Probability Questions in Gujarati

(C) જ્યારે ત્રણ નિષ્પક્ષ સિક્કા ઉછાળવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ નિદર્શાવકાશ $S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$ છે.
શરત મુજબ છાપ અને કાંટા બંને મળે છે,તેથી આપણે $HHH$ અને $TTT$ ને બાકાત રાખીએ છીએ.
આમ,ઘટાડેલો નિદર્શાવકાશ $S' = \{HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH\}$ છે,જ્યાં $n(S') = 6$.
આપણે બરાબર એક છાપ મળે તેની સંભાવના શોધવી છે. સાનુકૂળ પરિણામો $E = \{HTT, THT, TTH\}$ છે,જ્યાં $n(E) = 3$.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $P = \frac{n(E)}{n(S')} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ છે.

(D) થેલીમાં રહેલા કુલ દડાની સંખ્યા $= 4 + 5 + 6 = 15$ છે.
સફેદ દડાની સંખ્યા $= 4$ છે.
લાલ દડાની સંખ્યા $= 6$ છે.
સફેદ દડો અને લાલ દડો પસંદ કરવાની ઘટનાઓ પરસ્પર નિવારક હોવાથી,સફેદ અથવા લાલ દડો પસંદ કરવાની સંભાવના તેમની વ્યક્તિગત સંભાવનાઓનો સરવાળો થશે.
સફેદ દડો પસંદ કરવાની સંભાવના $P(W) = \frac{4}{15}$ છે.
લાલ દડો પસંદ કરવાની સંભાવના $P(R) = \frac{6}{15}$ છે.
સંભાવના (સફેદ અથવા લાલ) $= P(W) + P(R) = \frac{4}{15} + \frac{6}{15} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$.

(B) તાશના પેકેટમાં કુલ પત્તાની સંખ્યા = $52$ છે.
લાલના પત્તાની સંખ્યા = $13$ છે.
રાજા (king) ના પત્તાની સંખ્યા = $4$ છે.
એક રાજા લાલનો પણ હોય છે,તેથી લાલ અથવા રાજા હોય તેવા પત્તાની કુલ સંખ્યા = $13 + 4 - 1 = 16$ થાય.
જે પત્તું લાલ પણ ન હોય અને રાજા પણ ન હોય તેવા પત્તાની સંખ્યા = $52 - 16 = 36$ થાય.
માટે,જરૂરી સંભાવના = $\frac{36}{52} = \frac{9}{13}$ થાય.

(A) જ્યારે બે પાસાઓ ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક પાસા પરના અંકો $1$ થી $6$ ની વચ્ચે હોય છે.
બે પાસાઓ પરના અંકોનો મહત્તમ શક્ય સરવાળો $6 + 6 = 12$ થાય છે.
અહીં $13$ એ મહત્તમ શક્ય સરવાળા $12$ કરતા વધારે હોવાથી,$13$ સરવાળો મેળવવો અશક્ય છે.
તેથી,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $0$ છે.
સંભાવનાનું સૂત્ર: $P(E) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા}}$.
$P(13) = \frac{0}{36} = 0$.

(C) જ્યારે ત્રણ પાસા એકસાથે ફેંકવામાં આવે ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 \times 6 = 216$ છે.
$17$ નો સરવાળો નીચેની રીતે મેળવી શકાય છે: $(5, 6, 6), (6, 5, 6), (6, 6, 5)$. આવા $3$ પરિણામો છે.
$18$ નો સરવાળો નીચેની રીતે મેળવી શકાય છે: $(6, 6, 6)$. આવું $1$ પરિણામ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની કુલ સંખ્યા $3 + 1 = 4$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{4}{216} = \frac{1}{54}$ છે.

(D) પેટીમાં રહેલી વસ્તુઓની કુલ સંખ્યા $= 10 + 6 = 16$ છે.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે પસંદ કરેલી વસ્તુ કાં તો સારી છે અથવા ખામીયુક્ત છે.
પેટીમાંની દરેક વસ્તુ કાં તો સારી છે અથવા ખામીયુક્ત છે,તેથી ઘટના $E$ એ ચોક્કસ ઘટના (નિદર્શાવકાશ) છે.
તેથી,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= 16$ છે.
સંભાવના $P(E) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{16}{16} = 1$.

(B) અશક્ય ઘટના એટલે એવી ઘટના જે યાદચ્છિક પ્રયોગના કોઈપણ પ્રયત્નમાં બની શકતી નથી.
વ્યાખ્યા મુજબ,અશક્ય ઘટનાની સંભાવના હંમેશા $0$ હોય છે.
તેથી,$P(\phi) = 0$.

(C) જ્યારે છાપ મળે અથવા $5$ વખત સિક્કો ઉછાળવામાં આવે ત્યારે પ્રયોગ અટકી જાય છે.
આપેલ છે કે પ્રથમ બે ઉછાળમાં છાપ મળતી નથી,એટલે કે આપણે $TT$ (કાંટો,કાંટો) અવલોકન કર્યું છે.
સિક્કો $5$ વખત ઉછાળવામાં આવે તે માટે,ત્રીજા ઉછાળમાં છાપ ન મળવી જોઈએ અને ચોથા ઉછાળમાં પણ છાપ ન મળવી જોઈએ.
જો ત્રીજા કે ચોથા ઉછાળમાં છાપ મળે,તો પ્રયોગ વહેલો અટકી જશે.
તેથી,ત્રીજા અને ચોથા ઉછાળ માટેના પરિણામો $T$ અને $T$ હોવા જોઈએ.
કોઈપણ એક ઉછાળમાં કાંટો મળવાની સંભાવના $1/2$ છે.
આમ,પ્રથમ બે ઉછાળમાં કાંટો મળ્યો હોય તે શરતે સિક્કો $5$ વખત ઉછાળવામાં આવે તેની સંભાવના $P(T_3) \cdot P(T_4) = (1/2) \cdot (1/2) = 1/4$ છે.

(B) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે શક્ય પરિણામોની કુલ સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
સરવાળો $2$ થી $12$ ની વચ્ચે હોઈ શકે છે. આ શ્રેણીમાં અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $\{2, 3, 5, 7, 11\}$ છે.
હવે,દરેક અવિભાજ્ય સરવાળા માટે પરિણામોની સંખ્યા ગણીએ:
- સરવાળો $= 2$: $(1, 1)$ $\rightarrow 1$ પરિણામ
- સરવાળો $= 3$: $(1, 2), (2, 1)$ $\rightarrow 2$ પરિણામો
- સરવાળો $= 5$: $(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)$ $\rightarrow 4$ પરિણામો
- સરવાળો $= 7$: $(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)$ $\rightarrow 6$ પરિણામો
- સરવાળો $= 11$: $(5, 6), (6, 5)$ $\rightarrow 2$ પરિણામો
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 1 + 2 + 4 + 6 + 2 = 15$.
તેથી,સંભાવના $= \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$ થાય.

(A) ધારો કે $A$,$B$,અને $C$ એ ત્રણ વ્યક્તિઓ દ્વારા સ્વતંત્ર રીતે સમસ્યા ઉકેલવાની ઘટનાઓ છે.
આપેલ સંભાવનાઓ $P(A) = \frac{1}{3}$,$P(B) = \frac{1}{4}$,અને $P(C) = \frac{1}{5}$ છે.
તેઓ સમસ્યા ઉકેલી ન શકે તેની સંભાવના $P(A') = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$,$P(B') = 1 - P(B) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$,અને $P(C') = 1 - P(C) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ છે.
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,કોઈ પણ સમસ્યા ઉકેલી ન શકે તેની સંભાવના $P(A' \cap B' \cap C') = P(A') \times P(B') \times P(C')$ થશે.
$P(A' \cap B' \cap C') = \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \frac{4}{5} = \frac{2}{5}$.

(B) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
જે પરિણામોમાં અંકોનો સરવાળો $7$ થાય છે તે આ મુજબ છે: $(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)$.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $6$ છે.
સંભાવના $P$ એ સાનુકૂળ પરિણામો અને કુલ પરિણામોના ગુણોત્તર દ્વારા મળે છે:
$P = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામો}}{\text{કુલ પરિણામો}} = \frac{6}{36}$.

(D) ધારો કે $P(\bar{A})$ એ ઘટના ન બનવાની સંભાવના છે અને $P(A)$ એ ઘટના બનવાની સંભાવના છે.
આપેલ છે કે $P(\bar{A}) = 0.05$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A) + P(\bar{A}) = 1$,તેથી $P(A) = 1 - 0.05 = 0.95$.
ઘટના $4$ ક્રમિક પ્રસંગોએ બને તેની સંભાવના $(P(A))^4$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$(0.95)^4 = 0.95 \times 0.95 \times 0.95 \times 0.95 = 0.81450625$.

(B) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
આપણે ઓછામાં ઓછા $9$ સરવાળો મળે તેની સંભાવના શોધવાની છે,જેનો અર્થ છે કે સરવાળો $9, 10, 11$ અથવા $12$ હોઈ શકે છે.
સાનુકૂળ પરિણામો નીચે મુજબ છે:
- સરવાળો $= 9$: $(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)$ ($4$ પરિણામો)
- સરવાળો $= 10$: $(4,6), (5,5), (6,4)$ ($3$ પરિણામો)
- સરવાળો $= 11$: $(5,6), (6,5)$ ($2$ પરિણામો)
- સરવાળો $= 12$: $(6,6)$ ($1$ પરિણામ)
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 4 + 3 + 2 + 1 = 10$.
જરૂરી સંભાવના $= \frac{\text{કુલ સાનુકૂળ પરિણામો}}{\text{કુલ શક્ય પરિણામો}} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$.

(B) $POSSESSIVE$ શબ્દમાં નીચે મુજબના અક્ષરો છે: $P, O, S, S, E, S, S, I, V, E$.
શબ્દમાં કુલ અક્ષરોની સંખ્યા = $10$.
અક્ષરો છે: $P, O, S, S, E, S, S, I, V, E$.
શબ્દમાં $S$ અક્ષર કેટલી વાર આવે છે = $4$.
$S$ અક્ષર પસંદ કરવાની સંભાવના એ સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા અને કુલ પરિણામોની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે.
સંભાવના $P(S) = \frac{\text{S ની સંખ્યા}}{\text{કુલ અક્ષરોની સંખ્યા}} = \frac{4}{10}$.

(B) જ્યારે ત્રણ પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 \times 6 = 216$ છે.
દરેક પાસા પર સમાન સંખ્યા આવે તેવા સાનુકૂળ પરિણામો આ મુજબ છે: $(1, 1, 1), (2, 2, 2), (3, 3, 3), (4, 4, 4), (5, 5, 5), (6, 6, 6)$.
આવા કુલ $6$ સાનુકૂળ પરિણામો છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના = $\frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{6}{216} = \frac{1}{36}$.

(B) કોઈ ઘટના ન બને તેની સંભાવના પૂરક ઘટનાના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $P(\text{not } A) = P(\bar{A}) = 1 - P(A)$.
અહીં આપેલ છે કે $P(A) = 0.38$,તેથી આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$P(\bar{A}) = 1 - 0.38 = 0.62$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) ધારો કે $P(A)$ એ એથ્લેટ $A$ દ્વારા રેસ જીતવાની સંભાવના છે,તેથી $P(A) = \frac{1}{5}$.
ધારો કે $P(B)$ એ એથ્લેટ $B$ દ્વારા રેસ જીતવાની સંભાવના છે,તેથી $P(B) = \frac{1}{4}$.
એથ્લેટ $A$ ન જીતે તેની સંભાવના $P(A') = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ છે.
એથ્લેટ $B$ ન જીતે તેની સંભાવના $P(B') = 1 - P(B) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ છે.
કારણ કે જીતવાની ઘટનાઓ સ્વતંત્ર છે,તેથી તે બંનેમાંથી કોઈ પણ ન જીતે તેની સંભાવના $P(A' \cap B') = P(A') \times P(B') = \frac{4}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{5}$ થાય.

(B) જ્યારે ત્રણ સિક્કા ઉછાળવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $2^3 = 8$ છે.
નિદર્શાવકાશ $S = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$ છે.
આપણે એવા પરિણામો શોધી રહ્યા છીએ જેમાં છાપ અને કાંટો વારાફરતી આવે.
સાનુકૂળ પરિણામો $HTH$ અને $THT$ છે.
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $2$ છે.
સંભાવનાની ગણતરી $\frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ તરીકે કરવામાં આવે છે.

(A) બે ઘટનાઓ $A$ અને $B$ ને પરસ્પર નિવારક કહેવાય છે જો તેઓ એકસાથે ન બની શકે,એટલે કે $A \cap B = \emptyset$.
કોઈપણ બે ઘટનાઓ $A$ અને $B$ માટે,સંભાવનાનો સરવાળાનો નિયમ $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ છે.
કારણ કે $A$ અને $B$ પરસ્પર નિવારક છે,તેથી $P(A \cap B) = 0$.
તેથી,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - 0 = P(A) + P(B)$.

(A) ચોક્કસ ઘટના એટલે એવી ઘટના જે ચોક્કસપણે બનવાની જ છે. ચોક્કસ ઘટનાની સંભાવના $P(A) = 1$ થાય છે.
ઘટના $A$ ની પૂરક ઘટના,જેને $A^c$ અથવા $A$ નહીં તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,તે ઘટના $A$ ન બનવાની સ્થિતિ દર્શાવે છે.
પૂરક ઘટનાઓના ગુણધર્મ મુજબ,$P(A^c) = 1 - P(A)$ થાય.
$P(A)$ નું મૂલ્ય મૂકતા,આપણને $P(A^c) = 1 - 1 = 0$ મળે છે.
તેથી,ચોક્કસ ઘટનાની પૂરક ઘટનાની સંભાવના $0$ છે.

(D) પ્રથમ દસ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ છે.
કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 10$ છે.
આપણે એવી સંખ્યાઓ શોધવાની છે જે એકી અને પૂર્ણ વર્ગ બંને હોય.
આ ગણમાં પૂર્ણ વર્ગ સંખ્યાઓ $1, 4, 9$ છે.
તેમાંથી એકી સંખ્યાઓ $1$ અને $9$ છે.
તેથી,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 2$ છે.
સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$ થાય.

(D) ધારો કે $S$ એ પ્રથમ $100$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ છે,તેથી $n(S) = 100$.
ધારો કે $A$ એ સંખ્યા બેકી હોવાની ઘટના છે. બેકી સંખ્યાઓ $2, 4, 6, \dots, 100$ છે. તેથી,$n(A) = 50$.
ધારો કે $B$ એ સંખ્યા $5$ વડે વિભાજ્ય હોવાની ઘટના છે. $5$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓ $5, 10, 15, \dots, 100$ છે. તેથી,$n(B) = 20$.
છેદગણ $A \cap B$ એ એવી સંખ્યાઓ દર્શાવે છે જે બેકી પણ છે અને $5$ વડે વિભાજ્ય પણ છે,જેનો અર્થ છે કે તે $10$ વડે વિભાજ્ય છે. આ સંખ્યાઓ $10, 20, 30, \dots, 100$ છે. તેથી,$n(A \cap B) = 10$.
ઘટનાઓના સરવાળાના નિયમ મુજબ,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 50 + 20 - 10 = 60$ છે.
સંભાવના $P(A \cup B) = \frac{n(A \cup B)}{n(S)} = \frac{60}{100} = \frac{3}{5}$ છે.

(D) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $36$ છે.
આપેલ છે કે પ્રથમ પાસા પર $5$ આવે છે,તેથી શક્ય પરિણામો $(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)$ છે.
આવા કુલ $6$ પરિણામો છે.
આપણે અંકોનો સરવાળો $8$ અથવા $8$ થી વધુ હોય તેવા પરિણામો જોઈએ છે.
આ શરતનું પાલન કરતા પરિણામો $(5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)$ છે.
આવા કુલ $4$ પરિણામો છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ છે.

(A) પત્તાની એક પ્રમાણિત જોડમાં કુલ $52$ પત્તા હોય છે.
ડેકમાં $4$ એક્કા અને $4$ રાજા હોય છે.
એક્કો અથવા રાજા હોય તેવા કુલ પત્તાની સંખ્યા $4 + 4 = 8$ છે.
એક્કો પણ ન હોય અને રાજા પણ ન હોય તેવા પત્તાની સંખ્યા $52 - 8 = 44$ છે.
એક્કો કે રાજા ન હોય તેવું પત્તું ખેંચવાની સંભાવના એ સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા અને કુલ પરિણામોની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે.
સંભાવના $P = \frac{44}{52}$.
અંશ અને છેદને $4$ વડે ભાગતા,આપણને $P = \frac{11}{13}$ મળે છે.

(C) $4$ પત્રોને $4$ પરબિડીયાઓમાં ગોઠવવાની કુલ રીતો $4! = 24$ છે.
બધા જ પત્રો તેમના સાચા પરબિડીયામાં જાય તેવી રીતોની સંખ્યા $1$ છે.
બધા જ પત્રો તેમના સાચા પરબિડીયામાં જાય તેની સંભાવના $P(\text{correct}) = \frac{1}{4!} = \frac{1}{24}$ છે.
કોઈ પણ પત્ર તેના સાચા પરબિડીયામાં ન જાય (derangement) તેની સંભાવના $1 - P(\text{correct})$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $1 - \frac{1}{24} = \frac{23}{24}$ છે.

(A) $n$ પત્રોને $n$ પરબીડિયામાં મૂકવાની કુલ રીતો $n!$ છે.
માત્ર એક જ ચોક્કસ ગોઠવણી એવી છે જેમાં દરેક પત્ર તેના સાચા પરબીડિયામાં હોય.
તેથી,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $1$ છે.
સંભાવના $P$ એ સાનુકૂળ પરિણામો અને કુલ પરિણામોના ગુણોત્તર દ્વારા મળે છે:
$P = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{1}{n!}$.

(B) છોકરો જન્મવાની સંભાવના $P(B) = \frac{1}{2}$ છે અને છોકરી જન્મવાની સંભાવના $P(G) = \frac{1}{2}$ છે.
$4$ બાળકોના પરિવારમાં કુલ શક્યતાઓ $2^4 = 16$ છે.
'ઓછામાં ઓછી એક છોકરી' હોવાની ઘટના એ 'એક પણ છોકરી ન હોય' (એટલે કે બધા છોકરા હોય) તેવી ઘટનાની પૂરક ઘટના છે.
એક પણ છોકરી ન હોય તેની સંભાવના $P(\text{બધા છોકરા}) = (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$ છે.
તેથી,ઓછામાં ઓછી એક છોકરી હોવાની સંભાવના $1 - P(\text{બધા છોકરા}) = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$ થાય.

(B) $2$ ક્રમનો નિશ્ચાયક $\Delta = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$ સ્વરૂપનો હોય છે.
દરેક ઘટક $a, b, c, d$ ને $2$ રીતે પસંદ કરી શકાય છે ($0$ અથવા $1$).
કુલ શક્ય નિશ્ચાયકોની સંખ્યા = $2^4 = 16$.
નિશ્ચાયક $\Delta$ શૂન્યતર હોય જો $ad - bc \neq 0$,એટલે કે $ad \neq bc$.
$a, b, c, d \in \{0, 1\}$ હોવાથી,$ad$ અને $bc$ ની શક્ય કિંમતો $0$ અથવા $1$ છે.
$ad - bc = 0$ ત્યારે થાય જ્યારે $ad = bc$. આ નીચેના કિસ્સાઓમાં થાય છે:
$1$. $ad = 0$ અને $bc = 0$: $ad=0$ એ $3$ રીતે થાય $((0,0), (0,1), (1,0))$,અને $bc=0$ એ $3$ રીતે થાય. કુલ રીતો = $3 \times 3 = 9$.
$2$. $ad = 1$ અને $bc = 1$: $ad=1$ એ $1$ રીતે થાય $((1,1))$,અને $bc=1$ એ $1$ રીતે થાય. કુલ રીતો = $1 \times 1 = 1$.
$\Delta = 0$ હોય તેવા કુલ કિસ્સાઓ $9 + 1 = 10$ છે.
$\Delta \neq 0$ હોય તેવા કુલ કિસ્સાઓ $16 - 10 = 6$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના = $\frac{6}{16} = \frac{3}{8}$.

(C) વ્યાખ્યા મુજબ,બે ઘટનાઓ $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર છે જો $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ હોય.
ઘટના $A$ પોતાની જાતથી સ્વતંત્ર હોય તે માટે,આપણી પાસે $P(A \cap A) = P(A) \cdot P(A)$ હોવું જોઈએ.
કારણ કે $A \cap A = A$ થાય છે,તેથી સમીકરણ $P(A) = P(A)^2$ બને છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $P(A)^2 - P(A) = 0$ મળે છે.
પદાવલિના અવયવ પાડતા,આપણને $P(A)(P(A) - 1) = 0$ મળે છે.
તેથી,$P(A) = 0$ અથવા $P(A) = 1$ થાય.

(B) $000$ થી $999$ સુધીના કુલ શક્ય કોડની સંખ્યા $1000$ છે.
ધારો કે $E_i$ એ $i^{th}$ પ્રયત્નમાં અજાણી વ્યક્તિ નિષ્ફળ જાય તે ઘટના છે.
પ્રથમ પ્રયત્નમાં નિષ્ફળ જવાની સંભાવના $P(E_1) = \frac{999}{1000}$ છે.
જો અજાણી વ્યક્તિ પ્રથમ પ્રયત્નમાં નિષ્ફળ જાય,તો $999$ કોડ બાકી રહે છે,જેમાંથી $998$ ખોટા છે. તેથી,પ્રથમ પ્રયત્નમાં નિષ્ફળતા પછી બીજા પ્રયત્નમાં નિષ્ફળ જવાની સંભાવના $P(E_2|E_1) = \frac{998}{999}$ છે.
$k^{th}$ પ્રયત્નમાં સફળ થવા માટે,તેણે પ્રથમ $(k-1)$ પ્રયત્નોમાં નિષ્ફળ જવું પડે અને પછી $k^{th}$ પ્રયત્નમાં સફળ થવું પડે.
પ્રથમ $(k-1)$ પ્રયત્નોમાં નિષ્ફળ જવાની સંભાવના $P(E_1 \cap E_2 \cap ... \cap E_{k-1}) = \frac{999}{1000} \times \frac{998}{999} \times ... \times \frac{1000-(k-1)}{1000-(k-2)} = \frac{1000-k+1}{1000}$ છે.
આપેલ છે કે અજાણી વ્યક્તિ $(k-1)$ વાર નિષ્ફળ ગઈ છે,તેથી $1000-(k-1) = 1001-k$ કોડ બાકી રહે છે,જેમાંથી એક સાચો કોડ છે.
અગાઉના $(k-1)$ પ્રયત્નોમાં નિષ્ફળતા પછી $k^{th}$ પ્રયત્નમાં સફળ થવાની સંભાવના $\frac{1}{1001-k}$ છે.
તેથી,$k^{th}$ પ્રયત્નમાં સફળતાની સંભાવના $\frac{1000-k+1}{1000} \times \frac{1}{1001-k} = \frac{1}{1000}$ છે.

(B) ત્રણ પાસા ફેંકતી વખતે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6^3 = 216$ છે.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે ઓછામાં ઓછા એક પાસા પર $1$ આવે છે.
પૂરક ઘટના $E'$ ની સંભાવના ગણવી સરળ છે,જે ઘટના છે કે કોઈ પણ પાસા પર $1$ ન આવે.
એક પાસા માટે,$1$ ન આવવાની સંભાવના $\frac{5}{6}$ છે.
ત્રણેય પાસા સ્વતંત્ર હોવાથી,ત્રણેય પાસા પર $1$ ન આવે તેની સંભાવના $\left( \frac{5}{6} \right)^3 = \frac{125}{216}$ છે.
તેથી,ઘટના $E$ ની સંભાવના $P(E) = 1 - P(E') = 1 - \frac{125}{216} = \frac{216 - 125}{216} = \frac{91}{216}$ થાય.

(A) સારી રીતે ચીપેલા પેકમાં કુલ પત્તાંની સંખ્યા = $52$ છે.
ડેકમાં ફક્ત એક 'લાલનો એક્કો' (two of hearts) અને એક 'ચોકટનો એક્કો' (two of diamonds) હોય છે.
તેથી,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા = $1 + 1 = 2$ થાય.
કોઈપણ ઘટનાની સંભાવના એ સાનુકૂળ પરિણામો અને કુલ શક્ય પરિણામોનો ગુણોત્તર છે.
સંભાવના = $\frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{2}{52} = \frac{1}{26}$.

(B) ધારો કે $H$ એ પતિની પસંદગી થવાની ઘટના છે અને $W$ એ પત્નીની પસંદગી થવાની ઘટના છે.
આપેલ છે: $P(H) = \frac{1}{7}$ અને $P(W) = \frac{1}{5}$.
પતિની પસંદગી ન થાય તેની સંભાવના: $P(H') = 1 - \frac{1}{7} = \frac{6}{7}$.
પત્નીની પસંદગી ન થાય તેની સંભાવના: $P(W') = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$.
માત્ર એકની જ પસંદગી થાય તે માટેની શરત: (પતિની પસંદગી થાય અને પત્નીની ન થાય) અથવા (પત્નીની પસંદગી થાય અને પતિની ન થાય).
સંભાવના = $P(H) \times P(W') + P(W) \times P(H')$.
સંભાવના = $(\frac{1}{7} \times \frac{4}{5}) + (\frac{1}{5} \times \frac{6}{7})$.
સંભાવના = $\frac{4}{35} + \frac{6}{35} = \frac{10}{35} = \frac{2}{7}$.

(A) દડાઓની કુલ સંખ્યા $= 5 + 7 + 8 = 20$.
આપણે બદલ્યા વગર એક પછી એક $4$ સફેદ દડા કાઢવાના છે.
પ્રથમ સફેદ દડો કાઢવાની સંભાવના $\frac{5}{20}$ છે.
દડો પાછો મૂકવામાં આવતો ન હોવાથી,સફેદ દડાની સંખ્યા $4$ અને કુલ દડાની સંખ્યા $19$ થાય છે. બીજા સફેદ દડાને કાઢવાની સંભાવના $\frac{4}{19}$ છે.
તે જ રીતે,ત્રીજા સફેદ દડાને કાઢવાની સંભાવના $\frac{3}{18}$ છે અને ચોથા સફેદ દડાને કાઢવાની સંભાવના $\frac{2}{17}$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{5}{20} \times \frac{4}{19} \times \frac{3}{18} \times \frac{2}{17} = \frac{1}{4} \times \frac{4}{19} \times \frac{1}{6} \times \frac{2}{17} = \frac{1}{19} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{17} = \frac{1}{969}$ થાય છે.

(B) ધારો કે $P(A) = p_1 = \frac{1}{3}$,$P(B) = p_2 = \frac{2}{7}$,અને $P(C) = p_3 = \frac{3}{8}$ છે.
તેથી સમસ્યા ન ઉકેલવાની સંભાવનાઓ $q_1 = 1 - p_1 = \frac{2}{3}$,$q_2 = 1 - p_2 = \frac{5}{7}$,અને $q_3 = 1 - p_3 = \frac{5}{8}$ થશે.
બરાબર એક વ્યક્તિ સમસ્યા ઉકેલે તેની શરત: ($A$ ઉકેલે અને $B, C$ ન ઉકેલે) અથવા ($B$ ઉકેલે અને $A, C$ ન ઉકેલે) અથવા ($C$ ઉકેલે અને $A, B$ ન ઉકેલે).
જરૂરી સંભાવના $= p_1 q_2 q_3 + q_1 p_2 q_3 + q_1 q_2 p_3$.
$= (\frac{1}{3} \times \frac{5}{7} \times \frac{5}{8}) + (\frac{2}{3} \times \frac{2}{7} \times \frac{5}{8}) + (\frac{2}{3} \times \frac{5}{7} \times \frac{3}{8})$.
$= \frac{25}{168} + \frac{20}{168} + \frac{30}{168} = \frac{75}{168}$.
$3$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{25}{56}$ મળે છે.

(A) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
ધારો કે $E_1$ એ સરવાળો $7$ મેળવવાની ઘટના છે. સાનુકૂળ પરિણામો છે: $(6, 1), (5, 2), (4, 3), (3, 4), (2, 5), (1, 6)$. પરિણામોની સંખ્યા $6$ છે.
ધારો કે $E_2$ એ સરવાળો $9$ મેળવવાની ઘટના છે. સાનુકૂળ પરિણામો છે: $(6, 3), (5, 4), (4, 5), (3, 6)$. પરિણામોની સંખ્યા $4$ છે.
આ ઘટનાઓ પરસ્પર નિવારક હોવાથી,કુલ સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $6 + 4 = 10$ થાય.
જરૂરી સંભાવના $P = \frac{\text{કુલ સાનુકૂળ પરિણામો}}{\text{કુલ શક્ય પરિણામો}} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$ છે.

(D) કુલ ટિકિટોની સંખ્યા $19$ છે ($1$ થી $19$ નંબર).
$1$ થી $19$ ની વચ્ચેની બેકી સંખ્યાઓ $2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18$ છે. આમ,કુલ $9$ બેકી સંખ્યાઓ છે.
પ્રથમ પ્રયત્નમાં બેકી સંખ્યા મેળવવાની સંભાવના $P(E_1) = \frac{9}{19}$ છે.
ટિકિટ પાછી મૂક્યા વગર કાઢવામાં આવતી હોવાથી,હવે થેલીમાં $18$ ટિકિટો બાકી રહે છે,જેમાંથી $8$ બેકી સંખ્યાઓ છે.
બીજા પ્રયત્નમાં બેકી સંખ્યા મેળવવાની સંભાવના,જો પ્રથમ ટિકિટ બેકી હોય,તો $P(E_2|E_1) = \frac{8}{18}$ થાય.
બંને ટિકિટો પર બેકી સંખ્યા હોય તેની સંભાવના $P(E_1 \cap E_2) = P(E_1) \times P(E_2|E_1) = \frac{9}{19} \times \frac{8}{18} = \frac{9}{19} \times \frac{4}{9} = \frac{4}{19}$ છે.

(A) ધારો કે $P(A) = \frac{1}{2}$,$P(B) = \frac{1}{3}$,અને $P(C) = \frac{1}{4}$ એ ત્રણ નિશાનબાજો દ્વારા લક્ષ્યને વીંધવાની સંભાવનાઓ છે.
તેથી,લક્ષ્ય ચૂકી જવાની સંભાવનાઓ $P(\bar{A}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$,$P(\bar{B}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$,અને $P(\bar{C}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ છે.
માત્ર એક જ વ્યક્તિ લક્ષ્યને વીંધે તે ઘટના ત્રણ પરસ્પર નિવારક રીતે બની શકે છે: ($A$ વીંધે,$B$ ચૂકે,$C$ ચૂકે) અથવા ($A$ ચૂકે,$B$ વીંધે,$C$ ચૂકે) અથવા ($A$ ચૂકે,$B$ ચૂકે,$C$ વીંધે).
જરૂરી સંભાવના $= P(A)P(\bar{B})P(\bar{C}) + P(\bar{A})P(B)P(\bar{C}) + P(\bar{A})P(\bar{B})P(C)$
$= (\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4}) + (\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \frac{3}{4}) + (\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{4})$
$= \frac{6}{24} + \frac{3}{24} + \frac{2}{24} = \frac{11}{24}$.

(A) $2$ કક્ષાનો નિશ્ચાયક $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દરેક ઘટક $0$ અથવા $1$ હોઈ શકે છે. $4$ સ્થાનો હોવાથી,કુલ શક્ય નિશ્ચાયકોની સંખ્યા $2^4 = 16$ છે.
નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $ad - bc$ છે. આ ધન હોવા માટે,$ad - bc > 0$,એટલે કે $ad > bc$ હોવું જોઈએ.
$a, b, c, d \in \{0, 1\}$ હોવાથી,$ad$ અને $bc$ ની શક્ય કિંમતો $0$ અથવા $1$ છે.
$ad > bc$ ત્યારે જ શક્ય છે જો $ad = 1$ અને $bc = 0$ હોય.
આનો અર્થ એ છે કે $a=1, d=1$ અને $bc=0$.
$bc=0$ ની શરત ત્યારે સંતોષાય છે જો $(b, c)$ એ $(0, 0), (0, 1),$ અથવા $(1, 0)$ હોય.
આમ,સાનુકૂળ કિસ્સાઓ છે:
$1. \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1(1) - 0(0) = 1$
$2. \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1(1) - 0(1) = 1$
$3. \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1(1) - 1(0) = 1$
કુલ $3$ સાનુકૂળ પરિણામો છે.
તેથી,સંભાવના $\frac{3}{16}$ છે.

(C) પત્તાના પેકમાં કુલ પત્તાની સંખ્યા = $52$ છે.
ધારો કે $A$ એ રાજા ખેંચવાની ઘટના છે અને $B$ એ ચોકટનું પત્તું ખેંચવાની ઘટના છે.
રાજાઓની સંખ્યા,$n(A) = 4$.
ચોકટના પત્તાની સંખ્યા,$n(B) = 13$.
જે પત્તું રાજા પણ હોય અને ચોકટનું પણ હોય (ચોકટનો રાજા),તેની સંખ્યા $n(A \cap B) = 1$ છે.
સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
$P(A \cup B) = \frac{4}{52} + \frac{13}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52}$.
અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $\frac{16}{52} = \frac{4}{13}$ મળે છે.

(D) કુલ દડાની સંખ્યા $3 + 3 + 2 = 8$ છે.
જ્યારે આપણે દડાને બદલ્યા વગર એક પછી એક કાઢીએ છીએ,ત્યારે $k$-મો દડો ચોક્કસ રંગનો હોવાની સંભાવના એ થેલીમાં તે રંગના દડાના પ્રારંભિક પ્રમાણ જેટલી જ હોય છે.
ધારો કે $R_3$ એ ઘટના છે કે ત્રીજો કાઢવામાં આવેલો દડો લાલ છે.
બદલ્યા વગરના નમૂના લેવાની પ્રક્રિયામાં સંમિતિના સિદ્ધાંત મુજબ,કોઈપણ ચોક્કસ પ્રયત્નમાં દડો ચોક્કસ રંગનો હોવાની સંભાવના એ પ્રથમ પ્રયત્નમાં તે રંગનો દડો હોવાની સંભાવના જેટલી જ હોય છે.
તેથી,$P(R_3) = P(R_1) = \frac{\text{લાલ દડાની સંખ્યા}}{\text{કુલ દડાની સંખ્યા}} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

(B) જ્યારે બે પાસાઓ ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
સરવાળો $8$ મળે તેવા સાનુકૂળ પરિણામો નીચે મુજબ છે:
$(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)$.
આવા કુલ $5$ સાનુકૂળ પરિણામો છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $= \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{5}{36}$ થાય.

(B) ઘટના $A$ બનવાની સંભાવનાને $P(A)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,અને ઘટના $A$ ન બનવાની સંભાવના (ઘટના $A$ ની પૂરક ઘટના) ને $P(\bar{A})$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
કારણ કે ઘટના કાં તો બને છે અથવા બનતી નથી,આ બંને ઘટનાઓ પરસ્પર પૂરક અને નિઃશેષ છે.
તેથી,તેમની સંભાવનાઓનો સરવાળો હંમેશા $1$ થાય છે,એટલે કે $P(A) + P(\bar{A}) = 1$.

(B) દડાઓની કુલ સંખ્યા $3 + 2 = 5$ છે.
ધારો કે $W_1$ એ પ્રથમ દડો સફેદ હોવાની ઘટના છે અને $R_1$ એ પ્રથમ દડો લાલ હોવાની ઘટના છે.
ધારો કે $R_2$ એ બીજો દડો લાલ હોવાની ઘટના છે.
બીજો દડો બે પરસ્પર નિવારક રીતે લાલ હોઈ શકે છે:
$(i)$ પ્રથમ દડો સફેદ અને બીજો દડો લાલ હોય: $P(W_1 \cap R_2) = P(W_1) \times P(R_2|W_1) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{6}{20}$.
$(ii)$ પ્રથમ દડો લાલ અને બીજો દડો લાલ હોય: $P(R_1 \cap R_2) = P(R_1) \times P(R_2|R_1) = \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{20}$.
બીજો દડો લાલ હોવાની કુલ સંભાવના $P(R_2) = P(W_1 \cap R_2) + P(R_1 \cap R_2) = \frac{6}{20} + \frac{2}{20} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$ છે.

(C) ધારો કે $W$ એ ભારતની જીત અને $L$ એ ભારતની હાર દર્શાવે છે. જીતવાની સંભાવના $P(W) = \frac{1}{2}$ અને હારવાની સંભાવના $P(L) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ છે.
બીજી જીત બરાબર ત્રીજી ટેસ્ટ મેચમાં થાય તે માટે,ભારતે પ્રથમ બે ટેસ્ટમાંથી બરાબર એક મેચ જીતી હોવી જોઈએ અને પછી ત્રીજી મેચ જીતવી જોઈએ.
પ્રથમ ત્રણ મેચ માટે શક્ય ક્રમ $(L, W, W)$ અને $(W, L, W)$ છે.
ક્રમ $(L, W, W)$ ની સંભાવના $P(L) \times P(W) \times P(W) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$ છે.
ક્રમ $(W, L, W)$ ની સંભાવના $P(W) \times P(L) \times P(W) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$ છે.
કુલ સંભાવના આ બે પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓનો સરવાળો છે: $\frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

(C) કુલ કાર્ડની સંખ્યા $100$ છે. તેથી,શક્ય પરિણામોની કુલ સંખ્યા $100$ છે.
જો કોઈ સંખ્યા $n^2$ ના સ્વરૂપમાં હોય તો તે પૂર્ણ વર્ગ કહેવાય. $1$ થી $100$ ની વચ્ચે આવતી પૂર્ણ વર્ગ સંખ્યાઓ આ મુજબ છે: $1^2=1, 2^2=4, 3^2=9, 4^2=16, 5^2=25, 6^2=36, 7^2=49, 8^2=64, 9^2=81, 10^2=100$.
આવી કુલ $10$ સંખ્યાઓ છે.
તેથી,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $10$ છે.
પૂર્ણ વર્ગ સંખ્યા પસંદ કરવાની સંભાવના = $\frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામો}}{\text{કુલ પરિણામો}} = \frac{10}{100} = \frac{1}{10}$ થાય.

(D) ધારો કે ત્રણ ચિઠ્ઠીઓ પરના નંબર $X_1, X_2, X_3$ છે. દરેક $X_i \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$.
આપણે $\min(X_1, X_2, X_3) = 5$ હોય તેની સંભાવના શોધવી છે.
આનો અર્થ એ છે કે બધા $X_i \ge 5$ અને ઓછામાં ઓછો એક $X_i = 5$ હોવો જોઈએ.
$P(\min(X_1, X_2, X_3) = 5) = P(\min(X_1, X_2, X_3) \ge 5) - P(\min(X_1, X_2, X_3) \ge 6)$.
પુરવણી સાથે પસંદગી હોવાથી,કુલ પરિણામોની સંખ્યા $7^3 = 343$ છે.
$\min(X_i) \ge 5$ માટે,દરેક $X_i$ એ $\{5, 6, 7\}$ માં હોવા જોઈએ. દરેક પસંદગી માટે $3$ વિકલ્પો છે,તેથી $3^3 = 27$ પરિણામો મળે.
$\min(X_i) \ge 6$ માટે,દરેક $X_i$ એ $\{6, 7\}$ માં હોવા જોઈએ. દરેક પસંદગી માટે $2$ વિકલ્પો છે,તેથી $2^3 = 8$ પરિણામો મળે.
તેથી,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $27 - 8 = 19$ છે.
સંભાવના $\frac{19}{343}$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ ઘટના $E$ માટે,તેની પૂરક ઘટનાની સંભાવના $P(\bar{E}) = 1 - P(E)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $P(A) = 0.65$,તેથી $P(\bar{A}) = 1 - 0.65 = 0.35$.
આપેલ છે કે $P(B) = 0.15$,તેથી $P(\bar{B}) = 1 - 0.15 = 0.85$.
હવે,સરવાળો કરતા: $P(\bar{A}) + P(\bar{B}) = 0.35 + 0.85 = 1.2$.

(A) ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,આપણે જાણીએ છીએ કે $\bar{E}_1 \cap \bar{E}_2 = \overline{E_1 \cup E_2}$.
આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને $(E_1 \cup E_2) \cap (\overline{E_1 \cup E_2})$ મળે છે.
કોઈપણ ગણ $A$ અને તેના પૂરક ગણ $\bar{A}$ નો છેદગણ ખાલી ગણ $\phi$ હોવાથી,$(E_1 \cup E_2) \cap (\overline{E_1 \cup E_2}) = \phi$ થાય.
ખાલી ગણની સંભાવના $P(\phi) = 0$ છે.
જેથી $0 < \frac{1}{4}$ હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) ઘટના $A_i$ ન બને તેની સંભાવના $P(A_i^c) = 1 - P(A_i)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $P(A_i) = \frac{1}{i + 1}$, તેથી $P(A_i^c) = 1 - \frac{1}{i + 1} = \frac{i}{i + 1}$ થાય.
ઘટનાઓ $A_1, A_2, \dots, A_n$ સ્વતંત્ર હોવાથી, તેમની પૂરક ઘટનાઓ $A_1^c, A_2^c, \dots, A_n^c$ પણ સ્વતંત્ર છે.
એક પણ ઘટના ન બને તેની સંભાવના એ તેમની ન બનવાની સંભાવનાઓનો ગુણાકાર છે:
$P(\text{એક પણ ઘટના ન બને}) = P(A_1^c) \cdot P(A_2^c) \cdot \dots \cdot P(A_n^c)$
$= \left( \frac{1}{2} \right) \cdot \left( \frac{2}{3} \right) \cdot \left( \frac{3}{4} \right) \dots \left( \frac{n}{n + 1} \right)$
અંશ અને છેદના પદોને ઉડાડતા, આપણને મળે છે:
$= \frac{1}{n + 1}$.