હવે,આપણી પાસે ગોઠવવા માટે $(n - 1)$ એકમો છે,જે $(n - 1)!$ રીતે કરી શકાય છે.
તે એક એકમની અંદર,બે ચોક્કસ કેડેટ્સને $2! = 2$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
આમ,સાનુકૂળ ગોઠવણીઓની કુલ સંખ્યા $2 \times (n - 1)!$ છે.
જરૂરી સંભાવના એ સાનુકૂળ કિસ્સાઓ અને કુલ કિસ્સાઓનો ગુણોત્તર છે:
$P = \frac{2 \times (n - 1)!}{n!} = \frac{2 \times (n - 1)!}{n \times (n - 1)!} = \frac{2}{n}$.

(A) કુલ ટિકિટોની સંખ્યા $20$ છે. $20$ માંથી $2$ ટિકિટો પસંદ કરવાની રીતો $^{20}C_2 = \frac{20 \times 19}{2 \times 1} = 190$ છે.
$1$ થી $20$ ની વચ્ચેની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19$ છે. આવી કુલ $8$ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે.
આ $8$ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓમાંથી $2$ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો $^8C_2 = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$ છે.
બંને સંખ્યાઓ અવિભાજ્ય હોય તેની સંભાવના $P = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{28}{190}$ છે.
અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $P = \frac{14}{95}$ મળે છે.

(A) દડાઓની કુલ સંખ્યા $= 6 + 5 + 4 = 15$ છે.
લાલ ન હોય તેવા દડાઓની સંખ્યા $= 5 + 4 = 9$ છે.
આપણે $9$ લાલ ન હોય તેવા દડાઓમાંથી $2$ દડા પસંદ કરવાના છે.
$15$ દડાઓમાંથી $2$ દડા પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${}^{15}C_2 = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 105$ છે.
$9$ લાલ ન હોય તેવા દડાઓમાંથી $2$ દડા પસંદ કરવાની રીતો ${}^{9}C_2 = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$ છે.
કોઈ પણ દડો લાલ ન હોય તેની સંભાવના $P = \frac{{}^{9}C_2}{{}^{15}C_2} = \frac{36}{105}$ છે.
અંશ અને છેદને $3$ વડે ભાગતા,આપણને $P = \frac{12}{35}$ મળે છે.

(B) સફેદ દડાની કુલ સંખ્યા = $3$.
કાળા દડાની કુલ સંખ્યા = $5$.
થેલીમાં દડાની કુલ સંખ્યા = $3 + 5 = 8$.
કાળો દડો પસંદ કરવાની સંભાવના એ કાળા દડાની સંખ્યા અને દડાની કુલ સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે।
સંભાવના $P(\text{કાળો}) = \frac{\text{કાળા દડાની સંખ્યા}}{\text{દડાની કુલ સંખ્યા}} = \frac{5}{8}$.

(C) નિયમિત ષટ્કોણને $6$ શિરોબિંદુઓ હોય છે. $6$ માંથી $3$ શિરોબિંદુઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો સંચયના સૂત્ર ${}^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ દ્વારા મળે છે.
કુલ ત્રિકોણ $= {}^6C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$.
નિયમિત ષટ્કોણમાં,દરેક બીજા શિરોબિંદુને જોડવાથી સમબાજુ ત્રિકોણ બને છે. આવા માત્ર $2$ ત્રિકોણ શક્ય છે (શિરોબિંદુઓ ${1, 3, 5}$ અને ${2, 4, 6}$ લઈને).
તેથી,જરૂરી સંભાવના $= \frac{\text{સમબાજુ ત્રિકોણની સંખ્યા}}{\text{કુલ ત્રિકોણની સંખ્યા}} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$.

(B) પેટીમાં કુલ ફળોની સંખ્યા 
$= 3$  (કેરી) $+ 3$ (સફરજન)
$= 6$  ફળ
આપણે $6$ માંથી $2$ ફળ પસંદ કરવાના છે. 
$2$ ફળ પસંદ કરવાની કુલ રીતો:
${}^6C_2 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$
$3$ કેરીમાંથી $1$ કેરી પસંદ કરવાની રીતો:
${}^3C_1 = 3$
$3$ સફરજનમાંથી $1$ સફરજન પસંદ કરવાની રીતો:
${}^3C_1 = 3$
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા (1 કેરી અને 1 સફરજન):
${}^3C_1 \times {}^3C_1 = 3 \times 3 = 9$
તેથી, જરૂરી સંભાવના:
$P = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામો}}{\text{કુલ પરિણામો}} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}$

(A) $25$ પુસ્તકોને ગોઠવવાની કુલ રીતો $25!$ છે.
ગણિતના $5$ ગ્રંથોને અલગ વસ્તુઓ તરીકે ગણો. $25$ પુસ્તકોની કોઈપણ યાદચ્છિક ગોઠવણીમાં,આ $5$ ગ્રંથોના સાપેક્ષ ક્રમની $5!$ શક્યતાઓ છે.
આ $5!$ શક્ય સાપેક્ષ ક્રમોમાંથી,માત્ર $1$ ક્રમ એવો છે જેમાં ગ્રંથો વધતા ક્રમમાં (ડાબેથી જમણે) હોય છે.
કારણ કે તમામ $5!$ સાપેક્ષ ક્રમો સમાન રીતે શક્ય છે,તેથી ગ્રંથો ચોક્કસ વધતા ક્રમમાં હોય તેની સંભાવના $\frac{1}{5!}$ છે.

(C) કુલ સભ્યો = $15$,બોલરો = $5$,અન્ય સભ્યો = $10$. આપણે $11$ સભ્યો એવી રીતે પસંદ કરવાના છે કે જેમાં ઓછામાં ઓછા $3$ બોલરો હોય.
$15$ માંથી $11$ સભ્યો પસંદ કરવાની કુલ રીતો = ${}^{15}C_{11} = {}^{15}C_4 = 1365$.
ઓછામાં ઓછા $3$ બોલરો પસંદ કરવાની રીતો:
કિસ્સો $1$: $3$ બોલરો અને $8$ અન્ય સભ્યો: ${}^5C_3 \times {}^{10}C_8 = 10 \times 45 = 450$.
કિસ્સો $2$: $4$ બોલરો અને $7$ અન્ય સભ્યો: ${}^5C_4 \times {}^{10}C_7 = 5 \times 120 = 600$.
કિસ્સો $3$: $5$ બોલરો અને $6$ અન્ય સભ્યો: ${}^5C_5 \times {}^{10}C_6 = 1 \times 210 = 210$.
કુલ સાનુકૂળ રીતો = $450 + 600 + 210 = 1260$.
સંભાવના = $\frac{1260}{1365} = \frac{12}{13}$.

(B) ${P_1}$ માટે: કુલ દડા = $13 + 14 + 15 = 42$. આપણે $4$ દડા પસંદ કરીએ છીએ. બરાબર $2$ કાળા દડા મળવાની સંભાવના હાઇપરજ્યોમેટ્રિક વિતરણ દ્વારા મળે છે:
${P_1} = \frac{{{}^{15}{C_2} \times {}^{27}{C_2}}}{{{}^{42}{C_4}}} = \frac{105 \times 351}{111930} = \frac{36855}{111930} \approx 0.3292$.
${P_2}$ માટે: દડાની સંખ્યા બમણી કરવામાં આવે છે. કુલ દડા = $26 + 28 + 30 = 84$. આપણે $8$ દડા પસંદ કરીએ છીએ. બરાબર $4$ કાળા દડા મળવાની સંભાવના:
${P_2} = \frac{{{}^{30}{C_4} \times {}^{54}{C_4}}}{{{}^{84}{C_8}}}$.
હાઇપરજ્યોમેટ્રિક વિતરણના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,જેમ વસ્તીનું કદ $N$ અને નમૂનાનું કદ $n$ એ $k=2$ ના ગુણાંકમાં વધે છે,તેમ સફળતાની પ્રમાણસર સંખ્યા $(k \times r)$ મેળવવાની સંભાવના સામાન્ય રીતે ઘટે છે. ગણતરી કરતા,આપણને ${P_1} \approx 0.329$ અને ${P_2} \approx 0.273$ મળે છે.
તેથી,${P_1} > {P_2}$.

(B) $m$ રૂપિયાના સિક્કા અને $n$ દસ પૈસાના સિક્કાને એક હારમાં ગોઠવવાની કુલ રીતો $\frac{(m+n)!}{m!n!}$ છે.
જો બંને છેડા પર દસ પૈસાના સિક્કા હોય,તો આપણે બે દસ પૈસાના સિક્કાને છેડા પર નિશ્ચિત કરીએ છીએ. બાકી રહેલા $(m+n-2)$ સિક્કાઓમાં $m$ રૂપિયાના સિક્કા અને $(n-2)$ દસ પૈસાના સિક્કા છે.
આ બાકીના સિક્કાઓને ગોઠવવાની રીતો $\frac{(m+n-2)!}{m!(n-2)!}$ છે.
માટે,જરૂરી સંભાવના એ સાનુકૂળ પરિણામો અને કુલ પરિણામોનો ગુણોત્તર છે:
$P = \frac{\frac{(m+n-2)!}{m!(n-2)!}}{\frac{(m+n)!}{m!n!}}$
$P = \frac{(m+n-2)!}{m!(n-2)!} \times \frac{m!n!}{(m+n)!}$
$P = \frac{n(n-1)}{(m+n)(m+n-1)}$.

(C) $n$ ઘટકો ધરાવતા ગણ $A$ થી તે જ ગણ પરના કુલ વિધેયોની સંખ્યા $n^n$ છે.
સીમિત ગણ $A$ થી તે જ ગણ પરનું એક-એક વિધેય (injection) હંમેશા વ્યાપ્ત વિધેય (bijection) પણ હોય છે.
$n$ ઘટકો ધરાવતા ગણના કુલ વ્યાપ્ત વિધેયો (ક્રમચયો) ની સંખ્યા $n!$ છે.
તેથી,યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરેલ વિધેય એક-એક હોવાની સંભાવના એ વ્યાપ્ત વિધેયોની સંખ્યા અને કુલ વિધેયોની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે:
$P = \frac{n!}{n^n} = \frac{n \times (n-1)!}{n \times n^{n-1}} = \frac{(n-1)!}{n^{n-1}}$.

(A) પેન્સિલની કુલ સંખ્યા = $12 + 6 + 2 = 20$.
સારી (ખામી રહિત) પેન્સિલની સંખ્યા = $12$.
ખામી રહિત પેન્સિલ પસંદ કરવાની સંભાવના = $\frac{\text{સારી પેન્સિલની સંખ્યા}}{\text{પેન્સિલની કુલ સંખ્યા}}$.
સંભાવના = $\frac{12}{20} = \frac{3}{5}$.

(C) કુલ કેરીઓ $= 10$. સારી કેરીઓ $= 6$. બગડેલી કેરીઓ $= 4$.
ધારો કે $G_1$ એ પ્રથમ કેરી સારી હોવાની ઘટના છે અને $G_2$ એ બીજી કેરી સારી હોવાની ઘટના છે.
આપણને આપેલ છે કે ઓછામાં ઓછી એક કેરી સારી છે. ધારો કે $A$ એ ઓછામાં ઓછી એક કેરી સારી હોવાની ઘટના છે.
$10$ માંથી $2$ કેરી પસંદ કરવાની કુલ રીતો $= ^{10}C_2 = \frac{10 \times 9}{2} = 45$.
$2$ બગડેલી કેરી પસંદ કરવાની રીતો $= ^4C_2 = 6$.
ઓછામાં ઓછી એક સારી કેરી પસંદ કરવાની રીતો $= 45 - 6 = 39$.
$2$ સારી કેરી પસંદ કરવાની રીતો $= ^6C_2 = 15$.
જો ઓછામાં ઓછી એક સારી હોય,તો બંને સારી હોવાની સંભાવના $\frac{15}{39} = \frac{5}{13}$ થાય.

(A) $13$ માંથી $2$ વ્યક્તિઓને પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${}^{13}C_2 = \frac{13 \times 12}{2 \times 1} = 78$ છે.
આપણે એવી સંભાવના શોધી રહ્યા છીએ કે જેમાં ઓછામાં ઓછી એક મહિલા પસંદ થાય.
આ બે રીતે થઈ શકે છે: $1$ મહિલા અને $1$ પુરુષની પસંદગી,અથવા $2$ મહિલાઓની પસંદગી.
$1$ મહિલા અને $1$ પુરુષને પસંદ કરવાની રીતો = ${}^5C_1 \times {}^8C_1 = 5 \times 8 = 40$.
$2$ મહિલાઓને પસંદ કરવાની રીતો = ${}^5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો = $40 + 10 = 50$.
સંભાવના = $\frac{50}{78} = \frac{25}{39}$.