Probability Questions in Gujarati

(D) ગણ ${1, 2, 3, \dots, 30}$ માંથી બે ભિન્ન સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${}^{30}C_2 = \frac{30 \times 29}{2} = 435$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $a^2 - b^2$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય હોય જો $a^2 \equiv b^2 \pmod{3}$ થાય.
કોઈપણ પૂર્ણાંક $n$ માટે, $n^2 \pmod{3}$ ની કિંમત $0$ (જો $n$ એ $3$ નો ગુણક હોય) અથવા $1$ (જો $n$ એ $3$ નો ગુણક ન હોય) હોઈ શકે.
ધારો કે $S_0$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓનો ગણ છે $(|S_0| = 10)$ અને $S_1$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય ન હોય તેવી સંખ્યાઓનો ગણ છે $(|S_1| = 20)$.
$a^2 - b^2$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય હોય તે માટે બે કિસ્સાઓ છે:
કિસ્સો $1$: $a$ અને $b$ બંને $S_0$ માં હોય. રીતોની સંખ્યા ${}^{10}C_2 = \frac{10 \times 9}{2} = 45$ છે.
કિસ્સો $2$: $a$ અને $b$ બંને $S_1$ માં હોય. રીતોની સંખ્યા ${}^{20}C_2 = \frac{20 \times 19}{2} = 190$ છે.
કુલ સાનુકૂળ કિસ્સાઓ $= 45 + 190 = 235$.
તેથી, જરૂરી સંભાવના $= \frac{235}{435} = \frac{47}{87}$ છે.

(D) ધારો કે દરેક મિત્રને $x$ પુત્રીઓ છે.
કુલ પુત્રીઓની સંખ્યા = $x + x = 2x$.
આપણે $2x$ પુત્રીઓમાંથી $3$ ટિકિટો પસંદ કરવાની છે. $3$ ટિકિટો વહેંચવાની કુલ રીતો ${}^{2x}C_3$ છે.
$3$ ટિકિટો એવી રીતે પસંદ કરવાની રીતો કે જેથી બધી $A$ ની પુત્રીઓને મળે તે ${}^xC_3$ છે.
સંભાવના $\frac{{}^xC_3}{{}^{2x}C_3} = \frac{1}{20}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સંયોજનનું વિસ્તરણ કરતા: $\frac{x(x-1)(x-2)}{3!} / \frac{2x(2x-1)(2x-2)}{3!} = \frac{1}{20}$.
$\frac{x(x-1)(x-2)}{2x(2x-1)2(x-1)} = \frac{1}{20}$.
$\frac{x-2}{4(2x-1)} = \frac{1}{20}$.
$20(x-2) = 4(2x-1)$.
$5(x-2) = 2x-1$.
$5x - 10 = 2x - 1$.
$3x = 9$.
$x = 3$.

(B) કુલ $10$ અંકો શક્ય છે: $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$.
કારણ કે છેલ્લા બે અંકો અલગ-અલગ છે,તેથી આ બે અંકોને પસંદ કરવાની અને ગોઠવવાની કુલ રીતો ક્રમચયના સૂત્ર ${}^{10}P_2$ દ્વારા મળે છે.
${}^{10}P_2 = 10 \times 9 = 90$.
આ $90$ શક્ય પરિણામોમાંથી,માત્ર $1$ પરિણામ એ છેલ્લા બે અંકોનો સાચો ક્રમ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{1}{90}$ છે.

(C) પેટીમાં કુલ દડાની સંખ્યા $2 + 3 + 4 = 9$ છે.
$9$ દડામાંથી $3$ દડા પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${}^9C_3 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$ છે.
દડા એક જ રંગના હોય તે માટે,તે કાં તો ત્રણેય કાળા હોવા જોઈએ અથવા ત્રણેય સફેદ હોવા જોઈએ (કારણ કે લાલ દડા માત્ર $2$ જ છે,તેથી $3$ લાલ દડા કાઢવા અશક્ય છે).
$3$ કાળા દડામાંથી $3$ દડા પસંદ કરવાની રીતો ${}^3C_3 = 1$ છે.
$4$ સફેદ દડામાંથી $3$ દડા પસંદ કરવાની રીતો ${}^4C_3 = 4$ છે.
તેથી,સાનુકૂળ પરિણામોની કુલ સંખ્યા $1 + 4 = 5$ છે.
આમ,જરૂરી સંભાવના $\frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામો}}{\text{કુલ પરિણામો}} = \frac{5}{84}$ થાય.

(B) $6$ છોકરાઓ અને $6$ છોકરીઓને એક હરોળમાં ગોઠવવાની કુલ રીતો $12!$ છે.
જો બધી $6$ છોકરીઓ એકસાથે બેસે,તો આપણે $6$ છોકરીઓને એક એકમ તરીકે ગણીએ છીએ. હવે,આપણી પાસે $6$ છોકરાઓ અને $1$ છોકરીઓનો એકમ છે,એટલે કે કુલ $7$ એકમો છે,જેને $7!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
એકમની અંદર,$6$ છોકરીઓ પોતાની વચ્ચે $6!$ રીતે ગોઠવાઈ શકે છે.
તેથી,સાનુકૂળ ગોઠવણીઓની સંખ્યા $7! \times 6!$ છે.
જરૂરી સંભાવના $\frac{7! \times 6!}{12!} = \frac{7! \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7!} = \frac{720}{95040} = \frac{1}{132}$ થાય.

(B) $11$ વ્યક્તિઓમાંથી $6$ વ્યક્તિઓને પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${}^{11}C_6 = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 462$ છે.
$6$ વ્યક્તિઓની સમિતિમાં બરાબર $2$ સ્ત્રીઓ મેળવવા માટે,આપણે $4$ સ્ત્રીઓમાંથી $2$ સ્ત્રીઓ અને $7$ પુરુષોમાંથી $4$ પુરુષો પસંદ કરવા પડશે.
$4$ સ્ત્રીઓમાંથી $2$ સ્ત્રીઓને પસંદ કરવાની રીતો ${}^4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ છે.
$7$ પુરુષોમાંથી $4$ પુરુષોને પસંદ કરવાની રીતો ${}^7C_4 = {}^7C_3 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ છે.
કુલ સાનુકૂળ રીતો = ${}^4C_2 \times {}^7C_4 = 6 \times 35 = 210$.
સંભાવના = $\frac{\text{સાનુકૂળ રીતો}}{\text{કુલ રીતો}} = \frac{210}{462} = \frac{5}{11}$.

(A) કુલ દડાની સંખ્યા = $4$ (સફેદ) + $3$ (લાલ) = $7$ દડા.
પ્રથમ લાલ દડો પસંદ કરવાની સંભાવના = $\frac{3}{7}$.
દડો પાછો મૂકવામાં આવતો ન હોવાથી,બાકી રહેલા દડાની સંખ્યા $6$ છે અને બાકી રહેલા લાલ દડાની સંખ્યા $2$ છે.
બીજો લાલ દડો પસંદ કરવાની સંભાવના = $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
તેથી,બંને દડા લાલ હોય તેની સંભાવના = $\frac{3}{7} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{7}$.

(D) થેલીમાં કુલ દડાની સંખ્યા $= 5 + 7 + 4 = 16$ છે.
આપણે $16$ દડામાંથી $3$ દડા પસંદ કરવાના છે. $3$ દડા પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{16}C_3 = \frac{16 \times 15 \times 14}{3 \times 2 \times 1} = 16 \times 5 \times 7 = 560$ છે.
$5$ સફેદ દડામાંથી $3$ સફેદ દડા પસંદ કરવાની રીતો $^{5}C_3 = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10$ છે.
$3$ સફેદ દડા પસંદ કરવાની સંભાવના $P = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{10}{560} = \frac{1}{56}$ થાય.

(B) $40$ ક્રમિક પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સમૂહમાં,બરાબર $20$ એકી સંખ્યાઓ અને $20$ બેકી સંખ્યાઓ હોય છે.
બે પસંદ કરેલી સંખ્યાઓનો સરવાળો એકી હોવા માટે,એક સંખ્યા એકી અને બીજી સંખ્યા બેકી હોવી જોઈએ.
$40$ માંથી $2$ સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${}^{40}C_2 = \frac{40 \times 39}{2} = 780$ છે.
એક એકી અને એક બેકી સંખ્યા પસંદ કરવાની રીતો ${}^{20}C_1 \times {}^{20}C_1 = 20 \times 20 = 400$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $P = \frac{400}{780} = \frac{40}{78} = \frac{20}{39}$ છે.

(D) પત્તાંની કેટમાં કુલ પત્તાંની સંખ્યા = $52$.
લાલ રંગના પત્તાંની સંખ્યા = $26$.
આપણે $26$ લાલ પત્તાંમાંથી $3$ પત્તાં પસંદ કરવાના છે.
$26$ માંથી $3$ લાલ પત્તાં પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા ${}^{26}C_3$ છે.
$52$ માંથી $3$ પત્તાં પસંદ કરવાની કુલ રીતોની સંખ્યા ${}^{52}C_3$ છે.
સંભાવના $P$ નીચે મુજબ મળે:
$P = \frac{{}^{26}C_3}{{}^{52}C_3} = \frac{\frac{26 \times 25 \times 24}{3 \times 2 \times 1}}{\frac{52 \times 51 \times 50}{3 \times 2 \times 1}} = \frac{26 \times 25 \times 24}{52 \times 51 \times 50}$
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા:
$P = \frac{26}{52} \times \frac{25}{50} \times \frac{24}{51} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{8}{17} = \frac{8}{68} = \frac{2}{17}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) કુલ નિષ્ણાતોની સંખ્યા $= 2 + 3 + 4 = 9$ છે.
આપણે $9$ માંથી $3$ નિષ્ણાતો પસંદ કરવાના છે જે રાજીનામું આપે. $3$ નિષ્ણાતો પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${}^9C_3 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$ છે.
આપણે ઈચ્છીએ છીએ કે $3$ નિષ્ણાતો અલગ-અલગ સંસ્થાઓના હોય. આનો અર્થ એ છે કે આપણે સંસ્થા $A$ માંથી $1$,$B$ માંથી $1$ અને $C$ માંથી $1$ નિષ્ણાત પસંદ કરવો પડશે.
દરેકમાંથી $1$ નિષ્ણાત પસંદ કરવાની રીતો ${}^2C_1 \times {}^3C_1 \times {}^4C_1 = 2 \times 3 \times 4 = 24$ છે.
જરૂરી સંભાવના $= \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{24}{84}$ છે.
અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા,$\frac{24}{84} = \frac{2}{7}$ મળે છે.

(A) $100$ માંથી બે સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${}^{100}C_2 = \frac{100 \times 99}{2} = 4950$ છે.
ધારો કે ગણ $S = \{1, 2, 3, \dots, 100\}$ છે. $S$ માં $3$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓ $\{3, 6, 9, \dots, 99\}$ છે, જે કુલ $33$ છે. $3$ વડે વિભાજ્ય ન હોય તેવી સંખ્યાઓ $100 - 33 = 67$ છે.
બે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર $3$ વડે ત્યારે જ વિભાજ્ય હોય જો પસંદ કરેલી ઓછામાં ઓછી એક સંખ્યા $3$ વડે વિભાજ્ય હોય.
પૂરક ઘટના ગણવી સરળ છે: ગુણાકાર $3$ વડે વિભાજ્ય ન હોય જો બંને પસંદ કરેલી સંખ્યાઓ $3$ વડે વિભાજ્ય ન હોય.
બંને સંખ્યાઓ $3$ વડે વિભાજ્ય ન હોય તેવી પસંદગીની રીતો ${}^{67}C_2 = \frac{67 \times 66}{2} = 2211$ છે.
તેથી, ગુણાકાર $3$ વડે વિભાજ્ય હોય તેવી રીતો $4950 - 2211 = 2739$ છે.
માગેલ સંભાવના $\frac{2739}{4950} = 0.5533\dots$ થાય, જે દશાંશના બે સ્થાન સુધી $0.55$ છે.

(A) ઉપલબ્ધ અંકોનો સમૂહ ${1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}$ છે. કુલ $7$ અંકો છે.
આ $7$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને બનાવી શકાતી $5$ અંકની કુલ સંખ્યાઓ (પુનરાવર્તન વગર) $^7P_5 = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 2520$ છે.
સમૂહમાં ઉપલબ્ધ બેકી અંકો ${2, 4, 6, 8}$ છે,જે કુલ $4$ છે.
$5$ અંકની સંખ્યાના બંને છેડે બેકી અંક હોય તે માટે,આપણે $4$ ઉપલબ્ધ બેકી અંકોમાંથી $2$ બેકી અંકો પસંદ કરવા પડે. આ ગોઠવવાની રીતો $^4P_2 = 4 \times 3 = 12$ છે.
બંને છેડે $2$ બેકી અંકો મૂક્યા પછી,આપણી પાસે $5$ અંકો બાકી રહે છે (મૂળ $7$ અંકોમાંથી $2$ વપરાઈ ગયા). આપણે બાકીના $3$ સ્થાનો આ $5$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને ભરવાના છે. આ કરવાની રીતો $^5P_3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$ છે.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો = $12 \times 60 = 720$.
સંભાવના = $\frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામો}}{\text{કુલ પરિણામો}} = \frac{720}{2520} = \frac{72}{252} = \frac{2}{7}$.

(A) દડાઓની કુલ સંખ્યા $= 3 + 4 + 5 = 12$.
$12$ દડામાંથી $3$ દડા પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^{12}C_3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$ છે.
દડાઓ અલગ-અલગ રંગના હોય તે માટે,આપણે $1$ લાલ,$1$ સફેદ અને $1$ કાળો દડો પસંદ કરવો પડે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= ^3C_1 \times ^4C_1 \times ^5C_1 = 3 \times 4 \times 5 = 60$.
સંભાવના $= \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામો}}{\text{કુલ પરિણામો}} = \frac{60}{220} = \frac{6}{22} = \frac{3}{11}$.

(D) નિયમિત અષ્ટકોણને $8$ શિરોબિંદુઓ હોય છે. $8$ માંથી $4$ શિરોબિંદુઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો સંચયના સૂત્ર $^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ દ્વારા મળે છે.
કુલ શક્ય પરિણામો $= ^8C_4 = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$.
નિયમિત અષ્ટકોણમાં,લંબચોરસ ત્યારે બને છે જ્યારે $4$ શિરોબિંદુઓ એવી રીતે પસંદ કરવામાં આવે કે જેથી લંબચોરસના વિકર્ણો એ પરિવૃતના વ્યાસ હોય. નિયમિત અષ્ટકોણમાં આવા માત્ર $2$ જ લંબચોરસ શક્ય છે (આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ: $ADEH$ અને $GFCB$).
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= 2$.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $= \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ શક્ય પરિણામો}} = \frac{2}{70} = \frac{1}{35}$.

(D) કુલ મોજાંની સંખ્યા $= 5 + 4 = 9$ છે.
$9$ માંથી $2$ મોજાં પસંદ કરવાની કુલ રીતો $= ^9C_2 = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$ થાય.
$5$ કથ્થઈ મોજાંમાંથી $2$ કથ્થઈ મોજાં પસંદ કરવાની રીતો $= ^5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ થાય.
$4$ સફેદ મોજાંમાંથી $2$ સફેદ મોજાં પસંદ કરવાની રીતો $= ^4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ થાય.
બંને મોજાં એક જ રંગના હોય તેવી પસંદગીની કુલ રીતો $= 10 + 6 = 16$ થાય.
તેથી,બંને મોજાં એક જ રંગના હોય તેની સંભાવના $P = \frac{16}{36}$ થાય.
વિકલ્પો મુજબ જવાબ મેળવવા માટે,અંશ અને છેદને $3$ વડે ગુણતા: $P = \frac{16 \times 3}{36 \times 3} = \frac{48}{108}$.

(C) $38$ લોકોમાંથી $3$ લોકોની સમિતિ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $\binom{38}{3}$ છે.
જો તમે સમિતિમાં હોવ,તો તમે પહેલેથી જ પસંદ થઈ ગયા છો,અને આપણે બાકીના $37$ લોકોમાંથી બાકીના $2$ સભ્યો પસંદ કરવાના રહે છે.
બાકીના $2$ સભ્યોને પસંદ કરવાની રીતો $\binom{37}{2}$ છે.
તેથી,તમે સમિતિમાં હોવ તેની સંભાવના એ સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા અને કુલ પરિણામોની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે:
$P = \frac{\binom{37}{2}}{\binom{38}{3}}$.

(B) કુલ વ્યક્તિઓની સંખ્યા $= 4 \text{ છોકરાઓ} + 3 \text{ છોકરીઓ} = 7 \text{ વ્યક્તિઓ}$.
$7$ વ્યક્તિઓને લાઈનમાં ગોઠવવાની કુલ રીતો $= 7!$.
છોકરાઓ અને છોકરીઓ એકાંતરે ઉભા રહે તે માટેની ગોઠવણી $B, G, B, G, B, G, B$ હોવી જોઈએ.
$4$ છોકરાઓને $4$ નિર્ધારિત સ્થાનો પર ગોઠવવાની રીતો $= 4!$.
$3$ છોકરીઓને $3$ નિર્ધારિત સ્થાનો પર ગોઠવવાની રીતો $= 3!$.
કુલ સાનુકૂળ ગોઠવણીઓ $= 4! \times 3!$.
સંભાવના $= \frac{4! \times 3!}{7!} = \frac{24 \times 6}{5040} = \frac{144}{5040} = \frac{1}{35}$.

(A) $90$ ટિકિટોમાંથી $5$ ટિકિટો પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{90}C_5$ છે.
આપણે $2$ ચોક્કસ ટિકિટો ($15$ અને $89$) અને બાકીની $88$ ટિકિટોમાંથી $3$ ટિકિટો પસંદ કરવાની છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $^{2}C_2 \times ^{88}C_3 = 1 \times ^{88}C_3$ છે.
સંભાવના $P = \frac{^{88}C_3}{^{90}C_5}$.
$P = \frac{88! / (3! 85!)}{90! / (5! 85!)} = \frac{88!}{3! 85!} \times \frac{5! 85!}{90!} = \frac{5 \times 4}{90 \times 89} = \frac{20}{8010} = \frac{2}{801}$.

(A) $15$ ખેલાડીઓમાંથી $11$ ખેલાડીઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${^{15}C_{11}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$8$ બેટ્સમેનમાંથી $6$ બેટ્સમેન પસંદ કરવાની રીતો ${^8C_6}$ છે.
$7$ બોલરમાંથી $5$ બોલર પસંદ કરવાની રીતો ${^7C_5}$ છે.
તેથી,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા ${^8C_6} \times {^7C_5}$ છે.
જરૂરી સંભાવના એ સાનુકૂળ પરિણામો અને કુલ પરિણામોનો ગુણોત્તર છે:
$P = \frac{{^8C_6} \times {^7C_5}}{{^{15}C_{11}}}$.

(D) થેલીમાં રહેલા દડાની કુલ સંખ્યા = $5$ (કાળા) + $4$ (સફેદ) + $3$ (લાલ) = $12$ દડા.
આપણે કાળો અથવા લાલ દડો પસંદ કરવાની સંભાવના શોધવાની છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા (કાળો અથવા લાલ) = $5 + 3 = 8$.
કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા = $12$.
સંભાવના $P(\text{કાળો અથવા લાલ}) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$.

(C) $30$ ક્રમિક પૂર્ણાંકોમાંથી $2$ પૂર્ણાંકો પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{30}C_2 = \frac{30 \times 29}{2} = 435$ છે.
બે સંખ્યાઓનો સરવાળો એકી (odd) હોય તે માટે,એક સંખ્યા બેકી (even) અને બીજી સંખ્યા એકી (odd) હોવી જોઈએ.
$30$ ક્રમિક પૂર્ણાંકોમાં $15$ બેકી સંખ્યાઓ અને $15$ એકી સંખ્યાઓ હોય છે.
એક બેકી અને એક એકી સંખ્યા પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^{15}C_1 \times ^{15}C_1 = 15 \times 15 = 225$ છે.
જરૂરી સંભાવના = $\frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામો}}{\text{કુલ પરિણામો}} = \frac{225}{435}$ છે.
અંશ અને છેદને $15$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{225 \div 15}{435 \div 15} = \frac{15}{29}$ મળે છે.

(C) પ્રથમ $20$ પૂર્ણાંકોમાંથી $3$ પૂર્ણાંકો પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{20}C_3 = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = 1140$ છે.
ત્રણ પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર બેકી ત્યારે જ હોય જો તેમાંથી ઓછામાં ઓછો એક પૂર્ણાંક બેકી હોય.
પૂરક ઘટનાની સંભાવના ગણવી સરળ છે,જેનો અર્થ છે કે ગુણાકાર એકી (odd) હોય. ગુણાકાર એકી ત્યારે જ હોય જો ત્રણેય પસંદ કરેલા પૂર્ણાંકો એકી હોય.
પ્રથમ $20$ પૂર્ણાંકોમાં $10$ એકી અને $10$ બેકી પૂર્ણાંકો છે.
$3$ એકી પૂર્ણાંકો પસંદ કરવાની રીતો $^{10}C_3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$ છે.
ગુણાકાર એકી હોય તેની સંભાવના $P(\text{odd}) = \frac{^{10}C_3}{^{20}C_3} = \frac{120}{1140} = \frac{12}{114} = \frac{2}{19}$ છે.
તેથી,ગુણાકાર બેકી હોય તેની સંભાવના $P(\text{even}) = 1 - P(\text{odd}) = 1 - \frac{2}{19} = \frac{17}{19}$ થાય.

(D) $6$ સંખ્યાઓમાંથી $2$ સંખ્યાઓ પુનરાવર્તન વગર પસંદ કરવાની કુલ રીતો,જ્યાં ક્રમ મહત્વનો છે,તે $P(6, 2) = 6 \times 5 = 30$ છે.
ધારો કે $X$ અને $Y$ એ બે પસંદ કરેલી સંખ્યાઓ છે. આપણે $\min(X, Y) < 4$ હોય તેની સંભાવના શોધવી છે.
પૂરક ઘટનાની સંભાવના ગણવી સરળ છે: $\min(X, Y) \ge 4$ હોય તેની સંભાવના.
જો $\min(X, Y) \ge 4$ હોય,તો બંને સંખ્યાઓ ગણ $\{4, 5, 6\}$ માંથી પસંદ કરવી પડે.
ગણ $\{4, 5, 6\}$ માંથી પુનરાવર્તન વગર $2$ સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો $P(3, 2) = 3 \times 2 = 6$ છે.
તેથી,$\min(X, Y) \ge 4$ હોય તેની સંભાવના $\frac{6}{30} = \frac{1}{5}$ છે.
આમ,$\min(X, Y) < 4$ હોય તેની સંભાવના $1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ છે.

(B) થેલીમાં કુલ દડાની સંખ્યા $= 6 + 7 + 5 = 18$ છે.
$18$ દડામાંથી $3$ દડા પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા ${}^{18}C_3 = \frac{18 \times 17 \times 16}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 17 \times 16 = 816$ છે.
$6$ સફેદ દડામાંથી $3$ સફેદ દડા પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા ${}^{6}C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ છે.
જરૂરી સંભાવના એ સાનુકૂળ પરિણામો અને કુલ પરિણામોનો ગુણોત્તર છે:
$P = \frac{{}^{6}C_3}{{}^{18}C_3} = \frac{20}{816}$.
અંશ અને છેદને $4$ વડે ભાગતા:
$P = \frac{5}{204}$.

(D) દડાઓની કુલ સંખ્યા = $4 + 5 + 6 = 15$.
આપણે $15$ દડામાંથી $3$ દડા પસંદ કરવાના છે. $3$ દડા પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${}^{15}C_3 = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} = 5 \times 7 \times 13 = 455$ છે.
$1$ સફેદ,$1$ લાલ અને $1$ લીલો દડો પસંદ કરવાની રીતો ${}^4C_1 \times {}^5C_1 \times {}^6C_1 = 4 \times 5 \times 6 = 120$ છે.
જરૂરી સંભાવના = $\frac{\text{સાપેક્ષ પરિણામો}}{\text{કુલ પરિણામો}} = \frac{120}{455}$.
અંશ અને છેદને $5$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{24}{91}$ મળે છે.

(B) દડાઓની કુલ સંખ્યા $= 10 + 15 = 25$ છે.
આપણે બે પ્રયત્નોમાં એક લાલ દડો અને એક લીલો દડો પસંદ કરવાનો છે.
$10$ માંથી $1$ લાલ દડો અને $15$ માંથી $1$ લીલો દડો પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $10 \times 15 = 150$ છે.
$25$ માંથી $2$ દડા પસંદ કરવાની કુલ રીતોની સંખ્યા $^{25}C_2 = \frac{25 \times 24}{2} = 300$ છે.
તેથી,સંભાવના $= \frac{150}{300} = \frac{1}{2}$ થાય.
વૈકલ્પિક રીતે,ક્રમને ધ્યાનમાં લેતા: (લાલ પછી લીલો) અથવા (લીલો પછી લાલ).
$P(RG) + P(GR) = (\frac{10}{25} \times \frac{15}{24}) + (\frac{15}{25} \times \frac{10}{24}) = \frac{150}{600} + \frac{150}{600} = \frac{300}{600} = \frac{1}{2}$.

(C) $52$ પત્તાંની કેટમાંથી $3$ પત્તાં પસંદ કરવાના કુલ પ્રકારો ${}^{52}C_3$ દ્વારા મળે છે.
${}^{52}C_3 = \frac{52 \times 51 \times 50}{3 \times 2 \times 1} = 52 \times 17 \times 25 = 22100$.
$52$ પત્તાંની કેટમાં $4$ એક્કા હોય છે. $4$ માંથી $3$ એક્કા પસંદ કરવાના પ્રકારો ${}^{4}C_3$ છે.
${}^{4}C_3 = \frac{4 \times 3 \times 2}{3 \times 2 \times 1} = 4$.
ત્રણ એક્કા ખેંચવાની સંભાવના = $\frac{\text{સાપેક્ષ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{{}^{4}C_3}{{}^{52}C_3} = \frac{4}{22100} = \frac{1}{5525}$.

(A) કુલ પત્તાની સંખ્યા = $4 + 4 + 4 + 4 = 16$.
ખેંચવામાં આવેલા પત્તાની સંખ્યા = $2$.
$16$ પત્તામાંથી $2$ પત્તા પસંદ કરવાના કુલ પ્રકારો = ${}^{16}C_2 = \frac{16 \times 15}{2 \times 1} = 120$.
એક્કા ન હોય તેવા પત્તાની સંખ્યા = $16 - 4 = 12$.
એક પણ એક્કો ન હોય તે રીતે $2$ પત્તા પસંદ કરવાના પ્રકારો = ${}^{12}C_2 = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = 66$.
એક પણ એક્કો ન મળે તેની સંભાવના = $\frac{66}{120} = \frac{11}{20}$.
ઓછામાં ઓછો એક એક્કો મળે તેની સંભાવના = $1 - P(\text{એક્કો ન મળે}) = 1 - \frac{11}{20} = \frac{9}{20}$.

(A) જ્યારે સિક્કાને $100$ વખત ઉછાળવામાં આવે ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $2^{100}$ છે.
છાપ (tails) એકી સંખ્યામાં મળે તેવા સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા: ${}^{100}C_1 + {}^{100}C_3 + {}^{100}C_5 + \dots + {}^{100}C_{99}$ છે.
દ્વિપદી પ્રમેયના ગુણધર્મ મુજબ,એકી ક્રમના દ્વિપદી સહગુણકોનો સરવાળો ${}^{n}C_1 + {}^{n}C_3 + \dots = 2^{n-1}$ થાય છે.
અહીં $n = 100$ હોવાથી,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $2^{100-1} = 2^{99}$ થશે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{2^{99}}{2^{100}} = \frac{1}{2}$ છે.

(A) દડાઓની કુલ સંખ્યા $= 3 + 4 + 5 = 12$ છે.
$12$ દડામાંથી $2$ દડા પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${}^{12}C_2 = \frac{12 \times 11}{2} = 66$ છે.
બંને દડા અલગ રંગના હોય તેની સંભાવના શોધવા માટે,આપણે બંને દડા સમાન રંગના હોય તેની સંભાવના શોધીને તેને $1$ માંથી બાદ કરી શકીએ છીએ.
સમાન રંગના $2$ દડા પસંદ કરવાની રીતો:
- બંને લાલ: ${}^{3}C_2 = 3$
- બંને સફેદ: ${}^{4}C_2 = 6$
- બંને વાદળી: ${}^{5}C_2 = 10$
સમાન રંગ માટેની કુલ રીતો $= 3 + 6 + 10 = 19$ છે.
સમાન રંગની સંભાવના $= \frac{19}{66}$ છે.
અલગ રંગની સંભાવના $= 1 - \frac{19}{66} = \frac{66 - 19}{66} = \frac{47}{66}$ થાય.

(A) દસ વિદ્યાર્થીઓને એક હરોળમાં ગોઠવવાની કુલ રીતો $10!$ છે.
બે ચોક્કસ વિદ્યાર્થીઓ સાથે બેસે તેની સંભાવના શોધવા માટે,આપણે તેમને એક એકમ તરીકે ગણીએ છીએ. હવે,આપણી પાસે $9$ એકમો છે (જોડી + $8$ અન્ય વિદ્યાર્થીઓ),જેને $9!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે. જોડીની અંદર,બે વિદ્યાર્થીઓને $2! = 2$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
તેથી,તેઓ સાથે બેસે તેવી રીતોની સંખ્યા $2 \times 9!$ છે.
તેઓ સાથે બેસે તેની સંભાવના $P(\text{together}) = \frac{2 \times 9!}{10!} = \frac{2 \times 9!}{10 \times 9!} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$ છે.
તેથી,તેઓ એકબીજાની બાજુમાં ન બેઠા હોય તેની સંભાવના $P(\text{not together}) = 1 - P(\text{together}) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ છે.

(A) કુલ મોજાંની સંખ્યા = $5 + 4 = 9$.
$9$ માંથી $2$ મોજાં પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${}^9C_2 = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$ છે.
જો બંને મોજાં ભૂરા હોય અથવા બંને વાદળી હોય તો જ તે એકબીજા સાથે મેળ ખાશે.
$5$ માંથી $2$ ભૂરા મોજાં પસંદ કરવાની રીતો ${}^5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ છે.
$4$ માંથી $2$ વાદળી મોજાં પસંદ કરવાની રીતો ${}^4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ છે.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો = $10 + 6 = 16$.
તેથી,જરૂરી સંભાવના = $\frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામો}}{\text{કુલ પરિણામો}} = \frac{16}{36} = \frac{4}{9}$.

(C) $5$ વ્યક્તિઓને કતારમાં ગોઠવવાની કુલ રીતો $5! = 120$ છે.
$A$ અને $E$ હંમેશા સાથે હોય તેવી સાનુકૂળ રીતો શોધવા માટે,આપણે $(AE)$ ને એક એકમ તરીકે ગણીએ છીએ.
હવે,આપણી પાસે ગોઠવવા માટે $4$ એકમો છે: $(AE), B, C, D$. આ $4!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
$(AE)$ એકમની અંદર,$A$ અને $E$ ને $2! = 2$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
તેથી,કુલ સાનુકૂળ રીતો $2 \times 4! = 2 \times 24 = 48$ છે.
જરૂરી સંભાવના $\frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામો}}{\text{કુલ પરિણામો}} = \frac{2 \times 4!}{5!} = \frac{2 \times 24}{120} = \frac{48}{120} = \frac{2}{5}$ થાય.

(C) દડાઓની કુલ સંખ્યા = $8 + 7 = 15$ છે.
$15$ દડામાંથી $2$ દડા પસંદ કરવાની કુલ રીતો = $^{15}C_2 = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 105$ છે.
બંને દડા સમાન રંગના હોય તે માટે,કાં તો બંને લાલ હોવા જોઈએ અથવા બંને કાળા હોવા જોઈએ.
$8$ લાલ દડામાંથી $2$ લાલ દડા પસંદ કરવાની રીતો = $^8C_2 = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$ છે.
$7$ કાળા દડામાંથી $2$ કાળા દડા પસંદ કરવાની રીતો = $^7C_2 = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$ છે.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો = $28 + 21 = 49$ છે.
માગેલ સંભાવના = $\frac{49}{105} = \frac{7}{15}$ થાય.

(B) કુલ કાર્ડની સંખ્યા = $80$.
$1$ થી $80$ ની વચ્ચે $4$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓ $4, 8, 12, \dots, 80$ છે. આ એક સમાંતર શ્રેણી છે જ્યાં $a = 4$, $d = 4$, અને $l = 80$ છે.
$l = a + (n - 1)d$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા, $80 = 4 + (n - 1)4$, જેનો અર્થ છે કે $n = 20$.
$80$ કાર્ડમાંથી $2$ કાર્ડ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{80}C_2 = \frac{80 \times 79}{2} = 3160$ છે.
$4$ વડે વિભાજ્ય $20$ કાર્ડમાંથી $2$ કાર્ડ પસંદ કરવાની સાનુકૂળ રીતો $^{20}C_2 = \frac{20 \times 19}{2} = 190$ છે.
જરૂરી સંભાવના $P = \frac{190}{3160} = \frac{19}{316}$ થાય.

(D) ધારો કે $B_1$ એ પ્રથમ ટોપલી છે અને $B_2$ એ બીજી ટોપલી છે.
$B_1$ માં કુલ ફળો = $5 + 7 = 12$.
$B_2$ માં કુલ ફળો = $4 + 8 = 12$.
$B_1$ માંથી સફરજન પસંદ કરવાની સંભાવના = $\frac{5}{12}$.
$B_2$ માંથી સફરજન પસંદ કરવાની સંભાવના = $\frac{4}{12}$.
$B_1$ માંથી નારંગી પસંદ કરવાની સંભાવના = $\frac{7}{12}$.
$B_2$ માંથી નારંગી પસંદ કરવાની સંભાવના = $\frac{8}{12}$.
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,બંને સફરજન હોય તેની સંભાવના = $\frac{5}{12} \times \frac{4}{12} = \frac{20}{144}$.
બંને નારંગી હોય તેની સંભાવના = $\frac{7}{12} \times \frac{8}{12} = \frac{56}{144}$.
આ ઘટનાઓ પરસ્પર નિવારક હોવાથી,કુલ સંભાવના = $\frac{20}{144} + \frac{56}{144} = \frac{76}{144}$.

(B) $m$ ઘટકો ધરાવતા ગણ $A$ થી $n$ ઘટકો ધરાવતા ગણ $B$ પરના કુલ વિધેયોની સંખ્યા $n^m$ છે.
એક-એક વિધેય (injection) ત્યારે જ શક્ય છે જો $m \le n$ હોય. ગણ $B$ માંથી $m$ ભિન્ન ઘટકો પસંદ કરીને તેમને ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા ક્રમચયના સૂત્ર $P(n, m) = \frac{n!}{(n - m)!}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,એક-એક વિધેયોની સંખ્યા $\frac{n!}{(n - m)!}$ છે.
એક-એક વિધેય પસંદ કરવાની સંભાવના $P$ એ એક-એક વિધેયોની સંખ્યા અને કુલ વિધેયોની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે:
$P = \frac{\text{એક-એક વિધેયોની સંખ્યા}}{\text{કુલ વિધેયોની સંખ્યા}} = \frac{\frac{n!}{(n - m)!}}{n^m} = \frac{n!}{(n - m)! n^m}$.

(A) $n$ વ્યક્તિઓમાંથી $2$ વ્યક્તિઓને પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^nC_2 = \frac{n(n-1)}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેઓ સાથે હોય તેવી રીતો શોધવા માટે,આપણે $2$ પાસપાસેની વ્યક્તિઓને એક એકમ તરીકે ગણીએ છીએ. $n$ વ્યક્તિઓની હરોળમાં આવી $(n-1)$ જોડીઓ હોય છે.
તેથી,તેઓ સાથે હોય તેવી રીતોની સંખ્યા $(n-1)$ છે.
તેઓ સાથે હોય તેની સંભાવના $P(\text{together}) = \frac{n-1}{^nC_2} = \frac{n-1}{\frac{n(n-1)}{2}} = \frac{2}{n}$ છે.
તેથી,તેઓ સાથે ન હોય તેની સંભાવના $P(\text{not together}) = 1 - P(\text{together}) = 1 - \frac{2}{n}$ થાય.

(D) ધારો કે $A$ ગોળાકાર ટેબલ પર કોઈપણ એક બેઠક પર બેસે છે. હવે $B$ માટે $14$ બેઠકો બાકી રહે છે.
જો $A$ અને $B$ ની વચ્ચે $4$ વ્યક્તિઓ હોય,તો $B$ પાસે બેસવા માટે માત્ર બે જ ચોક્કસ સ્થાનો છે (એક $A$ ની ડાબી બાજુ અને એક $A$ ની જમણી બાજુ) જેથી તેમની વચ્ચે બરાબર $4$ વ્યક્તિઓ આવે.
કુલ $14$ શક્ય સ્થાનોમાંથી $B$ માટે $2$ સાનુકૂળ સ્થાનો હોવાથી,જરૂરી સંભાવના $P = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}$ થાય.

(B) $10$ વ્યક્તિઓને ( $5$ છોકરાઓ અને $5$ છોકરીઓ) એક હરોળમાં ગોઠવવાની કુલ રીતો $10!$ છે.
છોકરાઓ અને છોકરીઓ એકાંતરે બેસે તે માટે બે શક્ય ભાત (patterns) છે:
$1$. છોકરો,છોકરી,છોકરો,છોકરી,છોકરો,છોકરી,છોકરો,છોકરી,છોકરો,છોકરી
$2$. છોકરી,છોકરો,છોકરી,છોકરો,છોકરી,છોકરો,છોકરી,છોકરો,છોકરી,છોકરો
દરેક ભાતમાં,$5$ છોકરાઓને $5!$ રીતે અને $5$ છોકરીઓને $5!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
તેથી,સાનુકૂળ રીતોની સંખ્યા $2 \times (5! \times 5!)$ છે.
સંભાવના એ સાનુકૂળ પરિણામો અને કુલ પરિણામોનો ગુણોત્તર છે:
$P = \frac{2 \times 5! \times 5!}{10!}$
$P = \frac{2 \times 120 \times 120}{3628800} = \frac{2 \times 120}{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6} = \frac{2}{30240} \times 120 = \frac{2}{252} = \frac{1}{126}$.

(B) ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે અંકોનો સરવાળો $11$ થાય છે. સરવાળો $11$ મેળવવા માટેના શક્ય પરિણામો $(5, 6)$ અને $(6, 5)$ છે.
ધારો કે $B$ એ ઘટના છે કે પ્રથમ પાસા પર $5$ આવે છે. $B$ માટેના શક્ય પરિણામો $(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)$ છે.
આપણે શરતી સંભાવના $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ શોધવાની છે.
છેદગણ $A \cap B$ એ ઘટના છે જ્યાં સરવાળો $11$ હોય અને પ્રથમ પાસા પર $5$ હોય,જે ફક્ત $(5, 6)$ પરિણામ છે.
આમ,$n(A \cap B) = 1$ અને $n(B) = 6$.
માટે જરૂરી સંભાવના $\frac{n(A \cap B)}{n(B)} = \frac{1}{6}$ છે.

(C) શરતી સંભાવનાનું સૂત્ર $P(B/A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો $P(A) = \frac{1}{2}$ અને $P(A \cap B) = \frac{1}{4}$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$P(B/A) = \frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{4} \times \frac{2}{1} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ,$P\left( \frac{\overline{A}}{\overline{B}} \right) = \frac{P(\overline{A} \cap \overline{B})}{P(\overline{B})}$ થાય.
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,આપણે જાણીએ છીએ કે $\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}$ થાય.
તેથી,$P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B)$ થાય.
આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને $P\left( \frac{\overline{A}}{\overline{B}} \right) = \frac{1 - P(A \cup B)}{P(\overline{B})}$ મળે છે.

(B) ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે પ્રથમ પાસા પર $4$ આવે છે.
પ્રથમ પાસા પર $4$ આવે તે માટેના શક્ય પરિણામો: $(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)$ છે.
આ ઘટાડેલા નિદર્શાવકાશમાં કુલ $6$ શક્ય પરિણામો છે.
ધારો કે $B$ એ ઘટના છે કે સંખ્યાઓનો સરવાળો $7$ થી વધુ છે.
આપણે એવા પરિણામો $(4, x)$ શોધીએ છીએ કે જેમાં $4 + x > 7$,જેનો અર્થ છે કે $x > 3$.
સાનુકૂળ પરિણામો $(4, 4), (4, 5), (4, 6)$ છે.
કુલ $3$ સાનુકૂળ પરિણામો છે.
જરૂરી સંભાવના $= \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{ઘટાડેલા નિદર્શાવકાશમાં કુલ પરિણામો}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

(A) આપણને આપેલ છે કે $P(A) = \frac{1}{3}$,$P(B) = \frac{1}{4}$,અને $P(A \cap B) = \frac{1}{5}$.
સૌ પ્રથમ,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} = \frac{20 + 15 - 12}{60} = \frac{23}{60}$ શોધો.
આપણે $P\left( \frac{\overline{B}}{\overline{A}} \right)$ શોધવાની જરૂર છે. શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ,$P\left( \frac{\overline{B}}{\overline{A}} \right) = \frac{P(\overline{B} \cap \overline{A})}{P(\overline{A})}$.
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\overline{B} \cap \overline{A} = \overline{A \cup B}$,તેથી $P(\overline{B} \cap \overline{A}) = 1 - P(A \cup B) = 1 - \frac{23}{60} = \frac{37}{60}$.
વળી,$P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
તેથી,$P\left( \frac{\overline{B}}{\overline{A}} \right) = \frac{37/60}{2/3} = \frac{37}{60} \times \frac{3}{2} = \frac{37}{40}$.

(A) અહીં આપણને સંભાવનાઓ $P(A) = \frac{3}{8}$,$P(B) = \frac{5}{8}$,અને $P(A \cup B) = \frac{3}{4}$ આપેલ છે.
સંભાવનાના સરવાળાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{3}{4} = \frac{3}{8} + \frac{5}{8} - P(A \cap B)$.
$\frac{3}{4} = \frac{8}{8} - P(A \cap B) = 1 - P(A \cap B)$.
તેથી,$P(A \cap B) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
હવે,શરતી સંભાવના $P(A|B)$ નું સૂત્ર: $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
કિંમતો મૂકતા: $P(A|B) = \frac{1/4}{5/8} = \frac{1}{4} \times \frac{8}{5} = \frac{2}{5}$.

(A) શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ $P\left( \frac{A}{B} \right) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ થાય છે.
ઘટનાઓ $A$ અને $B$ પરસ્પર નિવારક હોવાથી,તે બંને એકસાથે બની શકતી નથી.
તેથી,તેમની છેદ ઘટનાની સંભાવના $P(A \cap B) = 0$ થાય છે.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $P\left( \frac{A}{B} \right) = \frac{0}{P(B)} = 0$ મળે છે (જ્યાં $P(B) \neq 0$ છે).

(B) આપેલ છે કે $A \subseteq B$.
આનો અર્થ એ છે કે જ્યારે ઘટના $A$ બને છે,ત્યારે ઘટના $B$ પણ ચોક્કસપણે બને છે.
તેથી,$A$ અને $B$ નો છેદગણ $A \cap B = A$ થાય છે.
શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ,$P\left( \frac{B}{A} \right) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$.
સૂત્રમાં $A \cap B = A$ મૂકતા,આપણને $P\left( \frac{B}{A} \right) = \frac{P(A)}{P(A)} = 1$ મળે છે (જ્યાં $P(A) > 0$ છે).

(C) શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ,$P(A/B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
કારણ કે $A$ અને $B$ નિરપેક્ષ ઘટનાઓ છે,તેથી તેમનો છેદ $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ થાય.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $P(A/B) = \frac{P(A) \cdot P(B)}{P(B)}$ મળે છે.
અંશ અને છેદમાંથી $P(B)$ ને દૂર કરતા,આપણને $P(A/B) = P(A)$ મળે છે.