Permutation and Combination Questions in Hindi

(D) माना $S = \sum_{0 \le i < j \le n} i \binom{n}{j}$.
योग के क्रम को बदलकर हम लिख सकते हैं:
$S = \sum_{j=1}^{n} \binom{n}{j} \sum_{i=0}^{j-1} i$.
आंतरिक योग प्रथम $(j-1)$ पूर्णांकों का योग है: $\sum_{i=0}^{j-1} i = \frac{(j-1)j}{2}$.
अतः,$S = \sum_{j=1}^{n} \binom{n}{j} \frac{j(j-1)}{2} = \frac{1}{2} \sum_{j=2}^{n} \frac{n!}{j!(n-j)!} j(j-1)$.
सर्वसमिका $j(j-1) \binom{n}{j} = n(n-1) \binom{n-2}{j-2}$ का उपयोग करने पर:
$S = \frac{1}{2} \sum_{j=2}^{n} n(n-1) \binom{n-2}{j-2} = \frac{n(n-1)}{2} \sum_{j=2}^{n} \binom{n-2}{j-2}$.
माना $k = j-2$,तब योग $\sum_{k=0}^{n-2} \binom{n-2}{k} = 2^{n-2}$ हो जाता है।
इसलिए,$S = \frac{n(n-1)}{2} \cdot 2^{n-2} = n(n-1) 2^{n-3}$.

(B) एक चतुष्फलक $4$ असमतलीय बिंदुओं द्वारा बनता है।
मान लीजिए $P_1$ पर $3$ बिंदुओं का समुच्चय $S_1 = \{A, B, C\}$ है और $P_2$ पर $3$ बिंदुओं का समुच्चय $S_2 = \{D, E, F\}$ है।
चूंकि $S_1$ के बिंदु एक ही समतल में हैं ($P_1$ पर) और $S_2$ के बिंदु एक ही समतल में हैं ($P_2$ पर),हम $S_1$ से $4$ बिंदु या $S_2$ से $4$ बिंदु नहीं चुन सकते।
चतुष्फलक बनाने के लिए,हमें बिंदुओं को इस प्रकार चुनना होगा कि वे सभी एक ही समतल में न हों।
स्थिति $1$: $S_1$ से $3$ बिंदु और $S_2$ से $1$ बिंदु चुनें।
तरीकों की संख्या $= {}^3C_3 \times {}^3C_1 = 1 \times 3 = 3$.
स्थिति $2$: $S_1$ से $2$ बिंदु और $S_2$ से $2$ बिंदु चुनें।
तरीकों की संख्या $= {}^3C_2 \times {}^3C_2 = 3 \times 3 = 9$.
स्थिति $3$: $S_1$ से $1$ बिंदु और $S_2$ से $3$ बिंदु चुनें।
तरीकों की संख्या $= {}^3C_1 \times {}^3C_3 = 3 \times 1 = 3$.
चतुष्फलकों की कुल संख्या $= 3 + 9 + 3 = 15$.

(B) हमें ${1, 2, 3, 4}$ के ऐसे क्रमचय (permutations) ज्ञात करने हैं जिनमें $12, 23, 34$ पैटर्न न आए।
$4$ अंकों के कुल क्रमचय $4! = 24$ हैं।
माना $S$ सभी क्रमचयों का समुच्चय है। $A_1$ उन क्रमचयों का समुच्चय है जिनमें $12$ है,$A_2$ जिनमें $23$ है,और $A_3$ जिनमें $34$ है।
हमें $|S| - |A_1 \cup A_2 \cup A_3|$ ज्ञात करना है।
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत (Inclusion-Exclusion Principle) का उपयोग करते हुए:
$|A_1| = |A_2| = |A_3| = 3! = 6$.
$|A_1 \cap A_2|$ (जिसमें $123$ है) = $2! = 2$.
$|A_2 \cap A_3|$ (जिसमें $234$ है) = $2! = 2$.
$|A_1 \cap A_3|$ (जिसमें $12$ और $34$ है) = $2! = 2$.
$|A_1 \cap A_2 \cap A_3|$ (जिसमें $1234$ है) = $1! = 1$.
$|A_1 \cup A_2 \cup A_3| = (6+6+6) - (2+2+2) + 1 = 18 - 6 + 1 = 13$.
मान्य क्रमचयों की संख्या = $24 - 13 = 11$.

(B) प्रत्येक अवयव $x \in A$ के लिए,उपसमुच्चय $P$ और $Q$ में इसकी सदस्यता के संबंध में $4$ संभावनाएं हैं:
$1$. $x \in P$ और $x \in Q$
$2$. $x \in P$ और $x \notin Q$
$3$. $x \notin P$ और $x \in Q$
$4$. $x \notin P$ और $x \notin Q$
शर्त $(P - Q)$ में ठीक $2$ अवयव होने का अर्थ है कि $A$ के ठीक $2$ अवयवों के लिए,शर्त $x \in P$ और $x \notin Q$ सत्य होनी चाहिए।
इन $2$ अवयवों को चुनने के $^nC_2$ तरीके हैं।
शेष $(n - 2)$ अवयवों के लिए,प्रत्येक अवयव अन्य $3$ स्थितियों में से किसी में भी हो सकता है (अर्थात $x \in P \cap Q$,$x \in Q \setminus P$,या $x \notin P \cup Q$)।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $^nC_2 \cdot 3^{n-2}$ है।

(D) $n$-अंकीय संख्या में प्रत्येक स्थान को $3$ दिए गए अंकों ($2, 5$ या $7$) में से किसी एक से भरा जा सकता है।
चूंकि प्रत्येक स्थान के लिए $3$ विकल्प हैं,इसलिए बनाई जा सकने वाली कुल $n$-अंकीय संख्याओं की संख्या $3^n$ है।
हमें $n$ का वह न्यूनतम पूर्णांक मान ज्ञात करना है जिसके लिए $3^n \ge 900$ हो।
$3$ की घातों की गणना करने पर:
$3^1 = 3$
$3^2 = 9$
$3^3 = 27$
$3^4 = 81$
$3^5 = 243$
$3^6 = 729$
$3^7 = 2187$
चूंकि $3^6 = 729 < 900$ और $3^7 = 2187 > 900$ है,इसलिए $n$ का न्यूनतम मान $7$ है जिसके लिए $900$ से अधिक भिन्न संख्याएँ बनाई जा सकती हैं।

(D) $BARRACK$ शब्द में $7$ अक्षर हैं: $A, A, R, R, B, C, K$। भिन्न अक्षर ${A, R, B, C, K}$ हैं।
स्थिति $1$: सभी $4$ अक्षर भिन्न हों।
${A, R, B, C, K}$ में से $4$ अक्षर चुनने के तरीके $^5C_4 = 5$ हैं। इन $4$ अक्षरों को $4! = 24$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
कुल शब्द $= 5 \times 24 = 120$।
स्थिति $2$: दो अक्षर समान (एक जोड़ा) और दो भिन्न हों।
उप-स्थिति $2a$: जोड़ा $R, R$ हो। ${A, B, C, K}$ में से अन्य $2$ भिन्न अक्षर चुनने के तरीके $^4C_2 = 6$ हैं। व्यवस्था के तरीके $\frac{4!}{2!} = 12$ हैं।
कुल शब्द $= 6 \times 12 = 72$।
उप-स्थिति $2b$: जोड़ा $A, A$ हो। ${R, B, C, K}$ में से अन्य $2$ भिन्न अक्षर चुनने के तरीके $^4C_2 = 6$ हैं। व्यवस्था के तरीके $\frac{4!}{2!} = 12$ हैं।
कुल शब्द $= 6 \times 12 = 72$।
स्थिति $3$: दो जोड़े ($A, A$ और $R, R$) हों।
${A, A, R, R}$ में से $2$ जोड़े चुनने का तरीका $^2C_2 = 1$ है। व्यवस्था के तरीके $\frac{4!}{2!2!} = 6$ हैं।
कुल शब्द $= 1 \times 6 = 6$।
शब्दों की कुल संख्या $= 120 + 72 + 72 + 6 = 270$।

(A) यदि किसी संख्या के अंकों का योग $3$ से विभाज्य है,तो वह संख्या $3$ से विभाज्य होती है। हमें ${0, 1, 2, 3, 4}$ अंकों का उपयोग करके $2,000$ और $5,000$ के बीच $4$ अंकों की संख्याएँ बनानी हैं।
स्थिति $1$: हजार के स्थान पर $2$ हो।
शेष $3$ अंकों के ऐसे समूह जिनका योग $3$ का गुणज हो:
${0, 1, 3}$ (योग $6$),${0, 3, 4}$ (योग $9$)।
${0, 1, 3}$ के लिए व्यवस्था $= 3! = 6$.
${0, 3, 4}$ के लिए व्यवस्था $= 3! = 6$.
स्थिति $1$ के लिए कुल $= 6 + 6 = 12$.
स्थिति $2$: हजार के स्थान पर $3$ हो।
शेष $3$ अंकों के समूह:
${0, 1, 2}$ (योग $6$),${0, 2, 4}$ (योग $9$)।
${0, 1, 2}$ के लिए व्यवस्था $= 3! = 6$.
${0, 2, 4}$ के लिए व्यवस्था $= 3! = 6$.
स्थिति $2$ के लिए कुल $= 6 + 6 = 12$.
स्थिति $3$: हजार के स्थान पर $4$ हो।
शेष $3$ अंकों के समूह:
${0, 2, 3}$ (योग $9$)।
${0, 2, 3}$ के लिए व्यवस्था $= 3! = 6$.
स्थिति $3$ के लिए कुल $= 6$.
कुल संख्याएँ $= 12 + 12 + 6 = 30$.

(C) $QUEEN$ शब्द के अक्षर $E, E, N, Q, U$ हैं। वर्णानुक्रम में व्यवस्थित करने पर: $E, E, N, Q, U$.
$(i)$ $E$ से शुरू होने वाले शब्द: शेष अक्षर $E, N, Q, U$ हैं। व्यवस्थाओं की संख्या $4! = 24$ है।
$(ii)$ $N$ से शुरू होने वाले शब्द: शेष अक्षर $E, E, Q, U$ हैं। व्यवस्थाओं की संख्या $\frac{4!}{2!} = 12$ है।
$(iii)$ $QE$ से शुरू होने वाले शब्द: शेष अक्षर $E, N, U$ हैं। व्यवस्थाओं की संख्या $3! = 6$ है।
$(iv)$ $QN$ से शुरू होने वाले शब्द: शेष अक्षर $E, E, U$ हैं। व्यवस्थाओं की संख्या $\frac{3!}{2!} = 3$ है।
$(v)$ अगला शब्द $QUEEN$ है,जो पिछली व्यवस्थाओं के बाद $1^{st}$ शब्द है।
कुल रैंक $= 24 + 12 + 6 + 3 + 1 = 46^{th}$.

(A) कुल व्यक्तियों की संख्या = $5 + 3 = 8$ है।
$8$ व्यक्तियों को गोल मेज पर बैठाने के कुल तरीके = $(8 - 1)! = 7!$ हैं।
अब,उस स्थिति पर विचार करें जहाँ $B_1$ और $G_1$ एक साथ बैठते हैं। $(B_1G_1)$ को एक इकाई के रूप में मानें।
अब हमारे पास एक वृत्त में व्यवस्थित करने के लिए $7$ इकाइयाँ हैं,जिन्हें $(7 - 1)! = 6!$ तरीकों से किया जा सकता है।
इकाई के भीतर,$B_1$ और $G_1$ को $2! = 2$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
अतः,उनके एक साथ बैठने के तरीकों की संख्या = $2 \times 6!$ है।
उनके कभी भी बगल में न बैठने के तरीकों की संख्या = कुल तरीके - उनके एक साथ बैठने के तरीके।
$= 7! - (2 \times 6!) = (7 \times 6!) - (2 \times 6!) = (7 - 2) \times 6! = 5 \times 6!$.

(D) हम जानते हैं कि $\frac{^{n}C_{r}}{^{n}C_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ होता है।
$n = 15$ के लिए,$\frac{^{15}C_{r}}{^{15}C_{r-1}} = \frac{15-r+1}{r} = \frac{16-r}{r}$ होगा।
इसे योग में प्रतिस्थापित करने पर:
$\sum\limits_{r = 1}^{15} r^2 \left( \frac{16-r}{r} \right) = \sum\limits_{r = 1}^{15} r(16-r) = \sum\limits_{r = 1}^{15} (16r - r^2)$।
इसे दो भागों में विभाजित करने पर:
$16 \sum\limits_{r = 1}^{15} r - \sum\limits_{r = 1}^{15} r^2$।
$n=15$ के लिए सूत्रों $\sum_{r=1}^{n} r = \frac{n(n+1)}{2}$ और $\sum_{r=1}^{n} r^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ का उपयोग करने पर:
$16 \left( \frac{15 \times 16}{2} \right) - \left( \frac{15 \times 16 \times 31}{6} \right)$।
$= 16(120) - (5 \times 8 \times 31) = 1920 - 1240 = 680$।

(B) "$MEDITERRANEAN$" शब्द में निम्नलिखित अक्षर हैं: $M, E, E, E, D, I, T, R, R, A, A, N, N$.
कुल अक्षर: $13$। भिन्न अक्षर: $M, E, D, I, T, R, A, N$।
हमें $R . . E$ के रूप में $4$ अक्षरों वाला शब्द बनाना है।
हमें शेष अक्षरों ${M, E, E, D, I, T, R, A, A, N, N}$ का उपयोग करके $2$ रिक्त स्थानों को भरना है।
स्थिति $1$: दोनों रिक्त स्थानों को समान अक्षरों से भरा जाए।
संभावित जोड़े $(E, E), (A, A), (N, N)$ हैं। इस प्रकार $3$ तरीके हैं।
स्थिति $2$: दोनों रिक्त स्थानों को भिन्न अक्षरों से भरा जाए।
हम ${M, E, D, I, T, R, A, N}$ सेट से $2$ भिन्न अक्षर चुनते हैं। तरीकों की संख्या $^8P.2 = 8 \times 7 = 56$ है।
शब्दों की कुल संख्या $= 3 + 56 = 59$।

(B) माना सामान्य पद $T_r = (r^2 + 1)r!$ है।
हम पद को इस प्रकार लिख सकते हैं: $T_r = (r^2 + r - r + 1)r! = r(r+1)r! - (r-1)r!$.
ध्यान दें कि $r(r+1)r! = r(r+1)!$.
अतः,$T_r = r(r+1)! - (r-1)r!$.
यह $f(r) - f(r-1)$ के रूप की एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है जहाँ $f(r) = r(r+1)!$.
$r=1$ से $10$ तक योग करने पर:
$\sum_{r=1}^{10} (r(r+1)! - (r-1)r!) = [1(2!) - 0(1!)] + [2(3!) - 1(2!)] + [3(4!) - 2(3!)] + \dots + [10(11!) - 9(10!)]$.
सभी मध्यवर्ती पद कट जाएंगे,और अंतिम पद बचेगा: $10(11!)$.

(C) दिया गया समीकरण: $\frac{{}^{n + 2}{C_6}}{{}^{n - 2}{P_2}} = 11$
सूत्रों ${}^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ और ${}^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\frac{(n+2)!}{6!(n-4)!}}{\frac{(n-2)!}{(n-4)!}} = 11$
$\frac{(n+2)!}{720 \cdot (n-2)!} = 11$
$\frac{(n+2)(n+1)(n)(n-1)(n-2)!}{720 \cdot (n-2)!} = 11$
$(n+2)(n+1)(n)(n-1) = 11 \cdot 720 = 7920$
$n$ के लिए पूर्णांक मानों की जाँच करने पर,यदि $n=9$ है:
$(11)(10)(9)(8) = 7920$. अतः,$n=9$ हल है।
अब,जाँचें कि $n=9$ किस समीकरण को संतुष्ट करता है:
विकल्प $C$ के लिए: $n^2 + 3n - 108 = (9)^2 + 3(9) - 108 = 81 + 27 - 108 = 108 - 108 = 0$.
इसलिए,$n$ समीकरण $n^2 + 3n - 108 = 0$ को संतुष्ट करता है।

(A) $15$ पुरुषों और $15$ महिलाओं में से प्रत्येक टीम में एक पुरुष और एक महिला वाली $15$ टीमें बनाने के लिए:
$1$. पहले पुरुष को $15$ महिलाओं में से किसी के भी साथ $15$ तरीकों से जोड़ा जा सकता है।
$2$. दूसरे पुरुष को शेष $14$ महिलाओं में से किसी के भी साथ $14$ तरीकों से जोड़ा जा सकता है।
$3$. इस प्रक्रिया को जारी रखते हुए,$15$वां पुरुष शेष बची अंतिम महिला के साथ $1$ तरीके से जोड़ा जा सकता है।
अतः,टीमें बनाने के कुल तरीकों की संख्या इन विकल्पों का गुणनफल है:
$= 15 \times 14 \times 13 \times \dots \times 1 = 15!$

(A) $n$ भुजाओं वाले बहुभुज में विकर्णों की संख्या का सूत्र $\frac{n(n - 3)}{2}$ होता है।
दिया गया है कि विकर्णों की संख्या $54$ है,इसलिए:
$\frac{n(n - 3)}{2} = 54$
$n(n - 3) = 108$
$n^2 - 3n - 108 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$n^2 - 12n + 9n - 108 = 0$
$n(n - 12) + 9(n - 12) = 0$
$(n - 12)(n + 9) = 0$
इससे $n = 12$ या $n = -9$ प्राप्त होता है।
चूंकि भुजाओं की संख्या $n$ एक धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए,इसलिए $n = 12$ होगा।

(B) $3, 4, 5$ और $6$ अंकों का उपयोग करके बिना पुनरावृत्ति के $4-$अंकीय संख्या बनाने के लिए,कुल $4! = 24$ संख्याएँ बनती हैं।
यदि हम इकाई के स्थान पर एक अंक को निश्चित करते हैं,तो शेष $3$ स्थानों को शेष $3$ अंकों द्वारा $3! = 6$ तरीकों से भरा जा सकता है।
इसलिए,प्रत्येक अंक ($3, 4, 5$ और $6$) इकाई के स्थान पर ठीक $6$ बार आता है।
इकाई के स्थान के अंकों का योग इस प्रकार है:
योग $= (6 \times 3) + (6 \times 4) + (6 \times 5) + (6 \times 6)$
योग $= 6 \times (3 + 4 + 5 + 6)$
योग $= 6 \times 18$
योग $= 108$

(D) कोई भी संख्या $9$ से विभाज्य होती है यदि उसके अंकों का योग $9$ से विभाज्य हो।
$0$ से $9$ तक के सभी अंकों का योग $0+1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45$ है।
$8$ अंकों की संख्या बनाने के लिए,हमें दो अंकों को इस प्रकार हटाना होगा कि शेष $8$ अंकों का योग $9$ का गुणज हो। चूंकि कुल योग $45$ है,इसलिए हटाए गए दो अंकों का योग $0+9=9, 1+8=9, 2+7=9, 3+6=9$ या $4+5=9$ होना चाहिए।

हटाए गए अंक	$8$ अंकों की संख्याओं की संख्या
$0$ और $9$	$8! = 8 \times 7!$
$1$ और $8$	$8! - 7! = 7 \times 7!$
$2$ और $7$	$8! - 7! = 7 \times 7!$
$3$ और $6$	$8! - 7! = 7 \times 7!$
$4$ और $5$	$8! - 7! = 7 \times 7!$

कुल तरीके $= 8 \times 7! + 4 \times (7 \times 7!) = 8 \times 7! + 28 \times 7! = 36 \times 7!$.

(B) $8$ अंकों की संख्या में $4$ विषम स्थान $(1^{st}, 3^{rd}, 5^{th}, 7^{th})$ और $4$ सम स्थान $(2^{nd}, 4^{th}, 6^{th}, 8^{th})$ होते हैं।
दिए गए अंक $1, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4$ हैं। इसमें विषम अंक $1, 1, 3$ (कुल $3$ अंक) और सम अंक $2, 2, 2, 4, 4$ (कुल $5$ अंक) हैं।
शर्त के अनुसार विषम अंक विषम स्थानों पर नहीं होने चाहिए,जिसका अर्थ है कि $3$ विषम अंकों को $4$ सम स्थानों पर व्यवस्थित करना है।
$3$ विषम अंकों $(1, 1, 3)$ को $4$ सम स्थानों पर व्यवस्थित करने के तरीके $\frac{4!}{2!} = 12$ हैं।
अब शेष $5$ अंकों $(2, 2, 2, 4, 4)$ को शेष $5$ स्थानों पर व्यवस्थित करने के तरीके $\frac{5!}{3!2!} = 10$ हैं।
अतः,कुल $8$ अंकों की ऐसी संख्याएँ $12 \times 10 = 120$ हैं।

(C) मान लीजिए पुरुषों की संख्या $n$ है और महिलाओं की संख्या $2$ है। कुल प्रतिभागियों की संख्या $n+2$ है।
प्रत्येक प्रतिभागी अन्य प्रत्येक प्रतिभागी के साथ $2$ खेल खेलता है।
पुरुषों द्वारा आपस में खेले गए खेलों की संख्या:
प्रत्येक पुरुष अन्य प्रत्येक $(n-1)$ पुरुष के साथ $2$ खेल खेलता है। $n$ पुरुषों द्वारा खेले गए खेलों की कुल संख्या $\frac{n \times 2(n-1)}{2} = n(n-1)$ है।
पुरुषों और महिलाओं के बीच खेले गए खेलों की संख्या:
प्रत्येक पुरुष $2$ महिलाओं में से प्रत्येक के साथ $2$ खेल खेलता है,यानी प्रति पुरुष $2 \times 2 = 4$ खेल। $n$ पुरुषों के लिए,महिलाओं के साथ खेले गए खेलों की कुल संख्या $4n$ है।
प्रश्न के अनुसार,इन दोनों के बीच का अंतर $66$ है:
$n(n-1) - 4n = 66$
$n^2 - n - 4n = 66$
$n^2 - 5n - 66 = 0$
$(n - 11)(n + 6) = 0$
चूंकि पुरुषों की संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $n = 11$ है।
$n = 11$ का मान $(11, 13]$ अंतराल में स्थित है। अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) हमें $2$ महिलाओं $(L)$,$2$ वृद्ध पुरुषों $(O)$ और $4$ युवा पुरुषों $(Y)$ में से $4$ व्यक्तियों का चयन करना है,जिसमें शर्तें हैं: $L \ge 1$,$O \ge 1$,और $Y \le 2$.
इन शर्तों को पूरा करने वाले संभावित संयोजन $(L, O, Y)$ इस प्रकार हैं:
$1$. $(1, 1, 2)$: $^2C_1 \times ^2C_1 \times ^4C_2 = 2 \times 2 \times 6 = 24$
$2$. $(1, 2, 1)$: $^2C_1 \times ^2C_2 \times ^4C_1 = 2 \times 1 \times 4 = 8$
$3$. $(2, 1, 1)$: $^2C_2 \times ^2C_1 \times ^4C_1 = 1 \times 2 \times 4 = 8$
$4$. $(2, 2, 0)$: $^2C_2 \times ^2C_2 \times ^4C_0 = 1 \times 1 \times 1 = 1$
कुल तरीकों की संख्या = $24 + 8 + 8 + 1 = 41$.

(C) मान लीजिए कि $8$ प्रश्नों को आवंटित अंक $x_1, x_2, \ldots, x_8$ हैं।
हमें दिया गया है कि:
$x_1 + x_2 + \cdots + x_8 = 30$, जहाँ प्रत्येक $i \in \{1,2,\ldots,8\}$ के लिए $x_i \ge 2$ है।
मान लीजिए $x_i = y_i + 2$, जहाँ $y_i \ge 0$ है।
इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(y_1 + 2) + (y_2 + 2) + \cdots + (y_8 + 2) = 30$
$y_1 + y_2 + \cdots + y_8 + 16 = 30$
$y_1 + y_2 + \cdots + y_8 = 14$
इस समीकरण के गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हलों की संख्या ज्ञात करने का सूत्र:
$\binom{n+r-1}{r-1}$, जहाँ $n=14$ और $r=8$ है।
कुल तरीकों की संख्या:
$\binom{14+8-1}{8-1} = \binom{21}{7} = {}^{21}C_7$

(B) भुजाओं पर चुने गए बिंदुओं की कुल संख्या $3 + 4 + 5 = 12$ है।
त्रिभुज बनाने के लिए,हमें इन $12$ बिंदुओं में से $3$ बिंदु चुनने होंगे।
$12$ में से $3$ बिंदुओं को चुनने के कुल तरीके $^{12}C_3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$ हैं।
हालाँकि,एक ही भुजा पर स्थित बिंदु त्रिभुज नहीं बना सकते। हमें उन स्थितियों को घटाना होगा जहाँ तीनों बिंदु एक ही भुजा से चुने गए हैं।
भुजा $AB$ पर स्थित $3$ बिंदुओं में से $3$ बिंदु चुनने के तरीके $^3C_3 = 1$ हैं।
भुजा $BC$ पर स्थित $4$ बिंदुओं में से $3$ बिंदु चुनने के तरीके $^4C_3 = 4$ हैं।
भुजा $CA$ पर स्थित $5$ बिंदुओं में से $3$ बिंदु चुनने के तरीके $^5C_3 = 10$ हैं।
घटाने के लिए कुल संरेख स्थितियाँ $= 1 + 4 + 10 = 15$ हैं।
अतः,त्रिभुजों की संख्या $= 220 - 15 = 205$ है।

(D) $2, 3, 5, 7, 9$ अंकों का उपयोग करके अंकों को दोहराए बिना बनाई जा सकने वाली कुल $5$-अंकीय संख्याएँ $5! = 120$ हैं।
चूंकि ये सभी अंक $2$ से बड़े हैं,इसलिए इन अंकों का उपयोग करके बनाई गई कोई भी $5$-अंकीय संख्या हमेशा $20000$ से बड़ी होगी। अतः,$p = 120$.
$q$ के लिए,संख्याएँ $30000$ और $90000$ के बीच होनी चाहिए। इसका मतलब है कि पहला अंक (दस हजार के स्थान पर) केवल $3, 5,$ या $7$ हो सकता है।
पहले अंक के लिए $3$ विकल्प हैं।
शेष $4$ स्थानों को शेष $4$ अंकों द्वारा $4!$ तरीकों से भरा जा सकता है।
इसलिए,$q = 3 \times 4! = 3 \times 24 = 72$.
अनुपात $p : q = 120 : 72$.
दोनों को $24$ से विभाजित करने पर,हमें $p : q = 5 : 3$ प्राप्त होता है।

(C) समुच्चय $A = \{a_1, a_2, \dots, a_{20}\}$ में $20$ भिन्न अवयव हैं।
$5$-अवयवों वाले उपसमुच्चयों की कुल संख्या संचय के सूत्र $\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ द्वारा दी जाती है।
अतः,$5$-अवयवों वाले उपसमुच्चयों की कुल संख्या $\binom{20}{5} = \frac{20!}{5!15!}$ है।
अब,हम $a_4$ को समाहित करने वाले $5$-अवयवों वाले उपसमुच्चयों की संख्या ज्ञात करते हैं। यदि $a_4$ पहले से ही शामिल है,तो हमें शेष $19$ अवयवों $(20 - 1 = 19)$ में से $4$ और अवयव चुनने होंगे।
इसलिए,$a_4$ को समाहित करने वाले $5$-अवयवों वाले उपसमुच्चयों की संख्या $\binom{19}{4} = \frac{19!}{4!15!}$ है।
प्रश्न के अनुसार,कुल उपसमुच्चयों की संख्या,$a_4$ को समाहित करने वाले उपसमुच्चयों की संख्या की $k$ गुनी है:
$\binom{20}{5} = k \times \binom{19}{4}$
$\frac{20!}{5!15!} = k \times \frac{19!}{4!15!}$
$\frac{20}{5} \times \frac{19!}{4!15!} = k \times \frac{19!}{4!15!}$
$4 = k$
अतः,$k$ का मान $4$ है।

(A) दिया गया है $n = ^mC_2 = \frac{m(m-1)}{2}$.
हमें $^nC_2 = \frac{n(n-1)}{2}$ का मान ज्ञात करना है।
$n$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$^nC_2 = \frac{\frac{m(m-1)}{2} \left( \frac{m(m-1)}{2} - 1 \right)}{2}$
$= \frac{\frac{m(m-1)}{2} \left( \frac{m^2 - m - 2}{2} \right)}{2}$
$= \frac{m(m-1)(m^2 - m - 2)}{8}$
$(m^2 - m - 2)$ का गुणनखंड करने पर $(m-2)(m+1)$ प्राप्त होता है:
$= \frac{m(m-1)(m-2)(m+1)}{8}$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$= \frac{(m+1)m(m-1)(m-2)}{8}$
इसे संचय (combinations) के रूप में व्यक्त करने के लिए $3! = 6$ से गुणा और भाग करने पर:
$= \frac{6}{8} \times \frac{(m+1)m(m-1)(m-2)}{3 \times 2 \times 1}$
$= 3 \times \frac{(m+1)m(m-1)(m-2)}{24} = 3(^{m+1}C_4)$.

(A) अक्षरों का समूह ${a, b, c, d, e, f}$ है। इसमें $2$ स्वर $({a, e})$ और $4$ व्यंजन $({b, c, d, f})$ हैं।
हमें $3$ अक्षरों के ऐसे विन्यास बनाने हैं जिनमें कम से कम एक स्वर शामिल हो।
स्थिति $1$: ठीक एक स्वर चुना जाए।
$1$ स्वर और $2$ व्यंजन चुनने के तरीके $= ^2C_1 \times ^4C_2 = 2 \times 6 = 12$.
इन चयनों के लिए विन्यासों की संख्या $= 12 \times 3! = 12 \times 6 = 72$.
स्थिति $2$: ठीक दो स्वर चुने जाएं।
$2$ स्वर और $1$ व्यंजन चुनने के तरीके $= ^2C_2 \times ^4C_1 = 1 \times 4 = 4$.
इन चयनों के लिए विन्यासों की संख्या $= 4 \times 3! = 4 \times 6 = 24$.
कुल विन्यासों की संख्या $= 72 + 24 = 96$.

(A) यह सुनिश्चित करने के लिए कि प्रत्येक महिला के दोनों ओर एक पुरुष हो,पुरुषों और महिलाओं को गोलाकार मेज के चारों ओर एकांतर क्रम (alternate) में बैठना होगा।
सबसे पहले,हम $7$ पुरुषों को गोलाकार मेज के चारों ओर व्यवस्थित करते हैं। एक वृत्त में $n$ वस्तुओं को व्यवस्थित करने के तरीके $(n-1)!$ होते हैं। अतः,$7$ पुरुषों को $(7-1)! = 6!$ तरीकों से बैठाया जा सकता है।
एक बार जब पुरुष बैठ जाते हैं,तो उनके बीच $7$ अलग-अलग स्थान (गैप) बन जाते हैं।
चूंकि प्रत्येक महिला के दोनों ओर एक पुरुष होना चाहिए,इसलिए हमें $7$ महिलाओं को इन $7$ स्थानों पर बैठाना होगा।
इन $7$ स्थानों पर $7$ महिलाओं को व्यवस्थित करने के तरीके $7!$ हैं।
अतः,बैठने की कुल व्यवस्थाओं की संख्या $6! \times 7!$ है।

(C) $5$ लड़कियों में से $2$ और $7$ लड़कों में से $3$ लड़कों को बिना किसी प्रतिबंध के चुनने के कुल तरीके $^5C_2 \times ^7C_3 = 10 \times 35 = 350$ हैं।
अब,हम उन टीमों की संख्या की गणना करते हैं जिनमें दोनों विशिष्ट लड़के $A$ और $B$ एक साथ मौजूद हैं।
यदि $A$ और $B$ दोनों टीम में हैं,तो हमें शेष $5$ लड़कों में से $1$ और लड़का और $5$ लड़कियों में से $2$ लड़कियां चुननी होंगी।
ऐसी टीमों की संख्या $= ^5C_1 \times ^5C_2 = 5 \times 10 = 50$ है।
जिन टीमों में $A$ और $B$ एक साथ नहीं हैं,उनकी संख्या कुल टीमों में से उन टीमों की संख्या को घटाकर प्राप्त की जाती है जिनमें वे एक साथ हैं।
आवश्यक तरीकों की संख्या $= 350 - 50 = 300$ है।

(D) मान लीजिए त्रिभुज के शीर्ष $O(0,0)$,$A(x,0)$,और $B(0,y)$ हैं,जहाँ $x, y \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}$ है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x| |y| = 50$ द्वारा दिया जाता है।
इसका अर्थ है कि $|xy| = 100$ है।
चूंकि $x$ और $y$ पूर्णांक हैं,हमें उन युग्मों $(x, y)$ की संख्या ज्ञात करनी है जिनके लिए $|xy| = 100$ है।
$100 = 2^2 \times 5^2$ के भाजकों की संख्या $(2+1)(2+1) = 3 \times 3 = 9$ है।
चूंकि $x$ और $y$ धनात्मक या ऋणात्मक हो सकते हैं,निरपेक्ष मानों के प्रत्येक युग्म $(|x|, |y|)$ के लिए,$4$ संभावित चिह्न संयोजन हैं: $(+,+), (+,-), (-,+), (-,-)$।
अतः,त्रिभुजों की कुल संख्या $4 \times 9 = 36$ है।

(B) हमें ${0, 1, 3, 7, 9}$ अंकों का उपयोग करके $7,000$ से छोटी प्राकृतिक संख्याएँ बनानी हैं,जहाँ अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति है।
स्थिति $1$: $1$-अंकीय,$2$-अंकीय या $3$-अंकीय संख्याएँ।
$1$-अंकीय संख्या के लिए,$4$ विकल्प हैं $(1, 3, 7, 9)$ क्योंकि $0$ पहला अंक नहीं हो सकता।
$2$-अंकीय संख्या के लिए,पहले अंक के लिए $4$ विकल्प $(1, 3, 7, 9)$ और दूसरे के लिए $5$ विकल्प $(0, 1, 3, 7, 9)$ हैं,इसलिए $4 \times 5 = 20$ संख्याएँ।
$3$-अंकीय संख्या के लिए,पहले अंक के लिए $4$ विकल्प और अगले दो अंकों के लिए प्रत्येक के $5$ विकल्प हैं,इसलिए $4 \times 5 \times 5 = 100$ संख्याएँ।
$1, 2, 3$ अंकों की कुल संख्याएँ $= 4 + 20 + 100 = 124$।
स्थिति $2$: $7,000$ से छोटी $4$-अंकीय संख्याएँ।
पहला अंक $1$ या $3$ हो सकता है (क्योंकि यह $7$ से छोटा होना चाहिए)।
यदि पहला अंक $1$ या $3$ है ($2$ विकल्प),तो शेष $3$ स्थानों में से प्रत्येक को $5$ तरीकों से भरा जा सकता है।
ऐसी $4$-अंकीय संख्याओं की संख्या $= 2 \times 5 \times 5 \times 5 = 250$।
कुल संख्याएँ $= 124 + 250 = 374$।

(B) दी गई व्यंजक $^{20}C_r \cdot ^{20}C_0 + ^{20}C_{r-1} \cdot ^{20}C_1 + \dots + ^{20}C_0 \cdot ^{20}C_r$ है।
वेंडरमोंड सर्वसमिका (Vandermonde's Identity) के अनुसार, यह योग $(1+x)^{20} \cdot (1+x)^{20} = (1+x)^{40}$ के विस्तार में $x^r$ के गुणांक के बराबर है।
अतः, यह योग $^{40}C_r$ के बराबर है।
द्विपद गुणांक $^{n}C_r$ तब अधिकतम होता है जब $r = n/2$ हो।
यहाँ $n = 40$ है, इसलिए अधिकतम मान $r = 40/2 = 20$ पर प्राप्त होता है।

(A) माना $S = \{1, 2, 3, \dots, 20\}$ है। प्रांत और सह-प्रांत दोनों $S$ हैं।
$k \in S$ के लिए,यदि $k$,$4$ का गुणज है,तो $k \in \{4, 8, 12, 16, 20\}$। ऐसे $5$ मान हैं।
इन $5$ मानों के लिए,$f(k)$,$3$ का गुणज होना चाहिए। सह-प्रांत में $3$ के गुणज $\{3, 6, 9, 12, 15, 18\}$ हैं। ऐसे $6$ मान हैं।
$k$ के प्रत्येक $5$ मानों को $f(k)$ के $6$ मानों में से किसी के साथ भी जोड़ा जा सकता है। इन $5$ मानों के लिए $f(k)$ को परिभाषित करने के तरीकों की संख्या $6^5$ है।
शेष $20 - 5 = 15$ मानों के लिए कोई प्रतिबंध नहीं है। प्रत्येक को सह-प्रांत के शेष $15$ मानों के साथ $15!$ तरीकों से जोड़ा जा सकता है। अतः,फलनों की कुल संख्या $6^5 \times 15!$ है।

(A) हमें तीन बक्से दिए गए हैं,जिनमें से प्रत्येक में $1, 2, dots, 10$ लेबल वाली $10$ गेंदें हैं।
प्रत्येक बक्से से एक गेंद निकाली जाती है,जिसे $n_1, n_2, n_3$ द्वारा दर्शाया गया है।
हमें गेंदों को चुनने के तरीकों की संख्या ज्ञात करनी है ताकि $n_1 < n_2 < n_3$ हो।
चूंकि शर्त $n_1 < n_2 < n_3$ का अर्थ है कि तीनों चुनी गई गेंदें अलग-अलग होनी चाहिए,इसलिए हम अनिवार्य रूप से $10$ उपलब्ध लेबल ${1, 2, dots, 10}$ के सेट से $3$ अलग-अलग गेंदों का चयन कर रहे हैं।
एक बार जब कोई भी $3$ अलग गेंदें चुन ली जाती हैं,तो उन्हें $n_1 < n_2 < n_3$ को संतुष्ट करने के लिए बढ़ते क्रम में व्यवस्थित करने का केवल $1$ ही तरीका होता है।
इसलिए,तरीकों की संख्या संचय सूत्र $^{10}C_3$ द्वारा दी जाती है।
$^{10}C_3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$.

(A) मान लीजिए पुरुषों की संख्या $m$ है और महिलाओं की संख्या $2$ है। कुल प्रतिभागी = $m + 2$ हैं।
प्रत्येक प्रतिभागी अन्य प्रत्येक प्रतिभागी के साथ $2$ गेम खेलता है।
पुरुषों द्वारा आपस में खेले गए गेम की संख्या $2 \times ^mC_2 = 2 \times \frac{m(m-1)}{2} = m(m-1) = m^2 - m$ है।
पुरुषों और महिलाओं के बीच खेले गए गेम की संख्या $2 \times (m \times 2) = 4m$ है।
प्रश्न के अनुसार,इनका अंतर $84$ है:
$m^2 - m - 4m = 84$
$m^2 - 5m - 84 = 0$
$(m - 12)(m + 7) = 0$
चूंकि $m$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $m = 12$।

(A) कुल अंकों की संख्या $9$ है। अंक $1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 4, 4$ हैं।
विषम अंक $1, 1, 3$ हैं (कुल $3$ विषम अंक)।
सम अंक $2, 2, 2, 2, 4, 4$ हैं (कुल $6$ सम अंक)।
$9$-अंकीय संख्या में $4$ सम स्थान ($2^{nd}, 4^{th}, 6^{th}, 8^{th}$ स्थान) होते हैं।
हमें इन $4$ सम स्थानों में $3$ विषम अंक रखने हैं।
$4$ में से $3$ स्थानों को चुनने के तरीके $^4C_3 = 4$ हैं।
इन चुने हुए स्थानों में $3$ विषम अंकों $(1, 1, 3)$ को व्यवस्थित करने के तरीके $\frac{3!}{2!} = 3$ हैं।
शेष $6$ स्थानों को $6$ सम अंकों $(2, 2, 2, 2, 4, 4)$ द्वारा भरा जाना चाहिए।
इन $6$ सम अंकों को व्यवस्थित करने के तरीके $\frac{6!}{4!2!} = \frac{720}{24 \times 2} = 15$ हैं।
ऐसी कुल संख्याएँ $= ^4C_3 \times \frac{3!}{2!} \times \frac{6!}{4!2!} = 4 \times 3 \times 15 = 180$।

(C) हमें ${0, 1, 2, 3, 4, 5}$ अंकों का उपयोग करके $4$-अंकीय संख्या $d_1 d_2 d_3 d_4$ बनानी है जो $4321$ से बड़ी हो।
स्थिति $1$: $5$ से शुरू होने वाली संख्याएँ $(d_1 = 5)$:
शेष $3$ स्थानों $(d_2, d_3, d_4)$ में से प्रत्येक के लिए $6$ विकल्प हैं।
कुल $= 1 \times 6 \times 6 \times 6 = 216$.
स्थिति $2$: $4$ से शुरू होने वाली संख्याएँ $(d_1 = 4)$:
उप-स्थिति $2.1$: $d_2 > 3$ ($d_2 = 4$ या $5$):
$d_2$ के लिए $2$ विकल्प हैं और $d_3, d_4$ में से प्रत्येक के लिए $6$ विकल्प हैं।
कुल $= 2 \times 6 \times 6 = 72$.
उप-स्थिति $2.2$: $d_2 = 3$:
यदि $d_3 > 2$ $(d_3 = 3, 4, 5)$:
$d_3$ के लिए $3$ विकल्प हैं और $d_4$ के लिए $6$ विकल्प हैं।
कुल $= 3 \times 6 = 18$.
यदि $d_3 = 2$:
यदि $d_4 > 1$ $(d_4 = 2, 3, 4, 5)$:
$d_4$ के लिए $4$ विकल्प हैं।
कुल $= 4$.
सभी स्थितियों का योग: $216 + 72 + 18 + 4 = 310$.

(C) कुल चुने जाने वाले सदस्य = $11$.
कुल उपलब्ध सदस्य = $8$ पुरुष + $5$ महिलाएँ = $13$ सदस्य।
$13$ में से $11$ सदस्यों का चयन करने के लिए,हम $13 - 11 = 2$ सदस्यों को बाहर रखते हैं।
स्थिति $m$ (कम से कम $6$ पुरुष): संभावित संयोजन ($6$$M$,$5$$F$),($7$$M$,$4$$F$),($8$$M$,$3$$F$) हैं।
$m = \binom{8}{6}\binom{5}{5} + \binom{8}{7}\binom{5}{4} + \binom{8}{8}\binom{5}{3} = (28 \times 1) + (8 \times 5) + (1 \times 10) = 28 + 40 + 10 = 78$.
स्थिति $n$ (कम से कम $3$ महिलाएँ): संभावित संयोजन ($8$$M$,$3$$F$),($7$$M$,$4$$F$),($6$$M$,$5$$F$) हैं।
$n = \binom{5}{3}\binom{8}{8} + \binom{5}{4}\binom{8}{7} + \binom{5}{5}\binom{8}{6} = (10 \times 1) + (5 \times 8) + (1 \times 28) = 10 + 40 + 28 = 78$.
अतः,चूँकि $m = 78$ और $n = 78$ है,इसलिए $m = n = 78$ होता है।

(B) माना $6$ अंकों की संख्या $abcdef$ है। संख्या के $11$ से विभाज्य होने के लिए,विषम स्थानों के अंकों के योग और सम स्थानों के अंकों के योग का अंतर $11$ का गुणज होना चाहिए।
सभी अंकों का योग $0+1+2+5+7+9 = 24$ है।
माना $S_1 = a+c+e$ और $S_2 = b+d+f$ है। अतः $S_1 + S_2 = 24$ और $S_1 - S_2 = 11k$ है। चूँकि $S_1+S_2$ सम है,इसलिए $S_1-S_2$ भी सम होना चाहिए,अतः $k=0$ और $S_1 = S_2 = 12$ होगा।
${a, c, e}$ और ${b, d, f}$ के लिए संभावित समुच्चय:
स्थिति $I$: ${a, c, e} = {7, 5, 0}$ और ${b, d, f} = {9, 2, 1}$।
${a, c, e}$ के लिए,$a$ शून्य नहीं हो सकता,इसलिए $2 \times 2! = 4$ तरीके हैं। ${b, d, f}$ के लिए $3! = 6$ तरीके हैं। कुल $= 4 \times 6 = 24$।
स्थिति $II$: ${a, c, e} = {9, 2, 1}$ और ${b, d, f} = {7, 5, 0}$।
${a, c, e}$ के लिए $3! = 6$ तरीके और ${b, d, f}$ के लिए $3! = 6$ तरीके हैं। कुल $= 6 \times 6 = 36$।
कुल संख्याएँ $= 24 + 36 = 60$।

(C) $20$ स्तंभ $20$ भुजाओं वाले बहुभुज के शीर्ष बनाते हैं।
स्तंभों के प्रत्येक जोड़े को जोड़ने का अर्थ है इन $20$ शीर्षों के बीच सभी संभावित रेखाएं (भुजाएं और विकर्ण) खींचना।
$20$ में से $2$ स्तंभों को चुनने के कुल तरीके संचय के सूत्र $^{20}C_2$ द्वारा दिए जाते हैं।
$^{20}C_2 = \frac{20 \times 19}{2} = 190$.
इन $190$ रेखाओं में बहुभुज की $20$ भुजाएं शामिल हैं (जो आसन्न स्तंभों को जोड़ती हैं)।
चूंकि प्रश्न में कहा गया है कि बीम केवल गैर-आसन्न स्तंभों से जुड़े हैं,इसलिए हमें कुल रेखाओं में से $20$ भुजाओं को घटाना होगा।
बीम की कुल संख्या $=$ कुल रेखाएं $-$ भुजाओं की संख्या $= 190 - 20 = 170$.

(A) मान लीजिए कि $10$ समान वस्तुएँ $I$ हैं और $21$ भिन्न वस्तुएँ $D_1, D_2, ..., D_{21}$ हैं।
हमें कुल $10$ वस्तुएँ चुननी हैं।
मान लीजिए $k$ चुनी गई भिन्न वस्तुओं की संख्या है,जहाँ $0 \le k \le 10$ है।
$21$ में से $k$ भिन्न वस्तुओं को चुनने के तरीकों की संख्या $^{21}C_k$ है।
एक बार $k$ भिन्न वस्तुएँ चुन ली जाती हैं,तो शेष $(10-k)$ वस्तुओं को $10$ समान वस्तुओं में से चुना जाना चाहिए। चूँकि वस्तुएँ समान हैं,उन्हें चुनने का केवल $1$ तरीका है।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $k=0$ से $10$ तक $^{21}C_k$ का योग है:
कुल तरीके $= \sum_{k=0}^{10} {^{21}C_k}$।
हम जानते हैं कि $\sum_{k=0}^{21} {^{21}C_k} = 2^{21}$।
साथ ही,समरूपता द्वारा,$\sum_{k=0}^{10} {^{21}C_k} = \sum_{k=11}^{21} {^{21}C_k}$।
मान लीजिए $S = \sum_{k=0}^{10} {^{21}C_k}$। तो $2S = \sum_{k=0}^{10} {^{21}C_k} + \sum_{k=11}^{21} {^{21}C_k} = \sum_{k=0}^{21} {^{21}C_k} = 2^{21}$।
इसलिए,$S = \frac{2^{21}}{2} = 2^{20}$।

(D) कुल लड़कों की संख्या = $5$,कुल लड़कियों की संख्या = $n$ है।
हमें $3$ विद्यार्थियों की एक ऐसी टीम चुननी है जिसमें कम से कम एक लड़का और एक लड़की हो।
टीम संरचना के लिए संभावित स्थितियाँ:
स्थिति $1$: $1$ लड़का और $2$ लड़कियाँ।
तरीकों की संख्या = $^5C_1 \times ^nC_2 = 5 \times \frac{n(n-1)}{2} = \frac{5n(n-1)}{2}$.
स्थिति $2$: $2$ लड़के और $1$ लड़की।
तरीकों की संख्या = $^5C_2 \times ^nC_1 = 10 \times n = 10n$.
दिया गया है कि कुल तरीकों की संख्या $1750$ है:
$\frac{5n(n-1)}{2} + 10n = 1750$.
समीकरण को $5$ से विभाजित करने पर:
$\frac{n(n-1)}{2} + 2n = 350$.
$2$ से गुणा करने पर:
$n(n-1) + 4n = 700$.
$n^2 - n + 4n = 700$.
$n^2 + 3n - 700 = 0$.
द्विघात समीकरण के गुणनखंड करने पर:
$(n + 28)(n - 25) = 0$.
चूँकि $n$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $n = 25$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया समीकरण: $6 \cdot ^{35} C_{r} = (k^2 - 3) \cdot ^{36} C_{r+1}$ है।
सर्वसमिका $^{n+1} C_{r+1} = \frac{n+1}{r+1} \cdot ^{n} C_{r}$ का उपयोग करने पर:
$k^2 - 3 = \frac{6 \cdot ^{35} C_{r}}{^{36} C_{r+1}} = \frac{6 \cdot ^{35} C_{r}}{\frac{36}{r+1} \cdot ^{35} C_{r}} = \frac{6(r+1)}{36} = \frac{r+1}{6}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $k$ एक पूर्णांक है,$k^2 - 3$ एक अऋणात्मक पूर्णांक होना चाहिए। साथ ही,संचय परिभाषित होने के लिए $0 \le r \le 35$ होना चाहिए।
अतः,$k^2 = \frac{r+1}{6} + 3 = \frac{r+19}{6}$ है।
$k^2$ को एक पूर्ण वर्ग बनाने के लिए $r \in \{0, 1, ..., 35\}$ के मानों की जाँच करने पर:
यदि $r=5$,तो $k^2 = \frac{5+19}{6} = 4 \Rightarrow k = \pm 2$ है।
यदि $r=35$,तो $k^2 = \frac{35+19}{6} = 9 \Rightarrow k = \pm 3$ है।
अतः,क्रमित युग्म $(r, k)$ के मान $(5, 2), (5, -2), (35, 3), (35, -3)$ हैं।
कुल $4$ ऐसे क्रमित युग्म संभव हैं।

(A) अंकों ${1, 3, 5, 7, 9}$ का उपयोग करके $6$ अंकों की संख्या बनाने के लिए,एक अंक को ठीक दो बार दोहराया जाना चाहिए और अन्य चार अंकों को ठीक एक बार आना चाहिए।
चरण $1$: दोहराए जाने वाले अंक का चयन करें। $5$ विकल्प हैं $(^{5}C_{1})$।
चरण $2$: इन $6$ अंकों की व्यवस्था करें (जहाँ एक अंक दो बार दोहराया जाता है)। व्यवस्थाओं की संख्या $\frac{6!}{2!}$ द्वारा दी जाती है।
चरण $3$: ऐसी $6$ अंकों की कुल संख्याएँ $^{5}C_{1} \times \frac{6!}{2!} = 5 \times \frac{720}{2} = 5 \times 360 = 1800$ हैं।
नोट: $\frac{6!}{2!} = 360$,इसलिए $5 \times 360 = 1800$। विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$\frac{5}{2}(6!) = 5 \times 360 = 1800$।

(D) $'EXAMINATION'$ शब्द में $11$ अक्षर हैं: $A, A, I, I, N, N, E, X, M, T, O$।
यहाँ $8$ भिन्न अक्षर हैं: ${A, I, N, E, X, M, T, O}$।
अक्षरों की आवृत्ति: $A: 2, I: 2, N: 2, E: 1, X: 1, M: 1, T: 1, O: 1$।
हमें $4$ अक्षरों वाले शब्द बनाने हैं। स्थितियाँ इस प्रकार हैं:
$1$. दो एक प्रकार के अक्षर और दो दूसरे प्रकार के अक्षर:
चयन: $^3C_2 = 3$ तरीके।
क्रमचय: $3 \times \frac{4!}{2!2!} = 3 \times 6 = 18$ तरीके।
$2$. दो एक प्रकार के अक्षर और दो भिन्न अक्षर:
चयन: $^3C_1$ (जोड़े के लिए) $\times ^7C_2$ (दो भिन्न अक्षरों के लिए) $= 3 \times 21 = 63$ तरीके।
क्रमचय: $63 \times \frac{4!}{2!} = 63 \times 12 = 756$ तरीके।
$3$. चारों अक्षर भिन्न हों:
चयन: $^8C_4 = 70$ तरीके।
क्रमचय: $70 \times 4! = 70 \times 24 = 1680$ तरीके।
कुल शब्दों की संख्या $= 18 + 756 + 1680 = 2454$।

(D) $^{n}C_{r}$ का अधिकतम मान $r = \frac{n}{2}$ पर होता है यदि $n$ सम है,और $r = \frac{n-1}{2}$ या $r = \frac{n+1}{2}$ पर होता है यदि $n$ विषम है।
$a = ^{19}C_{p}$ के लिए,अधिकतम मान $p = 9$ या $10$ पर है,इसलिए $a = ^{19}C_{9} = ^{19}C_{10}$।
$b = ^{20}C_{q}$ के लिए,अधिकतम मान $q = 10$ पर है,इसलिए $b = ^{20}C_{10}$।
$c = ^{21}C_{r}$ के लिए,अधिकतम मान $r = 10$ या $11$ पर है,इसलिए $c = ^{21}C_{10} = ^{21}C_{11}$।
गुणधर्म $^{n}C_{r} = \frac{n}{r} \cdot ^{n-1}C_{r-1}$ का उपयोग करते हुए:
$b = ^{20}C_{10} = \frac{20}{10} \cdot ^{19}C_{9} = 2a$।
$c = ^{21}C_{10} = \frac{21}{11} \cdot ^{20}C_{10} = \frac{21}{11}b = \frac{21}{11}(2a) = \frac{42a}{11}$।
अतः,$a : b : c = a : 2a : \frac{42a}{11} = 11 : 22 : 42$।
इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि $\frac{a}{11} = \frac{b}{22} = \frac{c}{42}$।

(D) कुल कंचों की संख्या $= 5 + 4 + 3 = 12$ है।
हमें $4$ कंचे इस प्रकार चुनने हैं कि उनमें से अधिकतम $3$ लाल हों।
यह इसके बराबर है: (कुल $4$ कंचे चुनने के तरीके) - ($4$ लाल कंचे चुनने के तरीके)।
$12$ में से $4$ कंचे चुनने के कुल तरीके $^{12}C_{4} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 495$ हैं।
$5$ लाल कंचों में से $4$ लाल कंचे चुनने के तरीके $^{5}C_{4} = 5$ हैं।
अतः,अधिकतम $3$ लाल कंचे चुनने के तरीकों की संख्या $495 - 5 = 490$ है।

(A) पाँच अंकों की संख्या को $\_ \;\_\;\_\;\underline{2}\;\_$. के रूप में दर्शाया जा सकता है।
$10$ वें स्थान पर $2$ निश्चित है। चूँकि अंक भिन्न होने चाहिए,हम किसी अन्य स्थान पर $2$ का उपयोग नहीं कर सकते।
$1$. $10,000$ वें स्थान (प्रथम अंक) पर $0$ या $2$ नहीं हो सकता। अतः,$8$ विकल्प $(1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)$ हैं।
$2$. $1,000$ वें स्थान पर शेष $8$ अंकों में से कोई भी आ सकता है ($0$ सहित,लेकिन प्रथम स्थान पर उपयोग किए गए अंक और $2$ को छोड़कर)।
$3$. $100$ वें स्थान पर शेष $7$ अंकों में से कोई भी आ सकता है।
$4$. इकाई के स्थान पर शेष $6$ अंकों में से कोई भी आ सकता है।
ऐसी कुल पाँच अंकों की संख्याएँ $= 8 \times 8 \times 7 \times 6 = 2688$.
दिया गया है कि कुल संख्या $336k$ है,इसलिए $336k = 2688$.
$k = \frac{2688}{336} = 8$.

(D) $MOTHER$ शब्द के अक्षर $M, O, T, H, E, R$ हैं।
इन्हें वर्णमाला के क्रम में व्यवस्थित करने पर: $E, H, M, O, R, T$।
$1$. $E$ से शुरू होने वाले शब्द: $5! = 120$
$2$. $H$ से शुरू होने वाले शब्द: $5! = 120$
$3$. $M$ से शुरू होने वाले शब्द:
- $ME...$: $4! = 24$
- $MH...$: $4! = 24$
- $MOE...$: $3! = 6$
- $MOH...$: $3! = 6$
- $MOR...$: $3! = 6$
- $MOTE...$: $2! = 2$
- $MOTHER$: $1$
कुल स्थान = $120 + 120 + 24 + 24 + 6 + 6 + 6 + 2 + 1 = 309$.

(C) $n$ स्टेशनों को जोड़ियों में जोड़ने के कुल तरीके संचय सूत्र ${}^{n}C_{2}$ द्वारा दिए जाते हैं।
नीली रेखाओं की संख्या $n$ स्टेशनों द्वारा निर्मित बहुभुज की भुजाओं की संख्या के बराबर है,जो $n$ है।
लाल रेखाओं की संख्या बहुभुज के विकर्णों की संख्या के बराबर है,जो ${}^{n}C_{2} - n$ द्वारा दी जाती है।
प्रश्न के अनुसार,लाल रेखाओं की संख्या नीली रेखाओं की संख्या का $99$ गुना है:
${}^{n}C_{2} - n = 99n$
${}^{n}C_{2}$ के लिए सूत्र प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{n(n-1)}{2} - n = 99n$
दोनों पक्षों को $n$ से विभाजित करने पर (चूंकि $n > 2$):
$\frac{n-1}{2} - 1 = 99$
$\frac{n-1}{2} = 100$
$n - 1 = 200$
$n = 201$

(A) माना कि $3$-अंकीय संख्या $xyz$ है,जहाँ $x$ सैकड़ा का अंक,$y$ दहाई का अंक और $z$ इकाई का अंक है।
हमें शर्त दी गई है कि $x + y + z = 10$,जहाँ $x \in \{1, 2, \dots, 9\}$ और $y, z \in \{0, 1, \dots, 9\}$ है।
माना $T = x - 1$,इसलिए $x = T + 1$। चूँकि $1 \leq x \leq 9$,इसलिए $0 \leq T \leq 8$ है।
इसे समीकरण में रखने पर: $(T + 1) + y + z = 10 \implies T + y + z = 9$।
हमें $T + y + z = 9$ के लिए ऐसे गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हल खोजने हैं जहाँ $T \leq 8$,$y \leq 9$ और $z \leq 9$ हो।
बिना किसी प्रतिबंध के कुल हलों की संख्या $\binom{n+r-1}{r-1}$ सूत्र द्वारा दी जाती है,जहाँ $n=9$ और $r=3$: $\binom{9+3-1}{3-1} = \binom{11}{2} = \frac{11 \times 10}{2} = 55$।
अब,उन स्थितियों को घटाते हैं जो शर्तों का उल्लंघन करती हैं:
$1$. यदि $T = 9$ है,तो $y=0$ और $z=0$ होगा। यह $1$ स्थिति है ($x=10$,जो संभव नहीं है)।
$2$. यदि $y > 9$ या $z > 9$ है,तो ऐसी कोई स्थिति नहीं है क्योंकि योग केवल $9$ है।
अतः,कुल मान्य $3$-अंकीय संख्याएँ $55 - 1 = 54$ हैं।