Polarisation of Light and Malus' Law Questions in Gujarati

(B) જ્યારે $I$ તીવ્રતાનો અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ પ્રથમ પોલરાઈઝર $A$ માંથી પસાર થાય છે,ત્યારે બહાર આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I_A = \frac{I}{2}$ થાય છે.
$A$ અને $B$ સમાંતર હોવાથી,$B$ પછીની તીવ્રતા પણ $\frac{I}{2}$ રહે છે.
જ્યારે પોલરાઈઝર $C$ ને $A$ ની સાપેક્ષ $\theta$ ખૂણે $A$ અને $B$ ની વચ્ચે મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે $C$ પછીની તીવ્રતા $I_C = I_A \cos^2 \theta = \frac{I}{2} \cos^2 \theta$ થાય છે.
$B$ એ $A$ ને સમાંતર હોવાથી,અંતિમ તીવ્રતા $I_B = I_A \cos^2 \theta \cos^2 \theta = \frac{I}{2} \cos^4 \theta$ મળે છે.
આપેલ છે કે $I_B = \frac{I}{8}$,તેથી $\frac{I}{2} \cos^4 \theta = \frac{I}{8}$.
$\cos^4 \theta = \frac{1}{4} \Rightarrow \cos^2 \theta = \frac{1}{2}$.
$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 45^{\circ}$.

(B) ધારો કે અધ્રુવીભૂત પ્રકાશની પ્રારંભિક તીવ્રતા $I_0$ છે.
પ્રથમ પોલરાઇઝર પછી તીવ્રતા $I_1 = \frac{I_0}{2}$ થાય છે.
પ્રથમ અને બીજા પોલરાઇઝર વચ્ચેનો ખૂણો $\theta_1 = 60^o - 30^o = 30^o$ છે.
મેલસના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,બીજા પોલરાઇઝર પછીની તીવ્રતા $I_2 = I_1 \cos^2(30^o) = \frac{I_0}{2} \times (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{I_0}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{3I_0}{8}$ થાય છે.
બીજા અને ત્રીજા પોલરાઇઝર વચ્ચેનો ખૂણો $\theta_2 = 30^o - 60^o = -30^o$ છે.
મેલસના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,ત્રીજા પોલરાઇઝર પછીની તીવ્રતા $I_3 = I_2 \cos^2(-30^o) = \frac{3I_0}{8} \times (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3I_0}{8} \times \frac{3}{4} = \frac{9I_0}{32}$ થાય છે.
આમ,પ્રસારિત થતી પ્રારંભિક તીવ્રતાનો અંશ $\frac{9}{32}$ છે.

(C) ધારો કે અધ્રુવીભૂત આપાત પ્રકાશની તીવ્રતા $I_0$ છે.
જ્યારે અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ પ્રથમ પોલેરોઇડમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે પારગમિત પ્રકાશની તીવ્રતા $I_1 = I_0 / 2$ થાય છે.
જ્યારે આ ધ્રુવીભૂત પ્રકાશ બીજા પોલેરોઇડમાંથી પસાર થાય છે જેની ધરી પ્રથમ પોલેરોઇડ સાથે $\theta = 30^{\circ}$ ના ખૂણે છે,ત્યારે નિર્ગમન પ્રકાશની તીવ્રતા $I'$ માલસના નિયમ મુજબ મળે છે: $I' = I_1 \cos^2 \theta$.
કિંમતો મૂકતા: $I' = (I_0 / 2) \cos^2(30^{\circ}) = (I_0 / 2) (\sqrt{3} / 2)^2 = (I_0 / 2) (3 / 4) = 3 I_0 / 8$.
અધ્રુવીભૂત આપાત પ્રકાશ $(I_0)$ અને ધ્રુવીભૂત નિર્ગમન પ્રકાશ $(I')$ ની તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $I_0 / I' = I_0 / (3 I_0 / 8) = 8 / 3$ થાય છે.

(A) ધારો કે $I_P$ એ સમતલ ધ્રુવીભૂત પ્રકાશની તીવ્રતા છે અને $I_0$ એ અધ્રુવીભૂત પ્રકાશની તીવ્રતા છે.
જ્યારે પ્રકાશ પોલરાઇઝરમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે અધ્રુવીભૂત ઘટકની પારગમિત તીવ્રતા $I_0/2$ હોય છે.
ધ્રુવીભૂત ઘટકની પારગમિત તીવ્રતા $I_P \cos^2 \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ ધ્રુવીભવનની દિશા અને પોલરાઇઝરની ટ્રાન્સમિશન ધરી વચ્ચેનો ખૂણો છે.
કુલ પારગમિત તીવ્રતા $I(\theta) = I_0/2 + I_P \cos^2 \theta$ છે.
મહત્તમ તીવ્રતા $\theta = 0$ પર મળે છે,તેથી $I_{max} = I_0/2 + I_P$.
ન્યૂનતમ તીવ્રતા $\theta = 90^\circ$ પર મળે છે,તેથી $I_{min} = I_0/2$.
આપેલ છે કે તીવ્રતા $4$ ના ગુણાંકમાં બદલાય છે,તેથી $I_{max} / I_{min} = 4$.
સમીકરણો મૂકતા: $(I_0/2 + I_P) / (I_0/2) = 4$.
$1 + 2(I_P / I_0) = 4$.
$2(I_P / I_0) = 3$.
$I_P / I_0 = 3/2$.

(A) $1$. જ્યારે $I_{max}$ તીવ્રતાનો અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ પ્રથમ પોલરાઇઝરમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે બહાર આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I_1 = \frac{I_{max}}{2}$ થાય છે.
$2$. બીજો પોલરાઇઝર $\omega$ કોણીય ઝડપથી ફરે છે,તેથી પ્રથમ અને બીજા પોલરાઇઝરની ટ્રાન્સમિશન અક્ષો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = \omega t$ છે. મેલસના નિયમ મુજબ,બીજા પોલરાઇઝરમાંથી બહાર આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I_2 = I_1 \cos^2 \theta = \frac{I_{max}}{2} \cos^2 \omega t$ થાય.
$3$. ત્રીજો પોલરાઇઝર પ્રથમ પોલરાઇઝરની સાપેક્ષ $90^\circ$ ના ખૂણે સ્થિર છે. તેથી,બીજા અને ત્રીજા પોલરાઇઝરની ટ્રાન્સમિશન અક્ષો વચ્ચેનો ખૂણો $(90^\circ - \theta) = (90^\circ - \omega t)$ થાય.
$4$. ત્રીજા પોલરાઇઝર માટે ફરીથી મેલસનો નિયમ લાગુ પાડતા: $I = I_2 \cos^2(90^\circ - \omega t) = I_2 \sin^2 \omega t$.
$5$. $I_2$ ની કિંમત મૂકતા: $I = (\frac{I_{max}}{2} \cos^2 \omega t) \sin^2 \omega t = \frac{I_{max}}{2} (\sin \omega t \cos \omega t)^2 = \frac{I_{max}}{2} (\frac{\sin 2\omega t}{2})^2 = \frac{I_{max}}{8} \sin^2 2\omega t$.
$6$. નિત્યસમ $\sin^2 \phi = \frac{1 - \cos 2\phi}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે: $I = \frac{I_{max}}{8} \cdot \frac{1 - \cos 4\omega t}{2} = \frac{I_{max}}{16} (1 - \cos 4\omega t)$.

(A) ધારો કે $I_P$ એ સમતલ ધ્રુવીભૂત પ્રકાશની તીવ્રતા છે અને $I_0$ એ અધ્રુવીભૂત પ્રકાશની તીવ્રતા છે.
જ્યારે પોલેરાઇઝિંગ શીટને ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રસારિત તીવ્રતા $I = I_P \cos^2 \theta + \frac{I_0}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ આપાત ધ્રુવીભૂત પ્રકાશની ધ્રુવીકરણ દિશા અને શીટની ટ્રાન્સમિશન ધરી વચ્ચેનો ખૂણો છે.
મહત્તમ તીવ્રતા $\theta = 0^{\circ}$ પર મળે છે,તેથી $I_{\max} = I_P + \frac{I_0}{2}$.
ન્યૂનતમ તીવ્રતા $\theta = 90^{\circ}$ પર મળે છે,તેથી $I_{\min} = \frac{I_0}{2}$.
આપેલ છે કે ગુણોત્તર $I_{\max} / I_{\min} = 4$,તેથી $\frac{I_P + I_0/2}{I_0/2} = 4$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{I_P}{I_0/2} + 1 = 4$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{2I_P}{I_0} = 3$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{I_P}{I_0} = \frac{3}{2}$ થાય.

(B) પોલરાઇઝિંગ શીટ (અથવા પોલરાઇઝર) માં ચોક્કસ દિશામાં ગોઠવાયેલા લાંબી શૃંખલાવાળા અણુઓ હોય છે, જેને ટ્રાન્સમિશન એક્સિસ અથવા પોલરાઇઝિંગ દિશા કહેવામાં આવે છે.
જ્યારે અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ, જેના વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશો પ્રસરણની દિશાને લંબ બધી દિશાઓમાં દોલન કરે છે, તે પોલરાઇઝરમાંથી પસાર થાય છે, ત્યારે ટ્રાન્સમિશન એક્સિસને સમાંતર વિદ્યુતક્ષેત્રનો ઘટક પારગમિત થાય છે.
ટ્રાન્સમિશન એક્સિસને લંબ વિદ્યુતક્ષેત્રનો ઘટક લાંબી શૃંખલાવાળા અણુઓમાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોન સાથે આંતરક્રિયા કરે છે અને તે પદાર્થ દ્વારા શોષાય છે.
તેથી, પોલરાઇઝરમાંથી બહાર આવતો પ્રકાશ ટ્રાન્સમિશન એક્સિસની દિશામાં રેખીય રીતે ધ્રુવીભૂત હોય છે.
આમ, સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) ધારો કે આપાત અધ્રુવીભૂત પ્રકાશની તીવ્રતા $I_0$ છે.
જ્યારે અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ પ્રથમ પોલેરોઇડ $A$ માંથી પસાર થાય છે,ત્યારે પારગમિત પ્રકાશની તીવ્રતા $I_A = \frac{I_0}{2}$ થાય છે.
પોલેરોઇડ $C$ ને $A$ ની સાપેક્ષે $\theta_1 = 30^o$ ના ખૂણે મૂકવામાં આવે છે. મેલસના નિયમ મુજબ,$C$ માંથી બહાર આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I_C = I_A \cos^2(30^o) = \frac{I_0}{2} \times (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{I_0}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{3I_0}{8}$ છે.
પોલેરોઇડ $B$ ને $A$ ને લંબરૂપે મૂકવામાં આવે છે,તેથી $C$ અને $B$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta_2 = 90^o - 30^o = 60^o$ છે.
$B$ માંથી બહાર આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I_B = I_C \cos^2(60^o) = \frac{3I_0}{8} \times (\frac{1}{2})^2 = \frac{3I_0}{8} \times \frac{1}{4} = \frac{3I_0}{32}$ છે.
$B$ માંથી બહાર આવતી તીવ્રતાની ટકાવારી $\frac{I_B}{I_0} \times 100 = \frac{3}{32} \times 100 = 9.375 \% \approx 9.4 \%$ છે.

(C) $I$ તીવ્રતા ધરાવતા અધ્રુવીભૂત પ્રકાશમાં દરેક $I/2$ તીવ્રતાના બે લંબ ઘટકો હોય છે.
જ્યારે આ પ્રકાશ બિંદુ $A$ પર વિખેરિત થાય છે,ત્યારે વિખેરણના સમતલને લંબ રૂપે દોલન કરતો ઘટક તેની તીવ્રતા $I/2$ જાળવી રાખે છે.
વિખેરણના સમતલમાં દોલન કરતો ઘટક વિખેરણની ભૂમિતિને કારણે $\cos^2 \theta$ ના ગુણાંક દ્વારા ઘટે છે,જેની તીવ્રતા $(I/2) \cos^2 \theta$ થાય છે.
આપેલ આકૃતિ અને ઉકેલ મુજબ,અવલોકનકાર દ્વારા અનુભવાતી કુલ તીવ્રતા એ વિખેરણ સમતલને લંબ ઘટક $(I/2)$ અને વિખેરણ સમતલમાં રહેલા ઘટકનો સરવાળો છે,જે $\frac{I}{2} + \frac{I}{2} \sin^2 \theta$ થાય છે.

(D) જ્યારે $I_0$ તીવ્રતાનો અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ પ્રથમ પોલરાઇઝરમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે પ્રસારિત પ્રકાશની તીવ્રતા $I_1 = \frac{I_0}{2}$ થાય છે.
મેલસના નિયમ મુજબ,જ્યારે આ પ્રકાશ બીજા પોલરાઇઝરમાંથી પસાર થાય છે જેની પાસ એક્સિસ પ્રથમ સાથે $\phi$ ખૂણે છે,ત્યારે અંતિમ તીવ્રતા $I_2 = I_1 \cos^2 \phi$ દ્વારા મળે છે.
આપણને આપેલ છે કે અંતિમ તીવ્રતા $I_2 = \frac{I_0}{4}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{I_0}{4} = \frac{I_0}{2} \cos^2 \phi$.
$\Rightarrow \cos^2 \phi = \frac{1}{2}$.
$\Rightarrow \cos \phi = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$\phi = 45^{\circ}$.

(B) ધારો કે અધ્રુવીભૂત પ્રકાશની તીવ્રતા $I_0$ છે. પ્રથમ પોલરાઇઝરમાંથી પસાર થયા પછી,પારગમિત પ્રકાશની તીવ્રતા $I_1 = \frac{I_0}{2}$ થાય છે.
આ $I_1$ એ પ્રથમ પારગમિત કિરણપુંજની મહત્તમ તીવ્રતા છે.
મેલસના નિયમ મુજબ,બીજા પોલરાઇઝરમાંથી પારગમિત પ્રકાશની તીવ્રતા $I_2 = I_1 \cos^2 \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ બે શીટ્સની લાક્ષણિક દિશાઓ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપણને આપેલ છે કે $I_2 = \frac{1}{3} I_1$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{1}{3} I_1 = I_1 \cos^2 \theta$.
$\cos^2 \theta = \frac{1}{3}$.
$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$.

(B) જ્યારે $I$ તીવ્રતા ધરાવતો અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ પોલરાઈઝરમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે બહાર આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I' = \frac{I}{2}$ થાય છે.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની તીવ્રતા $I'$ અને વિદ્યુતક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર $E_0$ વચ્ચેનો સંબંધ $I' = \frac{1}{2} c \epsilon_0 E_0^2$ છે.
સૂત્રમાં $I' = \frac{I}{2}$ મૂકતા:
$\frac{I}{2} = \frac{1}{2} c \epsilon_0 E_0^2$
$E_0$ માટે ઉકેલતા:
$I = c \epsilon_0 E_0^2$
$E_0^2 = \frac{I}{c \epsilon_0}$
$E_0 = \sqrt{\frac{I}{c \epsilon_0}}$

(D) કેલ્સાઈટ એ દ્વિ-વક્રીભવનકારક (birefringent) સ્ફટિક છે. જ્યારે ટપકામાંથી આવતો પ્રકાશ સ્ફટિકમાં પ્રવેશે છે,ત્યારે તે બે વક્રીભૂત કિરણોમાં વિભાજિત થાય છે: સામાન્ય કિરણ ($O$-ray) અને અસામાન્ય કિરણ ($E$-ray). જેમ સ્ફટિકને ફેરવવામાં આવે છે,તેમ $O$-ray સ્થિર રહે છે જ્યારે $E$-ray તેની આસપાસ ફરે છે. તેથી,એક ટપકું સ્થિર દેખાશે અને બીજું ટપકું તેની આસપાસ ફરતું દેખાશે.

(C) $1$. સૂર્યપ્રકાશ વાતાવરણીય કણો દ્વારા પ્રકીર્ણન પામે છે (રેલે પ્રકીર્ણન). આ પ્રકીર્ણન પામેલો પ્રકાશ આંશિક રીતે ધ્રુવીભૂત હોય છે.
$2$. વાદળી આકાશમાંથી આવતો પ્રકાશ આંશિક રીતે ધ્રુવીભૂત હોવાથી,જ્યારે તેને કેલ્સાઈટ સ્ફટિક (જે પોલરાઈઝર/એનાલાઈઝર તરીકે કામ કરે છે) દ્વારા જોવામાં આવે છે,ત્યારે સ્ફટિકને ફેરવવાથી માલસના નિયમ મુજબ પ્રસારિત પ્રકાશની તીવ્રતા બદલાય છે.
$3$. વિધાન-$I$ સાચું છે કારણ કે આકાશનો પ્રકાશ ધ્રુવીભૂત હોય છે.
$4$. વિધાન-$II$ સાચું છે કારણ કે આકાશના પ્રકાશનું ધ્રુવીભવન ખરેખર પ્રકીર્ણનને કારણે થાય છે,અને પ્રકીર્ણન વાદળી પ્રકાશ (ટૂંકી તરંગલંબાઇ) માટે સૌથી વધુ અસરકારક છે.
$5$. વિધાન-$II$ ભૌતિક પદ્ધતિ (પ્રકીર્ણન) પૂરી પાડે છે જે સમજાવે છે કે પ્રકાશ શા માટે ધ્રુવીભૂત છે,જે વિધાન-$I$ માં અવલોકનનું કારણ છે.

(C) મેલસના નિયમ (Malus's law) મુજબ,પોલરાઈઝરમાંથી પસાર થતા ધ્રુવીભૂત પ્રકાશની તીવ્રતા નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$I = I_0 \cos^2 \theta$
જ્યાં $I_0$ એ આપાત ધ્રુવીભૂત પ્રકાશની તીવ્રતા છે,અને $\theta$ એ પોલરાઈઝરની પાસ એક્સિસ અને આપાત પ્રકાશના ધ્રુવીભવનના સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ છે:
$I_0 = I_0$
$\theta = 60^o$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$I = I_0 \cos^2(60^o)$
કારણ કે $\cos(60^o) = \frac{1}{2}$,તેથી:
$I = I_0 \left(\frac{1}{2}\right)^2$
$I = I_0 \left(\frac{1}{4}\right)$
$I = \frac{I_0}{4}$
તેથી,બહાર આવતા ધ્રુવીભૂત પ્રકાશની તીવ્રતા $\frac{I_0}{4}$ છે.

(B) ધ્રુવીભવનનું સમતલ એવું સમતલ છે જેમાં કોઈ કંપન હોતું નથી.
જ્યારે પ્રકાશના પ્રસરણની દિશા અને વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશા ધરાવતા સમતલને કંપનનું સમતલ કહેવામાં આવે છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ હંમેશા પ્રસરણની દિશાને લંબ હોય છે,અને ધ્રુવીભવનનું સમતલ કંપનના સમતલને લંબ હોય છે,તેથી કંપનની દિશા અને ધ્રુવીભવનના સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ હોય છે.

(C) જ્યારે $I_0$ તીવ્રતા ધરાવતો અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ પોલરાઈઝરમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે બહાર આવતો પ્રકાશ રેખીય ધ્રુવીભૂત બને છે.
માલસના નિયમ અને પોલરાઈઝરના ગુણધર્મો મુજબ,પારગમિત પ્રકાશની તીવ્રતા આપાત અધ્રુવીભૂત પ્રકાશની તીવ્રતા કરતા બરાબર અડધી હોય છે.
તેથી,પારગમિત તીવ્રતા $I = \frac{I_0}{2}$ થાય.
પારગમિત તીવ્રતાની ટકાવારી શોધવા માટે: $\text{Percentage} = \frac{I}{I_0} \times 100\% = \frac{I_0 / 2}{I_0} \times 100\% = 50\%$.

(D) જ્યારે $I_0$ તીવ્રતાનો અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ પ્રથમ પોલરાઇઝરમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે બહાર આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I_1 = \frac{I_0}{2}$ થાય છે.
આ પ્રકાશ હવે સમતલ ધ્રુવીભૂત છે.
જ્યારે આ ધ્રુવીભૂત પ્રકાશ બીજા પોલરાઇઝરમાંથી પસાર થાય છે,જેની ટ્રાન્સમિશન અક્ષ પ્રથમ સાથે $\theta = 60^o$ નો ખૂણો બનાવે છે,ત્યારે બહાર આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I_2$ માલસના નિયમ દ્વારા મળે છે:
$I_2 = I_1 \cos^2 \theta$
કિંમતો મૂકતા:
$I_2 = \left( \frac{I_0}{2} \right) \cos^2(60^o)$
કારણ કે $\cos(60^o) = \frac{1}{2}$,તેથી $\cos^2(60^o) = \frac{1}{4}$ થાય.
તેથી,$I_2 = \left( \frac{I_0}{2} \right) \times \left( \frac{1}{4} \right) = \frac{I_0}{8}$.

(C) ધ્રુવીભવન એ એવી ઘટના છે જે ફક્ત લંબગત તરંગોમાં જ જોવા મળે છે. લંબગત તરંગોમાં,માધ્યમના કણોના દોલનો (અથવા વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોના કિસ્સામાં વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના સદિશો) તરંગના પ્રસરણની દિશાને લંબ હોય છે. પ્રકાશના તરંગો વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો હોવાથી અને લંબગત પ્રકૃતિ ધરાવતા હોવાથી,તેમનું ધ્રુવીભવન થઈ શકે છે.

(A) ધારો કે ધ્રુવીભવનની દિશા અને $x-$અક્ષ વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ છે.
માલસના નિયમ મુજબ,પારગમિત તીવ્રતા $I = I_0 \cos^2(\alpha - \theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I_0$ એ આપાત તીવ્રતા છે.
$\theta$ ના વિવિધ મૂલ્યો પર તીવ્રતા સમાન રહેવા માટે,$\cos^2(\alpha - \theta)$ ના મૂલ્યો સમાન હોવા જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $(\alpha - \theta) = \pm \phi$ અથવા $(\alpha - \theta) = 180^o \pm \phi$.
આપેલ છે $\theta_1 = 8^o, \theta_2 = 38^o, \theta_3 = 188^o, \theta_4 = 218^o$.
આ ખૂણાઓની સરેરાશ $\alpha = \frac{8^o + 38^o + 188^o + 218^o}{4} = \frac{452^o}{4} = 113^o$ છે.
જો કે,સમપ્રમાણતા તપાસતા: $(\alpha - 8^o) = -(\alpha - 38^o) \implies 2\alpha = 46^o \implies \alpha = 23^o$ અથવા $23^o + 180^o = 203^o$.
આમ,ખૂણો $203^o$ છે.

(A) જ્યારે $I$ તીવ્રતાનો અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ પ્રથમ પોલરાઇઝર $A$ માંથી પસાર થાય છે,ત્યારે તીવ્રતા $I_A = I/2$ થાય છે.
$B$ પછી બહાર આવતી તીવ્રતા $I/2$ હોવાથી,પોલરાઇઝર $A$ અને $B$ સમાંતર હોવા જોઈએ (તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $0^\circ$ છે).
જ્યારે ત્રીજું પોલરાઇઝર $C$ ને $A$ અને $B$ ની વચ્ચે $A$ સાથે $\theta$ ખૂણે મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે $C$ અને $B$ વચ્ચેનો ખૂણો પણ $\theta$ થાય છે.
મેલસના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $I_{final} = I_A \cos^2 \theta \cos^2 \theta = (I/2) \cos^4 \theta$.
આપેલ છે કે $I_{final} = I/3$,તેથી $(I/2) \cos^4 \theta = I/3$.
$\cos^4 \theta = 2/3$.
તેથી,$\cos \theta = (2/3)^{1/4}$.

(A) મેલસના નિયમ મુજબ,પ્રસારિત પ્રકાશની તીવ્રતા $I = I_0 \cos^2 \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I_0$ એ મહત્તમ તીવ્રતા છે અને $\theta$ એ બે પોલેરોઇડની પોલેરાઇઝિંગ દિશાઓ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપણને આપેલ છે કે તીવ્રતા અડધી થાય છે,તેથી $I = \frac{I_0}{2}$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $\frac{I_0}{2} = I_0 \cos^2 \theta$.
$\cos^2 \theta = \frac{1}{2} \implies \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આનાથી $\theta = 45^o$ મળે છે.
શરૂઆતમાં પોલેરોઇડ સમાંતર હોવાથી $(\theta = 0^o)$,પોલેરોઇડને $45^o$ ના ખૂણે ફેરવવો પડે. આપેલા વિકલ્પો મુજબ સાચો જવાબ $135^o$ છે,જે $180^o - 45^o$ ને અનુરૂપ છે.

(A) જ્યારે $I_0$ તીવ્રતાનો અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ પ્રથમ પોલરાઇઝર $P_1$ માંથી પસાર થાય છે,ત્યારે પ્રસારિત તીવ્રતા $I_1 = I_0/2$ થાય છે.
$P_3$ ની પાસ એક્સિસ $P_1$ ની સાપેક્ષમાં ક્રોસ થયેલી છે,જેનો અર્થ છે કે તેમની એક્સિસ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે.
$P_2$ ની પાસ એક્સિસ $P_3$ ની પાસ એક્સિસ સાથે $60^{\circ}$ ના ખૂણે નમેલી છે. તેથી,$P_2$ અને $P_1$ ની પાસ એક્સિસ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ છે.
મેલસના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$P_2$ માંથી પ્રસારિત તીવ્રતા $I_2 = I_1 \cos^2(30^{\circ}) = (I_0/2) \times (3/4) = 3I_0/8$ મળે છે.
$P_3$ અને $P_2$ ની પાસ એક્સિસ વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે.
ફરીથી મેલસના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$P_3$ માંથી પ્રસારિત અંતિમ તીવ્રતા $I = I_2 \cos^2(60^{\circ}) = (3I_0/8) \times (1/4) = 3I_0/32$ મળે છે.
આમ,ગુણોત્તર $(I_0/I) = 32/3 \approx 10.67$ થાય છે.

(A) ધારો કે આપાત અધ્રુવીભૂત પ્રકાશની તીવ્રતા $I_{0}$ છે.
જ્યારે અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ પ્રથમ પોલેરોઇડમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે પારગમિત પ્રકાશની તીવ્રતા $I_{1} = \frac{I_{0}}{2}$ થાય છે.
હવે,આ ધ્રુવીભૂત પ્રકાશ બીજા પોલેરોઇડમાંથી પસાર થાય છે જેની ટ્રાન્સમિશન ધરી પ્રથમ પોલેરોઇડ સાથે $\theta = 30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
મેલસના નિયમ મુજબ,બીજા પોલેરોઇડમાંથી પારગમિત પ્રકાશની તીવ્રતા $I_{R} = I_{1} \cos^{2} \theta$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $I_{R} = \frac{I_{0}}{2} \cos^{2} 30^{\circ}$.
કારણ કે $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી $\cos^{2} 30^{\circ} = \frac{3}{4}$ થાય.
તેથી,$I_{R} = \frac{I_{0}}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{8} I_{0}$.
પારગમિત થયેલા આપાત પ્રકાશનો અંશ $\frac{I_{R}}{I_{0}} = \frac{3}{8}$ છે.
આને ટકાવારીમાં દર્શાવવા માટે,$\frac{3}{8} \times 100 = 37.5 \%$.

(D) ધ્રુવીભવનની ઘટના એ વાતની પુષ્ટિ કરે છે કે પ્રકાશ એક લંબગત તરંગ છે.
લંબગત તરંગમાં,કણો (અથવા ક્ષેત્રો) ના દોલનો તરંગના પ્રસરણની દિશાને લંબ રૂપે થાય છે.
ધ્રુવીભવનમાં પ્રકાશના વિદ્યુત ક્ષેત્ર સદિશના દોલનોને એક જ સમતલમાં મર્યાદિત કરવામાં આવે છે.
કારણ કે સંગત તરંગો (જેમ કે ધ્વનિ તરંગો) નું ધ્રુવીભવન થઈ શકતું નથી,તેથી પ્રકાશનું ધ્રુવીભવન થઈ શકે છે તે હકીકત એ સાબિત કરે છે કે પ્રકાશ એક લંબગત તરંગ છે.

(C) મેલસના નિયમ મુજબ,એનાલાઈઝરમાંથી પસાર થતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I = I_0 \cos^2 \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I_0$ એ એનાલાઈઝર પર આપાત થતા પોલરાઈઝ્ડ પ્રકાશની તીવ્રતા છે અને $\theta$ એ પોલરાઈઝર અને એનાલાઈઝરની ટ્રાન્સમિશન અક્ષો વચ્ચેનો ખૂણો છે.
અહીં $\theta = 45^o$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં $\theta$ ની કિંમત મૂકતા:
$I = I_0 \cos^2(45^o)$
$I = I_0 \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2$
$I = I_0 \left(\frac{1}{2}\right) = 0.5 I_0$.
એનાલાઈઝરમાંથી પસાર થતા પ્રકાશની ટકાવારી શોધવા માટે,આપણે $(I / I_0) \times 100 = 0.5 \times 100 = 50\%$ ગણીએ છીએ.

(B) મેલસના નિયમ મુજબ,પોલેરાઇઝરમાંથી પસાર થતા પ્રકાશની તીવ્રતા નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$I = I_0 \cos^2 \theta$
જ્યાં $I_0$ એ આપાત રેખીય ધ્રુવીભૂત પ્રકાશની તીવ્રતા છે,$\theta$ એ પોલેરાઇઝરની ટ્રાન્સમિશન ધરી અને આપાત પ્રકાશના ધ્રુવીભવનના સમતલ વચ્ચેનો ખૂણ છે,અને $I$ એ પસાર થતી તીવ્રતા છે.
આપેલ છે કે $\theta = 45^{\circ}$:
$I = I_0 \cos^2(45^{\circ})$
કારણ કે $\cos(45^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી:
$I = I_0 \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2$
$I = I_0 \left(\frac{1}{2}\right)$
$I = \frac{I_0}{2}$

(B) મેલસના નિયમ મુજબ,પોલેરોઇડમાંથી પસાર થતા પોલેરાઇઝ્ડ પ્રકાશની તીવ્રતા $I = I_0 \cos^2 \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I_0$ એ આપાત અધ્રુવીભૂત પ્રકાશની તીવ્રતા છે અને $\theta$ એ પોલેરોઇડની ટ્રાન્સમિશન ધરી અને પોલેરાઇઝેશનના સમતલ વચ્ચેનો ખૂણે છે.
જો કે,જ્યારે અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ એક પોલેરોઇડ પર આપાત થાય છે,ત્યારે પોલેરોઇડના અભિવિન્યાસ ખૂણા $\theta$ ને ધ્યાનમાં લીધા વિના,તેમાંથી પસાર થતા પ્રકાશની તીવ્રતા હંમેશા $I = I_0 / 2$ હોય છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $I = I_0 / 2$ મળે છે.

(B) જ્યારે $I_0$ તીવ્રતા ધરાવતો અધ્રુવીભૂત પ્રકાશનો કિરણપુંજ પોલરોઇડમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે બહાર આવતા સમતલ ધ્રુવીભૂત પ્રકાશની તીવ્રતા $I = I_0 / 2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં આપેલી પ્રારંભિક તીવ્રતા $I_0 = 2a^2$ છે.
તેથી,બહાર આવતા સમતલ ધ્રુવીભૂત પ્રકાશની તીવ્રતા $I = (2a^2) / 2 = a^2$ થશે.

(B) જ્યારે બે પોલેરોઇડ એકબીજાને લંબ હોય,ત્યારે તેમની ટ્રાન્સમિશન ધરીઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 90^{\circ}$ હોય છે.
જ્યારે એક પોલેરોઇડને $45^{\circ}$ ના ખૂણે ફેરવવામાં આવે,ત્યારે ટ્રાન્સમિશન ધરીઓ વચ્ચેનો નવો ખૂણો $\theta' = 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}$ થાય છે.
મેલસના નિયમ મુજબ,બીજા પોલેરોઇડમાંથી પસાર થતી પ્રકાશની તીવ્રતા $I = I_{max} \cos^2(\theta')$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I_{max}$ એ પ્રથમ પોલેરોઇડમાંથી બહાર આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા છે.
પ્રથમ પોલેરોઇડ પર $I_0$ તીવ્રતાનો અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ આપાત થતો હોવાથી,પ્રથમ પોલેરોઇડમાંથી બહાર આવતી તીવ્રતા $I_{max} = \frac{I_0}{2}$ થાય છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $I = \left(\frac{I_0}{2}\right) \cos^2(45^{\circ}) = \frac{I_0}{2} \times \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{I_0}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{I_0}{4}$.
તેથી,પસાર થતા આપાત પ્રકાશની ટકાવારી $\frac{I}{I_0} \times 100 = \frac{1}{4} \times 100 = 25\%$ છે.

(D) મેલસના નિયમ મુજબ,ટ્રાન્સમિટેડ પ્રકાશની તીવ્રતા $I$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$I = I_0 \cos^2 \theta$
જ્યાં:
$I_0$ એ એનાલાઈઝર પર આપાત થતા પ્લેન-પોલરાઈઝ્ડ પ્રકાશની તીવ્રતા છે.
$\theta$ એ પોલરાઈઝર અને એનાલાઈઝરની ટ્રાન્સમિશન અક્ષો વચ્ચેનો ખૂણો છે.
વર્તણૂકનું વિશ્લેષણ કરતા:
$1$. જ્યારે $\theta = 0^{\circ}$ હોય,ત્યારે $\cos^2(0^{\circ}) = 1$,તેથી $I = I_0$.
$2$. જ્યારે $\theta = 90^{\circ}$ હોય,ત્યારે $\cos^2(90^{\circ}) = 0$,તેથી $I = 0$.
$3$. જ્યારે $\theta = 180^{\circ}$ હોય,ત્યારે $\cos^2(180^{\circ}) = 1$,તેથી $I = I_0$.
આ સામયિક ફેરફારને દર્શાવતો આલેખ,જે $\theta = 0^{\circ}$ માટે $I_0$ થી શરૂ થાય છે,$\theta = 90^{\circ}$ પર $0$ સુધી પહોંચે છે,અને $\theta = 180^{\circ}$ પર પાછો $I_0$ થાય છે,તે વિકલ્પ $D$ માં દર્શાવેલ વક્ર દ્વારા રજૂ થાય છે.

(A) વર્તુળાકાર ધ્રુવીભૂત પ્રકાશમાં, વિદ્યુત ક્ષેત્ર સદિશ પ્રસરણની દિશાને લંબ સમતલમાં ફરે છે, જ્યારે તેનું મૂલ્ય અચળ રહે છે. તેથી, વિદ્યુત ક્ષેત્ર સદિશના મૂલ્ય $|\vec{E}|$ વિરુદ્ધ સમય $t$ નો આલેખ એક આડી સીધી રેખા છે, જે દર્શાવે છે કે મૂલ્ય સમય સાથે બદલાતું નથી. આ વિકલ્પ $A$ માં આપેલી આકૃતિને અનુરૂપ છે.

(B) અધ્રુવીભૂત પ્રકાશમાં વિદ્યુતક્ષેત્રના સદિશો પ્રસરણની દિશાને લંબ બધી જ શક્ય દિશાઓમાં દોલનો કરે છે.
જ્યારે $I_0$ તીવ્રતા ધરાવતો અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ પોલેરોઇડમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે પોલેરોઇડ માત્ર તે જ વિદ્યુતક્ષેત્રના ઘટકોને પસાર થવા દે છે જે તેની પારગમન અક્ષને સમાંતર હોય છે.
$0$ થી $2\pi$ સુધીના તમામ ખૂણાઓ પર $\cos^2 \theta$ નું સરેરાશ મૂલ્ય $\frac{1}{2}$ થાય છે.
તેથી,પારગમિત પ્રકાશની તીવ્રતા $I = \frac{I_0}{2}$ મળે છે.
પારગમિત પ્રકાશની તીવ્રતા અને પ્રારંભિક તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I}{I_0} = \frac{1}{2}$ થાય છે.

(A) ધારો કે $I_0$ એ અધ્રુવીભૂત પ્રકાશની પ્રારંભિક તીવ્રતા છે.
પોલરાઇઝરમાંથી પસાર થયા પછી,તીવ્રતા $I_p = \frac{I_0}{2}$ થાય છે.
મેલસના નિયમ મુજબ,એનાલાઇઝરમાંથી બહાર આવતી તીવ્રતા $I = I_p \cos^2 \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ પોલરાઇઝર અને એનાલાઇઝરની ટ્રાન્સમિશન અક્ષો વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ છે કે $I = \frac{I_0}{10}$,તેથી $\frac{I_0}{10} = \frac{I_0}{2} \cos^2 \theta$.
$\cos^2 \theta = \frac{1}{5} \implies \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{5}} \approx 0.447$.
$\theta = \cos^{-1}(0.447) \approx 63.43^o$.
આઉટપુટ તીવ્રતાને શૂન્ય કરવા માટે,એનાલાઇઝરને ત્યાં સુધી ફેરવવું જોઈએ જ્યાં સુધી અક્ષો વચ્ચેનો ખૂણો $90^o$ ન થાય.
જરૂરી વધારાનો ખૂણો $\Delta \theta = 90^o - 63.43^o = 26.57^o$ છે.

(N/A) ધારો કે પ્રથમ પોલેરાઇઝર $P_{1}$ માંથી પસાર થયા પછી ધ્રુવીભૂત પ્રકાશની તીવ્રતા $I_{0}$ છે.
જ્યારે આ પ્રકાશ બીજા પોલેરાઇઝર $P_{2}$ (ભ્રમણ કરતી પોલેરોઇડ શીટ) માંથી પસાર થાય છે,ત્યારે માલસના નિયમ મુજબ તીવ્રતા $I$ નીચે મુજબ મળે છે:
$I = I_{0} \cos^{2} \theta$
જ્યાં $\theta$ એ $P_{1}$ અને $P_{2}$ ની અક્ષો વચ્ચેનો ખૂણો છે.
પ્રથમ પોલેરાઇઝર $P_{1}$ અને ત્રીજો પોલેરાઇઝર $P_{3}$ એકબીજાને લંબ (crossed) હોવાથી,તેમની અક્ષો વચ્ચેનો ખૂણો $\pi / 2$ છે. જો $P_{1}$ અને $P_{2}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ હોય,તો $P_{2}$ અને $P_{3}$ વચ્ચેનો ખૂણો $(\pi / 2 - \theta)$ થશે.
ત્રીજા પોલેરાઇઝર $P_{3}$ માંથી બહાર આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા:
$I_{final} = I \cos^{2}(\pi / 2 - \theta) = I_{0} \cos^{2} \theta \sin^{2} \theta$
નિત્યસમ $\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I_{final} = I_{0} (\sin(2\theta) / 2)^{2} = (I_{0} / 4) \sin^{2}(2\theta)$
આમ,જ્યારે $\sin^{2}(2\theta) = 1$ હોય ત્યારે પારગમિત તીવ્રતા મહત્તમ હોય છે,જે $\theta = \pi / 4$ અથવા $45^{\circ}$ પર થાય છે.

(N/A) અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ: પ્રકાશ એ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ છે જેમાં $\overrightarrow{E}$ (વિદ્યુતક્ષેત્ર) સદિશોના દોલનો પ્રસરણની દિશાને લંબ સમતલમાં તમામ દિશાઓમાં હોય છે. આને અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ કહેવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં,$\overrightarrow{E}$ સદિશનું દોલન સમતલ ખૂબ જ ટૂંકા સમયના અંતરાલમાં યાદચ્છિક રીતે બદલાય છે.
ધ્રુવીભૂત પ્રકાશ: જે પ્રકાશમાં વિદ્યુતક્ષેત્રના સદિશો એક જ સમતલમાં મર્યાદિત હોય અને એકબીજાને સમાંતર હોય તેને ધ્રુવીભૂત પ્રકાશ કહેવામાં આવે છે. આને સમતલ-ધ્રુવીભૂત પ્રકાશ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે.

(N/A) અધ્રુવીભૂત પ્રકાશમાંથી સમતલ ધ્રુવીભૂત પ્રકાશ મેળવવાની ઘટનાને ધ્રુવીભવન કહે છે.
જે શીટ દ્વારા અધ્રુવીભૂત પ્રકાશમાંથી ધ્રુવીભૂત પ્રકાશ મેળવી શકાય છે તેને પોલેરોઇડ કહે છે.
ઉદાહરણ તરીકે: પાતળી પ્લાસ્ટિક શીટ અને ટુરમેલિન પ્લેટ.
પોલેરોઇડ લાંબી શૃંખલા ધરાવતા અણુઓનું બનેલું હોય છે જે એક ચોક્કસ દિશામાં ગોઠવાયેલા હોય છે.
ગોઠવાયેલા અણુઓની દિશામાં રહેલા વિદ્યુત સદિશો શોષાઈ જાય છે અને લંબ દિશામાં ગોઠવાયેલા અણુઓમાંથી પ્રકાશ પસાર થાય છે,આ દિશાને પોલેરોઇડની પારગમન અક્ષ (pass axis) કહે છે. તે પારગમન અક્ષને સમાંતર પ્રકાશ સદિશોના ઘટકોને પસાર થવા દે છે અને લંબ ઘટકો શોષાઈ જાય છે. તેથી તેમાંથી બહાર આવતા તરંગો રેખીય રીતે સમતલ ધ્રુવીભૂત હોય છે.
જો સામાન્ય સ્ત્રોતમાંથી આવતો પ્રકાશ $P_{1}$ પોલેરોઇડ શીટમાંથી પસાર થાય,તો તેની તીવ્રતા અડધી થઈ જાય છે. $P_{1}$ ને ફેરવવાથી પારગમિત કિરણપુંજ પર કોઈ અસર થતી નથી અને પારગમિત તીવ્રતા અચળ રહે છે.
હવે,$P_{1}$ ની આગળ $P_{2}$ નામનો સમાન પોલેરોઇડનો ટુકડો મૂકવામાં આવે અને $P_{1}$ ને ફેરવવામાં આવે,તો $P_{1}$ માંથી બહાર આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા ઘટે છે.
જ્યારે $P_{2}$ અને $P_{1}$ સમાંતર હોય,ત્યારે $P_{2}$ માંથી પસાર થતા પ્રકાશ સદિશો $P_{1}$ માંથી પણ પસાર થાય છે,તેથી પ્રકાશની તીવ્રતા મહત્તમ હોય છે.
જ્યારે $P_{2}$ શીટને સમાન સ્થિતિમાં રાખીને $P_{1}$ શીટને $90^{\circ}$ જેટલું પરિભ્રમણ આપવામાં આવે,ત્યારે $P_{1}$ માંથી મળતી તીવ્રતા શૂન્ય થઈ જાય છે. આ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.

(N/A) મેલસનો નિયમ જણાવે છે કે જ્યારે સમતલ ધ્રુવીભૂત પ્રકાશનું કિરણ એનાલાઈઝર (વિશ્લેષક) પર આપાત થાય છે,ત્યારે એનાલાઈઝરમાંથી બહાર આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા એ પોલરાઈઝર અને એનાલાઈઝરની ધ્રુવીભવન અક્ષો વચ્ચેના ખૂણાના કોસાઇનના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
ધારો કે એનાલાઈઝર $(P_{2})$ ની પાસ-એક્સિસ,પોલરાઈઝર $(P_{1})$ ની પાસ-એક્સિસ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે. $P_{1}$ માંથી બહાર આવતા સમતલ ધ્રુવીભૂત પ્રકાશનો વિદ્યુત ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E}_{0}$,એનાલાઈઝર $P_{2}$ ની પાસ-એક્સિસ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે.
આપણે સદિશ $\vec{E}_{0}$ ના બે લંબ ઘટકો પાડી શકીએ છીએ:
$(1)$ $E_{0} \cos \theta$,જે એનાલાઈઝર $P_{2}$ ની પાસ-એક્સિસને સમાંતર છે.
$(2)$ $E_{0} \sin \theta$,જે એનાલાઈઝર $P_{2}$ ની પાસ-એક્સિસને લંબ છે.
ઘટક $E_{0} \cos \theta$ એનાલાઈઝરમાંથી પસાર થાય છે,જ્યારે ઘટક $E_{0} \sin \theta$ એનાલાઈઝર દ્વારા શોષાઈ જાય છે (અટકી જાય છે).
પ્રકાશની તીવ્રતા $(I)$ એ કંપવિસ્તારના વર્ગ $(E^{2})$ ના સમપ્રમાણમાં હોવાથી,એનાલાઈઝર પર આપાત થતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I_{0} \propto E_{0}^{2}$ છે અને એનાલાઈઝરમાંથી બહાર આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I \propto (E_{0} \cos \theta)^{2}$ છે.
ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{I}{I_{0}} = \frac{(E_{0} \cos \theta)^{2}}{E_{0}^{2}} = \cos^{2} \theta$
તેથી,$I = I_{0} \cos^{2} \theta$.
આને મેલસનો નિયમ કહેવામાં આવે છે.

(N/A) પોલરાઈઝર એ એક એવું સાધન (જેમ કે પોલરોઈડ શીટ) છે જેનો ઉપયોગ અધ્રુવીભૂત પ્રકાશને સમતલ ધ્રુવીભૂત પ્રકાશમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે થાય છે.
એનાલાઈઝર એ એક એવું સાધન (જેમ કે પોલરોઈડ શીટ) છે જેનો ઉપયોગ આપેલા પ્રકાશના કિરણની ધ્રુવીભવનની સ્થિતિ જાણવા અથવા તપાસવા માટે થાય છે.

જો પોલરાઈઝર પર આપાત થતા અધ્રુવીભૂત પ્રકાશની તીવ્રતા $I_{0}$ હોય,તો પ્રકાશનો વિદ્યુત ક્ષેત્ર સદિશ પ્રસરણની દિશાને લંબ સમતલમાં તમામ શક્ય દિશાઓમાં દોલન કરે છે.
મેલસના નિયમ મુજબ,પોલરાઈઝરમાંથી પસાર થતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I = I_{0} \cos^{2} \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ વિદ્યુત ક્ષેત્ર સદિશ અને પોલરાઈઝરની ટ્રાન્સમિશન અક્ષ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
અધ્રુવીભૂત પ્રકાશમાં વિદ્યુત ક્ષેત્ર સદિશોનું યાદચ્છિક વિતરણ હોવાથી,આપણે $0$ થી $2\pi$ સુધીના તમામ શક્ય ખૂણાઓ પર $\cos^{2} \theta$ નું સરેરાશ મૂલ્ય લેવું પડે.
$\langle I \rangle = I_{0} \langle \cos^{2} \theta \rangle = I_{0} \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} \cos^{2} \theta \, d\theta$
$\cos^{2} \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$\langle I \rangle = \frac{I_{0}}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} \frac{1 + \cos 2\theta}{2} \, d\theta = \frac{I_{0}}{4\pi} \left[ \theta + \frac{\sin 2\theta}{2} \right]_{0}^{2\pi}$
$\langle I \rangle = \frac{I_{0}}{4\pi} \left[ (2\pi + 0) - (0 + 0) \right] = \frac{I_{0}}{4\pi} \times 2\pi = \frac{I_{0}}{2}$
આમ,બહાર આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા આપાત પ્રકાશની તીવ્રતા કરતા અડધી હોય છે.

(N/A) જ્યારે સૂર્યપ્રકાશ પૃથ્વીના વાતાવરણમાં પ્રવેશે છે,ત્યારે તે અણુઓ સાથે અથડાય છે જે પ્રકાશને વિવિધ દિશાઓમાં પ્રકીર્ણિત કરે છે. આ ઘટનાને પ્રકીર્ણન કહેવામાં આવે છે.
ધારો કે અણુ પર અધ્રુવીભૂત સૂર્યપ્રકાશ આપાત થાય છે. આપાત પ્રકાશમાં પ્રસરણની દિશાને લંબ બધી દિશાઓમાં વિદ્યુતક્ષેત્રના દોલનો હોય છે. આકૃતિમાં,ટપકાં આકૃતિના સમતલને લંબ દોલનો દર્શાવે છે,અને બેવડા તીર આકૃતિના સમતલમાં દોલનો દર્શાવે છે.
આપાત તરંગના વિદ્યુતક્ષેત્રની અસર હેઠળ,અણુઓમાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોન દોલન કરવા લાગે છે અને આ બંને દિશાઓમાં ગતિના ઘટકો પ્રાપ્ત કરે છે.
જો કોઈ અવલોકનકાર આપાત સૂર્યપ્રકાશની દિશા સાથે $90^{\circ}$ ના ખૂણે પ્રકીર્ણિત પ્રકાશને જુએ,તો બેવડા તીરને સમાંતર પ્રવેગિત થતા વિદ્યુતભારો (અવલોકનકારની દ્રષ્ટિરેખાના સમતલમાં) અવલોકનકાર તરફ ઊર્જાનું ઉત્સર્જન કરતા નથી કારણ કે તેમના પ્રવેગનો અવલોકનકારની દ્રષ્ટિરેખાને લંબ કોઈ ઘટક હોતો નથી.
તેથી,અવલોકનકાર તરફ પ્રકીર્ણિત થતા વિકિરણમાં માત્ર ટપકાં દ્વારા દર્શાવેલ દોલનો જ હોય છે. આનો અર્થ એ છે કે પ્રકીર્ણિત પ્રકાશ આકૃતિના સમતલને લંબ ધ્રુવીભૂત હોય છે. આ આકાશમાંથી આવતા પ્રકીર્ણિત પ્રકાશના ધ્રુવીભવનને સમજાવે છે.
અણુઓ દ્વારા પ્રકાશના પ્રકીર્ણનનું સંશોધન $C.V.$ રામન અને તેમના સહયોગીઓ દ્વારા $1920$ ના દાયકામાં કરવામાં આવ્યું હતું. આ કાર્ય માટે રામનને $1930$ માં ભૌતિકશાસ્ત્ર માટે નોબેલ પુરસ્કાર આપવામાં આવ્યો હતો.

(N/A) આંશિક રીતે ધ્રુવીભૂત પ્રકાશ એ પ્રકાશની એવી સ્થિતિ છે જેમાં વિદ્યુત ક્ષેત્ર સદિશની તીવ્રતા પ્રસરણની દિશાને લંબ બધી દિશાઓમાં સમાન હોતી નથી,પરંતુ તે સંપૂર્ણપણે એક જ સમતલમાં પણ મર્યાદિત હોતી નથી.
જ્યારે અધ્રુવીભૂત પ્રકાશનું પરાવર્તન કે પ્રકીર્ણન થાય છે,ત્યારે આપાતકોણના સમતલને લંબ અને સમાંતર વિદ્યુત ક્ષેત્રના ઘટકો અલગ-અલગ તીવ્રતા સાથે પરાવર્તિત થાય છે.
ધ્રુવીભવન કોણ (બ્રુસ્ટર કોણ) પર,પરાવર્તિત પ્રકાશ સંપૂર્ણપણે સમતલ ધ્રુવીભૂત હોય છે કારણ કે આપાતકોણના સમતલને સમાંતર ઘટક શૂન્ય થઈ જાય છે.
ધ્રુવીભવન કોણ સિવાયના ખૂણાઓ પર,બંને ઘટકો હાજર હોય છે,પરંતુ એક ઘટક બીજા કરતા વધુ પ્રબળ હોય છે.
કારણ કે બંને ઘટકો મૂળ અધ્રુવીભૂત પ્રકાશમાંથી મેળવવામાં આવે છે અને તેમની વચ્ચે કોઈ કાયમી કળા સંબંધ હોતો નથી,તેથી પરિણામી પ્રકાશને ફરતા એનાલાઇઝર દ્વારા જોતા તેની તીવ્રતા બદલાતી રહે છે,પરંતુ તે ક્યારેય શૂન્ય થતી નથી. આ પ્રકારના પ્રકાશને આંશિક રીતે ધ્રુવીભૂત પ્રકાશ કહેવામાં આવે છે.

(N/A) આપેલ પ્રકાશના કિરણના ધ્રુવીભવનની સ્થિતિ નક્કી કરવા માટે,તેના માર્ગમાં એક પોલેરોઇડ એવી રીતે મૂકો કે જેથી પ્રકાશ પોલેરોઇડની સપાટી પર લંબરૂપે આપાત થાય.
આપાત પ્રકાશના કિરણની દિશાને અક્ષ તરીકે લઈને પોલેરોઇડને ફેરવો અને તેમાંથી બહાર આવતા પ્રકાશની તીવ્રતાનું અવલોકન કરો.
$1$. જો પોલેરોઇડના સંપૂર્ણ પરિભ્રમણ દરમિયાન બહાર આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા અચળ રહે,તો તે પ્રકાશ અધ્રુવીભૂત છે.
$2$. જો પોલેરોઇડના સંપૂર્ણ પરિભ્રમણ દરમિયાન બહાર આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા બે વાર શૂન્ય અને બે વાર મહત્તમ થાય,તો તે પ્રકાશ સમતલ ધ્રુવીભૂત છે.
$3$. જો પોલેરોઇડના સંપૂર્ણ પરિભ્રમણ દરમિયાન બહાર આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા બે વાર મહત્તમ અને બે વાર ન્યૂનતમ (પરંતુ શૂન્ય નહીં) થાય,તો તે પ્રકાશ આંશિક સમતલ ધ્રુવીભૂત છે.

(N/A) સમતલ ધ્રુવીભૂત પ્રકાશ માટે પાનાને સમાંતર $\vec{E}$ સદિશો ધરાવતો સંકેત આકૃતિ $(a)$ માં દર્શાવેલ છે.
સમતલ ધ્રુવીભૂત પ્રકાશ માટે પાનાને લંબ $\vec{E}$ સદિશો ધરાવતો સંકેત આકૃતિ $(b)$ માં દર્શાવેલ છે.
અધ્રુવીભૂત પ્રકાશના સંકેતો આકૃતિ $(c)$ માં બે રીતે દર્શાવવામાં આવ્યા છે,જેમાં $(i)$ પ્રસરણની દિશાને લંબ સમતલમાં બધી દિશાઓમાં થતા કંપનો દર્શાવે છે,અને $(ii)$ ઉભા અને આડા ઘટકોનું સંયોજન દર્શાવે છે.
આંશિક ધ્રુવીભૂત પ્રકાશનો સંકેત આકૃતિ $(d)$ માં દર્શાવેલ છે,જે વિવિધ દિશાઓમાં કંપનોનું અસમાન વિતરણ સૂચવે છે.

(N/A) હા,બીજા પોલેરોઇડ $(II)$ માંથી પ્રકાશ બહાર આવશે.
ધારો કે પ્રથમ પોલેરોઇડ $(I)$ માંથી બહાર આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I_0$ છે. પોલેરોઇડ $(I)$ અને $(II)$ પરસ્પર લંબ (crossed) હોવાથી,તેમની અક્ષો વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે.
જ્યારે ત્રીજો પોલેરોઇડ $(III)$ ને $(I)$ અને $(II)$ ની વચ્ચે $(I)$ ની અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણે મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે માલસના નિયમ મુજબ $(III)$ માંથી બહાર આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I_1 = I_0 \cos^2 \theta$ થાય છે.
પોલેરોઇડ $(III)$ અને $(II)$ ની અક્ષો વચ્ચેનો ખૂણો $(90^{\circ} - \theta)$ થશે.
તેથી,$(II)$ માંથી બહાર આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I_2 = I_1 \cos^2(90^{\circ} - \theta) = I_0 \cos^2 \theta \sin^2 \theta = I_0 (\sin \theta \cos \theta)^2 = I_0 \left(\frac{\sin 2\theta}{2}\right)^2 = \frac{I_0}{4} \sin^2(2\theta)$ મળે છે.
જ્યારે $0 < \theta < 90^{\circ}$ હોય ત્યારે $\sin^2(2\theta) \neq 0$ હોવાથી,બીજા પોલેરોઇડ $(II)$ માંથી પ્રકાશ બહાર આવશે.

(C) આપેલ છે: તીવ્રતા $I_0 = 3.3 \, W m^{-2}$,ક્ષેત્રફળ $A = 3 \times 10^{-4} \, m^2$,કોણીય ઝડપ $\omega = 31.4 \, rad/s$.
ઘૂમતા પોલરાઇઝરમાંથી પસાર થતી પ્રકાશની તીવ્રતા માલસના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $I(t) = I_0 \cos^2(\omega t)$.
કોઈપણ ક્ષણે પ્રસારિત પાવર $P(t) = I(t) \times A = I_0 A \cos^2(\omega t)$ છે.
એક પરિભ્રમણમાં (સમયગાળો $T = \frac{2\pi}{\omega}$) પ્રસારિત થતી ઉર્જા $E$ એ સમયગાળા દરમિયાન પાવરનું સંકલન છે:
$E = \int_{0}^{T} P(t) dt = \int_{0}^{2\pi/\omega} I_0 A \cos^2(\omega t) dt$.
પૂર્ણ ચક્ર પર $\cos^2(\theta)$ ની સરેરાશ કિંમત $\frac{1}{2}$ હોવાથી:
$E = I_0 A \times \frac{1}{2} \times T = I_0 A \times \frac{1}{2} \times \frac{2\pi}{\omega} = \frac{I_0 A \pi}{\omega}$.
કિંમતો મૂકતા:
$E = \frac{3.3 \times 3 \times 10^{-4} \times 3.14}{31.4} = \frac{3.3 \times 3 \times 10^{-4} \times 3.14}{10 \times 3.14} = \frac{9.9 \times 10^{-4}}{10} = 0.99 \times 10^{-4} \, J$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,$E \approx 1 \times 10^{-4} \, J$.

(B) જ્યારે $I_{0}$ તીવ્રતા ધરાવતો અધ્રુવીભૂત પ્રકાશનો કિરણપુંજ પોલરોઇડમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે બહાર આવતા સમતલ ધ્રુવીભૂત પ્રકાશની તીવ્રતા અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ માટેના મેલસના નિયમના સિદ્ધાંત મુજબ $I = \frac{I_{0}}{2}$ મળે છે.
અહીં આપેલ છે કે,પ્રારંભિક તીવ્રતા $I_{0} = 2 a^{2}$ છે.
તેથી,બહાર આવતા સમતલ ધ્રુવીભૂત પ્રકાશની તીવ્રતા $I = \frac{2 a^{2}}{2} = a^{2}$ થશે.

(C) શરૂઆતમાં,પોલરાઈઝર અને એનાલાઈઝરની ધરીઓ સમાંતર છે,તેથી એનાલાઈઝરમાંથી બહાર આવતી તીવ્રતા $I = I_{max} = 100 \text{ Lumens}$ છે.
મેલસના નિયમ મુજબ,એનાલાઈઝરને $\theta$ ખૂણે ફેરવ્યા પછી તેમાંથી બહાર આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I = I_{max} \cos^2 \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$I_{max} = 100 \text{ Lumens}$ અને $\theta = 30^{\circ}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I = 100 \times \cos^2(30^{\circ})$
$I = 100 \times (\frac{\sqrt{3}}{2})^2$
$I = 100 \times \frac{3}{4}$
$I = 75 \text{ Lumens}$.

(B) ધારો કે સ્ત્રોતમાંથી આવતા અધ્રુવીભૂત પ્રકાશની પ્રારંભિક તીવ્રતા $I_0$ છે. જ્યારે આ પ્રકાશ પ્રથમ પોલેરોઇડ $P_1$ માંથી પસાર થાય છે,ત્યારે તીવ્રતા $I_1 = I_0/2$ થાય છે. આપેલ છે કે પડદા પરની તીવ્રતા $I/2$ છે,તેથી આપણે ધારીએ છીએ કે પ્રારંભિક તીવ્રતા $I$ એ $P_1$ માંથી પસાર થયા પછીની તીવ્રતા છે અથવા $I_0 = I.$ ધારો કે $P_1$ પછીની તીવ્રતા $I' = I/2$ છે.
મેલસના નિયમ મુજબ,બીજા પોલેરોઇડ $P_2$ માંથી પસાર થયા પછી પ્રકાશની તીવ્રતા $I_{final} = I' \cos^2 \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ $P_1$ અને $P_2$ ની ટ્રાન્સમિશન અક્ષો વચ્ચેનો ખૂણો છે.
શરૂઆતમાં,તીવ્રતા $I/2$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\cos^2 \phi = 1,$ તેથી $\phi = 0^\circ.$
આપણે અંતિમ તીવ્રતા $3I/8$ મેળવવા માંગીએ છીએ. કિંમતો મૂકતા:
$3I/8 = (I/2) \cos^2 \phi$
$\cos^2 \phi = (3I/8) \times (2/I) = 3/4$
$\cos \phi = \sqrt{3}/2$
$\phi = 30^\circ.$
આમ,$P_2$ ને $30^\circ$ ના ખૂણે ફેરવવો જોઈએ.

(C) જ્યારે $I_{in}$ તીવ્રતા ધરાવતો અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ પોલેરોઇડમાંથી પસાર થાય છે, ત્યારે બહાર આવતા ધ્રુવીભૂત પ્રકાશની તીવ્રતા $I_{1} = \frac{1}{2} I_{in}$ થાય છે.
અહીં $I_{in} = 2 I_{0}$ આપેલ છે, તેથી પોલેરોઇડ $P$ માંથી પસાર થયા પછી તીવ્રતા $I_{1} = \frac{1}{2} (2 I_{0}) = I_{0}$ થશે.
મેલસના નિયમ મુજબ, જ્યારે $I_{1}$ તીવ્રતા ધરાવતો ધ્રુવીભૂત પ્રકાશ બીજા પોલેરોઇડમાંથી પસાર થાય છે જેની ટ્રાન્સમિશન ધરી આપાત પ્રકાશની ધ્રુવીભવન દિશા સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે, ત્યારે બહાર આવતી તીવ્રતા $I_{2} = I_{1} \cos^{2} \theta$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $\theta = 30^{\circ}$ છે, તેથી $I_{2} = I_{0} \cos^{2} 30^{\circ}$.
કારણ કે $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, તેથી $\cos^{2} 30^{\circ} = \frac{3}{4}$ થાય.
તેથી, $I_{2} = I_{0} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3 I_{0}}{4}$.