यदि समीकरण x^2 + px + q = 0 के मूल alpha और b | vedclass

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Question

(C) दिया गया है कि $x^2 + px + q = 0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं,इसलिए $\alpha + \beta = -p$ और $\alpha\beta = q$ है।दिया गया है कि $x^2 - xr + s

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दोनों वास्तविक

Vedclass · Answer

(C) दिया गया है कि $x^2 + px + q = 0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं,इसलिए $\alpha + \beta = -p$ और $\alpha\beta = q$ है।दिया गया है कि $x^2 - xr + s = 0$ के मूल $\alpha^4$ और $\beta^4$ हैं,इसलिए $\alpha^4 + \beta^4 = r$ और $\alpha^4\beta^4 = s$ है।अब,समीकरण $x^2 - 4qx + 2q^2 - r = 0$ के लिए विविक्तकर (discriminant) $D$ ज्ञात करते हैं:$D = (-4q)^2 - 4(1)(2q^2 - r) = 16q^2 - 8q^2 + 4r = 8q^2 + 4r$.यहाँ $q = \alpha\beta$ और $r = \alpha^4 + \beta^4$ रखने पर:$D = 8(\alpha\beta)^2 + 4(\alpha^4 + \beta^4) = 4(2\alpha^2\beta^2 + \alpha^4 + \beta^4) = 4(\alpha^2 + \beta^2)^2$.चूँकि $(\alpha^2 + \beta^2)^2 \ge 0$ सभी वास्तविक $\alpha, \beta$ के लिए सत्य है,इसलिए $D \ge 0$ होगा।अतः,समीकरण $x^2 - 4qx + 2q^2 - r = 0$ के मूल हमेशा वास्तविक होते हैं।

यदि समीकरण $x^2 + px + q = 0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं और समीकरण $x^2 - xr + s = 0$ के मूल $\alpha^4$ और $\beta^4$ हैं,तो समीकरण $x^2 - 4qx + 2q^2 - r = 0$ के मूल होंगे:

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