Permutation and Combination Questions in Gujarati

(A) આપણને પદાવલિ $E = 2^n \{ 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n - 1) \}$ આપેલ છે.
આને સરળ બનાવવા માટે,પ્રથમ $n$ બેકી સંખ્યાઓના ગુણાકાર વડે ગુણો અને ભાગો,જે $2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2n) = 2^n \cdot (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n) = 2^n \cdot n!$ છે.
આમ,$E = \frac{2^n \cdot \{ 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n - 1) \} \cdot \{ 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2n) \}}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2n)}$.
અંશ એ $1$ થી $2n$ સુધીની તમામ પૂર્ણાંક સંખ્યાઓનો ગુણાકાર બને છે,જે $(2n)!$ છે.
છેદ $2^n \cdot n!$ છે.
તેથી,$E = \frac{(2n)! \cdot 2^n}{2^n \cdot n!} = \frac{(2n)!}{n!}$.

(C) ઉમેદવારે કુલ $6$ પ્રશ્નો પસંદ કરવાના છે જેથી દરેક ભાગ ($A$ અને $B$) માંથી ઓછામાં ઓછા $2$ પ્રશ્નો પસંદ થાય.
દરેક ભાગમાં $5$ પ્રશ્નો હોવાથી,શક્ય સંયોજનો $(A, B)$ નીચે મુજબ છે:
$1$. ભાગ $A$ માંથી $2$ અને ભાગ $B$ માંથી $4$ પ્રશ્નો: $^5C_2 \times ^5C_4 = 10 \times 5 = 50$ રીતો.
$2$. ભાગ $A$ માંથી $3$ અને ભાગ $B$ માંથી $3$ પ્રશ્નો: $^5C_3 \times ^5C_3 = 10 \times 10 = 100$ રીતો.
$3$. ભાગ $A$ માંથી $4$ અને ભાગ $B$ માંથી $2$ પ્રશ્નો: $^5C_4 \times ^5C_2 = 5 \times 10 = 50$ રીતો.
કુલ રીતોની સંખ્યા = $50 + 100 + 50 = 200$.

(B) $10$ અને $1000$ ની વચ્ચેની સંખ્યાઓમાં $2$ અંકની સંખ્યાઓ અને $3$ અંકની સંખ્યાઓનો સમાવેશ થાય છે.
કિસ્સો $1$: $2$ અંકની સંખ્યાઓ.
પુનરાવર્તન માન્ય હોવાથી,$2$ સ્થાનમાંથી દરેકને $9$ અંકો ($1$ થી $9$) માંથી કોઈપણ અંક વડે ભરી શકાય છે.
$2$ અંકની સંખ્યાઓની કુલ સંખ્યા $= 9 \times 9 = 81$.
કિસ્સો $2$: $3$ અંકની સંખ્યાઓ.
પુનરાવર્તન માન્ય હોવાથી,$3$ સ્થાનમાંથી દરેકને $9$ અંકો ($1$ થી $9$) માંથી કોઈપણ અંક વડે ભરી શકાય છે.
$3$ અંકની સંખ્યાઓની કુલ સંખ્યા $= 9 \times 9 \times 9 = 729$.
કુલ સંખ્યાઓ $= 81 + 729 = 810$.

(C) $TRIANGLE$ શબ્દમાં $8$ અલગ-અલગ અક્ષરો છે: $T, R, I, A, N, G, L, E$.
તેમાં $3$ સ્વર $(I, A, E)$ અને $5$ વ્યંજન $(T, R, N, G, L)$ છે.
કોઈ પણ બે સ્વર સાથે ન આવે તે માટે,આપણે પહેલા $5$ વ્યંજનોને $5!$ રીતે ગોઠવીએ:
$5! = 120$ રીતો.
આ $5$ વ્યંજનો $6$ ખાલી જગ્યાઓ બનાવે છે (છેડાઓ સહિત) જ્યાં $3$ સ્વરોને મૂકી શકાય:
$. C . C . C . C . C .$
આપણે $6$ માંથી $3$ જગ્યાઓ પસંદ કરીને તેમાં $3$ સ્વરોને ગોઠવવાના છે,જે $^6P.3$ રીતે કરી શકાય:
$^6P.3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$ રીતો.
કુલ ગોઠવણીઓની સંખ્યા આ બંને મૂલ્યોનો ગુણાકાર છે:
$120 \times 120 = 14400$.

(C) આ 'ડિરેન્જમેન્ટ' (derangement) નો એક પ્રશ્ન છે,જ્યાં $n$ વસ્તુઓને $n$ પાત્રોમાં એવી રીતે ગોઠવવાની છે કે કોઈ પણ વસ્તુ તેના સાચા પાત્રમાં ન હોય.
$n$ વસ્તુઓના ડિરેન્જમેન્ટની સંખ્યા,જેને $D_n$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,તેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$D_n = n! \left( 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \dots + (-1)^n \frac{1}{n!} \right)$
અહીં $n = 4$ માટે:
$D_4 = 4! \left( \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} \right)$
$D_4 = 24 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} \right)$
$D_4 = 24 \left( \frac{12 - 4 + 1}{24} \right)$
$D_4 = 12 - 4 + 1 = 9$
આમ,દડાઓને એવી રીતે ગોઠવવાની કુલ $9$ રીતો છે કે જેથી કોઈ પણ દડો તેના પોતાના રંગના બોક્સમાં ન જાય.

(B) આપેલ ગુણોત્તર: $\frac{^{56}P_{r+6}}{^{54}P_{r+3}} = 30800$
સૂત્ર $^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{56!}{(56-(r+6))!} \times \frac{(54-(r+3))!}{54!} = 30800$
$\frac{56!}{(50-r)!} \times \frac{(51-r)!}{54!} = 30800$
$\frac{56 \times 55 \times 54!}{54!} \times \frac{(51-r)!}{(50-r)!} = 30800$
$56 \times 55 \times (51-r) = 30800$
$3080 \times (51-r) = 30800$
$51-r = \frac{30800}{3080}$
$51-r = 10$
$r = 51 - 10 = 41$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) $10$ અલગ-અલગ અક્ષરોનો ઉપયોગ કરીને બનાવી શકાતા $5$ અક્ષરોના કુલ શબ્દો (જ્યાં પુનરાવર્તનની છૂટ છે) $10^5 = 100000$ છે.
જે શબ્દોમાં કોઈ પણ અક્ષરનું પુનરાવર્તન થતું નથી તેની સંખ્યા ક્રમચયના સૂત્ર $^{10}P_5 = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 = 30240$ દ્વારા મળે છે.
ઓછામાં ઓછો એક અક્ષર પુનરાવર્તિત થતો હોય તેવા શબ્દોની સંખ્યા શોધવા માટે,કુલ શબ્દોમાંથી પુનરાવર્તન ન થતા હોય તેવા શબ્દોની સંખ્યા બાદ કરવી પડે.
જરૂરી શબ્દોની સંખ્યા $= 100000 - 30240 = 69760$.

(A) $52$ પત્તાને ચાર ખેલાડીઓ વચ્ચે એવી રીતે વહેંચવા માટે કે જેથી ત્રણ ખેલાડીઓને $17$ પત્તા મળે અને ચોથા ખેલાડીને $1$ પત્તું મળે,આપણે મલ્ટિનોમિયલ કોએફિસિયન્ટના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
પ્રથમ ખેલાડી માટે $52$ માંથી $17$ પત્તા પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^{52}C_{17}$ છે.
બાકી રહેલા $35$ પત્તામાંથી બીજા ખેલાડી માટે $17$ પત્તા પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^{35}C_{17}$ છે.
બાકી રહેલા $18$ પત્તામાંથી ત્રીજા ખેલાડી માટે $17$ પત્તા પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^{18}C_{17}$ છે.
ચોથા ખેલાડી માટે બાકી રહેલું $1$ પત્તું પસંદ કરવાની રીત $^{1}C_{1} = 1$ છે.
કુલ રીતોની સંખ્યા = $^{52}C_{17} \times ^{35}C_{17} \times ^{18}C_{17} \times ^{1}C_{1}$
$= \frac{52!}{17! \times 35!} \times \frac{35!}{17! \times 18!} \times \frac{18!}{17! \times 1!} \times 1$
$= \frac{52!}{17! \times 17! \times 17! \times 1!} = \frac{52!}{(17!)^3}$.

(B) $ARRANGE$ શબ્દમાં $7$ અક્ષરો છે: $A, A, R, R, N, G, E$. જેમાં $2$ $A$,$2$ $R$ અને $N, G, E$ દરેક એક-એક વાર આવે છે.
કુલ ગોઠવણીઓની સંખ્યા $\frac{7!}{2! \times 2!} = \frac{5040}{4} = 1260$ છે.
બંને $R$ સાથે આવે તેવી ગોઠવણી શોધવા માટે,આપણે $RR$ ને એક એકમ તરીકે ગણીએ છીએ. હવે આપણી પાસે ${RR}, A, A, N, G, E$ એમ કુલ $6$ એકમો છે.
બંને $R$ સાથે હોય તેવી ગોઠવણીઓની સંખ્યા $\frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360$ છે.
બંને $R$ સાથે ન આવે તેવી ગોઠવણીઓની સંખ્યા = કુલ ગોઠવણીઓ - બંને $R$ સાથે હોય તેવી ગોઠવણીઓ
$= 1260 - 360 = 900$.

(A) પેટીમાં કુલ દડાની સંખ્યા $2 + 3 + 4 = 9$ છે.
આપણે $3$ દડા એવી રીતે પસંદ કરવાના છે કે જેમાં ઓછામાં ઓછો એક કાળો દડો હોય.
કાળા દડાની સંખ્યા $3$ છે અને કાળા સિવાયના દડાની સંખ્યા $2 + 4 = 6$ છે.
પસંદગી નીચેની $3$ પરસ્પર નિવારક રીતે કરી શકાય છે:
$(i)$ $1$ કાળો દડો અને $2$ અન્ય દડા: $^3C_1 \times ^6C_2 = 3 \times 15 = 45$
$(ii)$ $2$ કાળા દડા અને $1$ અન્ય દડો: $^3C_2 \times ^6C_1 = 3 \times 6 = 18$
$(iii)$ $3$ કાળા દડા અને $0$ અન્ય દડા: $^3C_3 = 1$
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા = $45 + 18 + 1 = 64$.

(A) સૌ પ્રથમ,$m$ પુરુષોને એક હારમાં $m!$ રીતે ગોઠવો.
કારણ કે $n < m$ છે અને કોઈ પણ બે સ્ત્રીઓ સાથે ન બેસી શકે,તેથી આપણે 'ગેપ મેથડ' (ખાલી જગ્યાની પદ્ધતિ) નો ઉપયોગ કરીશું.
પુરુષોની કોઈપણ એક $m!$ ગોઠવણીમાં,$(m + 1)$ ખાલી જગ્યાઓ (છેડાઓ સહિત) ઉપલબ્ધ હોય છે જ્યાં $n$ સ્ત્રીઓને બેસાડી શકાય છે.
આ $(m + 1)$ ખાલી જગ્યાઓમાં $n$ સ્ત્રીઓને ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા ક્રમચયના સૂત્ર $^{m+1}P_n$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,ગણતરીના મૂળભૂત સિદ્ધાંત મુજબ,કુલ ગોઠવણીઓની સંખ્યા $m! \times ^{m+1}P_n$ થશે.
ક્રમચયના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $m! \times \frac{(m + 1)!}{(m + 1 - n)!} = \frac{m! (m + 1)!}{(m - n + 1)!}$.

(A) કોઈપણ સંખ્યા $3$ વડે ત્યારે જ ભાગી શકાય જો તેના અંકોનો સરવાળો $3$ વડે ભાગી શકાય. આપેલા અંકોનો સરવાળો $0+1+2+3+4+5 = 15$ છે. આપણે $5$ અંકની સંખ્યા બનાવવાની હોવાથી,એક અંક એવો બાદ કરવો પડે જેથી બાકીના $5$ અંકોનો સરવાળો $3$ વડે ભાગી શકાય.
કિસ્સો $1$: $0$ ને બાદ કરતા. બાકીના અંકો ${1, 2, 3, 4, 5}$ છે. સરવાળો $15$ છે,જે $3$ વડે ભાગી શકાય છે. આ $5$ અંકોની ગોઠવણીના કુલ પ્રકાર $5! = 120$ છે.
કિસ્સો $2$: $3$ ને બાદ કરતા. બાકીના અંકો ${0, 1, 2, 4, 5}$ છે. સરવાળો $12$ છે,જે $3$ વડે ભાગી શકાય છે. આ અંકોથી બનતી $5$ અંકની સંખ્યાઓ $5! - 4! = 120 - 24 = 96$ છે (જ્યાં $0$ પ્રથમ સ્થાને હોય તેવા કિસ્સાઓ બાદ કરતા).
કુલ રીતો = $120 + 96 = 216$.

(B) ધારો કે $S_i$ એ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા છે જેમણે ઓછામાં ઓછા $i$ પ્રશ્નોના ખોટા જવાબ આપ્યા છે. આપણને આપેલ છે કે $S_i = 2^{n-i}$ જ્યાં $i = 1, 2, \dots, n$.
ચોક્કસ $i$ પ્રશ્નોના ખોટા જવાબ આપનાર વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $N_i = S_i - S_{i+1}$ છે,જ્યાં $1 \le i < n$,અને $N_n = S_n = 2^{n-n} = 2^0 = 1$.
કુલ ખોટા જવાબોની સંખ્યા $\sum_{i=1}^{n} i \cdot N_i$ દ્વારા મળે છે.
કુલ ખોટા જવાબો $= 1(S_1 - S_2) + 2(S_2 - S_3) + 3(S_3 - S_4) + \dots + (n-1)(S_{n-1} - S_n) + n(S_n)$.
આ સરવાળાનું વિસ્તરણ કરતા: $S_1 + S_2 + S_3 + \dots + S_n$.
$S_i = 2^{n-i}$ મૂકતા:
કુલ ખોટા જવાબો $= 2^{n-1} + 2^{n-2} + \dots + 2^0$.
આ એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેનો સરવાળો $\frac{2^n - 1}{2 - 1} = 2^n - 1$ થાય છે.
આપેલ છે કે $2^n - 1 = 2047$,તેથી $2^n = 2048 = 2^{11}$.
તેથી,$n = 11$.

(B) $1$ થી $1000$ સુધીની સંખ્યાઓમાં અંક $3$ કેટલી વાર આવે છે તે શોધવા માટે, આપણે $000$ થી $999$ સુધીની તમામ સંખ્યાઓ ધ્યાનમાં લઈએ છીએ। નોંધો કે $1000$ માં અંક $3$ આવતો નથી, તેથી ગણતરી સમાન રહેશે।
દરેક સ્થાન (એકમ, દશક, સો) $10$ અંકો $(0-9)$ દ્વારા ભરી શકાય છે। $000$ થી $999$ ની શ્રેણીમાં, કુલ $1000$ સંખ્યાઓ છે, જેમાં દરેક $3$ અંકની છે, જે કુલ $3000$ અંકના સ્થાન બનાવે છે।
દરેક સ્થાનમાં $10$ અંકો $(0, 1, 2, \dots, 9)$ સમાન આવૃત્તિ સાથે દેખાતા હોવાથી, અંક $3$ દરેક સ્થાનમાં $3000 / 10 = 300$ વખત દેખાય છે।
આમ, અંક $3$ કુલ $300$ વખત લખવામાં આવશે।

(A) કુલ $10$ વ્યક્તિઓ છે. શરત એ છે કે $A$ એ $B$ પહેલાં બોલવું જોઈએ અને $B$ એ $C$ પહેલાં બોલવું જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે તેમનો સાપેક્ષ ક્રમ $A, B, C$ હોવો જોઈએ.
$10$ વ્યક્તિઓની કોઈપણ ગોઠવણીમાં,$A, B$ અને $C$ માટે $3! = 6$ શક્ય સાપેક્ષ ક્રમ હોય છે (જેમ કે $ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA$).
આ $6$ શક્ય સાપેક્ષ ક્રમોમાંથી,માત્ર $1$ ક્રમ ($A$ પહેલા $B$ અને $B$ પહેલા $C$) આપેલી શરતને સંતોષે છે.
$10$ વ્યક્તિઓને ગોઠવવાની કુલ રીતો $10!$ છે.
કુલ ગોઠવણીઓમાંથી માત્ર $1/6$ ભાગની ગોઠવણીઓ શરતને સંતોષતી હોવાથી,જરૂરી રીતોની સંખ્યા $\frac{10!}{6}$ છે.

(A) ધારો કે $i^{th}$ પ્રશ્નને ફાળવવામાં આવેલા ગુણ $n_i$ છે,જ્યાં $i = 1, 2, ..., 8$.
આપણને આપેલ છે કે $n_1 + n_2 + ... + n_8 = 30$ અને દરેક $i$ માટે $n_i \ge 2$.
ધારો કે $x_i = n_i - 2$. તો $x_i \ge 0$.
સરવાળાના સમીકરણમાં $n_i = x_i + 2$ મૂકતા:
$(x_1 + 2) + (x_2 + 2) + ... + (x_8 + 2) = 30$
$x_1 + x_2 + ... + x_8 + 16 = 30$
$x_1 + x_2 + ... + x_8 = 14$,જ્યાં $x_i \ge 0$.
આ સમીકરણના અનૃણ પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા $\binom{n+r-1}{r-1}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $n = 14$ અને $r = 8$.
રીતોની સંખ્યા = $\binom{14 + 8 - 1}{8 - 1} = \binom{21}{7}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) $INDEPENDENCE$ શબ્દમાં $12$ અક્ષરો છે: $I, N, D, E, P, E, N, D, E, N, C, E$.
સ્વરો $I, E, E, E, E$ છે (કુલ $5$ સ્વરો).
વ્યંજનો $N, D, P, N, D, N, C$ છે (કુલ $7$ વ્યંજનો).
બધા સ્વરો સાથે રહેવા જોઈએ,તેથી $5$ સ્વરોના સમૂહને એક એકમ તરીકે ગણીએ.
હવે,આપણી પાસે $7$ વ્યંજનો + $1$ સ્વરનો એકમ = $8$ એકમો છે.
આ $8$ એકમોને ગોઠવવાની રીતો,જેમાં $N$ ત્રણ વાર અને $D$ બે વાર આવે છે,તે $\frac{8!}{3! \times 2!}$ છે.
સ્વરોના એકમની અંદર,$5$ સ્વરો $(I, E, E, E, E)$ ને $\frac{5!}{4!}$ રીતે ગોઠવી શકાય છે (કારણ કે $E$ ચાર વાર પુનરાવર્તિત થાય છે).
કુલ શબ્દોની સંખ્યા = $\frac{8!}{3! \times 2!} \times \frac{5!}{4!} = \frac{40320}{12} \times 5 = 3360 \times 5 = 16800$.

(C) ધારો કે બોક્સ $A, B, C$ છે. આપણે ખાતરી કરવી પડશે કે કોઈ બોક્સ ખાલી ન રહે અને પાંચેય દડા મૂકવામાં આવે.
$5$ દડાઓને $3$ બોક્સમાં એવી રીતે વહેંચવાની બે શક્યતાઓ છે કે કોઈ બોક્સ ખાલી ન રહે:
$(i)$ બે બોક્સમાં $1$ દડો અને ત્રીજા બોક્સમાં $3$ દડા હોય.
દડા પસંદ કરવાની રીતો: $\binom{5}{1} \times \binom{4}{1} \times \binom{3}{3} = 5 \times 4 \times 1 = 20$.
જે બોક્સમાં $3$ દડા છે તે $3$ બોક્સમાંથી કોઈ પણ હોઈ શકે છે,તેથી આ કિસ્સા માટે કુલ રીતો = $20 \times 3 = 60$.
$(ii)$ બે બોક્સમાં $2$ દડા અને ત્રીજા બોક્સમાં $1$ દડો હોય.
દડા પસંદ કરવાની રીતો: $\binom{5}{2} \times \binom{3}{2} \times \binom{1}{1} = 10 \times 3 \times 1 = 30$.
જે બોક્સમાં $1$ દડો છે તે $3$ બોક્સમાંથી કોઈ પણ હોઈ શકે છે,તેથી આ કિસ્સા માટે કુલ રીતો = $30 \times 3 = 90$.
કુલ રીતોની સંખ્યા = $60 + 90 = 150$.

(B) $10$ વ્યક્તિઓ ($6$ પુરુષો + $4$ સ્ત્રીઓ) માંથી $5$ સભ્યો પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{10}C_5 = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 252$ છે.
એક પણ સ્ત્રી ન હોય તેવી સમિતિ પસંદ કરવાની રીતો (એટલે કે બધા $5$ સભ્યો પુરુષો હોય) $^6C_5 = 6$ છે.
ઓછામાં ઓછી એક સ્ત્રી હોય તેવી સમિતિ બનાવવાની રીતો એ કુલ રીતોમાંથી એક પણ સ્ત્રી ન હોય તેવી રીતો બાદ કરવાથી મળે:
જરૂરી રીતો $= ^{10}C_5 - ^6C_5 = 252 - 6 = 246$.
વૈકલ્પિક રીતે,કિસ્સાઓનો સરવાળો કરતા:
$1$ સ્ત્રી અને $4$ પુરુષો: $^4C_1 \times ^6C_4 = 4 \times 15 = 60$
$2$ સ્ત્રીઓ અને $3$ પુરુષો: $^4C_2 \times ^6C_3 = 6 \times 20 = 120$
$3$ સ્ત્રીઓ અને $2$ પુરુષો: $^4C_3 \times ^6C_2 = 4 \times 15 = 60$
$4$ સ્ત્રીઓ અને $1$ પુરુષ: $^4C_4 \times ^6C_1 = 1 \times 6 = 6$
કુલ રીતો $= 60 + 120 + 60 + 6 = 246$.

(C) $BHARAT$ શબ્દમાં $6$ અક્ષરો છે,જેમાં $A$ બે વાર પુનરાવર્તિત થાય છે.
કુલ ગોઠવણીઓની સંખ્યા $ = \frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360$ છે.
$B$ અને $H$ સાથે આવે તેવા શબ્દોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે $(BH)$ ને એક એકમ તરીકે ગણીએ છીએ. હવે આપણી પાસે $5$ એકમો છે: $(BH), A, R, A, T$.
આ $5$ એકમોની ગોઠવણીની સંખ્યા $\frac{5!}{2!} = 60$ છે.
$B$ અને $H$ તેમના એકમમાં $2! = 2$ રીતે ગોઠવી શકાય છે,તેથી $B$ અને $H$ સાથે હોય તેવા કુલ શબ્દોની સંખ્યા $60 \times 2 = 120$ છે.
$B$ અને $H$ ક્યારેય સાથે ન આવે તેવા શબ્દોની સંખ્યા કુલ શબ્દોમાંથી સાથે હોય તેવા શબ્દોની સંખ્યા બાદ કરવાથી મળે છે: $360 - 120 = 240$.

(D) કુલ ઉપલબ્ધ વ્યક્તિઓ = $10$ $(A, B, C, D, E, F, G, H, I, J)$.
આપણે $5$ વ્યક્તિઓની ટીમ બનાવવાની છે.
શરત $1$: $A$ ને સામેલ કરવો ફરજિયાત છે.
શરત $2$: $G$ અને $H$ ને સામેલ કરવાના નથી.
$A$ પહેલેથી જ પસંદ થયેલ હોવાથી, આપણે બાકી રહેલા $10 - 3 = 7$ વ્યક્તિઓમાંથી $4$ વધુ વ્યક્તિઓ પસંદ કરવાની જરૂર છે ($A, G, H$ ને બાદ કરતાં).
$7$ માંથી $4$ વ્યક્તિઓને પસંદ કરવાની રીતો $^7C_4$ છે.
કારણ કે $^7C_4 = ^7C_3$, તેથી પસંદગી $^7C_3$ રીતે કરી શકાય છે.
હવે, આપણી પાસે $5$ વ્યક્તિઓની ટીમ છે ($A$ સહિત). આ $5$ વ્યક્તિઓને એક હરોળમાં $5!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
તેથી, કુલ ગોઠવણીઓની સંખ્યા $^7C_3 \times 5!$ છે.

(C) $1$ થી $1000$ સુધીની પૂર્ણાંક સંખ્યાઓમાં અંક $5$ કેટલી વાર આવે છે તે શોધવા માટે,આપણે $000$ થી $999$ સુધીની સંખ્યાઓ ધ્યાનમાં લઈએ છીએ (કારણ કે $000$ થી $099$ એ $1$ થી $99$ ને આવરી લે છે અને $1000$ માં કોઈ $5$ નથી).
દરેક સ્થાન (એકમ,દશક,સો) $0$ થી $9$ સુધીની કિંમત લઈ શકે છે. આવી કુલ $1000$ સંખ્યાઓ છે,જેમાં દરેકના $3$ અંકો છે,તેથી કુલ $3000$ અંકો થાય છે.
$000$ થી $999$ સુધીની સંખ્યાઓના સમૂહમાં $0$ થી $9$ સુધીનો દરેક અંક સમાન સંખ્યામાં આવતો હોવાથી,અંક $5$ એ $3000 / 10 = 300$ વાર આવે છે.
આમ,અંક $5$ કુલ $300$ વાર લખવામાં આવશે.

(C) $n!$ માં અવિભાજ્ય સંખ્યા $p$ નો ઘાતાંક શોધવા માટે,આપણે લેજેન્ડ્રના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $E_p(n!) = \sum_{k=1}^{\infty} \lfloor \frac{n}{p^k} \rfloor$.
અહીં,$n = 100$ અને $p = 3$ છે.
$E_3(100!) = \lfloor \frac{100}{3} \rfloor + \lfloor \frac{100}{3^2} \rfloor + \lfloor \frac{100}{3^3} \rfloor + \lfloor \frac{100}{3^4} \rfloor$
$E_3(100!) = \lfloor \frac{100}{3} \rfloor + \lfloor \frac{100}{9} \rfloor + \lfloor \frac{100}{27} \rfloor + \lfloor \frac{100}{81} \rfloor$
$E_3(100!) = 33 + 11 + 3 + 1 = 48$.
આમ,$100!$ માં $3$ નો ઘાતાંક $48$ છે.

(C) '$MISSISSIPPI$' શબ્દમાં નીચે મુજબના અક્ષરો છે:
$M: 1$
$I: 4$
$S: 4$
$P: 2$
સંચય બનાવવા માટે,આપણે દરેક અક્ષરની સંખ્યા પસંદ કરી શકીએ છીએ. દરેક અક્ષર માટે પસંદગીના પ્રકારોની સંખ્યા (અક્ષરની કુલ સંખ્યા + $1$) છે,જ્યાં '+ $1$' એ અક્ષરને પસંદ ન કરવાના વિકલ્પને દર્શાવે છે.
$M$ પસંદ કરવાની રીતો $= (1 + 1) = 2$
$I$ પસંદ કરવાની રીતો $= (4 + 1) = 5$
$S$ પસંદ કરવાની રીતો $= (4 + 1) = 5$
$P$ પસંદ કરવાની રીતો $= (2 + 1) = 3$
કોઈપણ અક્ષર પસંદ ન કરવાના કિસ્સા સહિત કુલ સંચયો $= 2 \times 5 \times 5 \times 3 = 150$.
આપણને 'એક કે તેથી વધુ' અક્ષરોના સંચયો જોઈએ છે,તેથી આપણે કોઈ પણ અક્ષર પસંદ ન કર્યો હોય તે કિસ્સો બાદ કરવો પડે.
કુલ સંચયો $= 150 - 1 = 149$.

(C) $4$ પેપરમાં કુલ $2m$ ગુણ મેળવવાની રીતોની સંખ્યા,જ્યાં દરેક પેપરમાં મહત્તમ $m$ ગુણ હોય,તે $(x^0 + x^1 + \dots + x^m)^4$ ના વિસ્તરણમાં $x^{2m}$ નો સહગુણક છે.
આ $\left( \frac{1 - x^{m+1}}{1 - x} \right)^4 = (1 - x^{m+1})^4 (1 - x)^{-4}$ માં $x^{2m}$ ના સહગુણક સમાન છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $(1 - 4x^{m+1} + 6x^{2m+2} - \dots) \times \sum_{r=0}^{\infty} \binom{r+3}{3} x^r$ મળે છે.
$x^{2m}$ નો સહગુણક $1 \times \binom{2m+3}{3}$ અને $-4x^{m+1} \times \binom{m+2}{3}$ પદો લેવાથી મળે છે.
રીતોની સંખ્યા = $\binom{2m+3}{3} - 4 \binom{m+2}{3} = \frac{(2m+3)(2m+2)(2m+1)}{6} - 4 \frac{(m+2)(m+1)m}{6}$.
આ પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{(m+1)}{6} [ (2m+3)(2)(2m+1) - 4m(m+2) ] = \frac{(m+1)(2m^2+4m+3)}{3}$ મળે છે.

(C) ધારો કે પુરુષોની સંખ્યા $n$ છે. કુલ સહભાગીઓની સંખ્યા $n + 2$ છે.
દરેક સહભાગી અન્ય દરેક સહભાગી સાથે $2$ રમતો રમે છે.
પુરુષો વચ્ચે રમાયેલી રમતોની સંખ્યા $2 \times {^nC_2} = 2 \times \frac{n(n-1)}{2} = n(n-1) = n^2 - n$ છે.
પુરુષો અને મહિલાઓ વચ્ચે રમાયેલી રમતોની સંખ્યા $2 \times (n \times 2) = 4n$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,આ બંને વચ્ચેનો તફાવત $66$ છે:
$n^2 - n - 4n = 66$
$n^2 - 5n - 66 = 0$
$(n - 11)(n + 6) = 0$
$n$ ધન હોવો જોઈએ,તેથી $n = 11$.
કુલ સહભાગીઓની સંખ્યા $n + 2 = 11 + 2 = 13$ છે.

(B) $8$ બાળકોમાંથી $3$ બાળકોને પસંદ કરવાની કુલ રીતો સંચયના સૂત્ર ${^n}{C_r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$n = 8$ અને $r = 3$ છે,તેથી કુલ ટ્રિપ્સની સંખ્યા ${^8}{C_3} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$ છે.
દરેક ટ્રિપમાં $3$ બાળકો હોય છે. તેથી,કુલ 'ચાઈલ્ડ-ટ્રિપ્સ'ની સંખ્યા $56 \times 3 = 168$ છે.
કુલ $8$ બાળકો હોવાથી અને દરેક બાળક સમાન સંખ્યામાં જાય છે,તેથી દરેક બાળક કેટલી વાર જશે તે $\frac{168}{8} = 21$ થશે.
વૈકલ્પિક રીતે,કોઈ ચોક્કસ બાળકને $3$ બાળકોના જૂથમાં સામેલ કરવા માટે,બાકીના $7$ બાળકોમાંથી $2$ બાળકોને પસંદ કરવા પડે. આ સંખ્યા ${^7}{C_2} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$ છે.

(B) પુસ્તકોની કુલ સંખ્યા $N = a + 2b + 3c + d$ છે.
જ્યારે વસ્તુઓના સમૂહમાં સમાન વસ્તુઓ હોય ત્યારે તેમને ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા મલ્ટિનોમિયલ ગુણાંકના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{N!}{n_1! n_2! ... n_k!}$.
અહીં આપણી પાસે છે:
- એક પુસ્તકની $a$ સમાન નકલો ($a!$ રીતો).
- બે પુસ્તકોની દરેકની $b$ સમાન નકલો ($(b!)^2$ રીતો).
- ત્રણ પુસ્તકોની દરેકની $c$ સમાન નકલો ($(c!)^3$ રીતો).
- $d$ પુસ્તકોની એક-એક નકલ (દરેક અલગ છે,તેથી $1!$ દરેક માટે,જે $1$ થાય છે).
આમ,ગોઠવણીની કુલ સંખ્યા $\frac{(a + 2b + 3c + d)!}{a! (b!)^2 (c!)^3}$ છે.

(B) કારમાં આગળની સીટ પર ડ્રાઇવરની જરૂર હોય છે. કારણ કે $2$ વ્યક્તિઓ ડ્રાઇવિંગ કરી શકે છે,તેથી આપણે આ $2$ વ્યક્તિઓમાંથી $1$ ડ્રાઇવર પસંદ કરવો પડશે. આ $^2C_1$ રીતે કરી શકાય છે.
ડ્રાઇવર પસંદ કર્યા પછી,આપણે બાકીના $5$ લોકોમાંથી બાકીની $2$ સીટો (એક આગળ અને એક પાછળ) ભરવાની જરૂર છે. આ $^5C_2$ રીતે કરી શકાય છે.
તેથી,કારને ભરવાની કુલ રીતોની સંખ્યા $^2C_1 \times ^5C_2 = 2 \times 10 = 20$ છે.

(D) દડાઓને હારમાં એવી રીતે ગોઠવવાના છે કે જેથી પાસપાસેના દડાઓ અલગ-અલગ રંગના હોય,તેથી આપણે સફેદ દડા અથવા કાળા દડાથી શરૂઆત કરી શકીએ છીએ.
કિસ્સો $1$: જો આપણે સફેદ દડાથી શરૂઆત કરીએ,તો $(n + 1)$ સફેદ દડાઓને $(n + 1)!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે. આનાથી કાળા દડાઓ માટે $(n + 2)$ સંભવિત સ્થાનો બને છે. જો કે,રંગો એકાંતરે રહે તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે,$(n + 1)$ કાળા દડાઓએ સફેદ દડાઓની વચ્ચેના $(n + 1)$ ચોક્કસ અંતરાલોમાં ગોઠવાવું પડશે. આ $(n + 1)$ કાળા દડાઓને આ અંતરાલોમાં $(n + 1)!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
આમ,સફેદ દડાથી શરૂ થતી કુલ ગોઠવણીઓ $(n + 1)! \times (n + 1)! = \{(n + 1)!\}^2$ છે.
કિસ્સો $2$: તેવી જ રીતે,જો આપણે કાળા દડાથી શરૂઆત કરીએ,તો કુલ ગોઠવણીઓ $(n + 1)! \times (n + 1)! = \{(n + 1)!\}^2$ થશે.
કુલ ગોઠવણીઓ = $\{(n + 1)!\}^2 + \{(n + 1)!\}^2 = 2\{(n + 1)!\}^2$.

(A) $12$ વ્યક્તિઓને ગોળાકાર ટેબલ પર બેસાડવાની કુલ રીતો $(12 - 1)! = 11!$ છે.
જ્યારે $2$ ચોક્કસ વ્યક્તિઓ એકબીજાની બાજુમાં બેસે તેવી ગોઠવણીઓ શોધવા માટે,આપણે તેમને એક એકમ તરીકે ગણીએ છીએ. હવે,આપણી પાસે વર્તુળમાં ગોઠવવા માટે $11$ એકમો છે,જે $(11 - 1)! = 10!$ રીતે કરી શકાય છે. તે એકમની અંદર,$2$ વ્યક્તિઓ $2!$ રીતે ગોઠવાઈ શકે છે.
તેથી,$2$ ચોક્કસ વ્યક્તિઓ સાથે બેસે તેવી રીતોની સંખ્યા $10! \times 2! = 2 \times 10!$ છે.
તેઓ એકબીજાની બાજુમાં ન બેસે તેવી ગોઠવણીઓની સંખ્યા કુલ ગોઠવણીઓમાંથી સાથે બેસે તેવી ગોઠવણીઓ બાદ કરવાથી મળે છે:
$11! - (2 \times 10!) = (11 \times 10!) - (2 \times 10!) = (11 - 2) \times 10! = 9 \times 10!$.

(A) $5000$ અને $10,000$ ની વચ્ચેની સંખ્યા $4$ અંકની હોવી જોઈએ.
હજારના સ્થાન પર ${5, 6, 7, 8, 9}$ અંકોમાંથી કોઈ પણ અંક આવી શકે છે,જે $5$ શક્ય રીતો આપે છે.
દરેક અંક વધુમાં વધુ એક વાર આવી શકે છે,તેથી બાકીના $3$ સ્થાન ભરવા માટે આપણી પાસે $8$ અંકો બાકી રહે છે.
$8$ માંથી $3$ અંકોને ગોઠવવાની રીતો ક્રમચયના સૂત્ર $^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ દ્વારા મળે છે.
આમ,બાકીના $3$ સ્થાન ભરવાની રીતો $^8P_3$ છે.
ગણતરીના મૂળભૂત સિદ્ધાંત મુજબ,આવી કુલ સંખ્યાઓ $5 \times ^8P_3$ થાય.

(C) આપેલ પદાવલિ $^x{C_r} \cdot ^y{C_0} + ^x{C_{r-1}} \cdot ^y{C_1} + ^x{C_{r-2}} \cdot ^y{C_2} + \dots + ^x{C_0} \cdot ^y{C_r}$ છે.
આ એક પ્રમાણિત નિત્યસમ છે જેને વેન્ડરમોન્ડનું નિત્યસમ (Vandermonde's Identity) કહેવામાં આવે છે.
વેન્ડરમોન્ડના નિત્યસમ મુજબ, સંચયોના ગુણાકારનો સરવાળો $\sum_{k=0}^{r} {^x{C_{r-k}} \cdot ^y{C_k}}$ એ $^{x+y}C_r$ બરાબર થાય છે.
આ કુલ $x+y$ વસ્તુઓમાંથી (જ્યાં $x$ વસ્તુઓ એક પ્રકારની અને $y$ વસ્તુઓ બીજા પ્રકારની છે) $r$ વસ્તુઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા દર્શાવે છે.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) $PROPORTION$ શબ્દમાં $10$ અક્ષરો છે: $P(2), R(2), O(3), I(1), T(1), N(1)$. કુલ $6$ પ્રકારના અક્ષરો છે: ${P, R, O, I, T, N}$. આપણે $4$ અક્ષરોની ગોઠવણી કરવાની છે.
કિસ્સો $(i)$: બધા $4$ અક્ષરો અલગ હોય.
$6$ પ્રકારમાંથી $4$ અલગ અક્ષરો પસંદ કરવાની રીતો $= ^6C_4 = 15$.
ગોઠવણી $= 15 \times 4! = 15 \times 24 = 360$.
કિસ્સો $(ii)$: $2$ અક્ષરો સમાન અને $2$ અલગ હોય.
${P, R, O}$ માંથી $1$ જોડી પસંદ કરવાની રીતો $= ^3C_1 = 3$. બાકીના $5$ પ્રકારમાંથી $2$ અલગ અક્ષરો પસંદ કરવાની રીતો $= ^5C_2 = 10$.
પસંદગીની સંખ્યા $= 3 \times 10 = 30$.
ગોઠવણી $= 30 \times \frac{4!}{2!} = 30 \times 12 = 360$.
કિસ્સો $(iii)$: $2$ અક્ષરો એક પ્રકારના સમાન અને $2$ અક્ષરો બીજા પ્રકારના સમાન હોય.
${P, R, O}$ માંથી $2$ જોડી પસંદ કરવાની રીતો $= ^3C_2 = 3$.
ગોઠવણી $= 3 \times \frac{4!}{2!2!} = 3 \times 6 = 18$.
કિસ્સો $(iv)$: $3$ અક્ષરો સમાન અને $1$ અલગ હોય.
$3$ સમાન અક્ષરોનો સેટ $(O)$ પસંદ કરવાની રીત $= 1$. બાકીના $5$ પ્રકારમાંથી $1$ અલગ અક્ષર પસંદ કરવાની રીતો $= ^5C_1 = 5$.
ગોઠવણી $= 5 \times \frac{4!}{3!} = 5 \times 4 = 20$.
કુલ ગોઠવણી $= 360 + 360 + 18 + 20 = 758$.

(D) $MORADABAD$ શબ્દમાં $9$ અક્ષરો છે: $A, A, A, D, D, M, O, R, B$.
અહીં $3$ $A$,$2$ $D$ અને $4$ ભિન્ન અક્ષરો $(M, O, R, B)$ છે. આપણે $4$ અક્ષરો વાળા શબ્દો બનાવવાના છે.
$(i)$ બધા $4$ અક્ષરો અલગ હોય: $6$ ભિન્ન પ્રકારના અક્ષરોમાંથી $4$ અક્ષરો પસંદ કરતા. રીતોની સંખ્યા = $^6P_4 = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$.
$(ii)$ $2$ અક્ષરો સમાન અને $2$ અલગ હોય: $2$ પ્રકારમાંથી ($A$ અથવા $D$) $1$ જોડ પસંદ કરો અને બાકીના $5$ પ્રકારમાંથી $2$ ભિન્ન અક્ષરો પસંદ કરો. રીતોની સંખ્યા = $^2C_1 \times ^5C_2 \times \frac{4!}{2!} = 2 \times 10 \times 12 = 240$.
$(iii)$ $3$ અક્ષરો સમાન અને $1$ અલગ હોય: $1$ ત્રિપુટી $(A)$ અને બાકીના $5$ પ્રકારમાંથી $1$ ભિન્ન અક્ષર પસંદ કરો. રીતોની સંખ્યા = $^1C_1 \times ^5C_1 \times \frac{4!}{3!} = 1 \times 5 \times 4 = 20$.
$(iv)$ $2$ અક્ષરો એક પ્રકારના સમાન અને $2$ અક્ષરો બીજા પ્રકારના સમાન હોય: $2$ પ્રકારમાંથી ($A$ અને $D$) $2$ જોડ પસંદ કરો. રીતોની સંખ્યા = $^2C_2 \times \frac{4!}{2!2!} = 1 \times 6 = 6$.
કુલ શબ્દોની સંખ્યા = $360 + 240 + 20 + 6 = 626$.

(B) કુલ વિદ્યાર્થીઓ = $10$. છોકરીઓની સંખ્યા = $3$. છોકરાઓની સંખ્યા = $10 - 3 = 7$.
કોઈપણ બે છોકરીઓ સાથે ન બેસે તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે,આપણે પહેલા $7$ છોકરાઓને એક હરોળમાં બેસાડીએ,જે $7!$ રીતે કરી શકાય છે.
આનાથી $8$ સંભવિત જગ્યાઓ (છેડાઓ સહિત) બને છે જ્યાં $3$ છોકરીઓને બેસાડી શકાય છે: $\_ B_1 \_ B_2 \_ B_3 \_ B_4 \_ B_5 \_ B_6 \_ B_7 \_$.
આ $8$ જગ્યાઓમાં $3$ છોકરીઓને પસંદ કરવાની અને બેસાડવાની રીતોની સંખ્યા $^8P_3$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,કુલ ગોઠવણીઓની સંખ્યા $7! \times ^8P_3$ છે.

(D) આપેલ પદાવલિ $\binom{n}{r} + 2\binom{n}{r-1} + \binom{n}{r-2}$ છે.
આપણે વચ્ચેના પદ $2\binom{n}{r-1}$ ને $\binom{n}{r-1} + \binom{n}{r-1}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
તેથી,પદાવલિ $\binom{n}{r} + \binom{n}{r-1} + \binom{n}{r-1} + \binom{n}{r-2}$ બને છે.
પાસ્કલના નિત્યસમ $\binom{n}{k} + \binom{n}{k-1} = \binom{n+1}{k}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$(\binom{n}{r} + \binom{n}{r-1}) + (\binom{n}{r-1} + \binom{n}{r-2}) = \binom{n+1}{r} + \binom{n+1}{r-1}$.
ફરીથી આ નિત્યસમ લાગુ પાડતા,$\binom{n+1}{r} + \binom{n+1}{r-1} = \binom{n+2}{r}$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $a \cdot b \cdot c = 30$ છે,જ્યાં $a, b, c$ ધન પૂર્ણાંકો છે.
સૌ પ્રથમ,$30$ ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડો: $30 = 2^1 \cdot 3^1 \cdot 5^1$.
દરેક અવિભાજ્ય અવયવ $(2, 3, 5)$ ને ત્રણ ચલ $a, b,$ અને $c$ માં વહેંચવાના છે.
અવિભાજ્ય અવયવ $2$ માટે,$3$ વિકલ્પો છે (તે $a, b,$ અથવા $c$ માં જઈ શકે છે).
અવિભાજ્ય અવયવ $3$ માટે,$3$ વિકલ્પો છે.
અવિભાજ્ય અવયવ $5$ માટે,$3$ વિકલ્પો છે.
દરેક અવિભાજ્ય અવયવની વહેંચણી સ્વતંત્ર હોવાથી,કુલ ધન પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા $3 \times 3 \times 3 = 27$ થશે.

(C) આપેલ સંખ્યા $223355888$ છે. અંકો $2, 2, 3, 3, 5, 5, 8, 8, 8$ છે.
કુલ અંકો = $9$. સ્થાનો $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ છે.
બેકી સ્થાનો $2, 4, 6, 8$ છે (કુલ $4$ સ્થાનો).
એકી અંકો $3, 3, 5, 5$ છે (કુલ $4$ અંકો).
બેકી અંકો $2, 2, 8, 8, 8$ છે (કુલ $5$ અંકો).
પગલું $1$: $4$ એકી અંકોને $4$ બેકી સ્થાનો પર ગોઠવો. રીતોની સંખ્યા $\frac{4!}{2! \times 2!} = \frac{24}{4} = 6$ છે.
પગલું $2$: $5$ બેકી અંકોને બાકીના $5$ એકી સ્થાનો પર ગોઠવો. રીતોની સંખ્યા $\frac{5!}{2! \times 3!} = \frac{120}{2 \times 6} = 10$ છે.
કુલ રીતોની સંખ્યા = $6 \times 10 = 60$.

(A) $CRICKET$ શબ્દમાં રહેલા અક્ષરો $C, R, I, C, K, E, T$ છે.
તેમને મૂળાક્ષરોના ક્રમમાં ગોઠવતા: $C, C, E, I, K, R, T$ મળે છે.
કુલ $7$ અક્ષરો છે,જેમાં $C$ બે વાર પુનરાવર્તિત થાય છે.
$CRICKET$ પહેલા આવતા શબ્દોની ગણતરી કરવા માટે,આપણે દરેક સ્થાન પર $CRICKET$ ના અક્ષરો કરતાં પહેલા આવતા અક્ષરોથી શરૂ થતા શબ્દોની સંખ્યા શોધીશું.
આ ગણતરી મુજબ,$CRICKET$ શબ્દ પહેલા કુલ $530$ શબ્દો આવે છે.

(C) કુલ ઉમેદવારોની સંખ્યા $= 10$.
ચૂંટવાના ઉમેદવારોની સંખ્યા $= 4$.
મતદાર ઓછામાં ઓછા $1$ અને વધુમાં વધુ $4$ ઉમેદવારોને મત આપી શકે છે.
$1$ ઉમેદવારને મત આપવાની રીતો $= ^{10}C_{1} = 10$.
$2$ ઉમેદવારોને મત આપવાની રીતો $= ^{10}C_{2} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$.
$3$ ઉમેદવારોને મત આપવાની રીતો $= ^{10}C_{3} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$.
$4$ ઉમેદવારોને મત આપવાની રીતો $= ^{10}C_{4} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210$.
કુલ રીતોની સંખ્યા $= 10 + 45 + 120 + 210 = 385$.

(C) ગણ $S$ માં $12$ ઘટકો છે.
આપણે $S$ ને સમાન કદના ત્રણ પરસ્પર અલગ ગણ $A, B, C$ માં વિભાજિત કરવાના છે.
કુલ $12$ ઘટકો હોવાથી,દરેક ગણમાં $12 / 3 = 4$ ઘટકો હોવા જોઈએ.
$12$ માંથી ગણ $A$ માટે $4$ ઘટકો પસંદ કરવાની રીતો $\binom{12}{4}$ છે.
બાકીના $8$ માંથી ગણ $B$ માટે $4$ ઘટકો પસંદ કરવાની રીતો $\binom{8}{4}$ છે.
બાકીના $4$ માંથી ગણ $C$ માટે $4$ ઘટકો પસંદ કરવાની રીતો $\binom{4}{4}$ છે.
ત્રણ નામિત ગણ $A, B, C$ માં ઘટકો વહેંચવાની કુલ રીતો $\binom{12}{4} \times \binom{8}{4} \times \binom{4}{4} = \frac{12!}{4!8!} \times \frac{8!}{4!4!} \times \frac{4!}{4!0!} = \frac{12!}{(4!)^3}$ છે.
અહીં ગણ $A, B, C$ નામિત નથી (વિભાજન ક્રમરહિત છે),તેથી ત્રણ ગણના ક્રમચયને ધ્યાનમાં લેવા માટે આપણે $3!$ વડે ભાગવું પડશે.
તેથી,$S$ ને વિભાજિત કરવાની કુલ રીતો $\frac{12!}{3!(4!)^3}$ છે.

(D) આ પુનરાવર્તનની છૂટ સાથેના સંચય (combinations with repetition) નો પ્રશ્ન છે.
$n$ પ્રકારની વસ્તુઓમાંથી $r$ વસ્તુઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^{n+r-1}C_r$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$n = 5$ (આઈસ્ક્રીમના પ્રકાર) અને $r = 6$ (ખરીદવાના આઈસ્ક્રીમ).
રીતોની સંખ્યા = $^{5+6-1}C_6 = ^{10}C_6$.
કારણ કે $^{10}C_6 = ^{10}C_{10-6} = ^{10}C_4$,વિધાન-$1$ ખોટું છે કારણ કે તેમાં $^{10}C_5$ આપેલ છે.
વિધાન-$2$ માટે,$6$ $A$ અને $4$ $B$ ને ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા મલ્ટિસેટ ક્રમચયના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $\frac{(6+4)!}{6!4!} = ^{10}C_6$.
આમ,આઈસ્ક્રીમ ખરીદવાની રીતોની સંખ્યા $^{10}C_6$ છે અને ગોઠવણીની સંખ્યા પણ $^{10}C_6$ છે,તેથી વિધાન-$2$ સાચું છે.
તેથી,વિધાન-$1$ ખોટું છે અને વિધાન-$2$ સાચું છે.

(D) $MISSISSIPPI$ શબ્દમાં $11$ અક્ષરો છે: $M=1, I=4, S=4, P=2$.
પ્રથમ,$S$ સિવાયના અક્ષરોને ગોઠવો. આ અક્ષરો $M, I, I, I, I, P, P$ ($7$ અક્ષરો) છે.
આ $7$ અક્ષરોને ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $\frac{7!}{4!2!} = 105$ છે.
આ $7$ અક્ષરો દ્વારા $8$ ખાલી જગ્યાઓ બને છે (છેડાઓ સહિત) જ્યાં $4$ $S$ ને એવી રીતે મૂકી શકાય કે જેથી કોઈ પણ બે $S$ પાસપાસે ન આવે.
$8$ માંથી $4$ ખાલી જગ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^8C_4 = 70$ છે.
કુલ શબ્દોની સંખ્યા $105 \times 70 = 7350$ છે.
વિકલ્પ $D$ મુજબ: $7 \times ^6C_4 \times ^8C_4 = 7 \times 15 \times 70 = 7350$.

(C) પગલું $1$: $6$ અલગ-અલગ નવલકથાઓમાંથી $4$ નવલકથાઓ પસંદ કરો. આ $^6C_4$ રીતે કરી શકાય છે.
$^6C_4 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ રીતો.
પગલું $2$: $3$ અલગ-અલગ શબ્દકોશોમાંથી $1$ શબ્દકોશ પસંદ કરો. આ $^3C_1$ રીતે કરી શકાય છે.
$^3C_1 = 3$ રીતો.
પગલું $3$: $4$ પસંદ કરેલી નવલકથાઓ અને $1$ શબ્દકોશને હારમાં એવી રીતે ગોઠવો કે જેથી શબ્દકોશ હંમેશા વચ્ચે રહે. શબ્દકોશ વચ્ચે નિશ્ચિત હોવાથી,આપણે ફક્ત $4$ નવલકથાઓને બાકીની $4$ જગ્યાઓ પર ગોઠવવાની જરૂર છે.
$4$ નવલકથાઓ ગોઠવવાની રીતો = $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.
પગલું $4$: કુલ ગોઠવણીઓની સંખ્યા = (નવલકથાઓ પસંદ કરવાની રીતો) $\times$ (શબ્દકોશ પસંદ કરવાની રીતો) $\times$ (નવલકથાઓ ગોઠવવાની રીતો) = $15 \times 3 \times 24 = 1080$.

(C) પાત્ર $A$ માં કુલ દડાની સંખ્યા $= 3$.
પાત્ર $B$ માં કુલ દડાની સંખ્યા $= 9$.
આપણે પાત્ર $A$ માંથી $2$ દડા અને પાત્ર $B$ માંથી $2$ દડા પસંદ કરીને તેમને બીજા પાત્રમાં સ્થાનાંતરિત કરવાના છે.
પાત્ર $A$ ના $3$ અલગ દડામાંથી $2$ દડા પસંદ કરવાની રીતો $= ^3C_2$.
$^3C_2 = \frac{3!}{2!1!} = 3$.
પાત્ર $B$ ના $9$ અલગ દડામાંથી $2$ દડા પસંદ કરવાની રીતો $= ^9C_2$.
$^9C_2 = \frac{9!}{2!7!} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$.
આ પસંદગીઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,કુલ રીતોની સંખ્યા બંને પસંદગીઓના ગુણાકાર જેટલી થશે.
કુલ રીતો $= ^3C_2 \times ^9C_2 = 3 \times 36 = 108$.

(D) વિધાન-$1$ માટે: $n$ સમાન વસ્તુઓને $r$ અલગ-અલગ બોક્સમાં એવી રીતે વહેંચવાની રીતોની સંખ્યા કે જેથી કોઈ પણ બોક્સ ખાલી ન રહે,તેનું સૂત્ર $^{n-1}C_{r-1}$ છે.
અહીં,$n = 10$ અને $r = 4$ છે.
તેથી,રીતોની સંખ્યા $^{10-1}C_{4-1} = ^9C_3$ થાય.
આમ,વિધાન-$1$ સાચું છે.
વિધાન-$2$ માટે: $n$ અલગ-અલગ વસ્તુઓમાંથી $r$ વસ્તુઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^nC_r$ છે.
અહીં,$n = 9$ અને $r = 3$ છે,તેથી રીતોની સંખ્યા $^9C_3$ થાય.
આમ,વિધાન-$2$ સાચું છે.
વિધાન-$1$ માં વપરાયેલ સૂત્ર એ જગ્યાઓ પસંદ કરવાના ખ્યાલ (સ્ટાર્સ એન્ડ બાર્સ પદ્ધતિ) પરથી તારવવામાં આવ્યું હોવાથી,વિધાન-$2$ એ વિધાન-$1$ ની સાચી સમજૂતી આપે છે.

(D) દરેક રંગના દડાઓ સમાન હોવાથી,કોઈ ચોક્કસ રંગના દડા પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા તે રંગના દડાઓની કુલ સંખ્યા વત્તા એક (જ્યારે તે રંગનો એક પણ દડો પસંદ ન કરવામાં આવે તે કિસ્સા માટે) જેટલી હોય છે.
$10$ સફેદ દડાઓ માટે,પસંદગીની રીતો $(10 + 1) = 11$ છે.
$9$ લીલા દડાઓ માટે,પસંદગીની રીતો $(9 + 1) = 10$ છે.
$7$ કાળા દડાઓ માટે,પસંદગીની રીતો $(7 + 1) = 8$ છે.
કોઈપણ સંખ્યામાં દડાઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો (જેમાં એક પણ દડો પસંદ ન કરવામાં આવે તે કિસ્સો પણ સામેલ છે) $11 \times 10 \times 8 = 880$ છે.
આપણે એક કે તેથી વધુ દડા પસંદ કરવાના હોવાથી,આપણે તે કિસ્સો બાદ કરવો પડશે જેમાં એક પણ દડો પસંદ કરવામાં આવતો નથી.
તેથી,જરૂરી રીતોની સંખ્યા $880 - 1 = 879$ છે.

(B) $n$-બાજુવાળા બહુકોણના શિરોબિંદુઓને જોડીને બનતા ત્રિકોણોની સંખ્યા સંચયના સૂત્ર $T_n = ^nC_3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ શરત $T_{n+1} - T_n = 10$ મુજબ,આપણે સૂત્ર મૂકીએ:
$^{n+1}C_3 - ^nC_3 = 10$
સંચયના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,આપણે જાણીએ છીએ કે $^nC_r + ^nC_{r-1} = ^{n+1}C_r$,જેનો અર્થ છે કે $^{n+1}C_3 - ^nC_3 = ^nC_2$.
તેથી,$^nC_2 = 10$.
સંચયના સૂત્રનું વિસ્તરણ કરતા:
$\frac{n(n-1)}{2} = 10$
$n(n-1) = 20$
$n^2 - n - 20 = 0$
$(n-5)(n+4) = 0$
અહીં $n$ એ બહુકોણની બાજુઓની સંખ્યા દર્શાવે છે,તેથી $n$ ધન પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ. આમ,$n = 5$.

(C) $3, 5, 6, 7, 8$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને પુનરાવર્તન વગર $6000$ થી મોટી પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ બનાવવા માટે,આપણે બે કિસ્સાઓ વિચારીએ:
કિસ્સો $1$: $5$-અંકી સંખ્યાઓ.
બધા $5$ અંકો ઉપલબ્ધ હોવાથી અને આપણે $5$-અંકી સંખ્યા બનાવવાની હોવાથી,કુલ ગોઠવણીઓની સંખ્યા $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ થાય.
કિસ્સો $2$: $4$-અંકી સંખ્યાઓ.
$4$-અંકી સંખ્યા $6000$ થી મોટી હોવા માટે,પ્રથમ અંક (હજારનું સ્થાન) $6, 7,$ અથવા $8$ હોવો જોઈએ. આમ,પ્રથમ અંક માટે $3$ વિકલ્પો છે.
બાકીના $3$ સ્થાનો બાકી રહેલા $4$ અંકો દ્વારા $P(4, 3) = 4 \times 3 \times 2 = 24$ રીતે ભરી શકાય છે.
કુલ $4$-અંકી સંખ્યાઓ $= 3 \times 24 = 72$.
કુલ પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ $= 120 + 72 = 192$.