Probability Questions in Gujarati

(D) આપેલ છે કે $E$ અને $F$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે,તેથી $P(E \cap F) = P(E) \cdot P(F)$.
$(a)$ $P(E \cap F^c) = P(E) - P(E \cap F) = P(E) - P(E)P(F) = P(E)(1 - P(F)) = P(E)P(F^c)$. આમ,$E$ અને $F^c$ સ્વતંત્ર છે.
$(b)$ $P(E^c \cap F^c) = 1 - P(E \cup F) = 1 - [P(E) + P(F) - P(E \cap F)] = 1 - P(E) - P(F) + P(E)P(F) = (1 - P(E))(1 - P(F)) = P(E^c)P(F^c)$. આમ,$E^c$ અને $F^c$ સ્વતંત્ર છે.
$(c)$ $E$ અને $F$ સ્વતંત્ર હોવાથી,$P(E/F) = P(E)$. વળી,$E^c$ અને $F^c$ સ્વતંત્ર હોવાથી,$P(E^c/F^c) = P(E^c)$. તેથી,$P(E/F) + P(E^c/F^c) = P(E) + P(E^c) = 1$.
આમ,તમામ વિધાનો $(a)$,$(b)$,અને $(c)$ સાચા હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(A) આપેલ છે કે $4\,P(A) = 1 \implies P(A) = \frac{1}{4}$.
આપેલ છે કે $10\,P(A \cap B) = 1 \implies P(A \cap B) = \frac{1}{10}$.
શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ $P\left( \frac{B}{A} \right) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $P\left( \frac{B}{A} \right) = \frac{1/10}{1/4} = \frac{1}{10} \times \frac{4}{1} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.

(C) ધારો કે $A$ એ સપાટી $4$ ઉપર આવવાની ઘટના છે અને $B$ એ સપાટી $5$ ઉપર આવવાની ઘટના છે.
આપેલ સંભાવનાઓ $P(A) = 0.25$ અને $P(B) = 0.05$ છે.
જેহেতু $A$ અને $B$ પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ છે,તેથી સપાટી $4$ અથવા સપાટી $5$ ઉપર આવવાની સંભાવના $P(A \cup B) = P(A) + P(B) = 0.25 + 0.05 = 0.30$ થાય.
આપણે શરતી સંભાવના શોધવાની છે કે સપાટી $4$ છે,જ્યારે આપેલ છે કે તે કાં તો $4$ અથવા $5$ છે. આ $P(A | A \cup B) = \frac{P(A \cap (A \cup B))}{P(A \cup B)}$ દ્વારા મળે છે.
જેহেতু $A \subset (A \cup B)$,તેથી $A \cap (A \cup B) = A$ થાય.
તેથી,$P(A | A \cup B) = \frac{P(A)}{P(A \cup B)} = \frac{0.25}{0.30} = \frac{25}{30} = \frac{5}{6}$.

(C) ધારો કે બે બાળકો માટે નિદર્શાવકાશ $S = \{BB, BG, GB, GG\}$ છે,જ્યાં $B$ એટલે છોકરો અને $G$ એટલે છોકરી. કુલ પરિણામોની સંખ્યા $4$ છે.
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે ઓછામાં ઓછું એક બાળક છોકરો છે. તેથી $A = \{BB, BG, GB\}$. $A$ માં પરિણામોની સંખ્યા $3$ છે.
ધારો કે $B$ એ ઘટના છે કે બંને બાળકો છોકરા છે. તેથી $B = \{BB\}$.
આપણે શરતી સંભાવના $P(B|A)$ શોધવાની છે,જેનો અર્થ છે કે ઓછામાં ઓછું એક બાળક છોકરો હોય ત્યારે બંને છોકરા હોવાની સંભાવના.
શરતી સંભાવનાના સૂત્ર મુજબ: $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$.
અહીં,$A \cap B = \{BB\}$,તેથી $P(A \cap B) = 1/4$.
$P(A) = 3/4$.
તેથી,$P(B|A) = \frac{1/4}{3/4} = 1/3$.

(A) જ્યારે ત્રણ સિક્કા ઉછાળવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ નિદર્શાવકાશ $S$ નીચે મુજબ છે:
$S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$,જ્યાં $n(S) = 8$.
ધારો કે $F$ એ ઘટના છે કે જેમાં ઓછામાં ઓછો એક સિક્કો છાપ (tail) દર્શાવે છે.
$F = \{HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$,તેથી $n(F) = 7$.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે જેમાં ત્રણેય સિક્કા પર છાપ (tail) મળે છે.
$E = \{TTT\}$.
અહીં $E$ એ $F$ નો ઉપગણ હોવાથી,$E \cap F = E = \{TTT\}$,તેથી $n(E \cap F) = 1$.
શરતી સંભાવના કે ત્રણેય સિક્કા પર છાપ મળે,જ્યારે ઓછામાં ઓછો એક સિક્કો છાપ દર્શાવે છે,તે $P(E|F) = \frac{n(E \cap F)}{n(F)} = \frac{1}{7}$ છે.

(D) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે,$P(A) = \frac{1}{2}$ અને $P(B) = \frac{1}{5}$.
$(a)$ $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર હોવાથી,$P(A|B) = P(A) = \frac{1}{2}$. તેથી,વિકલ્પ $(a)$ સાચો છે.
$(b)$ $P(A|A \cup B) = \frac{P(A \cap (A \cup B))}{P(A \cup B)}$.
$A \subset (A \cup B)$ હોવાથી,$A \cap (A \cup B) = A$.
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A)P(B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{5} - \frac{1}{10} = \frac{5+2-1}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.
$P(A|A \cup B) = \frac{1/2}{3/5} = \frac{1}{2} \times \frac{5}{3} = \frac{5}{6}$. તેથી,વિકલ્પ $(b)$ સાચો છે.
$(c)$ ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$A' \cup B' = (A \cap B)'$.
$P(A \cap B | (A \cap B)') = \frac{P((A \cap B) \cap (A \cap B)')}{P((A \cap B)')} = \frac{P(\phi)}{P((A \cap B)')} = 0$. તેથી,વિકલ્પ $(c)$ સાચો છે.
બધા વિકલ્પો સાચા હોવાથી,સાચો જવાબ $(d)$ છે.

(D) આપેલ છે કે $P(A) = \frac{1}{4}$ અને $P(A|B) = \frac{1}{4}$.
કારણ કે $P(A|B) = P(A)$,તેથી ઘટનાઓ $A$ અને $B$ નિરપેક્ષ છે.
નિરપેક્ષ ઘટનાઓ માટે,$P(B|A) = P(B) = \frac{1}{2}$.
હવે,દરેક વિકલ્પ તપાસીએ:
$(a)$ $P(A|B) = P(A)$ હોવાથી,$A$ અને $B$ નિરપેક્ષ છે. આ સાચું છે.
$(b)$ નિરપેક્ષ ઘટનાઓ માટે,$P(A'|B) = P(A') = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$. આ સાચું છે.
$(c)$ નિરપેક્ષ ઘટનાઓ માટે,$P(B'|A') = P(B') = 1 - P(B) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$. આ સાચું છે.
બધા વિધાનો સાચા હોવાથી,જવાબ $(d)$ છે.

(C) ધારો કે $A$ એ બેકી અંક આવવાની ઘટના છે અને $B$ એ અંક $2$ અથવા $4$ આવવાની ઘટના છે.
બેકી અંકો $2, 4$ અને $6$ છે.
ઘટના $A$ ની સંભાવના $P(A) = P(2) + P(4) + P(6) = 0.24 + 0.18 + 0.14 = 0.56$ છે.
ઘટના $B$ એ અંક $2$ અથવા $4$ છે. કારણ કે $B$ એ $A$ નો ઉપગણ છે,તેથી $P(B \cap A) = P(B) = P(2) + P(4) = 0.24 + 0.18 = 0.42$ થાય.
શરતી સંભાવનાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P(B|A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)} = \frac{0.42}{0.56}$ મળે.
આ અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા,$P(B|A) = \frac{42}{56} = \frac{3}{4} = 0.75$ થાય.

(C) આપેલ છે: $P(A^c) = 0.3 \implies P(A) = 1 - 0.3 = 0.7$.
$P(B) = 0.4 \implies P(B^c) = 1 - 0.4 = 0.6$.
$P(A \cap B^c) = 0.5$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap B^c)$,તેથી $P(A \cap B) = P(A) - P(A \cap B^c) = 0.7 - 0.5 = 0.2$.
આપણે $P[B / (A \cup B^c)] = \frac{P(B \cap (A \cup B^c))}{P(A \cup B^c)}$ શોધવાનું છે.
અંશ: $P(B \cap (A \cup B^c)) = P((B \cap A) \cup (B \cap B^c)) = P(B \cap A) = 0.2$.
છેદ: $P(A \cup B^c) = P(A) + P(B^c) - P(A \cap B^c) = 0.7 + 0.6 - 0.5 = 0.8$.
આમ,$P[B / (A \cup B^c)] = \frac{0.2}{0.8} = \frac{1}{4}$.

(B) ધારો કે $A_1$ એ ઘટના છે કે પત્ર $LONDON$ માંથી આવ્યો છે અને $A_2$ એ ઘટના છે કે પત્ર $CLIFTON$ માંથી આવ્યો છે. બંને શહેર પસંદ કરવાની સંભાવના સમાન છે તેમ ધારતા,$P(A_1) = P(A_2) = \frac{1}{2}$.
$LONDON$ (લંબાઈ $6$) માં,$5$ ક્રમિક અક્ષરોની જોડી છે: $(LO, ON, ND, DO, ON)$. જેમાં $ON$ જોડીની સંખ્યા $2$ છે. તેથી,$A_1$ આપેલ હોય ત્યારે $ON$ મળવાની સંભાવના $P(E|A_1) = \frac{2}{5}$ છે.
$CLIFTON$ (લંબાઈ $7$) માં,$6$ ક્રમિક અક્ષરોની જોડી છે: $(CL, LI, IF, FT, TO, ON)$. જેમાં $ON$ જોડીની સંખ્યા $1$ છે. તેથી,$A_2$ આપેલ હોય ત્યારે $ON$ મળવાની સંભાવના $P(E|A_2) = \frac{1}{6}$ છે.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$ON$ વાંચી શકાય છે તે શરતે પત્ર $LONDON$ માંથી આવ્યો હોવાની સંભાવના:
$P(A_1|E) = \frac{P(A_1)P(E|A_1)}{P(A_1)P(E|A_1) + P(A_2)P(E|A_2)}$
$P(A_1|E) = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{2}{5}}{\frac{1}{2} \times \frac{2}{5} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{6}}$
$P(A_1|E) = \frac{\frac{2}{5}}{\frac{2}{5} + \frac{1}{6}} = \frac{\frac{2}{5}}{\frac{12+5}{30}} = \frac{2}{5} \times \frac{30}{17} = \frac{12}{17}$.

(D) આપેલ છે કે $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A)P(B)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે સંભાવનાનો સામાન્ય સરવાળાનો નિયમ $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ છે.
આ બંનેની સરખામણી કરતા,આપણને $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ મળે છે,જે દર્શાવે છે કે ઘટનાઓ $A$ અને $B$ નિરપેક્ષ છે.
જો $A$ અને $B$ નિરપેક્ષ હોય,તો $P(A/B) = P(A)$,તેથી વિધાન $(a)$ સાચું છે.
વળી,જો $A$ અને $B$ નિરપેક્ષ હોય,તો તેમના પૂરક ઘટનાઓ $A^c$ અને $B^c$ પણ નિરપેક્ષ હોય છે.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$.
તેથી,$P((A \cup B)^c) = P(A^c \cap B^c) = P(A^c)P(B^c)$ કારણ કે $A^c$ અને $B^c$ નિરપેક્ષ છે. આમ,વિધાન $(c)$ પણ સાચું છે.
આમ,$(a)$ અને $(c)$ બંને સાચા હોવાથી,અંતિમ જવાબ $(d)$ છે.

(A) ધારો કે $E_1$ એ ઘટના છે કે સપાટી $1$ આવે છે અને $E_2$ એ ઘટના છે કે સપાટી $2$ આવે છે.
આપેલી સંભાવનાઓ $P(E_1) = 0.1$ અને $P(E_2) = 0.32$ છે.
આપણને આપવામાં આવ્યું છે કે કાં તો સપાટી $1$ અથવા સપાટી $2$ ઉપર આવી છે. આ એક શરતી સંભાવનાનો પ્રશ્ન છે જ્યાં નિદર્શાવકાશ ${1, 2}$ સુધી મર્યાદિત છે.
જરૂરી સંભાવના $P(E_1 | E_1 \cup E_2) = \frac{P(E_1 \cap (E_1 \cup E_2))}{P(E_1 \cup E_2)} = \frac{P(E_1)}{P(E_1) + P(E_2)}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{0.1}{0.1 + 0.32} = \frac{0.1}{0.42} = \frac{10}{42} = \frac{5}{21}$.

(B) ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે વ્યક્તિના વાળ કથ્થઈ છે અને $B$ એ ઘટના છે કે વ્યક્તિની આંખો કથ્થઈ છે.
આપેલ છે:
$P(A) = 40/100 = 0.4$
$P(B) = 25/100 = 0.25$
$P(A \cap B) = 15/100 = 0.15$
આપણે શરતી સંભાવના $P(B|A)$ શોધવાની છે,જેનો અર્થ છે કે જો વ્યક્તિના વાળ કથ્થઈ હોય તો તેની આંખો કથ્થઈ હોવાની સંભાવના.
શરતી સંભાવનાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$
$P(B|A) = \frac{0.15}{0.40} = \frac{15}{40} = \frac{3}{8}$
તેથી,સંભાવના $3/8$ છે.

(A) ધારો કે ઘટનાઓ નીચે મુજબ છે:
$E_1$: થેલી $I$ પસંદ કરવામાં આવે છે ($2$ સફેદ,$3$ કાળા દડા).
$E_2$: થેલી $II$ પસંદ કરવામાં આવે છે ($4$ સફેદ,$1$ કાળો દડો).
$E_3$: થેલી $III$ પસંદ કરવામાં આવે છે ($3$ સફેદ,$7$ કાળા દડા).
$A$: કાઢવામાં આવેલ દડો કાળો છે.
થેલીઓ યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવતી હોવાથી,$P(E_1) = P(E_2) = P(E_3) = \frac{1}{3}$.
કાળો દડો કાઢવાની શરતી સંભાવનાઓ:
$P(A|E_1) = \frac{3}{5}$,$P(A|E_2) = \frac{1}{5}$,$P(A|E_3) = \frac{7}{10}$.
આપણે સૌથી વધુ કાળા દડા ધરાવતી થેલી એટલે કે થેલી $III$ માંથી દડો નીકળ્યો હોય તેની સંભાવના શોધવાની છે. બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$P(E_3|A) = \frac{P(E_3)P(A|E_3)}{P(E_1)P(A|E_1) + P(E_2)P(A|E_2) + P(E_3)P(A|E_3)}$
$P(E_3|A) = \frac{\frac{1}{3} \times \frac{7}{10}}{\frac{1}{3} \times \frac{3}{5} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{5} + \frac{1}{3} \times \frac{7}{10}}$
$P(E_3|A) = \frac{\frac{7}{10}}{\frac{3}{5} + \frac{1}{5} + \frac{7}{10}} = \frac{\frac{7}{10}}{\frac{6+2+7}{10}} = \frac{7}{15}$.

(B) ધારો કે ઘટનાઓ નીચે મુજબ છે:
$A_1$: વિદ્યાર્થી જવાબ જાણે છે.
$A_2$: વિદ્યાર્થી જવાબ જાણતો નથી (તે અનુમાન લગાવે છે).
$E$: વિદ્યાર્થીને સાચો જવાબ મળે છે.
આપેલ છે:
$P(A_1) = 0.9 = \frac{9}{10}$
$P(A_2) = 1 - 0.9 = 0.1 = \frac{1}{10}$
$P(E|A_1) = 1$ (જો તે જવાબ જાણે છે,તો તે ચોક્કસપણે સાચો જવાબ આપશે).
$P(E|A_2) = \frac{1}{4}$ (જો તે અનુમાન લગાવે છે,તો સાચો જવાબ મળવાની સંભાવના $1/4$ છે).
આપણે તે સંભાવના શોધવાની છે કે તેણે અનુમાન લગાવ્યું હતું,જો તેને સાચો જવાબ મળ્યો હોય,એટલે કે $P(A_2|E)$.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$P(A_2|E) = \frac{P(A_2)P(E|A_2)}{P(A_1)P(E|A_1) + P(A_2)P(E|A_2)}$
$P(A_2|E) = \frac{(\frac{1}{10}) \times (\frac{1}{4})}{(\frac{9}{10}) \times (1) + (\frac{1}{10}) \times (\frac{1}{4})}$
$P(A_2|E) = \frac{\frac{1}{40}}{\frac{9}{10} + \frac{1}{40}} = \frac{\frac{1}{40}}{\frac{36+1}{40}} = \frac{1}{37}$.

(A) એક સિક્કાને ત્રણ વાર ઉછાળવા માટેનો નિદર્શાવકાશ $S$ નીચે મુજબ છે:
$S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$.
કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 8$.
ઘટના $E$ એ ઓછામાં ઓછી બે છાપ મળવાની ઘટના છે:
$E = \{HHH, HHT, HTH, THH\}$,તેથી $n(E) = 4$.
ઘટના $F$ એ પ્રથમ ઉછાળમાં છાપ મળવાની ઘટના છે:
$F = \{HHH, HHT, HTH, HTT\}$,તેથી $n(F) = 4$.
છેદ ઘટના $E \cap F$ એ એવી ઘટના છે જેમાં ઓછામાં ઓછી બે છાપ મળે અને પ્રથમ ઉછાળમાં છાપ મળે:
$E \cap F = \{HHH, HHT, HTH\}$,તેથી $n(E \cap F) = 3$.
શરતી સંભાવનાનું સૂત્ર:
$P\left( \frac{E}{F} \right) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)} = \frac{n(E \cap F)}{n(F)} = \frac{3}{4}$.

(A) ઘટના $B$ બની ગઈ હોય ત્યારે ઘટના $A$ ની શરતી સંભાવનાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$P(A/B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$
આપેલ કિંમતો $P(A \cap B) = 0.5$ અને $P(B) = 0.6$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$P(A/B) = \frac{0.5}{0.6} = \frac{5}{6}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ ઘટના $A$ અને આપેલી ઘટના $B$ માટે જ્યાં $P(B) > 0$ હોય,ત્યારે ઘટના અને તેની પૂરક ઘટનાની શરતી સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય છે,એટલે કે $P(A/B) + P(\overline{A}/B) = 1$.
વિકલ્પ $(a)$ માટે: $P(E/F) + P(\overline{E}/F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)} + \frac{P(\overline{E} \cap F)}{P(F)} = \frac{P(E \cap F) + P(\overline{E} \cap F)}{P(F)}$. કારણ કે $(E \cap F)$ અને $(\overline{E} \cap F)$ પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ છે અને તેમનો યોગગણ $F$ છે,તેથી અંશ $P(F)$ થાય. આમ,$P(E/F) + P(\overline{E}/F) = \frac{P(F)}{P(F)} = 1$. તેથી,$(a)$ સાચું છે.
વિકલ્પ $(c)$ માટે: તેવી જ રીતે,$P(E/\overline{F}) + P(\overline{E}/\overline{F}) = \frac{P(E \cap \overline{F}) + P(\overline{E} \cap \overline{F})}{P(\overline{F})} = \frac{P(\overline{F})}{P(\overline{F})} = 1$. તેથી,$(c)$ સાચું છે.
આમ,$(a)$ અને $(c)$ બંને સાચા છે.

(D) આપેલ છે કે $P(B|A) = 1/2$,તેથી $P(B \cap A) / P(A) = 1/2$. કારણ કે $P(A) = 1/4$,તેથી $P(B \cap A) = (1/2) \times (1/4) = 1/8$.
આપેલ છે કે $P(A|B) = 1/4$,તેથી $P(A \cap B) / P(B) = 1/4$. આમ,$P(B) = P(A \cap B) / (1/4) = (1/8) / (1/4) = 1/2$.
કારણ કે $P(A \cap B) = 1/8$ અને $P(A) \times P(B) = (1/4) \times (1/2) = 1/8$,તેથી $P(A \cap B) = P(A)P(B)$,એટલે કે $A$ અને $B$ નિરપેક્ષ ઘટનાઓ છે.
નિરપેક્ષ ઘટનાઓ માટે,$P(A'|B) = P(A') = 1 - P(A) = 1 - 1/4 = 3/4$.
તે જ રીતે,$P(B'|A') = P(B') = 1 - P(B) = 1 - 1/2 = 1/2$.
તેથી,તમામ વિધાનો સાચા છે.

(A) ધારો કે $E_1$ એ પ્રથમ પત્તું એક્કો હોવાની ઘટના છે અને $E_2$ એ બીજું પત્તું રંગીન હોવાની ઘટના છે.
કુલ પત્તા = $52$,એક્કાની સંખ્યા = $4$.
$P(E_1) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$.
પ્રથમ પત્તું ખેંચ્યા પછી,પેકમાં $51$ પત્તા બાકી રહે છે.
પેકમાં કુલ $26$ રંગીન પત્તા હોય છે. જો પ્રથમ ખેંચાયેલ એક્કો લાલ હોય ($2$ શક્યતા),તો $25$ રંગીન પત્તા બાકી રહે. જો પ્રથમ ખેંચાયેલ એક્કો કાળો હોય ($2$ શક્યતા),તો $26$ રંગીન પત્તા બાકી રહે.
કુલ સંભાવના = $(2/52 \times 25/51) + (2/52 \times 26/51) = (2/52) \times (51/51) = 2/52 = 1/26$.

(A) આપણે શરતી સંભાવના શોધવાની છે કે સરવાળો $15$ મળે,જ્યારે પ્રથમ ફેંક $4$ હોય.
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે ત્રણ ફેંકનો સરવાળો $15$ છે,અને $B$ એ ઘટના છે કે પ્રથમ ફેંક $4$ છે.
આપણે $P(A|B) = \frac{n(A \cap B)}{n(B)}$ ની ગણતરી કરવાની છે.
પ્રથમ,$n(B)$ ધ્યાનમાં લો: જો પ્રથમ ફેંક $4$ તરીકે નિશ્ચિત હોય,તો બાકીની બે ફેંકમાં દરેક $6$ પરિણામોમાંથી કોઈ પણ આવી શકે છે. તેથી,$n(B) = 6 \times 6 = 36$.
આગળ,$n(A \cap B)$ ધ્યાનમાં લો: આપણે ત્રણ સંખ્યાઓ $(4, x, y)$ નો સરવાળો $15$ જોઈએ છે,જ્યાં $1 \le x, y \le 6$. આનો અર્થ એ છે કે $4 + x + y = 15$,અથવા $x + y = 11$.
$x + y = 11$ સંતોષતી શક્ય જોડીઓ $(x, y)$ એ $(5, 6)$ અને $(6, 5)$ છે.
આમ,$2$ સાનુકૂળ પરિણામો છે: $(4, 5, 6)$ અને $(4, 6, 5)$. તેથી,$n(A \cap B) = 2$.
શરતી સંભાવના $P(A|B) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$ છે.

(B) કુલ ટિકિટોની સંખ્યા $100$ ($00$ થી $99$) છે.
ધારો કે $Y = 0$ એ ઘટના છે કે અંકોનો ગુણાકાર $0$ થાય. આ ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે ઓછામાં ઓછો એક અંક $0$ હોય. આવી ટિકિટો: $00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90$ છે.
આ ગણતરી કરતા,$0$ થી શરૂ થતી $10$ ટિકિટો ($00$ થી $09$) અને $0$ પર પૂરી થતી $9$ ટિકિટો $(10, 20, \dots, 90)$ મળે છે. અહીં $00$ બંનેમાં ગણાય છે,તેથી કુલ અલગ ટિકિટોની સંખ્યા $10 + 9 = 19$ થાય.
આમ,$P(Y = 0) = \frac{19}{100}$.
હવે,ધારો કે $X = 9$ એ ઘટના છે કે અંકોનો સરવાળો $9$ થાય. આપણે છેદગણ $(X = 9) \cap (Y = 0)$ શોધીએ,જેનો અર્થ છે કે અંકોનો સરવાળો $9$ હોય અને ઓછામાં ઓછો એક અંક $0$ હોય. આવી ટિકિટો માત્ર $09$ અને $90$ છે.
તેથી,$P(X = 9 \cap Y = 0) = \frac{2}{100}$.
શરતી સંભાવના $P(X = 9 | Y = 0) = \frac{P(X = 9 \cap Y = 0)}{P(Y = 0)} = \frac{2/100}{19/100} = \frac{2}{19}$.

(A) ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે $6$ મળે છે અને $E'$ એ ઘટના છે કે $6$ મળતું નથી.
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે માણસ જણાવે છે કે તે $6$ છે.
આપણી પાસે $P(E) = \frac{1}{6}$ અને $P(E') = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ છે.
માણસ સાચું બોલે તેની સંભાવના $P(T) = \frac{3}{4}$ છે,તેથી તે જૂઠું બોલે તેની સંભાવના $P(L) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ છે.
જો $6$ મળે,તો માણસ સાચું બોલે તો જ તે $6$ હોવાનું જણાવશે,તેથી $P(A|E) = \frac{3}{4}$.
જો $6$ ન મળે,તો માણસ જૂઠું બોલે તો જ તે $6$ હોવાનું જણાવશે,તેથી $P(A|E') = \frac{1}{4}$.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,તેણે $6$ હોવાનું જણાવ્યું હોય ત્યારે તે ખરેખર $6$ હોવાની સંભાવના:
$P(E|A) = \frac{P(E) \cdot P(A|E)}{P(E) \cdot P(A|E) + P(E') \cdot P(A|E')}$
$P(E|A) = \frac{\frac{1}{6} \cdot \frac{3}{4}}{\frac{1}{6} \cdot \frac{3}{4} + \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{4}}$
$P(E|A) = \frac{\frac{3}{24}}{\frac{3}{24} + \frac{5}{24}} = \frac{3}{8}$.

(D) ધારો કે $E_1$ એ થેલી $A$ માંથી દડો કાઢવાની ઘટના છે,$E_2$ એ થેલી $B$ માંથી દડો કાઢવાની ઘટના છે,અને $E$ એ કાઢેલો દડો લાલ હોવાની ઘટના છે.
આપણે $P(E_2|E)$ શોધવાનું છે.
બંને થેલીઓ પસંદ થવાની સંભાવના સમાન હોવાથી,$P(E_1) = P(E_2) = \frac{1}{2}$ છે.
થેલી $A$ માંથી લાલ દડો કાઢવાની સંભાવના $P(E|E_1) = \frac{3}{5}$ છે,અને થેલી $B$ માંથી $P(E|E_2) = \frac{5}{9}$ છે.
બેયઝના પ્રમેય મુજબ:
$P(E_2|E) = \frac{P(E_2) \cdot P(E|E_2)}{P(E_1) \cdot P(E|E_1) + P(E_2) \cdot P(E|E_2)}$
$P(E_2|E) = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{5}{9}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} + \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{9}}$
$P(E_2|E) = \frac{\frac{5}{18}}{\frac{3}{10} + \frac{5}{18}} = \frac{\frac{5}{18}}{\frac{27 + 25}{90}} = \frac{5}{18} \cdot \frac{90}{52} = \frac{25}{52}$.

(C) ધારો કે $A$ એ થેલી $X$ પસંદ કરવાની ઘટના છે,$B$ એ થેલી $Y$ પસંદ કરવાની ઘટના છે,અને $E$ એ સફેદ દડો કાઢવાની ઘટના છે.
એક થેલી યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવતી હોવાથી,$P(A) = \frac{1}{2}$ અને $P(B) = \frac{1}{2}$ થાય.
થેલી $X$ માંથી સફેદ દડો કાઢવાની સંભાવના $P(E|A) = \frac{2}{2+3} = \frac{2}{5}$ છે.
થેલી $Y$ માંથી સફેદ દડો કાઢવાની સંભાવના $P(E|B) = \frac{4}{4+2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ છે.
સંપૂર્ણ સંભાવનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$P(E) = P(A)P(E|A) + P(B)P(E|B)$.
$P(E) = \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5}\right) + \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}\right) = \frac{1}{5} + \frac{1}{3} = \frac{3+5}{15} = \frac{8}{15}$.

(C) આ પ્રશ્ન બેયઝના પ્રમેય (Bayes' theorem) નો ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકાય છે.
ધારો કે $E_1$ એ થેલી $A$ પસંદ કરવાની ઘટના છે અને $E_2$ એ થેલી $B$ પસંદ કરવાની ઘટના છે.
એક થેલી યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવતી હોવાથી,$P(E_1) = \frac{1}{2}$ અને $P(E_2) = \frac{1}{2}$ થશે.
ધારો કે $G$ એ લીલો દડો કાઢવાની ઘટના છે.
થેલી $A$ માંથી લીલો દડો કાઢવાની સંભાવના: $P(G|E_1) = \frac{4}{7}$.
થેલી $B$ માંથી લીલો દડો કાઢવાની સંભાવના: $P(G|E_2) = \frac{3}{7}$.
આપણે તે દડો થેલી $B$ માંથી આવ્યો હોય તેની સંભાવના શોધવાની છે,એટલે કે $P(E_2|G)$ શોધવાનું છે.
બેયઝના પ્રમેય મુજબ:
$P(E_2|G) = \frac{P(E_2) \cdot P(G|E_2)}{P(E_1) \cdot P(G|E_1) + P(E_2) \cdot P(G|E_2)}$
$P(E_2|G) = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{3}{7}}{(\frac{1}{2} \times \frac{4}{7}) + (\frac{1}{2} \times \frac{3}{7})}$
$P(E_2|G) = \frac{\frac{3}{14}}{\frac{4}{14} + \frac{3}{14}} = \frac{\frac{3}{14}}{\frac{7}{14}} = \frac{3}{7}$.

(D) આપેલ છે કે $P(E) \le P(F)$ અને $P(E \cap F) > 0.$
$P(E) \le P(F)$ સૂચવે છે કે ઘટના $E$ ની સંભાવના એ ઘટના $F$ ની સંભાવના કરતા ઓછી અથવા સમાન છે,પરંતુ તેનો અર્થ એ નથી કે $E$ એ $F$ નો ઉપગણ છે $(E \subseteq F)$.
$P(E \cap F) > 0$ સૂચવે છે કે $E$ અને $F$ નો છેદગણ ખાલી ગણ નથી,એટલે કે બંને ઘટનાઓમાં ઓછામાં ઓછું એક પરિણામ સામાન્ય છે.
કારણ કે $E$ એ $F$ નો ઉપગણ હોવો જરૂરી નથી,તેથી $E$ ની ઘટના $F$ ની ઘટનાની ખાતરી આપતી નથી. તેવી જ રીતે,$F$ એ $E$ નો ઉપગણ હોવો જરૂરી નથી,તેથી $F$ ની ઘટના $E$ ની ઘટનાની ખાતરી આપતી નથી.
વધુમાં,$E$ ન બનવી $(\overline{E})$ એ $F$ ન બનવી $(\overline{F})$ સૂચવતું નથી.
તેથી,આપેલી એકપણ ગર્ભિતાર્થ સાચી ઠરતી નથી.

(B) ધારો કે ચાર મશીનો $M_1, M_2, F_1, F_2$ છે,જ્યાં $F_1$ અને $F_2$ ખામીયુક્ત છે અને $M_1, M_2$ ખામી રહિત છે.
આપણે બરાબર બે પરીક્ષણોમાં બંને ખામીયુક્ત મશીનોને ઓળખવાની જરૂર છે.
આનો અર્થ એ છે કે પ્રથમ પરીક્ષણમાં ખામીયુક્ત મશીન મળવું જોઈએ અને બીજા પરીક્ષણમાં પણ ખામીયુક્ત મશીન મળવું જોઈએ.
ચોક્કસ ક્રમમાં $4$ માંથી $2$ મશીનો પસંદ કરવાની કુલ રીતો $4 \times 3 = 12$ છે.
પ્રથમ બે પરીક્ષણોમાં બંને ખામીયુક્ત મશીનો પસંદ કરવાની રીતો $2 \times 1 = 2$ છે (એટલે કે $(F_1, F_2)$ અથવા $(F_2, F_1)$).
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{2}{12} = \frac{1}{6}$ છે.
વૈકલ્પિક રીતે,સંચયનો ઉપયોગ કરીને: $4$ માંથી $2$ મશીનો પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^4C_2 = 6$ છે. આ જોડીઓમાંથી માત્ર એક જોડીમાં બંને ખામીયુક્ત મશીનો હોય છે. તેથી,સંભાવના $\frac{1}{6}$ છે.

(A) $12$ વ્યક્તિઓને એક હારમાં ગોઠવવાની કુલ રીતો $n = 12!$ છે.
છોકરાઓ અને છોકરીઓ એકાંતરે બેસે તે માટે બે શક્ય ભાત (patterns) છે:
$1$. છોકરો-છોકરી-છોકરો-છોકરી-છોકરો-છોકરી-છોકરો-છોકરી-છોકરો-છોકરી-છોકરો-છોકરી
$2$. છોકરી-છોકરો-છોકરી-છોકરો-છોકરી-છોકરો-છોકરી-છોકરો-છોકરી-છોકરો-છોકરી-છોકરો
દરેક ભાતમાં,$6$ છોકરાઓને $6!$ રીતે અને $6$ છોકરીઓને $6!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
આમ,સાનુકૂળ રીતોની કુલ સંખ્યા $m = 6! \times 6! + 6! \times 6! = 2 \times (6! \times 6!)$ છે.
જરૂરી સંભાવના $P = \frac{m}{n} = \frac{2 \times 6! \times 6!}{12!}$ છે.
કિંમતની ગણતરી કરતા: $P = \frac{2 \times 720 \times 720}{479001600} = \frac{1036800}{479001600} = \frac{1}{462}$.

(B) $7$ સફેદ દડા અને $3$ કાળા દડાને એક હારમાં ગોઠવવાની કુલ રીતો: $\frac{10!}{7!3!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$ છે.
કોઈ પણ બે કાળા દડા પાસપાસે ન આવે તે માટે,આપણે પહેલા $7$ સફેદ દડાને હારમાં ગોઠવીએ: $W \_ W \_ W \_ W \_ W \_ W \_ W$.
અહીં $8$ શક્ય જગ્યાઓ છે (છેડાઓ સહિત) જ્યાં $3$ કાળા દડા મૂકી શકાય: $7$ સફેદ દડાની વચ્ચે $6$ જગ્યાઓ અને $2$ છેડા પર.
આ $8$ જગ્યાઓમાંથી $3$ જગ્યા પસંદ કરવાની રીતો ${}^8C_3 = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$ છે.
માટે,જરૂરી સંભાવના = $\frac{56}{120} = \frac{7}{15}$ થાય.

(D) ધારો કે બીજી ઘટનાની સંભાવના $p$ છે. તો પ્રથમ ઘટનાની સંભાવના $\frac{2}{3}p$ થશે.
બે ઘટનાઓમાંથી એક ચોક્કસપણે બનવી જોઈએ અને તે પરસ્પર નિવારક હોવાથી,તેમની સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય.
તેથી,$p + \frac{2}{3}p = 1$.
$p$ માટે ઉકેલતા: $\frac{5}{3}p = 1 \Rightarrow p = \frac{3}{5}$.
પ્રથમ ઘટનાની સંભાવના $1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$ થશે.
બીજી ઘટનાની તરફેણમાં સાનુકૂળ ગુણોત્તર તેની સંભાવના અને તેના પૂરક (પ્રથમ ઘટના) ની સંભાવનાના ગુણોત્તર દ્વારા મળે છે.
તરફેણમાં સાનુકૂળ ગુણોત્તર = $p : (1 - p) = \frac{3}{5} : \frac{2}{5} = 3 : 2$.

(B) આપેલ છે કે $P(A) = 0.5$ અને $P(B) = 0.3$.
કારણ કે $A$ અને $B$ પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ છે,તેથી તેમનો યોગગણ $P(A \cup B) = P(A) + P(B) = 0.5 + 0.3 = 0.8$ થાય.
આપણે $A$ કે $B$ બંનેમાંથી એક પણ ન બને તેની સંભાવના શોધવાની છે,જે $P(\overline{A} \cap \overline{B})$ છે.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A \cup B})$.
પૂરક ઘટનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B)$.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $1 - 0.8 = 0.2$ થાય.

(C) લીપ વર્ષમાં $366$ દિવસો હોય છે,જે $52$ અઠવાડિયા અને $2$ વધારાના દિવસોને સમાન છે.
આ $2$ વધારાના દિવસો માટે $7$ શક્ય જોડીઓ નીચે મુજબ છે:
$(i)$ (રવિવાર,સોમવાર),$(ii)$ (સોમવાર,મંગળવાર),$(iii)$ (મંગળવાર,બુધવાર),$(iv)$ (બુધવાર,ગુરુવાર),$(v)$ (ગુરુવાર,શુક્રવાર),$(vi)$ (શુક્રવાર,શનિવાર),$(vii)$ (શનિવાર,રવિવાર).
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે લીપ વર્ષમાં $53$ રવિવાર આવે છે,અને $B$ એ ઘટના છે કે તેમાં $53$ સોમવાર આવે છે.
ઉપરની યાદીમાંથી,રવિવાર ધરાવતી જોડીઓ $(i)$ અને $(vii)$ છે,તેથી $P(A) = \frac{2}{7}$.
સોમવાર ધરાવતી જોડીઓ $(i)$ અને $(ii)$ છે,તેથી $P(B) = \frac{2}{7}$.
રવિવાર અને સોમવાર બંને ધરાવતી જોડી $(i)$ છે,તેથી $P(A \cap B) = \frac{1}{7}$.
સંભાવનાના સરવાળાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$A$ અથવા $B$ ની સંભાવના:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{2}{7} + \frac{2}{7} - \frac{1}{7} = \frac{3}{7}$.

(C) પાસો ફેંકતા મળતા કુલ પરિણામોનો નિદર્શાવકાશ $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે,તેથી કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 6$ છે.
ઘટના $A$ એ છે કે મળતી સંખ્યા $3$ કરતા મોટી હોય,તેથી $A = \{4, 5, 6\}$. આમ,$n(A) = 3$ અને $P(A) = 3/6$.
ઘટના $B$ એ છે કે મળતી સંખ્યા $5$ કરતા નાની હોય,તેથી $B = \{1, 2, 3, 4\}$. આમ,$n(B) = 4$ અને $P(B) = 4/6$.
છેદગણ $A \cap B$ એ $A$ અને $B$ બંનેમાં સામાન્ય પરિણામોનો ગણ છે,તેથી $A \cap B = \{4\}$. આમ,$n(A \cap B) = 1$ અને $P(A \cap B) = 1/6$.
સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
કિંમતો મૂકતા,$P(A \cup B) = 3/6 + 4/6 - 1/6 = 6/6 = 1$.

(C) $1, 2, 3, 4, 5$ અંકોને ગોઠવવાની કુલ રીતો $5! = 120$ છે.
કોઈ સંખ્યા $4$ વડે વિભાજ્ય હોય તે માટે તેના છેલ્લા બે અંકોથી બનતી સંખ્યા $4$ વડે વિભાજ્ય હોવી જોઈએ.
${1, 2, 3, 4, 5}$ ગણમાંથી બનતી બે અંકની સંખ્યાઓ જે $4$ વડે વિભાજ્ય હોય તે $12, 24, 32,$ અને $52$ છે.
આ $4$ જોડીઓમાંથી દરેક માટે,બાકીના $3$ અંકોને પ્રથમ $3$ સ્થાનો પર $3! = 6$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
તેથી,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $4 \times 3! = 4 \times 6 = 24$ છે.
સંભાવના = $\frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામો}}{\text{કુલ પરિણામો}} = \frac{24}{120} = \frac{1}{5}$.

(A) સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $1$ છે (જેમાં $2$ અંક મળે છે).
જ્યારે એક પાસો ફેંકવામાં આવે ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6$ છે (પાસાની બાજુઓ ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$).
તેથી,$2$ મળવાની સંભાવના એ સાનુકૂળ પરિણામો અને કુલ પરિણામોનો ગુણોત્તર છે:
$P(2) = \frac{\text{સાાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{1}{6}$.

(C) $52$ પત્તાના ડેકમાં એક્કાની કુલ સંખ્યા $= 4$ છે.
એક વાર પત્તું ખેંચતા એક્કો મળવાની સંભાવના $P(A) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ છે.
કારણ કે પ્રથમ પત્તું બીજા પત્તાને ખેંચતા પહેલા પાછું મૂકવામાં આવે છે,તેથી આ ઘટનાઓ નિરપેક્ષ છે.
તેથી,બંને પત્તા એક્કા હોવાની સંભાવના $P(A) \times P(A) = \frac{4}{52} \times \frac{4}{52}$ થશે.

(B) પત્તાંના ડેકમાં કુલ $52$ પત્તાં હોય છે,જેમાંથી $4$ પત્તાં એક્કા હોય છે.
પ્રથમ એક્કો ખેંચવાની સંભાવના $P(A_1) = \frac{4}{52}$ છે.
કારણ કે પ્રથમ પત્તું પાછું મૂકવામાં આવતું નથી,તેથી હવે ડેકમાં $51$ પત્તાં બાકી રહે છે,જેમાંથી માત્ર $3$ પત્તાં એક્કા છે.
પ્રથમ પત્તું એક્કો હોવાની શરતે બીજું પત્તું એક્કો હોવાની સંભાવના $P(A_2|A_1) = \frac{3}{51}$ છે.
બંને પત્તાં એક્કા હોવાની કુલ સંભાવના $P(A_1 \cap A_2) = P(A_1) \times P(A_2|A_1) = \frac{4}{52} \times \frac{3}{51}$ થાય.

(A) લાલ દડાની કુલ સંખ્યા $= 6$.
બોક્સમાં દડાની કુલ સંખ્યા $= 6 + 4 + 5 = 15$.
લાલ દડો પસંદ કરવાની સંભાવના એ લાલ દડાની સંખ્યા અને દડાની કુલ સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે.
સંભાવના $= \frac{\text{લાલ દડાની સંખ્યા}}{\text{દડાની કુલ સંખ્યા}} = \frac{6}{15}$.
અંશ અને છેદને $3$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{2}{5}$ મળે છે.

(D) એક સમતોલ પાસાને ફેંકતા $4$ ન મળે તેની સંભાવના $\frac{5}{6}$ છે.
બે વાર પાસાને ફેંકતા એક પણ વાર $4$ ન મળે તેની સંભાવના $\frac{5}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{25}{36}$ થાય.
ઓછામાં ઓછી એક વાર $4$ મળે તેની સંભાવના $1 - P(\text{બે વાર ફેંકતા એક પણ વાર } 4 \text{ ન મળે})$ દ્વારા મળે છે.
તેથી, જરૂરી સંભાવના $1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$ છે.

(A) ધારો કે $E_1$ એ પ્રથમ થેલીમાંથી સફેદ દડો કાઢવાની ઘટના છે અને $E_2$ એ બીજી થેલીમાંથી સફેદ દડો કાઢવાની ઘટના છે.
પ્રથમ થેલીમાં $4$ સફેદ દડા અને $2$ કાળા દડા છે,તેથી દડાઓની કુલ સંખ્યા $4 + 2 = 6$ છે.
પ્રથમ થેલીમાંથી સફેદ દડો કાઢવાની સંભાવના $P(E_1) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ છે.
બીજી થેલીમાં $3$ સફેદ દડા અને $5$ કાળા દડા છે,તેથી દડાઓની કુલ સંખ્યા $3 + 5 = 8$ છે.
બીજી થેલીમાંથી સફેદ દડો કાઢવાની સંભાવના $P(E_2) = \frac{3}{8}$ છે.
આ ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,બંને દડા સફેદ હોય તેની સંભાવના $P(E_1 \cap E_2) = P(E_1) \times P(E_2)$ થશે.
$P(E_1 \cap E_2) = \frac{2}{3} \times \frac{3}{8} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$.

(C) જ્યારે એક પાસો ફેંકવામાં આવે ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામો $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે.
કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 6$ છે.
પાસા પરની બેકી સંખ્યાઓ $E = \{2, 4, 6\}$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 3$ છે.
બેકી સંખ્યા મેળવવાની સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ થાય.

(A) જ્યારે બે સિક્કા ઉછાળવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ નિદર્શાવકાશ $S$ નીચે મુજબ મળે છે: $S = \{HH, HT, TH, TT\}$.
કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 4$ છે.
બે છાપ મળે તે ઘટના $E = \{HH\}$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 1$ છે.
સંભાવના $P(E)$ શોધવાનું સૂત્ર: $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)}$.
તેથી,$P(E) = \frac{1}{4}$.

(A) પાસો ફેંકવા માટેનો નિદર્શ અવકાશ ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ છે. એકી સંખ્યાઓ ${1, 3, 5}$ છે.
પાસા પર એકી સંખ્યા મળવાની સંભાવના $P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ છે.
સિક્કો ઉછાળવા માટેનો નિદર્શ અવકાશ ${H, T}$ છે. છાપ (Head) મળવાની સંભાવના $P(B) = \frac{1}{2}$ છે.
આ બંને સ્વતંત્ર ઘટનાઓ હોવાથી,જરૂરી સંભાવના $P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ થાય.

(A) તાશના પત્તાની કુલ સંખ્યા $52$ છે.
તાશના પત્તામાં ચોકટનો $3$ નંબરનું પત્તું માત્ર એક જ હોય છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના એ સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા અને કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે.
સંભાવના $= \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{1}{52}$.

(D) પત્તાની એક પ્રમાણિત થોકડીમાં $52$ પત્તા હોય છે,જેમાંથી $13$ પત્તા કાળીના (spades) હોય છે.
એક પ્રયત્નમાં કાળીનું પત્તું ખેંચવાની સંભાવના $P(S) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$ છે.
એક પ્રયત્નમાં કાળીનું પત્તું ન ખેંચવાની સંભાવના $P(S') = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ છે.
દરેક પ્રયત્ન પછી પત્તું પાછું મૂકવામાં આવે છે અને થોકડીને ચીપવામાં આવે છે,તેથી આ ઘટનાઓ નિરપેક્ષ છે.
પ્રથમ પ્રયત્નમાં નિષ્ફળ જવાની (કાળીનું પત્તું ન ખેંચવાની) સંભાવના $\frac{3}{4}$ છે.
બીજા પ્રયત્નમાં નિષ્ફળ જવાની સંભાવના પણ $\frac{3}{4}$ છે.
તેથી,પ્રથમ બે પ્રયત્નોમાં નિષ્ફળ જવાની સંભાવના $\frac{3}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{9}{16}$ થાય.

(B) ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે $A$ સાચું બોલે છે અને $B$ એ ઘટના છે કે $B$ સાચું બોલે છે.
આપેલ સંભાવનાઓ $P(A) = 0.6$ અને $P(B) = 0.7$ છે.
તેથી,$A$ જૂઠું બોલે તેની સંભાવના $P(A') = 1 - 0.6 = 0.4$ છે.
$B$ જૂઠું બોલે તેની સંભાવના $P(B') = 1 - 0.7 = 0.3$ છે.
તેઓ એકસરખી વાત ત્યારે જ કહેશે જો બંને સાચું બોલે અથવા બંને જૂઠું બોલે.
એકસરખી વાત કહેવાની સંભાવના $= P(A) \times P(B) + P(A') \times P(B')$.
$= (0.6 \times 0.7) + (0.4 \times 0.3)$.
$= 0.42 + 0.12 = 0.54$.

(C) કુલ દડાની સંખ્યા $= 2 + 3 + 4 = 9$ છે.
$9$ દડામાંથી $3$ દડા પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${}^{9}C_{3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$ છે.
અહીં લાલ દડાની સંખ્યા માત્ર $2$ હોવાથી,$3$ લાલ દડા પસંદ કરવા શક્ય નથી.
$3$ કાળા દડામાંથી $3$ કાળા દડા પસંદ કરવાની રીતો ${}^{3}C_{3} = 1$ છે.
$4$ સફેદ દડામાંથી $3$ સફેદ દડા પસંદ કરવાની રીતો ${}^{4}C_{3} = \frac{4 \times 3 \times 2}{3 \times 2 \times 1} = 4$ છે.
તેથી,ત્રણેય દડા એક જ રંગના હોય તેની સંભાવના:
$P = \frac{{}^{3}C_{3} + {}^{4}C_{3}}{{}^{9}C_{3}} = \frac{1 + 4}{84} = \frac{5}{84}$.

(C) જ્યારે બે છ-બાજુવાળા પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6^2 = 36$ છે.
શક્ય સરવાળો $2$ થી $12$ ની વચ્ચે હોય છે.
$2$ અને $12$ ની વચ્ચેની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $\{2, 3, 5, 7, 11\}$ છે.
દરેક અવિભાજ્ય સરવાળા માટે સાનુકૂળ પરિણામો નીચે મુજબ છે:
- સરવાળો $= 2$: $(1, 1)$ [$1$ પરિણામ]
- સરવાળો $= 3$: $(1, 2), (2, 1)$ [$2$ પરિણામ]
- સરવાળો $= 5$: $(1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2)$ [$4$ પરિણામ]
- સરવાળો $= 7$: $(1, 6), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3)$ [$6$ પરિણામ]
- સરવાળો $= 11$: $(5, 6), (6, 5)$ [$2$ પરિણામ]
કુલ સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= 1 + 2 + 4 + 6 + 2 = 15$.
સંભાવના $= \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$.

(D) બે સિક્કા ઉછાળવા માટેનો નિદર્શાવકાશ $S = \{TT, HT, TH, HH\}$ છે.
કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 4$ છે.
આપણે ઓછામાં ઓછી એક છાપ અને એક કાંટો મળે તેની સંભાવના શોધવાની છે.
સાનુકૂળ પરિણામો $\{HT, TH\}$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 2$ છે.
સંભાવના $P(E)$ નું સૂત્ર $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)}$ છે.
તેથી,$P(E) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.