$20$ लड़कों की कक्षा में निम्नलिखित पुरस्कार कितनी तरह से दिए जा सकते हैं: गणित में प्रथम और द्वितीय,भौतिकी में प्रथम और द्वितीय,रसायन विज्ञान में प्रथम और अंग्रेजी में प्रथम?

'$OPTICAL$' शब्द के अक्षरों को कितने अलग-अलग तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है ताकि स्वर हमेशा एक साथ आएं?

$1, 2, 3, 4$ अंकों का उपयोग करके चार अंकों की संख्याएँ बनाई जाती हैं (पुनरावृत्ति की अनुमति है)। $11$ से विभाज्य ऐसी चार अंकों की संख्याओं की संख्या है

यदि एक बहुभुज में $44$ विकर्ण हैं,तो इसकी भुजाओं की संख्या है

$P_1$ और $P_2$ दो अलग और प्रतिच्छेदी समतल हैं। तीन असंरेख बिंदु $P_1$ पर स्थित हैं और अन्य तीन असंरेख बिंदु $P_2$ पर स्थित हैं (कोई भी बिंदु समतलों की प्रतिच्छेदन रेखा पर नहीं है)। तो इन छह बिंदुओं का उपयोग करके बनने वाले चतुष्फलकों (tetrahedrons) की अधिकतम संख्या है:

$5$ सेब,$4$ आम,$3$ संतरे और $2$ अन्य प्रकार के फलों में से प्रत्येक का $1$ फल है। प्रत्येक प्रकार का कम से कम एक फल चुनने के तरीकों की संख्या क्या है?