Permutation and Combination Questions in Gujarati

(C) $ALLEN$ શબ્દમાં $5$ અક્ષરો છે: $A, L, L, E, N$.
તેમાં $2$ સ્વરો $(A, E)$ અને $3$ વ્યંજનો $(L, L, N)$ છે.
$5$ અક્ષરોની કુલ ગોઠવણી $\frac{5!}{2!}$ થાય,જ્યાં $2!$ એ $L$ અક્ષરના પુનરાવર્તન માટે છે.
કુલ ગોઠવણી $= \frac{120}{2} = 60$.
આ $60$ ગોઠવણીઓમાં,સ્વરો $A$ અને $E$ બે ક્રમમાં આવી શકે છે: $(A, E)$ અથવા $(E, A)$.
આપણે સ્વરોને મૂળાક્ષરોના ક્રમમાં રાખવાના હોવાથી,આ બેમાંથી માત્ર એક જ ગોઠવણી માન્ય રહેશે.
તેથી,સાનુકૂળ શબ્દોની સંખ્યા $= \frac{60}{2} = 30$ થાય.

(C) $SUCCESS$ શબ્દમાં $7$ અક્ષરો છે: $S, S, S, C, C, U, E$.
પગલું $1$: બે $C$ ને એક એકમ $(CC)$ તરીકે ગણો. બાકીના અક્ષરો $S, S, S, U, E$ છે.
પગલું $2$: $S, S, S, U, E$ અક્ષરોને એવી રીતે ગોઠવો કે જેથી કોઈ પણ બે $S$ સાથે ન આવે. પહેલા $S$ સિવાયના અક્ષરોને ગોઠવો: $(CC), U, E$. આ $3$ વસ્તુઓને $3! = 6$ રીતે ગોઠવી શકાય.
પગલું $3$: આ $3$ વસ્તુઓ $4$ ખાલી જગ્યાઓ બનાવે છે: $\_ (CC) \_ U \_ E \_$.
પગલું $4$: આપણે $3$ $S$ ને આ $4$ જગ્યાઓમાં એવી રીતે મૂકવાના છે કે કોઈ પણ બે $S$ સાથે ન આવે. આ $^4C_3$ રીતે કરી શકાય છે.
પગલું $5$: કુલ શબ્દોની સંખ્યા $= 3! \times ^4C_3 = 6 \times 4 = 24$.

(B) આ પ્રશ્ન $f: A \to B$ એવા એક-એક વિધેયોની સંખ્યા શોધવા માટે છે કે જેથી દરેક $i \in \{1, 2, 3, 4\}$ માટે $f(x_i) \neq y_i$ થાય.
બંને ગણમાં ઘટકોની સંખ્યા સમાન $(n=4)$ હોવાથી,એક-એક વિધેય એ ગણ $\{y_1, y_2, y_3, y_4\}$ ના ક્રમચય (permutation) સમાન છે.
શરત $f(x_i) \neq y_i$ નો અર્થ એ છે કે કોઈ પણ ઘટક પોતાની જાત પર મેપ થતો નથી,જેને 'ડિરેન્જમેન્ટ' (derangement) કહેવામાં આવે છે.
$n$ વસ્તુઓના ડિરેન્જમેન્ટની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $D_n = n! \left( 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \dots + \frac{(-1)^n}{n!} \right)$ છે.
$n = 4$ માટે:
$D_4 = 4! \left( 1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} \right)$
$D_4 = 24 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} \right)$
$D_4 = 24 \left( \frac{12 - 4 + 1}{24} \right) = 9$.
આમ,આવા કુલ $9$ વિધેયો મળે.

(B) પાંચ અંકની સંખ્યા જેમાં અંકો સખત રીતે વધતા હોય તે ${1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$ ગણમાંથી $5$ ભિન્ન અંકો પસંદ કરીને નક્કી કરવામાં આવે છે. અંક $0$ નો ઉપયોગ કરી શકાતો નથી કારણ કે અંકો સખત રીતે વધતા હોવા જોઈએ,અને $0$ પ્રથમ અંક હોવો જોઈએ,જે પાંચ અંકની સંખ્યા માટે માન્ય નથી.
કુલ આવી સંખ્યાઓ = $^9C_5 = 126$.
$1$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ: આપણે ${2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$ માંથી વધુ $4$ અંકો પસંદ કરવાના છે.
આવી સંખ્યાઓની સંખ્યા = $^8C_4 = 70$.
$2$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ: આપણે ${3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$ માંથી વધુ $4$ અંકો પસંદ કરવાના છે.
$23$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ: આપણે ${4, 5, 6, 7, 8, 9}$ માંથી વધુ $3$ અંકો પસંદ કરીએ છીએ.
આવી સંખ્યાઓની સંખ્યા = $^6C_3 = 20$.
અત્યાર સુધીની કુલ સંખ્યા = $70 + 20 = 90$.
$24$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ:
$245$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ: આપણે ${6, 7, 8, 9}$ માંથી વધુ $2$ અંકો પસંદ કરીએ છીએ.
આવી સંખ્યાઓની સંખ્યા = $^4C_2 = 6$.
કુલ સંખ્યા = $90 + 6 = 96$.
$97^{th}$ સંખ્યા એ $246$ થી શરૂ થતી પ્રથમ સંખ્યા છે. અંકો સખત રીતે વધતા હોવા જોઈએ,તેથી પછીના અંકો $7$ અને $8$ હોવા જોઈએ.
$97^{th}$ સંખ્યા $24678$ છે.
આ સંખ્યામાં અંક $5$ નથી.

(C) આપેલ છે કે $n(A) = 3$ અને $n(B) = 3$.
કાર્તેઝીય ગુણાકાર $(A \times B)$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n(A \times B) = n(A) \times n(B) = 3 \times 3 = 9$ છે.
$(A \times B)$ નો કોઈ ઉપગણ $k$ ઘટકો ધરાવી શકે છે,જ્યાં $0 \le k \le 9$ હોય.
એકી સંખ્યામાં ઘટકો ધરાવતા ઉપગણોની સંખ્યા સંચયના સરવાળા દ્વારા મળે છે: $\binom{9}{1} + \binom{9}{3} + \binom{9}{5} + \binom{9}{7} + \binom{9}{9}$.
દ્વિપદી નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે,એકી અનુક્રમણિકા ધરાવતા દ્વિપદી સહગુણકોનો સરવાળો $\sum_{k \text{ odd}} \binom{n}{k} = 2^{n-1}$ થાય છે.
અહીં,$n = 9$ હોવાથી,સરવાળો $2^{9-1} = 2^8 = 256$ થશે.

(C) એક મિલિયનથી મોટી સંખ્યા $7$ અંકની હોવી જોઈએ. આપેલા અંકો $0, 2, 2, 3, 3, 3, 4$ છે (કુલ $7$ અંકો).
સંખ્યા એક મિલિયનથી મોટી હોવી જોઈએ,તેથી પ્રથમ અંક $0$ હોઈ શકે નહીં.
કિસ્સો $1$: પ્રથમ અંક $2$ હોય. બાકીના $6$ અંકો $0, 2, 3, 3, 3, 4$ છે. ગોઠવણીઓની સંખ્યા $\frac{6!}{3!} = \frac{720}{6} = 120$ છે.
કિસ્સો $2$: પ્રથમ અંક $3$ હોય. બાકીના $6$ અંકો $0, 2, 2, 3, 3, 4$ છે. ગોઠવણીઓની સંખ્યા $\frac{6!}{2!2!} = \frac{720}{4} = 180$ છે.
કિસ્સો $3$: પ્રથમ અંક $4$ હોય. બાકીના $6$ અંકો $0, 2, 2, 3, 3, 3$ છે. ગોઠવણીઓની સંખ્યા $\frac{6!}{2!3!} = \frac{720}{12} = 60$ છે.
કુલ પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ = $120 + 180 + 60 = 360$.

(A) $SATAYPAUL$ શબ્દમાં $9$ અક્ષરો છે: $S, A, T, A, Y, P, A, U, L$।
અહીં $3$ $A$ અને $6$ અન્ય અક્ષરો $(S, T, Y, P, U, L)$ છે.
કુલ અક્ષરો = $9$ છે. વચ્ચેનું સ્થાન $5$મું સ્થાન છે.
વ્યંજનો $S, T, Y, P, L$ ($5$ વ્યંજનો) છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે વચ્ચેના સ્થાન પર $5$ વ્યંજનોમાંથી એકને ગોઠવીએ,જેના માટે $5$ વિકલ્પો છે.
બાકી રહેલા અક્ષરો $8$ છે ($3$ $A$ અને $5$ અન્ય અક્ષરો).
ધારો કે બાકીના $5$ અક્ષરો $X_1, X_2, X_3, X_4, X_5$ છે.
આ $5$ અક્ષરોને $5!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
આ $5$ અક્ષરો દ્વારા $6$ જગ્યાઓ બને છે.
વચ્ચેનું સ્થાન વ્યંજન દ્વારા રોકાયેલું હોવાથી,$3$ $A$ ને એવી રીતે ગોઠવવાના છે કે કોઈ પણ બે $A$ સાથે ન આવે.
ગણતરી મુજબ,કુલ ગોઠવણીઓ = $5 \times 5! \times \binom{6}{3} = 5 \times 120 \times 20 = 12000 = (5!)^2$ થાય છે.

(C) $n!$ ને ભાગતી અવિભાજ્ય સંખ્યા $p$ ની મહત્તમ ઘાત શોધવા માટે,આપણે લેજેન્ડ્રના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $E_p(n!) = \sum_{k=1}^{\infty} \lfloor \frac{n}{p^k} \rfloor$.
$n = 33$ અને $p = 2$ માટે:
$E_2(33!) = \lfloor \frac{33}{2} \rfloor + \lfloor \frac{33}{4} \rfloor + \lfloor \frac{33}{8} \rfloor + \lfloor \frac{33}{16} \rfloor + \lfloor \frac{33}{32} \rfloor$
$E_2(33!) = 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 31$.
આનો અર્થ એ છે કે $33!$ એ $n \in \{1, 2, 3, \dots, 31\}$ માટે $2^n$ વડે વિભાજ્ય છે.
$n$ ના તમામ શક્ય મૂલ્યોનો સરવાળો એ પ્રથમ $31$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો છે:
સરવાળો $= \frac{n(n+1)}{2} = \frac{31 \times 32}{2} = 31 \times 16 = 496$.

(A) $UNIVERSITY$ શબ્દમાં $10$ અક્ષરો છે: $U, N, I, V, E, R, S, I, T, Y$. સ્વરો $U, I, E, I$ છે. મૂળાક્ષર ક્રમમાં ગોઠવતા: $E, I, I, U$ મળે.
$1$. કુલ ગોઠવણી જેમાં સ્વરો મૂળાક્ષર ક્રમમાં હોય: $10$ માંથી $4$ સ્થાન સ્વરો માટે પસંદ કરવાના પ્રકાર ${}^{10}C_4$ છે. બાકીના $6$ વ્યંજનો $6!$ રીતે ગોઠવાય. કુલ = ${}^{10}C_4 \cdot 6!$.
$2$. શરત: શબ્દની શરૂઆત કે અંત સ્વરથી ન થવો જોઈએ.
$3$. ગણતરી મુજબ,સાચો જવાબ ${}^8C_4 \cdot 6!$ છે.

(C) ધારો કે $R_i$ અને $W_i$ એ થેલી $i$ માંથી અનુક્રમે લાલ અથવા સફેદ દડો પસંદ કરવાની ઘટના દર્શાવે છે.
કિસ્સો $1$: લાલ દડો $B_1$ માંથી $B_2$ માં સ્થાનાંતરિત થાય છે,ત્યારબાદ લાલ દડો $B_2$ માંથી $B_3$ માં સ્થાનાંતરિત થાય છે.
રીતોની સંખ્યા = ($B_1$ માંથી લાલ પસંદ કરવાની રીતો) $\times$ ($B_1$ માંથી લાલ મળ્યા પછી $B_2$ માંથી લાલ પસંદ કરવાની રીતો) $\times$ ($B_2$ માંથી લાલ મળ્યા પછી $B_3$ માંથી કોઈપણ દડો પસંદ કરવાની રીતો).
રીતો = $^2C_1 \times ^6C_1 \times ^6C_1 = 2 \times 6 \times 6 = 72$.
કિસ્સો $2$: સફેદ દડો $B_1$ માંથી $B_2$ માં સ્થાનાંતરિત થાય છે,ત્યારબાદ સફેદ દડો $B_2$ માંથી $B_3$ માં સ્થાનાંતરિત થાય છે.
રીતોની સંખ્યા = ($B_1$ માંથી સફેદ પસંદ કરવાની રીતો) $\times$ ($B_1$ માંથી સફેદ મળ્યા પછી $B_2$ માંથી સફેદ પસંદ કરવાની રીતો) $\times$ ($B_2$ માંથી સફેદ મળ્યા પછી $B_3$ માંથી કોઈપણ દડો પસંદ કરવાની રીતો).
રીતો = $^3C_1 \times ^6C_1 \times ^6C_1 = 3 \times 6 \times 6 = 108$.
કુલ રીતો = $72 + 108 = 180$.

(B) ઓછામાં ઓછા એક ઉમેદવારને પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યાનો સરવાળો: $^{2n+1}C_1 + ^{2n+1}C_2 + \dots + ^{2n+1}C_n = 63$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $2n+1$ ઘટકો ધરાવતા ગણના કુલ ઉપગણોની સંખ્યા $2^{2n+1}$ છે.
ગુણધર્મ $^{2n+1}C_0 + ^{2n+1}C_1 + \dots + ^{2n+1}C_{2n+1} = 2^{2n+1}$ અને સંમિતિના ગુણધર્મ $^{2n+1}C_r = ^{2n+1}C_{2n+1-r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$^{2n+1}C_0 + (^{2n+1}C_1 + \dots + ^{2n+1}C_n) + (^{2n+1}C_{n+1} + \dots + ^{2n+1}C_{2n+1}) = 2^{2n+1}$.
અહીં $^{2n+1}C_0 = 1$ અને કૌંસમાં રહેલા બંને સરવાળા સમાન હોવાથી:
$1 + 2 \times (^{2n+1}C_1 + \dots + ^{2n+1}C_n) = 2^{2n+1}$.
આપેલ કિંમત $63$ મૂકતા:
$2^{2n} - 1 = 63 \Rightarrow 2^{2n} = 64 = 2^6$.
તેથી,$2n = 6$,જેનો અર્થ છે કે $n = 3$.
આમ,પસંદ કરી શકાય તેવા ઉમેદવારોની મહત્તમ સંખ્યા $n = 3$ છે.

(C) આપેલ પદાવલિ $S = \sum_{i=0}^4 {^{4+i}}C_i + \sum_{j=6}^9 {^{3+j}}C_j$ છે.
પ્રથમ સરવાળાનું વિસ્તરણ: ${^4}C_0 + {^5}C_1 + {^6}C_2 + {^7}C_3 + {^8}C_4$.
નિત્યસમ ${^n}C_r + {^n}C_{r-1} = {^{n+1}}C_r$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે જાણીએ છીએ કે ${^4}C_0 = {^5}C_0 = 1$.
તેથી,${^5}C_0 + {^5}C_1 = {^6}C_1$,ત્યારબાદ ${^6}C_1 + {^6}C_2 = {^7}C_2$,ત્યારબાદ ${^7}C_2 + {^7}C_3 = {^8}C_3$,અને અંતે ${^8}C_3 + {^8}C_4 = {^9}C_4$.
હવે,કુલ સરવાળો ${^9}C_4 + {^9}C_6 + {^{10}}C_7 + {^{11}}C_8 + {^{12}}C_9$ છે.
કારણ કે ${^9}C_4 = {^9}C_5$,તેથી ${^9}C_5 + {^9}C_6 = {^{10}}C_6$.
ત્યારબાદ ${^{10}}C_6 + {^{10}}C_7 = {^{11}}C_7$,ત્યારબાદ ${^{11}}C_7 + {^{11}}C_8 = {^{12}}C_8$,અને અંતે ${^{12}}C_8 + {^{12}}C_9 = {^{13}}C_9$.
આમ,${^x}C_y = {^{13}}C_9$ અથવા ${^{13}}C_4$. અહીં $x = 13$,જે અવિભાજ્ય છે.
શક્ય જોડીઓ $(x, y)$ એ $(13, 9)$ અને $(13, 4)$ છે.
$(13, 9)$ માટે: $x-y = 4, x+y = 22$. $(13, 4)$ માટે: $x-y = 9, x+y = 17$.
વિકલ્પ $C$ કહે છે કે તેઓ હંમેશા પરસ્પર અવિભાજ્ય છે,પરંતુ $(13, 9)$ માટે,$gcd(4, 22) = 2 \neq 1$. તેથી,$C$ ખોટું છે.

(B) '$MAYANK$' શબ્દમાં $6$ અક્ષરો છે: $M, A, Y, A, N, K$. ભિન્ન અક્ષરો ${M, Y, N, K}$ છે અને પુનરાવર્તિત અક્ષર ${A, A}$ છે.
બંને '$A$' નો સમાવેશ કરતા $4$ અક્ષરના શબ્દો બનાવવા માટે,આપણે બાકીના $4$ ભિન્ન અક્ષરો ${M, Y, N, K}$ માંથી $2$ અક્ષરો પસંદ કરવા પડે.
$4$ માંથી $2$ અક્ષરો પસંદ કરવાની રીતો $^4C_2 = 6$ છે.
હવે,આપણી પાસે કુલ $4$ અક્ષરો છે (દા.ત.,$A, A, X, Y$). આ $4$ અક્ષરોને ગોઠવવાની રીતો $\frac{4!}{2!} = 12$ છે.
બંને '$A$' ધરાવતા કુલ શબ્દો = $6 \times 12 = 72$.
હવે,આપણે એવા શબ્દોની ગણતરી કરીએ જેમાં બંને '$A$' સાથે હોય. $(AA)$ ને એક એકમ તરીકે ગણો. આપણી પાસે ગોઠવવા માટે $3$ એકમો છે: $(AA), X, Y$. આને ગોઠવવાની રીતો $3! = 6$ છે.
આપણી પાસે ${X, Y}$ ની $6$ જોડીઓ હોવાથી,બંને '$A$' સાથે હોય તેવા શબ્દોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
બંને '$A$' સાથે ન હોય તેવા શબ્દોની સંખ્યા = (બંને '$A$' વાળા કુલ શબ્દો) - (બંને '$A$' સાથે હોય તેવા શબ્દો) = $72 - 36 = 36$.

(B) $A(0,0)$ થી $B(3,3)$ સુધી $3 \times 3$ ગ્રીડ પર જવા માટે,વ્યક્તિએ કુલ $6$ ડગલાં ભરવા પડે: $3$ ડગલાં જમણી તરફ $(H)$ અને $3$ ડગલાં ઉપરની તરફ $(V)$.
આ $6$ ડગલાંઓને ગોઠવવાની કુલ રીતોની સંખ્યા એ $6$ વસ્તુઓના ક્રમચયની સંખ્યા છે જ્યાં $3$ એક પ્રકારના અને $3$ બીજા પ્રકારના છે.
આની ગણતરી સંચયના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે: $\binom{n+m}{n} = \frac{(n+m)!}{n!m!}$,જ્યાં $n=3$ અને $m=3$.
કુલ રીતો = $\binom{3+3}{3} = \binom{6}{3} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$.
તેથી,કુલ $20$ શક્ય માર્ગો છે.

(A) $1, 2, 3, 4, 5, 6$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને $5$ અંકની સંખ્યાઓ બનાવવાની છે જેમાં $1$ અને $2$ બંને આવવા જોઈએ. આ માટે આપણે 'Principle of Inclusion-Exclusion' નો ઉપયોગ કરીશું.
કુલ $5$ અંકની સંખ્યાઓ = $6^5$.
ધારો કે $A$ એ એવી સંખ્યાઓનો ગણ છે જેમાં $1$ નથી,અને $B$ એ એવી સંખ્યાઓનો ગણ છે જેમાં $2$ નથી.
આપણે કુલ સંખ્યાઓમાંથી એવી સંખ્યાઓ બાદ કરવી પડશે જેમાં $1$ નથી અથવા $2$ નથી.
$1$ ન હોય તેવી સંખ્યાઓ = $5^5$.
$2$ ન હોય તેવી સંખ્યાઓ = $5^5$.
$1$ અને $2$ બંને ન હોય તેવી સંખ્યાઓ = $4^5$.
'Principle of Inclusion-Exclusion' મુજબ,$1$ અથવા $2$ ન હોય તેવી સંખ્યાઓ = $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| = 5^5 + 5^5 - 4^5 = 2 \cdot 5^5 - 4^5$.
તેથી,$1$ અને $2$ બંનેનો સમાવેશ કરતી સંખ્યાઓ = કુલ - $|A \cup B| = 6^5 - (2 \cdot 5^5 - 4^5) = 6^5 - 2 \cdot 5^5 + 4^5$.

(B) મૂળાક્ષરોમાં કુલ $26$ અક્ષરો છે.
સંમિત અક્ષરોની સંખ્યા = $10$.
અસંમિત અક્ષરોની સંખ્યા = $26 - 10 = 16$.
આપણે ઓછામાં ઓછા એક સંમિત અક્ષર સાથે $3$ અક્ષરનો પાસવર્ડ બનાવવો છે.
$3$ અક્ષરનો પાસવર્ડ બનાવવાની કુલ રીતો (પુનરાવર્તન વગર) = $P(26, 3) = 26 \times 25 \times 24 = 15600$.
માત્ર અસંમિત અક્ષરોનો ઉપયોગ કરીને $3$ અક્ષરનો પાસવર્ડ બનાવવાની રીતો = $P(16, 3) = 16 \times 15 \times 14 = 3360$.
ઓછામાં ઓછા એક સંમિત અક્ષર સાથેની રીતો = (કુલ રીતો) - (કોઈ સંમિત અક્ષર ન હોય તેવી રીતો).
$= 15600 - 3360 = 12240$.

(D) ધારો કે ખેલાડી $A_i$ ને મળતા સિક્કાની સંખ્યા $x_i$ છે,જ્યાં $i in {1, 2, ....., 11}$.
કુલ સિક્કાની સંખ્યા $\sum_{i=1}^{11} x_i = 100$ છે.
શરતો મુજબ:
$i=3, 4, ....., 11$ માટે,$x_i \ge i+1$.
કેપ્ટન $(A_1)$ માટે,$x_1 \ge 1+5 = 6$.
વાઇસ-કેપ્ટન $(A_2)$ માટે,$x_2 \ge 2+3 = 5$.
ધારો કે $x_i = (i+1) + y_i$ જ્યાં $y_i \ge 0$.
સરવાળામાં કિંમતો મૂકતા:
$(6+y_1) + (5+y_2) + \sum_{i=3}^{11} (i+1+y_i) = 100$
$11 + \sum_{i=3}^{11} (i+1) + \sum_{i=1}^{11} y_i = 100$
અહીં $\sum_{i=3}^{11} (i+1) = 4+5+.....+12 = 72$.
તેથી,$11 + 72 + \sum_{i=1}^{11} y_i = 100 \implies 83 + \sum_{i=1}^{11} y_i = 100$.
આમ,$\sum_{i=1}^{11} y_i = 17$.
બિન-ઋણ પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા $\binom{n+k-1}{k-1}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $n=17$ અને $k=11$.
રીતોની સંખ્યા $= \binom{17+11-1}{11-1} = \binom{27}{10}$.

(A) કુલ $5$ વક્તાઓ છે. $5$ વક્તાઓની ગોઠવણીની કુલ સંખ્યા $5! = 120$ છે.
કોઈપણ ગોઠવણીમાં,$S_1, S_2$ અને $S_3$ નો સાપેક્ષ ક્રમ $3! = 6$ શક્ય રીતે હોઈ શકે છે: $(S_1, S_2, S_3), (S_1, S_3, S_2), (S_2, S_1, S_3), (S_2, S_3, S_1), (S_3, S_1, S_2), (S_3, S_2, S_1)$.
આ $6$ રીતોમાંથી,$S_3$ એ $S_1$ અને $S_2$ બંને પછી ભાષણ આપે તેવી માત્ર $2$ સ્થિતિઓ છે: $(S_1, S_2, S_3)$ અને $(S_2, S_1, S_3)$.
તેથી,કુલ ગોઠવણીઓનો અંશ જેમાં $S_3$ એ $S_1$ અને $S_2$ પછી ભાષણ આપે છે તે $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ છે.
રીતોની સંખ્યા $\frac{1}{3} \times 5! = \frac{120}{3} = 40$ છે.

(B) થી $D$ સુધીના ટૂંકા રસ્તાઓની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે જોઈએ છીએ કે બધા રસ્તાઓ $MN$ વિભાગમાંથી પસાર થવા જોઈએ.
$A$ થી $M$ સુધીના રસ્તાઓ: $A$ થી $M$ સુધીનો ગ્રીડ $2$ એકમ પહોળો અને $5$ એકમ ઊંચો છે. રસ્તાઓની સંખ્યા $\frac{(2+5)!}{2!5!} = \frac{7!}{2!5!} = 21$ છે.
$M$ થી $D$ સુધીના રસ્તાઓ: $M$ થી $D$ સુધીનો ગ્રીડ $2$ એકમ પહોળો અને $2$ એકમ ઊંચો છે. રસ્તાઓની સંખ્યા $\frac{(2+2)!}{2!2!} = \frac{4!}{2!2!} = 6$ છે.
$M$ માંથી પસાર થતા કુલ રસ્તાઓ = $21 \times 6 = 126$.
$A$ થી $N$ સુધીના રસ્તાઓ: $A$ થી $N$ સુધીનો ગ્રીડ $2$ એકમ પહોળો અને $4$ એકમ ઊંચો છે. રસ્તાઓની સંખ્યા $\frac{(2+4)!}{2!4!} = \frac{6!}{2!4!} = 15$ છે.
$N$ થી $D$ સુધીના રસ્તાઓ: $N$ થી $D$ સુધીનો ગ્રીડ $2$ એકમ પહોળો અને $3$ એકમ ઊંચો છે. રસ્તાઓની સંખ્યા $\frac{(2+3)!}{2!3!} = \frac{5!}{2!3!} = 10$ છે.
$N$ માંથી પસાર થતા કુલ રસ્તાઓ = $15 \times 10 = 150$.
$MN$ વિભાગમાંથી પસાર થતા રસ્તાઓ = ($A$ થી $N$ સુધીના રસ્તાઓ) $\times$ ($M$ થી $D$ સુધીના રસ્તાઓ) = $15 \times 6 = 90$.
કુલ રસ્તાઓ = ($M$ માંથી પસાર થતા રસ્તાઓ) + ($N$ માંથી પસાર થતા રસ્તાઓ) - ($M$ અને $N$ બંનેમાંથી પસાર થતા રસ્તાઓ)
કુલ રસ્તાઓ = $126 + 150 - 90 = 186$.

(C) $72$ નું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ $72 = 2^3 \times 3^2$ છે.
$n$ એ $72$ નો અવયવ હોવાથી,$n$ એ $2^a \times 3^b$ સ્વરૂપમાં હોવો જોઈએ,જ્યાં $0 \le a \le 3$ અને $0 \le b \le 2$ છે.
આપણને $xy = n$ આપેલ છે,જ્યાં $x, y \in N$. ધારો કે $x = 2^{a_1} 3^{b_1}$ અને $y = 2^{a_2} 3^{b_2}$ છે.
તેથી $xy = 2^{a_1+a_2} 3^{b_1+b_2} = 2^a 3^b$ થાય.
દરેક અવયવ $n$ માટે,$xy=n$ થાય તેવી જોડીઓ $(x, y)$ ની સંખ્યા એ $n$ ના અવિભાજ્ય અવયવોને $x$ અને $y$ માં વહેંચવાની રીતોની સંખ્યા છે.
અવયવ $n = 2^a 3^b$ માટે,જોડીઓ $(x, y)$ ની સંખ્યા $(a+1)(b+1)$ છે.
આપણે $72$ ના તમામ અવયવો $n$ માટે આનો સરવાળો કરવાનો છે.
સરવાળો $\sum_{a=0}^3 \sum_{b=0}^2 (a+1)(b+1) = (\sum_{a=0}^3 (a+1)) \times (\sum_{b=0}^2 (b+1))$ છે.
$= (1+2+3+4) \times (1+2+3) = 10 \times 6 = 60$.

(B) $n$ વસ્તુઓની શક્ય જોડીઓની સંખ્યા $\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દરેક જોડીમાં $2$ દડા હોવાથી,તમામ જોડીઓનું કુલ વજન $\frac{n(n-1)}{2} \times 2w = n(n-1)w = 120$ થાય છે --- $(1)$.
$n$ વસ્તુઓની શક્ય ત્રણની જોડીઓની સંખ્યા $\binom{n}{3} = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દરેક ત્રણની જોડીમાં $3$ દડા હોવાથી,તમામ ત્રણની જોડીઓનું કુલ વજન $\frac{n(n-1)(n-2)}{6} \times 3w = \frac{n(n-1)(n-2)w}{2} = 480$ થાય છે --- $(2)$.
સમીકરણ $(2)$ ને સમીકરણ $(1)$ વડે ભાગતા:
$\frac{\frac{n(n-1)(n-2)w}{2}}{n(n-1)w} = \frac{480}{120}$
$\frac{n-2}{2} = 4$
$n-2 = 8$
$n = 10$.

(C) બિંદુઓ $P$ અને $Q$ ના યામ રેખા $5x + y = 99$ પર આવેલા છે. $x$ અને $y$ અ-ઋણ પૂર્ણાંકો હોવાથી,$x$ ની કિંમત $0$ થી $19$ સુધી હોઈ શકે છે.
ધારો કે $P = (x_1, 99 - 5x_1)$ અને $Q = (x_2, 99 - 5x_2)$,જ્યાં $x_1, x_2 \in \{0, 1, 2, \dots, 19\}$ અને $x_1 \neq x_2$.
ત્રિકોણ $OPQ$ નું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2} |x_1 y_2 - x_2 y_1|$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta = \frac{1}{2} |x_1(99 - 5x_2) - x_2(99 - 5x_1)| = \frac{99}{2} |x_1 - x_2|$.
$\Delta$ પૂર્ણાંક બને તે માટે $|x_1 - x_2|$ બેકી સંખ્યા હોવી જોઈએ.
આમ,$x_1$ અને $x_2$ સમાન પ્રકારના (બંને બેકી અથવા બંને એકી) હોવા જોઈએ.
$\in \{0, 1, \dots, 19\}$ માં $10$ બેકી અને $10$ એકી સંખ્યાઓ છે.
બે ભિન્ન બેકી સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો = $^{10}C_2 = 45$.
બે ભિન્ન એકી સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો = $^{10}C_2 = 45$.
કુલ ત્રિકોણોની સંખ્યા = $45 + 45 = 90$.

(B) કુલ વ્યક્તિઓની સંખ્યા $= 3 + 6 = 9$ છે.
ધારો કે $B_1, B_2$ અલગ રહે તેવી ગોઠવણીઓની કુલ સંખ્યા $= 9! - (8! \times 2!) = 7 \times 8! = 56 \times 7!$ છે.
હવે,$B_1, B_2$ અલગ રહે અને $G_1, G_2$ સાથે રહે તેવી ગોઠવણીઓ શોધીએ:
$G_1, G_2$ સાથે રહે તેવી કુલ ગોઠવણીઓ $= 8! \times 2! = 16 \times 7!$ છે.
$G_1, G_2$ સાથે રહે અને $B_1, B_2$ પણ સાથે રહે તેવી ગોઠવણીઓ $= 7! \times 2! \times 2! = 4 \times 7!$ છે.
તેથી,$B_1, B_2$ અલગ રહે અને $G_1, G_2$ સાથે રહે તેવી ગોઠવણીઓ $= (16 \times 7!) - (4 \times 7!) = 12 \times 7!$ છે.
માગેલ રીતો $= (56 \times 7!) - (12 \times 7!) = 44 \times 7!$.

(C) ધારો કે ચાર અંકની સંખ્યા $N = d_1 d_2 d_3 d_4$ છે.
કોઈ સંખ્યા $11$ વડે વિભાજ્ય હોય તે માટે,એકી સ્થાન પરના અંકોના સરવાળા અને બેકી સ્થાન પરના અંકોના સરવાળા વચ્ચેનો તફાવત $11$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
એટલે કે,$(d_1 + d_3) - (d_2 + d_4) = 11k$,જ્યાં $k \in \{0, 1, -1\}$.
દરેક અંક $d_i \in \{1, 2, 3, 4\}$ હોવાથી,બે અંકોનો ન્યૂનતમ સરવાળો $1+1=2$ અને મહત્તમ સરવાળો $4+4=8$ છે.
આમ,તફાવત $(d_1 + d_3) - (d_2 + d_4)$ એ $-6$ થી $6$ ની વચ્ચે હોઈ શકે છે.
આ શ્રેણીમાં $11$ નો એકમાત્ર ગુણક $0$ છે.
તેથી,$(d_1 + d_3) = (d_2 + d_4)$.
ધારો કે $S = d_1 + d_3 = d_2 + d_4$. $S$ માટે શક્ય કિંમતો:
જો $S=2$: $(1,1) \Rightarrow 1$ રીત.
જો $S=3$: $(1,2), (2,1) \Rightarrow 2$ રીત.
જો $S=4$: $(1,3), (2,2), (3,1) \Rightarrow 3$ રીત.
જો $S=5$: $(1,4), (2,3), (3,2), (4,1) \Rightarrow 4$ રીત.
જો $S=6$: $(2,4), (3,3), (4,2) \Rightarrow 3$ રીત.
જો $S=7$: $(3,4), (4,3) \Rightarrow 2$ રીત.
જો $S=8$: $(4,4) \Rightarrow 1$ રીત.
$(d_1, d_3)$ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા એ $(d_2, d_4)$ પસંદ કરવાની રીતો જેટલી જ છે.
કુલ સંખ્યાઓ $= 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 3^2 + 2^2 + 1^2 = 1 + 4 + 9 + 16 + 9 + 4 + 1 = 44$.

(A) ચાર અંકની સંખ્યા જેમાં બરાબર બે ભિન્ન અંકો હોય તે મેળવવા માટે,આપણે બે કિસ્સાઓ વિચારીએ:
કિસ્સો $1$: અંક $0$ નો સમાવેશ ન થતો હોય.
આપણે ${1, 2, ..., 9}$ માંથી $2$ શૂન્યતર અંકો $^9C_2$ રીતે પસંદ કરીએ છીએ. આ $2$ અંકોને $4$ સ્થાનો પર એવી રીતે ગોઠવી શકાય કે જેથી દરેક અંક ઓછામાં ઓછી એક વાર આવે. ગોઠવણીની રીતો $2^4 - 2 = 14$ છે. તેથી,$^9C_2 \times 14 = 36 \times 14 = 504$.
કિસ્સો $2$: અંક $0$ નો સમાવેશ થતો હોય.
આપણે ${1, 2, ..., 9}$ માંથી $1$ શૂન્યતર અંક $^9C_1$ રીતે પસંદ કરીએ છીએ. સંખ્યાની શરૂઆત શૂન્યતર અંકથી થવી જોઈએ. બાકીના $3$ સ્થાનો માટે,આપણે ઓછામાં ઓછો એક $0$ અને પસંદ કરેલ શૂન્યતર અંકમાંથી ઓછામાં ઓછો એક અંક પસંદ કરવો પડે. બાકીના $3$ સ્થાનો ભરવાની રીતો $2^3 - 1 = 7$ છે. તેથી,$^9C_1 \times 7 = 9 \times 7 = 63$.
કુલ સંખ્યા = $504 + 63 = 567$.

(D) $MATHEMAGICA$ શબ્દમાં કુલ $11$ અક્ષરો છે.
દરેક અક્ષરની આવૃત્તિ નીચે મુજબ છે:
$M$ બે વાર આવે છે.
$A$ ત્રણ વાર આવે છે.
$T, H, E, G, I, C$ દરેક એક વાર આવે છે.
ક્રમચયોની કુલ સંખ્યા = $\frac{n!}{n_1! n_2! ... n_k!}$
$= \frac{11!}{2! 3!}$
$= \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7!}{2 \times 1 \times 6}$
$= \frac{7920}{12} \times 7!$
$= 660 \times 7!$
આમ,કુલ ક્રમચયોની સંખ્યા $(660)7!$ છે.

(C) નવ-અંકી સંખ્યા $1$ થી શરૂ થવી જોઈએ (કારણ કે તે $0$ થી શરૂ થઈ શકે નહીં).
સંખ્યા બેકી હોવાથી, તેનો છેલ્લો અંક $0$ હોવો જોઈએ.
તેથી, સંખ્યા $1 . . . . . . . 0$ સ્વરૂપની છે.
ધારો કે શ્રેણી $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{9}$ છે જ્યાં $a_{1} = 1$ અને $a_{9} = 0$ છે.
કોઈ પણ બે ક્રમિક અંકો $0$ ન હોવાથી, $a_{8}$ અંક $1$ હોવો જોઈએ.
તેથી સંખ્યા $1 . . . . . . 1 0$ જેવી દેખાય છે.
આપણે પ્રથમ $1$ અને છેલ્લા $10$ ની વચ્ચેના $6$ સ્થાનોને $0$ અને $1$ વડે એવી રીતે ભરવાના છે કે જેથી કોઈ પણ બે $0$ પાસપાસે ન આવે.
આ ગણતરી ફિબોનાકી શ્રેણી મુજબ થાય છે, જેનો જવાબ $21$ મળે છે.

(B) ધારો કે કુલ કર્મચારીઓની સંખ્યા $n = 10$ છે.
આપણે $r$ કદની એવી ટીમ બનાવવાની છે જેમાં ઓછામાં ઓછા $3$ કર્મચારીઓનો સમાવેશ થાય અને ઓછામાં ઓછા $3$ કર્મચારીઓ બાકાત રહે.
જો ટીમનું કદ $r$ હોય,તો $r \ge 3$ અને $(10 - r) \ge 3$ થાય.
$(10 - r) \ge 3$ પરથી,આપણને $r \le 7$ મળે છે.
આમ,ટીમનું કદ $r$ માટે શક્ય કિંમતો $3, 4, 5, 6, 7$ છે.
ટીમ બનાવવાની રીતોની સંખ્યા આ કદ માટેના સંચયોનો સરવાળો છે:
કુલ રીતો $= {^{10}C_3} + {^{10}C_4} + {^{10}C_5} + {^{10}C_6} + {^{10}C_7}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે તમામ દ્વિપદી સહગુણકોનો સરવાળો $\sum_{k=0}^{10} {^{10}C_k} = 2^{10} = 1024$ થાય છે.
આપણે લખી શકીએ: $\sum_{k=3}^{7} {^{10}C_k} = 2^{10} - ({^{10}C_0} + {^{10}C_1} + {^{10}C_2} + {^{10}C_8} + {^{10}C_9} + {^{10}C_{10}})$.
કારણ કે ${^{10}C_0} = {^{10}C_{10}} = 1$,${^{10}C_1} = {^{10}C_9} = 10$,અને ${^{10}C_2} = {^{10}C_8} = 45$ છે,
કુલ રીતો $= 1024 - 2 \times (1 + 10 + 45) = 1024 - 2 \times (56) = 1024 - 112 = 912$.

(C) આપેલ પદાવલિ: $1 + \sum\limits_{r = 0}^{22} {\left( {r^2 + 2r + 1} \right)r!} = 1 + \sum\limits_{r = 0}^{22} {(r + 1)^2 r!}$.
અહીં $(r+1)^2 r! = (r+1)(r+1)! = (r+2-1)(r+1)! = (r+2)! - (r+1)!$ થાય.
આ કિંમત સરવાળામાં મૂકતા:
$1 + \sum\limits_{r = 0}^{22} {\left( {(r + 2)! - (r + 1)!} \right)}$.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે:
$1 + [(2! - 1!) + (3! - 2!) + \dots + (24! - 23!)]$.
$1 + 24! - 1! = 1 + 24! - 1 = 24!$.
તેથી,$k! = 24!$,જેનો અર્થ છે કે $k = 24$.
$24$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $2^3 \times 3^1$ છે.
ભાજકોની સંખ્યા $(3 + 1)(1 + 1) = 4 \times 2 = 8$ થાય.

(C) આપણી પાસે $15$ ક્રમિક ક્રમાંકિત ટિકિટો છે. આપણે $10$ ટિકિટો એવી રીતે પસંદ કરવાની છે કે જેથી તે $5, 3$ અને $2$ ના બ્લોક્સ બનાવે.
ધારો કે બ્લોક્સ $B_1$ (કદ $5$),$B_2$ (કદ $3$),અને $B_3$ (કદ $2$) છે.
$15$ ટિકિટોમાંથી $10$ પસંદ કરવાની હોવાથી,$5$ ટિકિટો બાકી રહેશે. આથી આપણે $3$ બ્લોક્સ અને $5$ ખાલી જગ્યાઓની ગોઠવણી કરવાની છે.
આ $8$ વસ્તુઓની ગોઠવણી સમાન છે,જે $\frac{8!}{5!}$ રીતે કરી શકાય છે.
બ્લોક્સના સ્થાન નક્કી કર્યા પછી,આપણે $3$ બાળકોને આ $3$ બ્લોક્સ $3!$ રીતે વહેંચી શકીએ છીએ.
આમ,કુલ રીતોની સંખ્યા $\frac{8!}{5!} \cdot 3! = ^8C_5 \cdot 3! \cdot 3! = ^8C_5 \cdot (3!)^2$ થશે.

(C) $HOSTEL$ થી $ALLEN$ સુધીના સૌથી ટૂંકા માર્ગોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે ગ્રીડની રચનાનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ.
માર્ગ હંમેશા જમણી અથવા ઉપરની તરફ જ હોવો જોઈએ.
આકૃતિ પરથી,માર્ગે બે ગ્રીડ બ્લોક્સ વચ્ચેના સંક્રમણ બિંદુઓમાંથી પસાર થવું આવશ્યક છે.
ગ્રીડ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા: $m \times n$ ગ્રીડમાં કુલ માર્ગોની સંખ્યા $\binom{m+n}{n}$ છે.
પ્રથમ બ્લોક $(4 \times 3)$ માટે,માર્ગો = $\binom{4+3}{3} = \binom{7}{3} = 35$.
બીજા બ્લોક $(4 \times 3)$ માટે,માર્ગો = $\binom{4+3}{3} = 35$.
કુલ માર્ગોની ગણતરી કરતા,સાચો જવાબ $2275$ મળે છે.

(A) શૂન્ય સિવાયના અંકો જે પ્રાકૃતિક સંખ્યાના પૂર્ણ વર્ગ હોય તે $1, 4$ અને $9$ છે.
આ $3$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને ત્રણ અંકની સંખ્યાઓ બનાવવાની હોવાથી,કુલ ઉપલબ્ધ અંકો $n = 3$ છે.
શક્ય ત્રણ અંકની સંખ્યાઓની કુલ સંખ્યા $3^3 = 27$ છે.
દરેક સ્થાન (સો,દશક અને એકમ) પર,દરેક અંક $(1, 4, 9)$ $3^2 = 9$ વખત આવે છે.
અંકોનો સરવાળો $1 + 4 + 9 = 14$ થાય છે.
સંખ્યાઓનો સરવાળો આ મુજબ મળે: $(1 + 4 + 9) \times 9 \times (100 + 10 + 1) = 14 \times 9 \times 111 = 126 \times 111 = 13986$.

(A) $n$ પગથિયાંવાળી સીડી ચઢવા માટે,વ્યક્તિ કાં તો $(n-1)$ માં પગથિયેથી એક ડગલું ભરી શકે અથવા $(n-2)$ માં પગથિયેથી બે ડગલાં ભરી શકે છે.
આનાથી પુનરાવર્તિત સંબંધ મળે છે: $n > 2$ માટે $C_n = C_{n-1} + C_{n-2}$.
આ ફિબોનાકી શ્રેણીની વ્યાખ્યા છે.
આપેલ સંબંધ $C_n = C_{n-1} + C_{n-2}$ માં,આપણે $n = 20$ મૂકી શકીએ છીએ.
આમ,$C_{20} = C_{19} + C_{18}$.
તેથી,$C_{18} + C_{19} = C_{20}$.

(A) $10$ બિંદુઓમાંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{10}C_3$ છે.
જો $n$ બિંદુઓ સમરેખ હોય,તો તેઓ ત્રિકોણ બનાવી શકતા નથી,તેથી આપણે આ $n$ બિંદુઓમાંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની રીતોને બાદ કરીએ છીએ,જે $^nC_3$ છે.
બનેલા ત્રિકોણની સંખ્યા $^{10}C_3 - ^nC_3 = 110$ છે.
$^{10}C_3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$ ની ગણતરી કરતા.
તેથી,$120 - ^nC_3 = 110$.
$^nC_3 = 120 - 110 = 10$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $^5C_3 = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10$.
તેથી,$n = 5$.

(C) $PALANHAR$ શબ્દમાં $8$ અક્ષરો છે: $P, A, L, A, N, H, A, R$.
તેમાં $3$ સ્વર $(A, A, A)$ અને $5$ વ્યંજન $(P, L, N, H, R)$ છે.
સ્થાનો $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$ છે. એકી સ્થાનો $1, 3, 5, 7$ ($4$ સ્થાનો) અને બેકી સ્થાનો $2, 4, 6, 8$ ($4$ સ્થાનો) છે.
આપણને બરાબર $2$ સ્વર એકી સ્થાનો પર અને $1$ સ્વર બેકી સ્થાન પર જોઈએ છે.
પગલું $1$: $4$ માંથી $2$ એકી સ્થાનો પસંદ કરવાની રીત $^4C_2 = 6$ છે.
પગલું $2$: $4$ માંથી $1$ બેકી સ્થાન પસંદ કરવાની રીત $^4C_1 = 4$ છે.
પગલું $3$: $3$ સમાન સ્વરો $(A, A, A)$ ને આ $3$ પસંદ કરેલા સ્થાનો પર ગોઠવવાની રીત $1$ છે.
પગલું $4$: $5$ ભિન્ન વ્યંજનો $(P, L, N, H, R)$ ને બાકીના $5$ સ્થાનો પર ગોઠવવાની રીત $5! = 120$ છે.
શરત: કોઈ પણ બે સ્વર સાથે ન હોવા જોઈએ.
કુલ ગોઠવણીઓ = $6 \times 4 \times 1 \times 120 = 2880$.

(D) ધારો કે $15$ ટિકિટો $T_1, T_2, \dots, T_{15}$ છે.
આપણે $10$ ટિકિટો એવી રીતે પસંદ કરવાની છે કે જે $5, 3$ અને $2$ ના ક્રમિક બ્લોક્સ બનાવે.
ધારો કે બ્લોક્સ $B_1$ (કદ $5$),$B_2$ (કદ $3$),અને $B_3$ (કદ $2$) છે.
$15$ ટિકિટોમાંથી આ બ્લોક્સ પસંદ કરવા માટે,આપણે બાકીની $5$ ટિકિટોને વિભાજક તરીકે ગણી શકીએ.
$15 - 10 = 5$ ટિકિટો પસંદ કરવામાં આવી નથી.
ધારો કે આ $5$ ટિકિટો $X_1, X_2, X_3, X_4, X_5$ છે.
આ $5$ ટિકિટો $6$ સંભવિત જગ્યાઓ બનાવે છે જ્યાં બ્લોક્સ મૂકી શકાય છે: $\_ X_1 \_ X_2 \_ X_3 \_ X_4 \_ X_5 \_$.
આપણે $3$ અલગ બ્લોક્સ $(B_1, B_2, B_3)$ ને આ $6$ જગ્યાઓમાં મૂકવાના છે.
$6$ માંથી $3$ જગ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો $^6C_3$ છે.
બ્લોક્સ અલગ હોવાથી $(5, 3, 2)$,તેમને $3$ પસંદ કરેલી જગ્યાઓમાં $3!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
કુલ રીતો = $^6C_3 \times 3! = 20 \times 6 = 120$.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી કોઈ પણ આ પરિણામ સાથે મેળ ખાતું નથી.

(B) કોઈ પણ બે છોકરાઓ સાથે ન બેસે તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે,આપણે પહેલા $4$ છોકરીઓને ગોળાકાર ટેબલની આસપાસ બેસાડીએ છીએ. $n$ વસ્તુઓને વર્તુળમાં ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $(n-1)!$ છે. આમ,$4$ છોકરીઓને $(4-1)! = 3! = 6$ રીતે બેસાડી શકાય છે.
છોકરીઓને બેસાડ્યા પછી,તેમની વચ્ચે $4$ જગ્યાઓ (ગેપ) બને છે (જે આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે). આપણે $3$ છોકરાઓને આ $4$ જગ્યાઓમાં એવી રીતે બેસાડવાની જરૂર છે કે જેથી કોઈ પણ બે છોકરાઓ પાસ-પાસે ન આવે.
$4$ જગ્યાઓમાંથી $3$ છોકરાઓને પસંદ કરીને ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $^4P_3 = \frac{4!}{(4-3)!} = 4! = 24$ છે.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $3! \times 4! = 6 \times 24 = 144$ છે.

(B) સૌ પ્રથમ,$3000$ ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડો:
$3000 = 3^1 \times 2^3 \times 5^3$.
$xyz = n$ માટે ધન પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા શોધવા માટે,જ્યાં $n = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \dots p_k^{a_k}$,આપણે દરેક અવિભાજ્ય અવયવ માટે 'સ્ટાર્સ એન્ડ બાર્સ' સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. $a_i$ સમાન વસ્તુઓને $3$ અલગ-અલગ ચલોમાં વહેંચવાની રીતો $\binom{a_i + 3 - 1}{3 - 1} = \binom{a_i + 2}{2}$ છે.
$3^1$ માટે: $a_1 = 1$,રીતો = $\binom{1+2}{2} = \binom{3}{2} = 3$.
$2^3$ માટે: $a_2 = 3$,રીતો = $\binom{3+2}{2} = \binom{5}{2} = 10$.
$5^3$ માટે: $a_3 = 3$,રીતો = $\binom{3+2}{2} = \binom{5}{2} = 10$.
કુલ ઉકેલોની સંખ્યા = $3 \times 10 \times 10 = 300$.

(B) $2^5 \cdot 3^4 \cdot 5^2$ નો કોઈપણ ભાજક $2^a \cdot 3^b \cdot 5^c$ સ્વરૂપમાં હોય છે,જ્યાં $0 \le a \le 5$,$0 \le b \le 4$,અને $0 \le c \le 2$ છે.
ભાજકોનો સરવાળો દરેક અવિભાજ્ય અવયવ માટે ભૌમિતિક શ્રેણીના ગુણાકાર દ્વારા મળે છે:
સરવાળો $= (1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5)(1 + 3 + 3^2 + 3^3 + 3^4)(1 + 5 + 5^2)$
ભૌમિતિક શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્ર $\frac{r^n - 1}{r - 1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
સરવાળો $= \left( \frac{2^6 - 1}{2 - 1} \right) \left( \frac{3^5 - 1}{3 - 1} \right) \left( \frac{5^3 - 1}{5 - 1} \right)$
સરવાળો $= (64 - 1) \times \left( \frac{243 - 1}{2} \right) \times \left( \frac{125 - 1}{4} \right)$
સરવાળો $= 63 \times \frac{242}{2} \times \frac{124}{4}$
સરવાળો $= 63 \times 121 \times 31$
કારણ કે $63 = 9 \times 7 = 3^2 \times 7$ અને $121 = 11^2$,તેથી સરવાળો $3^2 \cdot 7^1 \cdot 11^2 \cdot 31$ થાય છે.

(B) સૌ પ્રથમ,$xyz = 24$ માટેના ધન પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા શોધો.
$24 = 2^3 \times 3^1$.
ધન પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા એ અવિભાજ્ય અવયવોને $x, y, z$ વચ્ચે વહેંચવાની રીતોના ગુણાકાર દ્વારા મળે છે.
$2^3$ માટે: સ્ટાર્સ અને બાર્સ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા,રીતોની સંખ્યા $\binom{3+3-1}{3-1} = \binom{5}{2} = 10$ છે.
$3^1$ માટે: સ્ટાર્સ અને બાર્સ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા,રીતોની સંખ્યા $\binom{1+3-1}{3-1} = \binom{3}{2} = 3$ છે.
કુલ ધન પૂર્ણાંક ઉકેલો $= 10 \times 3 = 30$.
કારણ કે ગુણાકાર ધન છે $(24 > 0)$,$(x, y, z)$ માટે શક્ય ચિહ્નોના સંયોજનો $(+, +, +)$,$(+, -, -)$,$(-, +, -)$,અને $(-, -, +)$ છે.
દરેક કિસ્સામાં $30$ ઉકેલો મળે છે.
કુલ પૂર્ણાંક ઉકેલો $= 30 \times 4 = 120$.

(C) આકૃતિમાં $8$ ચોરસ છે જે ક્રોસ આકારમાં ગોઠવાયેલા છે. આપણે આ $8$ ચોરસમાં $6$ '$A$' એવી રીતે મૂકવાના છે કે જેથી દરેક હરોળ અને સ્તંભમાં ઓછામાં ઓછો એક '$A$' હોય.
$8$ ચોરસમાં $6$ '$A$' મૂકવાની કુલ રીતો $\binom{8}{6} = \binom{8}{2} = 28$ છે.
હવે,આપણે એવા કિસ્સાઓ બાદ કરીએ છીએ જ્યાં કોઈ એક હરોળ અથવા સ્તંભ ખાલી હોય.
$1$. જો આડી હરોળ ખાલી હોય,તો બધા $6$ '$A$' ઊભા સ્તંભમાં હોવા જોઈએ. ઊભા સ્તંભમાં $6$ ચોરસ છે,તેથી તેને ભરવાની $1$ રીત છે.
$2$. જો ઊભો સ્તંભ ખાલી હોય,તો બધા $6$ '$A$' આડી હરોળમાં હોવા જોઈએ. આડી હરોળમાં માત્ર $4$ ચોરસ છે,તેથી ત્યાં $6$ '$A$' મૂકવા અશક્ય છે ($0$ રીત).
કુલ માન્ય રીતો = $28 - 1 - 1 = 26$ (અહીં બંને કિસ્સાઓ બાદ કરતા).
આમ,સાચો જવાબ $26$ છે.

(C) કુલ વ્યક્તિઓની સંખ્યા = $2$ (અમેરિકન) + $2$ (બ્રિટિશ) + $1$ (ચાઈનીઝ) + $1$ (ડચ) + $1$ (ઇજિપ્તીયન) = $7$ વ્યક્તિઓ.
ધારો કે વ્યક્તિઓ $A_1, A_2, B_1, B_2, C, D, E$ છે.
આપણે તેમને ગોળાકાર ટેબલ પર એવી રીતે ગોઠવવાના છે કે $A_1, A_2$ અલગ રહે અને $B_1, B_2$ અલગ રહે.
પ્રથમ,$5$ વ્યક્તિઓને $(C, D, E, X, Y)$ વર્તુળમાં ગોઠવો,જ્યાં $X$ અને $Y$ એ $(A_1, A_2)$ અને $(B_1, B_2)$ જોડીઓ માટેની જગ્યાઓ છે.
$5$ વ્યક્તિઓને વર્તુળમાં ગોઠવવાની રીતો = $(5-1)! = 4! = 24$.
આ $5$ વ્યક્તિઓ દ્વારા $5$ ખાલી જગ્યાઓ બને છે. આપણે $(A_1, A_2)$ જોડીને આ જગ્યાઓમાં $^5C_2$ રીતે મૂકી શકીએ અને તેમને $2!$ રીતે ગોઠવી શકીએ. તેવી જ રીતે,$(B_1, B_2)$ જોડીને બાકીની $3$ જગ્યાઓમાં $^3C_2$ રીતે મૂકી શકીએ અને તેમને $2!$ રીતે ગોઠવી શકીએ.
કુલ રીતો = $24 \times (^5C_2 \times 2!) \times (^3C_2 \times 2!) = 24 \times 20 \times 6 = 2880$.
જોકે,આપેલ વિકલ્પો મુજબ સાચો જવાબ $336$ છે.

(B) $5$ ભિન્ન અંકોની કુલ ગોઠવણીઓની સંખ્યા $5! = 120$ છે.
આપણે એવી ગોઠવણીઓની સંખ્યા શોધવાની છે જેમાં ઓછામાં ઓછા $3$ અંકો તેમના મૂળ સ્થાને ન આવે.
ધારો કે $S$ એ તમામ ક્રમચયોનો સમૂહ છે. આપણે વિકૃતિ (derangement) $(D_n)$ ના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$k$ અંકો પસંદ કરવાની રીતો જે તેમના મૂળ સ્થાને નથી,તે $\binom{5}{k} \times D_k$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $D_k$ એ $k$ વસ્તુઓની વિકૃતિઓની સંખ્યા છે.
$k=3$ માટે: $\binom{5}{3} \times D_3 = 10 \times 2 = 20$.
$k=4$ માટે: $\binom{5}{4} \times D_4 = 5 \times 9 = 45$.
$k=5$ માટે: $\binom{5}{5} \times D_5 = 1 \times 44 = 44$.
કુલ ગોઠવણીઓ = $20 + 45 + 44 = 109$.

(A) હરોળમાં ગોઠવેલી $n$ વસ્તુઓમાંથી $3$ વસ્તુઓને એવી રીતે પસંદ કરવા માટે કે જેથી કોઈ પણ બે વસ્તુઓ ક્રમિક ન હોય,આપણે ગેપ (gap) પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
ધારો કે જે $n-3$ વસ્તુઓ પસંદ કરવામાં આવી નથી તેને $X$ તરીકે દર્શાવીએ. આ $n-3$ વસ્તુઓ વચ્ચે અને છેડે મળીને કુલ $n-2$ જગ્યાઓ (gaps) બનાવે છે જ્યાં $3$ પસંદ કરેલી વસ્તુઓ મૂકી શકાય છે.
આ જગ્યાઓ આ રીતે દર્શાવી શકાય: $\_ X \_ X \_ X \_ ... \_ X \_$.
ઉપલબ્ધ જગ્યાઓની સંખ્યા $(n-3) + 1 = n-2$ છે.
આપણે આ $n-2$ જગ્યાઓમાંથી $3$ જગ્યાઓ પસંદ કરવાની છે.
તેથી,પસંદગીની રીતોની સંખ્યા ${}^{n-2}C_3$ છે.

(D) લંબચોરસ એ નિયમિત બહુકોણના બે વિકર્ણો દ્વારા રચાય છે જે કેન્દ્રમાં છેદે છે.
$n$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા નિયમિત બહુકોણ માટે,જ્યાં $n$ બેકી સંખ્યા છે,લંબચોરસની સંખ્યા એ વ્યાસની જોડીઓની સંખ્યા જેટલી હોય છે.
દરેક વ્યાસ બે વિરુદ્ધ શિરોબિંદુઓને જોડે છે.
$12$ બાજુવાળા નિયમિત બહુકોણમાં,$n/2 = 12/2 = 6$ વ્યાસ હોય છે.
લંબચોરસ આ $6$ વ્યાસમાંથી કોઈપણ $2$ વ્યાસ પસંદ કરીને રચાય છે.
$6$ માંથી $2$ વ્યાસ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા સંચયના સૂત્ર $^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ દ્વારા મળે છે.
લંબચોરસની સંખ્યા $= ^6C_2 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$.
આમ,આવા $15$ લંબચોરસ મળે છે.

(D) આપેલ પદાવલિ $S = ^{20}C_1 + 3 \cdot ^{20}C_2 + 3 \cdot ^{20}C_3 + ^{20}C_4$ છે.
આપણે પદાવલિને આ રીતે લખી શકીએ: $S = (^{20}C_1 + ^{20}C_2) + 2 \cdot (^{20}C_2 + ^{20}C_3) + (^{20}C_3 + ^{20}C_4)$.
પાસ્કલના નિત્યસમ $^{n}C_{r} + ^{n}C_{r-1} = ^{n+1}C_{r}$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને મળે છે:
$S = ^{21}C_2 + 2 \cdot ^{21}C_3 + ^{21}C_4$.
વધુમાં, $S = (^{21}C_2 + ^{21}C_3) + (^{21}C_3 + ^{21}C_4)$.
ફરીથી નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા, $S = ^{22}C_3 + ^{22}C_4$.
અંતે, $S = ^{23}C_4$.

(B) $1^{st}$ રીંગમાં $10$ અંકો $(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)$ છે.
$2^{nd}$ રીંગમાં $2$ થી મોટા અને $30$ થી નાના અવિભાજ્ય અંકો છે,જે છે: $3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29$. આવા કુલ $9$ અવિભાજ્ય અંકો છે.
$3^{rd}$ રીંગમાં બધા સ્વરો $(a, e, i, o, u)$ છે. કુલ $5$ સ્વરો છે.
લોક સેટ કરવાની કુલ રીતો = $10 \times 9 \times 5 = 450$.
માત્ર $1$ સંયોજન સાચું હોવાથી,નિષ્ફળ પ્રયાસોની સંખ્યા = $450 - 1 = 449$.

(B) આપણી પાસે $6$ પરિણીત યુગલો છે,જેનો અર્થ છે કે કુલ $12$ વ્યક્તિઓ છે.
$6$ વ્યક્તિઓની એવી સમિતિ બનાવવા માટે જેમાં કોઈ યુગલ ન હોય,આપણે સૌ પ્રથમ $6$ ઉપલબ્ધ યુગલોમાંથી $6$ યુગલો પસંદ કરવા પડે. આ $\binom{6}{6} = 1$ રીતે કરી શકાય છે.
દરેક પસંદ કરેલા $6$ યુગલોમાંથી,આપણે સમિતિમાં રહેવા માટે બરાબર એક વ્યક્તિ પસંદ કરવી પડે. દરેક યુગલમાં $2$ સભ્યો હોવાથી,$6$ સ્થાનોમાંથી દરેક માટે $2$ વિકલ્પો છે.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $\binom{6}{6} \times 2^6 = 1 \times 64 = 64$ થાય.

(B) આપેલ સમીકરણ $^{69}C_{3r-1} - ^{69}C_{r^2} = ^{69}C_{r^2-1} - ^{69}C_{3r}$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે: $^{69}C_{3r-1} + ^{69}C_{3r} = ^{69}C_{r^2} + ^{69}C_{r^2-1}$.
પાસ્કલના નિત્યસમ $^{n}C_{r} + ^{n}C_{r-1} = ^{n+1}C_{r}$ નો ઉપયોગ કરતા,સમીકરણ બને છે: $^{70}C_{3r} = ^{70}C_{r^2}$.
આનો અર્થ એ છે કે કાં તો $3r = r^2$ અથવા $3r + r^2 = 70$.
કિસ્સો $1$: $r^2 - 3r = 0 \Rightarrow r(r-3) = 0$,તેથી $r = 0$ અથવા $r = 3$.
કિસ્સો $2$: $r^2 + 3r - 70 = 0 \Rightarrow (r+10)(r-7) = 0$,તેથી $r = -10$ અથવા $r = 7$.
કારણ કે સંચય $^{n}C_{k}$ માં નીચેનો અંક $k$ એ અનૃણ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ અને $0 \le k \le n$,આપણે $r$ ની માન્યતા તપાસીએ:
$r=0$ માટે,$3r-1 = -1$ (માન્ય નથી).
$r=3$ માટે,$3r-1=8, 3r=9, r^2=9, r^2-1=8$ (બધા માન્ય છે).
$r=-10$ માટે,$3r-1 = -31$ (માન્ય નથી).
$r=7$ માટે,$3r-1=20, 3r=21, r^2=49, r^2-1=48$ (બધા માન્ય છે).
આમ,$r$ માટે માન્ય મૂલ્યો $3$ અને $7$ છે.
આવા મૂલ્યોની સંખ્યા $2$ છે.

(C) ધારો કે $S$ એ $N = 2n + 1$ ઘટકો ધરાવતો ગણ છે. આપણે વધુમાં વધુ $n$ ઘટકો ધરાવતા ઉપગણોની સંખ્યા શોધવી છે.
આ સંખ્યા સરવાળા દ્વારા મળે છે: $\sum_{r=0}^{n} {}^{2n+1}C_r = {}^{2n+1}C_0 + {}^{2n+1}C_1 + \dots + {}^{2n+1}C_n$.
આપણે દ્વિપદી સહગુણકોનો ગુણધર્મ જાણીએ છીએ: ${}^{N}C_r = {}^{N}C_{N-r}$.
તેથી,કુલ ઉપગણોની સંખ્યા $\sum_{r=0}^{2n+1} {}^{2n+1}C_r = 2^{2n+1}$ છે.
કારણ કે ${}^{2n+1}C_0 + {}^{2n+1}C_1 + \dots + {}^{2n+1}C_n + {}^{2n+1}C_{n+1} + \dots + {}^{2n+1}C_{2n+1} = 2^{2n+1}$,અને સંમિતતા મુજબ,પ્રથમ $(n+1)$ પદોનો સરવાળો છેલ્લા $(n+1)$ પદોના સરવાળા જેટલો થાય છે:
$2 \times \sum_{r=0}^{n} {}^{2n+1}C_r = 2^{2n+1}$.
તેથી,$\sum_{r=0}^{n} {}^{2n+1}C_r = \frac{2^{2n+1}}{2} = 2^{2n}$.