$0, 1, 2, 3, 4, 5$ अंकों का उपयोग करके $3000$ से बड़ी कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती हैं? (अंकों की पुनरावृत्ति मान्य नहीं है)

यदि शब्द $'GANGARAM'$ के सभी अक्षरों को व्यवस्थित किया जाए,तो ऐसे कितने शब्द बनेंगे जिनमें ठीक दो स्वर एक साथ हों लेकिन कोई भी दो $'G'$ एक साथ न हों?

एक बक्से में $2$ सफेद गेंदें,$3$ काली गेंदें और $4$ लाल गेंदें हैं। यदि बक्से से $3$ गेंदें निकाली जानी हैं,तो कितनी तरह से गेंदें निकाली जा सकती हैं,यदि कम से कम एक काली गेंद शामिल हो?

$3$ प्रशिक्षुओं,$4$ प्रोफेसरों और $6$ अनुसंधान सहयोगियों में से $5$ सदस्यों की एक समिति बनाई जानी है। यदि समिति में सभी $4$ प्रोफेसर और $1$ अनुसंधान सहयोगी या सभी $3$ प्रशिक्षु और $2$ प्रोफेसर होने चाहिए,तो यह कितने अलग-अलग तरीकों से किया जा सकता है?

एक परीक्षक $8$ प्रश्नों को $30$ अंक इस प्रकार आवंटित करता है कि प्रत्येक प्रश्न को कम से कम $2$ अंक मिलते हैं,तो ऐसा करने के तरीकों की संख्या है

$1, 2, 3, 4, \dots, 200$ संख्याओं से सभी संभावित दो-गुणनखंड उत्पाद बनाए जाते हैं। प्राप्त कुल उत्पादों में से $5$ के गुणज वाले उत्पादों की संख्या क्या है?