Polarisation of Light and Malus' Law Questions in Gujarati

(A) જ્યારે $I_0$ તીવ્રતા ધરાવતો અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ પ્રથમ પોલેરાઇઝરમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે તે રેખીય રીતે ધ્રુવીભૂત બને છે અને તેની તીવ્રતા $I_1 = I_0 / 2$ થાય છે.
પ્રથમ અને બીજા પોલેરોઇડ શરૂઆતમાં એકબીજાને લંબ ($90^{\circ}$ ના ખૂણે) હતા,તેથી ત્રીજો પોલેરોઇડ પ્રથમ સાથે $\theta$ ખૂણે અને બીજા સાથે $(90^{\circ} - \theta)$ ખૂણે મૂકવામાં આવે છે.
મેલસના નિયમ મુજબ,બીજા (વચ્ચેના) પોલેરાઇઝર પછીની તીવ્રતા $I_2 = I_1 \cos^2 \theta = (I_0 / 2) \cos^2 \theta$ છે.
ત્રીજા (છેલ્લા) પોલેરાઇઝર પછીની તીવ્રતા $I_3 = I_2 \cos^2(90^{\circ} - \theta) = (I_0 / 2) \cos^2 \theta \sin^2 \theta$ છે.
નિત્યસમ $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\sin^2 2\theta = 4 \sin^2 \theta \cos^2 \theta$ મળે છે.
તેથી,$I_3 = \frac{I_0}{2} \cdot \frac{\sin^2 2\theta}{4} = \frac{I_0}{8} \sin^2 2\theta$ થાય છે.

(C) ધારો કે $I_0 = 32 \ W m^{-2}$ એ અધ્રુવીભૂત પ્રકાશની તીવ્રતા છે.
પ્રથમ પોલરોઇડમાંથી પસાર થયા પછી,તીવ્રતા $I_1 = I_0 / 2 = 32 / 2 = 16 \ W m^{-2}$ થાય છે.
ધારો કે પ્રથમ અને બીજા પોલરોઇડની અક્ષો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે. બીજા પોલરોઇડ પછીની તીવ્રતા $I_2 = I_1 \cos^2 \theta = 16 \cos^2 \theta$ છે.
બીજા અને ત્રીજા પોલરોઇડ વચ્ચેનો ખૂણો $(90^{\circ} - \theta)$ છે કારણ કે પ્રથમ અને ત્રીજી શીટ એકબીજાને લંબ છે.
ત્રીજા પોલરોઇડ પછીની તીવ્રતા $I_3 = I_2 \cos^2(90^{\circ} - \theta) = I_2 \sin^2 \theta$ છે.
$I_2$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $I_3 = 16 \cos^2 \theta \sin^2 \theta = 16 (\sin \theta \cos \theta)^2 = 16 (\sin(2\theta) / 2)^2 = 4 \sin^2(2\theta)$ મળે છે.
આપેલ છે કે $I_3 = 3 \ W m^{-2}$,તેથી $4 \sin^2(2\theta) = 3$,એટલે કે $\sin^2(2\theta) = 3/4$.
આમ,$\sin(2\theta) = \sqrt{3}/2$,જેનો અર્થ છે કે $2\theta = 60^{\circ}$ અથવા $120^{\circ}$.
તેથી,$\theta = 30^{\circ}$ અથવા $60^{\circ}$.

(B) દ્વિ-વક્રીભવન (birefringence) માં,સ્ફટિક અધ્રુવીભૂત પ્રકાશના કિરણને બે કિરણોમાં વિભાજિત કરે છે: સામાન્ય કિરણ ($O$-ray) અને અસાધારણ કિરણ ($E$-ray).
વિધાન $A$ સાચું છે: $E$-કિરણનો વક્રીભવનાંક ઓપ્ટિકલ અક્ષની સાપેક્ષમાં પ્રસરણની દિશા પર આધાર રાખે છે,જેનો અર્થ એ છે કે તે આપાતકોણ સાથે બદલાય છે.
વિધાન $B$ સાચું છે: સામાન્ય અને અસાધારણ બંને કિરણો સમતલ-ધ્રુવીભૂત હોય છે. ધ્રુવીભવન એ એવી ઘટના છે જેમાં પ્રકાશના તરંગો 'એકતરફી' બને છે (કંપનો એક જ સમતલમાં મર્યાદિત હોય છે).
તેથી,બંને વિધાનો સાચા છે.

(B) શરૂઆતમાં,બે પોલરાઇઝર $P_1$ અને $P_2$ એકબીજાને લંબ (cross) રાખવામાં આવ્યા છે,એટલે કે તેમની પાસ-એક્સિસ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે,જે પ્રકાશને સંપૂર્ણપણે અવરોધે છે.
જ્યારે $I_0$ તીવ્રતાનો અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ પ્રથમ પોલરાઇઝર $P_1$ માંથી પસાર થાય છે,ત્યારે બહાર આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I_1 = \frac{I_0}{2}$ થાય છે.
ત્રીજું પોલરાઇઝર $P_3$ ને $P_1$ અને $P_2$ ની વચ્ચે $P_1$ સાથે $60^{\circ}$ ના ખૂણે $(\theta_1 = 60^{\circ})$ મૂકવામાં આવે છે.
મેલસના નિયમ મુજબ,$P_3$ માંથી બહાર આવતી તીવ્રતા $I_3 = I_1 \cos^2(60^{\circ}) = \frac{I_0}{2} \times (\frac{1}{2})^2 = \frac{I_0}{8}$ થાય છે.
હવે,$P_3$ અને $P_2$ ની પાસ-એક્સિસ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta_2 = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ છે.
તેથી,$P_2$ માંથી બહાર આવતી અંતિમ તીવ્રતા $I_f = I_3 \cos^2(30^{\circ}) = \frac{I_0}{8} \times (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{I_0}{8} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{32} I_0$ થાય છે.

(C) આપેલ પ્રકાશ આંશિક રીતે ધ્રુવીભૂત છે. મુખ્ય અક્ષો પરની તીવ્રતા $I_y = I_0$ અને $I_x = \frac{2I_0}{3}$ છે.
જ્યારે પોલરોઇડને તેની પાસ એક્સિસ $y$-અક્ષ સાથે $\theta = 45^{\circ}$ ના ખૂણે રાખવામાં આવે છે,ત્યારે પસાર થતી તીવ્રતા $I$ એ પાસ એક્સિસની દિશામાં તીવ્રતાના ઘટકોના સરવાળા દ્વારા મળે છે:
$I = I_y \cos^2(45^{\circ}) + I_x \cos^2(45^{\circ})$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$I = I_0 \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + \frac{2I_0}{3} \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2$
$I = I_0 \cdot \frac{1}{2} + \frac{2I_0}{3} \cdot \frac{1}{2}$
$I = \frac{I_0}{2} + \frac{I_0}{3} = \frac{3I_0 + 2I_0}{6} = \frac{5I_0}{6}$

(D) લંબગત તરંગોનું ધ્રુવીભવન (polarization) થઈ શકતું નથી. ધ્રુવીભવન એ માત્ર અનુપ્રસ્થ તરંગો (transverse waves) નો ગુણધર્મ છે,જેમાં દોલનો તરંગ પ્રસરણની દિશાને લંબ રૂપે થાય છે. લંબગત તરંગોમાં,દોલનો તરંગ પ્રસરણની દિશાને સમાંતર થાય છે. પ્રસરણની દિશાની સાપેક્ષમાં દોલનની દિશામાં કોઈ અસમપ્રમાણતા ન હોવાથી,લંબગત તરંગોને એક જ સમતલમાં મર્યાદિત કરી શકાતા નથી.

(C) ધારો કે $I_0$ એ અધ્રુવીભૂત પ્રકાશની પ્રારંભિક તીવ્રતા છે.
$1$. ત્રીજા પોલરાઈઝર વગર: પ્રથમ પોલરાઈઝર તીવ્રતા ઘટાડીને $I_1 = I_0/2$ કરે છે. પ્રથમ પોલરાઈઝર ($30^\circ$ પર) ની સાપેક્ષમાં બીજા પોલરાઈઝર ($90^\circ$ પર) નો ખૂણો $\theta = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$ છે. આઉટપુટ તીવ્રતા $I_{final} = I_1 \cos^2(60^\circ) = (I_0/2) \times (1/4) = I_0/8$ છે.
$2$. $60^\circ$ પર ત્રીજા પોલરાઈઝર સાથે: $I_1 = I_0/2$. ત્રીજા પોલરાઈઝર પછીની તીવ્રતા (ખૂણો $60^\circ - 30^\circ = 30^\circ$): $I_2 = I_1 \cos^2(30^\circ) = (I_0/2) \times (3/4) = 3I_0/8$. બીજા પોલરાઈઝર પછીની તીવ્રતા (ખૂણો $90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$): $I_{final}' = I_2 \cos^2(30^\circ) = (3I_0/8) \times (3/4) = 9I_0/32$.
ગુણોત્તર = $(9I_0/32) / (I_0/8) = 9/4$.

(A) પોલરાઈઝરમાંથી પસાર થયા પછી અધ્રુવીભૂત પ્રકાશની તીવ્રતા $I_p = \frac{I_0}{2}$ થાય છે.
ધારો કે પ્રકાશીય સક્રિય દ્રાવણ દ્વારા ઉત્પન્ન થતો પરિભ્રમણ કોણ $\theta$ છે.
એનાલાઈઝર પર આપાત થતો પ્રકાશ એનાલાઈઝરની ટ્રાન્સમિશન ધરીની સાપેક્ષમાં $\theta$ ખૂણે ધ્રુવીભૂત થયેલ છે (કારણ કે પોલરાઈઝર અને એનાલાઈઝર શરૂઆતમાં એકબીજાની સાપેક્ષમાં $0^{\circ}$ પર છે).
મેલસના નિયમ મુજબ,એનાલાઈઝરમાંથી બહાર આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I = I_p \cos^2(\theta) = \frac{I_0}{2} \cos^2(\theta)$ છે.
આપેલ છે કે $I = \frac{3}{8} I_0$,તેથી $\frac{I_0}{2} \cos^2(\theta) = \frac{3}{8} I_0$.
આનું સાદું રૂપ આપતા,$\cos^2(\theta) = \frac{3}{4}$,જે $\cos(\theta) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ આપે છે.
તેથી,$\theta = 30^{\circ}$.