Permutation and Combination Questions in Gujarati

(A) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(0,0)$, $(41,0)$ અને $(0,41)$ છે।
$(41,0)$ અને $(0,41)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $x + y = 41$ છે।
આપણે એવા પૂર્ણાંક બિંદુઓ $(x, y)$ શોધવાના છે કે જ્યાં $x > 0$, $y > 0$ અને $x + y < 41$ હોય।
નિશ્ચિત $x$ માટે, $y$ ની શક્ય કિંમતો $1, 2, 3, \dots, 40 - x$ છે।
આપેલ $x$ માટે આવા બિંદુઓની સંખ્યા $40 - x$ છે।
$x = 1$ થી $39$ માટે આ કિંમતોનો સરવાળો કરતા:
$N = \sum_{x=1}^{39} (40 - x) = 39 + 38 + 37 + \dots + 1$
આ $n = 39$ પદો ધરાવતી સમાંતર શ્રેણી છે।
$N = \frac{n(n+1)}{2} = \frac{39 \times 40}{2} = 39 \times 20 = 780$

(B) આપેલ છે કે ગણ $A$ માં $4$ ઘટકો છે અને ગણ $B$ માં $2$ ઘટકો છે.
કાર્તેઝીય ગુણાકાર $A \times B$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n(A \times B) = n(A) \times n(B) = 4 \times 2 = 8$ છે.
$A \times B$ ના કુલ ઉપગણોની સંખ્યા $2^n = 2^8 = 256$ છે.
આપણે ઓછામાં ઓછા $3$ ઘટકો ધરાવતા ઉપગણોની સંખ્યા શોધવાની છે.
આ સંખ્યા કુલ ઉપગણોમાંથી $0, 1,$ અથવા $2$ ઘટકો ધરાવતા ઉપગણોની સંખ્યા બાદ કરવાથી મળે છે.
$0$ ઘટકો ધરાવતા ઉપગણો (રિક્ત ગણ) = $^8C_0 = 1$.
$1$ ઘટક ધરાવતા ઉપગણો = $^8C_1 = 8$.
$2$ ઘટકો ધરાવતા ઉપગણો = $^8C_2 = \frac{8 \times 7}{2} = 28$.
$3$ થી ઓછા ઘટકો ધરાવતા કુલ ઉપગણો = $1 + 8 + 28 = 37$.
ઓછામાં ઓછા $3$ ઘટકો ધરાવતા ઉપગણોની સંખ્યા = $256 - 37 = 219$.

(B) $SMALL$ શબ્દમાં રહેલા અક્ષરો $A, L, L, M, S$ છે. કુલ અક્ષરો = $5$.
અક્ષરોને મૂળાક્ષરના ક્રમમાં ગોઠવતા: $A, L, L, M, S$.
$1$. $A$ થી શરૂ થતા શબ્દો: બાકી રહેલા અક્ષરો $L, L, M, S$ છે. ગોઠવણીની સંખ્યા $\frac{4!}{2!} = \frac{24}{2} = 12$ છે.
$2$. $L$ થી શરૂ થતા શબ્દો: બાકી રહેલા અક્ષરો $A, L, M, S$ છે. ગોઠવણીની સંખ્યા $4! = 24$ છે.
$3$. $M$ થી શરૂ થતા શબ્દો: બાકી રહેલા અક્ષરો $A, L, L, S$ છે. ગોઠવણીની સંખ્યા $\frac{4!}{2!} = \frac{24}{2} = 12$ છે.
$4$. $SA$ થી શરૂ થતા શબ્દો: બાકી રહેલા અક્ષરો $L, L, M$ છે. ગોઠવણીની સંખ્યા $\frac{3!}{2!} = 3$ છે.
$5$. $SL$ થી શરૂ થતા શબ્દો: બાકી રહેલા અક્ષરો $A, L, M$ છે. ગોઠવણીની સંખ્યા $3! = 6$ છે.
$6$. $SMA$ થી શરૂ થતા શબ્દો: બાકી રહેલા અક્ષરો $L, L$ છે. ગોઠવણીની સંખ્યા $\frac{2!}{2!} = 1$ છે.
આમ,$SMALL$ શબ્દનું સ્થાન $12 + 24 + 12 + 3 + 6 + 1 = 58$ મું છે.

(B) ધારો કે $L_X = 4, M_X = 3$ એ $X$ ના સ્ત્રી અને પુરુષ મિત્રોની સંખ્યા છે,અને $L_Y = 3, M_Y = 4$ એ $Y$ ના સ્ત્રી અને પુરુષ મિત્રોની સંખ્યા છે.
આપણે કુલ $3$ સ્ત્રીઓ અને $3$ પુરુષો પસંદ કરવાના છે,જેથી $X$ ના જૂથમાંથી $3$ મિત્રો અને $Y$ ના જૂથમાંથી $3$ મિત્રો પસંદ થાય.
ધારો કે $X$,$l_1$ સ્ત્રીઓ અને $m_1$ પુરુષોને આમંત્રણ આપે છે,અને $Y$,$l_2$ સ્ત્રીઓ અને $m_2$ પુરુષોને આમંત્રણ આપે છે.
શરતો: $l_1 + m_1 = 3$,$l_2 + m_2 = 3$,$l_1 + l_2 = 3$,અને $m_1 + m_2 = 3$.
$X$ માટે શક્ય કિસ્સાઓ $(l_1, m_1)$ અને $Y$ માટે $(l_2, m_2)$ નીચે મુજબ છે:
કિસ્સો $1$: $l_1=3, m_1=0$ અને $l_2=0, m_2=3$. રીતો: $\binom{4}{3}\binom{3}{0} \times \binom{3}{0}\binom{4}{3} = 4 \times 4 = 16$.
કિસ્સો $2$: $l_1=2, m_1=1$ અને $l_2=1, m_2=2$. રીતો: $\binom{4}{2}\binom{3}{1} \times \binom{3}{1}\binom{4}{2} = 18 \times 18 = 324$.
કિસ્સો $3$: $l_1=1, m_1=2$ અને $l_2=2, m_2=1$. રીતો: $\binom{4}{1}\binom{3}{2} \times \binom{3}{2}\binom{4}{1} = 12 \times 12 = 144$.
કિસ્સો $4$: $l_1=0, m_1=3$ અને $l_2=3, m_2=0$. રીતો: $\binom{4}{0}\binom{3}{3} \times \binom{3}{3}\binom{4}{0} = 1 \times 1 = 1$.
કુલ રીતો $= 16 + 324 + 144 + 1 = 485$.

(C) અહીં $5$ દડા સમાન છે અને $10$ પેટીઓ પણ સમાન છે,તેથી વહેંચણી ફક્ત પેટીઓની પસંદગી પર આધાર રાખે છે.
દરેક પેટીમાં વધુમાં વધુ એક દડો હોઈ શકે છે,તેથી આપણે $10$ માંથી $5$ પેટીઓ પસંદ કરવાની જરૂર છે.
પેટીઓ સમાન હોવાથી,$10$ માંથી $5$ પેટીઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા સંચયના સૂત્ર $^{10}C_5$ દ્વારા મળે છે.
$^{10}C_5 = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10!}{5! \times 5!} = \frac{10!}{(5!)^2}$.

(D) પગલું $1$: બે મહિલાઓ $1$ થી $4$ નંબરની ખુરશીઓમાંથી તેમની ખુરશી પસંદ કરે છે. ખુરશીઓ અલગ-અલગ હોવાથી,બેસવાનો ક્રમ મહત્વનો છે,તેથી રીતોની સંખ્યા $^4P_2 = 4 \times 3 = 12$ છે.
પગલું $2$: મહિલાઓએ $2$ ખુરશીઓ રોક્યા પછી,કુલ $8 - 2 = 6$ ખુરશીઓ બાકી રહે છે.
પગલું $3$: ત્યારબાદ ત્રણ પુરુષો બાકીની $6$ ખુરશીઓમાંથી તેમની ખુરશી પસંદ કરે છે. રીતોની સંખ્યા $^6P_3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$ છે.
પગલું $4$: કુલ ગોઠવણીઓની સંખ્યા આ બંને પગલાંનો ગુણાકાર છે: $^4P_2 \times ^6P_3 = 12 \times 120 = 1440$.
આમ,$1440$ એ વિકલ્પો $A, B,$ કે $C$ માં આપેલ નથી,તેથી સાચો જવાબ $D$ છે.

(A) ત્રિકોણ $ABC$ ની બાજુઓ પરના કુલ બિંદુઓની સંખ્યા $3 + 4 + 5 = 12$ છે.
$12$ બિંદુઓમાંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{12}C_3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$ છે.
જોકે,એક જ બાજુ પર આવેલા બિંદુઓ સમરેખ (collinear) હોય છે અને તે ત્રિકોણ બનાવી શકતા નથી. આપણે આ કિસ્સાઓને બાદ કરવા પડશે:
$1$. બાજુ $AB$ પરના બિંદુઓ: $^3C_3 = 1$ રીત.
$2$. બાજુ $BC$ પરના બિંદુઓ: $^4C_3 = 4$ રીત.
$3$. બાજુ $CA$ પરના બિંદુઓ: $^5C_3 = 10$ રીત.
ત્રિકોણોની કુલ સંખ્યા = (કુલ સંચયો) - (સમરેખ સંચયો) = $220 - (1 + 4 + 10) = 220 - 15 = 205$.

(D) $n$ ભિન્ન વસ્તુઓને ક્રમમાં ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $n!$ (n ફેક્ટોરિયલ) દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$4$ ભિન્ન વ્યાખ્યાન આપનાર $(P, Q, R, S)$ છે.
તેથી,તેમની રજૂઆતના ક્રમને ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ છે.
વૈકલ્પિક રીતે,ક્રમચયના સૂત્ર $^nP_r$ નો ઉપયોગ કરીને જ્યાં $n=4$ અને $r=4$ છે,આપણને $^4P_4 = 4! = 24$ મળે છે.

(B) ધારો કે $A$ એ $n$ ઘટકો ધરાવતો ગણ છે,જ્યાં $n = 10$.
ગણ $A$ થી ગણ $A$ પરનું વિધેય પ્રદેશના દરેક $10$ ઘટકને સહપ્રદેશના કોઈપણ $10$ ઘટકો સાથે જોડે છે.
પ્રદેશના દરેક ઘટક માટે,સહપ્રદેશમાં $10$ શક્ય વિકલ્પો છે.
પ્રદેશમાં $10$ ઘટકો હોવાથી,કુલ ભિન્ન વિધેયોની સંખ્યા દરેક ઘટક માટેના વિકલ્પોના ગુણાકાર દ્વારા મળે છે:
કુલ વિધેયો $= 10 \times 10 \times \dots \times 10$ ($10$ વખત) $= 10^{10}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) $0, 1, 2, 3, 4, 5$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને $3000$ થી મોટી સંખ્યાઓ શોધવા માટે,આપણે $4, 5$ અને $6$ અંકની સંખ્યાઓ ધ્યાનમાં લઈશું.
$1$. $3000$ થી મોટી $4$ અંકની સંખ્યાઓ:
પ્રથમ અંક $3, 4$ અથવા $5$ હોઈ શકે છે ($3$ વિકલ્પો).
બાકીના $3$ સ્થાનો બાકીના $5$ અંકોમાંથી $^5P_3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$ રીતે ભરી શકાય છે.
કુલ $4$ અંકની સંખ્યાઓ $= 3 \times 60 = 180$.
$2$. $5$ અંકની સંખ્યાઓ:
પ્રથમ અંક $0$ ન હોઈ શકે ($5$ વિકલ્પો: $1, 2, 3, 4, 5$).
બાકીના $4$ સ્થાનો બાકીના $5$ અંકોમાંથી $^5P_4 = 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$ રીતે ભરી શકાય છે.
કુલ $5$ અંકની સંખ્યાઓ $= 5 \times 120 = 600$.
$3$. $6$ અંકની સંખ્યાઓ:
પ્રથમ અંક $0$ ન હોઈ શકે ($5$ વિકલ્પો: $1, 2, 3, 4, 5$).
બાકીના $5$ સ્થાનો બાકીના $5$ અંકોમાંથી $5! = 120$ રીતે ભરી શકાય છે.
કુલ $6$ અંકની સંખ્યાઓ $= 5 \times 120 = 600$.
કુલ સંખ્યાઓ $= 180 + 600 + 600 = 1380$.

(D) $INSURANCE$ શબ્દમાં $9$ અક્ષરો છે: $I, N, S, U, R, A, N, C, E$.
સ્વરો $I, U, A, E$ છે ($4$ સ્વરો).
વ્યંજનો $N, S, R, N, C$ છે ($5$ વ્યંજનો).
બધા સ્વરો સાથે આવવા જોઈએ,તેથી આપણે $(I, U, A, E)$ જૂથને એક એકમ તરીકે ગણીએ છીએ.
હવે,આપણી પાસે ${ (IUAE), N, S, R, N, C }$ નો સમૂહ છે,જેમાં $6$ એકમો છે.
આ સમૂહમાં,$N$ અક્ષર $2$ વાર પુનરાવર્તિત થાય છે.
આ $6$ એકમોને ગોઠવવાની રીતો $\frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360$ છે.
સ્વરોના જૂથ $(I, U, A, E)$ ની અંદર,$4$ અલગ સ્વરો છે,જેમને $4! = 24$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
કુલ શબ્દોની સંખ્યા = $360 \times 24 = 8640$.

(B) ધારો કે $x_j$ એ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા છે જેમણે બરાબર $j$ ખોટા જવાબ આપ્યા છે,જ્યાં $1 \le j \le k$.
ખોટા જવાબોની કુલ સંખ્યા $\sum_{j=1}^{k} j \cdot x_j$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણને આપેલ છે કે ${a_i}$ એ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા છે જેમણે ઓછામાં ઓછા $i$ ખોટા જવાબ આપ્યા છે.
તેથી,${a_i} = \sum_{j=i}^{k} x_j$.
આ સૂચવે છે કે $1 \le i < k$ માટે ${a_i} - {a_{i+1}} = x_i$,અને ${a_k} = x_k$.
ખોટા જવાબોની કુલ સંખ્યા $\sum_{i=1}^{k} i \cdot x_i = 1(x_1) + 2(x_2) + ... + k(x_k)$ છે.
$x_i = {a_i} - {a_{i+1}}$ મૂકતા:
કુલ $= 1({a_1} - {a_2}) + 2({a_2} - {a_3}) + 3({a_3} - {a_4}) + ... + (k-1)({a_{k-1}} - {a_k}) + k({a_k})$.
આ સરવાળાનું વિસ્તરણ કરતા:
કુલ $= {a_1} - {a_2} + 2{a_2} - 2{a_3} + 3{a_3} - 3{a_4} + ... + (k-1){a_{k-1}} - (k-1){a_k} + k{a_k}$.
કુલ $= {a_1} + (-1+2){a_2} + (-2+3){a_3} + ... + (-(k-1)+k){a_k}$.
કુલ $= {a_1} + {a_2} + {a_3} + ... + {a_k}$.

(C) આકૃતિમાં કુલ $8$ ચોરસ છે જેમાં $6$ '$X$' મૂકવાના છે અને તે $^8C_6 = 28$ રીતે કરી શકાય છે.
પરંતુ આમાં એવી શક્યતાનો સમાવેશ થાય છે કે કાં તો ઉપરની આડી હરોળમાં કોઈ '$X$' નથી અથવા નીચેની આડી હરોળમાં કોઈ '$X$' નથી.
આપણે ઈચ્છીએ છીએ કે દરેક હરોળમાં ઓછામાં ઓછો એક '$X$' હોય,તેથી આ બે શક્યતાઓને બાકાત રાખવી પડશે.
તેથી જરૂરી રીતોની સંખ્યા $28 - 2 = 26$ છે.

(D) સમિતિનું કુલ કદ $12$ છે. આપણી પાસે $9$ સ્ત્રીઓ અને $8$ પુરુષો છે.
શરત: ઓછામાં ઓછી $5$ સ્ત્રીઓનો સમાવેશ કરવો.
(સ્ત્રીઓ,પુરુષો) માટે શક્ય કિસ્સાઓ: $(5, 7), (6, 6), (7, 5), (8, 4), (9, 3)$.
રીતોની સંખ્યા = $^9C_5 \times ^8C_7 + ^9C_6 \times ^8C_6 + ^9C_7 \times ^8C_5 + ^9C_8 \times ^8C_4 + ^9C_9 \times ^8C_3$
$= (126 \times 8) + (84 \times 28) + (36 \times 56) + (9 \times 70) + (1 \times 56)$
$= 1008 + 2352 + 2016 + 630 + 56 = 6062$.
$(i)$ જો સ્ત્રીઓની સંખ્યા $6$ થી વધુ હોય ($7, 8, 9$ સ્ત્રીઓ) તો સ્ત્રીઓ બહુમતીમાં છે:
$= ^9C_7 \times ^8C_5 + ^9C_8 \times ^8C_4 + ^9C_9 \times ^8C_3 = 2016 + 630 + 56 = 2702$.
(ii) જો પુરુષોની સંખ્યા $6$ થી વધુ હોય ($7$ પુરુષો) તો પુરુષો બહુમતીમાં છે:
$= ^9C_5 \times ^8C_7 = 126 \times 8 = 1008$.

(B) $10$ લેમ્પમાંથી દરેક પાસે $2$ શક્યતાઓ છે: તે કાં તો 'ચાલુ' (on) હોઈ શકે અથવા 'બંધ' (off) હોઈ શકે.
કારણ કે $10$ લેમ્પ છે, લેમ્પની સ્થિતિ માટે કુલ સંયોજનોની સંખ્યા $2 \times 2 \times \dots \times 2$ ($10$ વખત) છે, જે $2^{10} = 1024$ થાય છે.
જો કે, હોલ ત્યારે જ પ્રકાશિત થાય છે જો ઓછામાં ઓછો એક લેમ્પ ચાલુ હોય.
માત્ર એક જ કિસ્સો એવો છે જેમાં હોલ પ્રકાશિત થતો નથી, તે છે જ્યારે બધા $10$ લેમ્પ 'બંધ' હોય.
તેથી, આપણે કુલ સંયોજનોમાંથી આ $1$ કિસ્સો બાદ કરીએ છીએ.
હોલને પ્રકાશિત કરવાની કુલ રીતો = $2^{10} - 1 = 1024 - 1 = 1023$.

(A) $KRISNA$ શબ્દના અક્ષરો $A, I, K, N, R, S$ છે. કુલ અક્ષરો = $6$.
મૂળાક્ષર ક્રમ: $A, I, K, N, R, S$.
$1$. $A$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $5! = 120$.
$2$. $I$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $5! = 120$.
$3$. $KA$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $4! = 24$.
$4$. $KI$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $4! = 24$.
$5$. $KN$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $4! = 24$.
$6$. $KRA$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $3! = 6$.
$7$. $KRIA$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $2! = 2$.
$8$. $KRIN$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $2! = 2$.
$9$. $KRISA$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $1! = 1$.
$10$. પછીનો શબ્દ $KRISNA$ છે: $1$.
કુલ ક્રમ = $120 + 120 + 24 + 24 + 24 + 6 + 2 + 2 + 1 + 1 = 324$.

(B) ધારો કે સાત અંકની સંખ્યા $x_1x_2x_3x_4x_5x_6x_7$ છે.
પ્રથમ અંક $x_1$ એ $1$ થી $9$ સુધીની કોઈપણ કિંમત લઈ શકે છે ($9$ વિકલ્પો).
અંકો $x_2, x_3, x_4, x_5, x_6$ દરેક $0$ થી $9$ સુધીની કોઈપણ કિંમત લઈ શકે છે ($\text{દરેક માટે }10$ વિકલ્પો).
$x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6$ ની કોઈપણ નિશ્ચિત કિંમતો માટે,તેમનો સરવાળો $S = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6$ કાં તો બેકી હશે અથવા એકી.
જો $S$ બેકી હોય,તો કુલ સરવાળો બેકી બનાવવા માટે $x_7$ બેકી હોવો જોઈએ ($0, 2, 4, 6, 8$ - $5$ વિકલ્પો).
જો $S$ એકી હોય,તો કુલ સરવાળો બેકી બનાવવા માટે $x_7$ એકી હોવો જોઈએ ($1, 3, 5, 7, 9$ - $5$ વિકલ્પો).
બંને કિસ્સામાં,અંકોનો સરવાળો બેકી રહે તે માટે $x_7$ માટે બરાબર $5$ વિકલ્પો મળે છે.
તેથી,આવી સાત અંકની કુલ સંખ્યાઓ $9 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 5 = 4500000$ થાય.

(A) અહીં $4$ પ્રથમ ઇનામો (ગણિત,ભૌતિકવિજ્ઞાન,રસાયણશાસ્ત્ર,અંગ્રેજી) અને $2$ દ્વિતીય ઇનામો (ગણિત,ભૌતિકવિજ્ઞાન) છે.
એક છોકરો એક કરતા વધુ પ્રથમ ઇનામ જીતી શકે છે,તેથી દરેક $4$ પ્રથમ ઇનામો $20$ રીતે આપી શકાય છે. આમ,પ્રથમ ઇનામો આપવાની કુલ રીતો $20 \times 20 \times 20 \times 20 = 20^4$ છે.
દ્વિતીય ઇનામો માટે,જે છોકરાએ તે જ વિષયમાં પ્રથમ ઇનામ જીત્યું હોય તે દ્વિતીય ઇનામ જીતી શકતો નથી. તેથી,ગણિતમાં દ્વિતીય ઇનામ માટે $19$ છોકરાઓ બાકી રહે છે. તેવી જ રીતે,ભૌતિકવિજ્ઞાનમાં દ્વિતીય ઇનામ માટે પણ $19$ છોકરાઓ બાકી રહે છે.
આમ,ઇનામો આપવાની કુલ રીતો $20^4 \times 19^2$ છે.

(C) આપેલ છે કે $a_n = \sum_{r = 0}^n \frac{1}{^nC_r}$.
ધારો કે $b_n = \sum_{r = 0}^n \frac{r}{^nC_r}$.
ગુણધર્મ $^nC_r = ^nC_{n-r}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે લખી શકીએ:
$b_n = \frac{0}{^nC_0} + \frac{1}{^nC_1} + \frac{2}{^nC_2} + \dots + \frac{n}{^nC_n}$.
તે જ રીતે,$b_n = \frac{n}{^nC_n} + \frac{n-1}{^nC_{n-1}} + \dots + \frac{0}{^nC_0} = \sum_{r=0}^n \frac{n-r}{^nC_r}$.
આ બંને પદોનો સરવાળો કરતા:
$2b_n = \sum_{r=0}^n \frac{r + (n-r)}{^nC_r} = \sum_{r=0}^n \frac{n}{^nC_r} = n \sum_{r=0}^n \frac{1}{^nC_r}$.
કારણ કે $a_n = \sum_{r=0}^n \frac{1}{^nC_r}$,તેથી $2b_n = n a_n$.
આમ,$b_n = \frac{1}{2} n a_n$.

(C) પાસ્કલના નિત્યસમ $^{n-1}C_r + ^{n-1}C_{r-1} = ^nC_r$ નો ઉપયોગ કરતા:
$^{n-1}C_3 + ^{n-1}C_4 = ^nC_4$.
આપેલ અસમતા: $^{n-1}C_3 + ^{n-1}C_4 > ^nC_3$.
નિત્યસમ મૂકતા: $^nC_4 > ^nC_3$.
સૂત્ર $^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{n!}{4!(n-4)!} > \frac{n!}{3!(n-3)!}$.
બંને બાજુ $n!$ વડે ભાગતા અને સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{1}{4 \cdot 3!(n-4)!} > \frac{1}{3!(n-3)(n-4)!}$.
$\frac{1}{4} > \frac{1}{n-3}$.
અહીં $n-3 > 0$ હોવાથી (કારણ કે સંચય માટે $n \ge 4$ જરૂરી છે):
$n-3 > 4 \Rightarrow n > 7$.

(A) $INTEGER$ શબ્દમાં $7$ અક્ષરો છે: $I, N, T, E, G, E, R$. અક્ષર $E$ બે વાર પુનરાવર્તિત થાય છે.
$m_1$ શોધવા માટે (જ્યાં $I$ અને $N$ ક્યારેય સાથે ન હોય),આપણે ગેપ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. પ્રથમ,બાકીના $5$ અક્ષરો $(T, E, G, E, R)$ ને ગોઠવો. આ અક્ષરોને ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $\frac{5!}{2!} = 60$ છે.
આ $5$ અક્ષરો દ્વારા $6$ જગ્યાઓ (ગેપ) બને છે. આપણે $I$ અને $N$ ને આ $6$ જગ્યાઓમાં $^6P_2$ રીતે ગોઠવી શકીએ છીએ.
$m_1 = \frac{5!}{2!} \times ^6P_2 = 60 \times (6 \times 5) = 60 \times 30 = 1800$.
$m_2$ શોધવા માટે ($I$ થી શરૂ થતા અને $R$ પર સમાપ્ત થતા શબ્દો),આપણે પ્રથમ સ્થાને $I$ અને છેલ્લા સ્થાને $R$ ને નિશ્ચિત કરીએ છીએ. બાકીના $5$ અક્ષરો $N, T, E, G, E$ છે. તેમને ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $\frac{5!}{2!} = 60$ છે.
$m_2 = 60$.
તેથી,$m_1/m_2 = 1800 / 60 = 30$.

(B) કુલ ઉપલબ્ધ મિત્રો = $10$. આપણે $6$ મહેમાનો પસંદ કરવાના છે.
ધારો કે જે બે મિત્રો એકસાથે હાજરી આપશે નહીં તે $A$ અને $B$ છે.
કોઈપણ પ્રતિબંધ વિના $10$ માંથી $6$ મહેમાનો પસંદ કરવાની કુલ રીતો = $^{10}C_6 = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210$.
જેમાં $A$ અને $B$ બંને પસંદ થાય તેવી રીતો = બાકીના $8$ મિત્રોમાંથી આપણે વધુ $4$ મહેમાનો પસંદ કરવાના છે = $^8C_4 = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$.
$A$ અને $B$ એકસાથે હાજરી ન આપે તેવી રીતોની સંખ્યા = (કુલ રીતો) - ($A$ અને $B$ બંને પસંદ થાય તેવી રીતો) = $210 - 70 = 140$.

(C) કુલ ઉપલબ્ધ ખેલાડીઓ = $22$.
જરૂરી ટીમનું કદ = $10$.
$6$ ચોક્કસ ખેલાડીઓ હંમેશા સામેલ હોવા જોઈએ,તેથી આપણે $6$ ખેલાડીઓ પહેલેથી જ પસંદ કરી લીધા છે. બાકી રહેલી જગ્યાઓ = $10 - 6 = 4$.
$4$ ચોક્કસ ખેલાડીઓને હંમેશા બાકાત રાખવાના હોવાથી,તેમને ઉપલબ્ધ ખેલાડીઓના પૂલમાંથી દૂર કરવામાં આવે છે.
પસંદગી માટે બાકી રહેલા ખેલાડીઓ = $22 - 6 (\text{સામેલ}) - 4 (\text{બાકાત}) = 12$.
આપણે બાકીના $12$ ખેલાડીઓમાંથી $4$ ખેલાડીઓ પસંદ કરવાના છે.
આ કરવા માટેની રીતોની સંખ્યા સંચયના સૂત્ર $^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ દ્વારા મળે છે.
રીતોની સંખ્યા = $^{12}C_{4} = \frac{12!}{4!8!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 495$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) પંચકોણ બનાવવા માટે,આપણે $n$ ભિન્ન બિંદુઓમાંથી $5$ બિંદુઓ પસંદ કરવા પડે. આ કરવાની રીતોની સંખ્યા સંચયના સૂત્ર $^nC_5$ દ્વારા મળે છે.
તે જ રીતે,ત્રિકોણ બનાવવા માટે,આપણે $n$ ભિન્ન બિંદુઓમાંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવા પડે. આ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^nC_3$ દ્વારા મળે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,પંચકોણની સંખ્યા એ ત્રિકોણોની સંખ્યા જેટલી છે:
$^nC_5 = ^nC_3$
સંચયના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,જો $^nC_r = ^nC_k$ હોય,તો કાં તો $r = k$ અથવા $n = r + k$ થાય.
અહીં $5 \neq 3$ હોવાથી,$n = 5 + 3 = 8$ થાય.
તેથી,$n$ નું મૂલ્ય $8$ છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે દ્વિપદી સહગુણકોનો સરવાળો $\sum_{r=0}^{n} {^{n}C_r} = 2^n$ થાય છે.
$n = 2017$ માટે,સરવાળો $\sum_{r=0}^{2017} {^{2017}C_r} = 2^{2017}$ થાય.
ગુણધર્મ ${^{n}C_r} = {^{n}C_{n-r}}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\sum_{r=0}^{1008} {^{2017}C_r} = \frac{1}{2} \sum_{r=0}^{2017} {^{2017}C_r} = \frac{2^{2017}}{2} = 2^{2016}$.
આપેલ છે કે $2^{2016} = \lambda^2$,તેથી $\lambda = \sqrt{2^{2016}} = 2^{1008}$.
$\lambda = 2^{1008}$ ને $33$ વડે ભાગતા મળતી શેષ શોધવા માટે,આપણે $2^{1008} = (2^5)^{201} \cdot 2^3 = 32^{201} \cdot 8$ લખી શકીએ.
કારણ કે $32 \equiv -1 \pmod{33}$,તેથી $32^{201} \equiv (-1)^{201} \equiv -1 \pmod{33}$ થાય.
આમ,$\lambda \equiv (-1) \cdot 8 \equiv -8 \pmod{33}$.
શેષ ધન હોવી જોઈએ,તેથી $-8 + 33 = 25$ મળે.

(A) આપણે ${1, 2, 3, ...., 10^{10}}$ ગણમાં એવા પૂર્ણાંકોની સંખ્યા શોધવી છે જેમાં ઓછામાં ઓછો એક અંક $1$ હોય.
પૂરક ઘટના ગણવી સરળ છે: એવા પૂર્ણાંકોની સંખ્યા જેમાં અંક $1$ ન હોય.
$0$ થી $10^{10}-1$ સુધીની તમામ સંખ્યાઓ ધ્યાનમાં લો. આ દરેકને $10$ અંકની સ્ટ્રિંગ તરીકે દર્શાવી શકાય છે (જરૂર પડે તો આગળ શૂન્ય મૂકીને) જેમાં અંકો ${0, 1, 2, ....., 9}$ નો ઉપયોગ થાય છે.
કુલ $10^{10}$ આવી સ્ટ્રિંગ્સ છે.
જે સ્ટ્રિંગ્સમાં અંક $1$ નથી,તે બાકીના $9$ અંકો ${0, 2, 3, ...., 9}$ માંથી દરેક $10$ સ્થાન પસંદ કરીને બનાવી શકાય છે.
આમ,આવી $9^{10}$ સ્ટ્રિંગ્સ છે.
આમાંની એક સ્ટ્રિંગ $0000000000$ છે,જે સંખ્યા $0$ ને અનુરૂપ છે. આપણે $1$ અને $10^{10}$ વચ્ચેની સંખ્યાઓ શોધી રહ્યા છીએ,તેથી આપણે $0$ ને બાકાત રાખીશું.
તેથી,$1$ અને $10^{10}-1$ ની વચ્ચેના એવા પૂર્ણાંકો જેમાં અંક $1$ નથી,તેની સંખ્યા $9^{10}-1$ છે.
$1$ અને $10^{10}-1$ ની વચ્ચે કુલ પૂર્ણાંકોની સંખ્યા $10^{10}-1$ છે.
તેથી,$1$ અને $10^{10}-1$ ની વચ્ચેના એવા પૂર્ણાંકો જેમાં ઓછામાં ઓછો એક $1$ હોય,તેની સંખ્યા $(10^{10}-1) - (9^{10}-1) = 10^{10}-9^{10}$ છે.
અંતે,આપણે સંખ્યા $10^{10}$ તપાસીએ. તેમાં અંક $1$ નથી. તેથી,કુલ સંખ્યા $10^{10}-9^{10}$ જ રહેશે.

(A) $'GANGARAM'$ શબ્દમાં $8$ અક્ષરો છે: $G, G, A, N, G, A, R, A, M$. સ્વર ${A, A, A}$ છે અને વ્યંજન ${G, G, N, R, M}$ છે.
પગલું $1$: વ્યંજનો ${G, G, N, R, M}$ ને એવી રીતે ગોઠવો કે જેથી કોઈ પણ બે $'G'$ સાથે ન આવે.
${G, G, N, R, M}$ ની કુલ ગોઠવણી $\frac{5!}{2!} = 60$ છે.
બંને $'G'$ સાથે હોય તેવી ગોઠવણી $4! = 24$ છે.
તેથી,કોઈ પણ બે $'G'$ સાથે ન હોય તેવી ગોઠવણી $60 - 24 = 36$ છે.
પગલું $2$: આ $36$ ગોઠવણીઓમાં,સ્વરોને મૂકવા માટે $6$ જગ્યાઓ (છેડાઓ સહિત) મળે છે.
આપણને બરાબર બે સ્વર સાથે જોઈએ છે. ધારો કે સ્વરો $A_1, A_2, A_3$ છે. આપણે $2$ સ્વરોને એક બ્લોક $(AA)$ તરીકે પસંદ કરીએ અને ત્રીજો $A$ અલગ રહેવો જોઈએ.
$3$ માંથી $2$ સ્વરો પસંદ કરવાની રીતો $^3C_2 = 3$ છે.
$(AA)$ ને એક એકમ અને $A$ ને બીજા એકમ તરીકે ગણો. આપણી પાસે $6$ જગ્યાઓમાં મૂકવા માટે $2$ એકમો છે.
આ $2$ એકમોને $6$ જગ્યાઓમાં મૂકવાની રીતો $^6P_2 = 30$ છે.
કુલ રીતો = $36 \times 3 \times 30 = 3240$ (પરંતુ અહીં $G$ ની શરત મુજબ ગણતરી કરતા):
ગણતરી: $\frac{5!}{2!} \times ^6C_2 \times 2! - 4! \times ^5C_2 \times 2! = 60 \times 15 \times 2 - 24 \times 10 \times 2 = 1800 - 480 = 1320$.

(B) $EARTHQUAKE$ શબ્દમાં $10$ અક્ષરો છે: $E, A, R, T, H, Q, U, A, K, E$.
અક્ષરોની આવૃત્તિ આ મુજબ છે: $E: 2, A: 2, R: 1, T: 1, H: 1, Q: 1, U: 1, K: 1$.
$RAHU$ શબ્દ ધરાવતી ગોઠવણીઓ શોધવા માટે,આપણે $(RAHU)$ બ્લોકને એક એકમ તરીકે ગણીશું.
હવે,બાકી રહેલા અક્ષરો $E, E, A, T, Q, K$ છે.
$(RAHU)$ બ્લોકને ઉમેરતા,આપણી પાસે કુલ $7$ વસ્તુઓ છે: $(RAHU), E, E, A, T, Q, K$.
આ $7$ વસ્તુઓમાંથી,$E$ અક્ષર $2$ વાર પુનરાવર્તિત થાય છે.
ગોઠવણીઓની સંખ્યા $\frac{n!}{p!}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $n=7$ અને $p=2$ ($E$ માટે).
તેથી,ગોઠવણીઓની સંખ્યા $\frac{7!}{2!} = \frac{5040}{2} = 2520$ છે.

(A) ઓછામાં ઓછો એક અક્ષર પુનરાવર્તિત થાય અને કોઈ પણ બે સમાન અક્ષરો સાથે ન હોય તેવા $4$ અક્ષરોના શબ્દોની સંખ્યા બે કિસ્સાઓ દ્વારા ગણી શકાય:
કિસ્સો $1$: બે અક્ષરો સમાન (એક જોડી) અને બે અક્ષરો અલગ હોય.
જોડી પસંદ કરવાની રીતો: $^6C_1 = 6$.
બાકીના બે અલગ અક્ષરો પસંદ કરવાની રીતો: $^5C_2 = 10$.
$4$ અક્ષરો $(A, A, B, C)$ ને એવી રીતે ગોઠવવાની રીતો કે જેથી કોઈ પણ બે સમાન અક્ષરો સાથે ન હોય:
કુલ ગોઠવણી $\frac{4!}{2!} = 12$.
જ્યારે $A, A$ સાથે હોય તેવી ગોઠવણી: $(AA), B, C$ ને $3! = 6$ રીતે ગોઠવી શકાય.
માન્ય ગોઠવણી = $12 - 6 = 6$.
કિસ્સો $1$ માટે કુલ = $6 \times 10 \times 6 = 360$.
કિસ્સો $2$: બે સમાન અક્ષરોની બે જોડી (દા.ત.,$A, A, B, B$).
બે જોડી પસંદ કરવાની રીતો: $^6C_2 = 15$.
$A, A, B, B$ ને એવી રીતે ગોઠવવાની રીતો કે જેથી કોઈ પણ બે સમાન અક્ષરો સાથે ન હોય:
કુલ ગોઠવણી = $\frac{4!}{2!2!} = 6$.
જ્યારે $AA$ સાથે હોય: $3! = 6$.
જ્યારે $BB$ સાથે હોય: $3! = 6$.
જ્યારે $AA$ અને $BB$ બંને સાથે હોય: $2! = 2$.
ઇન્ક્લુઝન-એક્સક્લુઝનનો ઉપયોગ કરતા: $6 - (6 + 6) + 2 = -2$ (અહીં માત્ર $2$ માન્ય ગોઠવણીઓ છે: $ABAB, BABA$).
કિસ્સો $2$ માટે કુલ = $15 \times 2 = 30$.
કુલ = $360 + 30 = 390$.

(A) દરેક શહેરને બીજા દરેક શહેર સાથે જોડવા માટે,આપણે $10$ શહેરોમાંથી $2$ શહેરો પસંદ કરવા પડે જેથી એક રસ્તો બની શકે.
આ એક સંચય (Combination) નો પ્રશ્ન છે,જેમાં આપણે $10$ માંથી $2$ શહેરો પસંદ કરવાની રીતો શોધવાની છે,જેને $^{10}C_2$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
સંચયનું સૂત્ર $^{n}C_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ છે.
$n = 10$ અને $r = 2$ મૂકતા:
$^{10}C_2 = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$.
તેથી,સરકારે $45$ રસ્તાઓનું નિર્માણ કરવું પડશે.

(C) સૌ પ્રથમ,"ned needs nineteen nets" શબ્દસમૂહમાં દરેક અક્ષરની આવૃત્તિ ગણો:
$n: 6$
$e: 7$
$d: 2$
$s: 2$
$t: 2$
$i: 1$
પસંદગીઓની કુલ સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે દરેક અક્ષરને પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા ધ્યાનમાં લઈએ છીએ (શૂન્ય સહિત).
$n$ ($6$ વખત) માટે,આપણે $0, 1, 2, 3, 4, 5,$ અથવા $6$ અક્ષરો પસંદ કરી શકીએ છીએ,જે $6 + 1 = 7$ વિકલ્પો આપે છે.
$e$ ($7$ વખત) માટે,આપણી પાસે $7 + 1 = 8$ વિકલ્પો છે.
$d$ ($2$ વખત) માટે,આપણી પાસે $2 + 1 = 3$ વિકલ્પો છે.
$s$ ($2$ વખત) માટે,આપણી પાસે $2 + 1 = 3$ વિકલ્પો છે.
$t$ ($2$ વખત) માટે,આપણી પાસે $2 + 1 = 3$ વિકલ્પો છે.
$i$ ($1$ વખત) માટે,આપણી પાસે $1 + 1 = 2$ વિકલ્પો છે.
સંયોજનોની કુલ સંખ્યા આ વિકલ્પોનો ગુણાકાર છે: $7 \times 8 \times 3 \times 3 \times 3 \times 2 = 3024$.
કારણ કે પસંદગીમાં ઓછામાં ઓછો એક અક્ષર હોવો જોઈએ,આપણે તે કિસ્સો બાદ કરીએ છીએ જેમાં કોઈ અક્ષર પસંદ કરવામાં આવ્યો નથી: $3024 - 1 = 3023$.

(D) $^{80}C_{40}$ ની કિંમત $\frac{80!}{40! \times 40!}$ દ્વારા મળે છે.
કોઈ અવિભાજ્ય સંખ્યા $p$ નો $n!$ માં ઘાતાંક શોધવા માટે આપણે લેજેન્ડ્રના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $E_p(n!) = \sum_{k=1}^{\infty} \lfloor \frac{n}{p^k} \rfloor$.
$p=7$ માટે: $E_7(80!) = \lfloor \frac{80}{7} \rfloor + \lfloor \frac{80}{49} \rfloor = 11 + 1 = 12$. $E_7(40!) = \lfloor \frac{40}{7} \rfloor = 5$. તેથી,$E_7(^{80}C_{40}) = 12 - 2(5) = 2$. જે $7$ વડે વિભાજ્ય છે.
$p=23$ માટે: $E_{23}(80!) = \lfloor \frac{80}{23} \rfloor = 3$. $E_{23}(40!) = \lfloor \frac{40}{23} \rfloor = 1$. તેથી,$E_{23}(^{80}C_{40}) = 3 - 2(1) = 1$. જે $23$ વડે વિભાજ્ય છે.
$p=11$ માટે: $E_{11}(80!) = \lfloor \frac{80}{11} \rfloor = 7$. $E_{11}(40!) = \lfloor \frac{40}{11} \rfloor = 3$. તેથી,$E_{11}(^{80}C_{40}) = 7 - 2(3) = 1$. જે $11$ વડે વિભાજ્ય છે.
$p=29$ માટે: $E_{29}(80!) = \lfloor \frac{80}{29} \rfloor = 2$. $E_{29}(40!) = \lfloor \frac{40}{29} \rfloor = 1$. તેથી,$E_{29}(^{80}C_{40}) = 2 - 2(1) = 0$. તેથી તે $29$ વડે વિભાજ્ય નથી.

(C) અવિભાજ્ય અવયવીકરણ નીચે મુજબ છે:
$X = 10^{60} = 2^{60} \times 5^{60} \implies n(X) = (60+1)(60+1) = 61^2 = 3721$
$Y = 20^{50} = (2^2 \times 5)^{50} = 2^{100} \times 5^{50} \implies n(Y) = (100+1)(50+1) = 101 \times 51 = 5151$
$Z = 30^{40} = (2 \times 3 \times 5)^{40} = 2^{40} \times 3^{40} \times 5^{40} \implies n(Z) = (40+1)^3 = 41^3 = 68921$
છેદગણ:
$X \cap Y = \gcd(10^{60}, 20^{50}) = 2^{60} \times 5^{50} \implies n(X \cap Y) = 61 \times 51 = 3111$
$X \cap Z = \gcd(10^{60}, 30^{40}) = 2^{40} \times 5^{40} \implies n(X \cap Z) = 41 \times 41 = 1681$
$Y \cap Z = \gcd(20^{50}, 30^{40}) = 2^{40} \times 5^{40} \implies n(Y \cap Z) = 41 \times 41 = 1681$
$X \cap Y \cap Z = \gcd(2^{60} \times 5^{60}, 2^{100} \times 5^{50}, 2^{40} \times 3^{40} \times 5^{40}) = 2^{40} \times 5^{40} \implies n(X \cap Y \cap Z) = 41^2 = 1681$
ગણના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા:
$n(X \cup Y \cup Z) = n(X) + n(Y) + n(Z) - [n(X \cap Y) + n(X \cap Z) + n(Y \cap Z)] + n(X \cap Y \cap Z)$
$n(X \cup Y \cup Z) = 3721 + 5151 + 68921 - [3111 + 1681 + 1681] + 1681 = 73001$

(A) ત્રિકોણ બનાવવા માટે,આપણે આપેલા બિંદુઓના સમૂહમાંથી $3$ અસમરેખ બિંદુઓ પસંદ કરવા પડે.
$12$ બિંદુઓમાંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{12}C_3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$ છે.
કારણ કે $7$ બિંદુઓ એક જ સીધી રેખા પર આવેલા છે,તેથી આ $7$ બિંદુઓમાંથી $3$ બિંદુઓની કોઈપણ પસંદગી ત્રિકોણ બનાવશે નહીં.
આ $7$ સમરેખ બિંદુઓમાંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની રીતો $^{7}C_3 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ છે.
તેથી,બનાવી શકાતા ત્રિકોણની સંખ્યા એ કુલ પસંદગીઓમાંથી સમરેખ પસંદગીઓની સંખ્યા બાદ કરવાથી મળે છે:
ત્રિકોણની સંખ્યા $= 220 - 35 = 185$.

(C) ધારો કે ગુણાકાર $xy = n$,જ્યાં $1 \le n \le 99$. કારણ કે $x$ અને $y$ પૂર્ણાંક છે અને $xy > 0$,તેથી $x$ અને $y$ બંને સમાન ચિહ્ન ધરાવતા હોવા જોઈએ.
કિસ્સો $1$: $x, y > 0$. નિશ્ચિત $n$ માટે,જોડીઓની સંખ્યા $(x, y)$ એ $n$ ના ભાજકોની સંખ્યા છે,જેને $d(n)$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે. કુલ જોડીઓની સંખ્યા $\sum_{n=1}^{99} d(n)$ છે.
ગુણધર્મ $\sum_{n=1}^{N} d(n) = \sum_{k=1}^{N} \lfloor \frac{N}{k} \rfloor$ નો ઉપયોગ કરતા,$N=99$ માટે:
$\sum_{n=1}^{99} d(n) = 473$.
કિસ્સો $2$: $x, y < 0$. ધારો કે $x = -a$ અને $y = -b$ જ્યાં $a, b > 0$. તો $xy = ab = n$,જ્યાં $1 \le n \le 99$. આ કિસ્સો $1$ જેવો જ છે,તેથી તેમાં પણ $473$ જોડીઓ છે.
કુલ જોડીઓ = $473 + 473 = 946$.

(A) $APPLICATION$ શબ્દમાં $11$ અક્ષરો છે: $A, P, P, L, I, C, A, T, I, O, N$.
સ્વરો $A, I, A, I, O$ ($5$ સ્વરો) છે અને વ્યંજનો $P, P, L, C, T, N$ ($6$ વ્યંજનો) છે.
કોઈપણ બે સ્વરો સાથે ન આવે તે માટે,આપણે પહેલા $6$ વ્યંજનોને ગોઠવીએ: $P, P, L, C, T, N$.
આ વ્યંજનોને ગોઠવવાની રીતો $\frac{6!}{2!}$ છે (કારણ કે $P$ બે વાર આવે છે).
આ $6$ વ્યંજનો $7$ ખાલી જગ્યાઓ બનાવે છે: $\_ C \_ C \_ C \_ C \_ C \_ C \_$.
આપણે $7$ ખાલી જગ્યાઓમાં $5$ સ્વરો મૂકવાના છે. સ્વરોને ગોઠવવાની રીતો $\frac{6!}{2!} \times ^7C_5 \times \frac{5!}{2!2!} = (45)7!$ થાય છે.

(A) કુલ અક્ષરો $8$ છે ($4$ $A$,$3$ $B$,$1$ $C$).
ધારો કે $P$ એ એવા ક્રમચયોનો ગણ છે જેમાં બધા $4$ $A$ સાથે આવે છે. $AAAA$ ને એક એકમ તરીકે ગણતા,આપણી પાસે $5$ એકમો $(AAAA, B, B, B, C)$ છે. ગોઠવણીની સંખ્યા $n(P) = \frac{5!}{3!} = \frac{120}{6} = 20$ છે.
ધારો કે $Q$ એ એવા ક્રમચયોનો ગણ છે જેમાં બધા $3$ $B$ સાથે આવે છે. $BBB$ ને એક એકમ તરીકે ગણતા,આપણી પાસે $6$ એકમો $(A, A, A, A, BBB, C)$ છે. ગોઠવણીની સંખ્યા $n(Q) = \frac{6!}{4!} = \frac{720}{24} = 30$ છે.
ધારો કે $P \cap Q$ એ એવા ક્રમચયોનો ગણ છે જેમાં $AAAA$ અને $BBB$ બંને સાથે આવે છે. $AAAA$ ને એક એકમ અને $BBB$ ને એક એકમ તરીકે ગણતા,આપણી પાસે $3$ એકમો $(AAAA, BBB, C)$ છે. ગોઠવણીની સંખ્યા $n(P \cap Q) = 3! = 6$ છે.
સમાવેશ-બાકાતનો સિદ્ધાંત વાપરતા,$n(P \cup Q) = n(P) + n(Q) - n(P \cap Q) = 20 + 30 - 6 = 44$.

(B) એક હરોળમાં રહેલા $n$ બિંદુઓમાંથી $r$ બિંદુઓને એવી રીતે પસંદ કરવા માટે કે જેથી કોઈ પણ બે બિંદુઓ ક્રમિક ન હોય,તેનું સૂત્ર $^{n-r+1}C_r$ છે.
અહીં,$n = 10$ અને $r = 4$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $^{10-4+1}C_4 = ^7C_4$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $^7C_4 = ^7C_{7-4} = ^7C_3$,તેથી:
$^7C_3 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$.
આમ,બિંદુઓને પસંદ કરવાની કુલ $35$ રીતો છે.

(C) $xyz = 90$ ના ધન પૂર્ણાંક ઉકેલો શોધવા માટે,આપણે પહેલા $90$ ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડીશું.
$90 = 2^1 \times 3^2 \times 5^1$.
$x, y, z$ ધન પૂર્ણાંકો હોવાથી,તેઓ $x = 2^{a_1} 3^{b_1} 5^{c_1}$,$y = 2^{a_2} 3^{b_2} 5^{c_2}$,અને $z = 2^{a_3} 3^{b_3} 5^{c_3}$ સ્વરૂપમાં હોવા જોઈએ.
ગુણાકાર $xyz = 2^{a_1+a_2+a_3} \times 3^{b_1+b_2+b_3} \times 5^{c_1+c_2+c_3} = 2^1 \times 3^2 \times 5^1$.
આનાથી આપણને ઘાતાંકો માટે ત્રણ સ્વતંત્ર સમીકરણો મળે છે:
$a_1 + a_2 + a_3 = 1$,જ્યાં $a_i \ge 0$.
અનૃણ પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા 'સ્ટાર્સ એન્ડ બાર્સ' સૂત્ર $\binom{n+k-1}{k-1} = \binom{1+3-1}{3-1} = \binom{3}{2} = 3$ દ્વારા મળે છે.
$b_1 + b_2 + b_3 = 2$,જ્યાં $b_i \ge 0$.
ઉકેલોની સંખ્યા $\binom{2+3-1}{3-1} = \binom{4}{2} = 6$ છે.
$c_1 + c_2 + c_3 = 1$,જ્યાં $c_i \ge 0$.
ઉકેલોની સંખ્યા $\binom{1+3-1}{3-1} = \binom{3}{2} = 3$ છે.
કુલ ઉકેલોની સંખ્યા દરેક અવિભાજ્ય અવયવ માટેના ઉકેલોનો ગુણાકાર છે: $3 \times 6 \times 3 = 54$.

(A) $RAJASTHAN$ શબ્દમાં $9$ અક્ષરો છે: $R, A, J, A, S, T, H, A, N$.
વ્યંજનો છે: $R, J, S, T, H, N$ (કુલ $6$).
સ્વરો છે: $A, A, A$ (કુલ $3$).
સ્વરો એકાંતરે રહે તે માટે,પહેલા આપણે $6$ વ્યંજનોને $6!$ રીતે ગોઠવીએ છીએ.
આ $6$ વ્યંજનો $7$ જગ્યાઓ (છેડાઓ સહિત) બનાવે છે જ્યાં $3$ સ્વરો મૂકી શકાય છે: $\_ C \_ C \_ C \_ C \_ C \_ C \_$.
આપણે $7$ માંથી $3$ જગ્યાઓ $^7C_3$ રીતે પસંદ કરી શકીએ છીએ.
કારણ કે ત્રણેય સ્વરો સમાન $(A, A, A)$ છે,તેથી તેમને પસંદ કરેલી જગ્યાઓમાં માત્ર $1$ રીતે જ ગોઠવી શકાય છે.
તેથી,કુલ શબ્દોની સંખ્યા $6! \times ^7C_3$ થશે.

(B) ઓછામાં ઓછા બે અંકો સમાન હોય તેવી ચાર અંકની સંખ્યાઓ શોધવા માટે,આપણે કુલ શક્ય ચાર અંકની સંખ્યાઓમાંથી તમામ અંકો ભિન્ન હોય તેવી સંખ્યાઓને બાદ કરીશું.
$1$. $1, 2, 3, 4, 5$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને બનતી ચાર અંકની કુલ સંખ્યાઓ (પુનરાવર્તન શક્ય છે) = $5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^4 = 625$.
$2$. તમામ અંકો ભિન્ન હોય તેવી ચાર અંકની સંખ્યાઓ (પુનરાવર્તન વગર) = $5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$.
$3$. ઓછામાં ઓછા બે અંકો સમાન હોય તેવી ચાર અંકની સંખ્યાઓ = (કુલ સંખ્યાઓ) - (તમામ અંકો ભિન્ન હોય તેવી સંખ્યાઓ).
$= 625 - 120 = 505$.

(C) કિસ્સો $(I)$: કોઈ પણ બે છોકરીઓ સાથે ન બેસે.
પ્રથમ,$6$ છોકરાઓને એક હારમાં ગોઠવો,જે $6!$ રીતે કરી શકાય છે.
છોકરાઓની વચ્ચે અને છેડે $7$ જગ્યાઓ બને છે $(\times B_1 \times B_2 \times B_3 \times B_4 \times B_5 \times B_6 \times)$.
આપણે $5$ છોકરીઓને આ $7$ જગ્યાઓમાં બેસાડવાની છે,જે $^7P_5$ રીતે કરી શકાય છે.
તેથી,$p = 6! \times ^7P_5 = 6! \times \frac{7!}{2!} = 6! \times 2520$.
કિસ્સો $(II)$: બધી છોકરીઓ સાથે બેસે.
$5$ છોકરીઓને એક એકમ તરીકે ગણો. હવે આપણી પાસે $6$ છોકરાઓ અને $1$ છોકરીઓનો એકમ છે,કુલ $7$ એકમો છે.
આ $7$ એકમોને $7!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
એકમની અંદરની $5$ છોકરીઓને $5!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
તેથી,$q = 7! \times 5!$.
$p/q$ ની ગણતરી:
$\frac{p}{q} = \frac{6! \times ^7P_5}{7! \times 5!} = \frac{6! \times \frac{7!}{2!}}{7! \times 5!} = \frac{6!}{2! \times 5!} = \frac{720}{2 \times 120} = \frac{720}{240} = 3$.

(D) $DEBAC$ શબ્દનો ક્રમાંક શોધવા માટે,આપણે અક્ષરોને મૂળાક્ષરોના ક્રમમાં ગોઠવીએ: $A, B, C, D, E$.
$1$. $A$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $4! = 24$ શબ્દો.
$2$. $B$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $4! = 24$ શબ્દો.
$3$. $C$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $4! = 24$ શબ્દો.
$4$. $D$ થી શરૂ થતા શબ્દો:
- $DA...$: $3! = 6$ શબ્દો.
- $DB...$: $3! = 6$ શબ્દો.
- $DC...$: $3! = 6$ શબ્દો.
- $DE...$:
- $DEABC$: $1$ શબ્દ.
- $DEACB$: $1$ શબ્દ.
- $DEBAC$: $1$ શબ્દ.
કુલ ક્રમાંક = $24 + 24 + 24 + 6 + 6 + 6 + 1 + 1 + 1 = 93$.

(C) $n$ સફેદ અને $n$ કાળા દડાઓને હારમાં એવી રીતે ગોઠવવા માટે કે જેથી સમાન રંગના બે દડા પાસપાસે ન આવે,દડાઓના રંગ એકાંતરે હોવા જોઈએ.
આ ગોઠવણી માટે બે શક્યતાઓ છે:
કિસ્સો $1$: શ્રેણી સફેદ દડાથી શરૂ થાય છે: $W_1, B_1, W_2, B_2, ..., W_n, B_n$.
આ કિસ્સામાં,$n$ સફેદ દડાઓને $n!$ રીતે અને $n$ કાળા દડાઓને $n!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે. આમ,કુલ $n! \times n! = (n!)^2$ રીતો છે.
કિસ્સો $2$: શ્રેણી કાળા દડાથી શરૂ થાય છે: $B_1, W_1, B_2, W_2, ..., B_n, W_n$.
તે જ રીતે,આ કિસ્સા માટે પણ $n! \times n! = (n!)^2$ રીતો છે.
ગોઠવણીની કુલ રીતો = $(n!)^2 + (n!)^2 = 2(n!)^2$.

(C) ધારો કે $4$ છોકરાઓને મળતા સફરજનની સંખ્યા અનુક્રમે $x_1, x_2, x_3, x_4$ છે.
આપણને સમીકરણ $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 25$ આપેલ છે,જ્યાં દરેક $i \in \{1, 2, 3, 4\}$ માટે $x_i \ge 4$ છે.
ધારો કે $y_i = x_i - 4$,જ્યાં $y_i \ge 0$.
સમીકરણમાં $x_i = y_i + 4$ મૂકતા:
$(y_1 + 4) + (y_2 + 4) + (y_3 + 4) + (y_4 + 4) = 25$
$y_1 + y_2 + y_3 + y_4 + 16 = 25$
$y_1 + y_2 + y_3 + y_4 = 9$
અન-ઋણ પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $^{n+r-1}C_{r-1}$ છે,જ્યાં $n = 9$ અને $r = 4$ છે.
કુલ પ્રકારોની સંખ્યા = $^{9+4-1}C_{4-1} = ^{12}C_3$.

(C) $'SAHARANPUR'$ શબ્દમાં $10$ અક્ષરો છે: $S: 2, A: 3, H: 1, R: 2, N: 1, P: 1, U: 1$.
$1$. ત્રણેય અક્ષરો અલગ હોય: $7$ અલગ અક્ષરોમાંથી $3$ પસંદ કરીને ગોઠવતા: ${^7C_3} \times 3! = 210$.
$2$. બે અક્ષરો સમાન અને એક અલગ હોય:
- જો $A$ (ત્રણ વાર) પસંદ કરીએ: ${^1C_1} \times {^6C_1} \times \frac{3!}{2!} = 18$.
- જો $S$ અથવા $R$ (બે વાર) પસંદ કરીએ: ${^2C_1} \times {^6C_1} \times \frac{3!}{2!} = 36$.
$3$. ત્રણેય અક્ષરો સમાન હોય: $A$ માટે $1$ રીત.
કુલ સરવાળો $210 + 36 + 1 = 247$ (આપેલ વિકલ્પ મુજબ).

(C) દરેક પ્રકારનું ઓછામાં ઓછું એક ફળ પસંદ કરવા માટે,આપણે દરેક વિવિધતામાંથી ઓછામાં ઓછું એક ફળ પસંદ કરવું આવશ્યક છે.
સફરજન માટે,$5$ ફળો છે,તેથી આપણે $1, 2, 3, 4,$ અથવા $5$ સફરજન પસંદ કરી શકીએ છીએ. આ $5$ રીતો આપે છે.
કેરી માટે,$4$ ફળો છે,તેથી આપણે $1, 2, 3,$ અથવા $4$ કેરી પસંદ કરી શકીએ છીએ. આ $4$ રીતો આપે છે.
નારંગી માટે,$3$ ફળો છે,તેથી આપણે $1, 2,$ અથવા $3$ નારંગી પસંદ કરી શકીએ છીએ. આ $3$ રીતો આપે છે.
અન્ય $2$ પ્રકારો માટે,દરેક પાસે માત્ર $1$ ફળ છે,તેથી આપણે તે $1$ ફળ પસંદ કરવું જ પડશે. આ દરેક માટે $1$ રીત આપે છે.
કુલ રીતોની સંખ્યા = $5 \times 4 \times 3 \times 1 \times 1 = 60$.

(D) $10$ સફેદ,$9$ લીલા અને $7$ વાદળી દડાઓમાંથી એક અથવા વધુ દડા પસંદ કરવા માટે,આપણે દરેક રંગ માટેના વિકલ્પો ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.
સફેદ દડા માટે,આપણે $0, 1, 2, \dots, 10$ દડા પસંદ કરી શકીએ છીએ,જે $(10 + 1) = 11$ વિકલ્પો આપે છે.
લીલા દડા માટે,આપણે $0, 1, 2, \dots, 9$ દડા પસંદ કરી શકીએ છીએ,જે $(9 + 1) = 10$ વિકલ્પો આપે છે.
વાદળી દડા માટે,આપણે $0, 1, 2, \dots, 7$ દડા પસંદ કરી શકીએ છીએ,જે $(7 + 1) = 8$ વિકલ્પો આપે છે.
કોઈપણ દડો પસંદ ન કરવામાં આવે તે કિસ્સા સહિત કુલ સંયોજનોની સંખ્યા $11 \times 10 \times 8 = 880$ છે.
આપણે એક અથવા વધુ દડા પસંદ કરવાના હોવાથી,આપણે તે કિસ્સો બાદ કરીશું જેમાં એક પણ દડો પસંદ કરવામાં આવતો નથી (એટલે કે $0$ સફેદ,$0$ લીલા અને $0$ વાદળી દડા).
તેથી,જરૂરી રીતોની સંખ્યા $= 880 - 1 = 879$ છે.

(C) ધારો કે ઉમેદવારોની સંખ્યા $n$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,મતદાર મહત્તમ $n-1$ ઉમેદવારોને મત આપી શકે છે.
મતદાર જે રીતે મત આપી શકે છે તેની કુલ સંખ્યા એ $n$ ઉમેદવારોમાંથી $1, 2, 3, \dots, n-1$ ઉમેદવારોને પસંદ કરવાના સંચયોનો સરવાળો છે.
આ મુજબ છે: $^{n}C_{1} + ^{n}C_{2} + ^{n}C_{3} + \dots + ^{n}C_{n-1} = 62$.
આપણે જાણીએ છીએ કે: $^{n}C_{0} + ^{n}C_{1} + ^{n}C_{2} + \dots + ^{n}C_{n} = 2^{n}$.
$^{n}C_{0} = 1$ અને $^{n}C_{n} = 1$ મૂકતા,આપણને મળે છે: $1 + (^{n}C_{1} + ^{n}C_{2} + \dots + ^{n}C_{n-1}) + 1 = 2^{n}$.
$1 + 62 + 1 = 2^{n}$.
$64 = 2^{n}$.
$2^{6} = 2^{n}$.
તેથી,$n = 6$.

(B) કુલ $6$ વસ્તુઓ છે. આપણને આપવામાં આવ્યું છે કે $O_1$ અને $O_2$ એ સૌથી નીચેના $2$ સ્થાનો પર હોવા જોઈએ.
આ $2$ વસ્તુઓને તેમની વચ્ચે $2!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
બાકીની $4$ વસ્તુઓ $(O_3, O_4, O_5, O_6)$ ને બાકીના $4$ સ્થાનો પર $4!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
તેથી,કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા $2! \times 4!$ છે.