Wave Nature and Interference of Light (Intensity) Questions in Gujarati

(A) બે સ્ત્રોતોને સુસંબદ્ધ (coherent) ત્યારે કહેવામાં આવે છે જો તેઓ એવા તરંગો ઉત્સર્જિત કરે જે સમય સાથે અચળ કળા તફાવત જાળવી રાખે.
ગાણિતિક રીતે,કળા તફાવત $\phi$ એ પથ તફાવત $\Delta x$ સાથે નીચે મુજબ સંબંધિત છે: $\phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \times \Delta x$.
વ્યતિકરણ ભાત સ્થાયી અને અવલોકનક્ષમ રહે તે માટે,બે સ્ત્રોતોમાંથી આવતા તરંગો વચ્ચેનો કળા તફાવત સમય સાથે બદલાવો જોઈએ નહીં.
તેથી,સુસંબદ્ધતા માટેની પાયાની જરૂરિયાત એ છે કે સ્ત્રોતો વચ્ચે અચળ કળા તફાવત હોવો જોઈએ.

(C) કળા તફાવત $(\Delta \phi)$ અને પથ તફાવત $(\Delta x)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$
સંવિનાશી વ્યતિકરણ માટે,કળા તફાવત $\pi$ નો બેકી ગુણાંક હોવો જોઈએ:
$\Delta \phi = 2n\pi$,જ્યાં $n = 0, 1, 2, 3, \dots$
બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$2n\pi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$
પથ તફાવત $(\Delta x)$ માટે ઉકેલતા:
$\Delta x = n\lambda$

(D) સુસંબદ્ધ ઉદગમો માટે,મધ્યસ્થ અધિકતમ પર તીવ્રતા $I_{0} = (\sqrt{I_{1}} + \sqrt{I_{2}})^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. બંને ઉદગમો સમાન કંપવિસ્તાર $A$ ધરાવતા હોવાથી,તેમની વ્યક્તિગત તીવ્રતા સમાન છે,ધારો કે $I_{1} = I_{2} = I$.
આમ,$I_{0} = (\sqrt{I} + \sqrt{I})^2 = (2\sqrt{I})^2 = 4I$.
આનો અર્થ એ છે કે દરેક વ્યક્તિગત ઉદગમની તીવ્રતા $I = \frac{I_{0}}{4}$ છે.
જ્યારે ઉદગમો અસુસંબદ્ધ હોય,ત્યારે વ્યતિકરણ પદ સમય સાથે સરેરાશ શૂન્ય થઈ જાય છે. તેથી,પરિણામી તીવ્રતા એ વ્યક્તિગત તીવ્રતાનો સરવાળો છે: $I_{res} = I_{1} + I_{2} = I + I = 2I$.
$I = \frac{I_{0}}{4}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $I_{res} = 2 \times (\frac{I_{0}}{4}) = \frac{I_{0}}{2}$ મળે છે.

(B) ધારો કે $L$ એ હવા અને શૂન્યાવકાશના સ્તંભોની જાડાઈ છે.
શૂન્યાવકાશમાં તરંગલંબાઈની સંખ્યા $N_v = \frac{L}{\lambda_0}$ છે.
હવામાં તરંગલંબાઈની સંખ્યા $N_a = \frac{L}{\lambda_a} = \frac{L}{\lambda_0 / \mu_a} = \frac{L \mu_a}{\lambda_0}$ છે.
તરંગલંબાઈની સંખ્યામાં તફાવત $N_a - N_v = 1$ આપેલ છે.
$\frac{L \mu_a}{\lambda_0} - \frac{L}{\lambda_0} = 1$.
$L \left( \frac{\mu_a - 1}{\lambda_0} \right) = 1$.
$L = \frac{\lambda_0}{\mu_a - 1}$.
આપેલ છે કે $\lambda_0 = 6000 \times 10^{-10} \text{ m}$ અને $\mu_a = 1.0003$.
$L = \frac{6000 \times 10^{-10}}{1.0003 - 1} = \frac{6 \times 10^{-7}}{0.0003} = \frac{6 \times 10^{-7}}{3 \times 10^{-4}} = 2 \times 10^{-3} \text{ m} = 2 \text{ mm}$.

(C) ધારો કે ઉદગમો વચ્ચેનું અંતર $d = 10 \mu m$ છે. કેન્દ્ર $O$ થી દરેક ઉદગમનું અંતર $d/2 = 5 \mu m$ છે. વર્તુળની ત્રિજ્યા $R = 40 \mu m$ છે.
બિંદુ $B$ અને $D$ પર,પથ તફાવત $\Delta x = S_1P - S_2P = 0$ છે કારણ કે આ બિંદુઓ $S_1$ અને $S_2$ ને જોડતી રેખાના લંબદ્વિભાજક પર આવેલા છે.
કારણ કે $\Delta x = 0$,કળા તફાવત $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x = 0$ છે. તેથી,બિંદુ $B$ અને $D$ પ્રકાશિત છે.
બિંદુ $A$ અને $C$ પર,પથ તફાવત મહત્તમ છે. બિંદુ $A$ માટે,અંતર $S_1A = R - d/2 = 40 - 5 = 35 \mu m$ અને $S_2A = R + d/2 = 40 + 5 = 45 \mu m$ છે. પથ તફાવત $\Delta x_A = |S_2A - S_1A| = 10 \mu m$ છે.
આપેલ છે કે $\lambda = 4 \mu m$,તેથી તરંગલંબાઈના સંદર્ભમાં પથ તફાવત $\Delta x_A = 10/4 \lambda = 2.5 \lambda$ છે.
પથ તફાવત $\lambda/2$ નો એકી ગુણાંક (એટલે કે $5\lambda/2$) હોવાથી,વ્યતિકરણ વિનાશક છે,અને બિંદુ $A$ અને $C$ અપ્રકાશિત છે.

(B) ધારો કે બિંદુ $O$ થી પ્રથમ પ્રકાશિત શલાકાનું અંતર $y$ છે. બિંદુ $P$ (જ્યાં પ્રથમ પ્રકાશિત શલાકા રચાય છે) નું $S_2$ થી અંતર $\sqrt{D^2 + y^2}$ અને $S_1$ થી અંતર $\sqrt{(D + n \lambda)^2 + y^2}$ છે.
સંબંધિત વ્યતિકરણ (પ્રકાશિત શલાકા) માટે,પથ તફાવત $\Delta x = |S_1P - S_2P| = \lambda$.
તેથી,$\sqrt{(D + n \lambda)^2 + y^2} - \sqrt{D^2 + y^2} = \lambda$.
પદ ગોઠવતા,$\sqrt{(D + n \lambda)^2 + y^2} = \lambda + \sqrt{D^2 + y^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(D + n \lambda)^2 + y^2 = \lambda^2 + D^2 + y^2 + 2 \lambda \sqrt{D^2 + y^2}$.
$D^2 + 2Dn \lambda + n^2 \lambda^2 + y^2 = \lambda^2 + D^2 + y^2 + 2 \lambda \sqrt{D^2 + y^2}$.
$2Dn \lambda + n^2 \lambda^2 - \lambda^2 = 2 \lambda \sqrt{D^2 + y^2}$.
$\lambda$ વડે ભાગતા: $2Dn + n^2 \lambda - \lambda = 2 \sqrt{D^2 + y^2}$.
આ સમીકરણ ઉકેલતા $y = \sqrt{\frac{2 D(D+n \lambda)}{n}}$ મળે છે.

(C) ઉદગમો વચ્ચેનું અંતર $d = 10 \mu m$ છે અને તરંગલંબાઈ $\lambda = 4 \mu m$ છે.
$S_1$ અને $S_2$ ને જોડતી રેખાના લંબદ્વિભાજક પર આવેલા બિંદુઓ $B$ અને $D$ માટે,પથ તફાવત $\Delta p = S_1P - S_2P = 0$ થાય છે. ઉદગમો સમાન કળામાં હોવાથી,શૂન્ય પથ તફાવત સહાયક વ્યતિકરણ આપે છે,તેથી બિંદુઓ $B$ અને $D$ પ્રકાશિત છે.
ઉદગમોને જોડતી રેખા પર આવેલા બિંદુઓ $A$ અને $C$ માટે,પથ તફાવત એ ઉદગમો વચ્ચેના અંતર જેટલો થાય છે,$\Delta p = d = 10 \mu m$.
વિનાશક વ્યતિકરણ માટેની શરત $\Delta p = (n + 1/2)\lambda$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $10 = (n + 0.5) \times 4 \Rightarrow 2.5 = n + 0.5 \Rightarrow n = 2$.
અહીં $n$ પૂર્ણાંક હોવાથી,આ વિનાશક વ્યતિકરણ દર્શાવે છે,તેથી બિંદુઓ $A$ અને $C$ અપ્રકાશિત છે.

(B) આકૃતિ મુજબ,બિંદુ $P$ અને બિંદુ $Q$ સમાન કળામાં છે.
$\triangle POR$ માં,$\cos \theta = \frac{PR}{OP} = \frac{d}{OP}$,તેથી $OP = \frac{d}{\cos \theta} \quad \dots(i)$.
આકૃતિની ભૂમિતિ મુજબ,કિરણ $BP$ અને પરાવર્તિત કિરણ $OP$ વચ્ચેનો પથ તફાવત $\Delta = OP + OQ = OP(1 + \cos 2\theta) = 2d \cos \theta$ થાય છે.
સહાયક વ્યતિકરણ માટે,પરાવર્તનને કારણે થતા કળા તફાવતને ધ્યાનમાં લેતા,પથ તફાવત $\Delta = \frac{\lambda}{2}$ લેવામાં આવે છે.
તેથી,$2d \cos \theta = \frac{\lambda}{2}$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $\cos \theta = \frac{\lambda}{4d}$ મળે છે.

(D) આપેલ તીવ્રતાઓ $I_1 = I$ અને $I_2 = 2I$ છે.
પથ તફાવત $\Delta x = 12.5 \% \text{ of } \lambda = \frac{12.5}{100} \lambda = \frac{\lambda}{8}$ છે.
કળા તફાવત $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \Delta x = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{\lambda}{8} = \frac{\pi}{4}$ થાય.
પરિણામી તીવ્રતા $I_R$ માટેનું સૂત્ર $I_R = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $I_R = I + 2I + 2\sqrt{I \cdot 2I} \cos(\frac{\pi}{4})$.
$I_R = 3I + 2\sqrt{2I^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$I_R = 3I + 2I \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 3I + 2I = 5I$.

(C) આપેલ છે કે,બે વ્યતિકરણ પામતા તરંગોના કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર $4: 3$ છે.
ધારો કે બે તરંગોના કંપવિસ્તાર $A_1$ અને $A_2$ છે,તેથી $\frac{A_1}{A_2} = \frac{4}{3}$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે તરંગની તીવ્રતા $I$ એ તેના કંપવિસ્તારના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $I \propto A^2$.
મહત્તમ તીવ્રતા અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{A_1 + A_2}{A_1 - A_2} \right)^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કૌંસની અંદર અંશ અને છેદને $A_2$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{\frac{A_1}{A_2} + 1}{\frac{A_1}{A_2} - 1} \right)^2$ મળે છે.
$\frac{A_1}{A_2} = \frac{4}{3}$ કિંમત મૂકતા,$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{\frac{4}{3} + 1}{\frac{4}{3} - 1} \right)^2 = \left( \frac{\frac{7}{3}}{\frac{1}{3}} \right)^2 = (7)^2 = \frac{49}{1}$ મળે છે.
આમ,મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $49: 1$ છે.

(D) આપેલ છે કે મહત્તમ તીવ્રતા અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{36}{1}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $I_{\max} = (a_1 + a_2)^2$ અને $I_{\min} = (a_1 - a_2)^2$,જ્યાં $a_1$ અને $a_2$ એ બે તરંગોના કંપવિસ્તાર છે.
તેથી,$\frac{(a_1 + a_2)^2}{(a_1 - a_2)^2} = \frac{36}{1}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $\frac{a_1 + a_2}{a_1 - a_2} = \frac{6}{1}$ મળે છે.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,$a_1 + a_2 = 6(a_1 - a_2) = 6a_1 - 6a_2$.
પદોને ગોઠવતા,$5a_1 = 7a_2$.
આમ,કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર $\frac{a_1}{a_2} = \frac{7}{5}$ થાય છે.

(C) આપેલ છે કે બે સુસંબદ્ધ ઉદગમોની તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{9}{4}$ છે.
ધારો કે $I_1 = 9k$ અને $I_2 = 4k$,જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે.
વ્યતિકરણ ભાતમાં મહત્તમ તીવ્રતા અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left(\frac{\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2}}{\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2}}\right)^2$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left(\frac{\sqrt{9k} + \sqrt{4k}}{\sqrt{9k} - \sqrt{4k}}\right)^2$
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left(\frac{3\sqrt{k} + 2\sqrt{k}}{3\sqrt{k} - 2\sqrt{k}}\right)^2$
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left(\frac{5\sqrt{k}}{\sqrt{k}}\right)^2 = (5)^2 = 25$
આમ,ગુણોત્તર $25:1$ છે.

(C) આપેલ છે: બે સુસંબદ્ધ સમતલ તરંગો વચ્ચેનો કળા તફાવત $\phi = 60^{\circ}$ છે.
બે સુસંબદ્ધ તરંગોની પરિણામી તીવ્રતા $I_R$ નું સૂત્ર: $I_R = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ છે.
બંને તરંગોની તીવ્રતા સમાન હોવાથી,$I_1 = I_2 = I$ લેતા.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$I_R = I + I + 2\sqrt{I \cdot I} \cos 60^{\circ}$
$I_R = 2I + 2I \cos 60^{\circ}$
કારણ કે $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$,તેથી:
$I_R = 2I + 2I \left( \frac{1}{2} \right)$
$I_R = 2I + I = 3I$.
આમ,પરિણામી તીવ્રતા $3I$ મળે છે.

(B) ધારો કે દરેક તરંગની તીવ્રતા $I_0$ છે. $I_1$ અને $I_2$ તીવ્રતા ધરાવતા બે તરંગો માટે મહત્તમ તીવ્રતા $I_{max} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $I_1 = I_2 = I_0$,તેથી મહત્તમ તીવ્રતા $I = (\sqrt{I_0} + \sqrt{I_0})^2 = (2\sqrt{I_0})^2 = 4I_0$. આમ,$I_0 = I/4$.
હવે,એક તરંગની તીવ્રતા ચાર ગણી કરવામાં આવે છે,તેથી $I_1' = 4I_0 = 4(I/4) = I$ અને $I_2' = I_0 = I/4$.
નવી મહત્તમ તીવ્રતા $I_{max}' = (\sqrt{I_1'} + \sqrt{I_2'})^2 = (\sqrt{I} + \sqrt{I/4})^2 = (\sqrt{I} + \frac{\sqrt{I}}{2})^2 = (\frac{3\sqrt{I}}{2})^2 = \frac{9I}{4}$.

(C) આપેલ છે કે કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર,$\frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{2}$ છે.
ધારો કે $a_1 = 3k$ અને $a_2 = 2k$,જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે.
તીવ્રતા $I$ એ કંપવિસ્તારના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે,$I \propto a^2$.
મહત્તમ તીવ્રતા અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(a_1 + a_2)^2}{(a_1 - a_2)^2}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(3k + 2k)^2}{(3k - 2k)^2} = \frac{(5k)^2}{(k)^2} = \frac{25k^2}{k^2} = \frac{25}{1}$.
આમ,મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $25: 1$ છે.

(C) બે સુસંબદ્ધ ઉદગમોની તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{64}{1}$ આપેલ છે.
ધારો કે તીવ્રતા $I_1 = 64k$ અને $I_2 = 1k$ છે.
વ્યતિકરણ ભાતમાં મહત્તમ તીવ્રતા અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2}{(\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(\sqrt{64k} + \sqrt{1k})^2}{(\sqrt{64k} - \sqrt{1k})^2}$
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(8\sqrt{k} + 1\sqrt{k})^2}{(8\sqrt{k} - 1\sqrt{k})^2}$
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(9\sqrt{k})^2}{(7\sqrt{k})^2} = \frac{81k}{49k} = \frac{81}{49}$.

(C) વ્યતિકરણની ઘટના એવા બે તરંગો વચ્ચે થાય છે જેની આવૃત્તિ સમાન હોય અને કળા તફાવત અચળ હોય.
આપેલા તરંગોની આવૃત્તિઓની સરખામણી કરતા:
$(i)$ આવૃત્તિ $\omega$ છે.
(ii) આવૃત્તિ $2\omega$ છે.
(iii) આવૃત્તિ $\omega$ છે.
(iv) આવૃત્તિ $3\omega$ છે.
તરંગો $y_1$ અને $y_3$ બંનેની કોણીય આવૃત્તિ સમાન $\omega$ હોવાથી,તેમનું સંપાતીકરણ વ્યતિકરણ ભાત ઉત્પન્ન કરશે.

(A) આપેલ છે કે તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = n$,તેથી $I_1 = nI_2$.
$I_{\text{Max}} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2 = (\sqrt{nI_2} + \sqrt{I_2})^2 = (\sqrt{n} + 1)^2 I_2$.
$I_{\text{Min}} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2 = (\sqrt{nI_2} - \sqrt{I_2})^2 = (\sqrt{n} - 1)^2 I_2$.
હવે,ગુણોત્તર:
$\frac{I_{\text{Max}} - I_{\text{Min}}}{I_{\text{Max}} + I_{\text{Min}}} = \frac{(\sqrt{n} + 1)^2 I_2 - (\sqrt{n} - 1)^2 I_2}{(\sqrt{n} + 1)^2 I_2 + (\sqrt{n} - 1)^2 I_2} = \frac{(\sqrt{n} + 1)^2 - (\sqrt{n} - 1)^2}{(\sqrt{n} + 1)^2 + (\sqrt{n} - 1)^2}$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$= \frac{(n + 1 + 2\sqrt{n}) - (n + 1 - 2\sqrt{n})}{(n + 1 + 2\sqrt{n}) + (n + 1 - 2\sqrt{n})} = \frac{4\sqrt{n}}{2(n + 1)} = \frac{2\sqrt{n}}{n + 1}$.
ધારો કે $f(n) = \frac{2\sqrt{n}}{n + 1}$. મહત્તમ કિંમત મેળવવા માટે,જો $n=1$ લઈએ તો $f(1) = \frac{2(1)}{1+1} = 1$ મળે છે,જે આ પદાવલિ માટે મહત્તમ શક્ય કિંમત છે.

(D) બે સુસંબદ્ધ તરંગોના સંપાતીકરણ માટે મહત્તમ તીવ્રતા નીચે મુજબ મળે છે:
$I_{\max} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$
અહીં $I_1 = I$ અને $I_2 = 4I$ આપેલ છે:
$I_{\max} = (\sqrt{I} + \sqrt{4I})^2 = (\sqrt{I} + 2\sqrt{I})^2 = (3\sqrt{I})^2 = 9I$
બે સુસંબદ્ધ તરંગોના સંપાતીકરણ માટે ન્યૂનતમ તીવ્રતા નીચે મુજબ મળે છે:
$I_{\min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$
$I_{\min} = (\sqrt{I} - \sqrt{4I})^2 = (\sqrt{I} - 2\sqrt{I})^2 = (-\sqrt{I})^2 = I$
આમ,મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતા અનુક્રમે $9I$ અને $I$ છે.

(B) સહાયક વ્યતિકરણ માટે,બે તરંગો વચ્ચેનો પથ તફાવત $\Delta x$ એ તરંગલંબાઇનો પૂર્ણાંક ગુણાંક હોવો જોઈએ,એટલે કે $\Delta x = n\lambda$,જ્યાં $n = 0, 1, 2, \dots$.
ધારો કે બિંદુ $x$-અક્ષ પર $P(x, 0)$ છે.
$S_{1}(0,0)$ થી $P(x,0)$ નું અંતર $r_{1} = \sqrt{(x-0)^{2} + (0-0)^{2}} = x$ છે.
$S_{2}(0,3\lambda)$ થી $P(x,0)$ નું અંતર $r_{2} = \sqrt{(x-0)^{2} + (0-3\lambda)^{2}} = \sqrt{x^{2} + 9\lambda^{2}}$ છે.
પથ તફાવત $\Delta x = |r_{2} - r_{1}| = |\sqrt{x^{2} + 9\lambda^{2}} - x|$ છે.
વિકલ્પ $(B)$ $(4\lambda, 0)$ તપાસતા:
$r_{1} = 4\lambda$.
$r_{2} = \sqrt{(4\lambda)^{2} + (3\lambda)^{2}} = \sqrt{16\lambda^{2} + 9\lambda^{2}} = \sqrt{25\lambda^{2}} = 5\lambda$.
પથ તફાવત $\Delta x = |5\lambda - 4\lambda| = \lambda$.
કારણ કે $\Delta x = 1\lambda$,જે $\lambda$ નો પૂર્ણાંક ગુણાંક છે,તેથી $(4\lambda, 0)$ પર સહાયક વ્યતિકરણ થાય છે.

(B) આપેલ છે કે તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $I_1 / I_2 = 9 / 1$ છે.
તીવ્રતા $I \propto A^2$ હોવાથી,કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર $A_1 / A_2 = \sqrt{I_1 / I_2} = \sqrt{9 / 1} = 3 / 1$ થાય.
ધારો કે $A_1 = 3k$ અને $A_2 = k$.
મહત્તમ તીવ્રતા $I_{\max} = (A_1 + A_2)^2 = (3k + k)^2 = (4k)^2 = 16k^2$ દ્વારા મળે છે.
ન્યૂનતમ તીવ્રતા $I_{\min} = (A_1 - A_2)^2 = (3k - k)^2 = (2k)^2 = 4k^2$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $I_{\max} / I_{\min} = 16k^2 / 4k^2 = 4 / 1$ થાય.

(C) ધારો કે દરેક વ્યક્તિગત તરંગની તીવ્રતા $I_0$ છે.
જ્યારે સમાન આવૃત્તિ અને કંપવિસ્તાર ધરાવતા બે તરંગો સંપાત થાય છે,ત્યારે પરિણામી તીવ્રતા $I$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \delta$
તરંગો સમાન હોવાથી,$I_1 = I_2 = I_0$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$I = I_0 + I_0 + 2\sqrt{I_0 I_0} \cos \delta$
$I = 2I_0 + 2I_0 \cos \delta$
$I = 2I_0 (1 + \cos \delta)$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1 + \cos \delta = 2 \cos^2(\delta / 2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = 2I_0 (2 \cos^2(\delta / 2))$
$I = 4I_0 \cos^2(\delta / 2)$
તેથી,પરિણામી તીવ્રતા $\cos^2(\delta / 2)$ ના પ્રમાણમાં છે.

(A) બે સુસંબદ્ધ પ્રકાશ કિરણોના સંપાતીકરણથી મળતી પરિણામી તીવ્રતા $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ કિરણો વચ્ચેનો કળા તફાવત છે.
મહત્તમ તીવ્રતા માટે,$\cos \phi = 1$ (સહાયક વ્યતિકરણ):
$I_{\max} = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$
અહીં $I_1 = L$ અને $I_2 = \frac{L}{4}$ આપેલ છે:
$I_{\max} = (\sqrt{L} + \sqrt{\frac{L}{4}})^2 = (\sqrt{L} + \frac{\sqrt{L}}{2})^2 = (\frac{3\sqrt{L}}{2})^2 = \frac{9L}{4}$
ન્યૂનતમ તીવ્રતા માટે,$\cos \phi = -1$ (વિનાશક વ્યતિકરણ):
$I_{\min} = I_1 + I_2 - 2\sqrt{I_1 I_2} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$
$I_{\min} = (\sqrt{L} - \frac{\sqrt{L}}{2})^2 = (\frac{\sqrt{L}}{2})^2 = \frac{L}{4}$
આમ,મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતા અનુક્રમે $\frac{9L}{4}$ અને $\frac{L}{4}$ થશે.

(C) સમાન તીવ્રતા $I_0$ અને કળા તફાવત $\phi$ ધરાવતા બે તરંગો માટે પરિણામી તીવ્રતા $I_R$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$I_R = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$
અહીં $I_1 = I_2 = I_0$ હોવાથી,આપણે આ કિંમતો મૂકીએ:
$I_R = I_0 + I_0 + 2\sqrt{I_0 \cdot I_0} \cos \phi$
$I_R = 2I_0 + 2I_0 \cos \phi = 2I_0(1 + \cos \phi)$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1 + \cos \phi = 2 \cos^2(\frac{\phi}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I_R = 2I_0 \cdot 2 \cos^2(\frac{\phi}{2}) = 4I_0 \cos^2(\frac{\phi}{2})$
આમ,પરિણામી તીવ્રતા $I_R$ એ $\cos^2(\frac{\phi}{2})$ ના સમપ્રમાણમાં છે.

(C) કોઈપણ બિંદુએ તીવ્રતા $I$ એ $I = I_{max} \cos^2(\phi/2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ કળા તફાવત છે અને $\phi = (2\pi/\lambda) \Delta x$ છે.
બિંદુ $A$ માટે: $\Delta x_A = \lambda/3 \implies \phi_A = (2\pi/\lambda)(\lambda/3) = 2\pi/3$.
$I_A = I_{max} \cos^2(\phi_A/2) = I_{max} \cos^2(\pi/3) = I_{max} (1/2)^2 = I_{max}/4$.
બિંદુ $B$ માટે: $\Delta x_B = \lambda/6 \implies \phi_B = (2\pi/\lambda)(\lambda/6) = \pi/3$.
$I_B = I_{max} \cos^2(\phi_B/2) = I_{max} \cos^2(\pi/6) = I_{max} (\sqrt{3}/2)^2 = 3I_{max}/4$.
ગુણોત્તર $I_A / I_B = (I_{max}/4) / (3I_{max}/4) = 1/3$.