यदि $a_n = \sum_{r = 0}^n \frac{1}{^nC_r}$ है,तो $\sum_{r = 0}^n \frac{r}{^nC_r}$ का मान ज्ञात कीजिए।

अंकों $1, 2, 3, 4, 3, 2, 1$ की सहायता से ऐसी कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती हैं कि विषम अंक हमेशा विषम स्थानों पर ही रहें?

$3$ लड़कों और $3$ लड़कियों को एक गोल मेज के चारों ओर बैठाया जाना है। लड़कों में,$X$ किसी भी लड़की को पड़ोसी के रूप में नहीं चाहता है,और लड़कियों में,$Y$ किसी भी लड़के को पड़ोसी के रूप में नहीं चाहती है। ऐसी कितनी व्यवस्थाएं संभव हैं?

यदि $^{12}P_r = 1320$ है,तो $r$ का मान क्या होगा?

$4$ पुस्तकें,जिनमें रसायन विज्ञान,भौतिकी,जीव विज्ञान और गणित की $1-1$ पुस्तक है,को एक शेल्फ पर व्यवस्थित किया जाना है। इसे कितने तरीकों से किया जा सकता है?

'$MATHEMATICS$' शब्द के चार अक्षरों को कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है?