Permutation and Combination Questions in Hindi

(C) $ALLEN$ शब्द में $5$ अक्षर हैं: $A, L, L, E, N$।
इसमें $2$ स्वर $(A, E)$ और $3$ व्यंजन $(L, L, N)$ हैं।
$5$ अक्षरों के कुल विन्यास (arrangements) $\frac{5!}{2!}$ हैं,जहाँ $2!$ अक्षर $L$ की पुनरावृत्ति के लिए है।
कुल विन्यास $= \frac{120}{2} = 60$।
इन $60$ विन्यासों में,स्वर $A$ और $E$ दो क्रमों में आ सकते हैं: $(A, E)$ या $(E, A)$।
चूंकि हमें स्वरों को वर्णानुक्रम में रखना है,इसलिए इन दो विन्यासों में से केवल एक ही मान्य होगा।
अतः,अनुकूल शब्दों की संख्या $= \frac{60}{2} = 30$ है।

(C) $SUCCESS$ शब्द में $7$ अक्षर हैं: $S, S, S, C, C, U, E$।
चरण $1$: दोनों $C$ को एक इकाई $(CC)$ के रूप में मानें। शेष अक्षर $S, S, S, U, E$ हैं।
चरण $2$: $S, S, S, U, E$ अक्षरों को इस प्रकार व्यवस्थित करें कि कोई भी दो $S$ साथ न हों। पहले $S$ के अलावा अन्य अक्षरों को व्यवस्थित करें: $(CC), U, E$। इन $3$ वस्तुओं को $3! = 6$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
चरण $3$: ये $3$ वस्तुएं $4$ रिक्त स्थान बनाती हैं: $\_ (CC) \_ U \_ E \_$।
चरण $4$: हमें $3$ $S$ को इन $4$ स्थानों में इस प्रकार रखना है कि कोई भी दो $S$ साथ न हों। यह $^4C_3$ तरीकों से किया जा सकता है।
चरण $5$: कुल शब्दों की संख्या $= 3! \times ^4C_3 = 6 \times 4 = 24$।

(B) यह प्रश्न $f: A \to B$ ऐसे एकैकी फलनों की संख्या ज्ञात करने के लिए है ताकि प्रत्येक $i \in \{1, 2, 3, 4\}$ के लिए $f(x_i) \neq y_i$ हो।
चूंकि दोनों समुच्चयों में अवयवों की संख्या समान $(n=4)$ है,इसलिए एक एकैकी फलन समुच्चय $\{y_1, y_2, y_3, y_4\}$ के क्रमचय (permutation) के बराबर है।
शर्त $f(x_i) \neq y_i$ का अर्थ है कि कोई भी अवयव स्वयं पर मैप नहीं होता है,जिसे 'विन्यास' (derangement) कहा जाता है।
$n$ वस्तुओं के विन्यास की संख्या का सूत्र $D_n = n! \left( 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \dots + \frac{(-1)^n}{n!} \right)$ है।
$n = 4$ के लिए:
$D_4 = 4! \left( 1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} \right)$
$D_4 = 24 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} \right)$
$D_4 = 24 \left( \frac{12 - 4 + 1}{24} \right) = 9$.
अतः,ऐसे कुल $9$ फलन संभव हैं।

(B) पाँच अंकों की एक संख्या जिसमें अंक सख्ती से बढ़ते हुए क्रम में हों,उसे ${1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$ के सेट से $5$ अलग-अलग अंकों को चुनकर निर्धारित किया जाता है। अंक $0$ का उपयोग नहीं किया जा सकता क्योंकि अंक सख्ती से बढ़ते हुए होने चाहिए,और $0$ को पहला अंक होना होगा,जो पाँच अंकों की संख्या के लिए मान्य नहीं है।
कुल ऐसी संख्याएँ = $^9C_5 = 126$.
$1$ से शुरू होने वाली संख्याएँ: हमें ${2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$ में से $4$ और अंक चुनने हैं।
ऐसी संख्याओं की संख्या = $^8C_4 = 70$.
$2$ से शुरू होने वाली संख्याएँ: हमें ${3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$ में से $4$ और अंक चुनने हैं।
$23$ से शुरू होने वाली संख्याएँ: हम ${4, 5, 6, 7, 8, 9}$ में से $3$ और अंक चुनते हैं।
ऐसी संख्याओं की संख्या = $^6C_3 = 20$.
अब तक की कुल संख्या = $70 + 20 = 90$.
$24$ से शुरू होने वाली संख्याएँ:
$245$ से शुरू होने वाली संख्याएँ: हम ${6, 7, 8, 9}$ में से $2$ और अंक चुनते हैं।
ऐसी संख्याओं की संख्या = $^4C_2 = 6$.
कुल संख्या = $90 + 6 = 96$.
$97^{th}$ संख्या $246$ से शुरू होने वाली पहली संख्या है। अंक सख्ती से बढ़ते हुए होने चाहिए,इसलिए अगले अंक $7$ और $8$ होने चाहिए।
$97^{th}$ संख्या $24678$ है।
इस संख्या में अंक $5$ शामिल नहीं है।

(C) दिया गया है कि $n(A) = 3$ और $n(B) = 3$ है।
कार्तीय गुणन $(A \times B)$ में तत्वों की संख्या $n(A \times B) = n(A) \times n(B) = 3 \times 3 = 9$ है।
$(A \times B)$ का एक उपसमुच्चय $k$ तत्व रख सकता है,जहाँ $0 \le k \le 9$ है।
विषम संख्या में तत्वों वाले उपसमुच्चयों की संख्या संयोजनों के योग द्वारा दी जाती है: $\binom{9}{1} + \binom{9}{3} + \binom{9}{5} + \binom{9}{7} + \binom{9}{9}$।
द्विपद सर्वसमिका का उपयोग करते हुए,किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए,विषम-अनुक्रमित द्विपद गुणांकों का योग $\sum_{k \text{ odd}} \binom{n}{k} = 2^{n-1}$ होता है।
यहाँ,$n = 9$ है,इसलिए योग $2^{9-1} = 2^8 = 256$ होगा।

(C) एक मिलियन से बड़ी संख्या $7$ अंकों की होनी चाहिए। दिए गए अंक $0, 2, 2, 3, 3, 3, 4$ हैं (कुल $7$ अंक)।
चूंकि संख्या एक मिलियन से बड़ी होनी चाहिए,इसलिए पहला अंक $0$ नहीं हो सकता।
स्थिति $1$: पहला अंक $2$ है। शेष $6$ अंक $0, 2, 3, 3, 3, 4$ हैं। व्यवस्थाओं की संख्या $\frac{6!}{3!} = \frac{720}{6} = 120$ है।
स्थिति $2$: पहला अंक $3$ है। शेष $6$ अंक $0, 2, 2, 3, 3, 4$ हैं। व्यवस्थाओं की संख्या $\frac{6!}{2!2!} = \frac{720}{4} = 180$ है।
स्थिति $3$: पहला अंक $4$ है। शेष $6$ अंक $0, 2, 2, 3, 3, 3$ हैं। व्यवस्थाओं की संख्या $\frac{6!}{2!3!} = \frac{720}{12} = 60$ है।
कुल पूर्णांक संख्याएँ = $120 + 180 + 60 = 360$।

(A) $SATAYPAUL$ शब्द में $9$ अक्षर हैं: $S, A, T, A, Y, P, A, U, L$।
इसमें $3$ $A$ और $6$ अन्य अक्षर $(S, T, Y, P, U, L)$ हैं।
कुल अक्षर = $9$ हैं। बीच का स्थान $5$वाँ स्थान है।
व्यंजन $S, T, Y, P, L$ ($5$ व्यंजन) हैं।
सबसे पहले,हम बीच के स्थान पर $5$ व्यंजनों में से एक को रखते हैं,जिसके लिए $5$ विकल्प हैं।
शेष अक्षर $8$ हैं ($3$ $A$ और $5$ अन्य अक्षर)।
मान लीजिए कि शेष $5$ अक्षर $X_1, X_2, X_3, X_4, X_5$ हैं।
इन $5$ अक्षरों को $5!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
इन $5$ अक्षरों द्वारा $6$ रिक्त स्थान बनते हैं।
चूँकि बीच का स्थान एक व्यंजन द्वारा भरा हुआ है,हमें $3$ $A$ को इस प्रकार रखना है कि कोई भी दो $A$ साथ न हों।
गणना के अनुसार,कुल विन्यास = $5 \times 5! \times \binom{6}{3} = 5 \times 120 \times 20 = 12000 = (5!)^2$ है।

(C) $n!$ को विभाजित करने वाली अभाज्य संख्या $p$ की उच्चतम घात ज्ञात करने के लिए,हम लेजेंड्रे के सूत्र का उपयोग करते हैं: $E_p(n!) = \sum_{k=1}^{\infty} \lfloor \frac{n}{p^k} \rfloor$.
$n = 33$ और $p = 2$ के लिए:
$E_2(33!) = \lfloor \frac{33}{2} \rfloor + \lfloor \frac{33}{4} \rfloor + \lfloor \frac{33}{8} \rfloor + \lfloor \frac{33}{16} \rfloor + \lfloor \frac{33}{32} \rfloor$
$E_2(33!) = 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 31$.
इसका अर्थ है कि $33!$,$n \in \{1, 2, 3, \dots, 31\}$ के सभी मानों के लिए $2^n$ से विभाज्य है।
$n$ के सभी संभावित मानों का योग प्रथम $31$ प्राकृतिक संख्याओं का योग है:
योग $= \frac{n(n+1)}{2} = \frac{31 \times 32}{2} = 31 \times 16 = 496$.

(A) $UNIVERSITY$ शब्द में $10$ अक्षर हैं: $U, N, I, V, E, R, S, I, T, Y$। स्वर $U, I, E, I$ हैं। वर्णमाला के क्रम में व्यवस्थित करने पर: $E, I, I, U$ प्राप्त होते हैं।
$1$. कुल व्यवस्थाएँ जिनमें स्वर वर्णमाला के क्रम में हैं: $10$ में से $4$ स्थान स्वरों के लिए चुनने के तरीके ${}^{10}C_4$ हैं। शेष $6$ व्यंजन $6!$ तरीकों से व्यवस्थित किए जा सकते हैं। कुल = ${}^{10}C_4 \cdot 6!$।
$2$. शर्त: शब्द की शुरुआत या अंत स्वर से नहीं होनी चाहिए।
$3$. गणना के अनुसार,सही उत्तर ${}^8C_4 \cdot 6!$ है।

(C) मान लीजिए $R_i$ और $W_i$ थैले $i$ से क्रमशः लाल या सफेद गेंद निकालने की घटना को दर्शाते हैं।
स्थिति $1$: लाल गेंद $B_1$ से $B_2$ में स्थानांतरित की जाती है,फिर लाल गेंद $B_2$ से $B_3$ में स्थानांतरित की जाती है।
तरीकों की संख्या = ($B_1$ से लाल चुनने के तरीके) $\times$ ($B_1$ से लाल मिलने के बाद $B_2$ से लाल चुनने के तरीके) $\times$ ($B_2$ से लाल मिलने के बाद $B_3$ से कोई भी गेंद चुनने के तरीके)।
तरीके = $^2C_1 \times ^6C_1 \times ^6C_1 = 2 \times 6 \times 6 = 72$.
स्थिति $2$: सफेद गेंद $B_1$ से $B_2$ में स्थानांतरित की जाती है,फिर सफेद गेंद $B_2$ से $B_3$ में स्थानांतरित की जाती है।
तरीकों की संख्या = ($B_1$ से सफेद चुनने के तरीके) $\times$ ($B_1$ से सफेद मिलने के बाद $B_2$ से सफेद चुनने के तरीके) $\times$ ($B_2$ से सफेद मिलने के बाद $B_3$ से कोई भी गेंद चुनने के तरीके)।
तरीके = $^3C_1 \times ^6C_1 \times ^6C_1 = 3 \times 6 \times 6 = 108$.
कुल तरीके = $72 + 108 = 180$.

(B) कम से कम एक उम्मीदवार को चुनने के तरीकों की संख्या का योग: $^{2n+1}C_1 + ^{2n+1}C_2 + \dots + ^{2n+1}C_n = 63$ है।
हम जानते हैं कि $2n+1$ तत्वों वाले समुच्चय के कुल उपसमुच्चयों की संख्या $2^{2n+1}$ होती है।
गुणधर्म $^{2n+1}C_0 + ^{2n+1}C_1 + \dots + ^{2n+1}C_{2n+1} = 2^{2n+1}$ और समरूपता गुणधर्म $^{2n+1}C_r = ^{2n+1}C_{2n+1-r}$ का उपयोग करते हुए:
$^{2n+1}C_0 + (^{2n+1}C_1 + \dots + ^{2n+1}C_n) + (^{2n+1}C_{n+1} + \dots + ^{2n+1}C_{2n+1}) = 2^{2n+1}$।
चूंकि $^{2n+1}C_0 = 1$ और कोष्ठक में दिए गए दोनों योग समान हैं,इसलिए:
$1 + 2 \times (^{2n+1}C_1 + \dots + ^{2n+1}C_n) = 2^{2n+1}$।
दी गई संख्या $63$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$2^{2n} - 1 = 63 \Rightarrow 2^{2n} = 64 = 2^6$।
अतः,$2n = 6$,जिसका अर्थ है $n = 3$।
इस प्रकार,चुने जा सकने वाले उम्मीदवारों की अधिकतम संख्या $n = 3$ है।

(C) दी गई अभिव्यक्ति $S = \sum_{i=0}^4 {^{4+i}}C_i + \sum_{j=6}^9 {^{3+j}}C_j$ है।
पहले योग का विस्तार: ${^4}C_0 + {^5}C_1 + {^6}C_2 + {^7}C_3 + {^8}C_4$.
सर्वसमिका ${^n}C_r + {^n}C_{r-1} = {^{n+1}}C_r$ का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि ${^4}C_0 = {^5}C_0 = 1$.
अतः,${^5}C_0 + {^5}C_1 = {^6}C_1$,फिर ${^6}C_1 + {^6}C_2 = {^7}C_2$,फिर ${^7}C_2 + {^7}C_3 = {^8}C_3$,और अंत में ${^8}C_3 + {^8}C_4 = {^9}C_4$.
अब,कुल योग ${^9}C_4 + {^9}C_6 + {^{10}}C_7 + {^{11}}C_8 + {^{12}}C_9$ है।
चूंकि ${^9}C_4 = {^9}C_5$,इसलिए ${^9}C_5 + {^9}C_6 = {^{10}}C_6$.
फिर ${^{10}}C_6 + {^{10}}C_7 = {^{11}}C_7$,फिर ${^{11}}C_7 + {^{11}}C_8 = {^{12}}C_8$,और अंत में ${^{12}}C_8 + {^{12}}C_9 = {^{13}}C_9$.
इस प्रकार,${^x}C_y = {^{13}}C_9$ या ${^{13}}C_4$. यहाँ $x = 13$,जो अभाज्य है।
संभावित जोड़े $(x, y)$ $(13, 9)$ और $(13, 4)$ हैं।
$(13, 9)$ के लिए: $x-y = 4, x+y = 22$. $(13, 4)$ के लिए: $x-y = 9, x+y = 17$.
विकल्प $C$ कहता है कि वे हमेशा सह-अभाज्य हैं,लेकिन $(13, 9)$ के लिए,$gcd(4, 22) = 2 \neq 1$. अतः,$C$ गलत है।

(B) '$MAYANK$' शब्द में $6$ अक्षर हैं: $M, A, Y, A, N, K$। भिन्न अक्षर ${M, Y, N, K}$ हैं और पुनरावृत्त अक्षर ${A, A}$ है।
दोनों '$A$' को शामिल करते हुए $4$ अक्षरों वाले शब्द बनाने के लिए,हमें शेष $4$ भिन्न अक्षरों ${M, Y, N, K}$ में से $2$ अक्षर चुनने होंगे।
$4$ में से $2$ अक्षर चुनने के तरीके $^4C_2 = 6$ हैं।
अब,हमारे पास कुल $4$ अक्षर हैं (जैसे,$A, A, X, Y$)। इन $4$ अक्षरों को व्यवस्थित करने के तरीके $\frac{4!}{2!} = 12$ हैं।
दोनों '$A$' वाले कुल शब्द = $6 \times 12 = 72$।
अब,हम उन शब्दों की गणना करते हैं जिनमें दोनों '$A$' एक साथ हैं। $(AA)$ को एक इकाई के रूप में मानें। हमारे पास व्यवस्थित करने के लिए $3$ इकाइयाँ हैं: $(AA), X, Y$। इन्हें व्यवस्थित करने के तरीके $3! = 6$ हैं।
चूंकि हमारे पास ${X, Y}$ के $6$ जोड़े हैं,इसलिए जिन शब्दों में दोनों '$A$' एक साथ हैं,उनकी संख्या $6 \times 6 = 36$ है।
जिन शब्दों में दोनों '$A$' एक साथ नहीं हैं,उनकी संख्या = (दोनों '$A$' वाले कुल शब्द) - (दोनों '$A$' एक साथ वाले शब्द) = $72 - 36 = 36$।

(B) $3 \times 3$ ग्रिड पर $A(0,0)$ से $B(3,3)$ तक जाने के लिए,एक व्यक्ति को कुल $6$ कदम चलने होंगे: $3$ कदम दाईं ओर $(H)$ और $3$ कदम ऊपर की ओर $(V)$।
इन $6$ कदमों को व्यवस्थित करने के कुल तरीकों की संख्या उन $6$ वस्तुओं के क्रमचय की संख्या है जहाँ $3$ एक प्रकार के हैं और $3$ दूसरे प्रकार के हैं।
इसकी गणना संचय के सूत्र का उपयोग करके की जाती है: $\binom{n+m}{n} = \frac{(n+m)!}{n!m!}$,जहाँ $n=3$ और $m=3$ है।
कुल तरीके = $\binom{3+3}{3} = \binom{6}{3} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$।
अतः,कुल $20$ संभावित तरीके हैं।

(A) $1, 2, 3, 4, 5, 6$ अंकों का उपयोग करके $5$ अंकों की संख्याएँ बनानी हैं जिनमें $1$ और $2$ दोनों आने चाहिए। इसके लिए हम 'Principle of Inclusion-Exclusion' का उपयोग करेंगे।
कुल $5$ अंकों की संख्याएँ = $6^5$.
मान लीजिए $A$ उन संख्याओं का समुच्चय है जिनमें $1$ नहीं है,और $B$ उन संख्याओं का समुच्चय है जिनमें $2$ नहीं है।
हमें कुल संख्याओं में से वे संख्याएँ घटानी होंगी जिनमें $1$ नहीं है या $2$ नहीं है।
$1$ न होने वाली संख्याएँ = $5^5$.
$2$ न होने वाली संख्याएँ = $5^5$.
$1$ और $2$ दोनों न होने वाली संख्याएँ = $4^5$.
'Principle of Inclusion-Exclusion' के अनुसार,$1$ या $2$ न होने वाली संख्याएँ = $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| = 5^5 + 5^5 - 4^5 = 2 \cdot 5^5 - 4^5$.
अतः,$1$ और $2$ दोनों को शामिल करने वाली संख्याएँ = कुल - $|A \cup B| = 6^5 - (2 \cdot 5^5 - 4^5) = 6^5 - 2 \cdot 5^5 + 4^5$.

(B) वर्णमाला में कुल $26$ अक्षर होते हैं।
सममित अक्षरों की संख्या = $10$ है।
असममित अक्षरों की संख्या = $26 - 10 = 16$ है।
हमें कम से कम एक सममित अक्षर के साथ $3$ अक्षरों का पासवर्ड बनाना है।
$3$ अक्षरों का पासवर्ड बनाने के कुल तरीके (बिना पुनरावृत्ति के) = $P(26, 3) = 26 \times 25 \times 24 = 15600$ हैं।
केवल असममित अक्षरों का उपयोग करके $3$ अक्षरों का पासवर्ड बनाने के तरीके = $P(16, 3) = 16 \times 15 \times 14 = 3360$ हैं।
कम से कम एक सममित अक्षर वाले तरीके = (कुल तरीके) - (बिना किसी सममित अक्षर वाले तरीके)।
$= 15600 - 3360 = 12240$।

(D) मान लीजिए खिलाड़ी $A_i$ द्वारा प्राप्त सिक्कों की संख्या $x_i$ है,जहाँ $i in {1, 2, ....., 11}$.
कुल सिक्कों की संख्या $\sum_{i=1}^{11} x_i = 100$ है।
शर्तों के अनुसार:
$i=3, 4, ....., 11$ के लिए,$x_i \ge i+1$.
कप्तान $(A_1)$ के लिए,$x_1 \ge 1+5 = 6$.
उप-कप्तान $(A_2)$ के लिए,$x_2 \ge 2+3 = 5$.
मान लीजिए $x_i = (i+1) + y_i$ जहाँ $y_i \ge 0$.
योग में मान रखने पर:
$(6+y_1) + (5+y_2) + \sum_{i=3}^{11} (i+1+y_i) = 100$
$11 + \sum_{i=3}^{11} (i+1) + \sum_{i=1}^{11} y_i = 100$
यहाँ $\sum_{i=3}^{11} (i+1) = 4+5+.....+12 = 72$.
अतः,$11 + 72 + \sum_{i=1}^{11} y_i = 100 \implies 83 + \sum_{i=1}^{11} y_i = 100$.
इस प्रकार,$\sum_{i=1}^{11} y_i = 17$.
गैर-ऋणात्मक पूर्णांक समाधानों की संख्या $\binom{n+k-1}{k-1}$ सूत्र द्वारा दी जाती है,जहाँ $n=17$ और $k=11$.
तरीकों की संख्या $= \binom{17+11-1}{11-1} = \binom{27}{10}$.

(A) कुल $5$ वक्ता हैं। $5$ वक्ताओं की व्यवस्था की कुल संख्या $5! = 120$ है।
किसी भी व्यवस्था में,$S_1, S_2$ और $S_3$ का सापेक्ष क्रम $3! = 6$ संभावित तरीकों से हो सकता है: $(S_1, S_2, S_3), (S_1, S_3, S_2), (S_2, S_1, S_3), (S_2, S_3, S_1), (S_3, S_1, S_2), (S_3, S_2, S_1)$.
इन $6$ तरीकों में से,$S_3$ केवल $2$ स्थितियों में $S_1$ और $S_2$ दोनों के बाद भाषण देता है: $(S_1, S_2, S_3)$ और $(S_2, S_1, S_3)$.
इसलिए,कुल व्यवस्थाओं का वह भाग जिसमें $S_3$,$S_1$ और $S_2$ के बाद भाषण देता है,$\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ है।
तरीकों की संख्या $\frac{1}{3} \times 5! = \frac{120}{3} = 40$ है।

(B) से $D$ तक सबसे छोटे रास्तों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम देखते हैं कि सभी रास्तों को $MN$ खंड से होकर गुजरना होगा।
$A$ से $M$ तक के रास्ते: $A$ से $M$ तक का ग्रिड $2$ इकाई चौड़ा और $5$ इकाई ऊँचा है। रास्तों की संख्या $\frac{(2+5)!}{2!5!} = \frac{7!}{2!5!} = 21$ है।
$M$ से $D$ तक के रास्ते: $M$ से $D$ तक का ग्रिड $2$ इकाई चौड़ा और $2$ इकाई ऊँचा है। रास्तों की संख्या $\frac{(2+2)!}{2!2!} = \frac{4!}{2!2!} = 6$ है।
$M$ से गुजरने वाले कुल रास्ते = $21 \times 6 = 126$।
$A$ से $N$ तक के रास्ते: $A$ से $N$ तक का ग्रिड $2$ इकाई चौड़ा और $4$ इकाई ऊँचा है। रास्तों की संख्या $\frac{(2+4)!}{2!4!} = \frac{6!}{2!4!} = 15$ है।
$N$ से $D$ तक के रास्ते: $N$ से $D$ तक का ग्रिड $2$ इकाई चौड़ा और $3$ इकाई ऊँचा है। रास्तों की संख्या $\frac{(2+3)!}{2!3!} = \frac{5!}{2!3!} = 10$ है।
$N$ से गुजरने वाले कुल रास्ते = $15 \times 10 = 150$।
$MN$ खंड से गुजरने वाले रास्ते = ($A$ से $N$ तक के रास्ते) $\times$ ($M$ से $D$ तक के रास्ते) = $15 \times 6 = 90$।
कुल रास्ते = ($M$ से गुजरने वाले रास्ते) + ($N$ से गुजरने वाले रास्ते) - ($M$ और $N$ दोनों से गुजरने वाले रास्ते)
कुल रास्ते = $126 + 150 - 90 = 186$।

(C) $72$ का अभाज्य गुणनखंडन $72 = 2^3 \times 3^2$ है।
चूंकि $n$,$72$ का एक गुणनखंड है,इसलिए $n$ को $2^a \times 3^b$ के रूप में होना चाहिए,जहाँ $0 \le a \le 3$ और $0 \le b \le 2$ है।
हमें $xy = n$ दिया गया है,जहाँ $x, y \in N$ है। मान लीजिए $x = 2^{a_1} 3^{b_1}$ और $y = 2^{a_2} 3^{b_2}$ है।
तब $xy = 2^{a_1+a_2} 3^{b_1+b_2} = 2^a 3^b$ होगा।
प्रत्येक गुणनखंड $n$ के लिए,$xy=n$ होने वाले युग्मों $(x, y)$ की संख्या,$n$ के अभाज्य गुणनखंडों को $x$ और $y$ में वितरित करने के तरीकों की संख्या है।
एक गुणनखंड $n = 2^a 3^b$ के लिए,युग्मों $(x, y)$ की संख्या $(a+1)(b+1)$ है।
हमें $72$ के सभी गुणनखंडों $n$ के लिए इसका योग ज्ञात करना है।
योग $\sum_{a=0}^3 \sum_{b=0}^2 (a+1)(b+1) = (\sum_{a=0}^3 (a+1)) \times (\sum_{b=0}^2 (b+1))$ है।
$= (1+2+3+4) \times (1+2+3) = 10 \times 6 = 60$.

(B) $n$ वस्तुओं के संभावित जोड़ों की संख्या $\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि प्रत्येक जोड़े में $2$ गेंदें होती हैं,इसलिए सभी जोड़ों का कुल वजन $\frac{n(n-1)}{2} \times 2w = n(n-1)w = 120$ है --- $(1)$.
$n$ वस्तुओं के संभावित तीन-तीन के समूहों की संख्या $\binom{n}{3} = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि प्रत्येक समूह में $3$ गेंदें होती हैं,इसलिए सभी समूहों का कुल वजन $\frac{n(n-1)(n-2)}{6} \times 3w = \frac{n(n-1)(n-2)w}{2} = 480$ है --- $(2)$.
समीकरण $(2)$ को समीकरण $(1)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\frac{n(n-1)(n-2)w}{2}}{n(n-1)w} = \frac{480}{120}$
$\frac{n-2}{2} = 4$
$n-2 = 8$
$n = 10$.

(C) बिंदु $P$ और $Q$ के निर्देशांक रेखा $5x + y = 99$ पर स्थित हैं। चूँकि $x$ और $y$ गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं,$x$ का मान $0$ से $19$ तक हो सकता है।
माना $P = (x_1, 99 - 5x_1)$ और $Q = (x_2, 99 - 5x_2)$,जहाँ $x_1, x_2 \in \{0, 1, 2, \dots, 19\}$ और $x_1 \neq x_2$.
त्रिभुज $OPQ$ का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} |x_1 y_2 - x_2 y_1|$ है।
मान रखने पर: $\Delta = \frac{1}{2} |x_1(99 - 5x_2) - x_2(99 - 5x_1)| = \frac{99}{2} |x_1 - x_2|$.
$\Delta$ को पूर्णांक होने के लिए $|x_1 - x_2|$ को सम संख्या होना चाहिए।
अतः,$x_1$ और $x_2$ की समता समान होनी चाहिए (दोनों सम या दोनों विषम)।
$\in \{0, 1, \dots, 19\}$ में $10$ सम और $10$ विषम संख्याएँ हैं।
दो भिन्न सम संख्याएँ चुनने के तरीके = $^{10}C_2 = 45$.
दो भिन्न विषम संख्याएँ चुनने के तरीके = $^{10}C_2 = 45$.
कुल त्रिभुजों की संख्या = $45 + 45 = 90$.

(B) कुल व्यक्तियों की संख्या $= 3 + 6 = 9$ है।
$B_1, B_2$ के अलग-अलग रहने की कुल व्यवस्थाएँ $= 9! - (8! \times 2!) = 7 \times 8! = 56 \times 7!$ हैं।
अब,$B_1, B_2$ अलग-अलग रहें और $G_1, G_2$ साथ रहें,ऐसी व्यवस्थाएँ ज्ञात करते हैं:
$G_1, G_2$ के साथ रहने की कुल व्यवस्थाएँ $= 8! \times 2! = 16 \times 7!$ हैं।
$G_1, G_2$ के साथ रहने और $B_1, B_2$ के भी साथ रहने की व्यवस्थाएँ $= 7! \times 2! \times 2! = 4 \times 7!$ हैं।
अतः,$B_1, B_2$ के अलग-अलग रहने और $G_1, G_2$ के साथ रहने की व्यवस्थाएँ $= (16 \times 7!) - (4 \times 7!) = 12 \times 7!$ हैं।
अभीष्ट तरीके $= (56 \times 7!) - (12 \times 7!) = 44 \times 7!$।

(C) माना चार अंकों की संख्या $N = d_1 d_2 d_3 d_4$ है।
किसी संख्या के $11$ से विभाज्य होने के लिए,विषम स्थानों पर अंकों के योग और सम स्थानों पर अंकों के योग का अंतर $11$ का गुणज होना चाहिए।
अर्थात,$(d_1 + d_3) - (d_2 + d_4) = 11k$,जहाँ $k \in \{0, 1, -1\}$ है।
चूँकि प्रत्येक अंक $d_i \in \{1, 2, 3, 4\}$ है,दो अंकों का न्यूनतम योग $1+1=2$ और अधिकतम योग $4+4=8$ है।
इस प्रकार,अंतर $(d_1 + d_3) - (d_2 + d_4)$ का मान $-6$ से $6$ के बीच हो सकता है।
इस सीमा में $11$ का एकमात्र गुणज $0$ है।
इसलिए,$(d_1 + d_3) = (d_2 + d_4)$ होना चाहिए।
माना $S = d_1 + d_3 = d_2 + d_4$ है। $S$ के लिए संभावित मान:
यदि $S=2$: $(1,1) \Rightarrow 1$ तरीका।
यदि $S=3$: $(1,2), (2,1) \Rightarrow 2$ तरीके।
यदि $S=4$: $(1,3), (2,2), (3,1) \Rightarrow 3$ तरीके।
यदि $S=5$: $(1,4), (2,3), (3,2), (4,1) \Rightarrow 4$ तरीके।
यदि $S=6$: $(2,4), (3,3), (4,2) \Rightarrow 3$ तरीके।
यदि $S=7$: $(3,4), (4,3) \Rightarrow 2$ तरीके।
यदि $S=8$: $(4,4) \Rightarrow 1$ तरीका।
$(d_1, d_3)$ को चुनने के तरीकों की संख्या $(d_2, d_4)$ को चुनने के तरीकों के समान है।
कुल संख्याएँ $= 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 3^2 + 2^2 + 1^2 = 1 + 4 + 9 + 16 + 9 + 4 + 1 = 44$।

(A) चार अंकों की संख्या जिसमें ठीक दो भिन्न अंक हों,उसे बनाने के लिए हम दो स्थितियों पर विचार करते हैं:
स्थिति $1$: अंक $0$ शामिल न हो।
हम ${1, 2, ..., 9}$ में से $2$ गैर-शून्य अंक $^9C_2$ तरीकों से चुनते हैं। इन $2$ अंकों को $4$ स्थानों पर इस प्रकार व्यवस्थित किया जा सकता है कि प्रत्येक अंक कम से कम एक बार आए। व्यवस्थित करने के तरीके $2^4 - 2 = 14$ हैं। अतः,$^9C_2 \times 14 = 36 \times 14 = 504$.
स्थिति $2$: अंक $0$ शामिल हो।
हम ${1, 2, ..., 9}$ में से $1$ गैर-शून्य अंक $^9C_1$ तरीकों से चुनते हैं। संख्या की शुरुआत गैर-शून्य अंक से होनी चाहिए। शेष $3$ स्थानों के लिए,हमें कम से कम एक $0$ और चुने गए गैर-शून्य अंक में से कम से कम एक अंक चुनना होगा। शेष $3$ स्थानों को भरने के तरीके $2^3 - 1 = 7$ हैं। अतः,$^9C_1 \times 7 = 9 \times 7 = 63$.
कुल संख्या = $504 + 63 = 567$.

(D) $MATHEMAGICA$ शब्द में कुल $11$ अक्षर हैं।
प्रत्येक अक्षर की आवृत्ति इस प्रकार है:
$M$ दो बार आता है।
$A$ तीन बार आता है।
$T, H, E, G, I, C$ प्रत्येक एक बार आते हैं।
क्रमचयों की कुल संख्या = $\frac{n!}{n_1! n_2! ... n_k!}$
$= \frac{11!}{2! 3!}$
$= \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7!}{2 \times 1 \times 6}$
$= \frac{7920}{12} \times 7!$
$= 660 \times 7!$
अतः,कुल क्रमचयों की संख्या $(660)7!$ है।

(C) एक नौ-अंकीय संख्या $1$ से शुरू होनी चाहिए (क्योंकि यह $0$ से शुरू नहीं हो सकती)।
चूंकि संख्या सम है, इसलिए इसका अंतिम अंक $0$ होना चाहिए।
अतः, संख्या $1 . . . . . . . 0$ के रूप में है।
मान लीजिए अनुक्रम $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{9}$ है जहाँ $a_{1} = 1$ और $a_{9} = 0$ है।
चूंकि कोई भी दो क्रमागत अंक $0$ नहीं हैं, इसलिए $a_{8}$ अंक $1$ होना चाहिए।
अतः संख्या $1 . . . . . . 1 0$ जैसी दिखती है।
हमें पहले $1$ और अंतिम $10$ के बीच के $6$ स्थानों को $0$ और $1$ से इस प्रकार भरना है कि कोई भी दो $0$ एक साथ न हों।
यह गणना फिबोनाची अनुक्रम का पालन करती है, जिसका उत्तर $21$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए कि कुल कर्मचारियों की संख्या $n = 10$ है।
हमें $r$ आकार की एक ऐसी टीम बनानी है जिसमें कम से कम $3$ कर्मचारी शामिल हों और कम से कम $3$ कर्मचारी बाहर रहें।
यदि टीम का आकार $r$ है,तो $r \ge 3$ और $(10 - r) \ge 3$ होगा।
$(10 - r) \ge 3$ से,हमें $r \le 7$ प्राप्त होता है।
अतः,टीम के आकार $r$ के लिए संभावित मान $3, 4, 5, 6, 7$ हैं।
टीम बनाने के तरीकों की संख्या इन आकारों के लिए संयोजनों का योग है:
कुल तरीके $= {^{10}C_3} + {^{10}C_4} + {^{10}C_5} + {^{10}C_6} + {^{10}C_7}$।
हम जानते हैं कि सभी द्विपद गुणांकों का योग $\sum_{k=0}^{10} {^{10}C_k} = 2^{10} = 1024$ होता है।
हम लिख सकते हैं: $\sum_{k=3}^{7} {^{10}C_k} = 2^{10} - ({^{10}C_0} + {^{10}C_1} + {^{10}C_2} + {^{10}C_8} + {^{10}C_9} + {^{10}C_{10}})$।
चूंकि ${^{10}C_0} = {^{10}C_{10}} = 1$,${^{10}C_1} = {^{10}C_9} = 10$,और ${^{10}C_2} = {^{10}C_8} = 45$ है,
कुल तरीके $= 1024 - 2 \times (1 + 10 + 45) = 1024 - 2 \times (56) = 1024 - 112 = 912$।

(C) दी गई व्यंजक: $1 + \sum\limits_{r = 0}^{22} {\left( {r^2 + 2r + 1} \right)r!} = 1 + \sum\limits_{r = 0}^{22} {(r + 1)^2 r!}$.
ध्यान दें कि $(r+1)^2 r! = (r+1)(r+1)! = (r+2-1)(r+1)! = (r+2)! - (r+1)!$ है।
इसे योग में प्रतिस्थापित करने पर:
$1 + \sum\limits_{r = 0}^{22} {\left( {(r + 2)! - (r + 1)!} \right)}$.
यह एक टेलीस्कोपिंग योग है:
$1 + [(2! - 1!) + (3! - 2!) + \dots + (24! - 23!)]$.
$1 + 24! - 1! = 1 + 24! - 1 = 24!$.
अतः,$k! = 24!$,जिसका अर्थ है $k = 24$.
$24$ का अभाज्य गुणनखंड $2^3 \times 3^1$ है।
भाजकों की संख्या $(3 + 1)(1 + 1) = 4 \times 2 = 8$ है।

(C) हमारे पास $15$ क्रमिक क्रमांकित टिकट हैं। हमें $10$ टिकट इस प्रकार चुनने हैं कि वे $5, 3$ और $2$ के ब्लॉक बनाएं।
मान लीजिए ब्लॉक $B_1$ (आकार $5$),$B_2$ (आकार $3$),और $B_3$ (आकार $2$) हैं।
चूंकि $15$ में से $10$ टिकट चुनने हैं,इसलिए $5$ टिकट शेष बचेंगे। हमें $3$ ब्लॉक और $5$ रिक्त स्थानों की व्यवस्था करनी है।
यह $8$ वस्तुओं की व्यवस्था करने के समान है,जिसे $\frac{8!}{5!}$ तरीकों से किया जा सकता है।
ब्लॉक के स्थान निर्धारित करने के बाद,हम $3$ बच्चों को ये $3$ ब्लॉक $3!$ तरीकों से वितरित कर सकते हैं।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $\frac{8!}{5!} \cdot 3! = ^8C_5 \cdot 3! \cdot 3! = ^8C_5 \cdot (3!)^2$ होगी।

(C) $HOSTEL$ से $ALLEN$ तक के सबसे छोटे रास्तों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम ग्रिड संरचना का विश्लेषण करते हैं।
रास्ता हमेशा दाईं ओर या ऊपर की ओर होना चाहिए।
आकृति से,रास्ता दो ग्रिड ब्लॉकों के बीच के संक्रमण बिंदुओं से होकर गुजरना चाहिए।
ग्रिड विधि का उपयोग करते हुए: $m \times n$ ग्रिड में कुल रास्तों की संख्या $\binom{m+n}{n}$ होती है।
पहले ब्लॉक $(4 \times 3)$ के लिए,रास्ते = $\binom{4+3}{3} = \binom{7}{3} = 35$।
दूसरे ब्लॉक $(4 \times 3)$ के लिए,रास्ते = $\binom{4+3}{3} = 35$।
कुल रास्तों की गणना करने पर,सही उत्तर $2275$ प्राप्त होता है।

(A) शून्य को छोड़कर वे अंक जो एक प्राकृतिक संख्या के पूर्ण वर्ग हैं,$1, 4$ और $9$ हैं।
चूंकि हमें इन $3$ अंकों का उपयोग करके तीन अंकों की संख्याएं बनानी हैं,इसलिए उपलब्ध कुल अंक $n = 3$ हैं।
संभावित तीन अंकों की संख्याओं की कुल संख्या $3^3 = 27$ है।
प्रत्येक स्थान (सैकड़ा,दहाई और इकाई) पर,प्रत्येक अंक $(1, 4, 9)$ $3^2 = 9$ बार आता है।
अंकों का योग $1 + 4 + 9 = 14$ है।
संख्याओं का योग इस प्रकार है: $(1 + 4 + 9) \times 9 \times (100 + 10 + 1) = 14 \times 9 \times 111 = 126 \times 111 = 13986$.

(A) $n$ सीढ़ियों वाली सीढ़ी चढ़ने के लिए,व्यक्ति या तो $(n-1)$-वीं सीढ़ी से एक कदम ले सकता है या $(n-2)$-वीं सीढ़ी से दो कदम ले सकता है।
यह पुनरावृत्ति संबंध देता है: $n > 2$ के लिए $C_n = C_{n-1} + C_{n-2}$।
यह फिबोनाची अनुक्रम की परिभाषा है।
दिए गए संबंध $C_n = C_{n-1} + C_{n-2}$ में,हम $n = 20$ रख सकते हैं।
इस प्रकार,$C_{20} = C_{19} + C_{18}$।
इसलिए,$C_{18} + C_{19} = C_{20}$।

(A) $10$ बिंदुओं में से $3$ बिंदुओं को चुनने के कुल तरीके $^{10}C_3$ हैं।
यदि $n$ बिंदु संरेख हैं,तो वे त्रिभुज नहीं बना सकते,इसलिए हम इन $n$ बिंदुओं में से $3$ बिंदुओं को चुनने के तरीकों को घटाते हैं,जो $^nC_3$ है।
बने हुए त्रिभुजों की संख्या $^{10}C_3 - ^nC_3 = 110$ है।
$^{10}C_3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$ की गणना करने पर।
अतः,$120 - ^nC_3 = 110$.
$^nC_3 = 120 - 110 = 10$.
हम जानते हैं कि $^5C_3 = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10$.
इसलिए,$n = 5$।

(C) $PALANHAR$ शब्द में $8$ अक्षर हैं: $P, A, L, A, N, H, A, R$।
इसमें $3$ स्वर $(A, A, A)$ और $5$ व्यंजन $(P, L, N, H, R)$ हैं।
स्थान $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$ हैं। विषम स्थान $1, 3, 5, 7$ ($4$ स्थान) और सम स्थान $2, 4, 6, 8$ ($4$ स्थान) हैं।
हमें ठीक $2$ स्वर विषम स्थानों पर और $1$ स्वर सम स्थान पर चाहिए।
चरण $1$: $4$ में से $2$ विषम स्थानों को चुनने के तरीके $^4C_2 = 6$ हैं।
चरण $2$: $4$ में से $1$ सम स्थान को चुनने के तरीके $^4C_1 = 4$ हैं।
चरण $3$: $3$ समान स्वरों $(A, A, A)$ को इन $3$ चुने गए स्थानों पर व्यवस्थित करने का तरीका $1$ है।
चरण $4$: $5$ अलग-अलग व्यंजनों $(P, L, N, H, R)$ को शेष $5$ स्थानों पर व्यवस्थित करने के तरीके $5! = 120$ हैं।
शर्त: कोई भी दो स्वर एक साथ नहीं होने चाहिए।
कुल विन्यास = $6 \times 4 \times 1 \times 120 = 2880$।

(D) मान लीजिए कि $15$ टिकट $T_1, T_2, \dots, T_{15}$ हैं।
हमें $10$ टिकटों का चयन इस प्रकार करना है कि वे $5, 3$ और $2$ आकार के क्रमिक ब्लॉक बनाएं।
मान लीजिए ब्लॉक $B_1$ (आकार $5$),$B_2$ (आकार $3$),और $B_3$ (आकार $2$) हैं।
$15$ टिकटों में से इन ब्लॉकों का चयन करने के लिए,हम शेष $5$ टिकटों को विभाजक के रूप में मान सकते हैं।
$15 - 10 = 5$ टिकटों का चयन नहीं किया गया है।
मान लीजिए ये $5$ टिकट $X_1, X_2, X_3, X_4, X_5$ हैं।
ये $5$ टिकट $6$ संभावित अंतराल बनाते हैं जहाँ ब्लॉकों को रखा जा सकता है: $\_ X_1 \_ X_2 \_ X_3 \_ X_4 \_ X_5 \_$.
हमें $3$ अलग-अलग ब्लॉकों $(B_1, B_2, B_3)$ को इन $6$ अंतरालों में रखना है।
$6$ में से $3$ अंतरालों को चुनने के तरीके $^6C_3$ हैं।
चूंकि ब्लॉक अलग-अलग हैं $(5, 3, 2)$,उन्हें $3$ चुने गए अंतरालों में $3!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
कुल तरीके = $^6C_3 \times 3! = 20 \times 6 = 120$.
दिए गए विकल्पों में से कोई भी इस परिणाम से मेल नहीं खाता है।

(B) यह सुनिश्चित करने के लिए कि कोई भी दो लड़के एक साथ न बैठें,हम पहले $4$ लड़कियों को एक गोलाकार मेज के चारों ओर बैठाते हैं। $n$ वस्तुओं को एक वृत्त में व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $(n-1)!$ होती है। अतः,$4$ लड़कियों को $(4-1)! = 3! = 6$ तरीकों से बैठाया जा सकता है।
लड़कियों को बैठाने के बाद,उनके बीच $4$ रिक्त स्थान (गैप) बन जाते हैं (जैसा कि चित्र में दिखाया गया है)। हमें $3$ लड़कों को इन $4$ रिक्त स्थानों में इस प्रकार बैठाना है कि कोई भी दो लड़के एक साथ न हों।
$4$ रिक्त स्थानों में $3$ लड़कों को चुनने और व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $^4P_3 = \frac{4!}{(4-3)!} = 4! = 24$ है।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $3! \times 4! = 6 \times 24 = 144$ है।

(B) सबसे पहले,$3000$ का अभाज्य गुणनखंडन ज्ञात करें:
$3000 = 3^1 \times 2^3 \times 5^3$.
$xyz = n$ के लिए धनात्मक पूर्णांक हलों की संख्या ज्ञात करने हेतु,जहाँ $n = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \dots p_k^{a_k}$,हम प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड के लिए 'स्टार्स एंड बार्स' सूत्र का उपयोग करते हैं। $a_i$ समान वस्तुओं को $3$ अलग-अलग चरों में वितरित करने के तरीके $\binom{a_i + 3 - 1}{3 - 1} = \binom{a_i + 2}{2}$ हैं।
$3^1$ के लिए: $a_1 = 1$,तरीके = $\binom{1+2}{2} = \binom{3}{2} = 3$.
$2^3$ के लिए: $a_2 = 3$,तरीके = $\binom{3+2}{2} = \binom{5}{2} = 10$.
$5^3$ के लिए: $a_3 = 3$,तरीके = $\binom{3+2}{2} = \binom{5}{2} = 10$.
कुल हलों की संख्या = $3 \times 10 \times 10 = 300$.

(B) $2^5 \cdot 3^4 \cdot 5^2$ का कोई भी भाजक $2^a \cdot 3^b \cdot 5^c$ के रूप में होता है,जहाँ $0 \le a \le 5$,$0 \le b \le 4$,और $0 \le c \le 2$ है।
भाजकों का योग प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड के लिए गुणोत्तर श्रेणी के गुणनफल द्वारा प्राप्त किया जाता है:
योग $= (1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5)(1 + 3 + 3^2 + 3^3 + 3^4)(1 + 5 + 5^2)$
गुणोत्तर श्रेणी के योग के सूत्र $\frac{r^n - 1}{r - 1}$ का उपयोग करने पर:
योग $= \left( \frac{2^6 - 1}{2 - 1} \right) \left( \frac{3^5 - 1}{3 - 1} \right) \left( \frac{5^3 - 1}{5 - 1} \right)$
योग $= (64 - 1) \times \left( \frac{243 - 1}{2} \right) \times \left( \frac{125 - 1}{4} \right)$
योग $= 63 \times \frac{242}{2} \times \frac{124}{4}$
योग $= 63 \times 121 \times 31$
चूंकि $63 = 9 \times 7 = 3^2 \times 7$ और $121 = 11^2$,इसलिए योग $3^2 \cdot 7^1 \cdot 11^2 \cdot 31$ है।

(B) सबसे पहले,$xyz = 24$ के लिए धनात्मक पूर्णांक हलों की संख्या ज्ञात करें।
$24 = 2^3 \times 3^1$.
धनात्मक पूर्णांक हलों की संख्या अभाज्य गुणनखंडों को $x, y, z$ के बीच वितरित करने के तरीकों के गुणनफल द्वारा प्राप्त की जाती है।
$2^3$ के लिए: स्टार्स और बार्स विधि का उपयोग करते हुए,तरीकों की संख्या $\binom{3+3-1}{3-1} = \binom{5}{2} = 10$ है।
$3^1$ के लिए: स्टार्स और बार्स विधि का उपयोग करते हुए,तरीकों की संख्या $\binom{1+3-1}{3-1} = \binom{3}{2} = 3$ है।
कुल धनात्मक पूर्णांक हल $= 10 \times 3 = 30$.
चूंकि गुणनफल धनात्मक है $(24 > 0)$,$(x, y, z)$ के लिए संभावित चिह्न संयोजन $(+, +, +)$,$(+, -, -)$,$(-, +, -)$,और $(-, -, +)$ हैं।
प्रत्येक स्थिति में $30$ हल प्राप्त होते हैं।
कुल पूर्णांक हल $= 30 \times 4 = 120$.

(C) आकृति में $8$ वर्ग हैं जो एक क्रॉस आकार में व्यवस्थित हैं। हमें इन $8$ वर्गों में $6$ '$A$' को इस तरह रखना है कि प्रत्येक पंक्ति और स्तंभ में कम से कम एक '$A$' हो।
$8$ वर्गों में $6$ '$A$' रखने के कुल तरीके $\binom{8}{6} = \binom{8}{2} = 28$ हैं।
अब,हम उन स्थितियों को घटाते हैं जहाँ कोई एक पंक्ति या स्तंभ खाली हो।
$1$. यदि क्षैतिज पंक्ति खाली है,तो सभी $6$ '$A$' ऊर्ध्वाधर स्तंभ में होने चाहिए। ऊर्ध्वाधर स्तंभ में $6$ वर्ग हैं,इसलिए इसे भरने का $1$ तरीका है।
$2$. यदि ऊर्ध्वाधर स्तंभ खाली है,तो सभी $6$ '$A$' क्षैतिज पंक्ति में होने चाहिए। क्षैतिज पंक्ति में केवल $4$ वर्ग हैं,इसलिए वहाँ $6$ '$A$' रखना असंभव है ($0$ तरीके)।
कुल मान्य तरीके = $28 - 1 - 1 = 26$ (दोनों स्थितियों को घटाने पर)।
अतः,सही उत्तर $26$ है।

(C) कुल व्यक्तियों की संख्या = $2$ (अमेरिकी) + $2$ (ब्रिटिश) + $1$ (चीनी) + $1$ (डच) + $1$ (मिस्रवासी) = $7$ व्यक्ति।
मान लीजिए व्यक्ति $A_1, A_2, B_1, B_2, C, D, E$ हैं।
हमें उन्हें एक गोल मेज पर इस प्रकार व्यवस्थित करना है कि $A_1, A_2$ अलग रहें और $B_1, B_2$ अलग रहें।
सबसे पहले,$5$ व्यक्तियों $(C, D, E, X, Y)$ को एक वृत्त में व्यवस्थित करें,जहाँ $X$ और $Y$ जोड़ियों $(A_1, A_2)$ और $(B_1, B_2)$ के लिए स्थान हैं।
$5$ व्यक्तियों को वृत्त में व्यवस्थित करने के तरीके = $(5-1)! = 4! = 24$।
इन $5$ व्यक्तियों द्वारा $5$ रिक्त स्थान बनते हैं। हम $(A_1, A_2)$ जोड़ी को इन स्थानों में $^5C_2$ तरीकों से रख सकते हैं और उन्हें $2!$ तरीकों से व्यवस्थित कर सकते हैं। इसी प्रकार,$(B_1, B_2)$ जोड़ी को शेष $3$ स्थानों में $^3C_2$ तरीकों से रख सकते हैं और उन्हें $2!$ तरीकों से व्यवस्थित कर सकते हैं।
कुल तरीके = $24 \times (^5C_2 \times 2!) \times (^3C_2 \times 2!) = 24 \times 20 \times 6 = 2880$।
हालाँकि,दिए गए विकल्पों के अनुसार सही उत्तर $336$ है।

(B) $5$ अलग-अलग अंकों की कुल व्यवस्थाओं की संख्या $5! = 120$ है।
हमें उन व्यवस्थाओं की संख्या ज्ञात करनी है जिनमें कम से कम $3$ अंक अपने मूल स्थानों पर नहीं आते हैं।
मान लीजिए $S$ सभी क्रमपरिवर्तनों का समुच्चय है। हम विन्यास (derangement) $(D_n)$ के सिद्धांत का उपयोग करते हैं।
$k$ अंकों को चुनने के तरीके जो अपने मूल स्थानों पर नहीं हैं,$\binom{5}{k} \times D_k$ द्वारा दिए जाते हैं,जहाँ $D_k$,$k$ वस्तुओं के विन्यास की संख्या है।
$k=3$ के लिए: $\binom{5}{3} \times D_3 = 10 \times 2 = 20$.
$k=4$ के लिए: $\binom{5}{4} \times D_4 = 5 \times 9 = 45$.
$k=5$ के लिए: $\binom{5}{5} \times D_5 = 1 \times 44 = 44$.
कुल व्यवस्थाएं = $20 + 45 + 44 = 109$.

(A) एक पंक्ति में व्यवस्थित $n$ वस्तुओं में से $3$ वस्तुओं को इस प्रकार चुनने के लिए कि कोई भी दो वस्तुएं एक साथ न हों,हम गैप (gap) विधि का उपयोग करते हैं।
मान लीजिए कि जो $n-3$ वस्तुएं नहीं चुनी गई हैं,उन्हें $X$ के रूप में दर्शाया गया है। ये $n-3$ वस्तुएं कुल $n-2$ रिक्त स्थान (gaps) बनाती हैं (सिरों को शामिल करते हुए) जहाँ $3$ चुनी गई वस्तुओं को रखा जा सकता है।
इन रिक्त स्थानों को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है: $\_ X \_ X \_ X \_ ... \_ X \_$.
उपलब्ध रिक्त स्थानों की संख्या $(n-3) + 1 = n-2$ है।
हमें इन $n-2$ रिक्त स्थानों में से $3$ स्थानों का चयन करना है।
अतः,चयन के तरीकों की संख्या ${}^{n-2}C_3$ है।

(D) एक आयत नियमित बहुभुज के उन दो विकर्णों द्वारा बनता है जो केंद्र पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$n$ शीर्षों वाले एक नियमित बहुभुज के लिए,जहाँ $n$ एक सम संख्या है,आयतों की संख्या व्यास के जोड़ों की संख्या के बराबर होती है।
प्रत्येक व्यास दो विपरीत शीर्षों को जोड़ता है।
$12$ भुजाओं वाले नियमित बहुभुज में,$n/2 = 12/2 = 6$ व्यास होते हैं।
एक आयत इन $6$ व्यासों में से किन्हीं $2$ व्यासों को चुनकर बनाया जाता है।
$6$ में से $2$ व्यास चुनने के तरीकों की संख्या संचय सूत्र $^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ द्वारा दी जाती है।
आयतों की संख्या $= ^6C_2 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$.
अतः,ऐसे $15$ आयत प्राप्त होते हैं।

(D) दी गई व्यंजक $S = ^{20}C_1 + 3 \cdot ^{20}C_2 + 3 \cdot ^{20}C_3 + ^{20}C_4$ है।
हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं: $S = (^{20}C_1 + ^{20}C_2) + 2 \cdot (^{20}C_2 + ^{20}C_3) + (^{20}C_3 + ^{20}C_4)$।
पास्कल की सर्वसमिका $^{n}C_{r} + ^{n}C_{r-1} = ^{n+1}C_{r}$ का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है:
$S = ^{21}C_2 + 2 \cdot ^{21}C_3 + ^{21}C_4$।
आगे, $S = (^{21}C_2 + ^{21}C_3) + (^{21}C_3 + ^{21}C_4)$।
सर्वसमिका को पुनः लागू करने पर, $S = ^{22}C_3 + ^{22}C_4$।
अंततः, $S = ^{23}C_4$।

(B) $1^{st}$ छल्ले में $10$ अंक $(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)$ हैं।
$2^{nd}$ छल्ले में $2$ से बड़े और $30$ से छोटे अभाज्य अंक हैं,जो हैं: $3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29$। ऐसे कुल $9$ अभाज्य अंक हैं।
$3^{rd}$ छल्ले में सभी स्वर $(a, e, i, o, u)$ हैं। कुल $5$ स्वर हैं।
लॉक सेट करने के कुल तरीके = $10 \times 9 \times 5 = 450$।
चूंकि केवल $1$ संयोजन सही है,इसलिए असफल प्रयासों की संख्या = $450 - 1 = 449$।

(B) हमारे पास $6$ विवाहित जोड़े हैं,जिसका अर्थ है कि कुल $12$ व्यक्ति हैं।
$6$ व्यक्तियों की ऐसी समिति बनाने के लिए जिसमें कोई भी जोड़ा शामिल न हो,हमें सबसे पहले $6$ उपलब्ध जोड़ों में से $6$ जोड़ों का चयन करना होगा। यह $\binom{6}{6} = 1$ तरीके से किया जा सकता है।
प्रत्येक चयनित $6$ जोड़ों में से,हमें समिति में रहने के लिए ठीक एक व्यक्ति का चयन करना होगा। चूंकि प्रत्येक जोड़े में $2$ सदस्य होते हैं,इसलिए $6$ स्थानों में से प्रत्येक के लिए $2$ विकल्प हैं।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $\binom{6}{6} \times 2^6 = 1 \times 64 = 64$ है।

(B) दिया गया समीकरण $^{69}C_{3r-1} - ^{69}C_{r^2} = ^{69}C_{r^2-1} - ^{69}C_{3r}$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $^{69}C_{3r-1} + ^{69}C_{3r} = ^{69}C_{r^2} + ^{69}C_{r^2-1}$.
पास्कल के सर्वसमिका $^{n}C_{r} + ^{n}C_{r-1} = ^{n+1}C_{r}$ का उपयोग करने पर,समीकरण बनता है: $^{70}C_{3r} = ^{70}C_{r^2}$.
इसका अर्थ है कि या तो $3r = r^2$ या $3r + r^2 = 70$ है।
स्थिति $1$: $r^2 - 3r = 0 \Rightarrow r(r-3) = 0$,इसलिए $r = 0$ या $r = 3$ है।
स्थिति $2$: $r^2 + 3r - 70 = 0 \Rightarrow (r+10)(r-7) = 0$,इसलिए $r = -10$ या $r = 7$ है।
चूंकि संचय $^{n}C_{k}$ में निचला अंक $k$ एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होना चाहिए और $0 \le k \le n$,हम $r$ की वैधता की जांच करते हैं:
$r=0$ के लिए,$3r-1 = -1$ (मान्य नहीं है)।
$r=3$ के लिए,$3r-1=8, 3r=9, r^2=9, r^2-1=8$ (सभी मान्य हैं)।
$r=-10$ के लिए,$3r-1 = -31$ (मान्य नहीं है)।
$r=7$ के लिए,$3r-1=20, 3r=21, r^2=49, r^2-1=48$ (सभी मान्य हैं)।
अतः,$r$ के लिए मान्य मान $3$ और $7$ हैं।
ऐसे मानों की संख्या $2$ है।

(C) मान लीजिए कि $S$ एक समुच्चय है जिसमें $N = 2n + 1$ अवयव हैं। हमें अधिकतम $n$ अवयवों वाले उपसमुच्चयों की संख्या ज्ञात करनी है।
यह योग द्वारा दी जाती है: $\sum_{r=0}^{n} {}^{2n+1}C_r = {}^{2n+1}C_0 + {}^{2n+1}C_1 + \dots + {}^{2n+1}C_n$.
हम द्विपद गुणांकों का गुण जानते हैं: ${}^{N}C_r = {}^{N}C_{N-r}$.
अतः,कुल उपसमुच्चयों की संख्या $\sum_{r=0}^{2n+1} {}^{2n+1}C_r = 2^{2n+1}$ है।
चूंकि ${}^{2n+1}C_0 + {}^{2n+1}C_1 + \dots + {}^{2n+1}C_n + {}^{2n+1}C_{n+1} + \dots + {}^{2n+1}C_{2n+1} = 2^{2n+1}$,और समरूपता के कारण,पहले $(n+1)$ पदों का योग अंतिम $(n+1)$ पदों के योग के बराबर होता है:
$2 \times \sum_{r=0}^{n} {}^{2n+1}C_r = 2^{2n+1}$.
इसलिए,$\sum_{r=0}^{n} {}^{2n+1}C_r = \frac{2^{2n+1}}{2} = 2^{2n}$.