Permutation and Combination Questions in Hindi

(A) त्रिभुज के शीर्ष $(0,0)$,$(41,0)$ और $(0,41)$ हैं।
$(41,0)$ और $(0,41)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $x + y = 41$ है।
हमें उन पूर्णांक बिंदुओं $(x, y)$ की संख्या ज्ञात करनी है जहाँ $x > 0$,$y > 0$ और $x + y < 41$ हो।
एक निश्चित $x$ के लिए,$y$ के संभावित मान $1, 2, 3, dots, 40-x$ हैं।
दिए गए $x$ के लिए ऐसे बिंदुओं की संख्या $40-x$ है।
$x = 1$ से $39$ तक इन मानों का योग करने पर:
$N = \sum_{x=1}^{39} (40-x) = 39 + 38 + 37 + dots + 1$।
यह $n = 39$ पदों वाली एक समांतर श्रेणी है।
$N = \frac{n(n+1)}{2} = \frac{39 \times 40}{2} = 39 \times 20 = 780$।

(B) दिया गया है कि समुच्चय $A$ में $4$ अवयव हैं और समुच्चय $B$ में $2$ अवयव हैं।
कार्तीय गुणन $A \times B$ में अवयवों की संख्या $n(A \times B) = n(A) \times n(B) = 4 \times 2 = 8$ है।
$A \times B$ के कुल उपसमुच्चयों की संख्या $2^n = 2^8 = 256$ है।
हमें कम से कम $3$ अवयवों वाले उपसमुच्चयों की संख्या ज्ञात करनी है।
यह कुल उपसमुच्चयों में से $0, 1,$ या $2$ अवयवों वाले उपसमुच्चयों की संख्या को घटाने के बराबर है।
$0$ अवयवों वाले उपसमुच्चय (रिक्त समुच्चय) = $^8C_0 = 1$ है।
$1$ अवयव वाले उपसमुच्चय = $^8C_1 = 8$ है।
$2$ अवयवों वाले उपसमुच्चय = $^8C_2 = \frac{8 \times 7}{2} = 28$ है।
$3$ से कम अवयवों वाले कुल उपसमुच्चय = $1 + 8 + 28 = 37$ है।
कम से कम $3$ अवयवों वाले उपसमुच्चयों की संख्या = $256 - 37 = 219$ है।

(B) $SMALL$ शब्द में अक्षर $A, L, L, M, S$ हैं। कुल अक्षर = $5$ हैं।
अक्षरों को वर्णानुक्रम में व्यवस्थित करने पर: $A, L, L, M, S$ प्राप्त होता है।
$1$. $A$ से शुरू होने वाले शब्द: शेष अक्षर $L, L, M, S$ हैं। व्यवस्थाओं की संख्या $\frac{4!}{2!} = \frac{24}{2} = 12$ है।
$2$. $L$ से शुरू होने वाले शब्द: शेष अक्षर $A, L, M, S$ हैं। व्यवस्थाओं की संख्या $4! = 24$ है।
$3$. $M$ से शुरू होने वाले शब्द: शेष अक्षर $A, L, L, S$ हैं। व्यवस्थाओं की संख्या $\frac{4!}{2!} = \frac{24}{2} = 12$ है।
$4$. $SA$ से शुरू होने वाले शब्द: शेष अक्षर $L, L, M$ हैं। व्यवस्थाओं की संख्या $\frac{3!}{2!} = 3$ है।
$5$. $SL$ से शुरू होने वाले शब्द: शेष अक्षर $A, L, M$ हैं। व्यवस्थाओं की संख्या $3! = 6$ है।
$6$. $SMA$ से शुरू होने वाले शब्द: शेष अक्षर $L, L$ हैं। व्यवस्थाओं की संख्या $\frac{2!}{2!} = 1$ है।
अतः,$SMALL$ शब्द का स्थान $12 + 24 + 12 + 3 + 6 + 1 = 58$ वाँ है।

(B) मान लीजिए $L_X = 4, M_X = 3$ पुरुष $X$ के महिला और पुरुष मित्रों की संख्या है,और $L_Y = 3, M_Y = 4$ महिला $Y$ के महिला और पुरुष मित्रों की संख्या है।
हमें कुल $3$ महिलाओं और $3$ पुरुषों का चयन करना है,ताकि $X$ के समूह से $3$ मित्र और $Y$ के समूह से $3$ मित्र चुने जाएं।
मान लीजिए $X$,$l_1$ महिलाओं और $m_1$ पुरुषों को आमंत्रित करता है,और $Y$,$l_2$ महिलाओं और $m_2$ पुरुषों को आमंत्रित करता है।
शर्तें: $l_1 + m_1 = 3$,$l_2 + m_2 = 3$,$l_1 + l_2 = 3$,और $m_1 + m_2 = 3$ है।
$X$ के लिए संभावित मामले $(l_1, m_1)$ और $Y$ के लिए $(l_2, m_2)$ इस प्रकार हैं:
स्थिति $1$: $l_1=3, m_1=0$ और $l_2=0, m_2=3$. तरीके: $\binom{4}{3}\binom{3}{0} \times \binom{3}{0}\binom{4}{3} = 4 \times 4 = 16$.
स्थिति $2$: $l_1=2, m_1=1$ और $l_2=1, m_2=2$. तरीके: $\binom{4}{2}\binom{3}{1} \times \binom{3}{1}\binom{4}{2} = 18 \times 18 = 324$.
स्थिति $3$: $l_1=1, m_1=2$ और $l_2=2, m_2=1$. तरीके: $\binom{4}{1}\binom{3}{2} \times \binom{3}{2}\binom{4}{1} = 12 \times 12 = 144$.
स्थिति $4$: $l_1=0, m_1=3$ और $l_2=3, m_2=0$. तरीके: $\binom{4}{0}\binom{3}{3} \times \binom{3}{3}\binom{4}{0} = 1 \times 1 = 1$.
कुल तरीके $= 16 + 324 + 144 + 1 = 485$.

(C) चूंकि $5$ गेंदें समान हैं और $10$ बक्से भी समान हैं,इसलिए वितरण केवल बक्सों के चयन पर निर्भर करता है।
प्रत्येक बक्से में अधिकतम एक गेंद हो सकती है,इसलिए हमें गेंदें रखने के लिए $10$ में से $5$ बक्सों का चयन करना होगा।
चूंकि बक्से समान हैं,इसलिए $10$ में से $5$ बक्सों को चुनने के तरीकों की संख्या संचय के सूत्र $^{10}C_5$ द्वारा दी जाती है।
$^{10}C_5 = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10!}{5! \times 5!} = \frac{10!}{(5!)^2}$.

(D) चरण $1$: दो महिलाएं $1$ से $4$ तक चिह्नित कुर्सियों में से अपनी कुर्सियों का चयन करती हैं। चूंकि कुर्सियां अलग-अलग हैं,इसलिए बैठने का क्रम मायने रखता है,अतः तरीकों की संख्या $^4P_2 = 4 \times 3 = 12$ है।
चरण $2$: महिलाओं द्वारा $2$ कुर्सियों पर बैठने के बाद,कुल $8 - 2 = 6$ कुर्सियां शेष बचती हैं।
चरण $3$: इसके बाद तीन पुरुष शेष $6$ कुर्सियों में से अपनी कुर्सियों का चयन करते हैं। तरीकों की संख्या $^6P_3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$ है।
चरण $4$: कुल व्यवस्थाओं की संख्या इन दोनों चरणों का गुणनफल है: $^4P_2 \times ^6P_3 = 12 \times 120 = 1440$.
चूंकि $1440$ विकल्पों $A, B,$ या $C$ में नहीं दिया गया है,इसलिए सही उत्तर $D$ है।

(A) त्रिभुज $ABC$ की भुजाओं पर स्थित कुल बिंदुओं की संख्या $3 + 4 + 5 = 12$ है।
$12$ बिंदुओं में से $3$ बिंदुओं को चुनने के कुल तरीके $^{12}C_3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$ हैं।
हालाँकि,एक ही भुजा पर स्थित बिंदु संरेख (collinear) होते हैं और त्रिभुज नहीं बना सकते। हमें इन मामलों को घटाना होगा:
$1$. भुजा $AB$ पर स्थित बिंदु: $^3C_3 = 1$ तरीका।
$2$. भुजा $BC$ पर स्थित बिंदु: $^4C_3 = 4$ तरीके।
$3$. भुजा $CA$ पर स्थित बिंदु: $^5C_3 = 10$ तरीके।
त्रिभुजों की कुल संख्या = (कुल संचय) - (संरेख संचय) = $220 - (1 + 4 + 10) = 220 - 15 = 205$।

(D) $n$ अलग-अलग वस्तुओं को एक क्रम में व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $n!$ (n फैक्टोरियल) द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$4$ अलग-अलग व्याख्याता $(P, Q, R, S)$ हैं।
इसलिए,उनकी प्रस्तुति के क्रम को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ है।
वैकल्पिक रूप से,क्रमचय (permutation) सूत्र $^nP_r$ का उपयोग करते हुए जहाँ $n=4$ और $r=4$ है,हमें $^4P_4 = 4! = 24$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए कि $A$ एक समुच्चय है जिसमें $n$ अवयव हैं,जहाँ $n = 10$ है।
समुच्चय $A$ से समुच्चय $A$ तक का एक फलन,प्रांत (domain) के प्रत्येक $10$ अवयव को सह-प्रांत (codomain) के किन्हीं भी $10$ अवयवों से जोड़ता है।
प्रांत के प्रत्येक अवयव के लिए,सह-प्रांत में $10$ संभावित विकल्प हैं।
चूंकि प्रांत में $10$ अवयव हैं,इसलिए कुल भिन्न फलनों की संख्या प्रत्येक अवयव के विकल्पों के गुणनफल द्वारा प्राप्त होती है:
कुल फलन $= 10 \times 10 \times \dots \times 10$ ($10$ बार) $= 10^{10}$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) $0, 1, 2, 3, 4, 5$ अंकों का उपयोग करके $3000$ से बड़ी संख्याएँ ज्ञात करने के लिए,हम $4, 5$ और $6$ अंकों वाली संख्याओं पर विचार करेंगे।
$1$. $3000$ से बड़ी $4$ अंकों की संख्याएँ:
पहला अंक $3, 4$ या $5$ हो सकता है ($3$ विकल्प)।
शेष $3$ स्थानों को शेष $5$ अंकों से $^5P_3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$ तरीकों से भरा जा सकता है।
कुल $4$ अंकों की संख्याएँ $= 3 \times 60 = 180$।
$2$. $5$ अंकों की संख्याएँ:
पहला अंक $0$ नहीं हो सकता ($5$ विकल्प: $1, 2, 3, 4, 5$)।
शेष $4$ स्थानों को शेष $5$ अंकों से $^5P_4 = 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$ तरीकों से भरा जा सकता है।
कुल $5$ अंकों की संख्याएँ $= 5 \times 120 = 600$।
$3$. $6$ अंकों की संख्याएँ:
पहला अंक $0$ नहीं हो सकता ($5$ विकल्प: $1, 2, 3, 4, 5$)।
शेष $5$ स्थानों को शेष $5$ अंकों से $5! = 120$ तरीकों से भरा जा सकता है।
कुल $6$ अंकों की संख्याएँ $= 5 \times 120 = 600$।
कुल संख्याएँ $= 180 + 600 + 600 = 1380$।

(D) $INSURANCE$ शब्द में $9$ अक्षर हैं: $I, N, S, U, R, A, N, C, E$।
स्वर $I, U, A, E$ हैं ($4$ स्वर)।
व्यंजन $N, S, R, N, C$ हैं ($5$ व्यंजन)।
चूंकि सभी स्वर एक साथ आने चाहिए,हम $(I, U, A, E)$ समूह को एक इकाई के रूप में मानते हैं।
अब,हमारे पास ${ (IUAE), N, S, R, N, C }$ का समूह है,जिसमें $6$ इकाइयाँ हैं।
इस समूह में,अक्षर $N$ दो बार दोहराया गया है।
इन $6$ इकाइयों को व्यवस्थित करने के तरीके $\frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360$ हैं।
स्वर समूह $(I, U, A, E)$ के भीतर,$4$ अलग-अलग स्वर हैं,जिन्हें $4! = 24$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
कुल शब्दों की संख्या = $360 \times 24 = 8640$।

(B) मान लीजिए $x_j$ उन छात्रों की संख्या है जिन्होंने ठीक $j$ गलत उत्तर दिए हैं,जहाँ $1 \le j \le k$ है।
गलत उत्तरों की कुल संख्या $\sum_{j=1}^{k} j \cdot x_j$ द्वारा दी जाती है।
हमें दिया गया है कि ${a_i}$ उन छात्रों की संख्या है जिन्होंने कम से कम $i$ गलत उत्तर दिए हैं।
अतः,${a_i} = \sum_{j=i}^{k} x_j$ है।
इसका अर्थ है कि $1 \le i < k$ के लिए ${a_i} - {a_{i+1}} = x_i$,और ${a_k} = x_k$ है।
गलत उत्तरों की कुल संख्या $\sum_{i=1}^{k} i \cdot x_i = 1(x_1) + 2(x_2) + ... + k(x_k)$ है।
$x_i = {a_i} - {a_{i+1}}$ प्रतिस्थापित करने पर:
कुल $= 1({a_1} - {a_2}) + 2({a_2} - {a_3}) + 3({a_3} - {a_4}) + ... + (k-1)({a_{k-1}} - {a_k}) + k({a_k})$.
इस योग का विस्तार करने पर:
कुल $= {a_1} - {a_2} + 2{a_2} - 2{a_3} + 3{a_3} - 3{a_4} + ... + (k-1){a_{k-1}} - (k-1){a_k} + k{a_k}$.
कुल $= {a_1} + (-1+2){a_2} + (-2+3){a_3} + ... + (-(k-1)+k){a_k}$.
कुल $= {a_1} + {a_2} + {a_3} + ... + {a_k}$.

(C) कुल मिलाकर,हमारे पास $8$ वर्ग हैं जिनमें $6$ '$X$' रखे जाने हैं और इसे $^8C_6 = 28$ तरीकों से किया जा सकता है।
लेकिन इसमें यह संभावना शामिल है कि या तो शीर्ष क्षैतिज पंक्ति में कोई '$X$' नहीं है या निचली क्षैतिज पंक्ति में कोई '$X$' नहीं है।
चूंकि हम चाहते हैं कि प्रत्येक पंक्ति में कम से कम एक '$X$' हो,इसलिए इन दो संभावनाओं को बाहर रखा जाना चाहिए।
अतः आवश्यक तरीकों की संख्या $28 - 2 = 26$ है।

(D) समिति का कुल आकार $12$ है। हमारे पास $9$ महिलाएं और $8$ पुरुष हैं।
शर्त: कम से कम $5$ महिलाओं को शामिल करना है।
(महिलाएं, पुरुष) के लिए संभावित स्थितियां:
$(5,7), (6,6), (7,5), (8,4), (9,3)$
तरीकों की संख्या:
$= {}^9C_5 \times {}^8C_7 + {}^9C_6 \times {}^8C_6 + {}^9C_7 \times {}^8C_5 + {}^9C_8 \times {}^8C_4 + {}^9C_9 \times {}^8C_3$
$= (126 \times 8) + (84 \times 28) + (36 \times 56) + (9 \times 70) + (1 \times 56)$
$= 1008 + 2352 + 2016 + 630 + 56$
$= 6062$
(i) यदि महिलाओं की संख्या $6$ से अधिक है ($7, 8, 9$ महिलाएं), तो महिलाएं बहुमत में हैं:
$= {}^9C_7 \times {}^8C_5 + {}^9C_8 \times {}^8C_4 + {}^9C_9 \times {}^8C_3$
$= 2016 + 630 + 56 = 2702$
(ii) यदि पुरुषों की संख्या $6$ से अधिक है (अर्थात $7$ पुरुष), तो पुरुष बहुमत में हैं:
$= {}^9C_5 \times {}^8C_7 = 126 \times 8 = 1008$

(B) $10$ लैंपों में से प्रत्येक के पास $2$ संभावनाएं हैं: या तो इसे 'चालू' (on) किया जा सकता है या 'बंद' (off) रखा जा सकता है।
चूंकि $10$ लैंप हैं, लैंप की स्थिति के लिए कुल संयोजनों की संख्या $2 \times 2 \times \dots \times 2$ ($10$ बार) है, जो $2^{10} = 1024$ के बराबर है।
हालाँकि, हॉल तभी प्रकाशित होता है जब कम से कम एक लैंप चालू हो।
केवल एक स्थिति ऐसी है जिसमें हॉल प्रकाशित नहीं होता है, वह तब है जब सभी $10$ लैंप 'बंद' हों।
इसलिए, हम कुल संयोजनों में से इस $1$ स्थिति को घटा देते हैं।
हॉल को प्रकाशित करने के कुल तरीके = $2^{10} - 1 = 1024 - 1 = 1023$.

(A) $KRISNA$ शब्द के अक्षर $A, I, K, N, R, S$ हैं। कुल अक्षर = $6$ हैं।
वर्णानुक्रम: $A, I, K, N, R, S$ है।
$1$. $A$ से शुरू होने वाले शब्द: $5! = 120$ हैं।
$2$. $I$ से शुरू होने वाले शब्द: $5! = 120$ हैं।
$3$. $KA$ से शुरू होने वाले शब्द: $4! = 24$ हैं।
$4$. $KI$ से शुरू होने वाले शब्द: $4! = 24$ हैं।
$5$. $KN$ से शुरू होने वाले शब्द: $4! = 24$ हैं।
$6$. $KRA$ से शुरू होने वाले शब्द: $3! = 6$ हैं।
$7$. $KRIA$ से शुरू होने वाले शब्द: $2! = 2$ हैं।
$8$. $KRIN$ से शुरू होने वाले शब्द: $2! = 2$ हैं।
$9$. $KRISA$ से शुरू होने वाले शब्द: $1! = 1$ है।
$10$. अगला शब्द $KRISNA$ है: $1$ है।
कुल रैंक = $120 + 120 + 24 + 24 + 24 + 6 + 2 + 2 + 1 + 1 = 324$ है।

(B) मान लीजिए कि सात अंकों की संख्या $x_1x_2x_3x_4x_5x_6x_7$ है।
पहला अंक $x_1$,$1$ से $9$ तक कोई भी मान ले सकता है ($9$ विकल्प)।
अंक $x_2, x_3, x_4, x_5, x_6$ प्रत्येक $0$ से $9$ तक कोई भी मान ले सकते हैं ($\text{प्रत्येक के लिए }10$ विकल्प)।
$x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6$ के किसी भी निश्चित मान के लिए,उनका योग $S = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6$ या तो सम होगा या विषम।
यदि $S$ सम है,तो कुल योग को सम बनाने के लिए $x_7$ को सम होना चाहिए ($0, 2, 4, 6, 8$ - $5$ विकल्प)।
यदि $S$ विषम है,तो कुल योग को सम बनाने के लिए $x_7$ को विषम होना चाहिए ($1, 3, 5, 7, 9$ - $5$ विकल्प)।
दोनों ही स्थितियों में,अंकों का योग सम रखने के लिए $x_7$ के पास ठीक $5$ विकल्प होते हैं।
अतः,ऐसी सात अंकों की कुल संख्याएँ $9 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 5 = 4500000$ हैं।

(A) यहाँ $4$ प्रथम पुरस्कार (गणित,भौतिकी,रसायन विज्ञान,अंग्रेजी) और $2$ द्वितीय पुरस्कार (गणित,भौतिकी) हैं।
चूंकि एक लड़का एक से अधिक प्रथम पुरस्कार जीत सकता है,इसलिए प्रत्येक $4$ प्रथम पुरस्कार $20$ तरीकों से दिए जा सकते हैं। अतः,प्रथम पुरस्कार देने के कुल तरीके $20 \times 20 \times 20 \times 20 = 20^4$ हैं।
द्वितीय पुरस्कारों के लिए,जिस लड़के ने उस विषय में प्रथम पुरस्कार जीता है,वह उसी विषय में द्वितीय पुरस्कार नहीं जीत सकता। इसलिए,गणित में द्वितीय पुरस्कार के लिए $19$ लड़के उपलब्ध हैं। इसी प्रकार,भौतिकी में द्वितीय पुरस्कार के लिए भी $19$ लड़के उपलब्ध हैं।
अतः,पुरस्कार देने के कुल तरीके $20^4 \times 19^2$ हैं।

(C) दिया गया है कि $a_n = \sum_{r = 0}^n \frac{1}{^nC_r}$.
मान लीजिए $b_n = \sum_{r = 0}^n \frac{r}{^nC_r}$.
गुणधर्म $^nC_r = ^nC_{n-r}$ का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं:
$b_n = \frac{0}{^nC_0} + \frac{1}{^nC_1} + \frac{2}{^nC_2} + \dots + \frac{n}{^nC_n}$.
इसी प्रकार,$b_n = \frac{n}{^nC_n} + \frac{n-1}{^nC_{n-1}} + \dots + \frac{0}{^nC_0} = \sum_{r=0}^n \frac{n-r}{^nC_r}$.
इन दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$2b_n = \sum_{r=0}^n \frac{r + (n-r)}{^nC_r} = \sum_{r=0}^n \frac{n}{^nC_r} = n \sum_{r=0}^n \frac{1}{^nC_r}$.
चूंकि $a_n = \sum_{r=0}^n \frac{1}{^nC_r}$,इसलिए $2b_n = n a_n$.
अतः,$b_n = \frac{1}{2} n a_n$.

(C) पास्कल के सर्वसमिका $^{n-1}C_r + ^{n-1}C_{r-1} = ^nC_r$ का उपयोग करने पर:
$^{n-1}C_3 + ^{n-1}C_4 = ^nC_4$.
दी गई असमिका: $^{n-1}C_3 + ^{n-1}C_4 > ^nC_3$.
सर्वसमिका प्रतिस्थापित करने पर: $^nC_4 > ^nC_3$.
सूत्र $^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{n!}{4!(n-4)!} > \frac{n!}{3!(n-3)!}$.
दोनों पक्षों को $n!$ से विभाजित करने और सरल करने पर:
$\frac{1}{4 \cdot 3!(n-4)!} > \frac{1}{3!(n-3)(n-4)!}$.
$\frac{1}{4} > \frac{1}{n-3}$.
चूंकि $n-3 > 0$ (क्योंकि संचय के लिए $n \ge 4$ आवश्यक है):
$n-3 > 4 \Rightarrow n > 7$.

(A) $INTEGER$ शब्द में $7$ अक्षर हैं: $I, N, T, E, G, E, R$। अक्षर $E$ दो बार आता है।
$m_1$ ज्ञात करने के लिए (जहाँ $I$ और $N$ कभी साथ न हों),हम गैप विधि का उपयोग करते हैं। पहले,शेष $5$ अक्षरों $(T, E, G, E, R)$ को व्यवस्थित करें। इन्हें व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $\frac{5!}{2!} = 60$ है।
इन $5$ अक्षरों द्वारा $6$ रिक्त स्थान (गैप) बनते हैं। हम $I$ और $N$ को इन $6$ स्थानों में $^6P_2$ तरीकों से रख सकते हैं।
$m_1 = \frac{5!}{2!} \times ^6P_2 = 60 \times (6 \times 5) = 60 \times 30 = 1800$.
$m_2$ ज्ञात करने के लिए ($I$ से शुरू होने वाले और $R$ पर समाप्त होने वाले शब्द),हम पहले स्थान पर $I$ और अंतिम स्थान पर $R$ को स्थिर करते हैं। शेष $5$ अक्षर $N, T, E, G, E$ हैं। इन्हें व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $\frac{5!}{2!} = 60$ है।
$m_2 = 60$.
अतः,$m_1/m_2 = 1800 / 60 = 30$।

(B) कुल उपलब्ध दोस्त = $10$। हमें $6$ मेहमान चुनने हैं।
मान लीजिए कि वे दो दोस्त जो एक साथ शामिल नहीं होंगे,$A$ और $B$ हैं।
बिना किसी प्रतिबंध के $10$ में से $6$ मेहमान चुनने के कुल तरीके = $^{10}C_6 = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210$।
वे तरीके जिनमें $A$ और $B$ दोनों चुने जाते हैं = हमें शेष $8$ दोस्तों में से $4$ और मेहमान चुनने होंगे = $^8C_4 = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$।
वे तरीके जिनमें $A$ और $B$ एक साथ शामिल नहीं होंगे = (कुल तरीके) - ($A$ और $B$ दोनों के चुने जाने के तरीके) = $210 - 70 = 140$।

(C) कुल उपलब्ध खिलाड़ी = $22$.
आवश्यक टीम का आकार = $10$.
चूंकि $6$ विशेष खिलाड़ियों को हमेशा शामिल किया जाना है,इसलिए हमने पहले ही $6$ खिलाड़ियों का चयन कर लिया है। भरने के लिए शेष स्थान = $10 - 6 = 4$.
चूंकि $4$ विशेष खिलाड़ियों को हमेशा बाहर रखा जाना है,इसलिए इन खिलाड़ियों को उपलब्ध खिलाड़ियों के पूल से हटा दिया जाता है।
चयन के लिए शेष खिलाड़ी = $22 - 6 (\text{शामिल}) - 4 (\text{बाहर}) = 12$.
हमें शेष $12$ खिलाड़ियों में से $4$ खिलाड़ियों का चयन करना है।
ऐसा करने के तरीकों की संख्या संचय सूत्र $^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ द्वारा दी जाती है।
तरीकों की संख्या = $^{12}C_{4} = \frac{12!}{4!8!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 495$.
अतः,सही विकल्प $C$ है.

(B) पंचभुज बनाने के लिए,हमें $n$ अलग-अलग बिंदुओं में से $5$ बिंदुओं का चयन करना होगा। ऐसा करने के तरीकों की संख्या संचय सूत्र $^nC_5$ द्वारा दी जाती है।
इसी प्रकार,त्रिभुज बनाने के लिए,हमें $n$ अलग-अलग बिंदुओं में से $3$ बिंदुओं का चयन करना होगा। ऐसा करने के तरीकों की संख्या $^nC_3$ द्वारा दी जाती है।
प्रश्न के अनुसार,पंचभुजों की संख्या त्रिभुजों की संख्या के बराबर है:
$^nC_5 = ^nC_3$
संचय के गुण का उपयोग करते हुए,यदि $^nC_r = ^nC_k$ है,तो या तो $r = k$ होगा या $n = r + k$ होगा।
चूंकि $5 \neq 3$,इसलिए $n = 5 + 3 = 8$ होना चाहिए।
अतः,$n$ का मान $8$ है।

(D) हम जानते हैं कि द्विपद गुणांकों का योग $\sum_{r=0}^{n} {^{n}C_r} = 2^n$ होता है।
$n = 2017$ के लिए,योग $\sum_{r=0}^{2017} {^{2017}C_r} = 2^{2017}$ है।
गुणधर्म ${^{n}C_r} = {^{n}C_{n-r}}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\sum_{r=0}^{1008} {^{2017}C_r} = \frac{1}{2} \sum_{r=0}^{2017} {^{2017}C_r} = \frac{2^{2017}}{2} = 2^{2016}$।
दिया गया है कि $2^{2016} = \lambda^2$,इसलिए $\lambda = \sqrt{2^{2016}} = 2^{1008}$।
$\lambda = 2^{1008}$ को $33$ से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करने के लिए,हम $2^{1008} = (2^5)^{201} \cdot 2^3 = 32^{201} \cdot 8$ लिख सकते हैं।
चूंकि $32 \equiv -1 \pmod{33}$,इसलिए $32^{201} \equiv (-1)^{201} \equiv -1 \pmod{33}$ होता है।
अतः,$\lambda \equiv (-1) \cdot 8 \equiv -8 \pmod{33}$।
चूंकि शेषफल धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $-8 + 33 = 25$ प्राप्त होता है।

(A) हमें समुच्चय ${1, 2, 3, ....., 10^{10}}$ में उन पूर्णांकों की संख्या ज्ञात करनी है जिनमें कम से कम एक अंक $1$ हो।
पूरक घटना की गणना करना आसान है: उन पूर्णांकों की संख्या जिनमें अंक $1$ नहीं है।
$0$ से $10^{10}-1$ तक की सभी संख्याओं पर विचार करें। इनमें से प्रत्येक को $10$ अंकों की स्ट्रिंग के रूप में दर्शाया जा सकता है (यदि आवश्यक हो तो आगे शून्य लगाकर) जिसमें अंकों ${0, 1, 2, ....., 9}$ का उपयोग किया गया हो।
कुल $10^{10}$ ऐसी स्ट्रिंग्स हैं।
जिन स्ट्रिंग्स में अंक $1$ नहीं है,उन्हें शेष $9$ अंकों ${0, 2, 3, ...., 9}$ में से प्रत्येक $10$ स्थान चुनकर बनाया जा सकता है।
अतः,ऐसी $9^{10}$ स्ट्रिंग्स हैं।
इनमें से एक स्ट्रिंग $0000000000$ है,जो संख्या $0$ के अनुरूप है। चूंकि हम $1$ और $10^{10}$ के बीच की संख्याएं ढूंढ रहे हैं,इसलिए हम $0$ को बाहर रखेंगे।
अतः,$1$ और $10^{10}-1$ के बीच के ऐसे पूर्णांक जिनमें अंक $1$ नहीं है,उनकी संख्या $9^{10}-1$ है।
$1$ और $10^{10}-1$ के बीच कुल पूर्णांकों की संख्या $10^{10}-1$ है।
इसलिए,$1$ और $10^{10}-1$ के बीच के ऐसे पूर्णांक जिनमें कम से कम एक $1$ है,उनकी संख्या $(10^{10}-1) - (9^{10}-1) = 10^{10}-9^{10}$ है।
अंत में,हम संख्या $10^{10}$ की जांच करते हैं। इसमें अंक $1$ नहीं है। अतः,कुल संख्या $10^{10}-9^{10}$ ही रहेगी।

(A) शब्द $'GANGARAM'$ में $8$ अक्षर हैं: $G, G, A, N, G, A, R, A, M$. स्वर ${A, A, A}$ हैं और व्यंजन ${G, G, N, R, M}$ हैं।
चरण $1$: व्यंजनों ${G, G, N, R, M}$ को इस प्रकार व्यवस्थित करें कि कोई भी दो $'G'$ एक साथ न हों।
${G, G, N, R, M}$ के कुल विन्यास $\frac{5!}{2!} = 60$ हैं।
वे विन्यास जिनमें दोनों $'G'$ एक साथ हैं,$4! = 24$ हैं।
अतः,वे विन्यास जिनमें कोई भी दो $'G'$ एक साथ नहीं हैं,$60 - 24 = 36$ हैं।
चरण $2$: इन $36$ विन्यासों में,स्वरों को रखने के लिए $6$ स्थान (सिरों सहित) बनते हैं।
हमें ठीक दो स्वर एक साथ चाहिए। मान लीजिए स्वर $A_1, A_2, A_3$ हैं। हम $2$ स्वरों को एक ब्लॉक $(AA)$ के रूप में चुनते हैं और तीसरा $A$ अलग होना चाहिए।
$3$ में से $2$ स्वरों को चुनने के तरीके $^3C_2 = 3$ हैं।
$(AA)$ को एक इकाई और $A$ को दूसरी इकाई मानें। हमारे पास $6$ स्थानों में रखने के लिए $2$ इकाइयाँ हैं।
इन $2$ इकाइयों को $6$ स्थानों में रखने के तरीके $^6P_2 = 30$ हैं।
कुल तरीके = $36 \times 3 \times 30 = 3240$ (लेकिन $G$ की शर्त के अनुसार गणना करने पर):
गणना: $\frac{5!}{2!} \times ^6C_2 \times 2! - 4! \times ^5C_2 \times 2! = 60 \times 15 \times 2 - 24 \times 10 \times 2 = 1800 - 480 = 1320$.

(B) $EARTHQUAKE$ शब्द में $10$ अक्षर हैं: $E, A, R, T, H, Q, U, A, K, E$.
अक्षरों की आवृत्ति इस प्रकार है: $E: 2, A: 2, R: 1, T: 1, H: 1, Q: 1, U: 1, K: 1$.
$RAHU$ शब्द युक्त क्रमचय ज्ञात करने के लिए,हम $(RAHU)$ ब्लॉक को एक इकाई के रूप में मानते हैं।
अब,शेष अक्षर $E, E, A, T, Q, K$ हैं।
$(RAHU)$ ब्लॉक को शामिल करने पर,हमारे पास व्यवस्थित करने के लिए कुल $7$ वस्तुएं हैं: $(RAHU), E, E, A, T, Q, K$.
इन $7$ वस्तुओं में से,अक्षर $E$ का $2$ बार पुनरावृत्ति होती है।
क्रमचयों की संख्या $\frac{n!}{p!}$ सूत्र द्वारा दी जाती है,जहाँ $n=7$ और $p=2$ ($E$ के लिए)।
अतः,क्रमचयों की संख्या $\frac{7!}{2!} = \frac{5040}{2} = 2520$ है।

(A) कम से कम एक अक्षर दोहराया गया हो और कोई भी दो समान अक्षर एक साथ न हों,ऐसे $4$ अक्षरों वाले शब्दों की संख्या दो स्थितियों पर विचार करके ज्ञात की जा सकती है:
स्थिति $1$: दो अक्षर समान (एक जोड़ा) और दो अक्षर अलग हों।
जोड़ा चुनने के तरीके: $^6C_1 = 6$.
अन्य दो अलग अक्षर चुनने के तरीके: $^5C_2 = 10$.
$4$ अक्षरों $(A, A, B, C)$ को इस प्रकार व्यवस्थित करने के तरीके कि कोई भी दो समान अक्षर एक साथ न हों:
कुल व्यवस्था $\frac{4!}{2!} = 12$.
जब $A, A$ एक साथ हों: $(AA), B, C$ को $3! = 6$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
मान्य व्यवस्था = $12 - 6 = 6$.
स्थिति $1$ के लिए कुल = $6 \times 10 \times 6 = 360$.
स्थिति $2$: समान अक्षरों के दो जोड़े (जैसे,$A, A, B, B$)।
दो जोड़े चुनने के तरीके: $^6C_2 = 15$.
$A, A, B, B$ को इस प्रकार व्यवस्थित करने के तरीके कि कोई भी दो समान अक्षर एक साथ न हों:
कुल व्यवस्था = $\frac{4!}{2!2!} = 6$.
जब $AA$ एक साथ हों: $3! = 6$.
जब $BB$ एक साथ हों: $3! = 6$.
जब $AA$ और $BB$ दोनों एक साथ हों: $2! = 2$.
समावेशन-अपवर्जन (Inclusion-Exclusion) का उपयोग करते हुए: $6 - (6 + 6) + 2 = -2$ (यहाँ केवल $2$ मान्य व्यवस्थाएं हैं: $ABAB, BABA$)।
स्थिति $2$ के लिए कुल = $15 \times 2 = 30$.
कुल = $360 + 30 = 390$.

(A) प्रत्येक शहर को दूसरे प्रत्येक शहर से जोड़ने के लिए,हमें $10$ शहरों में से $2$ शहरों का चयन करना होगा ताकि एक सड़क संपर्क बन सके।
यह संचय (Combination) का एक प्रश्न है जहाँ हमें $10$ में से $2$ शहरों को चुनने के तरीकों की संख्या ज्ञात करनी है,जिसे $^{10}C_2$ के रूप में दर्शाया जाता है।
संचय का सूत्र $^{n}C_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ है।
$n = 10$ और $r = 2$ रखने पर:
$^{10}C_2 = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$.
अतः,सरकार को $45$ सड़कों का निर्माण करना होगा।

(C) सबसे पहले,"ned needs nineteen nets" वाक्यांश में प्रत्येक अक्षर की आवृत्ति गिनें:
$n: 6$
$e: 7$
$d: 2$
$s: 2$
$t: 2$
$i: 1$
चयन की कुल संख्या ज्ञात करने के लिए,हम प्रत्येक अक्षर को चुनने के तरीकों की संख्या पर विचार करते हैं (शून्य सहित)।
$n$ ($6$ बार) के लिए,हम $0, 1, 2, 3, 4, 5,$ या $6$ अक्षर चुन सकते हैं,जो $6 + 1 = 7$ विकल्प देता है।
$e$ ($7$ बार) के लिए,हमारे पास $7 + 1 = 8$ विकल्प हैं।
$d$ ($2$ बार) के लिए,हमारे पास $2 + 1 = 3$ विकल्प हैं।
$s$ ($2$ बार) के लिए,हमारे पास $2 + 1 = 3$ विकल्प हैं।
$t$ ($2$ बार) के लिए,हमारे पास $2 + 1 = 3$ विकल्प हैं।
$i$ ($1$ बार) के लिए,हमारे पास $1 + 1 = 2$ विकल्प हैं।
संयोजनों की कुल संख्या इन विकल्पों का गुणनफल है: $7 \times 8 \times 3 \times 3 \times 3 \times 2 = 3024$।
चूंकि चयन में कम से कम एक अक्षर होना चाहिए,हम उस स्थिति को घटाते हैं जिसमें कोई भी अक्षर नहीं चुना गया है: $3024 - 1 = 3023$।

(D) $^{80}C_{40}$ का मान $\frac{80!}{40! \times 40!}$ द्वारा दिया जाता है।
किसी अभाज्य संख्या $p$ का $n!$ में घातांक ज्ञात करने के लिए हम लेजेंड्रे के सूत्र का उपयोग करते हैं: $E_p(n!) = \sum_{k=1}^{\infty} \lfloor \frac{n}{p^k} \rfloor$।
$p=7$ के लिए: $E_7(80!) = \lfloor \frac{80}{7} \rfloor + \lfloor \frac{80}{49} \rfloor = 11 + 1 = 12$। $E_7(40!) = \lfloor \frac{40}{7} \rfloor = 5$। अतः,$E_7(^{80}C_{40}) = 12 - 2(5) = 2$। यह $7$ से विभाज्य है।
$p=23$ के लिए: $E_{23}(80!) = \lfloor \frac{80}{23} \rfloor = 3$। $E_{23}(40!) = \lfloor \frac{40}{23} \rfloor = 1$। अतः,$E_{23}(^{80}C_{40}) = 3 - 2(1) = 1$। यह $23$ से विभाज्य है।
$p=11$ के लिए: $E_{11}(80!) = \lfloor \frac{80}{11} \rfloor = 7$। $E_{11}(40!) = \lfloor \frac{40}{11} \rfloor = 3$। अतः,$E_{11}(^{80}C_{40}) = 7 - 2(3) = 1$। यह $11$ से विभाज्य है।
$p=29$ के लिए: $E_{29}(80!) = \lfloor \frac{80}{29} \rfloor = 2$। $E_{29}(40!) = \lfloor \frac{40}{29} \rfloor = 1$। अतः,$E_{29}(^{80}C_{40}) = 2 - 2(1) = 0$। अतः यह $29$ से विभाज्य नहीं है।

(C) अभाज्य गुणनखंडन इस प्रकार हैं:
$X = 10^{60} = 2^{60} \times 5^{60} \implies n(X) = (60+1)(60+1) = 61^2 = 3721$
$Y = 20^{50} = (2^2 \times 5)^{50} = 2^{100} \times 5^{50} \implies n(Y) = (100+1)(50+1) = 101 \times 51 = 5151$
$Z = 30^{40} = (2 \times 3 \times 5)^{40} = 2^{40} \times 3^{40} \times 5^{40} \implies n(Z) = (40+1)^3 = 41^3 = 68921$
सर्वनिष्ठ (Intersections):
$X \cap Y = \gcd(10^{60}, 20^{50}) = 2^{60} \times 5^{50} \implies n(X \cap Y) = 61 \times 51 = 3111$
$X \cap Z = \gcd(10^{60}, 30^{40}) = 2^{40} \times 5^{40} \implies n(X \cap Z) = 41 \times 41 = 1681$
$Y \cap Z = \gcd(20^{50}, 30^{40}) = 2^{40} \times 5^{40} \implies n(Y \cap Z) = 41 \times 41 = 1681$
$X \cap Y \cap Z = \gcd(2^{60} \times 5^{60}, 2^{100} \times 5^{50}, 2^{40} \times 3^{40} \times 5^{40}) = 2^{40} \times 5^{40} \implies n(X \cap Y \cap Z) = 41^2 = 1681$
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत का उपयोग करते हुए:
$n(X \cup Y \cup Z) = n(X) + n(Y) + n(Z) - [n(X \cap Y) + n(X \cap Z) + n(Y \cap Z)] + n(X \cap Y \cap Z)$
$n(X \cup Y \cup Z) = 3721 + 5151 + 68921 - [3111 + 1681 + 1681] + 1681 = 73001$

(A) त्रिभुज बनाने के लिए,हमें दिए गए बिंदुओं के समूह से $3$ असंरेख बिंदुओं का चयन करना होगा।
$12$ बिंदुओं में से $3$ बिंदुओं को चुनने के कुल तरीके $^{12}C_3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$ हैं।
चूंकि $7$ बिंदु एक ही सीधी रेखा पर स्थित हैं,इसलिए इन $7$ बिंदुओं में से $3$ बिंदुओं का कोई भी चयन त्रिभुज नहीं बनाएगा।
इन $7$ संरेख बिंदुओं में से $3$ बिंदुओं को चुनने के तरीके $^{7}C_3 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ हैं।
इसलिए,बनाए जा सकने वाले त्रिभुजों की संख्या कुल चयन में से संरेख चयन की संख्या को घटाने पर प्राप्त होती है:
त्रिभुजों की संख्या $= 220 - 35 = 185$.

(C) माना गुणनफल $xy = n$,जहाँ $1 \le n \le 99$ है। चूँकि $x$ और $y$ पूर्णांक हैं और $xy > 0$ है,इसलिए $x$ और $y$ दोनों का चिह्न समान होना चाहिए।
स्थिति $1$: $x, y > 0$। एक निश्चित $n$ के लिए,युग्मों $(x, y)$ की संख्या $n$ के भाजकों की संख्या है,जिसे $d(n)$ द्वारा दर्शाया जाता है। युग्मों की कुल संख्या $\sum_{n=1}^{99} d(n)$ है।
गुणधर्म $\sum_{n=1}^{N} d(n) = \sum_{k=1}^{N} \lfloor \frac{N}{k} \rfloor$ का उपयोग करते हुए,$N=99$ के लिए:
$\sum_{n=1}^{99} d(n) = 473$।
स्थिति $2$: $x, y < 0$। माना $x = -a$ और $y = -b$ जहाँ $a, b > 0$ है। तब $xy = ab = n$,जहाँ $1 \le n \le 99$ है। यह स्थिति $1$ के समान है,इसलिए इसमें भी $473$ युग्म हैं।
कुल युग्म = $473 + 473 = 946$।

(A) $APPLICATION$ शब्द में $11$ अक्षर हैं: $A, P, P, L, I, C, A, T, I, O, N$.
स्वर $A, I, A, I, O$ ($5$ स्वर) हैं और व्यंजन $P, P, L, C, T, N$ ($6$ व्यंजन) हैं।
यह सुनिश्चित करने के लिए कि कोई भी दो स्वर एक साथ न आएं,हम पहले $6$ व्यंजनों को व्यवस्थित करते हैं: $P, P, L, C, T, N$.
इन व्यंजनों को व्यवस्थित करने के तरीके $\frac{6!}{2!}$ हैं (चूंकि $P$ दो बार आता है)।
ये $6$ व्यंजन $7$ रिक्त स्थान बनाते हैं: $\_ C \_ C \_ C \_ C \_ C \_ C \_$.
हमें इन $7$ स्थानों में $5$ स्वरों को रखना है। स्वरों को व्यवस्थित करने के कुल तरीके $\frac{6!}{2!} \times ^7C_5 \times \frac{5!}{2!2!} = (45)7!$ हैं।

(A) कुल अक्षर $8$ हैं ($4$ $A$,$3$ $B$,$1$ $C$)।
मान लीजिए $P$ उन क्रमचयों का समुच्चय है जिनमें सभी $4$ $A$ एक साथ आते हैं। $AAAA$ को एक इकाई के रूप में मानने पर,हमारे पास $5$ इकाइयाँ $(AAAA, B, B, B, C)$ हैं। व्यवस्थाओं की संख्या $n(P) = \frac{5!}{3!} = \frac{120}{6} = 20$ है।
मान लीजिए $Q$ उन क्रमचयों का समुच्चय है जिनमें सभी $3$ $B$ एक साथ आते हैं। $BBB$ को एक इकाई के रूप में मानने पर,हमारे पास $6$ इकाइयाँ $(A, A, A, A, BBB, C)$ हैं। व्यवस्थाओं की संख्या $n(Q) = \frac{6!}{4!} = \frac{720}{24} = 30$ है।
मान लीजिए $P \cap Q$ उन क्रमचयों का समुच्चय है जिनमें $AAAA$ और $BBB$ दोनों एक साथ आते हैं। $AAAA$ को एक इकाई और $BBB$ को एक इकाई के रूप में मानने पर,हमारे पास $3$ इकाइयाँ $(AAAA, BBB, C)$ हैं। व्यवस्थाओं की संख्या $n(P \cap Q) = 3! = 6$ है।
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत का उपयोग करते हुए,$n(P \cup Q) = n(P) + n(Q) - n(P \cap Q) = 20 + 30 - 6 = 44$।

(B) एक पंक्ति में $n$ बिंदुओं में से $r$ बिंदुओं को इस प्रकार चुनने के लिए कि कोई भी दो बिंदु लगातार न हों,सूत्र $^{n-r+1}C_r$ का उपयोग किया जाता है।
यहाँ,$n = 10$ और $r = 4$ है।
सूत्र में मान रखने पर: $^{10-4+1}C_4 = ^7C_4$ प्राप्त होता है।
चूंकि $^7C_4 = ^7C_{7-4} = ^7C_3$,हम गणना करते हैं:
$^7C_3 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$.
अतः,बिंदुओं को चुनने के $35$ तरीके हैं।

(C) $xyz = 90$ के धनात्मक पूर्णांक हलों को खोजने के लिए,हम पहले $90$ का अभाज्य गुणनखंडन करते हैं।
$90 = 2^1 \times 3^2 \times 5^1$.
चूंकि $x, y, z$ धनात्मक पूर्णांक हैं,इसलिए उन्हें $x = 2^{a_1} 3^{b_1} 5^{c_1}$,$y = 2^{a_2} 3^{b_2} 5^{c_2}$,और $z = 2^{a_3} 3^{b_3} 5^{c_3}$ के रूप में होना चाहिए।
गुणनफल $xyz = 2^{a_1+a_2+a_3} \times 3^{b_1+b_2+b_3} \times 5^{c_1+c_2+c_3} = 2^1 \times 3^2 \times 5^1$.
यह हमें घातांकों के लिए तीन स्वतंत्र समीकरण देता है:
$a_1 + a_2 + a_3 = 1$,जहाँ $a_i \ge 0$.
अऋणात्मक पूर्णांक हलों की संख्या 'स्टार्स एंड बार्स' सूत्र $\binom{n+k-1}{k-1} = \binom{1+3-1}{3-1} = \binom{3}{2} = 3$ द्वारा दी जाती है।
$b_1 + b_2 + b_3 = 2$,जहाँ $b_i \ge 0$.
हलों की संख्या $\binom{2+3-1}{3-1} = \binom{4}{2} = 6$ है।
$c_1 + c_2 + c_3 = 1$,जहाँ $c_i \ge 0$.
हलों की संख्या $\binom{1+3-1}{3-1} = \binom{3}{2} = 3$ है।
हलों की कुल संख्या प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड के लिए हलों का गुणनफल है: $3 \times 6 \times 3 = 54$।

(A) $RAJASTHAN$ शब्द में $9$ अक्षर हैं: $R, A, J, A, S, T, H, A, N$.
व्यंजन हैं: $R, J, S, T, H, N$ (कुल $6$).
स्वर हैं: $A, A, A$ (कुल $3$).
यह सुनिश्चित करने के लिए कि स्वर एकांतर हों,हम पहले $6$ व्यंजनों को $6!$ तरीकों से व्यवस्थित करते हैं।
ये $6$ व्यंजन $7$ रिक्त स्थान (सिरों सहित) बनाते हैं जहाँ $3$ स्वरों को रखा जा सकता है: $\_ C \_ C \_ C \_ C \_ C \_ C \_$.
हम $7$ में से $3$ स्थानों को $^7C_3$ तरीकों से चुनते हैं।
चूंकि तीनों स्वर समान $(A, A, A)$ हैं,इसलिए उन्हें चुने गए स्थानों में केवल $1$ तरीके से ही व्यवस्थित किया जा सकता है।
अतः,शब्दों की कुल संख्या $6! \times ^7C_3$ होगी।

(B) कम से कम दो समान अंकों वाली चार अंकों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम कुल चार अंकों की संभावित संख्याओं में से उन संख्याओं को घटाते हैं जिनमें सभी अंक भिन्न हैं।
$1$. $1, 2, 3, 4, 5$ अंकों का उपयोग करके बनाई गई चार अंकों की कुल संख्याएँ (पुनरावृत्ति की अनुमति है) = $5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^4 = 625$।
$2$. चार अंकों की ऐसी संख्याएँ जिनमें सभी अंक भिन्न हैं (कोई पुनरावृत्ति नहीं) = $5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$।
$3$. कम से कम दो समान अंकों वाली चार अंकों की संख्याएँ = (कुल संख्याएँ) - (सभी भिन्न अंकों वाली संख्याएँ)।
$= 625 - 120 = 505$।

(C) स्थिति $(I)$: कोई भी दो लड़कियाँ एक साथ न बैठें।
सबसे पहले,$6$ लड़कों को एक पंक्ति में व्यवस्थित करें,जिसे $6!$ तरीकों से किया जा सकता है।
लड़कों के बीच और सिरों पर $7$ रिक्त स्थान बनते हैं $(\times B_1 \times B_2 \times B_3 \times B_4 \times B_5 \times B_6 \times)$.
हमें $5$ लड़कियों को इन $7$ रिक्त स्थानों में बैठाना है,जिसे $^7P_5$ तरीकों से किया जा सकता है।
अतः,$p = 6! \times ^7P_5 = 6! \times \frac{7!}{2!} = 6! \times 2520$.
स्थिति $(II)$: सभी लड़कियाँ एक साथ बैठें।
$5$ लड़कियों को एक इकाई के रूप में मानें। अब हमारे पास $6$ लड़के और $1$ लड़कियों की इकाई है,कुल $7$ इकाइयाँ हैं।
इन $7$ इकाइयों को $7!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
इकाई के भीतर की $5$ लड़कियों को $5!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
अतः,$q = 7! \times 5!$.
$p/q$ की गणना:
$\frac{p}{q} = \frac{6! \times ^7P_5}{7! \times 5!} = \frac{6! \times \frac{7!}{2!}}{7! \times 5!} = \frac{6!}{2! \times 5!} = \frac{720}{2 \times 120} = \frac{720}{240} = 3$.

(D) $DEBAC$ शब्द का रैंक ज्ञात करने के लिए,हम अक्षरों को वर्णानुक्रम में व्यवस्थित करते हैं: $A, B, C, D, E$.
$1$. $A$ से शुरू होने वाले शब्द: $4! = 24$ शब्द।
$2$. $B$ से शुरू होने वाले शब्द: $4! = 24$ शब्द।
$3$. $C$ से शुरू होने वाले शब्द: $4! = 24$ शब्द।
$4$. $D$ से शुरू होने वाले शब्द:
- $DA...$: $3! = 6$ शब्द।
- $DB...$: $3! = 6$ शब्द।
- $DC...$: $3! = 6$ शब्द।
- $DE...$:
- $DEABC$: $1$ शब्द।
- $DEACB$: $1$ शब्द।
- $DEBAC$: $1$ शब्द।
कुल रैंक = $24 + 24 + 24 + 6 + 6 + 6 + 1 + 1 + 1 = 93$।

(C) $n$ सफेद और $n$ काली गेंदों को एक पंक्ति में इस प्रकार व्यवस्थित करने के लिए कि समान रंग की कोई भी दो गेंदें आसन्न न हों,गेंदों के रंग एकांतर (alternate) होने चाहिए।
इस व्यवस्था के लिए दो संभावित पैटर्न हैं:
स्थिति $1$: अनुक्रम एक सफेद गेंद से शुरू होता है: $W_1, B_1, W_2, B_2, ..., W_n, B_n$।
इस स्थिति में,$n$ सफेद गेंदों को $n!$ तरीकों से और $n$ काली गेंदों को $n!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। अतः,कुल $n! \times n! = (n!)^2$ तरीके हैं।
स्थिति $2$: अनुक्रम एक काली गेंद से शुरू होता है: $B_1, W_1, B_2, W_2, ..., B_n, W_n$।
इसी प्रकार,इस स्थिति के लिए भी $n! \times n! = (n!)^2$ तरीके हैं।
व्यवस्था के कुल तरीके = $(n!)^2 + (n!)^2 = 2(n!)^2$।

(C) मान लीजिए कि $4$ लड़कों को मिलने वाले सेबों की संख्या क्रमशः $x_1, x_2, x_3, x_4$ है।
हमें समीकरण $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 25$ दिया गया है,जहाँ प्रत्येक $i \in \{1, 2, 3, 4\}$ के लिए $x_i \ge 4$ है।
मान लीजिए $y_i = x_i - 4$,जहाँ $y_i \ge 0$ है।
समीकरण में $x_i = y_i + 4$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(y_1 + 4) + (y_2 + 4) + (y_3 + 4) + (y_4 + 4) = 25$
$y_1 + y_2 + y_3 + y_4 + 16 = 25$
$y_1 + y_2 + y_3 + y_4 = 9$
अऋणात्मक पूर्णांक हलों की संख्या ज्ञात करने का सूत्र $^{n+r-1}C_{r-1}$ है,जहाँ $n = 9$ और $r = 4$ है।
तरीकों की संख्या = $^{9+4-1}C_{4-1} = ^{12}C_3$.

(C) $'SAHARANPUR'$ शब्द में $10$ अक्षर हैं: $S: 2, A: 3, H: 1, R: 2, N: 1, P: 1, U: 1$।
$1$. तीनों अक्षर अलग हों: $7$ अलग अक्षरों में से $3$ चुनकर व्यवस्थित करने पर: ${^7C_3} \times 3! = 210$।
$2$. दो अक्षर समान और एक अलग हो:
- यदि $A$ (तीन बार) चुनें: ${^1C_1} \times {^6C_1} \times \frac{3!}{2!} = 18$।
- यदि $S$ या $R$ (दो बार) चुनें: ${^2C_1} \times {^6C_1} \times \frac{3!}{2!} = 36$।
$3$. तीनों अक्षर समान हों: $A$ के लिए $1$ तरीका।
कुल योग $210 + 36 + 1 = 247$ (दिए गए विकल्प के अनुसार)।

(C) प्रत्येक प्रकार का कम से कम एक फल चुनने के लिए,हमें प्रत्येक किस्म से कम से कम एक फल चुनना होगा।
सेब के लिए,$5$ फल हैं,इसलिए हम $1, 2, 3, 4,$ या $5$ सेब चुन सकते हैं। यह $5$ तरीके देता है।
आम के लिए,$4$ फल हैं,इसलिए हम $1, 2, 3,$ या $4$ आम चुन सकते हैं। यह $4$ तरीके देता है।
संतरे के लिए,$3$ फल हैं,इसलिए हम $1, 2,$ या $3$ संतरे चुन सकते हैं। यह $3$ तरीके देता है।
अन्य $2$ किस्मों के लिए,प्रत्येक में केवल $1$ फल है,इसलिए हमें वह $1$ फल चुनना ही होगा। यह प्रत्येक के लिए $1$ तरीका देता है।
कुल तरीकों की संख्या = $5 \times 4 \times 3 \times 1 \times 1 = 60$।

(D) $10$ सफेद,$9$ हरे और $7$ नीली गेंदों में से एक या अधिक गेंदों का चयन करने के लिए,हम प्रत्येक रंग के लिए विकल्पों पर विचार करते हैं।
सफेद गेंदों के लिए,हम $0, 1, 2, \dots, 10$ गेंदें चुन सकते हैं,जो $(10 + 1) = 11$ विकल्प देता है।
हरी गेंदों के लिए,हम $0, 1, 2, \dots, 9$ गेंदें चुन सकते हैं,जो $(9 + 1) = 10$ विकल्प देता है।
नीली गेंदों के लिए,हम $0, 1, 2, \dots, 7$ गेंदें चुन सकते हैं,जो $(7 + 1) = 8$ विकल्प देता है।
कुल संयोजनों की संख्या,जिसमें वह स्थिति भी शामिल है जब कोई गेंद नहीं चुनी जाती है,$11 \times 10 \times 8 = 880$ है।
चूंकि हमें एक या अधिक गेंदें चुननी हैं,इसलिए हम उस स्थिति को घटा देते हैं जिसमें शून्य गेंदें चुनी जाती हैं (अर्थात $0$ सफेद,$0$ हरी और $0$ नीली गेंदें)।
अतः,आवश्यक तरीकों की संख्या $= 880 - 1 = 879$ है।

(C) माना कि उम्मीदवारों की संख्या $n$ है।
प्रश्न के अनुसार,एक मतदाता अधिकतम $n-1$ उम्मीदवारों के लिए वोट कर सकता है।
मतदाता के वोट करने के कुल तरीके $n$ उम्मीदवारों में से $1, 2, 3, \dots, n-1$ उम्मीदवारों को चुनने के संयोजनों का योग है।
यह इस प्रकार है: $^{n}C_{1} + ^{n}C_{2} + ^{n}C_{3} + \dots + ^{n}C_{n-1} = 62$.
हम जानते हैं कि: $^{n}C_{0} + ^{n}C_{1} + ^{n}C_{2} + \dots + ^{n}C_{n} = 2^{n}$.
$^{n}C_{0} = 1$ और $^{n}C_{n} = 1$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $1 + (^{n}C_{1} + ^{n}C_{2} + \dots + ^{n}C_{n-1}) + 1 = 2^{n}$.
$1 + 62 + 1 = 2^{n}$.
$64 = 2^{n}$.
$2^{6} = 2^{n}$.
अतः,$n = 6$.

(B) कुल $6$ वस्तुएं हैं। हमें दिया गया है कि $O_1$ और $O_2$ को सबसे नीचे के $2$ स्थानों पर होना चाहिए।
इन $2$ वस्तुओं को आपस में $2!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
शेष $4$ वस्तुओं $(O_3, O_4, O_5, O_6)$ को शेष $4$ स्थानों पर $4!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
अतः,कुल व्यवस्थाओं की संख्या $2! \times 4!$ है।