Permutation and Combination Questions in Hindi

(B) $30$ संख्याओं में से $3$ संख्याओं को चुनने के कुल तरीके $^{30}C_3$ हैं।
$^{30}C_3 = \frac{30 \times 29 \times 28}{3 \times 2 \times 1} = 5 \times 29 \times 28 = 4060$.
$1$ से $30$ की सीमा में $15$ सम संख्याएँ और $15$ विषम संख्याएँ हैं।
$15$ उपलब्ध सम संख्याओं में से $3$ सम संख्याओं को चुनने के तरीके $^{15}C_3$ हैं।
$^{15}C_3 = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} = 5 \times 7 \times 13 = 455$.
$3$ संख्याओं को चुनने के ऐसे तरीके जिनमें सभी संख्याएँ सम न हों,कुल तरीकों में से $3$ सम संख्याओं को चुनने के तरीकों को घटाकर प्राप्त किए जाते हैं।
आवश्यक तरीकों की संख्या $= ^{30}C_3 - ^{15}C_3 = 4060 - 455 = 3605$.

(C) दिए गए अक्षर ${a, b, c, d, e, f}$ हैं। इसमें $2$ स्वर ${a, e}$ और $4$ व्यंजन ${b, c, d, f}$ हैं।
हमें $3$ अक्षरों वाले ऐसे शब्द बनाने हैं जिनमें कम से कम एक स्वर हो।
स्थिति $1$: $1$ स्वर और $2$ व्यंजन वाले शब्द।
$2$ में से $1$ स्वर और $4$ में से $2$ व्यंजन चुनने के तरीके $^2C_1 \times ^4C_2 = 2 \times 6 = 12$ हैं।
इन $3$ अक्षरों को $3! = 6$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
कुल शब्द = $12 \times 6 = 72$।
स्थिति $2$: $2$ स्वर और $1$ व्यंजन वाले शब्द।
$2$ में से $2$ स्वर और $4$ में से $1$ व्यंजन चुनने के तरीके $^2C_2 \times ^4C_1 = 1 \times 4 = 4$ हैं।
इन $3$ अक्षरों को $3! = 6$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
कुल शब्द = $4 \times 6 = 24$।
कुल शब्दों की संख्या = $72 + 24 = 96$।

(C) शब्द $CORGOO$ में $6$ अक्षर हैं: $C, O, R, G, O, O$। भिन्न अक्षर $C, O, R, G$ हैं। अक्षरों की आवृत्ति इस प्रकार है: $O$ तीन बार आता है,जबकि $C, R, G$ प्रत्येक एक बार आते हैं।
हमें $4$ अक्षर चुनने हैं। संभावित स्थितियाँ इस प्रकार हैं:
$(i)$ सभी $4$ अक्षर भिन्न हों: यहाँ $4$ भिन्न अक्षर $(C, O, R, G)$ उपलब्ध हैं,इसलिए $4$ अक्षरों को चुनने का $1$ तरीका है।
$(ii)$ $2$ अक्षर समान और $2$ भिन्न हों: हम $2$ $O$ (पुनरावृत्त अक्षर) चुनते हैं और शेष $3$ भिन्न अक्षरों $(C, R, G)$ में से $2$ चुनते हैं। तरीकों की संख्या $^3C_2 = 3$ है।
$(iii)$ $3$ अक्षर समान और $1$ भिन्न हो: हम $3$ $O$ चुनते हैं और शेष $3$ भिन्न अक्षरों $(C, R, G)$ में से $1$ चुनते हैं। तरीकों की संख्या $^3C_1 = 3$ है।
कुल तरीकों की संख्या = $1 + 3 + 3 = 7$।

(A) $1, 2, 3, 4$ अंकों का उपयोग करके $6$ अंकों की संख्या बनाने के लिए,जहाँ प्रत्येक अंक कम से कम एक बार आए,दो स्थितियाँ संभव हैं:
स्थिति $(i)$: एक अंक $3$ बार आए और शेष तीन अंक $1$ बार आएँ (जैसे $1, 1, 1, 2, 3, 4$)।
$3$ बार पुनरावृत्ति वाले अंक को चुनने के तरीके $= ^4C_1 = 4$।
प्रत्येक चयन के लिए व्यवस्थाओं की संख्या $= \frac{6!}{3!1!1!1!} = 120$।
स्थिति $(i)$ के लिए कुल संख्या $= 4 \times 120 = 480$।
स्थिति $(ii)$: दो अंक $2$ बार आएँ और शेष दो अंक $1$ बार आएँ (जैसे $1, 1, 2, 2, 3, 4$)।
$2$ बार पुनरावृत्ति वाले दो अंकों को चुनने के तरीके $= ^4C_2 = 6$।
प्रत्येक चयन के लिए व्यवस्थाओं की संख्या $= \frac{6!}{2!2!1!1!} = 180$।
स्थिति $(ii)$ के लिए कुल संख्या $= 6 \times 180 = 1080$।
कुल संख्या $= 480 + 1080 = 1560$।

(B) $1$ से $200$ तक की संख्याओं में से दो अलग-अलग संख्याएँ चुनने के कुल तरीके $^{200}C_2 = \frac{200 \times 199}{2} = 19900$ हैं।
दो संख्याओं का गुणनफल $5$ का गुणज तब होता है जब कम से कम एक संख्या $5$ का गुणज हो।
पूरक घटना की गणना करना आसान है: उन उत्पादों की संख्या जो $5$ के गुणज नहीं हैं।
एक उत्पाद $5$ का गुणज नहीं होता है यदि दोनों चुनी गई संख्याएँ $5$ के गुणज न हों।
$1$ से $200$ तक $5$ के गुणजों की संख्या $\frac{200}{5} = 40$ है।
जो संख्याएँ $5$ के गुणज नहीं हैं, उनकी संख्या $200 - 40 = 160$ है।
दो संख्याएँ इस प्रकार चुनने के तरीके कि उनमें से कोई भी $5$ का गुणज न हो, $^{160}C_2 = \frac{160 \times 159}{2} = 80 \times 159 = 12720$ है।
अतः, $5$ के गुणज वाले उत्पादों की संख्या = कुल उत्पाद - वे उत्पाद जो $5$ के गुणज नहीं हैं:
$19900 - 12720 = 7180$.

(A) यह प्रश्न $3$ अलग-अलग प्रकार के सिक्कों में से $6$ सिक्कों को चुनने के तरीकों की संख्या पूछता है।
चूंकि प्रत्येक प्रकार के सिक्कों की संख्या $(20, 10, 7)$ चुने जाने वाले सिक्कों की संख्या $(6)$ से अधिक है,इसलिए इसे पुनरावृत्ति (repetition) की अनुमति के साथ चयन के रूप में माना जा सकता है।
$n$ प्रकार की वस्तुओं में से $r$ वस्तुओं को पुनरावृत्ति के साथ चुनने के तरीकों की संख्या का सूत्र $^{n+r-1}C_r$ है।
यहाँ,$n = 3$ (सिक्कों के प्रकार) और $r = 6$ (चुने जाने वाले सिक्के)।
सूत्र में मान रखने पर:
कुल तरीके $= ^{3+6-1}C_6 = ^8C_6$।
$^nC_r = ^nC_{n-r}$ गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$^8C_6 = ^8C_2$।
$^8C_2 = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $28$ है।

(B) यह $n$ समान वस्तुओं को $r$ अलग-अलग समूहों में वितरित करने की समस्या है,जहाँ प्रत्येक समूह शून्य या अधिक वस्तुएं प्राप्त कर सकता है।
इसके लिए सूत्र 'स्टार्स एंड बार्स' प्रमेय द्वारा दिया जाता है: $\binom{n+r-1}{r-1}$.
यहाँ,$n = 35$ (सेबों की संख्या) और $r = 3$ (लड़कों की संख्या)।
मान रखने पर: $\binom{35+3-1}{3-1} = \binom{37}{2}$.
गणना करने पर: $\binom{37}{2} = \frac{37 \times 36}{2 \times 1} = 37 \times 18 = 666$.
अतः,वितरण के तरीकों की कुल संख्या $666$ है।

(C) पिता जितनी बार उद्यान जा सकते हैं,वह $8$ बच्चों में से $3$ बच्चों के समूह को चुनने के तरीकों की संख्या के बराबर है।
चूंकि समूह में बच्चों का क्रम मायने नहीं रखता है,इसलिए हम संचय (combination) के सूत्र $^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$n = 8$ और $r = 3$ है।
अतः,आवश्यक तरीकों की संख्या $^8C_3 = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$ है।
इस प्रकार,पिता $56$ बार उद्यान जाएंगे।

(B) $10$ लाल गेंदों में से $5$ लाल गेंदें चुनने के तरीकों की संख्या $^{10}C_5$ है।
$8$ सफेद गेंदों में से $4$ सफेद गेंदें चुनने के तरीकों की संख्या $^8C_4$ है।
चूंकि ये स्वतंत्र घटनाएं एक साथ हो रही हैं,इसलिए हम गुणन सिद्धांत का उपयोग करेंगे।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $^{10}C_5 \times ^8C_4$ होगी।

(B) दी गई अभिव्यक्ति $^{14}C_4 + \sum_{j=1}^4 {^{18-j}C_3}$ है।
योग का विस्तार करने पर: $^{14}C_4 + (^{17}C_3 + ^{16}C_3 + ^{15}C_3 + ^{14}C_3)$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(^{14}C_4 + ^{14}C_3) + ^{15}C_3 + ^{16}C_3 + ^{17}C_3$ प्राप्त होता है।
पास्कल की सर्वसमिका $^{n}C_r + ^{n}C_{r-1} = ^{n+1}C_r$ का उपयोग करने पर,$^{14}C_4 + ^{14}C_3 = ^{15}C_4$ होता है।
अब,अभिव्यक्ति: $(^{15}C_4 + ^{15}C_3) + ^{16}C_3 + ^{17}C_3$ हो जाती है।
पुनः,सर्वसमिका का उपयोग करने पर: $^{15}C_4 + ^{15}C_3 = ^{16}C_4$ होता है।
अतः,अभिव्यक्ति: $(^{16}C_4 + ^{16}C_3) + ^{17}C_3$ हो जाती है।
पुनः,सर्वसमिका का उपयोग करने पर: $^{16}C_4 + ^{16}C_3 = ^{17}C_4$ होता है।
अंततः,अभिव्यक्ति: $^{17}C_4 + ^{17}C_3 = ^{18}C_4$ प्राप्त होती है।

(D) '$MATHEMATICS$' शब्द में $11$ अक्षर हैं: $2M, 2T, 2A, H, E, I, C, S$. कुल $8$ प्रकार के अक्षर हैं: ${M, T, A, H, E, I, C, S}$.
हमें $4$ अक्षरों को व्यवस्थित करना है। स्थितियाँ इस प्रकार हैं:
स्थिति $I$: $2$ एक प्रकार के समान और $2$ दूसरे प्रकार के समान।
$3$ उपलब्ध जोड़ों में से $2$ जोड़े चुनने के तरीके $^3C_2 = 3$ हैं।
व्यवस्थाओं की संख्या = $3 \times \frac{4!}{2!2!} = 3 \times 6 = 18$.
स्थिति $II$: $2$ एक प्रकार के समान और $2$ अलग।
$3$ जोड़ों में से $1$ जोड़ा चुनने के तरीके $^3C_1 = 3$ हैं। शेष $7$ प्रकारों में से $2$ अलग अक्षर चुनने के तरीके $^7C_2 = 21$ हैं।
व्यवस्थाओं की संख्या = $3 \times 21 \times \frac{4!}{2!} = 63 \times 12 = 756$.
स्थिति $III$: सभी $4$ अक्षर अलग हों।
$8$ प्रकारों में से $4$ अलग अक्षर चुनने के तरीके $^8C_4 = 70$ हैं।
व्यवस्थाओं की संख्या = $70 \times 4! = 70 \times 24 = 1680$.
कुल व्यवस्थाओं की संख्या = $18 + 756 + 1680 = 2454$.

(A) $10$ अलग-अलग अक्षरों का उपयोग करके $5$ अक्षरों के कुल शब्द (जहाँ पुनरावृत्ति की अनुमति है) = $10^5 = 100000$।
$5$ अक्षरों के वे शब्द जिनमें कोई भी अक्षर दोहराया नहीं जाता है = $10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 = 30240$।
अतः,कम से कम एक अक्षर दोहराए जाने वाले शब्दों की संख्या = कुल शब्द - बिना पुनरावृत्ति वाले शब्द = $100000 - 30240 = 69760$।

(A) $8$ सज्जनों और $4$ महिलाओं में से $6$ सदस्यों की समिति बनानी है जिसमें कम से कम $3$ महिलाएं हों,इसके लिए हम निम्नलिखित स्थितियों पर विचार करते हैं:
स्थिति $1$: समिति में $3$ महिलाएं और $3$ सज्जन हों।
तरीकों की संख्या = $\binom{4}{3} \times \binom{8}{3} = 4 \times \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 4 \times 56 = 224$.
स्थिति $2$: समिति में $4$ महिलाएं और $2$ सज्जन हों।
तरीकों की संख्या = $\binom{4}{4} \times \binom{8}{2} = 1 \times \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 1 \times 28 = 28$.
कुल तरीकों की संख्या = $224 + 28 = 252$.

(A) $(2n + 1)$ अलग-अलग सिक्कों में से कम से कम एक और अधिक से अधिक $n$ सिक्के चुनने के कुल तरीके $T = {}^{2n+1}C_1 + {}^{2n+1}C_2 + \dots + {}^{2n+1}C_n = 255$ द्वारा दिए जाते हैं।
हम जानते हैं कि द्विपद गुणांकों का योग ${}^{2n+1}C_0 + {}^{2n+1}C_1 + \dots + {}^{2n+1}C_{2n+1} = 2^{2n+1}$ होता है।
चूंकि ${}^{2n+1}C_r = {}^{2n+1}C_{2n+1-r}$,इसलिए ${}^{2n+1}C_0 = {}^{2n+1}C_{2n+1} = 1$ होता है।
साथ ही,${}^{2n+1}C_1 = {}^{2n+1}C_{2n}$,${}^{2n+1}C_2 = {}^{2n+1}C_{2n-1}$,आदि।
अतः,$2({}^{2n+1}C_1 + {}^{2n+1}C_2 + \dots + {}^{2n+1}C_n) + {}^{2n+1}C_0 + {}^{2n+1}C_{2n+1} = 2^{2n+1}$।
$T = 255$ रखने पर,हमें $2(255) + 1 + 1 = 2^{2n+1}$ प्राप्त होता है।
$510 + 2 = 2^{2n+1} \Rightarrow 512 = 2^{2n+1}$।
चूंकि $512 = 2^9$,इसलिए $2n + 1 = 9$।
$2n = 8 \Rightarrow n = 4$।

(D) $10$ मित्रों में से प्रत्येक के लिए,व्यक्ति के पास $2$ विकल्प हैं: या तो उन्हें आमंत्रित करना या आमंत्रित न करना।
चूंकि $10$ मित्र हैं,इसलिए किसी भी संख्या में मित्रों को आमंत्रित करने के कुल तरीके (जिसमें किसी को भी आमंत्रित न करने का मामला शामिल है) $2 \times 2 \times 2 \times ... \times 2$ ($10$ बार) हैं,जो $2^{10}$ के बराबर है।
प्रश्न में निर्दिष्ट है कि उसे 'एक या अधिक' मित्रों को आमंत्रित करना है।
इसलिए,हमें उस एक मामले को बाहर करना होगा जिसमें किसी भी मित्र को आमंत्रित नहीं किया जाता है (अर्थात,$^{10}C_0 = 1$)।
आवश्यक तरीकों की संख्या = $2^{10} - 1 = 1024 - 1 = 1023$।

(B) छात्र को $13$ में से $10$ प्रश्नों का चयन करना है। पहले $5$ प्रश्न एक विशिष्ट समूह हैं और शेष $8$ प्रश्न दूसरा समूह बनाते हैं।
स्थिति $1$: पहले $5$ में से $4$ प्रश्न और शेष $8$ में से $6$ प्रश्न चुनना।
तरीकों की संख्या $= {^5C_4} \times {^8C_6} = 5 \times 28 = 140$.
स्थिति $2$: पहले $5$ में से $5$ प्रश्न और शेष $8$ में से $5$ प्रश्न चुनना।
तरीकों की संख्या $= {^5C_5} \times {^8C_5} = 1 \times 56 = 56$.
कुल विकल्पों की संख्या $= 140 + 56 = 196$.

(B) दिया गया व्यंजक: $^nC_{r+1} + ^nC_{r-1} + 2 \times ^nC_r$
हम $2 \times ^nC_r$ को $^nC_r + ^nC_r$ के रूप में लिख सकते हैं:
$= ^nC_{r+1} + ^nC_{r-1} + ^nC_r + ^nC_r$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$= (^nC_{r+1} + ^nC_r) + (^nC_r + ^nC_{r-1})$
पास्कल के सर्वसमिका सूत्र $^nC_r + ^nC_{r-1} = ^{n+1}C_r$ का उपयोग करने पर:
$= ^{n+1}C_{r+1} + ^{n+1}C_r$
पुनः इसी सूत्र का उपयोग करने पर:
$= ^{n+2}C_{r+1}$

(B) छात्र को $(2n + 1)$ पुस्तकों में से कम से कम एक और अधिकतम $n$ पुस्तकें चुनने की अनुमति है।
अतः,चुनने के कुल तरीकों की संख्या $T$ इस प्रकार है:
$T = {^{2n+1}C_1} + {^{2n+1}C_2} + ... + {^{2n+1}C_n} = 63$ ..... $(i)$
हम जानते हैं कि द्विपद गुणांकों का योग:
${^{2n+1}C_0} + {^{2n+1}C_1} + ... + {^{2n+1}C_n} + {^{2n+1}C_{n+1}} + ... + {^{2n+1}C_{2n+1}} = 2^{2n+1}$
गुणधर्म ${^mC_r} = {^mC_{m-r}}$ का उपयोग करने पर,${^{2n+1}C_0} = {^{2n+1}C_{2n+1}} = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,योग को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$1 + ({^{2n+1}C_1} + ... + {^{2n+1}C_n}) + ({^{2n+1}C_{n+1}} + ... + {^{2n+1}C_{2n+1}}) = 2^{2n+1}$
चूंकि ${^{2n+1}C_1} + ... + {^{2n+1}C_n} = 63$ और समरूपता के अनुसार,${^{2n+1}C_{n+1}} + ... + {^{2n+1}C_{2n+1}} = 63$ होता है।
अतः,$1 + 63 = 2^{2n}$ (द्विपद विस्तार के आधे भाग का योग $2^{2n}$ होता है)।
$64 = 2^{2n} \Rightarrow 2^6 = 2^{2n}$.
इस प्रकार,$2n = 6$,जिससे $n = 3$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया समीकरण: $^{n - 1}C_r = (k^2 - 3) \cdot ^nC_{r + 1}$.
सूत्र $^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ का उपयोग करते हुए,दोनों पक्षों का विस्तार करने पर:
$\frac{(n - 1)!}{r!(n - r - 1)!} = (k^2 - 3) \cdot \frac{n!}{(r + 1)!(n - r - 1)!}$.
दोनों पक्षों से सामान्य पदों $(n - r - 1)!$ और $(n - 1)!$ को हटाने पर:
$1 = (k^2 - 3) \cdot \frac{n}{r + 1}$.
$k^2$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$k^2 - 3 = \frac{r + 1}{n} \Rightarrow k^2 = \frac{r + 1}{n} + 3$.
चूंकि $0 \le r \le n - 1$,इसलिए $1 \le r + 1 \le n$ होता है,जिसका अर्थ है $\frac{1}{n} \le \frac{r + 1}{n} \le 1$.
अतः,$k^2 \in [\frac{1}{n} + 3, 4]$.
$n \ge 2$ के लिए,$k^2$ का परिसर $(3, 4]$ है।
वर्गमूल लेने पर,$k \in [-2, -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, 2]$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,अंतराल $(\sqrt{3}, 2)$ सही उपसमुच्चय है।

(B) माना $S = \sum\limits_{r = 0}^{n - 1} {\frac{{^n{C_r}}}{{^n{C_r} + {\,^n}{C_{r + 1}}}}} $.
गुणधर्म $\frac{^n{C_{r+1}}}{^n{C_r}} = \frac{n-r}{r+1}$ का उपयोग करते हुए,हम योग के अंदर के पद को फिर से लिख सकते हैं:
$\frac{{^n{C_r}}}{{^n{C_r} + {\,^n}{C_{r + 1}}}} = \frac{1}{1 + \frac{^n{C_{r+1}}}{^n{C_r}}} = \frac{1}{1 + \frac{n-r}{r+1}} = \frac{r+1}{n+1}$.
अब,इसे योग में प्रतिस्थापित करने पर:
$S = \sum\limits_{r = 0}^{n - 1} \frac{r+1}{n+1} = \frac{1}{n+1} \sum\limits_{r = 0}^{n - 1} (r+1)$.
योग का विस्तार करने पर: $\sum\limits_{r = 0}^{n - 1} (r+1) = 1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2}$.
अतः,$S = \frac{1}{n+1} \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n}{2}$.

(A) मान लीजिए कि दो व्यक्ति $P_1$ और $P_2$ हैं। हमें $15$ फलों को इस प्रकार वितरित करना है कि सेबों की संख्या $a \le 5$,आमों की संख्या $m \le 10$ और संतरों की संख्या $o \le 15$ हो।
एक व्यक्ति के लिए जनरेटिंग फलन $f(x) = (1+x+x^2+x^3+x^4+x^5)(1+x+x^2+...+x^{10})(1+x+x^2+...+x^{15})$ है।
गुणोत्तर श्रेणी के सूत्र का उपयोग करते हुए: $f(x) = \frac{1-x^6}{1-x} \cdot \frac{1-x^{11}}{1-x} \cdot \frac{1-x^{16}}{1-x} = (1-x^6)(1-x^{11})(1-x^{16})(1-x)^{-3}$।
हमें $(1 - x^6 - x^{11} + x^{17} + ...)(1 + 3x + 6x^2 + ... + \binom{n+3-1}{3-1}x^n + ...)$ के विस्तार में $x^{15}$ का गुणांक ज्ञात करना है।
$x^{15}$ का गुणांक $= 1 \cdot \binom{15+3-1}{3-1} - 1 \cdot \binom{15-6+3-1}{3-1} - 1 \cdot \binom{15-11+3-1}{3-1}$।
$= \binom{17}{2} - \binom{11}{2} - \binom{6}{2} = 136 - 55 - 15 = 66$।

(B) दी गई अभिव्यक्ति ${}^{50}{C_4} + \sum_{r = 1}^6 {^{56 - r}{C_3}}$ है।
योगफल का विस्तार करने पर: ${}^{50}{C_4} + {}^{55}{C_3} + {}^{54}{C_3} + {}^{53}{C_3} + {}^{52}{C_3} + {}^{51}{C_3} + {}^{50}{C_3}$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर: ${}^{50}{C_4} + {}^{50}{C_3} + {}^{51}{C_3} + {}^{52}{C_3} + {}^{53}{C_3} + {}^{54}{C_3} + {}^{55}{C_3}$ प्राप्त होता है।
पास्कल के सर्वसमिका ${}^{n}{C_r} + {}^{n}{C_{r-1}} = {}^{n+1}{C_r}$ का उपयोग करते हुए:
$({}^{50}{C_4} + {}^{50}{C_3}) + {}^{51}{C_3} + {}^{52}{C_3} + {}^{53}{C_3} + {}^{54}{C_3} + {}^{55}{C_3} = {}^{51}{C_4} + {}^{51}{C_3} + {}^{52}{C_3} + {}^{53}{C_3} + {}^{54}{C_3} + {}^{55}{C_3}$.
$({}^{51}{C_4} + {}^{51}{C_3}) + {}^{52}{C_3} + {}^{53}{C_3} + {}^{54}{C_3} + {}^{55}{C_3} = {}^{52}{C_4} + {}^{52}{C_3} + {}^{53}{C_3} + {}^{54}{C_3} + {}^{55}{C_3}$.
इस प्रक्रिया को जारी रखने पर,हमें ${}^{53}{C_4} + {}^{53}{C_3} + {}^{54}{C_3} + {}^{55}{C_3} = {}^{54}{C_4} + {}^{54}{C_3} + {}^{55}{C_3} = {}^{55}{C_4} + {}^{55}{C_3} = {}^{56}{C_4}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) संचय के गुणधर्म के अनुसार,यदि $^nC_r = ^nC_k$ है,तो या तो $r = k$ होगा या $n = r + k$ होगा।
चूंकि $12 \neq 6$,इसलिए $n = 12 + 6 = 18$ होगा।
अब,हमें $n = 18$ के लिए $^nC_2$ का मान ज्ञात करना है।
$^nC_2 = ^{18}C_2 = \frac{18 \times 17}{2 \times 1} = 9 \times 17 = 153$.

(B) छात्र को $13$ में से $10$ प्रश्नों के उत्तर देने हैं। पहले $5$ प्रश्न एक समूह में हैं और शेष $8$ प्रश्न दूसरे समूह में हैं।
उसे पहले $5$ प्रश्नों में से कम से कम $4$ प्रश्न चुनने हैं। इससे दो स्थितियाँ बनती हैं:
स्थिति $1$: वह पहले $5$ में से $4$ प्रश्न और शेष $8$ में से $6$ प्रश्न चुनता है।
तरीकों की संख्या $= ^5C_4 \times ^8C_6 = 5 \times 28 = 140$.
स्थिति $2$: वह पहले $5$ में से $5$ प्रश्न और शेष $8$ में से $5$ प्रश्न चुनता है।
तरीकों की संख्या $= ^5C_5 \times ^8C_5 = 1 \times 56 = 56$.
कुल तरीकों की संख्या $= 140 + 56 = 196$.

(C) त्रिभुज बनाने के लिए,हमें $3$ असंरेख बिंदुओं की आवश्यकता होती है।
कुल बिंदुओं की संख्या = $5 + 3 = 8$ है।
$8$ में से $3$ बिंदुओं को चुनने के कुल तरीके $^8C_3$ हैं।
हालाँकि,यदि $3$ बिंदु संरेख हैं,तो वे त्रिभुज नहीं बनाते हैं।
एक रेखा पर $5$ बिंदु हैं,इसलिए उनमें से $3$ संरेख बिंदुओं को चुनने के तरीके $^5C_3$ हैं।
दूसरी समांतर रेखा पर $3$ बिंदु हैं,इसलिए उनमें से $3$ संरेख बिंदुओं को चुनने के तरीके $^3C_3$ हैं।
अतः,त्रिभुजों की संख्या = कुल चयन - संरेख चयन = $^8C_3 - ^5C_3 - ^3C_3$।

(B) $n$ भुजाओं वाले बहुभुज में विकर्णों की संख्या ज्ञात करने का सूत्र $\frac{n(n-3)}{2}$ है।
अष्टकोण के लिए,भुजाओं की संख्या $n = 8$ है।
सूत्र में $n = 8$ रखने पर:
विकर्णों की संख्या $= \frac{8(8-3)}{2} = \frac{8 \times 5}{2} = \frac{40}{2} = 20$.
वैकल्पिक रूप से,संचय (combinations) का उपयोग करते हुए: $8$ शीर्षों में से $2$ शीर्षों को चुनने के कुल तरीके $^8C_2 = \frac{8 \times 7}{2} = 28$ हैं। अष्टकोण की $8$ भुजाओं को घटाने पर,हमें $28 - 8 = 20$ विकर्ण प्राप्त होते हैं।

(B) $n$ भुजाओं वाले बहुभुज में विकर्णों की संख्या का सूत्र है: $\frac{n(n-3)}{2}$।
दिया गया है कि विकर्णों की संख्या $44$ है,इसलिए हम समीकरण बनाते हैं:
$\frac{n(n-3)}{2} = 44$
$n(n-3) = 88$
$n^2 - 3n - 88 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(n - 11)(n + 8) = 0$
चूंकि भुजाओं की संख्या $n$ धनात्मक होनी चाहिए,इसलिए $n = 11$ है।
अतः,बहुभुज में $11$ भुजाएँ हैं।

(A) त्रिभुज बनाने के लिए,हमें $3$ असंरेख बिंदुओं का चयन करने की आवश्यकता होती है।
चूंकि सभी बिंदु एक वृत्त पर स्थित हैं,इसलिए कोई भी तीन बिंदु संरेख नहीं हैं।
अतः,$4$ बिंदुओं में से $3$ बिंदुओं को चुनकर बनाए जा सकने वाले त्रिभुजों की संख्या संचय के सूत्र $^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$n = 4$ और $r = 3$ है।
त्रिभुजों की संख्या = $^4C_3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1) \times 1} = 4$.

(A) त्रिभुज बनाने के लिए,हमें दिए गए बिंदुओं में से $3$ असंरेख बिंदुओं का चयन करने की आवश्यकता है।
चूंकि सभी $9$ बिंदु असंरेख हैं,इसलिए $3$ बिंदुओं का कोई भी चयन एक अद्वितीय त्रिभुज बनाएगा।
$9$ में से $3$ बिंदुओं को चुनने के तरीकों की संख्या संचय सूत्र $^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$n = 9$ और $r = 3$ है।
इसलिए,त्रिभुजों की संख्या = $^9C_3 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 4 \times 7 = 84$.

(C) $m$ भुजाओं वाले बहुभुज में विकर्णों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम पहले किन्हीं दो शीर्षों को जोड़ने के कुल तरीकों पर विचार करते हैं,जो $^mC_2$ द्वारा दिया जाता है।
इसमें बहुभुज की $m$ भुजाएँ शामिल हैं।
चूँकि विकर्ण गैर-आसन्न शीर्षों को जोड़ने वाली रेखाएँ होती हैं,इसलिए हम कुल संयोजनों में से भुजाओं की संख्या घटा देते हैं।
विकर्णों की संख्या = $^mC_2 - m$
$= \frac{m(m - 1)}{2} - m$
$= \frac{m(m - 1) - 2m}{2}$
$= \frac{m^2 - m - 2m}{2}$
$= \frac{m(m - 3)}{2}$.

(D) एक सीधी रेखा बनाने के लिए,हमें दिए गए $8$ बिंदुओं में से किन्हीं $2$ अलग-अलग बिंदुओं का चयन करना होगा।
चूंकि सभी $8$ बिंदु एक वृत्त पर स्थित हैं,इसलिए कोई भी $3$ बिंदु संरेख (collinear) नहीं हैं।
अतः,सीधी रेखाओं की संख्या संचय (combination) के सूत्र $^nC_r$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = 8$ और $r = 2$ है।
रेखाओं की संख्या $= ^8C_2 = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) त्रिभुज बनाने के लिए,हमें दिए गए बिंदुओं के समूह से $3$ असंरेख बिंदुओं का चयन करना होगा।
$12$ बिंदुओं में से $3$ बिंदुओं को चुनने के कुल तरीके $^{12}C_3$ द्वारा दिए जाते हैं।
$^{12}C_3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$.
चूंकि $7$ बिंदु संरेख हैं,इसलिए इन $7$ बिंदुओं में से $3$ बिंदुओं का कोई भी चयन त्रिभुज नहीं बनाएगा।
इन $7$ संरेख बिंदुओं में से $3$ बिंदुओं को चुनने के तरीके $^{7}C_3$ हैं।
$^{7}C_3 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$.
इसलिए,बनाए जा सकने वाले त्रिभुजों की संख्या कुल चयन में से संरेख चयनों की संख्या को घटाने पर प्राप्त होती है:
त्रिभुजों की संख्या $= ^{12}C_3 - ^{7}C_3 = 220 - 35 = 185$.

(B) त्रिभुज बनाने के लिए,हमें दिए गए बिंदुओं में से $3$ असंरेख बिंदुओं का चयन करना होगा।
$10$ बिंदुओं में से $3$ बिंदुओं को चुनने के कुल तरीके $^{10}C_3$ हैं।
$^{10}C_3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$.
चूंकि $4$ बिंदु संरेख हैं,इसलिए इन $4$ बिंदुओं में से $3$ बिंदुओं का कोई भी चयन त्रिभुज के बजाय एक सीधी रेखा बनाएगा।
इन $4$ संरेख बिंदुओं में से $3$ बिंदुओं को चुनने के तरीके $^4C_3$ हैं।
$^4C_3 = \frac{4 \times 3 \times 2}{3 \times 2 \times 1} = 4$.
अतः,बनाए जा सकने वाले त्रिभुजों की संख्या कुल चयन में से उन संयोजनों को घटाने पर प्राप्त होती है जो सीधी रेखा बनाते हैं:
त्रिभुजों की संख्या $= 120 - 4 = 116$.

(A) $n$ बिंदुओं से खींची जा सकने वाली रेखाओं की संख्या ज्ञात करने के लिए, जहाँ $m$ बिंदु संरेख हैं, हम इस सूत्र का उपयोग करते हैं: $\text{रेखाओं की संख्या} = ^{n}C_{2} - ^{m}C_{2} + 1$.
यहाँ, $n = 16$ और $m = 6$ है।
मान रखने पर:
$\text{रेखाओं की संख्या} = ^{16}C_{2} - ^{6}C_{2} + 1$
$= \frac{16 \times 15}{2} - \frac{6 \times 5}{2} + 1$
$= 120 - 15 + 1$
$= 106$.
अतः, कुल $106$ रेखाएं खींची जा सकती हैं।

(B) कुल बिंदुओं की संख्या $m + n + k$ है।
इन $m + n + k$ बिंदुओं में से $3$ बिंदुओं को चुनने के कुल तरीके $^{m+n+k}C_3$ हैं।
हालाँकि,यदि $3$ चुने गए बिंदु संरेख (अर्थात एक ही सीधी रेखा पर) हैं,तो त्रिभुज नहीं बन सकता है।
$l_1$ पर स्थित $m$ बिंदुओं में से $3$ बिंदुओं को चुनने के तरीके $^mC_3$ हैं।
$l_2$ पर स्थित $n$ बिंदुओं में से $3$ बिंदुओं को चुनने के तरीके $^nC_3$ हैं।
$l_3$ पर स्थित $k$ बिंदुओं में से $3$ बिंदुओं को चुनने के तरीके $^kC_3$ हैं।
इसलिए,बनने वाले त्रिभुजों की संख्या कुल संयोजनों में से उन संयोजनों को घटाने पर प्राप्त होती है जहाँ बिंदु संरेख हैं:
आवश्यक त्रिभुजों की संख्या $= ^{m+n+k}C_3 - ^mC_3 - ^nC_3 - ^kC_3$.

(B) समांतर चतुर्भुज बनाने के लिए,हमें चार समांतर रेखाओं के पहले समूह से दो रेखाएँ और तीन समांतर रेखाओं के दूसरे समूह से दो रेखाएँ चुननी होंगी।
$n$ में से $r$ वस्तुओं को चुनने के तरीकों की संख्या संचय के सूत्र $^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ द्वारा दी जाती है।
$4$ में से $2$ रेखाएँ चुनने के तरीकों की संख्या $= ^4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$.
$3$ में से $2$ रेखाएँ चुनने के तरीकों की संख्या $= ^3C_2 = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$.
चूँकि ये चयन स्वतंत्र हैं,इसलिए समांतर चतुर्भुजों की कुल संख्या इन दो मानों का गुणनफल है:
कुल समांतर चतुर्भुज $= 6 \times 3 = 18$.

(C) $6$ बिंदुओं को जोड़कर बनने वाली रेखाओं की संख्या $^6C_2 = \frac{6 \times 5}{2} = 15$ है।
यदि कोई भी तीन रेखाएं संगामी नहीं हैं और कोई भी दो रेखाएं समानांतर नहीं हैं,तो $15$ रेखाओं द्वारा बनने वाले प्रतिच्छेदन बिंदुओं की कुल संख्या $^{15}C_2 = \frac{15 \times 14}{2} = 105$ है।
हालाँकि,मूल $6$ बिंदुओं में से प्रत्येक पर $5$ रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं। चूँकि ये $5$ रेखाएं एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं,लेकिन $^{15}C_2$ सूत्र इन $5$ रेखाओं के सभी जोड़ों को अलग-अलग प्रतिच्छेदन बिंदुओं के रूप में गिनता है।
प्रत्येक $6$ बिंदुओं के लिए,उनसे गुजरने वाली रेखाओं के जोड़ों की संख्या $^5C_2 = 10$ है। इन $10$ जोड़ों को $105$ के कुल योग में $10$ अलग-अलग बिंदुओं के रूप में गिना जाता है,लेकिन वे वास्तव में एक ही मूल बिंदु हैं।
इसलिए,प्रत्येक मूल बिंदु के लिए,हम $10$ घटाएंगे और $1$ जोड़ेंगे (वह बिंदु स्वयं)।
कुल अलग-अलग प्रतिच्छेदन बिंदु $= 105 - 6 \times (10 - 1) = 105 - 6 \times 9 = 105 - 54 = 51$.

(A) स्थिति $I$: जब $A$ को बाहर रखा जाता है।
त्रिभुज बनाने के लिए,हमें $3$ असंरेख बिंदुओं का चयन करना होगा। चूँकि $AB$ पर $m$ बिंदु और $AC$ पर $n$ बिंदु हैं,हम $AB$ से $2$ और $AC$ से $1$ बिंदु,या $AB$ से $1$ और $AC$ से $2$ बिंदु चुन सकते हैं।
त्रिभुजों की संख्या $= ^mC_2 \cdot ^nC_1 + ^mC_1 \cdot ^nC_2 = \frac{mn(m + n - 2)}{2}$.
स्थिति $II$: जब $A$ को शामिल किया जाता है।
यदि $A$ एक शीर्ष है,तो हमें $2$ और बिंदु चुनने होंगे। ये बिंदु $AB$ से $1$ और $AC$ से $1$ हो सकते हैं,या $AB$ से $2$ हो सकते हैं,या $AC$ से $2$ हो सकते हैं।
कुल त्रिभुज $= mn + ^mC_2 + ^nC_2$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,अनुपात $\frac{m + n - 2}{m + n}$ प्राप्त होता है।

(C) चूंकि कोई भी दो रेखाएँ समांतर नहीं हैं और कोई भी तीन रेखाएँ संगामी नहीं हैं,इसलिए $n$ सीधी रेखाएँ $N = ^nC_2 = \frac{n(n-1)}{2}$ बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती हैं।
एक रेखा बनाने के लिए,हमें $2$ बिंदुओं की आवश्यकता होती है। इन $N$ बिंदुओं को जोड़ने से बनने वाली रेखाओं की कुल संख्या $^NC_2$ है।
हालाँकि,इस कुल संख्या में मूल $n$ रेखाएँ शामिल हैं। प्रत्येक मूल रेखा पर $(n-1)$ प्रतिच्छेदन बिंदु होते हैं। एक मूल रेखा पर स्थित इन $(n-1)$ बिंदुओं द्वारा बनने वाली रेखाओं की संख्या $^{n-1}C_2$ है। चूँकि ऐसी $n$ रेखाएँ हैं,इसलिए हमें मूल रेखाओं को घटाना होगा।
नई रेखाओं की संख्या $^NC_2 - n \times ^{n-1}C_2$ है।
$N = \frac{n(n-1)}{2}$ रखने पर:
$= \frac{N(N-1)}{2} - n \frac{(n-1)(n-2)}{2}$
$= \frac{\frac{n(n-1)}{2} (\frac{n(n-1)}{2} - 1)}{2} - \frac{n(n-1)(n-2)}{2}$
$= \frac{n(n-1)(n^2-n-2)}{8} - \frac{4n(n-1)(n-2)}{8}$
$= \frac{n(n-1)(n-2)(n+1) - 4n(n-1)(n-2)}{8}$
$= \frac{n(n-1)(n-2)(n+1-4)}{8} = \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{8}$.

(C) एक समांतर चतुर्भुज दो जोड़ी समानांतर रेखाओं से घिरा होता है।
प्रारंभ में,भुजाओं की प्रत्येक जोड़ी के लिए $2$ समानांतर रेखाएँ होती हैं।
जब प्रत्येक भुजा के समानांतर $m$ रेखाएँ जोड़ी जाती हैं,तो प्रत्येक सेट में समानांतर रेखाओं की कुल संख्या $m + 2$ हो जाती है।
समांतर चतुर्भुज बनाने के लिए,हमें $m + 2$ रेखाओं के पहले सेट से $2$ रेखाएँ और $m + 2$ रेखाओं के दूसरे सेट से $2$ रेखाएँ चुननी होंगी।
$m + 2$ रेखाओं में से $2$ रेखाओं को चुनने के तरीकों की संख्या $^{m+2}C_2$ द्वारा दी जाती है।
चूँकि हमें दोनों सेटों से चयन करना है,इसलिए समांतर चतुर्भुजों की कुल संख्या $^{m+2}C_2 \times ^{m+2}C_2 = (^{m+2}C_2)^2$ होगी।

(A) $37$ सीधी रेखाओं के लिए प्रतिच्छेदन बिंदुओं की कुल संख्या,यदि कोई भी तीन रेखाएं संगामी न हों और कोई भी दो रेखाएं समानांतर न हों,तो $^{37}C_2$ होगी।
चूंकि $13$ रेखाएं बिंदु $A$ से गुजरती हैं,उन्हें $^{13}C_2$ प्रतिच्छेदन बिंदु बनाने चाहिए थे,लेकिन वे केवल $1$ बिंदु बनाती हैं। इसलिए,हम $^{13}C_2$ घटाते हैं और $1$ जोड़ते हैं।
इसी प्रकार,$11$ रेखाएं बिंदु $B$ से गुजरती हैं,जिन्हें $^{11}C_2$ प्रतिच्छेदन बिंदु बनाने चाहिए थे,लेकिन वे केवल $1$ बिंदु बनाती हैं। इसलिए,हम $^{11}C_2$ घटाते हैं और $1$ जोड़ते हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदुओं की कुल संख्या $^{37}C_2 - ^{13}C_2 - ^{11}C_2 + 1 + 1$ द्वारा दी जाती है।
मानों की गणना करने पर: $^{37}C_2 = \frac{37 \times 36}{2} = 666$,$^{13}C_2 = \frac{13 \times 12}{2} = 78$,और $^{11}C_2 = \frac{11 \times 10}{2} = 55$.
कुल बिंदु $= 666 - 78 - 55 + 2 = 535$.

(D) प्रतिच्छेदन बिंदुओं की अधिकतम संख्या ज्ञात करने के लिए,हम निम्नलिखित अंतःक्रियाओं पर विचार करते हैं:
$1$. $8$ सीधी रेखाओं के बीच प्रतिच्छेदन: बिंदुओं की अधिकतम संख्या $^8C_2 = \frac{8 \times 7}{2} = 28$ द्वारा दी जाती है।
$2$. $4$ वृत्तों के बीच प्रतिच्छेदन: वृत्तों का प्रत्येक युग्म $2$ बिंदुओं पर प्रतिच्छेद कर सकता है। बिंदुओं की अधिकतम संख्या $^4C_2 \times 2 = 6 \times 2 = 12$ है।
$3$. $8$ सीधी रेखाओं और $4$ वृत्तों के बीच प्रतिच्छेदन: प्रत्येक रेखा प्रत्येक वृत्त को $2$ बिंदुओं पर प्रतिच्छेद कर सकती है। बिंदुओं की अधिकतम संख्या $^8C_1 \times ^4C_1 \times 2 = 8 \times 4 \times 2 = 64$ है।
कुल बिंदु $= 28 + 12 + 64 = 104$।

(C) कुल बिंदु $n = 18$ हैं। संरेख बिंदुओं की संख्या $m = 5$ है।
$(i)$ सीधी रेखाओं की संख्या: $n$ बिंदुओं द्वारा बनने वाली रेखाओं की संख्या $^{n}C_{2}$ होती है। चूँकि $m$ बिंदु संरेख हैं,वे $^{m}C_{2}$ रेखाओं के बजाय केवल $1$ रेखा बनाते हैं। अतः,सूत्र $^{n}C_{2} - ^{m}C_{2} + 1$ है।
गणना: $^{18}C_{2} - ^{5}C_{2} + 1 = \frac{18 \times 17}{2} - \frac{5 \times 4}{2} + 1 = 153 - 10 + 1 = 144$.
$(ii)$ त्रिभुजों की संख्या: $n$ बिंदुओं द्वारा बनने वाले त्रिभुजों की संख्या $^{n}C_{3}$ होती है। चूँकि $m$ बिंदु संरेख हैं,वे कोई त्रिभुज नहीं बनाते हैं। अतः,सूत्र $^{n}C_{3} - ^{m}C_{3}$ है।
गणना: $^{18}C_{3} - ^{5}C_{3} = \frac{18 \times 17 \times 16}{3 \times 2 \times 1} - \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 816 - 10 = 806$.

(A) त्रिभुज बनाने के लिए,हमें दिए गए $16$ बिंदुओं में से $3$ असंरेख बिंदुओं का चयन करना होगा।
$16$ बिंदुओं में से $3$ बिंदुओं को चुनने के कुल तरीके $^{16}C_3 = \frac{16 \times 15 \times 14}{3 \times 2 \times 1} = 16 \times 5 \times 7 = 560$ हैं।
हालाँकि,$8$ बिंदु संरेख हैं,जिसका अर्थ है कि इन $8$ बिंदुओं में से किन्हीं भी $3$ बिंदुओं को चुनने पर त्रिभुज नहीं बनेगा।
इन $8$ संरेख बिंदुओं में से $3$ बिंदुओं को चुनने के तरीके $^{8}C_3 = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$ हैं।
इसलिए,बनाए जा सकने वाले त्रिभुजों की संख्या कुल संयोजनों में से अमान्य संयोजनों को घटाने पर प्राप्त होती है: $560 - 56 = 504$।

(B) $n$ भुजाओं वाले एक नियमित बहुभुज के शीर्षों का उपयोग करके बनाए जा सकने वाले त्रिभुजों की संख्या संचय के सूत्र $T_n = ^nC_3$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए समीकरण $T_{n + 1} - T_n = 21$ में सूत्र रखने पर:
$^{n + 1}C_3 - ^nC_3 = 21$
संचय के पास्कल के गुणधर्म $^nC_r + ^nC_{r-1} = ^{n+1}C_r$ का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $^{n+1}C_3 = ^nC_3 + ^nC_2$ होता है।
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$(^nC_3 + ^nC_2) - ^nC_3 = 21$
$^nC_2 = 21$
संचय के सूत्र का विस्तार करने पर:
$\frac{n(n - 1)}{2} = 21$
$n(n - 1) = 42$
$n^2 - n - 42 = 0$
$(n - 7)(n + 6) = 0$
चूंकि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $n = 7$।

(A) त्रिभुज बनाने के लिए,हमें $3$ असंरेख बिंदुओं का चयन करना होगा।
$10$ बिंदुओं में से $3$ बिंदुओं को चुनने के कुल तरीके $^{10}C_3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$ हैं।
चूंकि $6$ बिंदु संरेख हैं,इसलिए इन $6$ बिंदुओं में से $3$ बिंदुओं का कोई भी चयन त्रिभुज नहीं बनाएगा।
इन $6$ संरेख बिंदुओं में से $3$ बिंदुओं को चुनने के तरीके $^{6}C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ हैं।
अतः,बनने वाले त्रिभुजों की कुल संख्या = $^{10}C_3 - ^{6}C_3 = 120 - 20 = 100$.

(C) कुल बिंदुओं की संख्या $n$ है। $n$ बिंदुओं में से $2$ बिंदुओं को चुनकर रेखा बनाने के तरीकों की संख्या $^nC_2$ है।
चूंकि $p$ बिंदु संरेख हैं,वे सभी एक ही रेखा पर स्थित हैं। इन $p$ बिंदुओं में से किन्हीं भी $2$ बिंदुओं को चुनने पर एक ही रेखा प्राप्त होती है,जिसे $^nC_2$ में $^pC_2$ बार गिना गया है।
इसे ठीक करने के लिए,हम $p$ संरेख बिंदुओं द्वारा बनने वाली सभी रेखाओं $(^pC_2)$ को घटाते हैं और $1$ जोड़ते हैं क्योंकि वे सभी $p$ बिंदु एक ही रेखा पर स्थित हैं।
अतः,कुल अलग-अलग रेखाओं की संख्या $^nC_2 - ^pC_2 + 1$ है।

(A) एक त्रिभुज तभी बन सकता है जब किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से अधिक हो।
$6$ में से $3$ रेखाखंडों को चुनने के कुल तरीके $^6C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ हैं।
हमें उन संयोजनों को घटाना होगा जो त्रिभुज नहीं बनाते हैं (जहाँ दो छोटी भुजाओं का योग $\le$ सबसे बड़ी भुजा)।
लंबाई के वे समूह जो त्रिभुज नहीं बनाते हैं,वे हैं:
$(2, 3, 5), (2, 3, 6), (2, 3, 7), (2, 4, 6), (2, 4, 7), (2, 5, 7), (3, 4, 7)$।
ऐसे कुल $7$ संयोजन हैं।
त्रिभुजों की संख्या = $20 - 7 = 13$।
दिए गए विकल्पों को देखते हुए,व्यंजक $^6C_3 - 7$ का मान $20 - 7 = 13$ होता है।

(C) $n$ भुजाओं वाले बहुभुज में विकर्णों की संख्या का सूत्र $\frac{n(n-3)}{2}$ होता है।
दिया गया है कि विकर्णों की संख्या $35$ है,इसलिए:
$\frac{n(n-3)}{2} = 35$
$n(n-3) = 70$
$n^2 - 3n - 70 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(n - 10)(n + 7) = 0$
चूंकि भुजाओं की संख्या $n$ धनात्मक होनी चाहिए,इसलिए $n = 10$ होगा।
अतः,बहुभुज में $10$ भुजाएँ हैं।

(D) एक सीधी रेखा बनाने के लिए,हमें $2$ बिंदुओं की आवश्यकता होती है।
यदि कोई भी तीन बिंदु संरेख (collinear) नहीं होते,तो रेखाओं की कुल संख्या $^{20}C_2$ होती।
हालाँकि,$4$ बिंदु संरेख हैं,जिसका अर्थ है कि वे $^{4}C_2$ रेखाओं के बजाय केवल $1$ रेखा बनाते हैं।
इसलिए,रेखाओं की संख्या इस सूत्र द्वारा दी जाती है: $^{20}C_2 - ^{4}C_2 + 1$.
मानों की गणना करने पर:
$^{20}C_2 = \frac{20 \times 19}{2} = 190$.
$^{4}C_2 = \frac{4 \times 3}{2} = 6$.
आवश्यक रेखाओं की संख्या $= 190 - 6 + 1 = 185$.