यदि एक वृत्त की दो समान जीवाएँ प्रतिच्छेद करती हैं,तो सिद्ध कीजिए कि एक जीवा के भाग दूसरी जीवा के संगत भागों के बराबर होते हैं।

(N/A) $AB$ और $CD$ केंद्र $O$ वाले एक वृत्त की दो समान जीवाएँ हैं,जो एक-दूसरे को $M$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। हमें सिद्ध करना है कि:
$(i)$ $MB = MC$ और
$(ii)$ $AM = MD$
केंद्र $O$ से $OE \perp AB$ और $OF \perp CD$ खींचिए।
चूँकि केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है,इसलिए:
$AE = \frac{1}{2} AB$ और $FD = \frac{1}{2} CD$
चूँकि $AB = CD,$ इसलिए $\frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} CD,$ अतः $AE = FD$ $...(1)$
समान जीवाएँ केंद्र से समान दूरी पर होती हैं,इसलिए $OE = OF.$
अब,$\Delta MOE$ और $\Delta MOF$ में:
$OE = OF$ [ऊपर सिद्ध किया गया]
$OM = OM$ [उभयनिष्ठ भुजा]
$\angle OEM = \angle OFM = 90^\circ$ [रचना से]
अतः,$\Delta MOE \cong \Delta MOF$ [$RHS$ सर्वांगसमता नियम से]
इस प्रकार,$ME = MF$ $...(2)$
$(1)$ में से $(2)$ को घटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$AE - ME = FD - MF$
$\Rightarrow AM = MD$ [भाग $(ii)$ सिद्ध हुआ]
पुनः,$AB = CD$ और $AM = MD.$
इन्हें घटाने पर,हमें प्राप्त होता है $AB - AM = CD - MD.$
अतः,$MB = MC$ [भाग $(i)$ सिद्ध हुआ]