Permutation and Combination Questions in Hindi

(A) हमें व्यंजक $E = 2^n \{ 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n - 1) \}$ दिया गया है।
इसे सरल बनाने के लिए,प्रथम $n$ सम संख्याओं के गुणनफल से गुणा और भाग करें,जो $2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2n) = 2^n \cdot (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n) = 2^n \cdot n!$ है।
अतः,$E = \frac{2^n \cdot \{ 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n - 1) \} \cdot \{ 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2n) \}}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2n)}$.
अंश $1$ से $2n$ तक की सभी पूर्णांक संख्याओं का गुणनफल बन जाता है,जो $(2n)!$ है।
हर $2^n \cdot n!$ है।
इसलिए,$E = \frac{(2n)! \cdot 2^n}{2^n \cdot n!} = \frac{(2n)!}{n!}$.

(C) उम्मीदवार को कुल $6$ प्रश्न चुनने हैं ताकि प्रत्येक भाग ($A$ और $B$) से कम से कम $2$ प्रश्न चुने जाएं।
चूंकि प्रत्येक भाग में $5$ प्रश्न हैं,इसलिए संभावित संयोजन $(A, B)$ इस प्रकार हैं:
$1$. भाग $A$ से $2$ और भाग $B$ से $4$ प्रश्न: $^5C_2 \times ^5C_4 = 10 \times 5 = 50$ तरीके।
$2$. भाग $A$ से $3$ और भाग $B$ से $3$ प्रश्न: $^5C_3 \times ^5C_3 = 10 \times 10 = 100$ तरीके।
$3$. भाग $A$ से $4$ और भाग $B$ से $2$ प्रश्न: $^5C_4 \times ^5C_2 = 5 \times 10 = 50$ तरीके।
कुल तरीकों की संख्या = $50 + 100 + 50 = 200$।

(B) $10$ और $1000$ के बीच की संख्याओं में $2$ अंकों वाली संख्याएँ और $3$ अंकों वाली संख्याएँ शामिल हैं।
स्थिति $1$: $2$ अंकों वाली संख्याएँ।
चूंकि पुनरावृत्ति की अनुमति है,इसलिए $2$ स्थानों में से प्रत्येक को $9$ अंकों ($1$ से $9$) में से किसी से भी भरा जा सकता है।
$2$ अंकों वाली संख्याओं की कुल संख्या $= 9 \times 9 = 81$।
स्थिति $2$: $3$ अंकों वाली संख्याएँ।
चूंकि पुनरावृत्ति की अनुमति है,इसलिए $3$ स्थानों में से प्रत्येक को $9$ अंकों ($1$ से $9$) में से किसी से भी भरा जा सकता है।
$3$ अंकों वाली संख्याओं की कुल संख्या $= 9 \times 9 \times 9 = 729$।
कुल संख्याएँ $= 81 + 729 = 810$।

(C) $TRIANGLE$ शब्द में $8$ अलग-अलग अक्षर हैं: $T, R, I, A, N, G, L, E$.
इसमें $3$ स्वर $(I, A, E)$ और $5$ व्यंजन $(T, R, N, G, L)$ हैं।
यह सुनिश्चित करने के लिए कि कोई भी दो स्वर एक साथ न आएं,हम पहले $5$ व्यंजनों को $5!$ तरीकों से व्यवस्थित करते हैं:
$5! = 120$ तरीके।
ये $5$ व्यंजन $6$ रिक्त स्थान बनाते हैं (सिरों सहित) जहाँ $3$ स्वरों को रखा जा सकता है:
$. C . C . C . C . C .$
हमें $6$ में से $3$ स्थानों का चयन करना है और उनमें $3$ स्वरों को व्यवस्थित करना है,जिसे $^6P.3$ तरीकों से किया जा सकता है:
$^6P.3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$ तरीके।
कुल व्यवस्थाओं की संख्या इन दोनों मानों का गुणनफल है:
$120 \times 120 = 14400$।

(C) यह 'डिरेंजमेंट' (derangement) का एक मानक प्रश्न है,जहाँ $n$ वस्तुओं को $n$ बक्सों में इस प्रकार रखा जाता है कि कोई भी वस्तु अपने सही बक्से में न हो।
$n$ वस्तुओं के डिरेंजमेंट की संख्या,जिसे $D_n$ द्वारा दर्शाया जाता है,का सूत्र है:
$D_n = n! \left( 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \dots + (-1)^n \frac{1}{n!} \right)$
यहाँ $n = 4$ के लिए:
$D_4 = 4! \left( \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} \right)$
$D_4 = 24 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} \right)$
$D_4 = 24 \left( \frac{12 - 4 + 1}{24} \right)$
$D_4 = 12 - 4 + 1 = 9$
अतः,गेंदों को रखने के कुल $9$ तरीके हैं ताकि कोई भी गेंद अपने स्वयं के रंग के बक्से में न जाए।

(B) दिया गया अनुपात: $\frac{^{56}P_{r+6}}{^{54}P_{r+3}} = 30800$
सूत्र $^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{56!}{(56-(r+6))!} \times \frac{(54-(r+3))!}{54!} = 30800$
$\frac{56!}{(50-r)!} \times \frac{(51-r)!}{54!} = 30800$
$\frac{56 \times 55 \times 54!}{54!} \times \frac{(51-r)!}{(50-r)!} = 30800$
$56 \times 55 \times (51-r) = 30800$
$3080 \times (51-r) = 30800$
$51-r = \frac{30800}{3080}$
$51-r = 10$
$r = 51 - 10 = 41$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) $10$ अलग-अलग अक्षरों का उपयोग करके बनाए जा सकने वाले $5$ अक्षरों के कुल शब्द (जहाँ पुनरावृत्ति की अनुमति है) $10^5 = 100000$ हैं।
जिन शब्दों में कोई भी अक्षर दोहराया नहीं जाता है,उनकी संख्या क्रमचय सूत्र $^{10}P_5 = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 = 30240$ द्वारा दी जाती है।
कम से कम एक अक्षर दोहराए जाने वाले शब्दों की संख्या ज्ञात करने के लिए,कुल शब्दों में से बिना पुनरावृत्ति वाले शब्दों की संख्या को घटाना होगा।
आवश्यक शब्दों की संख्या $= 100000 - 30240 = 69760$.

(A) $52$ पत्तों को चार खिलाड़ियों के बीच इस तरह बांटने के लिए कि तीन खिलाड़ियों को $17$ पत्ते मिलें और चौथे खिलाड़ी को $1$ पत्ता मिले,हम मल्टीनोमियल गुणांक सूत्र का उपयोग करते हैं।
पहले खिलाड़ी के लिए $52$ में से $17$ पत्ते चुनने के तरीकों की संख्या $^{52}C_{17}$ है।
शेष $35$ पत्तों में से दूसरे खिलाड़ी के लिए $17$ पत्ते चुनने के तरीकों की संख्या $^{35}C_{17}$ है।
शेष $18$ पत्तों में से तीसरे खिलाड़ी के लिए $17$ पत्ते चुनने के तरीकों की संख्या $^{18}C_{17}$ है।
चौथे खिलाड़ी के लिए बचा हुआ $1$ पत्ता चुनने का तरीका $^{1}C_{1} = 1$ है।
कुल तरीकों की संख्या = $^{52}C_{17} \times ^{35}C_{17} \times ^{18}C_{17} \times ^{1}C_{1}$
$= \frac{52!}{17! \times 35!} \times \frac{35!}{17! \times 18!} \times \frac{18!}{17! \times 1!} \times 1$
$= \frac{52!}{17! \times 17! \times 17! \times 1!} = \frac{52!}{(17!)^3}$.

(B) $ARRANGE$ शब्द में $7$ अक्षर हैं: $A, A, R, R, N, G, E$। इसमें $2$ $A$,$2$ $R$ और $N, G, E$ प्रत्येक एक-एक बार हैं।
कुल व्यवस्थाओं की संख्या $\frac{7!}{2! \times 2!} = \frac{5040}{4} = 1260$ है।
उन व्यवस्थाओं की संख्या ज्ञात करने के लिए जिनमें दोनों $R$ एक साथ आते हैं,हम $RR$ को एक इकाई मानते हैं। अब हमारे पास ${RR}, A, A, N, G, E$ कुल $6$ इकाइयाँ हैं।
जिन व्यवस्थाओं में $RR$ एक साथ हैं,उनकी संख्या $\frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360$ है।
जिन व्यवस्थाओं में दोनों $R$ एक साथ नहीं आते हैं,उनकी संख्या = कुल व्यवस्थाएं - वे व्यवस्थाएं जिनमें $R$ एक साथ हैं
$= 1260 - 360 = 900$।

(A) बक्से में गेंदों की कुल संख्या $2 + 3 + 4 = 9$ है।
हमें $3$ गेंदें इस प्रकार चुननी हैं कि कम से कम एक काली गेंद शामिल हो।
काली गेंदों की संख्या $3$ है और काली गेंदों के अलावा अन्य गेंदों की संख्या $2 + 4 = 6$ है।
चयन निम्नलिखित $3$ परस्पर अपवर्जी तरीकों से किया जा सकता है:
$(i)$ $1$ काली गेंद और $2$ अन्य गेंदें: $^3C_1 \times ^6C_2 = 3 \times 15 = 45$
$(ii)$ $2$ काली गेंदें और $1$ अन्य गेंद: $^3C_2 \times ^6C_1 = 3 \times 6 = 18$
$(iii)$ $3$ काली गेंदें और $0$ अन्य गेंदें: $^3C_3 = 1$
अतः,कुल तरीकों की संख्या = $45 + 18 + 1 = 64$.

(A) सबसे पहले,$m$ पुरुषों को एक पंक्ति में $m!$ तरीकों से व्यवस्थित करें।
चूंकि $n < m$ है और कोई भी दो महिलाएं एक साथ नहीं बैठ सकती हैं,इसलिए हम 'गैप मेथड' का उपयोग करेंगे।
पुरुषों की किसी भी एक $m!$ व्यवस्था में,$(m + 1)$ रिक्त स्थान (सिरों सहित) उपलब्ध होते हैं जहाँ $n$ महिलाओं को बैठाया जा सकता है।
इन $(m + 1)$ रिक्त स्थानों में $n$ महिलाओं को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या क्रमचय (permutation) के सूत्र $^{m+1}P_n$ द्वारा दी जाती है।
इसलिए,गणना के मूलभूत सिद्धांत के अनुसार,कुल व्यवस्थाओं की संख्या $m! \times ^{m+1}P_n$ होगी।
क्रमचय के सूत्र को प्रतिस्थापित करने पर: $m! \times \frac{(m + 1)!}{(m + 1 - n)!} = \frac{m! (m + 1)!}{(m - n + 1)!}$.

(A) कोई संख्या $3$ से विभाज्य होती है यदि उसके अंकों का योग $3$ से विभाज्य हो। दिए गए अंकों का योग $0+1+2+3+4+5 = 15$ है। चूँकि हमें $5$ अंकों की संख्या बनानी है,हमें एक अंक को हटाना होगा ताकि शेष $5$ अंकों का योग $3$ से विभाज्य हो।
स्थिति $1$: $0$ को हटाने पर। शेष अंक ${1, 2, 3, 4, 5}$ हैं। योग $15$ है,जो $3$ से विभाज्य है। इन $5$ अंकों को व्यवस्थित करने के कुल तरीके $5! = 120$ हैं।
स्थिति $2$: $3$ को हटाने पर। शेष अंक ${0, 1, 2, 4, 5}$ हैं। योग $12$ है,जो $3$ से विभाज्य है। इनसे बनने वाली $5$ अंकों की संख्याएँ $5! - 4! = 120 - 24 = 96$ हैं (उन स्थितियों को घटाकर जहाँ $0$ पहले स्थान पर है)।
कुल तरीके = $120 + 96 = 216$.

(B) माना $S_i$ उन छात्रों की संख्या है जिन्होंने कम से कम $i$ प्रश्नों के गलत उत्तर दिए हैं। हमें $S_i = 2^{n-i}$ दिया गया है,जहाँ $i = 1, 2, \dots, n$ है।
ठीक $i$ प्रश्नों के गलत उत्तर देने वाले छात्रों की संख्या $N_i = S_i - S_{i+1}$ है,जहाँ $1 \le i < n$ है,और $N_n = S_n = 2^{n-n} = 2^0 = 1$ है।
गलत उत्तरों की कुल संख्या $\sum_{i=1}^{n} i \cdot N_i$ द्वारा दी जाती है।
कुल गलत उत्तर $= 1(S_1 - S_2) + 2(S_2 - S_3) + 3(S_3 - S_4) + \dots + (n-1)(S_{n-1} - S_n) + n(S_n)$.
इस योग का विस्तार करने पर: $S_1 + S_2 + S_3 + \dots + S_n$.
$S_i = 2^{n-i}$ प्रतिस्थापित करने पर:
कुल गलत उत्तर $= 2^{n-1} + 2^{n-2} + \dots + 2^0$.
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका योग $\frac{2^n - 1}{2 - 1} = 2^n - 1$ है।
दिया गया है कि $2^n - 1 = 2047$,इसलिए $2^n = 2048 = 2^{11}$ है।
अतः,$n = 11$।

(B) $1$ से $1000$ तक की संख्याओं में अंक $3$ कितनी बार आता है, यह ज्ञात करने के लिए हम $000$ से $999$ तक की सभी संख्याओं पर विचार करते हैं। ध्यान दें कि $1000$ में अंक $3$ नहीं आता है, इसलिए गणना समान रहेगी।
प्रत्येक स्थान (इकाई, दहाई, सैकड़ा) को $10$ अंकों $(0-9)$ द्वारा भरा जा सकता है। $000$ से $999$ की सीमा में, कुल $1000$ संख्याएँ हैं, जिनमें से प्रत्येक $3$ अंकों की है, जो कुल $3000$ अंक स्थान बनाती हैं।
चूंकि प्रत्येक स्थान में $10$ अंक $(0, 1, 2, \dots, 9)$ समान आवृत्ति के साथ दिखाई देते हैं, इसलिए अंक $3$ प्रत्येक स्थान में $3000 / 10 = 300$ बार दिखाई देता है।
अतः, अंक $3$ कुल $300$ बार लिखा जाएगा।

(A) कुल $10$ व्यक्ति हैं। शर्त यह है कि $A$ को $B$ से पहले बोलना है,और $B$ को $C$ से पहले बोलना है। इसका अर्थ है कि उनका सापेक्ष क्रम $A, B, C$ होना चाहिए।
$10$ व्यक्तियों के किसी भी विन्यास में,तीन विशिष्ट व्यक्तियों $A, B$ और $C$ के लिए $3! = 6$ संभावित सापेक्ष क्रम होते हैं (जैसे $ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA$)।
इन $6$ संभावित सापेक्ष क्रमों में से,केवल $1$ क्रम ($A$ पहले $B$ और $B$ पहले $C$) दी गई शर्त को पूरा करता है।
$10$ व्यक्तियों को व्यवस्थित करने के कुल तरीके $10!$ हैं।
चूंकि कुल विन्यासों का केवल $1/6$ हिस्सा ही शर्त को पूरा करता है,इसलिए आवश्यक तरीकों की संख्या $\frac{10!}{6}$ है।

(A) मान लीजिए कि $i^{th}$ प्रश्न को दिए गए अंक $n_i$ हैं,जहाँ $i = 1, 2, ..., 8$ है।
हमें दिया गया है कि $n_1 + n_2 + ... + n_8 = 30$ और सभी $i$ के लिए $n_i \ge 2$ है।
मान लीजिए $x_i = n_i - 2$ है। तब $x_i \ge 0$ होगा।
योग समीकरण में $n_i = x_i + 2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(x_1 + 2) + (x_2 + 2) + ... + (x_8 + 2) = 30$
$x_1 + x_2 + ... + x_8 + 16 = 30$
$x_1 + x_2 + ... + x_8 = 14$,जहाँ $x_i \ge 0$ है।
इस समीकरण के गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हलों की संख्या $\binom{n+r-1}{r-1}$ सूत्र द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = 14$ और $r = 8$ है।
तरीकों की संख्या = $\binom{14 + 8 - 1}{8 - 1} = \binom{21}{7}$ है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) $INDEPENDENCE$ शब्द में $12$ अक्षर हैं: $I, N, D, E, P, E, N, D, E, N, C, E$.
स्वर $I, E, E, E, E$ हैं (कुल $5$ स्वर)।
व्यंजन $N, D, P, N, D, N, C$ हैं (कुल $7$ व्यंजन)।
चूंकि सभी स्वर एक साथ आने चाहिए,हम $5$ स्वरों के समूह को एक इकाई के रूप में मानते हैं।
अब,हमारे पास $7$ व्यंजन + $1$ स्वर इकाई = $8$ इकाइयां हैं।
इन $8$ इकाइयों को व्यवस्थित करने के तरीके,जहाँ $N$ तीन बार और $D$ दो बार आता है,$\frac{8!}{3! \times 2!}$ हैं।
स्वर इकाई के भीतर,$5$ स्वरों $(I, E, E, E, E)$ को $\frac{5!}{4!}$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है (क्योंकि $E$ चार बार दोहराया गया है)।
शब्दों की कुल संख्या = $\frac{8!}{3! \times 2!} \times \frac{5!}{4!} = \frac{40320}{12} \times 5 = 3360 \times 5 = 16800$।

(C) मान लीजिए बक्से $A, B, C$ हैं। हमें यह सुनिश्चित करना है कि कोई भी बक्सा खाली न रहे और सभी पाँच गेंदें रखी जाएँ।
$5$ गेंदों को $3$ बक्सों में इस प्रकार वितरित करने की दो संभावनाएँ हैं कि कोई भी बक्सा खाली न रहे:
$(i)$ दो बक्सों में $1$ गेंद और तीसरे बक्से में $3$ गेंदें हों।
गेंदों को चुनने के तरीके: $\binom{5}{1} \times \binom{4}{1} \times \binom{3}{3} = 5 \times 4 \times 1 = 20$.
चूँकि $3$ गेंदों वाला बक्सा $3$ बक्सों में से कोई भी हो सकता है,इसलिए इस स्थिति के लिए कुल तरीके = $20 \times 3 = 60$.
$(ii)$ दो बक्सों में $2$ गेंदें और तीसरे बक्से में $1$ गेंद हो।
गेंदों को चुनने के तरीके: $\binom{5}{2} \times \binom{3}{2} \times \binom{1}{1} = 10 \times 3 \times 1 = 30$.
चूँकि $1$ गेंद वाला बक्सा $3$ बक्सों में से कोई भी हो सकता है,इसलिए इस स्थिति के लिए कुल तरीके = $30 \times 3 = 90$.
कुल तरीकों की संख्या = $60 + 90 = 150$.

(B) $10$ व्यक्तियों ($6$ पुरुष + $4$ महिलाएँ) में से $5$ सदस्यों को चुनने के कुल तरीके $^{10}C_5 = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 252$ हैं।
बिना किसी महिला वाली समिति चुनने के तरीके (अर्थात सभी $5$ सदस्य पुरुष हों) $^6C_5 = 6$ हैं।
कम से कम एक महिला वाली समिति बनाने के तरीके कुल तरीकों में से बिना महिला वाली समितियों के तरीकों को घटाने पर प्राप्त होते हैं:
आवश्यक तरीके $= ^{10}C_5 - ^6C_5 = 252 - 6 = 246$.
वैकल्पिक रूप से,मामलों का योग करने पर:
$1$ महिला और $4$ पुरुष: $^4C_1 \times ^6C_4 = 4 \times 15 = 60$
$2$ महिलाएँ और $3$ पुरुष: $^4C_2 \times ^6C_3 = 6 \times 20 = 120$
$3$ महिलाएँ और $2$ पुरुष: $^4C_3 \times ^6C_2 = 4 \times 15 = 60$
$4$ महिलाएँ और $1$ पुरुष: $^4C_4 \times ^6C_1 = 1 \times 6 = 6$
कुल तरीके $= 60 + 120 + 60 + 6 = 246$।

(C) $BHARAT$ शब्द में $6$ अक्षर हैं,जिसमें $A$ दो बार आता है।
कुल व्यवस्थाओं की संख्या $ = \frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360$ है।
उन शब्दों की संख्या ज्ञात करने के लिए जिनमें $B$ और $H$ एक साथ आते हैं,हम $(BH)$ को एक इकाई मानते हैं। अब हमारे पास $5$ इकाइयाँ हैं: $(BH), A, R, A, T$।
इन $5$ इकाइयों की व्यवस्थाओं की संख्या $\frac{5!}{2!} = 60$ है।
चूँकि $B$ और $H$ अपनी इकाई के भीतर $2! = 2$ तरीकों से व्यवस्थित हो सकते हैं,इसलिए कुल शब्द जिनमें $B$ और $H$ एक साथ हैं,उनकी संख्या $60 \times 2 = 120$ है।
जिन शब्दों में $B$ और $H$ कभी एक साथ नहीं आते,उनकी संख्या कुल शब्दों में से उन शब्दों को घटाकर प्राप्त की जाती है जिनमें वे एक साथ हैं: $360 - 120 = 240$।

(D) कुल उपलब्ध व्यक्ति = $10$ $(A, B, C, D, E, F, G, H, I, J)$।
हमें $5$ व्यक्तियों की एक टीम बनानी है।
शर्त $1$: $A$ को शामिल करना अनिवार्य है।
शर्त $2$: $G$ और $H$ को शामिल नहीं किया जाना है।
चूंकि $A$ पहले से ही चुना जा चुका है, हमें शेष $10 - 3 = 7$ व्यक्तियों में से $4$ और व्यक्तियों का चयन करना होगा ($A, G, H$ को छोड़कर)।
$7$ में से $4$ व्यक्तियों को चुनने के तरीके $^7C_4$ हैं।
चूंकि $^7C_4 = ^7C_3$, इसलिए चयन $^7C_3$ तरीकों से किया जा सकता है।
अब, हमारे पास $5$ व्यक्तियों की एक टीम है ($A$ सहित)। इन $5$ व्यक्तियों को एक पंक्ति में $5!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
अतः, कुल व्यवस्थाओं की संख्या $^7C_3 \times 5!$ है।

(C) $1$ से $1000$ तक के पूर्णांकों में अंक $5$ कितनी बार आता है,यह ज्ञात करने के लिए हम $000$ से $999$ तक की संख्याओं पर विचार करते हैं (क्योंकि $000$ से $099$ तक $1$ से $99$ तक की संख्याएँ आती हैं और $1000$ में कोई $5$ नहीं है)।
प्रत्येक स्थान (इकाई,दहाई,सैकड़ा) $0$ से $9$ तक का मान ले सकता है। ऐसी कुल $1000$ संख्याएँ हैं,जिनमें से प्रत्येक में $3$ अंक हैं,जिससे कुल $3000$ अंक बनते हैं।
चूंकि $000$ से $999$ तक की संख्याओं के समूह में $0$ से $9$ तक का प्रत्येक अंक समान बार आता है,इसलिए अंक $5$ कुल $3000 / 10 = 300$ बार आता है।
अतः,अंक $5$ कुल $300$ बार लिखा जाएगा।

(C) $n!$ में अभाज्य संख्या $p$ का घातांक ज्ञात करने के लिए,हम लेजेंड्रे के सूत्र का उपयोग करते हैं: $E_p(n!) = \sum_{k=1}^{\infty} \lfloor \frac{n}{p^k} \rfloor$.
यहाँ,$n = 100$ और $p = 3$ है।
$E_3(100!) = \lfloor \frac{100}{3} \rfloor + \lfloor \frac{100}{3^2} \rfloor + \lfloor \frac{100}{3^3} \rfloor + \lfloor \frac{100}{3^4} \rfloor$
$E_3(100!) = \lfloor \frac{100}{3} \rfloor + \lfloor \frac{100}{9} \rfloor + \lfloor \frac{100}{27} \rfloor + \lfloor \frac{100}{81} \rfloor$
$E_3(100!) = 33 + 11 + 3 + 1 = 48$.
अतः,$100!$ में $3$ का घातांक $48$ है।

(C) '$MISSISSIPPI$' शब्द में निम्नलिखित अक्षर हैं:
$M: 1$
$I: 4$
$S: 4$
$P: 2$
संचय बनाने के लिए,हम प्रत्येक अक्षर की संख्या चुन सकते हैं। प्रत्येक अक्षर के लिए चुनने के तरीकों की संख्या (अक्षर की कुल संख्या + $1$) है,जहाँ '+ $1$' उस अक्षर को न चुनने के विकल्प को दर्शाता है।
$M$ चुनने के तरीके $= (1 + 1) = 2$
$I$ चुनने के तरीके $= (4 + 1) = 5$
$S$ चुनने के तरीके $= (4 + 1) = 5$
$P$ चुनने के तरीके $= (2 + 1) = 3$
किसी भी अक्षर को न चुनने के मामले सहित कुल संचय $= 2 \times 5 \times 5 \times 3 = 150$.
चूंकि हमें 'एक या अधिक' अक्षरों के संचय चाहिए,इसलिए हम उस मामले को घटा देते हैं जिसमें कोई भी अक्षर नहीं चुना गया है।
कुल संचय $= 150 - 1 = 149$.

(C) $4$ पेपरों में कुल $2m$ अंक प्राप्त करने के तरीकों की संख्या,जहाँ प्रत्येक पेपर में अधिकतम $m$ अंक हैं,$(x^0 + x^1 + \dots + x^m)^4$ के विस्तार में $x^{2m}$ का गुणांक है।
यह $\left( \frac{1 - x^{m+1}}{1 - x} \right)^4 = (1 - x^{m+1})^4 (1 - x)^{-4}$ में $x^{2m}$ के गुणांक के बराबर है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $(1 - 4x^{m+1} + 6x^{2m+2} - \dots) \times \sum_{r=0}^{\infty} \binom{r+3}{3} x^r$ प्राप्त होता है।
$x^{2m}$ का गुणांक $1 \times \binom{2m+3}{3}$ और $-4x^{m+1} \times \binom{m+2}{3}$ पदों को लेने से प्राप्त होता है।
तरीकों की संख्या = $\binom{2m+3}{3} - 4 \binom{m+2}{3} = \frac{(2m+3)(2m+2)(2m+1)}{6} - 4 \frac{(m+2)(m+1)m}{6}$.
इस व्यंजक को सरल करने पर: $\frac{(m+1)}{6} [ (2m+3)(2)(2m+1) - 4m(m+2) ] = \frac{(m+1)(2m^2+4m+3)}{3}$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए पुरुषों की संख्या $n$ है। कुल प्रतिभागियों की संख्या $n + 2$ है।
प्रत्येक प्रतिभागी अन्य प्रत्येक प्रतिभागी के साथ $2$ खेल खेलता है।
पुरुषों के बीच खेले गए खेलों की संख्या $2 \times {^nC_2} = 2 \times \frac{n(n-1)}{2} = n(n-1) = n^2 - n$ है।
पुरुषों और महिलाओं के बीच खेले गए खेलों की संख्या $2 \times (n \times 2) = 4n$ है।
प्रश्न के अनुसार,इनके बीच का अंतर $66$ है:
$n^2 - n - 4n = 66$
$n^2 - 5n - 66 = 0$
$(n - 11)(n + 6) = 0$
चूंकि $n$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $n = 11$ है।
प्रतिभागियों की कुल संख्या $n + 2 = 11 + 2 = 13$ है।

(B) $8$ बच्चों में से $3$ बच्चों को चुनने के कुल तरीके संचय के सूत्र ${^n}{C_r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ द्वारा दिए जाते हैं।
यहाँ,$n = 8$ और $r = 3$ है,इसलिए कुल यात्राओं की संख्या ${^8}{C_3} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$ है।
प्रत्येक यात्रा में $3$ बच्चे शामिल होते हैं। इसलिए,कुल 'चाइल्ड-ट्रिप्स' की संख्या $56 \times 3 = 168$ है।
चूंकि कुल $8$ बच्चे हैं और प्रत्येक बच्चा समान संख्या में जाता है,इसलिए प्रत्येक बच्चे के जाने की संख्या $\frac{168}{8} = 21$ होगी।
वैकल्पिक रूप से,किसी विशिष्ट बच्चे को $3$ बच्चों के समूह में शामिल करने के लिए,हमें शेष $7$ बच्चों में से $2$ बच्चों को चुनना होगा। यह संख्या ${^7}{C_2} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$ है।

(B) पुस्तकों की कुल संख्या $N = a + 2b + 3c + d$ है।
जब वस्तुओं के समूह में समान वस्तुएं होती हैं,तो उन्हें व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या मल्टीनोमियल गुणांक सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{N!}{n_1! n_2! ... n_k!}$.
यहाँ हमारे पास है:
- एक पुस्तक की $a$ समान प्रतियाँ ($a!$ तरीके)।
- दो पुस्तकों में से प्रत्येक की $b$ समान प्रतियाँ ($(b!)^2$ तरीके)।
- तीन पुस्तकों में से प्रत्येक की $c$ समान प्रतियाँ ($(c!)^3$ तरीके)।
- $d$ पुस्तकों की एकल प्रतियाँ (प्रत्येक अलग है,इसलिए प्रत्येक के लिए $1!$,जो $1$ है)।
अतः,व्यवस्थाओं की कुल संख्या $\frac{(a + 2b + 3c + d)!}{a! (b!)^2 (c!)^3}$ है।

(B) कार में आगे की सीट पर एक ड्राइवर की आवश्यकता होती है। चूंकि $2$ व्यक्ति गाड़ी चला सकते हैं,इसलिए हमें इन $2$ लोगों में से $1$ ड्राइवर का चयन करना होगा। यह $^2C_1$ तरीकों से किया जा सकता है।
ड्राइवर का चयन करने के बाद,हमें शेष $5$ लोगों में से बाकी की $2$ सीटों (एक आगे और एक पीछे) को भरना है। यह $^5C_2$ तरीकों से किया जा सकता है।
इसलिए,कार को भरने के कुल तरीकों की संख्या $^2C_1 \times ^5C_2 = 2 \times 10 = 20$ है।

(D) चूंकि गेंदों को एक पंक्ति में इस प्रकार व्यवस्थित किया जाना है कि आसन्न गेंदें अलग-अलग रंगों की हों,इसलिए हम व्यवस्था की शुरुआत या तो सफेद गेंद से कर सकते हैं या काली गेंद से।
स्थिति $1$: यदि हम सफेद गेंद से शुरुआत करते हैं,तो $(n + 1)$ सफेद गेंदों को $(n + 1)!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। यह काली गेंदों के लिए $(n + 2)$ संभावित स्थान बनाता है। हालाँकि,यह सुनिश्चित करने के लिए कि रंग एकांतर हों,$(n + 1)$ काली गेंदों को सफेद गेंदों के बीच के $(n + 1)$ विशिष्ट अंतरालों में व्यवस्थित होना चाहिए। इन $(n + 1)$ काली गेंदों को इन अंतरालों में $(n + 1)!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
इस प्रकार,सफेद गेंद से शुरू होने वाली कुल व्यवस्था $(n + 1)! \times (n + 1)! = \{(n + 1)!\}^2$ है।
स्थिति $2$: इसी प्रकार,यदि हम काली गेंद से शुरुआत करते हैं,तो कुल व्यवस्था $(n + 1)! \times (n + 1)! = \{(n + 1)!\}^2$ होगी।
कुल व्यवस्था = $\{(n + 1)!\}^2 + \{(n + 1)!\}^2 = 2\{(n + 1)!\}^2$।

(A) $12$ व्यक्तियों को एक गोल मेज के चारों ओर व्यवस्थित करने के कुल तरीके $(12 - 1)! = 11!$ हैं।
उन व्यवस्थाओं की संख्या ज्ञात करने के लिए जहाँ $2$ विशेष व्यक्ति एक साथ बैठते हैं,हम उन्हें एक इकाई के रूप में मानते हैं। अब,हमारे पास एक वृत्त में व्यवस्थित करने के लिए $11$ इकाइयाँ हैं,जिन्हें $(11 - 1)! = 10!$ तरीकों से किया जा सकता है। इकाई के भीतर,$2$ व्यक्ति $2!$ तरीकों से व्यवस्थित हो सकते हैं।
अतः,उन तरीकों की संख्या जहाँ $2$ विशेष व्यक्ति एक साथ बैठते हैं,$10! \times 2! = 2 \times 10!$ है।
वे व्यवस्थाएँ जहाँ वे एक-दूसरे के बगल में नहीं हैं,कुल व्यवस्थाओं में से उन व्यवस्थाओं को घटाकर प्राप्त की जाती हैं जहाँ वे एक साथ हैं:
$11! - (2 \times 10!) = (11 \times 10!) - (2 \times 10!) = (11 - 2) \times 10! = 9 \times 10!$.

(A) $5000$ और $10,000$ के बीच की संख्या $4$ अंकों की होनी चाहिए।
हजार के स्थान को ${5, 6, 7, 8, 9}$ अंकों में से किसी भी अंक द्वारा भरा जा सकता है,जो $5$ संभावित तरीके देता है।
चूंकि प्रत्येक अंक अधिक से अधिक एक बार आ सकता है,इसलिए शेष $3$ स्थानों को भरने के लिए हमारे पास $8$ अंक शेष हैं।
$8$ में से $3$ अंकों को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या क्रमचय सूत्र $^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ द्वारा दी जाती है।
अतः,शेष $3$ स्थानों को भरने के तरीके $^8P_3$ हैं।
गणना के मूलभूत सिद्धांत के अनुसार,ऐसी कुल संख्याएँ $5 \times ^8P_3$ हैं।

(C) दी गई अभिव्यक्ति $^x{C_r} \cdot ^y{C_0} + ^x{C_{r-1}} \cdot ^y{C_1} + ^x{C_{r-2}} \cdot ^y{C_2} + \dots + ^x{C_0} \cdot ^y{C_r}$ है।
यह एक मानक सर्वसमिका है जिसे वेंडरमोंड की सर्वसमिका (Vandermonde's Identity) के रूप में जाना जाता है।
वेंडरमोंड की सर्वसमिका के अनुसार, संयोजनों के गुणनफल का योग $\sum_{k=0}^{r} {^x{C_{r-k}} \cdot ^y{C_k}}$, $^{x+y}C_r$ के बराबर होता है।
यह कुल $x+y$ वस्तुओं में से (जहाँ $x$ वस्तुएं एक प्रकार की और $y$ वस्तुएं दूसरे प्रकार की हैं) $r$ वस्तुओं को चुनने के तरीकों की संख्या को दर्शाता है।
अतः, सही विकल्प $C$ है।

(C) $PROPORTION$ शब्द में $10$ अक्षर हैं: $P(2), R(2), O(3), I(1), T(1), N(1)$। कुल $6$ प्रकार के अक्षर हैं: ${P, R, O, I, T, N}$। हमें $4$ अक्षरों की व्यवस्था करनी है।
स्थिति $(i)$: सभी $4$ अक्षर अलग हों।
$6$ प्रकारों में से $4$ अलग अक्षर चुनने के तरीके $= ^6C_4 = 15$।
व्यवस्था $= 15 \times 4! = 15 \times 24 = 360$।
स्थिति $(ii)$: $2$ अक्षर समान और $2$ अलग हों।
${P, R, O}$ में से $1$ जोड़ा चुनने के तरीके $= ^3C_1 = 3$। शेष $5$ प्रकारों में से $2$ अलग अक्षर चुनने के तरीके $= ^5C_2 = 10$।
चयन की संख्या $= 3 \times 10 = 30$।
व्यवस्था $= 30 \times \frac{4!}{2!} = 30 \times 12 = 360$।
स्थिति $(iii)$: $2$ अक्षर एक प्रकार के समान और $2$ अक्षर दूसरे प्रकार के समान हों।
${P, R, O}$ में से $2$ जोड़े चुनने के तरीके $= ^3C_2 = 3$।
व्यवस्था $= 3 \times \frac{4!}{2!2!} = 3 \times 6 = 18$।
स्थिति $(iv)$: $3$ अक्षर समान और $1$ अलग हो।
$3$ समान अक्षरों का सेट $(O)$ चुनने का तरीका $= 1$। शेष $5$ प्रकारों में से $1$ अलग अक्षर चुनने के तरीके $= ^5C_1 = 5$।
व्यवस्था $= 5 \times \frac{4!}{3!} = 5 \times 4 = 20$।
कुल व्यवस्था $= 360 + 360 + 18 + 20 = 758$।

(D) $MORADABAD$ शब्द में $9$ अक्षर हैं: $A, A, A, D, D, M, O, R, B$।
यहाँ $3$ $A$,$2$ $D$ और $4$ भिन्न अक्षर $(M, O, R, B)$ हैं। हमें $4$ अक्षरों वाले शब्द बनाने हैं।
$(i)$ सभी $4$ अक्षर अलग हों: $6$ भिन्न प्रकार के अक्षरों में से $4$ अक्षर चुनने पर। तरीकों की संख्या = $^6P_4 = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$.
$(ii)$ $2$ अक्षर समान और $2$ अलग हों: $2$ प्रकारों में से ($A$ या $D$) $1$ जोड़ा चुनें और शेष $5$ प्रकारों में से $2$ भिन्न अक्षर चुनें। तरीकों की संख्या = $^2C_1 \times ^5C_2 \times \frac{4!}{2!} = 2 \times 10 \times 12 = 240$.
$(iii)$ $3$ अक्षर समान और $1$ अलग हो: $1$ त्रिक $(A)$ और शेष $5$ प्रकारों में से $1$ भिन्न अक्षर चुनें। तरीकों की संख्या = $^1C_1 \times ^5C_1 \times \frac{4!}{3!} = 1 \times 5 \times 4 = 20$.
$(iv)$ $2$ अक्षर एक प्रकार के समान और $2$ अक्षर दूसरे प्रकार के समान हों: $2$ प्रकारों में से ($A$ और $D$) $2$ जोड़े चुनें। तरीकों की संख्या = $^2C_2 \times \frac{4!}{2!2!} = 1 \times 6 = 6$.
कुल शब्दों की संख्या = $360 + 240 + 20 + 6 = 626$.

(B) कुल छात्र = $10$। लड़कियों की संख्या = $3$। लड़कों की संख्या = $10 - 3 = 7$।
यह सुनिश्चित करने के लिए कि कोई भी दो लड़कियाँ एक साथ न बैठें,हम पहले $7$ लड़कों को एक पंक्ति में बैठाते हैं,जिसे $7!$ तरीकों से किया जा सकता है।
यह $8$ संभावित स्थान (सिरों सहित) बनाता है जहाँ $3$ लड़कियों को बैठाया जा सकता है: $\_ B_1 \_ B_2 \_ B_3 \_ B_4 \_ B_5 \_ B_6 \_ B_7 \_$।
इन $8$ स्थानों में $3$ लड़कियों को चुनने और बैठाने के तरीकों की संख्या $^8P_3$ द्वारा दी जाती है।
इसलिए,कुल व्यवस्थाओं की संख्या $7! \times ^8P_3$ है।

(D) दिया गया व्यंजक $\binom{n}{r} + 2\binom{n}{r-1} + \binom{n}{r-2}$ है।
हम मध्य पद $2\binom{n}{r-1}$ को $\binom{n}{r-1} + \binom{n}{r-1}$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,व्यंजक $\binom{n}{r} + \binom{n}{r-1} + \binom{n}{r-1} + \binom{n}{r-2}$ हो जाता है।
पास्कल के सर्वसमिका $\binom{n}{k} + \binom{n}{k-1} = \binom{n+1}{k}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(\binom{n}{r} + \binom{n}{r-1}) + (\binom{n}{r-1} + \binom{n}{r-2}) = \binom{n+1}{r} + \binom{n+1}{r-1}$.
इस सर्वसमिका को पुनः लागू करने पर,$\binom{n+1}{r} + \binom{n+1}{r-1} = \binom{n+2}{r}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(B) दिया गया समीकरण $a \cdot b \cdot c = 30$ है,जहाँ $a, b, c$ धनात्मक पूर्णांक हैं।
सबसे पहले,$30$ का अभाज्य गुणनखंडन कीजिए: $30 = 2^1 \cdot 3^1 \cdot 5^1$।
प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड $(2, 3, 5)$ को तीन चरों $a, b,$ और $c$ में वितरित किया जाना है।
अभाज्य गुणनखंड $2$ के लिए,$3$ विकल्प हैं (यह $a, b,$ या $c$ में जा सकता है)।
अभाज्य गुणनखंड $3$ के लिए,$3$ विकल्प हैं।
अभाज्य गुणनखंड $5$ के लिए,$3$ विकल्प हैं।
चूँकि प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड का वितरण स्वतंत्र है,इसलिए कुल धनात्मक पूर्णांक हलों की संख्या $3 \times 3 \times 3 = 27$ होगी।

(C) दी गई संख्या $223355888$ है। अंक $2, 2, 3, 3, 5, 5, 8, 8, 8$ हैं।
कुल अंक = $9$। स्थान $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ हैं।
सम स्थान $2, 4, 6, 8$ हैं (कुल $4$ स्थान)।
विषम अंक $3, 3, 5, 5$ हैं (कुल $4$ अंक)।
सम अंक $2, 2, 8, 8, 8$ हैं (कुल $5$ अंक)।
चरण $1$: $4$ विषम अंकों को $4$ सम स्थानों पर व्यवस्थित करें। तरीकों की संख्या $\frac{4!}{2! \times 2!} = \frac{24}{4} = 6$ है।
चरण $2$: $5$ सम अंकों को शेष $5$ विषम स्थानों पर व्यवस्थित करें। तरीकों की संख्या $\frac{5!}{2! \times 3!} = \frac{120}{2 \times 6} = 10$ है।
कुल तरीकों की संख्या = $6 \times 10 = 60$।

(A) $CRICKET$ शब्द में अक्षर $C, R, I, C, K, E, T$ हैं।
इन्हें वर्णानुक्रम में व्यवस्थित करने पर: $C, C, E, I, K, R, T$ प्राप्त होते हैं।
कुल $7$ अक्षर हैं,जिसमें $C$ दो बार आता है।
$CRICKET$ से पहले आने वाले शब्दों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम प्रत्येक स्थान पर उन अक्षरों से शुरू होने वाले शब्दों की गणना करते हैं जो $CRICKET$ के अक्षरों से पहले आते हैं।
इस गणना के अनुसार,$CRICKET$ शब्द से पहले कुल $530$ शब्द आते हैं।

(C) कुल उम्मीदवारों की संख्या $= 10$.
चुने जाने वाले उम्मीदवारों की संख्या $= 4$.
एक मतदाता कम से कम $1$ और अधिकतम $4$ उम्मीदवारों को वोट दे सकता है।
$1$ उम्मीदवार को वोट देने के तरीके $= ^{10}C_{1} = 10$.
$2$ उम्मीदवारों को वोट देने के तरीके $= ^{10}C_{2} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$.
$3$ उम्मीदवारों को वोट देने के तरीके $= ^{10}C_{3} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$.
$4$ उम्मीदवारों को वोट देने के तरीके $= ^{10}C_{4} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210$.
कुल तरीकों की संख्या $= 10 + 45 + 120 + 210 = 385$.

(C) समुच्चय $S$ में $12$ अवयव हैं।
हमें $S$ को समान आकार के तीन असंयुक्त समुच्चयों $A, B, C$ में विभाजित करना है।
चूंकि कुल $12$ अवयव हैं,इसलिए प्रत्येक समुच्चय में $12 / 3 = 4$ अवयव होने चाहिए।
$12$ में से समुच्चय $A$ के लिए $4$ अवयव चुनने के तरीके $\binom{12}{4}$ हैं।
शेष $8$ में से समुच्चय $B$ के लिए $4$ अवयव चुनने के तरीके $\binom{8}{4}$ हैं।
शेष $4$ में से समुच्चय $C$ के लिए $4$ अवयव चुनने के तरीके $\binom{4}{4}$ हैं।
तीन नामित समुच्चयों $A, B, C$ में अवयवों को वितरित करने के कुल तरीके $\binom{12}{4} \times \binom{8}{4} \times \binom{4}{4} = \frac{12!}{4!8!} \times \frac{8!}{4!4!} \times \frac{4!}{4!0!} = \frac{12!}{(4!)^3}$ हैं।
चूंकि समुच्चय $A, B, C$ नामित नहीं हैं (विभाजन क्रमहीन है),इसलिए हमें तीन समुच्चयों के क्रमपरिवर्तन के लिए $3!$ से विभाजित करना होगा।
अतः,$S$ को विभाजित करने के तरीकों की कुल संख्या $\frac{12!}{3!(4!)^3}$ है।

(D) यह पुनरावृत्ति की अनुमति के साथ संचय (combinations with repetition) का एक प्रश्न है।
$n$ प्रकार की वस्तुओं में से $r$ वस्तुओं को चुनने के तरीकों की संख्या $^{n+r-1}C_r$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$n = 5$ (आइसक्रीम के प्रकार) और $r = 6$ (खरीदी जाने वाली आइसक्रीम)।
तरीकों की संख्या = $^{5+6-1}C_6 = ^{10}C_6$ है।
चूंकि $^{10}C_6 = ^{10}C_{10-6} = ^{10}C_4$,इसलिए कथन-$1$ असत्य है क्योंकि इसमें $^{10}C_5$ दिया गया है।
कथन-$2$ के लिए,$6$ $A$ और $4$ $B$ को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या मल्टीसेट क्रमचय सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{(6+4)!}{6!4!} = ^{10}C_6$।
चूंकि आइसक्रीम खरीदने के तरीकों की संख्या $^{10}C_6$ है और व्यवस्थाओं की संख्या भी $^{10}C_6$ है,इसलिए कथन-$2$ सत्य है।
अतः,कथन-$1$ असत्य है और कथन-$2$ सत्य है।

(D) $MISSISSIPPI$ शब्द में $11$ अक्षर हैं: $M=1, I=4, S=4, P=2$.
सबसे पहले,$S$ के अलावा अन्य अक्षरों को व्यवस्थित करें। ये $M, I, I, I, I, P, P$ ($7$ अक्षर) हैं।
इन $7$ अक्षरों को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $\frac{7!}{4!2!} = 105$ है।
इन $7$ अक्षरों द्वारा $8$ रिक्त स्थान बनते हैं (सिरों सहित) जहाँ $4$ $S$ को इस प्रकार रखा जा सकता है कि कोई भी दो $S$ एक साथ न हों।
$8$ में से $4$ रिक्त स्थान चुनने के तरीकों की संख्या $^8C_4 = 70$ है।
कुल शब्दों की संख्या $105 \times 70 = 7350$ है।
विकल्प $D$ के अनुसार: $7 \times ^6C_4 \times ^8C_4 = 7 \times 15 \times 70 = 7350$.

(C) चरण $1$: $6$ अलग-अलग उपन्यासों में से $4$ उपन्यासों का चयन करें। यह $^6C_4$ तरीकों से किया जा सकता है।
$^6C_4 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ तरीके।
चरण $2$: $3$ अलग-अलग शब्दकोशों में से $1$ शब्दकोश का चयन करें। यह $^3C_1$ तरीकों से किया जा सकता है।
$^3C_1 = 3$ तरीके।
चरण $3$: $4$ चयनित उपन्यासों और $1$ शब्दकोश को एक पंक्ति में इस प्रकार व्यवस्थित करें कि शब्दकोश हमेशा बीच में रहे। चूंकि शब्दकोश बीच में स्थिर है,हमें केवल $4$ उपन्यासों को शेष $4$ स्थानों पर व्यवस्थित करने की आवश्यकता है।
$4$ उपन्यासों को व्यवस्थित करने के तरीके = $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$।
चरण $4$: कुल व्यवस्थाओं की संख्या = (उपन्यासों के चयन के तरीके) $\times$ (शब्दकोश के चयन के तरीके) $\times$ (उपन्यासों को व्यवस्थित करने के तरीके) = $15 \times 3 \times 24 = 1080$।

(C) पात्र $A$ में गेंदों की कुल संख्या $= 3$.
पात्र $B$ में गेंदों की कुल संख्या $= 9$.
हमें पात्र $A$ से $2$ गेंदें और पात्र $B$ से $2$ गेंदें चुनकर उन्हें दूसरे पात्र में स्थानांतरित करना है।
पात्र $A$ की $3$ अलग गेंदों में से $2$ गेंदें चुनने के तरीके $= ^3C_2$.
$^3C_2 = \frac{3!}{2!1!} = 3$.
पात्र $B$ की $9$ अलग गेंदों में से $2$ गेंदें चुनने के तरीके $= ^9C_2$.
$^9C_2 = \frac{9!}{2!7!} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$.
चूंकि ये चयन स्वतंत्र हैं,इसलिए स्थानांतरण करने के कुल तरीकों की संख्या दोनों व्यक्तिगत चयन गणनाओं का गुणनफल होगी।
कुल तरीके $= ^3C_2 \times ^9C_2 = 3 \times 36 = 108$.

(D) कथन-$1$ के लिए: $n$ समान वस्तुओं को $r$ अलग-अलग बक्सों में इस प्रकार वितरित करने के तरीकों की संख्या कि कोई भी बक्सा खाली न रहे,सूत्र $^{n-1}C_{r-1}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$n = 10$ और $r = 4$ है।
अतः,तरीकों की संख्या $^{10-1}C_{4-1} = ^9C_3$ है।
इस प्रकार,कथन-$1$ सही है।
कथन-$2$ के लिए: $n$ अलग-अलग वस्तुओं में से $r$ वस्तुओं को चुनने के तरीकों की संख्या $^nC_r$ होती है।
यहाँ,$n = 9$ और $r = 3$ है,इसलिए तरीकों की संख्या $^9C_3$ है।
इस प्रकार,कथन-$2$ सही है।
चूंकि कथन-$1$ में प्रयुक्त सूत्र स्थानों को चुनने की अवधारणा (स्टार्स एंड बार्स विधि) से प्राप्त होता है,इसलिए कथन-$2$,कथन-$1$ की सही व्याख्या प्रदान करता है।

(D) चूंकि एक ही रंग की गेंदें समान हैं,इसलिए किसी विशेष रंग की गेंदों को चुनने के तरीकों की संख्या उस रंग की गेंदों की कुल संख्या प्लस एक (उस स्थिति के लिए जब उस रंग की कोई भी गेंद नहीं चुनी जाती है) के बराबर होती है।
$10$ सफेद गेंदों के लिए,चुनने के तरीके $(10 + 1) = 11$ हैं।
$9$ हरी गेंदों के लिए,चुनने के तरीके $(9 + 1) = 10$ हैं।
$7$ काली गेंदों के लिए,चुनने के तरीके $(7 + 1) = 8$ हैं।
गेंदों की किसी भी संख्या को चुनने के कुल तरीके (जिसमें वह स्थिति भी शामिल है जब कोई गेंद नहीं चुनी जाती है) $11 \times 10 \times 8 = 880$ हैं।
चूंकि हमें एक या अधिक गेंदें चुननी हैं,इसलिए हमें उस स्थिति को बाहर करना होगा जिसमें कोई भी गेंद नहीं चुनी जाती है।
अतः,आवश्यक तरीकों की संख्या $880 - 1 = 879$ है।

(B) $n$-भुजा वाले बहुभुज के शीर्षों को जोड़कर बनने वाले त्रिभुजों की संख्या संचय के सूत्र $T_n = ^nC_3$ द्वारा दी जाती है।
दी गई शर्त $T_{n+1} - T_n = 10$ के अनुसार,हम सूत्र का उपयोग करते हैं:
$^{n+1}C_3 - ^nC_3 = 10$
संचय के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $^nC_r + ^nC_{r-1} = ^{n+1}C_r$,जिसका अर्थ है कि $^{n+1}C_3 - ^nC_3 = ^nC_2$.
इसलिए,$^nC_2 = 10$.
संचय के सूत्र का विस्तार करने पर:
$\frac{n(n-1)}{2} = 10$
$n(n-1) = 20$
$n^2 - n - 20 = 0$
$(n-5)(n+4) = 0$
चूंकि $n$ बहुभुज की भुजाओं की संख्या को दर्शाता है,इसलिए $n$ एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए। अतः,$n = 5$.

(C) $3, 5, 6, 7, 8$ अंकों का उपयोग करके बिना पुनरावृत्ति के $6000$ से बड़ी पूर्णांक संख्याएँ बनाने के लिए,हम दो स्थितियों पर विचार करते हैं:
स्थिति $1$: $5$-अंकीय संख्याएँ।
चूँकि सभी $5$ अंक उपलब्ध हैं और हमें $5$-अंकीय संख्या बनानी है,तो कुल व्यवस्थाओं की संख्या $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ है।
स्थिति $2$: $4$-अंकीय संख्याएँ।
$4$-अंकीय संख्या के $6000$ से बड़ा होने के लिए,पहला अंक (हज़ार का स्थान) $6, 7,$ या $8$ होना चाहिए। अतः,पहले अंक के लिए $3$ विकल्प हैं।
शेष $3$ स्थानों को शेष $4$ अंकों द्वारा $P(4, 3) = 4 \times 3 \times 2 = 24$ तरीकों से भरा जा सकता है।
कुल $4$-अंकीय संख्याएँ $= 3 \times 24 = 72$।
कुल पूर्णांक संख्याएँ $= 120 + 72 = 192$।