Probability Questions in Gujarati

(D) બે સિક્કા ઉછાળવા માટેનો નિદર્શાવકાશ $S = \{HH, HT, TH, TT\}$ છે.
ઘટના $A$ (પ્રથમ સિક્કા પર છાપ મળે) માટે $A = \{HH, HT\}$ છે. તેથી,$P(A) = 2/4 = 1/2$.
ઘટના $B$ (બીજા સિક્કા પર કાંટો મળે) માટે $B = \{HT, TT\}$ છે. તેથી,$P(B) = 2/4 = 1/2$.
છેદ ઘટના $A \cap B$ એ ઘટના છે કે પ્રથમ સિક્કા પર છાપ અને બીજા સિક્કા પર કાંટો મળે,જે $A \cap B = \{HT\}$ છે.
તેથી,$P(A \cap B) = 1/4$.
કારણ કે $P(A) \times P(B) = (1/2) \times (1/2) = 1/4$,તેથી $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ થાય છે.
આથી,ઘટનાઓ $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર છે.

(B) આપણને શરત $P(A_1 \cup A_2) = 1 - P(A_1^c) P(A_2^c)$ આપેલી છે.
પૂરક ઘટનાના નિયમ $P(A^c) = 1 - P(A)$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે પદને આ રીતે લખી શકીએ:
$P(A_1 \cup A_2) = 1 - (1 - P(A_1))(1 - P(A_2))$
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા:
$P(A_1 \cup A_2) = 1 - (1 - P(A_1) - P(A_2) + P(A_1)P(A_2))$
$P(A_1 \cup A_2) = 1 - 1 + P(A_1) + P(A_2) - P(A_1)P(A_2)$
$P(A_1 \cup A_2) = P(A_1) + P(A_2) - P(A_1)P(A_2)$
બે ઘટનાઓના યોગની વ્યાખ્યા મુજબ,$P(A_1 \cup A_2) = P(A_1) + P(A_2) - P(A_1 \cap A_2)$.
બંને પદોની સરખામણી કરતા,આપણને $P(A_1 \cap A_2) = P(A_1)P(A_2)$ મળે છે.
આ બે ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાની શરત છે.

(D) જ્યારે બે સમતોલ પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રથમ પાસાનું પરિણામ બીજા પાસાના પરિણામને અસર કરતું નથી.
ઘટના $A$ એ છે કે પ્રથમ પાસા પર બેકી સંખ્યા મળે: $A = \{2, 4, 6\}$. સંભાવના $P(A) = 3/6 = 1/2$.
ઘટના $B$ એ છે કે બીજા પાસા પર એકી સંખ્યા મળે: $B = \{1, 3, 5\}$. સંભાવના $P(B) = 3/6 = 1/2$.
છેદગણ $A \cap B$ એ ઘટના દર્શાવે છે કે પ્રથમ પાસો બેકી હોય અને બીજો પાસો એકી હોય. આવા કુલ પરિણામોની સંખ્યા $3 \times 3 = 9$ છે,જે કુલ $36$ પરિણામોમાંથી છે.
આમ,$P(A \cap B) = 9/36 = 1/4$.
કારણ કે $P(A) \times P(B) = (1/2) \times (1/2) = 1/4$,તેથી $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ થાય છે.
તેથી,ઘટનાઓ $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર છે.

(A) કુલ પત્તાની સંખ્યા = $52$.
ચોકટના પત્તાની સંખ્યા $n(A) = 13$,તેથી $P(A) = 13/52 = 1/4$.
એક્કાની સંખ્યા $n(B) = 4$,તેથી $P(B) = 4/52 = 1/13$.
ચોકટના એક્કાની સંખ્યા $n(A \cap B) = 1$,તેથી $P(A \cap B) = 1/52$.
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવા માટે,$P(A \cap B)$ એ $P(A) \times P(B)$ જેટલું હોવું જોઈએ.
$P(A) \times P(B) = (1/4) \times (1/13) = 1/52$.
અહીં $P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = 1/52$ હોવાથી,ઘટનાઓ $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર છે.

(B) કારણ કે $A \cap \bar B$ અને $A \cap B$ પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ છે,જેથી $A = (A \cap \bar B) \cup (A \cap B)$ થાય.
તેથી,$P(A) = P(A \cap \bar B) + P(A \cap B)$.
આનો અર્થ એ થાય કે $P(A \cap \bar B) = P(A) - P(A \cap B)$.
$A$ અને $B$ સ્વતંત્ર હોવાથી,$P(A \cap B) = P(A)P(B)$ થાય.
આ કિંમત મૂકતા,આપણને $P(A \cap \bar B) = P(A) - P(A)P(B) = P(A)(1 - P(B))$ મળે છે.
$P(\bar B) = 1 - P(B)$ હોવાથી,$P(A \cap \bar B) = P(A)P(\bar B)$ થાય.
આમ,$A$ અને $\bar B$ પણ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે.

(A) આપેલ છે કે $A, B,$ અને $C$ પરસ્પર સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે,તેથી $P(A \cap B) = P(A)P(B)$,$P(A \cap C) = P(A)P(C)$,અને $P(A \cap B \cap C) = P(A)P(B)P(C)$.
$S_1$ માટે: આપણે ચકાસીએ કે $P(A \cap (B \cup C)) = P(A)P(B \cup C)$ થાય છે કે નહીં.
$P(A \cap (B \cup C)) = P((A \cap B) \cup (A \cap C)) = P(A \cap B) + P(A \cap C) - P(A \cap B \cap C)$
$= P(A)P(B) + P(A)P(C) - P(A)P(B)P(C) = P(A)[P(B) + P(C) - P(B)P(C)]$
$= P(A)P(B \cup C)$. આમ,$S_1$ સાચું છે.
$S_2$ માટે: આપણે ચકાસીએ કે $P(A \cap (B \cap C)) = P(A)P(B \cap C)$ થાય છે કે નહીં.
$P(A \cap (B \cap C)) = P(A \cap B \cap C) = P(A)P(B)P(C) = P(A)P(B \cap C)$. આમ,$S_2$ સાચું છે.
તેથી,$S_1$ અને $S_2$ બંને સાચા છે.

(C) બે ઘટનાઓના યોગ માટેનું સૂત્ર $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $5/6 = 2/3 + 1/2 - P(A \cap B)$.
$5/6 = 4/6 + 3/6 - P(A \cap B)$.
$5/6 = 7/6 - P(A \cap B)$.
$P(A \cap B) = 7/6 - 5/6 = 2/6 = 1/3$.
અહીં $P(A \cap B) \neq 0$ હોવાથી,ઘટનાઓ પરસ્પર નિવારક નથી.
હવે,સ્વતંત્રતા માટે તપાસતા: $P(A) \times P(B) = (2/3) \times (1/2) = 1/3$.
$P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = 1/3$ હોવાથી,ઘટનાઓ $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર છે.

(A) પત્તાના એક પેકમાં કુલ $52$ પત્તા હોય છે.
એક પેકમાં એક્કાની સંખ્યા $4$ હોય છે.
એક વાર પત્તું ખેંચતા એક્કો આવવાની સંભાવના $P(A) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ છે.
કારણ કે પત્તા બદલી સાથે (with replacement) ખેંચવામાં આવે છે,તેથી બીજા પ્રયત્નમાં પણ એક્કો આવવાની સંભાવના સમાન રહેશે,એટલે કે $P(A) = \frac{1}{13}$.
આમ,ક્રમશઃ બે એક્કા ખેંચવાની સંભાવના $P(A \cap A) = P(A) \times P(A) = \frac{1}{13} \times \frac{1}{13} = \frac{1}{169}$ થાય.

(C) જ્યારે બે પાસાઓને ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
આપણે $7$ થી વધુ સરવાળો મળે તેની સંભાવના શોધવાની છે,જેનો અર્થ છે કે સરવાળો $8, 9, 10, 11,$ અથવા $12$ હોઈ શકે છે.
સાનુકૂળ પરિણામો નીચે મુજબ છે:
સરવાળો $= 8$: $(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)$ ($5$ પરિણામો)
સરવાળો $= 9$: $(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)$ ($4$ પરિણામો)
સરવાળો $= 10$: $(4,6), (5,5), (6,4)$ ($3$ પરિણામો)
સરવાળો $= 11$: $(5,6), (6,5)$ ($2$ પરિણામો)
સરવાળો $= 12$: $(6,6)$ ($1$ પરિણામ)
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15$.
જરૂરી સંભાવના $= \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$.

(A) થેલીમાં રહેલા કુલ દડાની સંખ્યા $= 3 \text{ (કાળા)} + 4 \text{ (સફેદ)} = 7 \text{ દડા}$.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા (સફેદ દડો કાઢવો) $= 4$.
કોઈપણ ઘટનાની સંભાવના શોધવાનું સૂત્ર: $P(E) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા}}$.
તેથી,સફેદ દડો કાઢવાની સંભાવના $= \frac{4}{7}$.

(D) છાપ મેળવવાની સંભાવના $P(H) = 1/2$ છે અને છાપ ન મેળવવાની સંભાવના $P(T) = 1/2$ છે.
કારણ કે $A$ રમતની શરૂઆત કરે છે,$A$ ત્યારે જીતે છે જો તે $1^{st}, 3^{rd}, 5^{th}, \dots$ ઉછાળ પર છાપ મેળવે.
$A$ પ્રથમ ઉછાળ પર $1/2$ સંભાવના સાથે જીતે છે.
$A$ ત્રીજા ઉછાળ પર જીતે છે જો ક્રમ $T, T, H$ હોય,જેની સંભાવના $(1/2) \times (1/2) \times (1/2) = (1/2)^3$ છે.
$A$ પાંચમા ઉછાળ પર જીતે છે જો ક્રમ $T, T, T, T, H$ હોય,જેની સંભાવના $(1/2)^5$ છે.
આમ,$A$ ના જીતવાની કુલ સંભાવના એક અનંત ભૂમિતિ શ્રેણી છે:
$P(A) = 1/2 + (1/2)^3 + (1/2)^5 + \dots$
આ એક ભૂમિતિ શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1/2$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = (1/2)^2 = 1/4$ છે.
અનંત ભૂમિતિ શ્રેણીનો સરવાળો $S = a / (1 - r)$ છે.
$P(A) = (1/2) / (1 - 1/4) = (1/2) / (3/4) = (1/2) \times (4/3) = 2/3$.

(C) જ્યારે બે સંતુલિત પાસાઓને ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
આપણે એવી ઘટના શોધી રહ્યા છીએ જેમાં ઉપરની સપાટી પરની સંખ્યાઓનો સરવાળો $9$ થાય.
સરવાળો $9$ થાય તેવી શક્ય જોડીઓ $(d_1, d_2)$ નીચે મુજબ છે: $(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)$.
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $4$ છે.
ઘટનાની સંભાવના એ સાનુકૂળ પરિણામો અને કુલ પરિણામોનો ગુણોત્તર છે:
$P = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$.

(A) પત્તાની એક પ્રમાણિત થોકડીમાં કુલ $52$ પત્તા હોય છે.
પત્તાની થોકડીમાં $4$ એક્કા હોય છે (દરેક પ્રકારના પત્તા માટે એક: લાલ,ચોકટ,ફુલ્લી અને કાળી).
કોઈપણ ઘટનાની સંભાવના એ સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા અને કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે.
સંભાવના $P(\text{એક્કો}) = \frac{\text{એક્કાની સંખ્યા}}{\text{કુલ પત્તાની સંખ્યા}} = \frac{4}{52}$.
અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $\frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ મળે છે.

(C) $PROBABILITY$ શબ્દમાં કુલ $11$ અક્ષરો છે: $P, R, O, B, A, B, I, L, I, T, Y$.
આ શબ્દમાં રહેલા સ્વરો $O, A, I, I$ છે.
આમ,કુલ સ્વરોની સંખ્યા $4$ છે.
કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $11$ છે.
સ્વર પસંદ કરવાની સંભાવના એ સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા અને કુલ પરિણામોની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $= 4/11$ થાય.

(B) $n$ પત્રોને $n$ પરબીડિયામાં મૂકવાની કુલ રીતો $n!$ છે.
માત્ર $1$ એવી રીત છે જેમાં બધા પત્રો તેમના સાચા પરબીડિયામાં મૂકવામાં આવે છે.
તેથી,બધા પત્રો સાચા પરબીડિયામાં મુકાય તેની સંભાવના $P(\text{correct}) = \frac{1}{n!}$ છે.
બધા પત્રો સાચા પરબીડિયામાં ન મુકાય તેની સંભાવના એ બધા પત્રો સાચા પરબીડિયામાં મુકાય તેની સંભાવનાની પૂરક ઘટના છે.
જરૂરી સંભાવના $= 1 - P(\text{correct}) = 1 - \frac{1}{n!}$.

(A) કુલ પાનાની સંખ્યા $100$ છે. પાના નંબર $1$ થી $100$ સુધીના છે.
આપણે $1$ થી $100$ વચ્ચેની એવી સંખ્યાઓ શોધવાની છે જેના અંકોનો સરવાળો $11$ થાય.
બે અંકની સંખ્યા $xy$ માટે,અંકોનો સરવાળો $x + y = 11$ થાય,જ્યાં $1 \le x \le 9$ અને $0 \le y \le 9$ છે.
શક્ય જોડીઓ $(x, y)$ આ મુજબ છે: $(2, 9), (3, 8), (4, 7), (5, 6), (6, 5), (7, 4), (8, 3), (9, 2)$.
આ સંખ્યાઓ $29, 38, 47, 56, 65, 74, 83, 92$ છે.
આવી કુલ $8$ સંખ્યાઓ છે.
સંખ્યા $100$ માટે,અંકોનો સરવાળો $1 + 0 + 0 = 1 \neq 11$ થાય છે.
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $8$ છે.
કુલ પરિણામોની સંખ્યા $100$ છે.
તેથી,સંભાવના $\frac{8}{100} = \frac{2}{25}$ થાય.

(C) એક પરિવારમાં બે બાળકો માટે નિદર્શાવકાશ $S$ નીચે મુજબ છે:
$S = \{BB, BG, GB, GG\}$, જ્યાં $B$ એટલે છોકરો અને $G$ એટલે છોકરી।
કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 4$ છે।
ઘટના $E$ કે જેમાં બંને બાળકો છોકરા હોય તે $E = \{BB\}$ છે।
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 1$ છે।
તેથી, સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{1}{4}$

(C) જ્યારે એક પાસો ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6$ છે. એક ફેંકમાં $1$ મેળવવાની સંભાવના $\frac{1}{6}$ છે。
એક ફેંકમાં $1$ ન મેળવવાની સંભાવના $1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ છે。
બે ફેંક સ્વતંત્ર ઘટનાઓ હોવાથી,પ્રથમ ફેંકમાં $1$ મેળવવાની અને બીજી ફેંકમાં $1$ ન મેળવવાની સંભાવના નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
જરૂરી સંભાવના $= P(\text{પ્રથમ ફેંકમાં } 1 \text{ મેળવવો}) \times P(\text{બીજી ફેંકમાં } 1 \text{ ન મેળવવો})$
જરૂરી સંભાવના $= \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{5}{36}$.

(C) પત્તાંની એક પ્રમાણિત જોડમાં $52$ પત્તાં હોય છે,જેમાંથી $4$ રાજા હોય છે.
જ્યારે પ્રથમ પત્તું ખેંચવામાં આવે,ત્યારે તે રાજા હોય તેની સંભાવના $P(K_1) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ છે.
એક રાજા ખેંચ્યા પછી,જોડમાં $51$ પત્તાં બાકી રહે છે અને માત્ર $3$ રાજા બાકી રહે છે.
તેથી,પ્રથમ પત્તું રાજા હોવાની શરતે બીજા પત્તાના રાજા હોવાની સંભાવના $P(K_2 | K_1) = \frac{3}{51} = \frac{1}{17}$ છે.
બંને પત્તાં રાજા હોય તેની સંભાવના $P(K_1 \cap K_2) = P(K_1) \times P(K_2 | K_1) = \frac{4}{52} \times \frac{3}{51} = \frac{1}{13} \times \frac{1}{17} = \frac{1}{221}$ થાય.

(B) સિક્કો ઉછાળવા માટેનો નિદર્શાવકાશ ${H, T}$ છે,તેથી છાપ મળવાની સંભાવના $P(H) = \frac{1}{2}$ છે.
પાસો ફેંકવા માટેનો નિદર્શાવકાશ ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ છે,તેથી $6$ મળવાની સંભાવના $P(6) = \frac{1}{6}$ છે.
આ બંને સ્વતંત્ર ઘટનાઓ હોવાથી,સંયુક્ત સંભાવના $P(H \cap 6) = P(H) \times P(6) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12}$ થાય.

(B) જ્યારે એક સિક્કાને બે વાર ઉછાળવામાં આવે,ત્યારે નિદર્શાવકાશ $S$ નીચે મુજબ મળે છે: $S = \{(H, H), (H, T), (T, H), (T, T)\}$.
કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 4$ છે.
ધારો કે $E$ એ બંને વખત છાપ મળવાની ઘટના છે. સાનુકૂળ પરિણામ $E = \{(H, H)\}$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 1$ છે.
સંભાવના $P(E)$ નું સૂત્ર: $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{1}{4}$.

(C) તાશના પેકમાં કુલ પત્તાની સંખ્યા $= 52$ છે.
પત્તા બદલી સાથે (with replacement) ખેંચવામાં આવતા હોવાથી,બંને ઘટનાઓ સ્વતંત્ર છે.
પ્રથમ પ્રયત્નમાં ચોકટનું પત્તું ખેંચવાની સંભાવના $P(\text{Diamond}) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$ છે.
બીજા પ્રયત્નમાં રાજા ખેંચવાની સંભાવના $P(\text{King}) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ છે.
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,જરૂરી સંભાવના $P(\text{Diamond}) \times P(\text{King}) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{13} = \frac{1}{52}$ થાય.

(B) જ્યારે બે પાસા એકસાથે ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
ધારો કે $E$ એ $2$,$8$ અથવા $12$ નો સરવાળો મેળવવાની ઘટના છે.
$1$. સરવાળા $2$ માટેના પરિણામો: $(1, 1)$ - કુલ $1$ પરિણામ.
$2$. સરવાળા $8$ માટેના પરિણામો: $(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)$ - કુલ $5$ પરિણામો.
$3$. સરવાળા $12$ માટેના પરિણામો: $(6, 6)$ - કુલ $1$ પરિણામ.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 1 + 5 + 1 = 7$.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $P(E) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{7}{36}$.

(B) ધારો કે $A$ એ પ્રથમ ફેંકમાં $4, 5$ અથવા $6$ મેળવવાની ઘટના છે. એક પાસા માટે કુલ પરિણામો $6$ છે. સાનુકૂળ પરિણામો ${4, 5, 6}$ છે,તેથી સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $3$ છે.
$P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
ધારો કે $B$ એ બીજી ફેંકમાં $1, 2, 3$ અથવા $4$ મેળવવાની ઘટના છે. સાનુકૂળ પરિણામો ${1, 2, 3, 4}$ છે,તેથી સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $4$ છે.
$P(B) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
બે ફેંક સ્વતંત્ર ઘટનાઓ હોવાથી,બંને ઘટનાઓ એકસાથે બનવાની સંભાવના $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ થાય.
$P(A \cap B) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

(A) $52$ પત્તાંમાંથી $2$ પત્તાં પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{52}C_2 = \frac{52 \times 51}{2} = 1326$ છે.
એક પણ પત્તું એક્કો ન હોય (એટલે કે $48$ બિન-એક્કા પત્તાંમાંથી પસંદગી) તેવી રીતોની સંખ્યા $^{48}C_2 = \frac{48 \times 47}{2} = 1128$ છે.
એક પણ એક્કો ન મળે તેની સંભાવના $P(\text{no ace}) = \frac{1128}{1326} = \frac{48}{52} \times \frac{47}{51} = \frac{12}{13} \times \frac{47}{51} = \frac{188}{221}$ છે.
ઓછામાં ઓછું એક પત્તું એક્કો હોય તેની સંભાવના $1 - P(\text{no ace}) = 1 - \frac{188}{221} = \frac{221 - 188}{221} = \frac{33}{221}$ થાય.

(A) ધારો કે $A$ એ પ્રથમ પેકમાંથી ખેંચાયેલું પત્તું લાલનો એક્કો હોય તેવી ઘટના છે,અને $B$ એ બીજા પેકમાંથી ખેંચાયેલું પત્તું લાલનો એક્કો હોય તેવી ઘટના છે.
$52$ પત્તાંના પેકમાંથી લાલનો એક્કો ખેંચવાની સંભાવના $P(A) = P(B) = \frac{1}{52}$ છે.
પેકમાંથી લાલનો એક્કો ન ખેંચવાની સંભાવના $P(A') = P(B') = 1 - \frac{1}{52} = \frac{51}{52}$ છે.
ઓછામાં ઓછું એક પત્તું લાલનો એક્કો હોય તેની સંભાવના $1 - P(\text{એક પણ લાલનો એક્કો ન હોય})$ દ્વારા મળે છે.
આ ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,$P(\text{એક પણ લાલનો એક્કો ન હોય}) = P(A') \times P(B') = \frac{51}{52} \times \frac{51}{52} = \frac{2601}{2704}$ થાય.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $1 - \frac{2601}{2704} = \frac{2704 - 2601}{2704} = \frac{103}{2704}$ છે.

(C) બોક્સમાં કુલ વસ્તુઓની સંખ્યા $= 6 + 10 = 16$ છે.
કાટવાળા ખીલાની સંખ્યા $= \frac{1}{2} \times 6 = 3$ છે.
કાટવાળી નટની સંખ્યા $= \frac{1}{2} \times 10 = 5$ છે.
કુલ કાટવાળી વસ્તુઓની સંખ્યા $= 3 + 5 = 8$ છે.
કાટ વગરના ખીલાની સંખ્યા $= 6 - 3 = 3$ છે.
આપણે તે સંભાવના શોધવાની છે કે પસંદ કરેલી વસ્તુ કાટવાળી હોય અથવા ખીલો હોય.
સૂત્ર $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે વસ્તુ કાટવાળી છે,અને $B$ એ ઘટના છે કે વસ્તુ ખીલો છે.
$P(A) = \frac{8}{16}$,$P(B) = \frac{6}{16}$,અને $P(A \cap B) = \frac{3}{16}$ (કાટવાળા ખીલા).
સંભાવના $= \frac{8}{16} + \frac{6}{16} - \frac{3}{16} = \frac{11}{16}$.

(A) જ્યારે એક સિક્કાને $4$ વખત ઉછાળવામાં આવે ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $2^4 = 16$ થાય છે.
ધારો કે $E$ એ ઓછામાં ઓછી એક વાર છાપ (tail) મળવાની ઘટના છે.
તેની પૂરક ઘટના $E'$ એ એક પણ વાર છાપ ન મળવાની ઘટના છે,જેનો અર્થ છે કે દરેક વખતે કાંટો (head) મળે.
$E'$ માટે માત્ર એક જ પરિણામ શક્ય છે $(H, H, H, H)$,તેથી $E'$ માટેના પરિણામોની સંખ્યા $1$ છે.
$E'$ ની સંભાવના $P(E') = \frac{1}{16}$ છે.
ઓછામાં ઓછી એક વાર છાપ મળવાની સંભાવના $P(E) = 1 - P(E') = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$ થાય.

(D) $3$ અલગ-અલગ પત્રોને $3$ અલગ-અલગ પરબિડીયાઓમાં મૂકવાની કુલ રીતો $3!$ છે,એટલે કે $3 \times 2 \times 1 = 6$ રીતો.
આ $6$ શક્ય ગોઠવણીઓમાંથી,માત્ર $1$ ગોઠવણી એવી છે જેમાં દરેક પત્ર તેના સાચા પરબિડીયામાં જાય છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના એ સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા અને કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે:
સંભાવના $= \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{1}{3!} = \frac{1}{6}$.

(B) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
આપણે એવી સંભાવના શોધવાની છે કે જેમાં બંને પાસા પરની સંખ્યાઓનો સરવાળો $10$ થી વધુ હોય.
$10$ થી વધુ સરવાળો હોય તેવી શક્યતાઓ $11$ અને $12$ છે.
$11$ સરવાળો મળે તેવા પરિણામો $(5, 6)$ અને $(6, 5)$ છે.
$12$ સરવાળો મળે તેવું પરિણામ $(6, 6)$ છે.
આમ,સાનુકૂળ પરિણામો ${(5, 6), (6, 5), (6, 6)}$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $3$ છે.
સંભાવના $= \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$.

(B) જ્યારે $2$ પાસાઓને ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
આપણે $5$ અથવા $6$ નો સરવાળો મેળવવાની સંભાવના શોધવાની છે.
સરવાળો $5$ મળે તેવા સાનુકૂળ પરિણામો: $(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)$,જે કુલ $4$ પરિણામો છે.
સરવાળો $6$ મળે તેવા સાનુકૂળ પરિણામો: $(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)$,જે કુલ $5$ પરિણામો છે.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો = $4 + 5 = 9$.
માટે,જરૂરી સંભાવના = $\frac{\text{કુલ સાનુકૂળ પરિણામો}}{\text{કુલ શક્ય પરિણામો}} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$.

(B) ચોક્કસ ઘટના એટલે એવી ઘટના જે બનવાની જ છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,સમગ્ર નિદર્શાવકાશ $S$ ની સંભાવના $P(S) = 1$ થાય છે.
તેથી,ચોક્કસ ઘટનાની સંભાવના $1$ છે.

(B) આપેલ છે કે,એક પ્રયત્નમાં ઘટના $A$ બનવાની સંભાવના $P(A) = 0.4$ છે.
તેથી,એક પ્રયત્નમાં ઘટના $A$ ન બનવાની સંભાવના $P(\bar{A}) = 1 - 0.4 = 0.6$ થાય.
ત્રણ સ્વતંત્ર પ્રયત્નો માટે,ઘટના $A$ એક પણ વાર ન બને તેની સંભાવના $P(\text{none}) = P(\bar{A})^3 = (0.6)^3 = 0.216$ છે.
ઘટના $A$ ઓછામાં ઓછી એક વાર બને તેની સંભાવના $1 - P(\text{none})$ દ્વારા મળે છે.
આમ,જરૂરી સંભાવના $1 - 0.216 = 0.784$ છે.

(B) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
જો એક પાસા પર એકી સંખ્યા અને બીજા પર બેકી સંખ્યા આવે,અથવા તેનાથી ઉલટું,તો સરવાળો એકી સંખ્યા મળે છે.
એકી સરવાળા માટેના શક્ય પરિણામો છે: $(1,2), (1,4), (1,6), (2,1), (2,3), (2,5), (3,2), (3,4), (3,6), (4,1), (4,3), (4,5), (5,2), (5,4), (5,6), (6,1), (6,3), (6,5)$.
આ પરિણામોની ગણતરી કરતા,આપણને $18$ પરિણામો મળે છે.
એકી સરવાળો મેળવવાની સંભાવના $P = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$ થાય છે.

(C) લોટરીની ટિકિટોની કુલ સંખ્યા $10,000$ છે.
$20$ વડે વિભાજ્ય હોય તેવી ટિકિટોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે કુલ ટિકિટોની સંખ્યાને $20$ વડે ભાગીશું: $\frac{10,000}{20} = 500$.
આ $500$ ટિકિટો સાનુકૂળ પરિણામો દર્શાવે છે.
કોઈપણ ઘટનાની સંભાવના એ સાનુકૂળ પરિણામો અને કુલ શક્ય પરિણામોના ગુણોત્તર દ્વારા મળે છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $= \frac{500}{10,000} = \frac{1}{20}$ થાય.

(B) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
ધારો કે $A$ એ પ્રથમ પાસા પર $2$ નો ગુણક મેળવવાની ઘટના છે: $A = \{2, 4, 6\}$,તેથી $n(A) = 3$.
ધારો કે $B$ એ બીજા પાસા પર $3$ નો ગુણક મેળવવાની ઘટના છે: $B = \{3, 6\}$,તેથી $n(B) = 2$.
પ્રથમ પાસા પર $2$ નો ગુણક અને બીજા પાસા પર $3$ નો ગુણક હોય તેવા પરિણામોની સંખ્યા $3 \times 2 = 6$ છે. આ પરિણામો $(2,3), (2,6), (4,3), (4,6), (6,3), (6,6)$ છે.
તે જ રીતે,પ્રથમ પાસા પર $3$ નો ગુણક અને બીજા પાસા પર $2$ નો ગુણક હોય તેવા પરિણામોની સંખ્યા $2 \times 3 = 6$ છે. આ પરિણામો $(3,2), (3,4), (3,6), (6,2), (6,4), (6,6)$ છે.
આ બંને ગણનો છેદગણ $(6,6)$ છે,જે બંને કિસ્સામાં ગણાય છે.
ગણતરીના સિદ્ધાંત મુજબ,સાનુકૂળ પરિણામોની કુલ સંખ્યા $6 + 6 - 1 = 11$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{11}{36}$ છે.

(D) ધારો કે $A, B,$ અને $C$ એ ત્રણ વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા પ્રશ્ન ઉકેલવાની ઘટનાઓ છે.
આપેલ સંભાવનાઓ $P(A) = \frac{1}{3}$,$P(B) = \frac{1}{4}$,અને $P(C) = \frac{1}{5}$ છે.
વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા પ્રશ્ન ન ઉકેલાય તેની સંભાવનાઓ $P(A') = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$,$P(B') = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$,અને $P(C') = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ છે.
તેમનામાંથી કોઈ પણ દ્વારા પ્રશ્ન ન ઉકેલાય તેની સંભાવના $P(\text{none}) = P(A') \times P(B') \times P(C') = \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \frac{4}{5} = \frac{2}{5}$ છે.
તેથી,પ્રશ્ન ઉકેલાય તેની સંભાવના $P(\text{solved}) = 1 - P(\text{none}) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$ છે.

(C) એક પ્રમાણિત છ બાજુવાળા પાસા પર $1, 2, 3, 4, 5,$ અને $6$ અંક હોય છે.
પાસો ફેંકતી વખતે,કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6$ છે.
સંખ્યા $5$ મેળવવાની ઘટના એ એક સાનુકૂળ પરિણામ છે.
તેથી,સંખ્યા $5$ મેળવવાની સંભાવના $P$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $P = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા}}$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $P = \frac{1}{6}$ મળે છે.

(B) પત્તાના પ્રમાણભૂત પેકમાં કુલ $52$ પત્તા હોય છે.
ડેકમાં ફુલ્લીની રાણી માત્ર $1$ જ હોય છે,તેથી તેને ખેંચવાની સંભાવના $P(A) = \frac{1}{52}$ છે.
ડેકમાં લાલનો રાજા માત્ર $1$ જ હોય છે,તેથી તેને ખેંચવાની સંભાવના $P(B) = \frac{1}{52}$ છે.
આ બંને ઘટનાઓ પરસ્પર નિવારક છે (એક પત્તું એકસાથે ફુલ્લીની રાણી અને લાલનો રાજા હોઈ શકે નહીં),તેથી કોઈપણ એક ઘટના બનવાની સંભાવના તેમની વ્યક્તિગત સંભાવનાઓનો સરવાળો છે.
જરૂરી સંભાવના $P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{52} + \frac{1}{52} = \frac{2}{52} = \frac{1}{26}$ થાય છે.

(C) જ્યારે ત્રણ સિક્કાઓને એકસાથે ઉછાળવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $2^3 = 8$ છે.
નિદર્શાવકાશ $S$ નીચે મુજબ છે: $S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$.
આપણે ઓછામાં ઓછી $2$ છાપ (tails) મળે તેની સંભાવના શોધવાની છે. આમાં $2$ છાપ અથવા $3$ છાપવાળા પરિણામોનો સમાવેશ થાય છે.
સાનુકૂળ પરિણામો છે: $\{HTT, THT, TTH, TTT\}$.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $4$ છે.
તેથી,સંભાવના $P = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

(B) એક સમતોલ પાસાને ફેંકતા મળતા કુલ પરિણામોનો નિદર્શાવકાશ $S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ છે.
કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 6$ છે.
ધારો કે $E$ એ $7$ થી નાની સંખ્યા મળવાની ઘટના છે.
અહીં $1, 2, 3, 4, 5, 6$ એ તમામ સંખ્યાઓ $7$ થી નાની છે,તેથી સાનુકૂળ પરિણામો ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 6$ છે.
સંભાવના $P(E)$ શોધવાનું સૂત્ર $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)}$ છે.
$P(E) = \frac{6}{6} = 1$.
તેથી,સંભાવના $1$ છે.

(C) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
ધારો કે $E$ એ $11$ થી ઓછો સરવાળો મેળવવાની ઘટના છે. પૂરક ઘટના $E'$ ની સંભાવના શોધવી સરળ છે,જે $11$ કે તેથી વધુ સરવાળો મેળવવાની ઘટના છે.
$11$ કે તેથી વધુ સરવાળા માટેના પરિણામો છે: $(5, 6), (6, 5), (6, 6)$.
$E'$ માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $3$ છે.
તેથી,$E$ (સરવાળો $11$ થી ઓછો) માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $36 - 3 = 33$ છે.
જરૂરી સંભાવના $P(E) = \frac{33}{36} = \frac{11}{12}$ છે.

(B) એક સામાન્ય વર્ષ (બિન-લીપ વર્ષ) માં $365$ દિવસો હોય છે.
$365$ ને $7$ વડે ભાગતા,આપણને $365 = 52 \times 7 + 1$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે સામાન્ય વર્ષમાં $52$ સંપૂર્ણ અઠવાડિયા અને $1$ વધારાનો દિવસ હોય છે.
આ વધારાનો દિવસ અઠવાડિયાના $7$ દિવસોમાંથી કોઈ પણ હોઈ શકે છે: {રવિવાર,સોમવાર,મંગળવાર,બુધવાર,ગુરુવાર,શુક્રવાર,શનિવાર}.
વર્ષમાં $53$ રવિવાર હોય તે માટે,વધારાનો દિવસ રવિવાર હોવો જોઈએ.
અહીં $7$ શક્ય પરિણામોમાંથી માત્ર $1$ સાનુકૂળ પરિણામ (રવિવાર) હોવાથી,સંભાવના $1/7$ છે.

(B) પત્તાના પેકમાં કુલ પત્તાની સંખ્યા $= 52$ છે.
કોર્ટ કાર્ડ્સ (મુખમુદ્રાવાળા પત્તા) માં ગલ્લા,રાણી અને રાજાનો સમાવેશ થાય છે.
ડેકમાં $4$ ગલ્લા,$4$ રાણી અને $4$ રાજા હોય છે.
કોર્ટ કાર્ડ્સની કુલ સંખ્યા $= 4 + 4 + 4 = 12$ થાય.
કોર્ટ કાર્ડ ખેંચવાની સંભાવના એ કોર્ટ કાર્ડ્સની સંખ્યા અને કુલ પત્તાની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે.
સંભાવના $= \frac{12}{52}$.
અંશ અને છેદને $4$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{3}{13}$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
આપણે એવી જોડીઓ $(x, y)$ શોધી રહ્યા છીએ કે જેથી $x + y$ એ $4$ નો ગુણક હોય. શક્ય સરવાળા $4, 8, 12$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામો નીચે મુજબ છે:
સરવાળો $= 4$: $(1, 3), (2, 2), (3, 1)$
સરવાળો $= 8$: $(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)$
સરવાળો $= 12$: $(6, 6)$
કુલ સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $3 + 5 + 1 = 9$ છે.
સંભાવના $= \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$ થાય.

(A) કુલ પરિણામોની સંખ્યા = (ઇનામોની સંખ્યા) + (ખાલી ટિકિટોની સંખ્યા) = $5 + 20 = 25$.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા (ઇનામ મળવું) = $5$.
કોઈપણ ઘટનાની સંભાવના શોધવાનું સૂત્ર: $P(E) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}}$.
તેથી,ઇનામ મળવાની સંભાવના = $\frac{5}{25} = \frac{1}{5}$.

(B) જ્યારે એક સમતોલ પાસો ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામો $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે,તેથી કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 6$ થાય.
આપણે $2$ કરતા મોટી સંખ્યા મળવાની સંભાવના શોધવી છે.
સાધ્ય પરિણામો $E = \{3, 4, 5, 6\}$ છે.
સાધ્ય પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 4$ છે.
સંભાવના $P(E)$ શોધવાનું સૂત્ર $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)}$ છે.
તેથી,$P(E) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

(D) $52$ પત્તાના પેકમાંથી $2$ પત્તા પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^52C_2 = \frac{52 \times 51}{2 \times 1} = 1326$ છે.
$52$ પત્તાના પેકમાં $4$ રાણી અને $4$ એક્કા હોય છે.
$1$ રાણી અને $1$ એક્કો પસંદ કરવાની રીતો $^4C_1 \times ^4C_1 = 4 \times 4 = 16$ છે.
સંભાવના = $\frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામો}}{\text{કુલ પરિણામો}} = \frac{16}{1326}$ છે.
અંશ અને છેદને $2$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{8}{663}$ મળે છે.
આમ,$\frac{8}{663}$ એ આપેલા વિકલ્પો $A, B,$ કે $C$ માં નથી,તેથી સાચો જવાબ $D$ (આમાંથી કોઈ નહીં) છે.

(C) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
અહીં શરત એ છે કે બંને પાસા પર આવતી સંખ્યાઓ અલગ-અલગ હોવી જોઈએ. જે કિસ્સામાં સંખ્યાઓ સમાન હોય તેવા પરિણામો $(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)$ છે,જે કુલ $6$ છે.
તેથી,સંખ્યાઓ અલગ હોય તેવા કુલ પરિણામોની સંખ્યા $36 - 6 = 30$ છે.
હવે,આપણે તે સંભાવના શોધવાની છે કે સરવાળો $6$ થાય,જ્યારે સંખ્યાઓ અલગ હોય. સરવાળો $6$ થાય તેવી જોડીઓ $(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)$ છે.
કારણ કે સંખ્યાઓ અલગ હોવી જોઈએ,તેથી આપણે $(3, 3)$ ને બાકાત રાખીશું. બાકી રહેલા સાનુકૂળ પરિણામો $(1, 5), (2, 4), (4, 2), (5, 1)$ છે,જે કુલ $4$ છે.
માટે,જરૂરી સંભાવના $= \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{અલગ સંખ્યાઓવાળા કુલ પરિણામો}} = \frac{4}{30} = \frac{2}{15}$.

(A) ધારો કે $E_1$ એ પુરુષની પસંદગી થવાની ઘટના છે અને $E_2$ એ સ્ત્રીની પસંદગી થવાની ઘટના છે.
આપેલ છે કે,$P(E_1) = 1/4$ અને $P(E_2) = 1/3$.
પુરુષની પસંદગી ન થાય તેની સંભાવના $P(\bar{E}_1) = 1 - P(E_1) = 1 - 1/4 = 3/4$ છે.
સ્ત્રીની પસંદગી ન થાય તેની સંભાવના $P(\bar{E}_2) = 1 - P(E_2) = 1 - 1/3 = 2/3$ છે.
પુરુષ અને સ્ત્રીની પસંદગી સ્વતંત્ર ઘટનાઓ હોવાથી,બંનેમાંથી કોઈની પણ પસંદગી ન થાય તેની સંભાવના $P(\bar{E}_1 \cap \bar{E}_2) = P(\bar{E}_1) \times P(\bar{E}_2)$ થશે.
તેથી,$P(\bar{E}_1 \cap \bar{E}_2) = 3/4 \times 2/3 = 6/12 = 1/2$.