त्रिभुज $ABC$ का परिकेंद्र $O$ है। सिद्ध कीजिए कि $\angle OBC + \angle BAC = 90^{\circ}$।

(N/A) $ABC$ एक त्रिभुज है और $O$ परिकेंद्र है।
$OD \perp BC$ खींचिए। $OB$ और $OC$ को मिलाइए।
समकोण $\Delta OBD$ और समकोण $\Delta OCD$ में,हमारे पास है:
कर्ण $OB =$ कर्ण $OC$ [एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ]
$OD = OD$ [उभयनिष्ठ भुजा]
$\therefore \Delta OBD \cong \Delta OCD$ [$RHS$ सर्वांगसमता नियम द्वारा]
$\therefore \angle 1 = \angle 2$ और $\angle 3 = \angle 4$ [$CPCT$]
अब,$\angle BOC = 2 \angle BAC$ [केंद्र पर बना कोण परिधि पर बने कोण का दोगुना होता है]
साथ ही,$\Delta OBC$ में,$OB = OC$,इसलिए $\angle 3 = \angle 4$।
$\Delta OBD$ में,$\angle 3 + \angle 1 + 90^{\circ} = 180^{\circ} \Rightarrow \angle 3 + \angle 1 = 90^{\circ}$।
चूंकि $\angle BOC = 2 \angle 1 + 2 \angle 2$ और $\angle BOC = 2 \angle BAC$,इसलिए हमारे पास $\angle 1 + \angle 2 = \angle BAC$ है।
चूंकि $\angle 1 = \angle 2$,इसलिए $2 \angle 1 = \angle BAC$,या $\angle 1 = \frac{1}{2} \angle BAC$।
इसे $\angle 3 + \angle 1 = 90^{\circ}$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\angle OBC + \angle BAC = 90^{\circ}$ प्राप्त होता है (जहाँ $\angle OBC = \angle 3$)।
अतः,सिद्ध हुआ।