Polarisation of Light and Malus' Law Questions in Gujarati

(C) જ્યારે પહેલેથી જ પોલરાઈઝ્ડ થયેલ પ્રકાશનું કિરણપુંજ પોલરાઈઝરમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે મળતી પ્રકાશની તીવ્રતા $I$ એ મેલસના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $I = I_0 \cos^2 \theta$,જ્યાં $I_0$ એ આપાત પોલરાઈઝ્ડ પ્રકાશની તીવ્રતા છે અને $\theta$ એ પોલરાઈઝેશનના સમતલ અને પોલરાઈઝરની ટ્રાન્સમિશન ધરી વચ્ચેનો ખૂણો છે.
દરેક પોલરાઈઝર $10 \%$ પ્રકાશનું શોષણ કરે છે,તેથી ટ્રાન્સમિશન ફેક્ટર $k = 0.9$ છે.
$1$. પ્રથમ પોલરાઈઝર $(P_1)$ માટે: આપાત પ્રકાશ શિરોલંબ છે. ટ્રાન્સમિશન ધરી શિરોલંબ સાથે $30^{\circ}$ પર છે. તેથી,$\theta_1 = 30^{\circ}$.
$I_1 = k \cdot I_0 \cdot \cos^2(30^{\circ}) = 0.9 \cdot 100 \cdot (\sqrt{3}/2)^2 = 0.9 \cdot 100 \cdot 0.75 = 67.5 \, W/m^2$.
$2$. બીજા પોલરાઈઝર $(P_2)$ માટે: $P_2$ પર આપાત થતો પ્રકાશ $30^{\circ}$ પર પોલરાઈઝ્ડ છે. $P_2$ ની ટ્રાન્સમિશન ધરી શિરોલંબ સાથે $60^{\circ}$ પર છે. આપાત પ્રકાશ અને ધરી વચ્ચેનો ખૂણો $\theta_2 = 60^{\circ} - 30^{\circ} = 30^{\circ}$ છે.
$I_2 = k \cdot I_1 \cdot \cos^2(30^{\circ}) = 0.9 \cdot 67.5 \cdot 0.75 = 45.5625 \, W/m^2$.
$3$. ત્રીજા પોલરાઈઝર $(P_3)$ માટે: $P_3$ પર આપાત થતો પ્રકાશ $60^{\circ}$ પર પોલરાઈઝ્ડ છે. $P_3$ ની ટ્રાન્સમિશન ધરી શિરોલંબ સાથે $90^{\circ}$ પર છે. આપાત પ્રકાશ અને ધરી વચ્ચેનો ખૂણો $\theta_3 = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ છે.
$I_3 = k \cdot I_2 \cdot \cos^2(30^{\circ}) = 0.9 \cdot 45.5625 \cdot 0.75 \approx 30.75 \, W/m^2$.
અંતિમ તીવ્રતા આશરે $30 \, W/m^2$ છે.

(A) પ્રથમ પોલરાઈઝર પર આપાત થતો કિરણપુંજ અધ્રુવીભૂત હોવાથી,પ્રથમ પોલરાઈઝરમાંથી પસાર થયા પછી તેની તીવ્રતા અડધી થઈ જાય છે. અહીં મેલસનો નિયમ લાગુ પડતો નથી.
તેથી,પ્રથમ પોલરાઈઝર પછીની તીવ્રતા $I_{1}$:
$I_{1} = \frac{I_{0}}{2} = \frac{20}{2} = 10 \,W/m^{2}$
પ્રથમ પોલરાઈઝરમાંથી બહાર આવતો પ્રકાશ રેખીય રીતે ધ્રુવીભૂત હોવાથી,બીજા પોલરાઈઝર માટે મેલસનો નિયમ લાગુ પડે છે.
બીજા પોલરાઈઝર પછી મળતી તીવ્રતા $I_{2}$ નીચે મુજબ છે:
$I_{2} = I_{1} \cdot \cos^{2} \theta$
જ્યાં $\theta$ એ પ્રથમ અને બીજા પોલરાઈઝરની ટ્રાન્સમિશન ધરી વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ ખૂણાઓ શિરોલંબથી $30^{\circ}$ અને $60^{\circ}$ હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 60^{\circ} - 30^{\circ} = 30^{\circ}$ થશે.
તેથી,$I_{2} = 10 \times \cos^{2} 30^{\circ}$
$I_{2} = 10 \times \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} = 10 \times \frac{3}{4} = 7.5 \,W/m^{2}$

(C) જ્યારે $I_0$ તીવ્રતા ધરાવતો અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ પ્રથમ પોલરાઇઝરમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે પારગમિત પ્રકાશની તીવ્રતા $I_1 = \frac{I_0}{2}$ થાય છે.
હવે,આ ધ્રુવીભૂત પ્રકાશ બીજા પોલરાઇઝરમાંથી પસાર થાય છે,જે પ્રથમ પોલરાઇઝર સાથે $\theta = 30^{\circ}$ ના ખૂણે છે. મેલસના નિયમ મુજબ,બહાર આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$I' = I_1 \cos^2 \theta$
કિંમતો મૂકતા:
$I' = \frac{I_0}{2} \times \cos^2 30^{\circ}$
$I' = \frac{I_0}{2} \times \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2$
$I' = \frac{I_0}{2} \times \frac{3}{4}$
$I' = \frac{3 I_0}{8}$

(C) ધારો કે આપાત પ્રકાશની તીવ્રતા $I_0$ છે. મેલસના નિયમ મુજબ,પોલરાઇઝરમાંથી પસાર થયા પછી પ્રકાશની તીવ્રતા $I = I_{in} \cos^2 \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ આપાત પ્રકાશના ધ્રુવીભવનના સમતલ અને પોલરાઇઝરની ધરી વચ્ચેનો ખૂણો છે.
પ્રથમ પોલરાઇઝરની ધરી આપાત પ્રકાશના ધ્રુવીભવનના સમતલને સમાંતર હોવાથી,ખૂણો $\theta_1 = 0^{\circ}$ છે. તેથી,પ્રથમ પોલરાઇઝર પછીની તીવ્રતા $I_1 = I_0 \cos^2(0^{\circ}) = I_0$ છે.
ત્યારબાદના પોલરાઇઝર્સ માટે,દરેક અગાઉના પોલરાઇઝરની સાપેક્ષમાં $30^{\circ}$ ફેરવાયેલ છે. તેથી,પ્રકાશના ધ્રુવીભવનના સમતલ અને પછીના પોલરાઇઝર વચ્ચેનો ખૂણો $30^{\circ}$ છે.
બીજા પોલરાઇઝર પછીની તીવ્રતા: $I_2 = I_1 \cos^2(30^{\circ}) = I_0 (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4} I_0$.
ત્રીજા પોલરાઇઝર પછીની તીવ્રતા: $I_3 = I_2 \cos^2(30^{\circ}) = (\frac{3}{4} I_0) \times \frac{3}{4} = (\frac{3}{4})^2 I_0$.
ચોથા પોલરાઇઝર પછીની તીવ્રતા: $I_4 = I_3 \cos^2(30^{\circ}) = (\frac{3}{4})^2 I_0 \times \frac{3}{4} = (\frac{3}{4})^3 I_0$.
પાંચમા પોલરાઇઝર પછીની તીવ્રતા: $I_5 = I_4 \cos^2(30^{\circ}) = (\frac{3}{4})^3 I_0 \times \frac{3}{4} = (\frac{3}{4})^4 I_0$.
ગણતરી કરતા: $I_5 = (0.75)^4 I_0 = 0.3164 I_0 \approx 31.6 \% I_0$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,તીવ્રતા આપાત પ્રકાશના $30 \%$ ની સૌથી નજીક છે.

(D) સાચો જવાબ $D$ છે.
ધ્રુવીભવન એ માત્ર લંબગત તરંગોમાં જોવા મળતી ઘટના છે,જેમાં માધ્યમના કણોના દોલનો (અથવા વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોમાં વિદ્યુતક્ષેત્રના સદિશો) તરંગના પ્રસરણની દિશાને લંબ એક ચોક્કસ સમતલમાં મર્યાદિત હોય છે.
પ્રકાશ એ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ છે,જે સ્વભાવે લંબગત છે,અને તેથી તે ધ્રુવીભવનની ઘટના દર્શાવે છે.
હવામાં રહેલા ધ્વનિ તરંગો એ સંગત તરંગો છે,જેનો અર્થ છે કે માધ્યમના કણો તરંગના પ્રસરણની દિશાને સમાંતર દોલન કરે છે. સંગત તરંગોનું ધ્રુવીભવન થઈ શકતું નથી કારણ કે તેમાં દોલનોને એક જ સમતલમાં મર્યાદિત કરવા માટે જરૂરી લંબગત ઘટકોનો અભાવ હોય છે.
પરાવર્તન,વિવર્તન અને વક્રીભવન એ પ્રકાશના તરંગો અને ધ્વનિ તરંગો બંને દ્વારા દર્શાવવામાં આવતા ગુણધર્મો છે.

(D) આપાતકોણ $i$ એ આપાત કિરણ અને લંબ વચ્ચેનો ખૂણો છે. આકૃતિ પરથી,આપાત કિરણ અને સપાટી વચ્ચેનો ખૂણો $33^{\circ}$ છે. તેથી,આપાતકોણ $i = 90^{\circ} - 33^{\circ} = 57^{\circ}$ થાય.
આપેલ વક્રીભવનાંક $\mu = 1.54$ અને $\tan 57^{\circ} = 1.54$ હોવાથી,આપણી પાસે $\mu = \tan i_p$ છે,જ્યાં $i_p$ એ બ્રુસ્ટરનો ખૂણો છે.
પ્રકાશ બ્રુસ્ટરના ખૂણે આપાત થતો હોવાથી,પરાવર્તિત કિરણ $OB$ સંપૂર્ણપણે સમતલ ધ્રુવીભૂત (plane-polarized) હોય છે.
જ્યારે આ સમતલ ધ્રુવીભૂત પ્રકાશને ફરતા પોલેરોઇડમાંથી પસાર કરવામાં આવે છે,ત્યારે બહાર આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I$ એ મેલસના નિયમ મુજબ બદલાય છે: $I = I_0 \cos^2 \theta$,જ્યાં $\theta$ એ પોલેરોઇડની ટ્રાન્સમિશન અક્ષ અને પ્રકાશના ધ્રુવીભવનના સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
જેમ જેમ પોલેરોઇડને ફેરવવામાં આવે છે,તેમ તીવ્રતા ધીમે ધીમે ઘટીને શૂન્ય થશે (જ્યારે $\theta = 90^{\circ}$ હોય) અને ત્યારબાદ પોલેરોઇડને સતત ફેરવતા તે ફરીથી વધશે.

(C) વિકલ્પ $C$ સાચો છે. જ્યારે સૂર્યપ્રકાશ પૃથ્વીના વાતાવરણમાં પ્રવેશે છે,ત્યારે અણુઓ અને પરમાણુઓ પ્રકાશનું પ્રકીર્ણન કરે છે. આપાત કિરણની સાપેક્ષમાં $\frac{\pi}{2}$ ($90$ ડિગ્રી) ના ખૂણે પ્રકીર્ણન પામતો પ્રકાશ સમતલ ધ્રુવીભૂત હોય છે. વિકલ્પ $A$ ખોટો છે કારણ કે સમતલ ધ્રુવીભૂત પ્રકાશ પોલેરોઇડમાંથી પસાર થયા પછી પણ સમતલ ધ્રુવીભૂત જ રહે છે (તેની તીવ્રતા બદલાઈ શકે છે). વિકલ્પ $B$ ખોટો છે કારણ કે બ્રુસ્ટરના ખૂણે વક્રીભૂત પ્રકાશ આંશિક રીતે ધ્રુવીભૂત હોય છે,સંપૂર્ણપણે રેખીય ધ્રુવીભૂત હોતો નથી. વિકલ્પ $D$ ખોટો છે કારણ કે કુદરતી સૂર્યપ્રકાશ અધ્રુવીભૂત હોય છે.

(A) ધારો કે સ્ત્રોત $S$ માંથી આવતા અધ્રુવીભૂત પ્રકાશની પ્રારંભિક તીવ્રતા $I_0 = 256 \text{ W/m}^2$ છે.
જ્યારે અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ પ્રથમ પોલેરોઇડ $P_1$ માંથી પસાર થાય છે,ત્યારે તીવ્રતા $I_1 = \frac{I_0}{2} = \frac{256}{2} = 128 \text{ W/m}^2$ થાય છે.
મેલસના નિયમ મુજબ,જ્યારે ધ્રુવીભૂત પ્રકાશ બીજા પોલેરોઇડમાંથી પસાર થાય છે જેની પાસ અક્ષ આપાત પ્રકાશની ધ્રુવીભવન દિશા સાથે $\theta$ ખૂણે હોય,ત્યારે પારગમિત તીવ્રતા $I = I_{incident} \cos^2(\theta)$ થાય છે.
$P_2$ માટે,$P_1$ સાથેનો ખૂણો $\theta_1 = 60^{\circ}$ છે. તેથી,$I_2 = I_1 \cos^2(60^{\circ}) = 128 \times (\frac{1}{2})^2 = 128 \times \frac{1}{4} = 32 \text{ W/m}^2$.
$P_3$ માટે,$P_2$ સાથેનો ખૂણો $\theta_2 = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ છે. તેથી,$I_3 = I_2 \cos^2(30^{\circ}) = 32 \times (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 32 \times \frac{3}{4} = 24 \text{ W/m}^2$.
આમ,બિંદુ $O$ પર તીવ્રતા $24 \text{ W/m}^2$ છે.

(C) જ્યારે $I_0$ તીવ્રતા ધરાવતો અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ પ્રથમ પોલેરોઇડ $A$ માંથી પસાર થાય છે,ત્યારે બહાર આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I_A = \frac{I_0}{2}$ થાય છે.
પોલેરોઇડ $C$ ની પાસ-એક્સિસ એ $A$ ની પાસ-એક્સિસ સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે. મેલસના નિયમ મુજબ,$C$ માંથી પસાર થયા પછી પ્રકાશની તીવ્રતા $I_C = I_A \cos^2(45^{\circ}) = \frac{I_0}{2} \times (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{I_0}{4}$ થાય છે.
પોલેરોઇડ $B$ ની પાસ-એક્સિસ $A$ ને લંબ છે,તેથી તે $C$ ની પાસ-એક્સિસ સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે. આમ,$B$ માંથી પસાર થયા પછી પ્રકાશની તીવ્રતા $I_B = I_C \cos^2(45^{\circ}) = \frac{I_0}{4} \times (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{I_0}{8}$ મળે છે.

(B) જ્યારે $I$ તીવ્રતાનો અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ પ્રથમ પોલરાઇઝિંગ શીટમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે તીવ્રતા $I_1 = \frac{I}{2}$ થાય છે.
ત્યારબાદની શીટ્સ માટે,આપણે મેલસના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $I_{k} = I_{k-1} \cos^2(\theta)$,જ્યાં $\theta = 45^{\circ}$.
કારણ કે $\cos^2(45^{\circ}) = (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{1}{2}$,દરેક શીટ પછી તીવ્રતા અડધી થાય છે.
પ્રથમ શીટ પછી,તીવ્રતા $I_1 = \frac{I}{2}$ છે.
બીજી શીટ પછી,$I_2 = I_1 \cos^2(45^{\circ}) = \frac{I}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{I}{2^2}$.
$n$-મી શીટ પછી,તીવ્રતા $I_n = \frac{I}{2} \cdot (\frac{1}{2})^{n-1} = \frac{I}{2^n}$ થાય છે.
આપેલ છે કે $I_n = \frac{I}{64}$,તેથી $\frac{I}{2^n} = \frac{I}{64}$.
$2^n = 64 = 2^6$.
તેથી,$n = 6$.

(C) મેલસના નિયમ મુજબ,એનાલાઇઝરમાંથી પસાર થતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I_2 = I_1 \cos^2 \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$I_1 = I$ એ આપાત રેખીય ધ્રુવીભૂત પ્રકાશની તીવ્રતા છે.
પોલરાઇઝર અને એનાલાઇઝરની ટ્રાન્સમિશન અક્ષો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 30^{\circ}$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$I_2 = I \cos^2(30^{\circ})$
કારણ કે $\cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી:
$I_2 = I \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = I \left( \frac{3}{4} \right) = \frac{3I}{4}$.

(D) ધારો કે અધ્રુવીભૂત પ્રકાશની તીવ્રતા $I_0 = 32 \, W m^{-2}$ છે.
પ્રથમ પોલેરોઇડમાંથી પસાર થયા પછી,તીવ્રતા $I_1 = \frac{I_0}{2} = 16 \, W m^{-2}$ થાય છે.
ધારો કે પ્રથમ અને બીજા પોલેરોઇડની પાસ અક્ષ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
બીજા પોલેરોઇડ પછીની તીવ્રતા $I_2 = I_1 \cos^2 \theta = \frac{I_0}{2} \cos^2 \theta$ છે.
બીજા અને ત્રીજા પોલેરોઇડ વચ્ચેનો ખૂણો $(90^{\circ} - \theta)$ છે કારણ કે પ્રથમ અને ત્રીજા પોલેરોઇડ એકબીજાને લંબ છે.
ત્રીજા પોલેરોઇડ પછીની તીવ્રતા $I_3 = I_2 \cos^2(90^{\circ} - \theta) = I_2 \sin^2 \theta$ છે.
$I_2$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $I_3 = \frac{I_0}{2} \cos^2 \theta \sin^2 \theta = \frac{I_0}{8} (2 \sin \theta \cos \theta)^2 = \frac{I_0}{8} \sin^2(2 \theta)$ મળે છે.
આપેલ છે કે $I_3 = 3 \, W m^{-2}$ અને $I_0 = 32 \, W m^{-2}$,તેથી $3 = \frac{32}{8} \sin^2(2 \theta) = 4 \sin^2(2 \theta)$.
$\sin^2(2 \theta) = \frac{3}{4} \implies \sin(2 \theta) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
આમ,$2 \theta = 60^{\circ}$ અથવા $120^{\circ}$,જે $\theta = 30^{\circ}$ અથવા $60^{\circ}$ આપે છે.

(D) ધારો કે $I_0$ એ પ્રથમ પોલેરોઇડ પર આપાત થતા અધ્રુવીભૂત પ્રકાશની તીવ્રતા છે.
$I_1 = I_0 / 2$ એ પ્રથમ પોલેરોઇડમાંથી પ્રસારિત પ્રકાશની તીવ્રતા છે.
ધારો કે $\theta$ એ પ્રથમ અને બીજા પોલેરોઇડ વચ્ચેનો ખૂણો છે,અને $\phi$ એ બીજા અને ત્રીજા પોલેરોઇડ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
પ્રથમ અને ત્રીજા પોલેરોઇડ ક્રોસ્ડ હોવાથી,$\theta + \phi = 90^{\circ}$,તેથી $\phi = 90^{\circ} - \theta$.
બીજા પોલેરોઇડમાંથી પ્રસારિત તીવ્રતા $I_2 = I_1 \cos^2 \theta$ છે.
ત્રીજા પોલેરોઇડમાંથી પ્રસારિત તીવ્રતા $I_3 = I_2 \cos^2 \phi = I_1 \cos^2 \theta \cos^2 (90^{\circ} - \theta) = I_1 \cos^2 \theta \sin^2 \theta$ છે.
$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $I_3 = I_1 (\sin 2\theta / 2)^2 = (I_0 / 2) \cdot (\sin^2 2\theta / 4) = (I_0 / 8) \sin^2 2\theta$ મળે છે.
$I_3$ ત્યારે મહત્તમ હોય જ્યારે $\sin^2 2\theta = 1$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $2\theta = 90^{\circ}$,તેથી $\theta = 45^{\circ}$.

(A) $1$. જ્યારે $I_0$ તીવ્રતા ધરાવતો અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ પ્રથમ પોલેરોઇડ $A$ માંથી પસાર થાય છે,ત્યારે બહાર આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I_1 = I_0 / 2$ થાય છે.
$2$. માલસના નિયમ મુજબ,જ્યારે આ ધ્રુવીભૂત પ્રકાશ બીજા પોલેરોઇડ $B$ માંથી પસાર થાય છે,જેની ધ્રુવીભવન અક્ષ પ્રથમ પોલેરોઇડ સાથે $\theta = 45^{\circ}$ ના ખૂણે છે,ત્યારે અંતિમ તીવ્રતા $I_2 = I_1 \cos^2 \theta$ દ્વારા મળે છે.
$3$. કિંમતો મૂકતા: $I_2 = (I_0 / 2) \cos^2(45^{\circ})$.
$4$. કારણ કે $\cos(45^{\circ}) = 1 / \sqrt{2}$,તેથી $\cos^2(45^{\circ}) = 1/2$.
$5$. તેથી,$I_2 = (I_0 / 2) \times (1 / 2) = I_0 / 4$.

(D) અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ જ્યારે એક પોલેરાઇઝરમાંથી પસાર થાય ત્યારે તેની તીવ્રતા અડધી થઈ જાય છે: $I_{P} = I_B / 2$.
મેલસના નિયમ મુજબ,જ્યારે આ પ્રકાશ બીજા પોલેરાઇઝરમાંથી પસાર થાય છે જેની પાસ-એક્સિસ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 45^{\circ}$ છે,ત્યારે તીવ્રતા $I_B' = I_P \cos^2(45^{\circ})$ થાય છે.
કિંમતો મૂકતા: $I_B' = (I_B / 2) \times (1 / \sqrt{2})^2 = (I_B / 2) \times (1 / 2) = I_B / 4$.
નવો ગુણોત્તર $r'$ એ $r' = I_A / I_B' = I_A / (I_B / 4) = 4 \times (I_A / I_B)$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $I_A / I_B = 2$,તેથી $r' = 4 \times 2 = 8$.

(B) જ્યારે $I_0$ તીવ્રતાનો અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ પોલરાઈઝરમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે બહાર આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા $\frac{I_0}{2}$ થાય છે.
તેથી,$P_1$ અને $P_2$ માંથી બહાર આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I_1 = I_2 = \frac{I_0}{2}$ છે.
જ્યારે આ પ્રકાશ $P_3$ માંથી પસાર થાય છે (જેની અક્ષ $P_1$ અને $P_2$ બંને સાથે $45^{\circ}$ ના ખૂણે છે),ત્યારે દરેક તરંગની તીવ્રતા $I' = I_1 \cos^2(45^{\circ}) = \frac{I_0}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{I_0}{4}$ થાય છે.
જે બિંદુએ પથ તફાવત $\Delta x = \frac{\lambda}{3}$ છે,ત્યાં કળા તફાવત $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{3} = \frac{2\pi}{3}$ થાય છે.
પરિણામી તીવ્રતા $I_{res}$ નું સૂત્ર $I_{res} = I' + I' + 2\sqrt{I' I'} \cos(\Delta \phi) = 2I' + 2I' \cos(\frac{2\pi}{3})$ છે.
$I' = \frac{I_0}{4}$ અને $\cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$ મૂકતા:
$I_{res} = 2(\frac{I_0}{4}) + 2(\frac{I_0}{4})(-\frac{1}{2}) = \frac{I_0}{2} - \frac{I_0}{4} = \frac{I_0}{4}$.

(A) ધારો કે $P_1$ પર આપાત થતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I_0$ છે. $P_1$ અને $P_2$ પરસ્પર લંબ હોવાથી તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ અથવા $\frac{\pi}{2}$ છે.
ધારો કે $P_1$ અને $P_3$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે. તેથી $P_3$ અને $P_2$ વચ્ચેનો ખૂણો $(\frac{\pi}{2} - \theta)$ થશે.
મેલસના નિયમ મુજબ,$P_3$ માંથી પસાર થયા પછી તીવ્રતા $I_1 = I_0 \cos^2 \theta$ મળે.
$P_2$ માંથી પસાર થયા પછીની તીવ્રતા $I_{\text{net}} = I_1 \cos^2(\frac{\pi}{2} - \theta) = I_0 \cos^2 \theta \sin^2 \theta$ થાય.
$I_{\text{net}} = I_0 (\sin \theta \cos \theta)^2 = I_0 (\frac{\sin 2\theta}{2})^2 = \frac{I_0}{4} \sin^2(2\theta)$.
મહત્તમ તીવ્રતા માટે,$\sin^2(2\theta) = 1$ હોવું જોઈએ,તેથી $2\theta = 90^{\circ}$ અથવા $\theta = 45^{\circ}$ અથવા $\frac{\pi}{4}$.
આમ,$P_3$ અને $P_2$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{2} - \theta = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$ થાય.

(C) ધારો કે પ્રથમ પોલેરોઇડમાંથી પસાર થયા પછી પ્રકાશની તીવ્રતા $I_0$ છે.
જ્યારે બીજો પોલેરોઇડ પ્રથમ પોલેરોઇડ સાથે $\theta = 22.5^{\circ}$ ના ખૂણે મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તેમાંથી પ્રસારિત પ્રકાશની તીવ્રતા માલસના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $I_1 = I_0 \cos^2 \theta$.
ત્રીજો પોલેરોઇડ બીજા પોલેરોઇડની સાપેક્ષમાં $(90^{\circ} - \theta)$ ના ખૂણે મૂકવામાં આવે છે.
ત્રીજા પોલેરોઇડમાંથી પ્રસારિત પ્રકાશની તીવ્રતા $I_2 = I_1 \cos^2(90^{\circ} - \theta) = I_0 \cos^2 \theta \sin^2 \theta$ થશે.
નિત્યસમ $\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\sin^2(2\theta) = 4 \sin^2 \theta \cos^2 \theta$ મળે છે,તેથી $\sin^2 \theta \cos^2 \theta = \frac{\sin^2(2\theta)}{4}$.
આ કિંમતને $I_2$ ના સમીકરણમાં મૂકતા: $I_2 = I_0 \frac{\sin^2(2\theta)}{4}$.
અહીં $\theta = 22.5^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી $2\theta = 45^{\circ}$.
$I_2 = \frac{I_0}{4} \sin^2(45^{\circ}) = \frac{I_0}{4} \times (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{I_0}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{I_0}{8}$.

(D) મેલસના નિયમ મુજબ,પોલેરોઇડમાંથી પારગમિત પ્રકાશની તીવ્રતા $I = I_0 \cos^2(\phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I_0$ એ મહત્તમ તીવ્રતા છે અને $\phi$ એ બે પોલેરોઇડની ધ્રુવીભવન દિશાઓ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
શરૂઆતમાં,ધ્રુવીભવન દિશાઓ સમાંતર છે,તેથી $\phi = 0^\circ$ અને $I = I_0$.
આપણે નવી તીવ્રતા $I'$ ને પ્રારંભિક તીવ્રતા કરતા અડધી કરવા માંગીએ છીએ,તેથી $I' = \frac{I_0}{2}$.
આ કિંમત મેલસના નિયમમાં મૂકતા: $\frac{I_0}{2} = I_0 \cos^2(\phi)$.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા $\cos^2(\phi) = \frac{1}{2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\cos(\phi) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$\phi = 45^\circ$.

(D) જ્યારે $I_0$ તીવ્રતાનો કુદરતી પ્રકાશ પ્રથમ પોલેરોઇડમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે પ્રસારિત તીવ્રતા $I_1 = \frac{I_0}{2}$ થાય છે.
ત્યારબાદના પોલેરોઇડ્સ માટે,મેલસનો નિયમ $I_n = I_{n-1} \cos^2 \theta$ મુજબ છે,જ્યાં $\theta = 60^{\circ}$ છે.
કારણ કે $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$,તેથી $\cos^2 60^{\circ} = \frac{1}{4}$ થાય.
$P_2$ માટે: $I_2 = I_1 \cos^2 60^{\circ} = \frac{I_0}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{I_0}{8}$.
$P_3$ માટે: $I_3 = I_2 \cos^2 60^{\circ} = \frac{I_0}{8} \times \frac{1}{4} = \frac{I_0}{32}$.
$P_4$ માટે: $I_4 = I_3 \cos^2 60^{\circ} = \frac{I_0}{32} \times \frac{1}{4} = \frac{I_0}{128}$.
$P_5$ માટે: $I_5 = I_4 \cos^2 60^{\circ} = \frac{I_0}{128} \times \frac{1}{4} = \frac{I_0}{512}$.
આપાત તીવ્રતાનો અંશ $\frac{I_5}{I_0} = \frac{1}{512}$ છે.

(C) ધારો કે આપાત અધ્રુવીભૂત પ્રકાશની તીવ્રતા $I_0$ છે.
જ્યારે અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ પ્રથમ પોલરાઈઝરમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે બહાર આવતા ધ્રુવીભૂત પ્રકાશની તીવ્રતા $I_1 = \frac{I_0}{2}$ થાય છે.
મેલસના નિયમ મુજબ,જ્યારે આ ધ્રુવીભૂત પ્રકાશ બીજા પોલરાઈઝરમાંથી પસાર થાય છે જેનું મુખ્ય સમતલ પ્રથમ સાથે $\theta = 60^{\circ}$ ના ખૂણે છે,ત્યારે બહાર આવતી તીવ્રતા $I_2 = I_1 \cos^2 \theta$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $I_2 = \left(\frac{I_0}{2}\right) \cos^2 60^{\circ} = \left(\frac{I_0}{2}\right) \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{I_0}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{I_0}{8}$.
સિસ્ટમમાંથી પસાર થતા આપાત પ્રકાશની ટકાવારી $\frac{I_2}{I_0} \times 100 = \frac{I_0/8}{I_0} \times 100 = \frac{100}{8} = 12.5 \%$ છે.

(A) ટુરમેલિન સ્ફટિક એ ડાયક્રોઇક (dichroic) પદાર્થ છે. જ્યારે અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ તેમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે સ્ફટિક પસંદગીયુક્ત રીતે સામાન્ય કિરણ (ઓપ્ટિક એક્સિસને લંબ રૂપે કંપન કરતો પ્રકાશનો ઘટક) નું શોષણ કરે છે અને અસામાન્ય કિરણ (ઓપ્ટિક એક્સિસને સમાંતર કંપન કરતો પ્રકાશનો ઘટક) નું પ્રસારણ કરે છે. તેથી,સ્ફટિકમાંથી બહાર આવતો પ્રકાશ સમતલ-ધ્રુવીભૂત હોય છે.

(A) ધારો કે બિન-ધ્રુવીભૂત પ્રકાશની પ્રારંભિક તીવ્રતા $I_0 = 256 \ W/m^2$ છે.
જ્યારે બિન-ધ્રુવીભૂત પ્રકાશ પ્રથમ પોલેરોઇડ $P_1$ માંથી પસાર થાય છે,ત્યારે પ્રસારિત પ્રકાશની તીવ્રતા $I_1 = I_0 / 2 = 256 / 2 = 128 \ W/m^2$ થાય છે.
$P_2$ ની પાસ એક્સિસ $P_1$ ની સાપેક્ષે $\theta_1 = 60^{\circ}$ ના ખૂણે છે. મેલસના નિયમ મુજબ,$P_2$ પછીની તીવ્રતા $I_2 = I_1 \cos^2(\theta_1) = 128 \times \cos^2(60^{\circ}) = 128 \times (0.5)^2 = 128 \times 0.25 = 32 \ W/m^2$ છે.
$P_3$ ની પાસ એક્સિસ $P_1$ ની સાપેક્ષે $90^{\circ}$ ના ખૂણે છે. $P_2$ અને $P_3$ ની પાસ એક્સિસ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta_2 = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ છે.
$P_3$ માટે ફરીથી મેલસનો નિયમ લાગુ પાડતા,બિંદુ $O$ પર અંતિમ તીવ્રતા $I_3 = I_2 \cos^2(\theta_2) = 32 \times \cos^2(30^{\circ}) = 32 \times (\sqrt{3}/2)^2 = 32 \times (3/4) = 24 \ W/m^2$ મળે છે.

(B) જ્યારે $I_0$ તીવ્રતાનો અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ પ્રથમ પોલેરોઇડમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે બહાર આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I_1 = I_0 / 2$ થાય છે.
ત્યારબાદના પોલેરોઇડ માટે,આપણે મેલસના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $I_n = I_{n-1} \cos^2 \theta$,જ્યાં $\theta = 30^{\circ}$ છે.
બીજા પોલેરોઇડ પછીની તીવ્રતા: $I_2 = I_1 \cos^2 30^{\circ} = (I_0 / 2) \times (\sqrt{3} / 2)^2 = (I_0 / 2) \times (3 / 4) = 3 I_0 / 8$.
ત્રીજા પોલેરોઇડ પછીની તીવ્રતા: $I_3 = I_2 \cos^2 30^{\circ} = (3 I_0 / 8) \times (3 / 4) = 9 I_0 / 32$.
ચોથા પોલેરોઇડ પછીની તીવ્રતા: $I_4 = I_3 \cos^2 30^{\circ} = (9 I_0 / 32) \times (3 / 4) = 27 I_0 / 128$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) જ્યારે $I_0$ તીવ્રતાનો અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ પ્રથમ પોલરોઇડમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે બહાર આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I_1 = \frac{I_0}{2}$ થાય છે.
મેલસના નિયમ મુજબ,પોલરોઇડમાંથી બહાર આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I = I_{incident} \cos^2 \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ પોલરોઇડની પાસ અક્ષ અને આપાત પ્રકાશના ધ્રુવીભવનના સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
બીજા પોલરોઇડ માટે,તેની પાસ અક્ષ અને પ્રથમ પોલરોઇડની પાસ અક્ષ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta_1 = 30^{\circ}$ છે. તેથી,બીજા પોલરોઇડમાંથી બહાર આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I_2 = I_1 \cos^2 30^{\circ} = \left(\frac{I_0}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \left(\frac{I_0}{2}\right) \left(\frac{3}{4}\right) = \frac{3 I_0}{8}$ થાય છે.
ત્રીજા પોલરોઇડ માટે,તેની પાસ અક્ષ અને બીજા પોલરોઇડની પાસ અક્ષ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta_2 = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$ છે. તેથી,ત્રીજા પોલરોઇડમાંથી બહાર આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I_3 = I_2 \cos^2 60^{\circ} = \left(\frac{3 I_0}{8}\right) \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \left(\frac{3 I_0}{8}\right) \left(\frac{1}{4}\right) = \frac{3 I_0}{32}$ થાય છે.

(B) $1$. જ્યારે $I_0$ તીવ્રતાનો અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ પ્રથમ પોલેરોઇડમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે બહાર આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I_1 = \frac{I_0}{2}$ થાય છે.
$2$. પ્રથમ અને બીજા પોલેરોઇડ એકબીજાને લંબ (ક્રોસ્ડ) છે (ધરી વચ્ચેનો ખૂણો $90^\circ$ છે),તેથી શરૂઆતમાં બીજા પોલેરોઇડમાંથી કોઈ પ્રકાશ પસાર થતો નથી.
$3$. ત્રીજો પોલેરોઇડ તેમની વચ્ચે પ્રથમ પોલેરોઇડ સાથે $\theta$ ખૂણે મૂકવામાં આવે છે. ત્રીજા અને બીજા પોલેરોઇડ વચ્ચેનો ખૂણો $(90^\circ - \theta)$ થશે.
$4$. ત્રીજા પોલેરોઇડ પછીની તીવ્રતા: $I_2 = I_1 \cos^2 \theta = \frac{I_0}{2} \cos^2 \theta$.
$5$. મેલસના નિયમ મુજબ બીજા (છેલ્લા) પોલેરોઇડ પછીની તીવ્રતા: $I_3 = I_2 \cos^2(90^\circ - \theta) = I_2 \sin^2 \theta$.
$6$. $I_2$ ની કિંમત મૂકતા: $I_3 = (\frac{I_0}{2} \cos^2 \theta) \sin^2 \theta = \frac{I_0}{2} (\sin \theta \cos \theta)^2 = \frac{I_0}{2} (\frac{\sin 2 \theta}{2})^2 = \frac{I_0}{8} \sin^2 2 \theta$.

(D) જ્યારે $I_0$ તીવ્રતા ધરાવતો અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ પ્રથમ પોલેરોઇડમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે પારગમિત પ્રકાશની તીવ્રતા $I_1 = I_0 / 2$ થાય છે.
આ પ્રકાશ હવે સમતલ ધ્રુવીભૂત છે.
જ્યારે આ પ્રકાશ બીજા પોલેરોઇડમાંથી પસાર થાય છે જેની ટ્રાન્સમિશન ધરી પ્રથમ સાથે $\theta = 30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે,ત્યારે પારગમિત પ્રકાશની તીવ્રતા $I_2$ માલસના નિયમ દ્વારા મળે છે: $I_2 = I_1 \cos^2 \theta$.
કિંમતો મૂકતા: $I_2 = (I_0 / 2) \cos^2 30^{\circ}$.
કારણ કે $\cos 30^{\circ} = \sqrt{3} / 2$,તેથી $\cos^2 30^{\circ} = 3 / 4$.
તેથી,$I_2 = (I_0 / 2) \times (3 / 4) = 3 I_0 / 8$.
અંશની ગણતરી કરતા: $3 / 8 = 0.375$,જે $37.5 \%$ છે.

(B) ધારો કે આપાત પ્રકાશની તીવ્રતા $I_0$ છે.
જ્યારે પ્રકાશ પ્રથમ પોલેરોઇડમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે તેની તીવ્રતા $I_1 = I_0/2$ થાય છે (અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ માટે).
બીજા પોલેરોઇડ માટે,ટ્રાન્સમિશન ધરી અને આપાત પ્રકાશ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 60^{\circ}$ છે. મેલસના નિયમ મુજબ,$I_2 = I_1 \cos^2(60^{\circ}) = (I_0/2) \times (1/2)^2 = I_0/8$.
ત્રીજા પોલેરોઇડ માટે,તેની ટ્રાન્સમિશન ધરી અને બીજા પોલેરોઇડની ધરી વચ્ચેનો ખૂણો પણ $\theta = 60^{\circ}$ છે.
તેથી,$I_3 = I_2 \cos^2(60^{\circ}) = (I_0/8) \times (1/2)^2 = I_0/32$.
સિસ્ટમમાંથી પસાર થતી આપાત પ્રકાશની તીવ્રતાનો અંશ $I_3/I_0 = 1/32$ છે.

(C) મેલસના નિયમ મુજબ,પોલેરાઇઝરમાંથી પસાર થતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I = I_{in} \cos^2 \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ આપાત પ્રકાશની પોલેરાઇઝેશન દિશા અને પોલેરાઇઝરની પાસ એક્સિસ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$1$. જ્યારે $I_0$ તીવ્રતાનો અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ પ્રથમ પોલેરોઇડ $P_1$ માંથી પસાર થાય છે,ત્યારે બહાર આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I_1 = \frac{I_0}{2}$ થાય છે.
$2$. $P_1$ માંથી આવતો પ્રકાશ હવે $P_1$ ની એક્સિસની સાપેક્ષે $0^{\circ}$ પર પોલેરાઇઝ થયેલ છે. $P_2$ એ $P_1$ સાથે $60^{\circ}$ ના ખૂણે છે. તેથી,$P_2$ પછીની તીવ્રતા:
$I_2 = I_1 \cos^2(60^{\circ}) = \frac{I_0}{2} \times (0.5)^2 = \frac{I_0}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{I_0}{8}$.
$3$. $P_2$ માંથી આવતો પ્રકાશ $P_1$ ની સાપેક્ષે $60^{\circ}$ પર પોલેરાઇઝ થયેલ છે. $P_3$ એ $P_1$ ની સાપેક્ષે $90^{\circ}$ પર છે. તેથી $P_2$ માંથી આવતા પ્રકાશ અને $P_3$ ની પાસ એક્સિસ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ છે.
$4$. $P_3$ પછીની તીવ્રતા:
$I_3 = I_2 \cos^2(30^{\circ}) = \frac{I_0}{8} \times \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{I_0}{8} \times \frac{3}{4} = \frac{3 I_0}{32}$.

(A) મેલસના નિયમ મુજબ,પોલરાઈઝરમાંથી પસાર થતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I = I_{max} \cos^2 \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ બે પોલરાઈઝરની ટ્રાન્સમિશન ધરી વચ્ચેનો ખૂણો છે.
શરૂઆતમાં,મુખ્ય સમતલો સમાંતર છે,તેથી $\theta = 0^{\circ}$ અને તીવ્રતા $I_0 = I_{max}$ છે.
જ્યારે સ્ફટિક $B$ ને $45^{\circ}$ ના ખૂણે ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે ટ્રાન્સમિશન ધરી વચ્ચેનો નવો ખૂણો $\theta = 45^{\circ}$ થાય છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$I = I_0 \cos^2(45^{\circ})$
$I = I_0 \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2$
$I = I_0 \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{I_0}{2}$.

(C) જ્યારે અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ પ્રથમ પોલરોઇડમાંથી પસાર થાય છે, ત્યારે તે $I_0 = I_{in} / 2$ તીવ્રતા સાથે રેખીય રીતે ધ્રુવીભૂત બને છે.
જ્યારે આ ધ્રુવીભૂત પ્રકાશ બીજા પોલરોઇડ પર પડે છે, ત્યારે માલસના નિયમ મુજબ પ્રસારિત તીવ્રતા $I = I_0 \cos^2 \theta$ મળે છે.
પોલરોઇડ્સ ક્રોસ્ડ હોવાથી, તેમની ટ્રાન્સમિશન અક્ષો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 90^{\circ}$ છે.
આ કિંમત મૂકતા, આપણને $I = I_0 \cos^2(90^{\circ}) = I_0 \times 0 = 0$ મળે છે.
તેથી, પ્રકાશ બીજા પોલરોઇડ દ્વારા સંપૂર્ણપણે અવરોધાય છે.

(A) જ્યારે $I_{0}$ તીવ્રતાનો અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ પોલરાઇઝિંગ શીટ પર આપાત થાય છે, ત્યારે પારગમિત પ્રકાશની તીવ્રતા $I_{t} = \frac{I_{0}}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કુલ આપાત તીવ્રતા $I_{0}$ છે અને પારગમિત તીવ્રતા $\frac{I_{0}}{2}$ હોવાથી, જે પ્રકાશનું પ્રસરણ થતું નથી તેની તીવ્રતા એ આપાત અને પારગમિત તીવ્રતા વચ્ચેનો તફાવત છે.
અપારગમિત પ્રકાશની તીવ્રતા = $I_{0} - I_{t} = I_{0} - \frac{I_{0}}{2} = \frac{I_{0}}{2}$.

(C) ધારો કે પ્રકાશની પ્રારંભિક તીવ્રતા $I_{0}$ છે.
મેલસના નિયમ મુજબ,ટુરમેલિન પ્લેટમાંથી પસાર થયા પછી પ્રકાશની અંતિમ તીવ્રતા $I$ નીચે મુજબ મળે છે:
$I = I_{0} \cos^{2} \theta$
અહીં ખૂણો $\theta = 60^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી:
$I = I_{0} \cos^{2} 60^{\circ} = I_{0} \left(\frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{I_{0}}{4}$
પ્રારંભિક અને અંતિમ તીવ્રતા વચ્ચેનો ટકાવારી તફાવત નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$\text{ટકાવારી તફાવત} = \left(\frac{I_{0} - I}{I_{0}}\right) \times 100$
$I$ ની કિંમત મૂકતા:
$\text{ટકાવારી તફાવત} = \left(\frac{I_{0} - \frac{I_{0}}{4}}{I_{0}}\right) \times 100 = \left(\frac{\frac{3I_{0}}{4}}{I_{0}}\right) \times 100 = \frac{3}{4} \times 100 = 75 \%$

(D) જ્યારે $I_1$ તીવ્રતા ધરાવતો અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ પોલરોઇડ પર આપાત થાય છે,ત્યારે બહાર આવતા ધ્રુવીભૂત પ્રકાશની તીવ્રતા $I_2$ એ અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ માટેના મેલસના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ નિયમ મુજબ,પોલરાઇઝરમાંથી પસાર થતા પ્રકાશની તીવ્રતા એ આપાત અધ્રુવીભૂત પ્રકાશની તીવ્રતા કરતા અડધી હોય છે.
તેથી,$I_2 = \frac{I_1}{2}$.
આ સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $I_1 = 2I_2$ મળે છે.

(D) મેલસના નિયમ મુજબ,બહાર આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$I = I_{0} \cos^{2} \theta$
જ્યાં $I$ એ બહાર આવતા ધ્રુવીભૂત પ્રકાશની તીવ્રતા છે,$I_{0}$ એ આપાત ધ્રુવીભૂત પ્રકાશની તીવ્રતા છે,અને $\theta$ એ બંને પોલરાઈઝરની પાસ એક્સિસ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
અહીં $\theta = 60^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી આપણે આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકીએ:
$I = I_{0} \cos^{2}(60^{\circ})$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(60^{\circ}) = 1/2$,તેથી:
$I = I_{0} \times (1/2)^{2}$
$I = I_{0} \times (1/4)$
$I = I_{0} / 4$
આમ,બીજા પોલરાઈઝરમાંથી બહાર આવતા ધ્રુવીભૂત પ્રકાશની તીવ્રતા $I_{0} / 4$ છે.

(B) જ્યારે $I_0$ તીવ્રતાનો અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ પ્રથમ પોલેરોઇડમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે પારગમિત પ્રકાશની તીવ્રતા $I_1 = \frac{I_0}{2}$ થાય છે.
પ્રથમ અને બીજા પોલેરોઇડની પાસ અક્ષો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta_{12} = 30^{\circ}$ છે. મેલસના નિયમ મુજબ,બીજા પોલેરોઇડમાંથી પારગમિત પ્રકાશની તીવ્રતા $I_2 = I_1 \cos^2(30^{\circ}) = \frac{I_0}{2} \times (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{I_0}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{3 I_0}{8}$ થાય છે.
બીજા અને ત્રીજા પોલેરોઇડની પાસ અક્ષો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta_{23} = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$ છે.
મેલસના નિયમ મુજબ,ત્રીજા પોલેરોઇડમાંથી પારગમિત પ્રકાશની તીવ્રતા $I_3 = I_2 \cos^2(60^{\circ}) = \frac{3 I_0}{8} \times (\frac{1}{2})^2 = \frac{3 I_0}{8} \times \frac{1}{4} = \frac{3 I_0}{32}$ થાય છે.

(A) $I$ તીવ્રતા ધરાવતો અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ જ્યારે પ્રથમ પોલેરોઇડમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે તેની તીવ્રતા $\frac{I}{2}$ બને છે.
મેલસના નિયમ મુજબ,બીજા પોલેરોઇડમાંથી બહાર આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I^{\prime}$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$I^{\prime} = I_{0} \cos^2 \theta$
જ્યાં $I_{0} = \frac{I}{2}$ એ બીજા પોલેરોઇડ પર આપાત થતા પ્રકાશની તીવ્રતા છે અને $\theta$ એ પાસ અક્ષો વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ છે કે $I^{\prime} = \frac{I}{4}$,તેથી:
$\frac{I}{4} = \frac{I}{2} \cos^2 \theta$
$\cos^2 \theta = \frac{1}{2}$
$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\theta = 45^{\circ}$

(C) જ્યારે $I_{0}$ તીવ્રતા ધરાવતો અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ પ્રથમ પોલેરોઇડ $P_{1}$ માંથી પસાર થાય છે,ત્યારે પારગમિત પ્રકાશની તીવ્રતા $I_{1} = \frac{I_{0}}{2}$ થાય છે.
અહીં $I_{0} = 128 \ Wm^{-2}$ આપેલ છે,તેથી $I_{1} = \frac{128}{2} = 64 \ Wm^{-2}$.
મેલસના નિયમ મુજબ,જ્યારે $I_{1}$ તીવ્રતા ધરાવતો પ્રકાશ એવા પોલેરોઇડમાંથી પસાર થાય છે જેની પાસ અક્ષ આપાત પ્રકાશની ધ્રુવીભવન દિશા સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે,ત્યારે પારગમિત તીવ્રતા $I = I_{1} \cos^{2} \theta$ થાય છે.
$P_{2}$ માટે,$P_{1}$ અને $P_{2}$ ની પાસ અક્ષ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta_{1} = 45^{\circ}$ છે.
$P_{2}$ પછીની તીવ્રતા $I_{2} = I_{1} \cos^{2} 45^{\circ} = 64 \times (\frac{1}{\sqrt{2}})^{2} = 64 \times \frac{1}{2} = 32 \ Wm^{-2}$ છે.
$P_{3}$ માટે,$P_{2}$ અને $P_{3}$ ની પાસ અક્ષ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta_{2} = 45^{\circ}$ છે.
$P_{3}$ પછીની તીવ્રતા $I_{3} = I_{2} \cos^{2} 45^{\circ} = 32 \times (\frac{1}{\sqrt{2}})^{2} = 32 \times \frac{1}{2} = 16 \ Wm^{-2}$ છે.

(A) મેલસના નિયમ મુજબ,પોલરાઇઝરમાંથી પસાર થતા પ્રકાશની તીવ્રતા નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$I = I_{0} \cos^{2} \theta$
જ્યાં $I_{0}$ એ બીજા પોલરાઇઝર પર આપાત થતા પ્રકાશની તીવ્રતા છે (જે પ્રથમ પોલરાઇઝરમાંથી બહાર આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા છે),અને $\theta$ એ બે પોલરાઇઝરની પાસ અક્ષો વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ છે કે બીજા પોલરાઇઝરમાંથી આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા $(I)$ એ પ્રથમ પોલરાઇઝરની તીવ્રતા $(I_{0})$ કરતા અડધી છે,તેથી:
$I = \frac{I_{0}}{2}$
આ કિંમત મેલસના નિયમમાં મૂકતા:
$\frac{I_{0}}{2} = I_{0} \cos^{2} \theta$
$\frac{1}{2} = \cos^{2} \theta$
$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 45^{\circ}$
તેથી,પોલરાઇઝરની પાસ અક્ષો વચ્ચેનો ખૂણો $45^{\circ}$ છે.

(A) ખાંડના દ્રાવણ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું પ્રકાશીય પરિભ્રમણ $\theta$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\theta = S \cdot l \cdot C$, જ્યાં $S$ એ વિશિષ્ટ પરિભ્રમણ છે, $l$ એ ટ્યુબની લંબાઈ છે અને $C$ એ દ્રાવણની સાંદ્રતા છે。
પ્રથમ કિસ્સામાં, $\theta = S \cdot l \cdot C$, જ્યાં $l = 0.2 \,m$ અને $C = \frac{m}{V}$, જ્યાં $m$ એ ખાંડનું દળ છે અને $V$ એ ટ્યુબનું કદ છે $(V = \pi R^2 l)$。
આમ, $\theta = S \cdot l \cdot \frac{m}{\pi R^2 l} = \frac{S \cdot m}{\pi R^2}$。
બીજા કિસ્સામાં, સમાન દળ $m$ ધરાવતી ખાંડને $l_1 = 0.3 \,m$ લંબાઈ અને સમાન ત્રિજ્યા $R$ ધરાવતી ટ્યુબમાં રાખવામાં આવે છે। નવી ટ્યુબનું કદ $V_1 = \pi R^2 l_1 = \pi R^2 (0.3)$ છે。
બીજા કિસ્સામાં દ્રાવણની સાંદ્રતા $C_1 = \frac{m}{V_1} = \frac{m}{\pi R^2 (0.3)}$ છે。
નવું પરિભ્રમણ $\theta_1 = S \cdot l_1 \cdot C_1 = S \cdot (0.3) \cdot \frac{m}{\pi R^2 (0.3)} = \frac{S \cdot m}{\pi R^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે。
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા, આપણને $\theta_1 = \theta$ મળે છે。

(C) ધ્રુવીભવનની ઘટના એ લંબગત તરંગોનો લાક્ષણિક ગુણધર્મ છે. સંગત તરંગો,જેમ કે ધ્વનિ તરંગો,ધ્રુવીભૂત થઈ શકતા નથી કારણ કે તેમનું દોલન પ્રસરણની દિશામાં જ હોય છે. પ્રકાશનું ધ્રુવીભવન થઈ શકે છે,જે સાબિત કરે છે કે પ્રકાશના તરંગો લંબગત પ્રકૃતિના છે.

(A) જ્યારે $I_{0}$ તીવ્રતા ધરાવતો અધ્રુવીભૂત પ્રકાશનો કિરણપુંજ પોલેરોઇડમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે તે સમતલ ધ્રુવીભૂત બને છે.
પોલેરોઇડના ગુણધર્મો અનુસાર,બહાર આવતા સમતલ ધ્રુવીભૂત પ્રકાશની તીવ્રતા આપાત થયેલા અધ્રુવીભૂત પ્રકાશની તીવ્રતા કરતા બરાબર અડધી હોય છે.
તેથી,બહાર આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I = \frac{I_{0}}{2}$ થાય છે.

(B) ડાયક્રોઇક સ્ફટિક એ એક એવો પદાર્થ છે જે ડાયક્રોઇઝમનો ગુણધર્મ દર્શાવે છે,જે પ્રકાશના ધ્રુવીભવનની દિશાના આધારે પ્રકાશનું પસંદગીયુક્ત શોષણ છે.
ટુરમાલાઇન જેવા કેટલાક સ્ફટિકોમાં એક ચોક્કસ દિશા (જેને ટ્રાન્સમિશન એક્સિસ કહેવાય છે) ને લંબ રૂપે થતા કંપનોવાળા પ્રકાશનું મજબૂત રીતે શોષણ કરવાનો અને તેની સમાંતર કંપનોવાળા પ્રકાશને પસાર થવા દેવાનો ગુણધર્મ હોય છે.
પ્રકાશના આ પસંદગીયુક્ત શોષણને ડાયક્રોઇઝમ કહેવામાં આવે છે.
તેથી,ટુરમાલાઇન એ ડાયક્રોઇક સ્ફટિકનું જાણીતું ઉદાહરણ છે.

(D) દ્રાવણ $A$ માટે: $L_{1} = 20 \ cm$,$\theta_{1} = +38^{\circ}$. ધારો કે સાંદ્રતા $C_{1}$ છે. વિશિષ્ટ પરિભ્રમણ $\alpha_{1} = \frac{\theta_{1}}{L_{1} C_{1}} = \frac{38^{\circ}}{20 C_{1}}$ છે.
દ્રાવણ $B$ માટે: $L_{2} = 30 \ cm$,$\theta_{2} = -24^{\circ}$ (ડાબી બાજુ). ધારો કે સાંદ્રતા $C_{2}$ છે. વિશિષ્ટ પરિભ્રમણ $\alpha_{2} = \frac{\theta_{2}}{L_{2} C_{2}} = \frac{-24^{\circ}}{30 C_{2}}$ છે.
મિશ્રણમાં,કદનો ગુણોત્તર $1:2$ છે. તેથી,નવી સાંદ્રતા $C_{1}' = \frac{C_{1}}{3}$ અને $C_{2}' = \frac{2C_{2}}{3}$ થશે.
$l = 30 \ cm$ ની પથ લંબાઈ માટે કુલ પ્રકાશીય પરિભ્રમણ $\theta = (\alpha_{1} C_{1}' + \alpha_{2} C_{2}') l$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\theta = \left( \frac{38^{\circ}}{20 C_{1}} \cdot \frac{C_{1}}{3} + \frac{-24^{\circ}}{30 C_{2}} \cdot \frac{2 C_{2}}{3} \right) \times 30$.
$\theta = \left( \frac{38^{\circ}}{60} - \frac{48^{\circ}}{90} \right) \times 30 = \left( \frac{19^{\circ}}{30} - \frac{16^{\circ}}{30} \right) \times 30 = 19^{\circ} - 16^{\circ} = +3^{\circ}$.
પરિણામ ધન હોવાથી,તે $3^{\circ}$ નું જમણી બાજુનું પરિભ્રમણ છે.

(C) ધારો કે આપાત અધ્રુવીભૂત પ્રકાશની તીવ્રતા $I_0$ છે।
પ્રથમ પોલરાઇઝરમાંથી પસાર થયા પછી, તીવ્રતા $I_1 = I_0 / 2$ થાય છે।
મેલસના નિયમ મુજબ, પોલરાઇઝરમાંથી બહાર આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I = I_{in} \cos^2 \theta$ છે, જ્યાં $\theta$ એ આપાત પ્રકાશની ધ્રુવીભવન ધરી અને પોલરાઇઝરની ધરી વચ્ચેનો ખૂણો છે।
બીજી શીટ માટે, પ્રથમ અને બીજી શીટ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 30^{\circ}$ છે। તેથી, $I_2 = I_1 \cos^2(30^{\circ}) = (I_0 / 2) \times (\sqrt{3} / 2)^2 = (I_0 / 2) \times (3 / 4) = 3I_0 / 8$.
ત્રીજી શીટ માટે, બીજી અને ત્રીજી શીટ વચ્ચેનો ખૂણો પણ $\theta = 30^{\circ}$ છે। તેથી, $I_3 = I_2 \cos^2(30^{\circ}) = (3I_0 / 8) \times (3 / 4) = 9I_0 / 32$.
બીજી અને ત્રીજી શીટમાંથી બહાર આવતી તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $I_2 / I_3 = (3I_0 / 8) / (9I_0 / 32) = (3 / 8) \times (32 / 9) = 4 / 3$ છે।
તેથી, ગુણોત્તર $4: 3$ છે।

(D) ધારો કે પ્રથમ પોલેરોઇડ પર આપાત થતા અધ્રુવીભૂત પ્રકાશની તીવ્રતા $I_0$ છે.
જ્યારે અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ પ્રથમ પોલેરોઇડમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે બહાર આવતા ધ્રુવીભૂત પ્રકાશની તીવ્રતા $I_1 = \frac{I_0}{2}$ થાય છે.
મેલસના નિયમ મુજબ,જ્યારે આ ધ્રુવીભૂત પ્રકાશ બીજા પોલેરોઇડમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે તેમાંથી બહાર આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I_2 = I_1 \cos^2 \theta$ થાય છે,જ્યાં $\theta$ એ બે પોલેરોઇડની અક્ષો વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ છે કે $I_2 = 37.5 \% \text{ of } I_0 = 0.375 I_0$.
સમીકરણમાં $I_1 = \frac{I_0}{2}$ મૂકતા: $0.375 I_0 = \frac{I_0}{2} \cos^2 \theta$.
$0.375 = 0.5 \cos^2 \theta$.
$\cos^2 \theta = \frac{0.375}{0.5} = 0.75 = \frac{3}{4}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
તેથી,$\theta = 30^{\circ}$.

(D) પોલરાઇઝર પર આપાત થતા અધ્રુવીભૂત પ્રકાશની તીવ્રતા $I$ છે.
પોલરાઇઝરમાંથી પસાર થયા પછી,ધ્રુવીભૂત પ્રકાશની તીવ્રતા $I_1 = \frac{I}{2}$ થાય છે.
મેલસના નિયમ મુજબ,એનાલાઇઝરમાંથી બહાર આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I_2 = I_1 \cos^2 \theta$ છે.
અહીં $\theta = 45^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી $I_2 = \frac{I}{2} \cos^2 45^{\circ}$.
$\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $I_2 = \frac{I}{2} \times (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{I}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{I}{4}$.

(D) સંબંધ $I = I_0 \cos^2 \theta$ ને મેલસનો નિયમ કહેવામાં આવે છે.
આ નિયમ મુજબ,જ્યારે સંપૂર્ણ સમતલ-ધ્રુવીભૂત પ્રકાશ એનાલાઇઝર પર આપાત થાય છે,ત્યારે એનાલાઇઝર દ્વારા પ્રસારિત પ્રકાશની તીવ્રતા એ એનાલાઇઝરની ટ્રાન્સમિશન ધરી અને આપાત પ્રકાશના પોલરાઇઝેશનના સમતલ વચ્ચેના ખૂણાના કોસાઇનના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
અહીં,$I_0$ એ આપાત પ્રકાશની મહત્તમ તીવ્રતા દર્શાવે છે,$I$ એ બહાર આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા દર્શાવે છે,અને $\theta$ એ પોલરાઇઝેશનની દિશા અને એનાલાઇઝરની ધરી વચ્ચેનો ખૂણો છે.

(D) આપેલ છે, વક્રીભવનાંક $\mu = 1.414 = \sqrt{2}$.
સંપૂર્ણ ધ્રુવીભવન માટે, આપાતકોણ એ બ્રુસ્ટર કોણ $i_p$ છે, જ્યાં $\tan i_p = \mu = \sqrt{2}$.
તેથી, $\sin i_p = \sqrt{\frac{2}{3}}$ અને $\cos i_p = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
સ્નેલના નિયમ મુજબ, $\sin i_p = \mu \sin r$, તેથી $\sin r = \frac{\sin i_p}{\mu} = \frac{\sqrt{2/3}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
તેથી, $r = \sin^{-1} \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$. આ $(iii)$ સાથે મેળ ખાય છે.
પરાવર્તન કોણ $\theta$ એ આપાતકોણ $i_p$ જેટલો જ હોય છે. કારણ કે $\cos i_p = \frac{1}{\sqrt{3}}$, તેથી $i_p = \cos^{-1} \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$. આ $(iv)$ સાથે મેળ ખાય છે.
વક્રીભૂત કિરણનો વિચલન કોણ $\delta$ એ $i_p - r = \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right) - \sin^{-1} \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ છે. આ $(ii)$ સાથે મેળ ખાય છે.
આપાત કિરણ અને પરાવર્તિત (ધ્રુવીભૂત) કિરણ વચ્ચેનો ખૂણો $\phi$ એ $i_p + \theta = 2i_p = 2 \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right)$ છે. આ $(i)$ સાથે મેળ ખાય છે.
સાચી જોડ $A-(iv), B-(iii), C-(i), D-(ii)$ છે.