Probability Questions in Gujarati

(B) $n$ વખત સિક્કો ઉછાળતા ઓછામાં ઓછી એક છાપ મળે તેની સંભાવના $1 - P(\text{એક પણ છાપ ન મળે})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n$ વખત ઉછાળતા એક પણ છાપ ન મળે તેની સંભાવના $(1/2)^n$ છે,તેથી ઓછામાં ઓછી એક છાપ મળે તેની સંભાવના $1 - (1/2)^n$ થાય.
આપણને આપેલ છે કે આ સંભાવના $\ge 0.9$ હોવી જોઈએ.
તેથી,$1 - (1/2)^n \ge 0.9$.
અસમતાને ફરીથી ગોઠવતા,$1 - 0.9 \ge (1/2)^n$,જેનું સાદું રૂપ $0.1 \ge (1/2)^n$ થાય.
આને $1/10 \ge 1/2^n$ અથવા $2^n \ge 10$ તરીકે લખી શકાય.
$n$ ની પૂર્ણાંક કિંમતો ચકાસતા:
$n = 3$ માટે,$2^3 = 8$,જે $10$ કરતા મોટું નથી.
$n = 4$ માટે,$2^4 = 16$,જે $10$ કરતા મોટું છે.
તેથી,જરૂરી ન્યૂનતમ ઉછાળની સંખ્યા $4$ છે.

(C) બીજો દડો સફેદ હોય તે બે પરસ્પર નિવારક કિસ્સાઓમાં શક્ય છે:
કિસ્સો $(i)$: પ્રથમ દડો સફેદ હોય અને બીજો દડો પણ સફેદ હોય.
સંભાવના $= \frac{4}{7} \times \frac{3}{6} = \frac{12}{42} = \frac{2}{7}$.
કિસ્સો $(ii)$: પ્રથમ દડો કાળો હોય અને બીજો દડો સફેદ હોય.
સંભાવના $= \frac{3}{7} \times \frac{4}{6} = \frac{12}{42} = \frac{2}{7}$.
તેથી,બીજો દડો સફેદ હોય તેની કુલ સંભાવના આ બંને કિસ્સાઓની સંભાવનાઓનો સરવાળો છે:
કુલ સંભાવના $= \frac{2}{7} + \frac{2}{7} = \frac{4}{7}$.

(C) દ્વારા બદલી સાથે એક જ રંગના (suit) બે પત્તાં ખેંચવાની સંભાવના:
કુલ $4$ રંગ (suit) છે,દરેક માં $13$ પત્તાં હોય છે.
ચોક્કસ રંગનું પત્તું ખેંચવાની સંભાવના $\frac{13}{52} = \frac{1}{4}$ છે.
પત્તાં બદલી સાથે ખેંચવામાં આવે છે,તેથી એક જ રંગના બે પત્તાં ખેંચવાની સંભાવના $4 \times (\frac{1}{4} \times \frac{1}{4}) = 4 \times \frac{1}{16} = \frac{1}{4}$ થાય.
$B$ દ્વારા પાસાની જોડી ફેંકતા કુલ $6$ મેળવવાની સંભાવના:
બે પાસા ફેંકતી વખતે કુલ પરિણામો $6 \times 6 = 36$ મળે છે.
સરવાળો $6$ મળે તેવા સાનુકૂળ પરિણામો $(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)$ છે,જે કુલ $5$ પરિણામો છે.
તેથી,$P(B) = \frac{5}{36}$.
$A$ અને $B$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ હોવાથી,સંયુક્ત સંભાવના:
$P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{1}{4} \times \frac{5}{36} = \frac{5}{144}$.

(A) કુલ દડાઓની સંખ્યા = $2 + 4 + 3 = 9$.
આપણે દડાઓને ચોક્કસ ક્રમમાં પસંદ કરવાની સંભાવના શોધવાની છે: $B, B, W, W, W, W, R, R, R$.
સંભાવના નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$P = \frac{2}{9} \times \frac{1}{8} \times \frac{4}{7} \times \frac{3}{6} \times \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} \times \frac{3}{3} \times \frac{2}{2} \times \frac{1}{1}$
$P = \frac{2 \times 1 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 3 \times 2 \times 1}{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{288}{362880} = \frac{1}{1260}$.

(B) જ્યારે પાસાને ત્રણ વાર ફેંકવામાં આવે ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6^3 = 216$ છે.
ધારો કે મળેલી ત્રણ સંખ્યાઓ $x_1, x_2, x_3$ છે. આપણે $x_1 < x_2 < x_3$ શરત પૂરી કરવાની છે.
આનો અર્થ એ છે કે ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ માંથી $3$ ભિન્ન સંખ્યાઓ પસંદ કરવી,કારણ કે કોઈપણ $3$ ભિન્ન સંખ્યાઓના સમૂહ માટે,તેમને ચડતા ક્રમમાં ગોઠવવાની માત્ર એક જ રીત હોય છે.
$6$ માંથી $3$ ભિન્ન સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા સંચયના સૂત્ર $\binom{6}{3}$ દ્વારા મળે છે.
$\binom{6}{3} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$.
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $20$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{20}{216} = \frac{5}{54}$ થાય.

(B) કુલ પત્તાં = $52$. એક્કાની સંખ્યા = $4$. એક્કા ન હોય તેવા પત્તાંની સંખ્યા = $48$.
આપણે ઇચ્છીએ છીએ કે પ્રથમ $10$ પત્તાં એક્કા ન હોય અને $11$મું પત્તું એક્કો હોય.
સળંગ $10$ એક્કા ન હોય તેવા પત્તાં પસંદ કરવાની સંભાવના દરેક ખેંચાણ માટેની સંભાવનાઓના ગુણાકાર દ્વારા મળે છે:
$P = \frac{48}{52} \times \frac{47}{51} \times \frac{46}{50} \times \frac{45}{49} \times \frac{44}{48} \times \frac{43}{47} \times \frac{42}{46} \times \frac{41}{45} \times \frac{40}{44} \times \frac{39}{43} \times \frac{4}{42}$.
અંશ અને છેદમાં સમાન પદોને દૂર કરતા:
$P = \frac{48 \times 47 \times 46 \times 45 \times 44 \times 43 \times 42 \times 41 \times 40 \times 39}{52 \times 51 \times 50 \times 49 \times 48 \times 47 \times 46 \times 45 \times 44 \times 43} \times \frac{4}{42}$.
$P = \frac{42 \times 41 \times 40 \times 39}{52 \times 51 \times 50 \times 49} \times \frac{4}{42} = \frac{41 \times 40 \times 39}{52 \times 51 \times 50 \times 49} \times 4$.
અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $\frac{164}{4165}$ મળે છે.

(D) ધારો કે $P(T)$ એ વર્ગમાં ટેસ્ટ લેવાની સંભાવના છે, $P(T) = 1/5$.
ધારો કે $P(T')$ એ ટેસ્ટ ન લેવાની સંભાવના છે, $P(T') = 1 - 1/5 = 4/5$.
વિદ્યાર્થી $2$ વર્ગમાં ગેરહાજર છે. વિદ્યાર્થી ઓછામાં ઓછી એક ટેસ્ટ ત્યારે ચૂકી જાય જો પ્રથમ વર્ગમાં, બીજા વર્ગમાં અથવા બંનેમાં ટેસ્ટ લેવાય.
પૂરક ઘટનાની ગણતરી કરવી સરળ છે: વિદ્યાર્થી એક પણ ટેસ્ટ ન ચૂકે તેની સંભાવના.
વિદ્યાર્થી એક પણ ટેસ્ટ ન ચૂકે જો બંનેમાંથી કોઈ પણ વર્ગમાં ટેસ્ટ ન લેવાય.
$P(\text{એક પણ ટેસ્ટ ન ચૂકે}) = P(T') \times P(T') = (4/5) \times (4/5) = 16/25$.
તેથી, વિદ્યાર્થી ઓછામાં ઓછી એક ટેસ્ટ ચૂકી જાય તેની સંભાવના $1 - P(\text{એક પણ ટેસ્ટ ન ચૂકે}) = 1 - 16/25 = 9/25$ છે.

(C) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
આપણે $3$,$5$ અથવા $11$ નો સરવાળો મેળવવા માટે સાનુકૂળ પરિણામો શોધવાની જરૂર છે:
- $3$ નો સરવાળો મેળવવા માટે: શક્ય પરિણામો $(1, 2)$ અને $(2, 1)$ છે. (કુલ $2$ કિસ્સા)
- $5$ નો સરવાળો મેળવવા માટે: શક્ય પરિણામો $(1, 4), (2, 3), (3, 2),$ અને $(4, 1)$ છે. (કુલ $4$ કિસ્સા)
- $11$ નો સરવાળો મેળવવા માટે: શક્ય પરિણામો $(5, 6)$ અને $(6, 5)$ છે. (કુલ $2$ કિસ્સા)
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 2 + 4 + 2 = 8$.
જરૂરી સંભાવના $= \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામો}}{\text{કુલ પરિણામો}} = \frac{8}{36} = \frac{2}{9}$ થાય.

(D) ધારો કે $P(O)$ એ એકી સંખ્યા મેળવવાની સંભાવના છે અને $P(E)$ એ બેકી સંખ્યા મેળવવાની સંભાવના છે.
પાસો પક્ષપાતી હોવાથી બેકી સંખ્યા મળવાની શક્યતા એકી સંખ્યા કરતાં બમણી છે, તેથી $P(E) = 2P(O)$.
સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ હોવાથી, $P(E) + P(O) = 1$, જે આપણને $3P(O) = 1$ આપે છે, તેથી $P(O) = \frac{1}{3}$ અને $P(E) = \frac{2}{3}$.
બે સંખ્યાઓનો સરવાળો બેકી ત્યારે જ થાય જો બંને સંખ્યાઓ બેકી હોય અથવા બંને સંખ્યાઓ એકી હોય.
$P(\text{સરવાળો બેકી}) = P(E, E) + P(O, O)$.
$P(E, E) = P(E) \times P(E) = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$.
$P(O, O) = P(O) \times P(O) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$.
તેથી, $P(\text{સરવાળો બેકી}) = \frac{4}{9} + \frac{1}{9} = \frac{5}{9}$.

(D) ધારો કે $T$ એ ભારત ટોસ જીતે તે ઘટના છે અને $V$ એ ભારત મેચ જીતે તે ઘટના છે.
આપેલ છે:
$P(T) = 3/4$
$P(T^c) = 1 - 3/4 = 1/4$
$P(V|T) = 4/5$
$P(V|T^c) = 1/2$
સંપૂર્ણ સંભાવનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$P(V) = P(T) \times P(V|T) + P(T^c) \times P(V|T^c)$
$P(V) = (3/4 \times 4/5) + (1/4 \times 1/2)$
$P(V) = 12/20 + 1/8 = 3/5 + 1/8$
$P(V) = (24 + 5) / 40 = 29/40$
તેથી,ભારતની જીતવાની સંભાવના $29/40$ છે.

(B) તાશની થોકડીમાં કુલ પત્તાની સંખ્યા $= 52$ છે.
તાશમાં રાજાઓની સંખ્યા $= 4$ છે.
તાશમાં રાણીઓની સંખ્યા $= 4$ છે.
રાજા ખેંચવાની અને રાણી ખેંચવાની ઘટનાઓ પરસ્પર નિવારક હોવાથી,રાજા અથવા રાણી ખેંચવાની સંભાવના તેમની વ્યક્તિગત સંભાવનાઓનો સરવાળો થશે.
રાજા ખેંચવાની સંભાવના $P(K) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ છે.
રાણી ખેંચવાની સંભાવના $P(Q) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ છે.
રાજા અથવા રાણી ખેંચવાની સંભાવના $P(K \cup Q) = P(K) + P(Q) = \frac{1}{13} + \frac{1}{13} = \frac{2}{13}$ થાય.

(C) પેકમાં કુલ પત્તાની સંખ્યા $= 52$ છે.
પેકમાં રાજાઓની સંખ્યા $= 4$ છે.
પેકમાં રાણીઓની સંખ્યા $= 4$ છે.
પત્તા એક પછી એક બદલ્યા વગર ખેંચવામાં આવતા હોવાથી:
પ્રથમ રાજા ખેંચવાની સંભાવના $= P(K_1) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$.
એક રાજા ખેંચ્યા પછી,બાકી રહેલા પત્તાની સંખ્યા $51$ છે.
પ્રથમ પત્તું રાજા હોય તે શરતે બીજું પત્તું રાણી હોવાની સંભાવના $= P(Q_2|K_1) = \frac{4}{51}$.
જરૂરી સંભાવના $= P(K_1) \times P(Q_2|K_1) = \frac{4}{52} \times \frac{4}{51} = \frac{1}{13} \times \frac{4}{51} = \frac{4}{663}$.

(D) ધારો કે $A, B, C$ એ અનુક્રમે $I, II$ અને $III$ ડિવિઝન મેળવવાની ઘટનાઓ છે,અને $D$ એ પરીક્ષામાં નાપાસ થવાની ઘટના છે.
આ ઘટનાઓ પરસ્પર નિવારક અને નિઃશેષ હોવાથી,તેમની સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ.
$P(A) = \frac{1}{10} = 0.1$
$P(B) = \frac{3}{5} = 0.6$
$P(C) = \frac{1}{4} = 0.25$
$P(A) + P(B) + P(C) + P(D) = 1$
$0.1 + 0.6 + 0.25 + P(D) = 1$
$0.95 + P(D) = 1$
$P(D) = 1 - 0.95 = 0.05$
$P(D) = \frac{5}{100} = \frac{1}{20}$
આપેલા વિકલ્પોમાં $\frac{1}{20}$ ન હોવાથી,સાચો જવાબ "આમાંથી કોઈ નહીં" છે.

(B) ધારો કે $p$ એ એક ઉછાળમાં $4$ કરતા મોટી સંખ્યા (એટલે કે $5$ અથવા $6$) મેળવવાની સંભાવના છે.
$p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
ધારો કે $q$ એ નિષ્ફળતાની સંભાવના છે (એટલે કે $1, 2, 3,$ અથવા $4$ મેળવવું).
$q = 1 - p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
આપણે એવી સંભાવના શોધવાની છે કે સફળતા બેકી સંખ્યામાં ઉછાળ (એટલે કે $2, 4, 6, \dots$ ઉછાળ) પર મળે.
આ સંભાવના અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીના સરવાળા દ્વારા મળે છે:
$P = P(FS) + P(FFFS) + P(FFFFFS) + \dots$
$P = qp + q^3p + q^5p + \dots$
આ એક ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = qp$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = q^2$ છે.
અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r}$ છે.
$P = \frac{qp}{1 - q^2} = \frac{(\frac{2}{3})(\frac{1}{3})}{1 - (\frac{2}{3})^2} = \frac{\frac{2}{9}}{1 - \frac{4}{9}} = \frac{\frac{2}{9}}{\frac{5}{9}} = \frac{2}{5}$.

(A) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે શક્ય પરિણામોની કુલ સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે ઓછામાં ઓછો એક પાસો અંક $6$ દર્શાવે છે.
જે પરિણામોમાં ઓછામાં ઓછો એક પાસો $6$ દર્શાવે છે તે નીચે મુજબ છે:
$(1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6), (6, 6), (6, 5), (6, 4), (6, 3), (6, 2), (6, 1)$.
આ પરિણામોની ગણતરી કરતા,આપણને $11$ સાનુકૂળ પરિણામો મળે છે.
તેથી,સંભાવના $P(E) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{11}{36}$.

(B) કુલ દડાની સંખ્યા $= 30$ છે.
ધારો કે $A$ એ $5$ નો ગુણક મેળવવાની ઘટના છે. $1$ થી $30$ ની વચ્ચે $5$ ના ગુણકો ${5, 10, 15, 20, 25, 30}$ છે. તેથી,$n(A) = 6$.
ધારો કે $B$ એ $7$ નો ગુણક મેળવવાની ઘટના છે. $1$ થી $30$ ની વચ્ચે $7$ ના ગુણકો ${7, 14, 21, 28}$ છે. તેથી,$n(B) = 4$.
$1$ થી $30$ ની વચ્ચે $5$ અને $7$ ના કોઈ સામાન્ય ગુણક ન હોવાથી,$n(A \cap B) = 0$.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 6 + 4 - 0 = 10$ છે.
સંભાવના $P(A \cup B) = \frac{n(A \cup B)}{\text{કુલ પરિણામો}} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}$ થાય.

(C) ધારો કે પક્ષીને મારવાની સંભાવના $p = 3/4$ છે.
તેથી,પક્ષીને ન મારવાની (ચૂકી જવાની) સંભાવના $q = 1 - p = 1 - 3/4 = 1/4$ છે.
વ્યક્તિ $n = 5$ વાર પ્રયત્ન કરે છે.
તે એક પણ વાર પક્ષીને ન મારી શકે તેનો અર્થ એ છે કે તે તમામ $5$ પ્રયત્નોમાં પક્ષીને મારવામાં નિષ્ફળ જાય છે.
આ દ્વિપદી સંભાવના સૂત્ર $P(X=0) = q^n = (1/4)^5$ દ્વારા મળે છે.
ગણતરી કરતા,$P(X=0) = 1^5 / 4^5 = 1 / 1024$ મળે છે.
તેથી,તે પક્ષીને ન મારી શકે તેની સંભાવના $1/1024$ છે.

(A) દરેક સિક્કાનો ઉછાળ એ એક સ્વતંત્ર ઘટના છે.
નિષ્પક્ષ સિક્કાના કોઈપણ એક ઉછાળમાં છાપ (head) આવવાની સંભાવના હંમેશા $\frac{1}{2}$ હોય છે,પછી ભલે અગાઉના ઉછાળના પરિણામો ગમે તે હોય.
તેથી,પાંચમા ઉછાળમાં છાપ (head) આવવાની સંભાવના $\frac{1}{2}$ છે.

(C) ધારો કે $A$ અને $B$ બે વ્યક્તિઓ છે. દરેક વ્યક્તિ $3$ વખત સિક્કો ઉછાળે છે.
$3$ પ્રયત્નોમાં $r$ છાપ મળે તેની સંભાવના દ્વિપદી વિતરણ $P(X=r) = \binom{3}{r} (\frac{1}{2})^3$ મુજબ મળે છે.
$r = 0, 1, 2, 3$ માટે સંભાવનાઓ નીચે મુજબ છે:
$P(0) = \binom{3}{0} (\frac{1}{8}) = \frac{1}{8}$
$P(1) = \binom{3}{1} (\frac{1}{8}) = \frac{3}{8}$
$P(2) = \binom{3}{2} (\frac{1}{8}) = \frac{3}{8}$
$P(3) = \binom{3}{3} (\frac{1}{8}) = \frac{1}{8}$
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,બંનેને સમાન સંખ્યામાં છાપ મળે તેની સંભાવના એ બંનેને $0, 1, 2,$ અથવા $3$ છાપ મળે તેની સંભાવનાઓનો સરવાળો છે:
$P = P(0)P(0) + P(1)P(1) + P(2)P(2) + P(3)P(3)$
$P = (\frac{1}{8} \times \frac{1}{8}) + (\frac{3}{8} \times \frac{3}{8}) + (\frac{3}{8} \times \frac{3}{8}) + (\frac{1}{8} \times \frac{1}{8})$
$P = \frac{1}{64} + \frac{9}{64} + \frac{9}{64} + \frac{1}{64} = \frac{20}{64} = \frac{5}{16}$.

(A) ધારો કે બે ધન સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ છે. આપેલ છે કે $x + y = 100$,જ્યાં $x, y \in \{1, 2, 3, \dots, 99\}$.
શક્ય જોડીઓ $(x, y)$ ની કુલ સંખ્યા $99$ છે.
આપણે ઇચ્છીએ છીએ કે ગુણાકાર $xy > 1000$ થાય.
$y = 100 - x$ મૂકતા,આપણને $x(100 - x) > 1000$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $100x - x^2 > 1000$ અથવા $x^2 - 100x + 1000 < 0$ થાય છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરીને $x^2 - 100x + 1000 = 0$ ઉકેલતા:
$x = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4000}}{2} = \frac{100 \pm \sqrt{6000}}{2} = 50 \pm 10\sqrt{15}$.
$\sqrt{15} \approx 3.87$ હોવાથી,$x \approx 50 \pm 38.7$.
તેથી,$x$ ની કિંમત $(11.3, 88.7)$ ની વચ્ચે હોવી જોઈએ.
$x$ માટે શક્ય પૂર્ણાંક કિંમતો $12, 13, \dots, 88$ છે.
આવી કિંમતોની સંખ્યા $88 - 12 + 1 = 77$ છે.
માટે સંભાવના $\frac{77}{99} = \frac{7}{9}$ થાય.

(C) દરેક ચતુષ્ફલકને $4$ બાજુઓ હોય છે,તેથી જ્યારે $3$ ચતુષ્ફલક ઉછાળવામાં આવે,ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $4^3 = 64$ થાય.
આપણે ઉપરની તરફ આવતી સંખ્યાઓનો સરવાળો $5$ થાય તે જોઈએ છે.
ધારો કે પરિણામો $(x_1, x_2, x_3)$ છે જ્યાં $x_i \in \{1, 2, 3, 4\}$.
સરવાળો $5$ થાય તેવી શક્ય સંયોજનો નીચે મુજબ છે:
$(1, 1, 3)$ જે $3$ ક્રમચયોમાં મળી શકે: $(1, 1, 3), (1, 3, 1), (3, 1, 1)$.
$(1, 2, 2)$ જે $3$ ક્રમચયોમાં મળી શકે: $(1, 2, 2), (2, 1, 2), (2, 2, 1)$.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 3 + 3 = 6$.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $= \frac{6}{64} = \frac{3}{32}$.

(B) કોઈપણ પૂર્ણાંક સંખ્યાના વર્ગનો છેલ્લો અંક તે સંખ્યાના છેલ્લા અંક પર જ આધાર રાખે છે.
ધારો કે પૂર્ણાંક સંખ્યાનો છેલ્લો અંક $x$ છે,જ્યાં $x \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.
આ અંકોના વર્ગ નીચે મુજબ છે:
$0^2 = 0$
$1^2 = 1$
$2^2 = 4$
$3^2 = 9$
$4^2 = 16$ (છેલ્લો અંક $6$)
$5^2 = 25$ (છેલ્લો અંક $5$)
$6^2 = 36$ (છેલ્લો અંક $6$)
$7^2 = 49$ (છેલ્લો અંક $9$)
$8^2 = 64$ (છેલ્લો અંક $4$)
$9^2 = 81$ (છેલ્લો અંક $1$)
વર્ગના છેલ્લા અંકો $\{0, 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1\}$ છે.
આપણે ઇચ્છીએ છીએ કે વર્ગનો છેલ્લો અંક $1$ અથવા $5$ હોય.
જ્યારે છેલ્લો અંક $1$ હોય તેવા કિસ્સાઓ $x = 1$ અને $x = 9$ છે (કુલ $2$ કિસ્સા).
જ્યારે છેલ્લો અંક $5$ હોય તેવો કિસ્સો $x = 5$ છે (કુલ $1$ કિસ્સો).
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો = $2 + 1 = 3$.
કુલ શક્ય પરિણામો = $10$.
તેથી,જરૂરી સંભાવના = $\frac{3}{10}$.

(B) ધારો કે બે પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ છે. દરેક પૂર્ણાંક સંખ્યા કાં તો બેકી $(E)$ અથવા એકી $(O)$ હોઈ શકે છે.
બે પૂર્ણાંક સંખ્યાઓની જોડી માટે $4$ શક્ય પરિણામો છે: $(E, E), (E, O), (O, E), (O, O)$.
દરેક પરિણામની સંભાવના $\frac{1}{4}$ છે.
$1$. જો બંને સંખ્યાઓ બેકી $(E, E)$ હોય,તો ગુણાકાર બેકી મળે.
$2$. જો એક સંખ્યા બેકી અને એક એકી $(E, O)$ અથવા $(O, E)$ હોય,તો ગુણાકાર બેકી મળે.
$3$. જો બંને સંખ્યાઓ એકી $(O, O)$ હોય,તો ગુણાકાર એકી મળે.
આમ,$4$ માંથી $3$ કિસ્સાઓમાં ગુણાકાર બેકી મળે છે: $(E, E), (E, O), (O, E)$.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{3}{4}$ છે.

(D) એક બીટ સાચું હોવાની સંભાવના $1 - p$ છે.
અલગ-અલગ બીટ્સમાં ભૂલો સ્વતંત્ર હોવાથી,તમામ $16$ બીટ્સ સાચા હોવાની સંભાવના $(1 - p)^{16}$ છે.
જો ઓછામાં ઓછું એક બીટ ખોટું હોય તો ખોટી સંખ્યા બને છે.
તેથી,ખોટી સંખ્યા બનવાની સંભાવના $1 - P(\text{બધા બીટ્સ સાચા હોય})$ છે.
આમ,સંભાવના $1 - (1 - p)^{16}$ છે.

(D) જ્યારે સિક્કાને $4$ વખત ઉછાળવામાં આવે ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $2^4 = 16$ થાય છે.
ધારો કે $E$ એ ઓછામાં ઓછી એક છાપ મળે તે ઘટના છે.
તેની પૂરક ઘટના $E'$ એ છે કે જેમાં એક પણ છાપ ન મળે,એટલે કે ચારેય વખત કાંટો (Tail) મળે.
એવું માત્ર $1$ જ પરિણામ છે જેમાં એક પણ છાપ મળતી નથી: $(T, T, T, T)$.
તેથી,$P(E') = \frac{1}{16}$.
ઓછામાં ઓછી એક છાપ મળે તેની સંભાવના $P(E) = 1 - P(E')$ છે.
$P(E) = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$.

(D) એક સદીમાં $100$ વર્ષ હોય છે. કોઈપણ સદીમાં $25$ લિપ વર્ષ અને $75$ સામાન્ય વર્ષ હોય છે.
લિપ વર્ષ પસંદ કરવાની સંભાવના $P(L) = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$ છે.
સામાન્ય વર્ષ પસંદ કરવાની સંભાવના $P(NL) = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$ છે.
લિપ વર્ષમાં $366$ દિવસ હોય છે,એટલે કે $52$ અઠવાડિયા અને $2$ વધારાના દિવસો. લિપ વર્ષમાં $53$ રવિવાર હોવાની સંભાવના $\frac{2}{7}$ છે.
સામાન્ય વર્ષમાં $365$ દિવસ હોય છે,એટલે કે $52$ અઠવાડિયા અને $1$ વધારાનો દિવસ. સામાન્ય વર્ષમાં $53$ રવિવાર હોવાની સંભાવના $\frac{1}{7}$ છે.
કુલ સંભાવના $= P(L) \times P(\text{લિપ વર્ષમાં } 53 \text{ રવિવાર}) + P(NL) \times P(\text{સામાન્ય વર્ષમાં } 53 \text{ રવિવાર})$.
કુલ સંભાવના $= (\frac{1}{4} \times \frac{2}{7}) + (\frac{3}{4} \times \frac{1}{7}) = \frac{2}{28} + \frac{3}{28} = \frac{5}{28}$.

(B) ધારો કે $P(K)$ એ $K$ સપાટી મળવાની સંભાવના છે. આપેલ છે કે $P(K) \propto K$,તેથી $P(K) = cK$ કોઈ અચળાંક $c$ માટે.
બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ હોવો જોઈએ,તેથી $\sum_{K=1}^{6} P(K) = 1$.
$c(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 1 \implies c(21) = 1 \implies c = \frac{1}{21}$.
બેકી સંખ્યાઓ ધરાવતા પરિણામો $2, 4,$ અને $6$ છે.
બેકી સંખ્યા મળવાની સંભાવના $P(2) + P(4) + P(6) = c(2 + 4 + 6) = 12c$ છે.
$c = \frac{1}{21}$ મૂકતા,આપણને $\frac{12}{21} = \frac{4}{7}$ મળે છે.

(C) જ્યારે એક પાસો ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામો $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે,તેથી કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 6$ છે.
પાસા પરની બેકી સંખ્યાઓ $\{2, 4, 6\}$ છે,તેથી સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 3$ છે.
બેકી સંખ્યા મેળવવાની સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ દ્વારા મળે છે.

(C) પત્તાંની કેટમાં કુલ પત્તાંની સંખ્યા = $52$.
એક કેટમાં એક્કાની સંખ્યા = $4$.
પ્રથમ પત્તું એક્કો હોવાની સંભાવના = $\frac{4}{52} = \frac{1}{13}$.
પત્તું પાછા મૂક્યા વગર ખેંચવામાં આવતું હોવાથી,બાકી રહેલા કુલ પત્તાં = $51$ અને બાકી રહેલા એક્કાની સંખ્યા = $3$.
બીજું પત્તું એક્કો હોવાની સંભાવના = $\frac{3}{51} = \frac{1}{17}$.
બંને પત્તાં એક્કા હોવાની સંભાવના = $\frac{1}{13} \times \frac{1}{17} = \frac{1}{221}$.

(D) જ્યારે ત્રણ સિક્કા એકસાથે ઉછાળવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $2^3 = 8$ છે.
નિદર્શાવકાશ $S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$ છે.
ધારો કે $E$ એ ઓછામાં ઓછી એક છાપ મળે તે ઘટના છે.
તેની પૂરક ઘટના $E'$ એ છે કે એક પણ છાપ ન મળે,એટલે કે ત્રણેય સિક્કા પર કાંટો (tail) મળે $(TTT)$.
ઘટના $E'$ માટે પરિણામોની સંખ્યા $1$ છે.
તેથી,$P(E') = \frac{1}{8}$.
ઓછામાં ઓછી એક છાપ મળવાની સંભાવના $P(E) = 1 - P(E')$ છે.
$P(E) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$.

(C) ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે ઓછામાં ઓછા એક પાસા પર $5$ આવે છે.
બે પાસા માટે કુલ શક્ય પરિણામો $36$ છે. જે પરિણામોમાં $5$ આવે છે તે છે: $(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (6, 5)$.
ઘટના $A$ માં કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(A) = 11$ છે.
ધારો કે $B$ એ ઘટના છે કે સરવાળો $10$ કે તેથી વધુ છે.
આપણે શરતી સંભાવના $P(B|A) = \frac{n(A \cap B)}{n(A)}$ શોધવાની છે.
ઘટના $A$ માં એવા પરિણામો કે જેમાં સરવાળો $10$ કે તેથી વધુ હોય તે છે: $(5, 5), (5, 6), (6, 5)$.
આમ,$n(A \cap B) = 3$.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $P(B|A) = \frac{3}{11}$ છે.

(B) ધારો કે કોલેજમાં કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $100$ છે.
છોકરીઓ કુલ વિદ્યાર્થીઓના $60\%$ હોવાથી,છોકરીઓની સંખ્યા $= 60$ અને છોકરાઓની સંખ્યા $= 100 - 60 = 40$ થાય.
ગણિતનો અભ્યાસ કરતા છોકરાઓની સંખ્યા $= 40$ ના $25\% = \frac{25}{100} \times 40 = 10$.
ગણિતનો અભ્યાસ કરતી છોકરીઓની સંખ્યા $= 60$ ના $10\% = \frac{10}{100} \times 60 = 6$.
ગણિતનો અભ્યાસ કરતા કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $= 10 + 6 = 16$.
આપણે તે સંભાવના શોધવાની છે કે વિદ્યાર્થી છોકરી છે,જો તે ગણિતનો અભ્યાસ કરે છે.
શરતી સંભાવનાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P(\text{Girl} | \text{Maths}) = \frac{\text{ગણિતનો અભ્યાસ કરતી છોકરીઓની સંખ્યા}}{\text{ગણિતનો અભ્યાસ કરતા કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા}}$.
$P(\text{Girl} | \text{Maths}) = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$.

(C) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
પ્રથમ પાસા પર $1$ આવે તેવા સાનુકૂળ પરિણામો: $(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $6$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના = $\frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ થાય.

(C) કોઈપણ સંખ્યાનો છેલ્લો અંક $10$ અંકોમાંથી કોઈ પણ હોઈ શકે છે: ${0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$.
ચાર સંખ્યાઓના ગુણાકારનો છેલ્લો અંક $1, 3, 5$ અથવા $7$ મળે તે માટે,દરેક ચાર સંખ્યાનો છેલ્લો અંક $1, 3, 5$ અથવા $7$ હોવો જરૂરી છે.
દરેક સંખ્યા માટે $10$ શક્ય અંકોમાંથી $4$ સાનુકૂળ અંકો ${1, 3, 5, 7}$ છે.
એક સંખ્યા માટે સંભાવના $P = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ છે.
ચાર સ્વતંત્ર સંખ્યાઓ હોવાથી,ચારેય સંખ્યાઓનો છેલ્લો અંક ${1, 3, 5, 7}$ માંથી હોય તેની સંભાવના $\left( \frac{2}{5} \right)^4 = \frac{16}{625}$ થાય.

(A) જ્યારે સિક્કાને $n$ વખત ઉછાળવામાં આવે ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $2^n$ છે.
છાપ એકી સંખ્યામાં આવે તેવા પરિણામોની સંખ્યા દ્વિપદી સહગુણકોના સરવાળા દ્વારા મળે છે: $\binom{n}{1} + \binom{n}{3} + \binom{n}{5} + \dots$
દ્વિપદી સહગુણકોનો એક જાણીતો ગુણધર્મ છે કે એકી ક્રમના પદોનો સરવાળો અને બેકી ક્રમના પદોનો સરવાળો સમાન હોય છે,જે $2^{n-1}$ થાય છે.
તેથી,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $2^{n-1}$ છે.
જરૂરી સંભાવના = $\frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામો}}{\text{કુલ પરિણામો}} = \frac{2^{n-1}}{2^n} = \frac{1}{2}$.

(B) લીપ વર્ષમાં $366$ દિવસ હોય છે,જે $52$ અઠવાડિયા અને $2$ વધારાના દિવસો બરાબર છે.
આ $2$ વધારાના દિવસો નીચેનામાંથી કોઈ પણ જોડી હોઈ શકે છે:
(રવિવાર,સોમવાર),(સોમવાર,મંગળવાર),(મંગળવાર,બુધવાર),(બુધવાર,ગુરુવાર),(ગુરુવાર,શુક્રવાર),(શુક્રવાર,શનિવાર),(શનિવાર,રવિવાર).
આ $2$ દિવસો માટે કુલ $7$ શક્ય પરિણામો છે.
ધારો કે $A$ એ $53$ શુક્રવાર હોવાની ઘટના છે અને $B$ એ $53$ શનિવાર હોવાની ઘટના છે.
$P(A) = \frac{2}{7}$ (કારણ કે શુક્રવાર (ગુરુવાર,શુક્રવાર) અને (શુક્રવાર,શનિવાર) માં આવે છે).
$P(B) = \frac{2}{7}$ (કારણ કે શનિવાર (શુક્રવાર,શનિવાર) અને (શનિવાર,રવિવાર) માં આવે છે).
$P(A \cap B) = \frac{1}{7}$ (કારણ કે બંને માત્ર (શુક્રવાર,શનિવાર) માં આવે છે).
સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
$P(A \cup B) = \frac{2}{7} + \frac{2}{7} - \frac{1}{7} = \frac{3}{7}$.

(D) $1, 2, 3, 4, 5$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને પુનરાવર્તન સાથે બનતી બે અંકની કુલ સંખ્યાઓ $5 \times 5 = 25$ છે.
બે અંકની સંખ્યા $4$ વડે વિભાજ્ય હોય જો તે સંખ્યા $4$ નો ગુણક હોય. આ અંકો દ્વારા બનતી બે અંકની સંખ્યાઓ જે $4$ વડે વિભાજ્ય છે તે છે: $12, 24, 32, 44, 52$.
આવા કુલ $5$ સાનુકૂળ પરિણામો છે.
સંભાવના એ સાનુકૂળ પરિણામો અને કુલ પરિણામોનો ગુણોત્તર છે:
$P = \frac{5}{25} = \frac{1}{5}$.
આપેલા વિકલ્પોમાં $1/5$ ન હોવાથી,સાચો જવાબ 'આમાંથી કોઈ નહીં' છે.

(B) પત્તાના પેકમાં કુલ $52$ પત્તા હોય છે. પેકમાં લાલનો એક્કો (ace of heart) માત્ર $1$ જ હોય છે.
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે પ્રથમ પત્તું લાલનો એક્કો છે અને $B$ એ ઘટના છે કે બીજું પત્તું લાલનો એક્કો છે.
અહીં બે પરસ્પર નિવારક કિસ્સાઓ છે:
$(i)$ પ્રથમ પત્તું લાલનો એક્કો હોય અને બીજું પત્તું લાલનો એક્કો ન હોય:
$P(E_1) = \frac{1}{52} \times \frac{51}{51} = \frac{1}{52}$
$(ii)$ પ્રથમ પત્તું લાલનો એક્કો ન હોય અને બીજું પત્તું લાલનો એક્કો હોય:
$P(E_2) = \frac{51}{52} \times \frac{1}{51} = \frac{1}{52}$
તેથી,જરૂરી સંભાવના $P(E_1) + P(E_2) = \frac{1}{52} + \frac{1}{52} = \frac{2}{52} = \frac{1}{26}$ થાય.

(A) ધારો કે $P(A), P(B)$ અને $P(C)$ એ વિદ્યાર્થીઓ $A, B$ અને $C$ દ્વારા દાખલો ઉકેલવાની સંભાવનાઓ છે.
$P(A) = \frac{1}{2}, P(B) = \frac{1}{3}, P(C) = \frac{1}{4}$.
જો તેમનામાંથી ઓછામાં ઓછો એક વિદ્યાર્થી દાખલો ઉકેલે તો દાખલો ઉકેલાયો ગણાય.
કોઈપણ વિદ્યાર્થી દાખલો ન ઉકેલી શકે તેની સંભાવના શોધવી સરળ છે.
$A$ દાખલો ન ઉકેલી શકે તેની સંભાવના $P(A') = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ છે.
$B$ દાખલો ન ઉકેલી શકે તેની સંભાવના $P(B') = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ છે.
$C$ દાખલો ન ઉકેલી શકે તેની સંભાવના $P(C') = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ છે.
આ ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,કોઈ પણ દાખલો ન ઉકેલી શકે તેની સંભાવના $P(\text{None}) = P(A') \times P(B') \times P(C') = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$ થાય.
તેથી,દાખલો ઉકેલાય તેની સંભાવના $P(\text{Solved}) = 1 - P(\text{None}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ થાય.

(B) $2$ પાસા ફેંકવામાં આવે ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
જ્યારે બંને પાસા પર સમાન અંક આવે ત્યારે તેને સમાન અંક (doublet) કહેવાય છે.
સાધ્યા પરિણામો આ મુજબ છે: $(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)$.
આમ,સાધ્યા પરિણામોની સંખ્યા $6$ છે.
સમાન અંક મળવાની સંભાવના એ સાધ્યા પરિણામો અને કુલ પરિણામોનો ગુણોત્તર છે:
$\text{સંભાવના} = \frac{\text{સાધ્યા પરિણામો}}{\text{કુલ પરિણામો}} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}.$

(D) $2$ પાસા ફેંકતા મળતા કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
સરવાળો $7$ મળે તેવા સાનુકૂળ પરિણામો $(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)$ છે. આવા કુલ $6$ પરિણામો છે.
સરવાળો $12$ મળે તેવું સાનુકૂળ પરિણામ માત્ર $(6, 6)$ છે. આવું $1$ પરિણામ છે.
આ ઘટનાઓ પરસ્પર નિવારક હોવાથી,કુલ સંભાવના એ વ્યક્તિગત સંભાવનાઓનો સરવાળો છે:
$P(7 \text{ \text{અથવા }} 12) = P(7) + P(12) = \frac{6}{36} + \frac{1}{36} = \frac{7}{36}$.

(A) $20$ પગરખાંમાંથી $4$ પગરખાં પસંદ કરવાની કુલ રીતો $\binom{20}{4} = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 4845$ છે.
ઓછામાં ઓછી એક જોડી મળે તેની સંભાવના શોધવા માટે,આપણે પૂરક ઘટનાની સંભાવના શોધીશું: એક પણ જોડી ન મળે તેની સંભાવના.
$4$ પગરખાં એવી રીતે પસંદ કરવા કે જેમાં એક પણ જોડી ન હોય,તો આપણે $10$ જોડીમાંથી $4$ અલગ જોડી પસંદ કરવી પડે,જે $\binom{10}{4}$ રીતે કરી શકાય. આ $4$ જોડીમાંથી દરેકમાંથી $1$ પગરખું પસંદ કરવું પડે,જે $2^4$ રીતે કરી શકાય.
એક પણ જોડી ન હોય તેવી રીતે $4$ પગરખાં પસંદ કરવાની રીતો $= \binom{10}{4} \times 2^4 = 210 \times 16 = 3360$.
એક પણ જોડી ન મળે તેની સંભાવના $= \frac{3360}{4845} = \frac{224}{323}$.
ઓછામાં ઓછી એક જોડી મળે તેની સંભાવના $= 1 - \frac{224}{323} = \frac{99}{323}$.

(B) થેલીમાં દડાની કુલ સંખ્યા = $3 \text{ (લાલ)} + 7 \text{ (કાળા)} = 10 \text{ દડા}$.
પ્રથમ કાઢેલો દડો લાલ હોવાથી,તેને પાછો મૂકવામાં આવતો નથી.
એક લાલ દડો દૂર કર્યા પછી,થેલીમાં બાકી રહેલા દડાની સંખ્યા = $10 - 1 = 9$.
થેલીમાં બાકી રહેલા લાલ દડાની સંખ્યા = $3 - 1 = 2$.
તેથી,જો પ્રથમ દડો લાલ હોય,તો બીજો દડો લાલ હોવાની સંભાવના એ બાકી રહેલા લાલ દડાની સંખ્યાને બાકી રહેલા કુલ દડાની સંખ્યા વડે ભાગવાથી મળે છે.
સંભાવના = $\frac{2}{9}$.

(B) લિપ વર્ષમાં $366$ દિવસો હોય છે,જે $52$ અઠવાડિયા અને $2$ વધારાના દિવસો બરાબર છે.
$52$ પૂર્ણ અઠવાડિયામાં $52$ રવિવાર ચોક્કસપણે હોય જ છે.
બાકી રહેલા $2$ દિવસો માટે શક્ય જોડીઓ નીચે મુજબ છે:
$(i)$ રવિવાર અને સોમવાર
$(ii)$ સોમવાર અને મંગળવાર
$(iii)$ મંગળવાર અને બુધવાર
$(iv)$ બુધવાર અને ગુરુવાર
$(v)$ ગુરુવાર અને શુક્રવાર
$(vi)$ શુક્રવાર અને શનિવાર
$(vii)$ શનિવાર અને રવિવાર
આમ,બાકીના $2$ દિવસો માટે કુલ $7$ શક્ય પરિણામો છે.
$53$ રવિવાર મેળવવા માટે,બાકીના $2$ દિવસોમાંથી એક દિવસ રવિવાર હોવો જોઈએ.
આ પરિસ્થિતિ $2$ કિસ્સાઓમાં શક્ય છે: $(i)$ રવિવાર અને સોમવાર,અને $(vii)$ શનિવાર અને રવિવાર.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{2}{7}$ છે.

(B) ધારો કે $B_1$ એ પ્રથમ થેલી પસંદ કરવાની ઘટના છે અને $B_2$ એ બીજી થેલી પસંદ કરવાની ઘટના છે. થેલી યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવતી હોવાથી,$P(B_1) = P(B_2) = \frac{1}{2}$ છે.
પ્રથમ થેલીમાં $3$ સફેદ અને $2$ કાળા દડા છે,તેથી કુલ દડાની સંખ્યા $5$ છે. પ્રથમ થેલીમાંથી કાળો દડો પસંદ કરવાની સંભાવના $P(Black|B_1) = \frac{2}{5}$ છે.
બીજી થેલીમાં $2$ સફેદ અને $4$ કાળા દડા છે,તેથી કુલ દડાની સંખ્યા $6$ છે. બીજી થેલીમાંથી કાળો દડો પસંદ કરવાની સંભાવના $P(Black|B_2) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ છે.
સંપૂર્ણ સંભાવનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,કાળો દડો પસંદ કરવાની સંભાવના $P(Black) = P(B_1) \times P(Black|B_1) + P(B_2) \times P(Black|B_2)$ છે.
$P(Black) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{5} + \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{5} + \frac{1}{3} = \frac{3+5}{15} = \frac{8}{15}$.

(B) ધારો કે $E_1$ એ થેલી $x$ પસંદ કરવાની ઘટના છે અને $E_2$ એ થેલી $y$ પસંદ કરવાની ઘટના છે. થેલી યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવતી હોવાથી,$P(E_1) = P(E_2) = 1/2$ થાય.
ધારો કે $W$ એ સફેદ દડો પસંદ કરવાની ઘટના છે.
થેલી $x$ માંથી સફેદ દડો પસંદ કરવાની સંભાવના $P(W|E_1) = 3/5$ છે.
થેલી $y$ માંથી સફેદ દડો પસંદ કરવાની સંભાવના $P(W|E_2) = 2/6 = 1/3$ છે.
સંપૂર્ણ સંભાવનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$P(W) = P(E_1) \cdot P(W|E_1) + P(E_2) \cdot P(W|E_2)$.
$P(W) = (1/2) \cdot (3/5) + (1/2) \cdot (1/3) = 3/10 + 1/6 = (9 + 5) / 30 = 14/30 = 7/15$.

(C) પ્રથમ પેટીમાં પેનની કુલ સંખ્યા = $4 + 2 = 6$ છે.
બીજી પેટીમાં પેનની કુલ સંખ્યા = $3 + 5 = 8$ છે.
પ્રથમ પેટીમાંથી સફેદ પેન પસંદ કરવાની સંભાવના = $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ છે.
બીજી પેટીમાંથી સફેદ પેન પસંદ કરવાની સંભાવના = $\frac{3}{8}$ છે.
દરેક પેટીમાંથી પસંદગી એ સ્વતંત્ર ઘટના હોવાથી,બંને પેન સફેદ હોય તેની સંભાવના તેમની વ્યક્તિગત સંભાવનાઓનો ગુણાકાર છે.
જરૂરી સંભાવના = $\frac{2}{3} \times \frac{3}{8} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$ થાય.

(B) ધારો કે $A$ પ્રથમ થેલી છે અને $B$ બીજી થેલી છે.
થેલી $A$ માટે: $P(\text{લાલ}_A) = \frac{3}{8}$,$P(\text{કાળો}_A) = \frac{5}{8}$.
થેલી $B$ માટે: $P(\text{લાલ}_B) = \frac{6}{10}$,$P(\text{કાળો}_B) = \frac{4}{10}$.
'એક લાલ અને બીજો કાળો દડો' મળે તે ઘટના બે પરસ્પર નિવારક રીતે બની શકે છે:
$1$. થેલી $A$ માંથી લાલ અને થેલી $B$ માંથી કાળો દડો.
$2$. થેલી $A$ માંથી કાળો અને થેલી $B$ માંથી લાલ દડો.
જરૂરી સંભાવના $= P(\text{લાલ}_A) \times P(\text{કાળો}_B) + P(\text{કાળો}_A) \times P(\text{લાલ}_B)$
$= (\frac{3}{8} \times \frac{4}{10}) + (\frac{5}{8} \times \frac{6}{10})$
$= \frac{12}{80} + \frac{30}{80} = \frac{42}{80} = \frac{21}{40}$.

(A) ધારો કે લક્ષ્યને વીંધવાની સંભાવના $p = 1/5$ છે.
તેથી, લક્ષ્ય ચૂકી જવાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - 1/5 = 4/5$ થાય.
$n = 10$ સ્વતંત્ર પ્રયત્નો માટે, તમામ $10$ પ્રયત્નોમાં લક્ષ્ય ચૂકી જવાની સંભાવના $q^{10} = (4/5)^{10}$ થાય.
ઓછામાં ઓછી એક વાર લક્ષ્ય વીંધવાની સંભાવના $P(\text{ઓછામાં ઓછું એક લક્ષ્ય}) = 1 - P(\text{એક પણ લક્ષ્ય નહીં})$ દ્વારા મળે છે.
તેથી, $P(\text{ઓછામાં ઓછું એક લક્ષ્ય}) = 1 - (4/5)^{10}$.

(C) જ્યારે ચાર સિક્કા ઉછાળવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $2^4 = 16$ છે.
'ઓછામાં ઓછી એક છાપ' મળવાની ઘટના એ 'એક પણ છાપ ન મળે' (એટલે કે,બધા કાંટા - tails) તે ઘટનાની પૂરક ઘટના છે.
એક પણ છાપ ન મળે તેની સંભાવના $P(\text{no head}) = \frac{1}{16}$ છે.
તેથી,ઓછામાં ઓછી એક છાપ મળે તેની સંભાવના $P(\text{at least one head}) = 1 - P(\text{no head})$ થાય.
$P(\text{at least one head}) = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$.