Mix Examples - Statistics and Probability Questions in Hindi

(A) आँकड़ों का परिसर (Range) अधिकतम मान और न्यूनतम मान के बीच का अंतर होता है।
चरण $1$: दिए गए आँकड़ों में अधिकतम मान ज्ञात कीजिए।
अधिकतम मान $100$ है।
चरण $2$: दिए गए आँकड़ों में न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।
न्यूनतम मान $46$ है।
चरण $3$: परिसर की गणना कीजिए।
$\text{परिसर} = \text{अधिकतम मान} - \text{न्यूनतम मान}$
$\text{परिसर} = 100 - 46 = 54$
अतः,आँकड़ों का परिसर $54$ है।

(B) वर्ग अंतराल का वर्ग-चिह्न (class-mark) निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है:
$\text{वर्ग-चिह्न} = \frac{\text{ऊपरी सीमा} + \text{निचली सीमा}}{2}$
दिए गए वर्ग अंतराल $130-150$ के लिए:
$\text{निचली सीमा} = 130$
$\text{ऊपरी सीमा} = 150$
$\text{वर्ग-चिह्न} = \frac{130 + 150}{2} = \frac{280}{2} = 140$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) कुल परीक्षणों की संख्या $1000$ है।
परिणाम $5$ की बारंबारता $150$ है।
किसी घटना की प्रायिकता अनुकूल परिणामों की संख्या और कुल परीक्षणों की संख्या का अनुपात होती है।
$P(5) = \frac{5 \text{ की बारंबारता}}{\text{कुल परीक्षणों की संख्या}}$
$P(5) = \frac{150}{1000}$
$P(5) = \frac{15}{100} = \frac{3}{20}$.

(D) वर्ग अंतराल का वर्ग चिह्न ज्ञात करने का सूत्र है: $\text{वर्ग चिह्न} = \frac{\text{ऊपरी सीमा} + \text{निचली सीमा}}{2}$।
वर्ग $90-120$ के लिए,निचली सीमा $90$ है और ऊपरी सीमा $120$ है।
$\text{वर्ग चिह्न} = \frac{90 + 120}{2} = \frac{210}{2} = 105$।

(A) आंकड़ों का परिसर (Range) अधिकतम और न्यूनतम मानों के बीच का अंतर होता है।
सबसे पहले, दिए गए आंकड़ों में अधिकतम मान ज्ञात करें: $32$।
इसके बाद, दिए गए आंकड़ों में न्यूनतम मान ज्ञात करें: $6$।
अब, परिसर की गणना करें: $\text{परिसर} = \text{अधिकतम मान} - \text{न्यूनतम मान} = 32 - 6 = 26$।

(B) वर्ग का मध्य मान (वर्ग चिह्न) ज्ञात करने का सूत्र है: $\text{मध्य मान} = \frac{\text{निम्न सीमा} + \text{उच्च सीमा}}{2}$।
मान लीजिए कि निम्न सीमा $L$ है और उच्च सीमा $U$ है। वर्ग की चौड़ाई $U - L = 6$ है,जिसका अर्थ है कि $U = L + 6$।
इन मानों को मध्य मान के सूत्र में रखने पर:
$10 = \frac{L + (L + 6)}{2}$
$10 = \frac{2L + 6}{2}$
$10 = L + 3$
$L = 10 - 3 = 7$।
अतः,वर्ग की निम्न सीमा $7$ है।

(C) एक बारंबारता बंटन में पाँच सतत वर्गों में से प्रत्येक की वर्ग-माप (width) $5$ दी गई है।
सबसे निचले वर्ग की निम्न सीमा $10$ है।
चूँकि वर्ग सतत हैं,इसलिए वर्गों को निम्न सीमा में वर्ग-माप को क्रमिक रूप से जोड़कर बनाया जाता है।
ये पाँच वर्ग इस प्रकार हैं:
$10-15, 15-20, 20-25, 25-30, 30-35$.
अतः,सबसे ऊँचे वर्ग की ऊपरी सीमा $35$ है।

(D) हम जानते हैं कि वर्ग अंतराल का मध्य-बिंदु $(m)$ इस प्रकार ज्ञात किया जाता है:
$m = \frac{\text{निचली सीमा} + \text{ऊपरी सीमा}}{2}$
चूंकि ऊपरी सीमा $l$ दी गई है,इसलिए सूत्र में मान रखने पर:
$m = \frac{\text{निचली सीमा} + l}{2}$
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर:
$2m = \text{निचली सीमा} + l$
निचली सीमा के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर:
$\text{निचली सीमा} = 2m - l$
अतः,वर्ग की निचली सीमा $2m - l$ है।

(A) वर्ग चिह्न $15, 20, 25, \ldots$ दिए गए हैं।
वर्ग की माप $(h)$ दो क्रमागत वर्ग चिह्नों के बीच का अंतर है: $h = 20 - 15 = 5$.
किसी वर्ग चिह्न $x$ के लिए,वर्ग अंतराल $(x - h/2)$ से $(x + h/2)$ तक होता है।
वर्ग चिह्न $x = 20$ और वर्ग माप $h = 5$ के लिए:
निम्न सीमा = $20 - 5/2 = 20 - 2.5 = 17.5$.
उच्च सीमा = $20 + 5/2 = 20 + 2.5 = 22.5$.
अतः,वर्ग अंतराल $17.5-22.5$ है।

(B) सतत बारंबारता वितरण में,वर्ग अंतराल आमतौर पर $a-b$ के रूप में होते हैं,जहाँ $a$ निम्न सीमा है और $b$ ऊपरी सीमा है।
परंपरा के अनुसार,एक वर्ग अंतराल की ऊपरी सीमा को उस अंतराल से बाहर रखा जाता है और अगले वर्ग अंतराल में शामिल किया जाता है।
इसलिए,संख्या $20$ को $10-20$ अंतराल से बाहर रखा जाता है और $20-30$ अंतराल में शामिल किया जाता है।

(C) वर्ग अंतराल $310-330$ में वे सभी प्रेक्षण $x$ शामिल हैं जिनके लिए $310 \le x < 330$ है।
दिए गए डेटा से:
$268, 220, 368, 258, 242, 310, 272, 342, 310, 290, 300, 320, 319, 304, 402, 318, 406, 292, 354, 278, 210, 240, 330, 316, 406, 215, 258, 236$.
$[310, 330)$ की सीमा में आने वाले मानों की पहचान करने पर:
$310, 310, 320, 319, 318, 316$.
इन मानों को गिनने पर,हमें कुल $6$ प्रेक्षण प्राप्त होते हैं।
अतः,वर्ग $310-330$ की बारंबारता $6$ है।

(D) चरण $1$: डेटा में न्यूनतम और अधिकतम मानों की पहचान करें।
न्यूनतम मान $= 14$,अधिकतम मान $= 112$ है।
चरण $2$: वर्ग का आकार निर्धारित करें।
दिया गया वर्ग $63-72$ है। चूंकि $72$ इसमें सम्मिलित है,इसलिए वर्ग का आकार $72 - 63 + 1 = 10$ है।
चरण $3$: न्यूनतम $(14)$ से कम या उसके बराबर मान से शुरू करके वर्ग बनाएं।
$13-22$ को पहले वर्ग के रूप में लेने पर:
$13-22, 23-32, 33-42, 43-52, 53-62, 63-72, 73-82, 83-92, 93-102, 103-112$।
चरण $4$: वर्गों की संख्या गिनें।
कुल $10$ वर्ग हैं।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) असमान वर्ग अंतराल वाले बारंबारता बंटन के लिए आयतचित्र खींचने हेतु,हम प्रत्येक वर्ग के लिए समायोजित बारंबारता की गणना करते हैं।
$1$. सभी अंतरालों में से न्यूनतम वर्ग चौड़ाई ज्ञात करें:
- चौड़ाई हैं: $(10-5)=5$,$(15-10)=5$,$(25-15)=10$,$(45-25)=20$,$(75-45)=30$.
- न्यूनतम वर्ग चौड़ाई $5$ है।
$2$. समायोजित बारंबारता का सूत्र है:
$\text{समायोजित बारंबारता} = \frac{\text{वर्ग की बारंबारता}}{\text{वर्ग की चौड़ाई}} \times \text{न्यूनतम वर्ग चौड़ाई}$.
$3$. वर्ग $25-45$ के लिए:
- बारंबारता = $8$.
- वर्ग की चौड़ाई = $45 - 25 = 20$.
- न्यूनतम वर्ग चौड़ाई = $5$.
$4$. गणना:
$\text{समायोजित बारंबारता} = \frac{8}{20} \times 5 = \frac{8}{4} = 2$.

(B) पाँच संख्याओं का माध्य $30$ है।
पाँच संख्याओं का योग $= 30 \times 5 = 150$ है।
माना कि निकाली गई संख्या $x$ है।
जब एक संख्या को निकाल दिया जाता है,तो शेष चार संख्याओं का योग $(150 - x)$ होता है।
इन चार संख्याओं का माध्य $28$ दिया गया है।
इसलिए,$\frac{150 - x}{4} = 28$ है।
दोनों पक्षों को $4$ से गुणा करने पर,हमें $150 - x = 112$ प्राप्त होता है।
$x$ के लिए हल करने पर,$x = 150 - 112 = 38$ प्राप्त होता है।
अतः,निकाली गई संख्या $38$ है।

(C) माध्य,प्रेक्षणों के योग को प्रेक्षणों की कुल संख्या से विभाजित करने पर प्राप्त होता है।
दिए गए प्रेक्षण: $x, x+3, x+5, x+7, x+10$ हैं।
प्रेक्षणों की संख्या $= 5$ है।
माध्य $= \frac{x + (x+3) + (x+5) + (x+7) + (x+10)}{5} = 9$ है।
$\Rightarrow \frac{5x + 25}{5} = 9$ है।
$\Rightarrow 5x + 25 = 45$ है।
$\Rightarrow 5x = 20$ है।
$\Rightarrow x = 4$ है।
अंतिम तीन प्रेक्षण $x+5, x+7, x+10$ हैं।
$x = 4$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $4+5=9, 4+7=11, 4+10=14$।
अंतिम तीन प्रेक्षणों का माध्य $= \frac{9 + 11 + 14}{3} = \frac{34}{3} = 11 \frac{1}{3}$ है।

(D) हम जानते हैं कि माध्य से लिए गए विचलनों का बीजगणितीय योग हमेशा शून्य होता है।
$\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x}) = (x_{1}-\bar{x}) + (x_{2}-\bar{x}) + \ldots + (x_{n}-\bar{x})$
$= (x_{1} + x_{2} + \ldots + x_{n}) - n\bar{x}$
चूंकि माध्य $\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i}$ है,इसलिए $\sum_{i=1}^{n} x_{i} = n\bar{x}$ होता है।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$= n\bar{x} - n\bar{x} = 0$.

(A) मान लीजिए प्रेक्षण $x_1, x_2, ..., x_n$ हैं। माध्य $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}$ है।
यदि प्रत्येक प्रेक्षण में $5$ की वृद्धि की जाती है,तो नए प्रेक्षण $(x_1+5), (x_2+5), ..., (x_n+5)$ होंगे।
नया माध्य $\bar{x}' = \frac{\sum (x_i+5)}{n} = \frac{\sum x_i + 5n}{n} = \frac{\sum x_i}{n} + \frac{5n}{n} = \bar{x} + 5$ होगा।
अतः,यदि डेटा के प्रत्येक प्रेक्षण में $5$ की वृद्धि की जाती है,तो उनका माध्य भी $5$ बढ़ जाता है।

(B) दिया गया है कि $\bar{x}$,$n$ प्रेक्षणों $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ का माध्य है।
अतः,इन प्रेक्षणों का योग $\sum_{i=1}^{n} x_{i} = n \bar{x}$ है।
इसी प्रकार,$\bar{y}$,$n$ प्रेक्षणों $y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n}$ का माध्य है।
अतः,इन प्रेक्षणों का योग $\sum_{i=1}^{n} y_{i} = n \bar{y}$ है।
अब,$\bar{z}$ कुल $2n$ प्रेक्षणों $(x_{1}, \ldots, x_{n}, y_{1}, \ldots, y_{n})$ का माध्य है।
अतः,$\bar{z} = \frac{\sum x_{i} + \sum y_{i}}{n + n}$ होगा।
योग का मान रखने पर,हमें $\bar{z} = \frac{n \bar{x} + n \bar{y}}{2n}$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर,$\bar{z} = \frac{n(\bar{x} + \bar{y})}{2n} = \frac{\bar{x} + \bar{y}}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) हम जानते हैं कि यदि $\bar{x}$ प्रेक्षणों $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ का माध्य है,तो $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i}}{n},$ जिसका अर्थ है $\sum_{i=1}^{n} x_{i} = n \bar{x}.$
प्रेक्षणों के नए समूह में $2n$ पद हैं: $a x_{1}, a x_{2}, \ldots, a x_{n}$ और $\frac{x_{1}}{a}, \frac{x_{2}}{a}, \ldots, \frac{x_{n}}{a}.$
इन $2n$ प्रेक्षणों का माध्य इस प्रकार होगा:
माध्य $= \frac{(a x_{1} + a x_{2} + \ldots + a x_{n}) + (\frac{x_{1}}{a} + \frac{x_{2}}{a} + \ldots + \frac{x_{n}}{a})}{2n}$
$= \frac{a(x_{1} + x_{2} + \ldots + x_{n}) + \frac{1}{a}(x_{1} + x_{2} + \ldots + x_{n})}{2n}$
$= \frac{a(n \bar{x}) + \frac{1}{a}(n \bar{x})}{2n}$
$= \frac{n \bar{x} (a + \frac{1}{a})}{2n}$
$= \frac{\bar{x}}{2} (a + \frac{1}{a}).$

(D) किसी समूह का माध्य प्रेक्षणों के योग को प्रेक्षणों की संख्या से विभाजित करने पर प्राप्त होता है। समूह $i$ के लिए,प्रेक्षणों का योग $S_{i} = n_{i} \bar{x}_{i}$ है।
सभी $n$ समूहों का संयुक्त माध्य $\bar{x}$ ज्ञात करने के लिए,हम सभी प्रेक्षणों के कुल योग को प्रेक्षणों की कुल संख्या से विभाजित करते हैं।
प्रेक्षणों का कुल योग = $\sum_{i=1}^{n} n_{i} \bar{x}_{i}$
प्रेक्षणों की कुल संख्या = $\sum_{i=1}^{n} n_{i}$
अतः,संयुक्त माध्य $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} n_{i} \bar{x}_{i}}{\sum_{i=1}^{n} n_{i}}$ है।

(A) माध्य का सूत्र $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}$ है।
दिया गया है कि $100$ प्रेक्षणों का माध्य $50$ है,इसलिए $\sum x_i = 50 \times 100 = 5,000$ होगा।
जब $50$ के एक प्रेक्षण को $150$ से बदल दिया जाता है,तो प्रेक्षणों का नया योग $\sum x_i' = 5,000 - 50 + 150 = 5,100$ हो जाता है।
अतः,परिणामी माध्य $\frac{5,100}{100} = 51$ होगा।

(B) मान लीजिए कि $50$ संख्याएँ $x_1, x_2, \dots, x_{50}$ हैं और उनका माध्य $\bar{x}$ है।
प्रश्न के अनुसार, प्रत्येक संख्या को $53$ में से घटाया जाता है, इसलिए नई संख्याएँ $(53 - x_1), (53 - x_2), \dots, (53 - x_{50})$ हैं।
इन नई संख्याओं का माध्य $-3.5$ दिया गया है।
$\text{माध्य} = \frac{\sum_{i=1}^{50} (53 - x_i)}{50} = -3.5$
$\Rightarrow \frac{(53 \times 50) - \sum_{i=1}^{50} x_i}{50} = -3.5$
चूँकि $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{50}$, इसलिए $\sum x_i = 50 \bar{x}$ होता है।
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$\Rightarrow \frac{2650 - 50 \bar{x}}{50} = -3.5$
$\Rightarrow 53 - \bar{x} = -3.5$
$\Rightarrow \bar{x} = 53 + 3.5 = 56.5$
अतः, दी गई संख्याओं का माध्य $56.5$ है।

(C) दिया गया है कि $25$ प्रेक्षणों का माध्य $36$ है।
$25$ प्रेक्षणों का योग $= 25 \times 36 = 900$.
प्रथम $13$ प्रेक्षणों का माध्य $= 32$.
प्रथम $13$ प्रेक्षणों का योग $= 13 \times 32 = 416$.
अंतिम $13$ प्रेक्षणों का माध्य $= 40$.
अंतिम $13$ प्रेक्षणों का योग $= 13 \times 40 = 520$.
$13$वाँ प्रेक्षण प्रथम $13$ और अंतिम $13$ दोनों प्रेक्षणों में शामिल है।
अतः,$13$वाँ प्रेक्षण $= (\text{प्रथम } 13 \text{ का योग}) + (\text{अंतिम } 13 \text{ का योग}) - (25 \text{ प्रेक्षणों का कुल योग})$.
$13$वाँ प्रेक्षण $= 416 + 520 - 900 = 936 - 900 = 36$.

(D) आंकड़ों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर:
$22, 34, 39, 45, 54, 54, 56, 78, 84$
यहाँ,प्रेक्षणों की संख्या $n = 9$ है,जो एक विषम संख्या है।
अतः,माध्यक $= \left(\frac{n+1}{2}\right)$ वाँ पद होगा।
माध्यक $= \left(\frac{9+1}{2}\right)$ वाँ पद $= 5$ वाँ पद।
व्यवस्थित आंकड़ों में देखने पर,$5$ वाँ पद $54$ है।
अतः,माध्यक $54$ है।

(A) एक सतत आवृत्ति वितरण के लिए आवृत्ति बहुभुज खींचने हेतु,हम ग्राफ पर बिंदुओं को आलेखित करते हैं। प्रत्येक बिंदु का $y$-निर्देशांक (कोटि) संबंधित वर्ग की आवृत्ति को दर्शाता है,और $x$-निर्देशांक (भुज) उस वर्ग के वर्ग-चिह्न (class mark) को दर्शाता है। वर्ग-चिह्न की गणना $\frac{\text{निम्न सीमा} + \text{ऊपरी सीमा}}{2}$ सूत्र द्वारा की जाती है।

(B) आंकड़ों को आरोही क्रम (ascending order) में व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$3, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 12$
यहाँ,प्रेक्षणों की कुल संख्या $n = 9$ है,जो एक विषम संख्या है।
इसलिए,माध्यक $\left(\frac{n+1}{2}\right)$ वें पद का मान होता है।
माध्यक $= \left(\frac{9+1}{2}\right) = 5$ वां पद।
व्यवस्थित क्रम में $5$ वां पद $6$ है।
अतः,माध्यक $6$ है।

(C) बहुलक वह प्रेक्षण है जो दिए गए आंकड़ों में सबसे अधिक बार आता है।
दिए गए आंकड़े: $15, 14, 19, 20, 14, 15, 16, 14, 15, 18, 14, 19, 15, 17, 15$
आंकड़ों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर:
$14, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 15, 15, 16, 17, 18, 19, 19, 20$
प्रत्येक प्रेक्षण की बारंबारता की गणना करने पर:
$14$ कुल $4$ बार आता है।
$15$ कुल $5$ बार आता है।
$16$ कुल $1$ बार आता है।
$17$ कुल $1$ बार आता है।
$18$ कुल $1$ बार आता है।
$19$ कुल $2$ बार आता है।
$20$ कुल $1$ बार आता है।
चूंकि $15$ सबसे अधिक बार ($5$ बार) आता है,इसलिए दिए गए आंकड़ों का बहुलक $15$ है।

(A) हाँ,यह सही है।
मान लीजिए कि आंकड़ों का पहला समूह $x_i$ है। इसका माध्य $\bar{x} = 5$ दिया गया है।
आंकड़ों का दूसरा समूह $y_i = 2x_i$ है।
माध्य के गुणों के अनुसार,यदि किसी डेटा सेट के प्रत्येक प्रेक्षण को एक स्थिरांक $k$ से गुणा किया जाता है,तो नया माध्य मूल माध्य का $k$ गुना हो जाता है।
यहाँ,$k = 2$ है।
इसलिए,नया माध्य = $2 \times 5 = 10$ होगा।
अतः,दिया गया कथन सही है।

(B) एक हिस्टोग्राम में, प्रत्येक आयत का क्षेत्रफल इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\text{Area} = \text{Width} \times \text{Height}$.
यहाँ, $\text{Width}$ (चौड़ाई) वर्ग अंतराल को दर्शाती है और $\text{Height}$ (ऊंचाई) आवृत्ति घनत्व को दर्शाती है।
चूंकि क्षेत्रफल आवृत्ति के समानुपाती होता है, इसलिए हमारे पास $\text{Frequency} \propto \text{Width} \times \text{Height}$ है।
यदि वर्ग अंतराल (चौड़ाई) समान हैं, तो $\text{Width}$ स्थिर रहता है, जिसका अर्थ है कि $\text{Frequency} \propto \text{Height}$.
हालाँकि, यदि वर्ग अंतराल अलग-अलग हैं, तो क्षेत्रफल और आवृत्ति के समानुपात को बनाए रखने के लिए आयत की ऊंचाई को समायोजित किया जाता है।
इसलिए, आयतों की लंबाई (ऊंचाई) केवल तभी आवृत्तियों के समानुपाती होती है जब वर्ग अंतराल समान होते हैं।

(B) $16$ आंकड़ों का बहुलक नहीं है। किसी दिए गए आंकड़ों का बहुलक वह अवलोकन होता है जिसकी आवृत्ति सबसे अधिक होती है,न कि वह अवलोकन जिसका मान सबसे अधिक होता है। दिए गए आंकड़ों में,$9$ की आवृत्ति $3$ है,जो कि सबसे अधिक आवृत्ति है। इसलिए,आंकड़ों का बहुलक $9$ है।

(N/A) दिया गया आलेखीय निरूपण गलत है।
आयतचित्र (Histogram) में,प्रत्येक आयत का क्षेत्रफल संबंधित वर्ग अंतराल की बारंबारता के समानुपाती होता है। जब वर्ग अंतराल की चौड़ाई असमान होती है,तो आयतों की ऊंचाइयों को बारंबारता घनत्व (Frequency Density) के समानुपाती समायोजित किया जाना चाहिए,जिसे $\frac{\text{बारंबारता}}{\text{वर्ग अंतराल की चौड़ाई}}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
यहाँ,वर्ग की चौड़ाइयाँ इस प्रकार हैं:
$0-20$: चौड़ाई $= 20$
$20-40$: चौड़ाई $= 20$
$40-60$: चौड़ाई $= 20$
$60-100$: चौड़ाई $= 40$
चूंकि अंतिम अंतराल $(60-100)$ की चौड़ाई अलग है,इसलिए क्षेत्रफल के समानुपात को बनाए रखने के लिए इस अंतराल के आयत की ऊंचाई को समायोजित किया जाना चाहिए था। वर्तमान आलेख में केवल बारंबारता को वर्ग अंतराल के विरुद्ध आलेखित किया गया है,जो केवल समान वर्ग चौड़ाई के लिए ही मान्य है।

(B) माध्यिका (Median) दिए गए डेटा का सबसे अच्छा प्रतिनिधि है।
दर्ज किए गए अंक ($100$ में से) हैं: $46, 52, 48, 11, 41, 62, 54, 53, 96, 40, 98, 44$.
माध्यिका एक अच्छा प्रतिनिधि है क्योंकि:
$(i)$ माध्य (Mean) $11, 96,$ और $98$ जैसे चरम मानों (outliers) से काफी प्रभावित होता है,जो औसत को अंकों के केंद्रीय समूह से दूर ले जाते हैं।
$(ii)$ जब डेटा सेट में चरम मान मौजूद होते हैं,तो माध्यिका केंद्रीय प्रवृत्ति का बेहतर माप प्रदान करती है,क्योंकि यह व्यवस्थित डेटा सेट के मध्य मान को दर्शाती है।

(A) दिए गए आंकड़ों का माध्यक ज्ञात करने के लिए,प्रेक्षणों को पहले आरोही या अवरोही क्रम में व्यवस्थित किया जाना चाहिए।
दिए गए समूह $3, 14, 18, 20, 5$ में,मान क्रम में नहीं हैं।
यदि हम उन्हें आरोही क्रम में व्यवस्थित करते हैं,तो हमें $3, 5, 14, 18, 20$ प्राप्त होता है।
बीच का प्रेक्षण $14$ है,जो सही माध्यक है।
बच्चे ने केवल अव्यवस्थित सूची का बीच का मान चुन लिया,जो कि गलत है।

(D) उत्तर $7$ गलत है। माध्यिका ज्ञात करने के लिए,डेटा को पहले आरोही या अवरोही क्रम में व्यवस्थित करना आवश्यक है।
चरण $1$: डेटा को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर:
$1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$
चरण $2$: चूंकि प्रेक्षणों की संख्या $n = 10$ (जो एक सम संख्या है) है,इसलिए माध्यिका $5$वें और $6$वें प्रेक्षण का औसत होगी।
$5$वां प्रेक्षण $= 4$
$6$वां प्रेक्षण $= 5$
माध्यिका $= \frac{4 + 5}{2} = \frac{9}{2} = 4.5$
अतः,सही माध्यिका $4.5$ है।

(B) दिया गया कथन सही नहीं है। एक आयतचित्र में,प्रत्येक आयत का क्षेत्रफल उसकी बारंबारता (frequency) के समानुपाती होता है। यदि वर्ग अंतराल समान चौड़ाई के हैं,तो आयत की ऊँचाई बारंबारता के समानुपाती होती है। यदि वर्ग अंतराल असमान चौड़ाई के हैं,तो आयत का क्षेत्रफल बारंबारता के समानुपाती होता है।

(B) सतत बारंबारता वितरण के वर्ग चिह्न $1.04, 1.14, 1.24, 1.34, 1.44, 1.54$ और $1.64$ हैं।
दो क्रमागत वर्ग चिह्नों के बीच का अंतर $h = 1.14 - 1.04 = 1.24 - 1.14 = \dots = 1.64 - 1.54 = 0.10$ है।
यह अंतर $h$ सतत वितरण के वर्ग माप (class size) को दर्शाता है।
अंतराल $1.55 - 1.73$ का वर्ग माप $1.73 - 1.55 = 0.18$ है।
चूंकि दिए गए अंतराल का वर्ग माप $(0.18)$ वितरण के वर्ग माप $(0.10)$ के बराबर नहीं है,इसलिए यह कहना सही नहीं है कि अंतिम अंतराल $1.55 - 1.73$ है।

(B) सतत बारंबारता वितरण में,वर्ग अंतराल की ऊपरी सीमा को उस वर्ग से बाहर रखा जाता है और अगले वर्ग में शामिल किया जाता है।
इसलिए,$10$ का मान $10-15$ वर्ग अंतराल में शामिल है,न कि $5-10$ में।
$10$ या उससे अधिक घंटे टीवी देखने वाले बच्चों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम $10-15$ और $15-20$ वर्ग अंतराल की बारंबारताओं को जोड़ते हैं।
बच्चों की संख्या = $4 + 2 = 6$.
अतः,हम यह नहीं कह सकते कि एक सप्ताह में $10$ या उससे अधिक घंटे टीवी देखने वाले बच्चों की संख्या $22$ है।

(N/A) बारंबारता बंटन सारणी तैयार करने के लिए,हम दिए गए आँकड़ों में प्रत्येक ऊँचाई के मान की बारंबारता (गिनती) करते हैं।
$30$ लड़कियों की ऊँचाइयों का बारंबारता बंटन:

ऊँचाई ($cm$ में)	बारंबारता
$138$	$2$
$139$	$1$
$140$	$4$
$146$	$3$
$148$	$6$
$150$	$5$
$152$	$3$
$153$	$3$
$154$	$1$
$160$	$2$
कुल	$30$

(D) प्रेक्षणों की संख्या $(n) = 10,$ जो एक सम संख्या है।
इसलिए,माध्यिका $\left(\frac{n}{2}\right)$ वें और $\left(\frac{n}{2}+1\right)$ वें प्रेक्षण का माध्य है,अर्थात $5$ वें और $6$ वें प्रेक्षण का माध्य।
यहाँ,$5$ वाँ प्रेक्षण $= x$ और $6$ वाँ प्रेक्षण $= x+2$ है।
माध्यिका $= \frac{x + (x+2)}{2} = \frac{2x+2}{2} = x+1$.
दिया गया है कि माध्यिका $65$ है,इसलिए $x+1 = 65$.
अतः,$x = 65 - 1 = 64$.
इस प्रकार,$x$ का मान $64$ है।

बारंबारता वितरण सारणी तैयार करने के लिए,हम दिए गए डेटा में प्रत्येक रक्त समूह की आवृत्ति की गणना करते हैं:
$1$. $A$ की संख्या: $12$
$2$. $B$ की संख्या: $8$
$3$. $AB$ की संख्या: $4$
$4$. $O$ की संख्या: $6$
कुल संख्या = $12 + 8 + 4 + 6 = 30$.

रक्त समूह	छात्रों की संख्या (बारंबारता)
$A$	$12$
$B$	$8$
$AB$	$4$
$O$	$6$
कुल	$30$

(N/A) बारंबारता बंटन ज्ञात करने के लिए,हम दशमलव बिंदु के बाद के अनुक्रम में $0$ से $9$ तक के प्रत्येक अंक की उपस्थिति की गणना करते हैं: $1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3, 5, 8, 9, 7, 9, 3, 2, 3, 8, 4, 6, 2, 6, 4, 3, 3, 8, 3, 2, 7, 9, 5, 0, 2, 8, 8$।

अंक	बारंबारता
$0$	$1$
$1$	$2$
$2$	$5$
$3$	$6$
$4$	$3$
$5$	$4$
$6$	$3$
$7$	$2$
$8$	$5$
$9$	$4$

डेटा को बारंबारता बंटन सारणी में निरूपित करने के लिए,हम प्रत्येक अंक के आने की संख्या (बारंबारता) की गणना करते हैं।

अंक	बारंबारता
$48$	$3$
$58$	$3$
$64$	$4$
$66$	$7$
$69$	$6$
$71$	$3$
$73$	$2$
$81$	$1$
$83$	$2$
$84$	$2$
कुल	$33$

यहाँ मध्य-बिंदु $5, 15, 25, 35$ और $45$ हैं। क्रमागत वर्ग चिह्नों के बीच का सामान्य अंतर $h = 15 - 5 = 10$ है।
वर्ग अंतराल ज्ञात करने के लिए,हम प्रत्येक मध्य-बिंदु से $\frac{h}{2} = \frac{10}{2} = 5$ घटाते और जोड़ते हैं।
मध्य-बिंदु $5$ के लिए: $5 - 5 = 0$ और $5 + 5 = 10$,अतः अंतराल $0-10$ है।
मध्य-बिंदु $15$ के लिए: $15 - 5 = 10$ और $15 + 5 = 20$,अतः अंतराल $10-20$ है।
मध्य-बिंदु $25$ के लिए: $25 - 5 = 20$ और $25 + 5 = 30$,अतः अंतराल $20-30$ है।
मध्य-बिंदु $35$ के लिए: $35 - 5 = 30$ और $35 + 5 = 40$,अतः अंतराल $30-40$ है।
मध्य-बिंदु $45$ के लिए: $45 - 5 = 40$ और $45 + 5 = 50$,अतः अंतराल $40-50$ है।
वर्ग अंतराल का आकार $10$ है।
सतत वर्गीकृत बारंबारता वितरण नीचे दिया गया है:

वर्ग अंतराल	बारंबारता
$0-10$	$4$
$10-20$	$8$
$20-30$	$13$
$30-40$	$12$
$40-50$	$6$

(N/A) असतत बारंबारता वितरण को सतत बारंबारता वितरण में बदलने के लिए,हम एक वर्ग की निचली सीमा और पिछले वर्ग की ऊपरी सीमा के बीच का अंतर ज्ञात करते हैं। मान लीजिए यह अंतर $d$ है। समायोजन कारक $h = d/2$ है।
यहाँ,$d = 154 - 153 = 1$। अतः,$h = 1/2 = 0.5$।
हम प्रत्येक निचली सीमा से $0.5$ घटाते हैं और प्रत्येक ऊपरी सीमा में $0.5$ जोड़ते हैं।

मूल वर्ग	सतत वर्ग	बारंबारता
$150-153$	$149.5-153.5$	$7$
$154-157$	$153.5-157.5$	$7$
$158-161$	$157.5-161.5$	$15$
$162-165$	$161.5-165.5$	$10$
$166-169$	$165.5-169.5$	$5$
$170-173$	$169.5-173.5$	$6$

सतत अंतरालों के आधार पर:
- $153.5$ अंतराल $153.5-157.5$ में शामिल है।
- $157.5$ अंतराल $157.5-161.5$ में शामिल है।

(N/A) दी गई जानकारी को दंड आलेख द्वारा दर्शाने के लिए,निम्नलिखित चरणों का पालन करें:
$1$. दो लंबवत अक्ष खींचिए,क्षैतिज अक्ष ($X$-अक्ष) और ऊर्ध्वाधर अक्ष ($Y$-अक्ष)।
$2$. $X$-अक्ष पर,खर्च की विभिन्न मदों को समान अंतराल पर अंकित करें।
$3$. $Y$-अक्ष पर,$Rs$ में खर्च को दर्शाएं। एक उपयुक्त पैमाना चुनें,उदाहरण के लिए,$1 \text{ इकाई} = 500 \text{ Rs}$।
$4$. प्रत्येक मद के लिए,समान चौड़ाई के आयताकार दंड खींचें। प्रत्येक दंड की ऊंचाई उस विशिष्ट मद के खर्च के संख्यात्मक मान के अनुरूप होनी चाहिए।
$5$. परिणामी दंड आलेख नीचे दिखाया गया है:
$1125$-s50

(N/A) दी गई जानकारी को प्रदर्शित करने वाला दंड आरेख बनाने के लिए निम्नलिखित चरणों का पालन करें:
चरण $1$: एक ग्राफ पेपर लें और दो परस्पर लंबवत रेखाएं $OX$ और $OY$ खींचें। $OX$ को क्षैतिज अक्ष और $OY$ को ऊर्ध्वाधर अक्ष मानें।
चरण $2$: $OX$ पर शिक्षा के प्रकार और $OY$ पर शिक्षा पर व्यय (करोड़ रुपये में) अंकित करें।
चरण $3$: $OX$ पर दंडों (bars) की चौड़ाई समान रखें और उनके बीच का अंतराल भी समान रखें।
चरण $4$: ऊर्ध्वाधर अक्ष के लिए एक उपयुक्त पैमाना चुनें। यहाँ,हम $1$ बड़ा खाना $= 20$ करोड़ रुपये लेते हैं।
चरण $5$: प्रत्येक दंड की ऊंचाई की गणना करें:
- प्राथमिक शिक्षा: $240 / 20 = 12$ बड़े खाने
- माध्यमिक शिक्षा: $120 / 20 = 6$ बड़े खाने
- विश्वविद्यालय शिक्षा: $190 / 20 = 9.5$ बड़े खाने
- शिक्षक प्रशिक्षण: $20 / 20 = 1$ बड़ा खाना
- सामाजिक शिक्षा: $10 / 20 = 0.5$ बड़े खाने
- अन्य शैक्षिक कार्यक्रम: $115 / 20 = 5.75$ बड़े खाने
- सांस्कृतिक कार्यक्रम: $25 / 20 = 1.25$ बड़े खाने
- तकनीकी शिक्षा: $125 / 20 = 6.25$ बड़े खाने
चरण $6$: इन ऊंचाइयों के अनुसार ग्राफ में दंड आरेख खींचें।

(N/A) दंड आरेख बनाने के लिए निम्नलिखित चरणों का पालन करें:
चरण $1:$ एक ग्राफ पेपर लें और दो लंबवत रेखाएं $OX$ और $OY$ खींचें।
चरण $2:$ क्षैतिज अक्ष $OX$ पर 'अक्षर' और ऊर्ध्वाधर अक्ष $OY$ पर 'आवृत्ति' अंकित करें।
चरण $3:$ क्षैतिज अक्ष $OX$ पर,दंडों (bars) की समान चौड़ाई और उनके बीच समान अंतराल रखें।
चरण $4:$ ऊर्ध्वाधर अक्ष के लिए एक उपयुक्त पैमाना चुनें। मान लीजिए $1$ इकाई $10$ आवृत्ति को दर्शाती है।
चरण $5:$ तालिका में दी गई आवृत्तियों के अनुसार उपयुक्त ऊंचाई के दंड खींचें।
चरण $6:$ अक्षों को नामांकित करें और चित्र में दिखाए अनुसार प्रत्येक दंड के ऊपर उसकी आवृत्ति लिखें।

(A) माध्य का सूत्र $\bar{x} = \frac{\sum x_i f_i}{\sum f_i}$ है।
सबसे पहले,बारंबारताओं का योग $\sum f_i = 6 + 8 + p + 10 + 6 = 30 + p$ ज्ञात करें।
इसके बाद,गुणनफलों का योग $\sum x_i f_i = (10 \times 6) + (15 \times 8) + (20 \times p) + (25 \times 10) + (30 \times 6)$ ज्ञात करें।
$\sum x_i f_i = 60 + 120 + 20p + 250 + 180 = 610 + 20p$.
दिया गया है कि माध्य $20.2$ है,इसलिए समीकरण: $20.2 = \frac{610 + 20p}{30 + p}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $(30 + p)$ से गुणा करने पर: $20.2(30 + p) = 610 + 20p$.
$606 + 20.2p = 610 + 20p$.
दोनों पक्षों से $20p$ घटाने पर: $606 + 0.2p = 610$.
दोनों पक्षों से $606$ घटाने पर: $0.2p = 4$.
$0.2$ से भाग देने पर: $p = \frac{4}{0.2} = 20$.

(B) माध्य ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$ का उपयोग करते हैं।

चर $(x_i)$	बारंबारता $(f_i)$	$f_i x_i$
$4$	$4$	$16$
$6$	$8$	$48$
$8$	$14$	$112$
$10$	$11$	$110$
$12$	$3$	$36$
कुल	$\sum f_i = 40$	$\sum f_i x_i = 322$

माध्य $\bar{x} = \frac{322}{40} = 8.05$.

(C) कक्षा में कुल $50$ विद्यार्थी हैं। इन $50$ विद्यार्थियों में से $30$ लड़कियाँ हैं।
अतः,कक्षा में लड़कों की संख्या $= 50 - 30 = 20$.
$30$ लड़कियों के अंकों का माध्य $= 73$.
$30$ लड़कियों के कुल अंक $= 73 \times 30 = 2190$.
$20$ लड़कों के अंकों का माध्य $= 71$.
$20$ लड़कों के कुल अंक $= 71 \times 20 = 1420$.
पूरी कक्षा के कुल अंक $= 2190 + 1420 = 3610$.
पूरी कक्षा के अंकों का माध्य $= \frac{\text{कुल अंक}}{\text{कुल विद्यार्थी}} = \frac{3610}{50} = 72.2$.