Polarisation of Light and Malus' Law Questions in Gujarati

(D) વ્યતિકરણ,વિવર્તન અને પરાવર્તનની ઘટનાઓ લંબગત અને સંગત બંને તરંગોમાં જોવા મળે છે.
ધ્રુવીભવન એ માત્ર લંબગત તરંગોનો જ ગુણધર્મ છે,કારણ કે તેમાં તરંગના પ્રસરણની દિશાને લંબ રૂપે થતા દોલનોનો સમાવેશ થાય છે.
સંગત તરંગોમાં,જ્યાં દોલનો પ્રસરણની દિશાને સમાંતર હોય છે,તેનું ધ્રુવીભવન થઈ શકતું નથી.
તેથી,બે પ્રકારના તરંગો વચ્ચે તફાવત પારખવા માટે ધ્રુવીભવન એ યોગ્ય ગુણધર્મ છે.

(C) સ્ફટિકોને તેમના પ્રકાશીય ગુણધર્મોના આધારે આઈસોટ્રોપિક,યુનિએક્સિયલ (એક-અક્ષીય) અને બાયએક્સિયલ (દ્વિ-અક્ષીય) સ્ફટિકોમાં વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે.
$1$. આઈસોટ્રોપિક સ્ફટિકો (દા.ત.,કાચ,રોક સોલ્ટ) તમામ દિશાઓમાં સમાન વક્રીભવનાંક ધરાવે છે.
$2$. યુનિએક્સિયલ સ્ફટિકો (દા.ત.,કેલ્સાઈટ,ક્વાર્ટઝ,ટુરમાલાઈન) એક ઓપ્ટિકલ અક્ષ ધરાવે છે.
$3$. બાયએક્સિયલ સ્ફટિકો (દા.ત.,સેલેનાઈટ,માઈકા,એરાગોનાઈટ) બે ઓપ્ટિકલ અક્ષ ધરાવે છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,સેલેનાઈટ એ દ્વિ-અક્ષીય સ્ફટિક છે,જ્યારે કેલ્સાઈટ,ક્વાર્ટઝ અને ટુરમાલાઈન એ એક-અક્ષીય સ્ફટિકો છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) ધ્રુવીભવનની ઘટના એ લંબગત તરંગોનો એક વિશિષ્ટ ગુણધર્મ છે. સંગત તરંગો,જેમ કે ધ્વનિ તરંગો,ધ્રુવીભૂત થઈ શકતા નથી કારણ કે તેમના દોલનો પ્રસરણની દિશામાં થાય છે. પ્રકાશના તરંગોનું ધ્રુવીભવન થઈ શકતું હોવાથી,તે સાબિત થાય છે કે પ્રકાશના તરંગો સ્વભાવે લંબગત છે.

(A) ધ્રુવીભવન એ એવી ઘટના છે જે ફક્ત લંબગત તરંગોમાં જ જોવા મળે છે.
લંબગત તરંગોમાં,માધ્યમના કણોના દોલનો (અથવા પ્રકાશના કિસ્સામાં વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના સદિશો) તરંગના પ્રસરણની દિશાને લંબ રૂપે હોય છે.
પ્રકાશના તરંગો વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો હોવાથી અને તેમના વિદ્યુત ક્ષેત્રના સદિશો પ્રસરણની દિશાને લંબ રૂપે દોલન કરતા હોવાથી,તેઓ ધ્રુવીભવનનો ગુણધર્મ દર્શાવે છે.
સંગત તરંગો,જેમ કે ધ્વનિ તરંગો,નું ધ્રુવીભવન થઈ શકતું નથી કારણ કે તેમના દોલનો પ્રસરણની દિશામાં જ થાય છે.

(C) પ્રકાશના તરંગો લંબગત તરંગો છે,જ્યારે ધ્વનિના તરંગો સંગત તરંગો છે.
ધ્રુવીભવન એ એવી ઘટના છે જે ફક્ત લંબગત તરંગોમાં જ જોવા મળે છે.
ધ્વનિના તરંગો સંગત હોવાથી,તેમનું ધ્રુવીભવન થઈ શકતું નથી.
તેથી,ધ્રુવીભવન એ એવો ગુણધર્મ છે જે પ્રકાશના તરંગોને ધ્વનિના તરંગોથી અલગ પાડે છે.

(D) પોલેરોઇડમાંથી પસાર થતા પ્રકાશની તીવ્રતા માલસના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $I = I_0 \cos^2 \theta$,જ્યાં $\theta$ એ આપાત પ્રકાશના ધ્રુવીભવનના સમતલ અને પોલેરોઇડની ટ્રાન્સમિશન ધરી વચ્ચેનો ખૂણો છે.
જ્યારે પોલેરોઇડને $2\pi$ $(360^\circ)$ જેટલું ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે ખૂણો $\theta$ એ $0$ થી $2\pi$ સુધી બદલાય છે.
- તીવ્રતા $I$ મહત્તમ $(I = I_0)$ થાય છે જ્યારે $\theta = 0$ અને $\theta = \pi$ હોય (બે વાર).
- તીવ્રતા $I$ શૂન્ય થાય છે જ્યારે $\theta = \pi/2$ અને $\theta = 3\pi/2$ હોય (બે વાર).
તેથી,એક સંપૂર્ણ પરિભ્રમણ દરમિયાન,પ્રકાશની તીવ્રતા બે વાર મહત્તમ અને બે વાર શૂન્ય થાય છે.

(A) નિકોલ પ્રિઝમ એ કેલ્સાઇટ સ્ફટિકમાંથી બનેલું એક ઓપ્ટિકલ ઉપકરણ છે જે સમતલ-ધ્રુવીભૂત પ્રકાશ ઉત્પન્ન કરે છે.
જ્યારે અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ નિકોલ પ્રિઝમમાં પ્રવેશે છે,ત્યારે તેનું દ્વિ-વક્રીભવન થઈને સામાન્ય ($O$-કિરણ) અને અસામાન્ય ($E$-કિરણ) કિરણોમાં વિભાજન થાય છે.
$O$-કિરણ કેનેડા બાલસમ સ્તર પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન દ્વારા દૂર થાય છે,જ્યારે $E$-કિરણ સમતલ-ધ્રુવીભૂત પ્રકાશ તરીકે બહાર આવે છે,લંબગોળ ધ્રુવીભૂત પ્રકાશ તરીકે નહીં.
તેથી,વિકલ્પ $A$ માં આપેલ વિધાન ખોટું છે.

(A) બ્રુસ્ટરના નિયમ મુજબ,જ્યારે અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ પારદર્શક સપાટી પર ધ્રુવીભવન કોણે આપાત થાય છે,ત્યારે પરાવર્તિત પ્રકાશ સંપૂર્ણપણે સમતલ-ધ્રુવીભૂત હોય છે.
આ પરાવર્તિત પ્રકાશનો વિદ્યુત ક્ષેત્ર સદિશ આપાતકોણના સમતલને લંબ દિશામાં કંપન કરે છે.
આપેલ આકૃતિમાં,કાચની પ્લેટ આડી ટેબલ પર ઊભી રાખેલી છે. આપાતકોણનું સમતલ એ આપાત કિરણ અને સપાટીને દોરેલા લંબને સમાવતું સમતલ છે. પ્રકાશ ઊભી સપાટી પર લંબ સાથે અમુક ખૂણે આપાત થતો હોવાથી,આપાતકોણનું સમતલ સમક્ષિતિજ (આડું) છે.
તેથી,પરાવર્તિત પ્રકાશનો વિદ્યુત સદિશ,જે સમક્ષિતિજ આપાતકોણના સમતલને લંબ હોવાથી,તે ઊભા (Vertical) સમતલમાં કંપન કરશે.

(A) પોલરોઇડ ગ્લાસ પોલરાઇઝેશનને કારણે પ્રકાશની તીવ્રતા અડધી કરીને ઝગઝગાટ (glare) અને ધૂંધળાપણું ઘટાડે છે. આનાથી આંખોને વધુ આરામ મળે છે અને જોનાર વ્યક્તિ વધુ સારી રીતે જોઈ શકે છે,તેથી તેનો ઉપયોગ સનગ્લાસમાં થાય છે.

(C) પ્રકાશના $\text{ધ્રુવીભવન}$ $(Polarisation)$ ની ઘટના એ સાબિત કરે છે કે પ્રકાશના તરંગો અનુપ્રસ્થ પ્રકૃતિના હોય છે. આ પહેલાં એવું માનવામાં આવતું હતું કે પ્રકાશના તરંગો ધ્વનિ તરંગોની જેમ લંબગત (longitudinal) તરંગો છે. માત્ર અનુપ્રસ્થ તરંગોનું જ ધ્રુવીભવન થઈ શકતું હોવાથી, ધ્રુવીભવનનું અવલોકન પ્રકાશની અનુપ્રસ્થ પ્રકૃતિની પુષ્ટિ કરે છે.

(D) કંપવિસ્તાર માટે મેલસના નિયમ મુજબ,એનાલાઇઝરમાંથી પસાર થતા પ્રકાશનો કંપવિસ્તાર $A' = A \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ પ્રારંભિક કંપવિસ્તાર છે અને $\theta$ એ પોલરાઇઝર અને એનાલાઇઝરની ટ્રાન્સમિશન અક્ષો વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ છે કે,$A = A$ અને $\theta = 60^o$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $A' = A \cos(60^o)$.
કારણ કે $\cos(60^o) = 1/2$,તેથી એનાલાઇઝર દ્વારા પસાર થયેલા પ્રકાશનો કંપવિસ્તાર $A' = A \times (1/2) = A/2$ થશે.

(D) દ્વિ-વક્રીભવનકારક સ્ફટિકમાં,આપાત થતો અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ બે સમતલ-ધ્રુવીભૂત કિરણોમાં વિભાજિત થાય છે.
$1$. સામાન્ય કિરણ ($O$-ray) વક્રીભવનના સામાન્ય નિયમોનું પાલન કરે છે અને તેના કંપનો મુખ્ય છેદ (આપાતકોણનું સમતલ) ને લંબ હોય છે.
$2$. અસામાન્ય કિરણ ($E$-ray) વક્રીભવનના સામાન્ય નિયમોનું પાલન કરતું નથી અને તેના કંપનો મુખ્ય છેદ (આપાતકોણનું સમતલ) માં હોય છે.
તેથી,$E$-ray આપાતકોણના સમતલમાં ધ્રુવીભૂત હોય છે અને $O$-ray આપાતકોણના સમતલને લંબ ધ્રુવીભૂત હોય છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(B) પોલેરીમીટર ટ્યુબ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું પરિભ્રમણ $\theta = S \cdot l \cdot c$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $S$ એ વિશિષ્ટ પરિભ્રમણ છે,$l$ એ ટ્યુબની લંબાઈ છે અને $c$ એ સાંદ્રતા છે.
પ્રથમ ટ્યુબ માટે (ડેક્સ્ટ્રો-રોટેટરી): $\theta_1 = S_1 \cdot l \cdot c_1 = 0.01 \times 0.29 \times 60 = 0.174 \ rad$.
બીજી ટ્યુબ માટે (લેવો-રોટેટરી): $\theta_2 = S_2 \cdot l \cdot c_2 = 0.02 \times 0.29 \times 30 = 0.174 \ rad$.
પ્રથમ દ્રાવણ ડેક્સ્ટ્રો-રોટેટરી (ધન પરિભ્રમણ) હોવાથી અને બીજું લેવો-રોટેટરી (ઋણ પરિભ્રમણ) હોવાથી,ચોખ્ખું પરિભ્રમણ $\theta_{net} = \theta_1 - \theta_2 = 0.174 - 0.174 = 0 \ rad$ થાય છે.
આમ,ઉત્પન્ન થતું ચોખ્ખું પરિભ્રમણ $0^\circ$ છે.

(C) દ્વિ-વક્રીભવનમાં,આપાત પ્રકાશનું કિરણ બે કિરણોમાં વિભાજિત થાય છે: સામાન્ય કિરણ ($O$-કિરણ) અને અસામાન્ય કિરણ ($E$-કિરણ).
કેલ્સાઈટ જેવા નકારાત્મક યુનિએક્સિયલ સ્ફટિક માટે,અસામાન્ય કિરણનો વેગ $(V_E)$ એ સામાન્ય કિરણના વેગ $(V_o)$ કરતા વધારે હોય છે,જેનો અર્થ છે કે $\mu_E < \mu_o$ અથવા $\mu_o > \mu_E$.
આમ,કેલ્સાઈટ માટે $V_o < V_E$ અને $\mu_o > \mu_E$ થાય છે.
ક્વાર્ટઝ જેવા ધનાત્મક યુનિએક્સિયલ સ્ફટિક માટે,અસામાન્ય કિરણનો વેગ $(V_E)$ એ સામાન્ય કિરણના વેગ $(V_o)$ કરતા ઓછો હોય છે,જેનો અર્થ છે કે $\mu_E > \mu_o$.
તેથી,વિકલ્પ $(c)$ કેલ્સાઈટ માટેના સંબંધનું યોગ્ય વર્ણન કરે છે.

(D) મેલસના નિયમ મુજબ,જ્યારે $I_0$ તીવ્રતા ધરાવતો સમતલ-ધ્રુવીભૂત પ્રકાશ એનાલાઇઝરમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે બહાર આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I = I_0 \cos^2 \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ એનાલાઇઝરની ટ્રાન્સમિશન અક્ષ અને આપાત પ્રકાશના ધ્રુવીભવનના સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
શરૂઆતમાં,જો ટ્રાન્સમિશન અક્ષ ધ્રુવીભવનના સમતલ સાથે સંરેખિત હોય,તો $\theta = 0^{\circ}$,તેથી $I = I_0 \cos^2(0^{\circ}) = I_0$ (મહત્તમ તીવ્રતા).
જેમ એનાલાઇઝરને $90^{\circ}$ સુધી ફેરવવામાં આવે છે,તેમ ખૂણો $\theta$ એ $0^{\circ}$ થી $90^{\circ}$ સુધી બદલાય છે.
$\theta = 90^{\circ}$ પર,તીવ્રતા $I = I_0 \cos^2(90^{\circ}) = 0$ (ન્યૂનતમ તીવ્રતા).
તેથી,જેમ એનાલાઇઝરને $90^{\circ}$ સુધી ફેરવવામાં આવે છે,તેમ તીવ્રતા મહત્તમ મૂલ્ય $(I_0)$ થી શૂન્ય સુધી સતત બદલાય છે.
આમ,સાચો જવાબ વિકલ્પ $(D)$ છે.

(A) વિધાન $A$ સાચું છે: ન્યુક્લીક એસિડ એ ઓપ્ટિકલી સક્રિય અણુઓ છે. વર્તુળાકાર ધ્રુવીભૂત પ્રકાશ આ અણુઓની હેલિકલ રચના સાથે અલગ રીતે પ્રતિક્રિયા આપે છે,જે સંશોધકોને સર્ક્યુલર ડાયક્રોઇઝમ જેવી તકનીકોનો ઉપયોગ કરીને તેમના બંધારણનો અભ્યાસ કરવાની મંજૂરી આપે છે.
વિધાન $B$ સાચું છે: ઓપ્ટિકલ અક્ષને સ્ફટિકની અંદરની એક વિશિષ્ટ દિશા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જેની સાથે સામાન્ય અને અસાધારણ કિરણો સમાન વેગ સાથે મુસાફરી કરે છે. તે એક દિશા છે,અવકાશમાં કોઈ નિશ્ચિત રેખા નથી,જેનો અર્થ છે કે આ દિશાને સમાંતર કોઈપણ રેખા પણ ઓપ્ટિકલ અક્ષ છે.

(C) ધારો કે આપાત અધ્રુવીભૂત પ્રકાશની તીવ્રતા $I_0$ છે.
જ્યારે અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ પ્રથમ નિકોલ પ્રિઝમ (પોલરાઈઝર) માંથી પસાર થાય છે,ત્યારે બહાર આવતા ધ્રુવીભૂત પ્રકાશની તીવ્રતા $I_1 = \frac{I_0}{2}$ થાય છે.
મેલસના નિયમ મુજબ,જ્યારે આ ધ્રુવીભૂત પ્રકાશ બીજા નિકોલ પ્રિઝમ (એનાલાઈઝર) માંથી પસાર થાય છે,જે પ્રથમ પ્રિઝમ સાથે $\theta = 60^\circ$ ના ખૂણે છે,ત્યારે બહાર આવતી તીવ્રતા $I_2 = I_1 \cos^2 \theta$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $I_2 = \frac{I_0}{2} \cos^2(60^\circ) = \frac{I_0}{2} \times (\frac{1}{2})^2 = \frac{I_0}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{I_0}{8}$.
આપાત પ્રકાશના પસાર થતા પ્રકાશની ટકાવારી $\frac{I_2}{I_0} \times 100 = \frac{1}{8} \times 100 = 12.5\%$ છે.

(B) ધારો કે $I_0$ એ અધ્રુવીભૂત પ્રકાશની તીવ્રતા છે.
જ્યારે તે પ્રથમ પોલરાઇઝરમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે પારગમિત પ્રકાશની તીવ્રતા $I_1 = \frac{I_0}{2}$ થાય છે.
જ્યારે આ પ્રકાશ બીજા પોલરાઇઝરમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે અંતિમ પારગમિત પ્રકાશની તીવ્રતા $I_2$ એ મેલસના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $I_2 = I_1 \cos^2 \theta$,જ્યાં $\theta$ એ શીટ્સની લાક્ષણિક દિશાઓ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ છે કે અંતિમ તીવ્રતા $I_2$ એ પ્રથમ પારગમિત કિરણની મહત્તમ તીવ્રતા $(I_1)$ ના એક-તૃતીયાંશ છે,તેથી $I_2 = \frac{1}{3} I_1$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{1}{3} I_1 = I_1 \cos^2 \theta$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\cos^2 \theta = \frac{1}{3}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.577$.
ખૂણાની ગણતરી કરતા: $\theta = \cos^{-1}(0.577) \approx 54.7^o$,જે આશરે $55^o$ થાય છે.

(B) $P_1$ અને $P_2$ ની ટ્રાન્સમિશન ધરીઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta_1 = 30^\circ$ (આપેલ છે).
છેલ્લા પોલરાઇઝર $P_3$ ની ટ્રાન્સમિશન ધરી પ્રથમ પોલરાઇઝર $P_1$ સાથે કાટખૂણે છે,જેનો અર્થ છે કે $P_1$ અને $P_3$ વચ્ચેનો ખૂણો $90^\circ$ છે.
તેથી,$P_2$ અને $P_3$ ની ટ્રાન્સમિશન ધરીઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta_2 = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$ થશે.
પ્રથમ પોલરાઇઝર $P_1$ દ્વારા પ્રસારિત પ્રકાશની તીવ્રતા $I_1 = \frac{I_0}{2} = \frac{32}{2} = 16 \ W m^{-2}$ છે.
મેલસના નિયમ મુજબ,$P_2$ દ્વારા પ્રસારિત પ્રકાશની તીવ્રતા $I_2 = I_1 \cos^2(30^\circ) = 16 \times (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 16 \times \frac{3}{4} = 12 \ W m^{-2}$ છે.
તે જ રીતે,$P_3$ દ્વારા પ્રસારિત પ્રકાશની તીવ્રતા $I_3 = I_2 \cos^2(60^\circ) = 12 \times (\frac{1}{2})^2 = 12 \times \frac{1}{4} = 3 \ W m^{-2}$ છે.

(B) ઓપ્ટિકલ પરિભ્રમણ માટેનું સમીકરણ: $\theta = a + \frac{b}{\lambda^2}$.
$\lambda_1 = 5000 \ \mathring{A}$ પર,$\theta_1 = 30^\circ$ પ્રતિ mm: $30 = a + \frac{b}{(5000)^2} \quad (1)$.
$\lambda_2 = 4000 \ \mathring{A}$ પર,$\theta_2 = 50^\circ$ પ્રતિ mm: $50 = a + \frac{b}{(4000)^2} \quad (2)$.
સમીકરણ $(2)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા:
$50 - 30 = b \left( \frac{1}{4000^2} - \frac{1}{5000^2} \right) = b \left( \frac{5000^2 - 4000^2}{4000^2 \times 5000^2} \right)$.
$20 = b \left( \frac{1000 \times 9000}{400 \times 10^{12}} \right) = b \left( \frac{9 \times 10^6}{400 \times 10^{12}} \right) = b \left( \frac{9}{400 \times 10^6} \right)$.
$b = \frac{20 \times 400 \times 10^6}{9} = \frac{8000 \times 10^6}{9}$.
$b$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$a = 30 - \frac{8000 \times 10^6}{9 \times 25 \times 10^6} = 30 - \frac{8000}{225} = 30 - \frac{320}{9} = \frac{270 - 320}{9} = - \frac{50^\circ}{9} \text{ પ્રતિ mm}$.

(B) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં,અવકાશમાં કોઈપણ બિંદુએ વિદ્યુત ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E}$ એ $\vec{E} = E_0 \sin(kx - \omega t) \hat{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$E_0$ એ કંપવિસ્તાર છે,$k$ એ તરંગ સંખ્યા છે,$\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે,અને $t$ એ સમય છે.
વિદ્યુત ક્ષેત્ર સદિશનું મૂલ્ય $|\vec{E}| = |E_0 \sin(kx - \omega t)|$ છે.
જેમ કે સાઈન વિધેય $-1$ અને $1$ ની વચ્ચે દોલન કરે છે,તેથી કોઈપણ નિશ્ચિત સ્થાન $x$ પર વિદ્યુત ક્ષેત્ર સદિશનું મૂલ્ય સમય સાથે આવર્તનીય રીતે બદલાય છે.

(A) ઓપ્ટિકલી એક્ટિવ સંયોજન એવો પદાર્થ છે જે સમતલ ધ્રુવીભૂત પ્રકાશના કંપન તલને ફેરવવાની ક્ષમતા ધરાવે છે.
જ્યારે સમતલ ધ્રુવીભૂત પ્રકાશ આવા પદાર્થમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે પ્રકાશના પ્રસરણની દિશાની આસપાસ ધ્રુવીભવનનું તલ અમુક ખૂણે ફેરવાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) ન્યુક્લીક એસિડ,જેમ કે $DNA$,ની હેલિકલ રચનાનો અભ્યાસ $X$-ray ક્રિસ્ટલોગ્રાફીનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે.
આ તકનીકમાં,બંધારણ નક્કી કરવા માટે મુખ્યત્વે $X$-ray ના વિવર્તનનો ઉપયોગ થાય છે.
જો કે,જૈવિક અણુઓની હેલિકલ પ્રકૃતિને લગતા ચોક્કસ ઓપ્ટિકલ અભ્યાસોના સંદર્ભમાં,આ અણુઓની હેલિકલ રચના અને તેની દિશા (handedness) નું વિશ્લેષણ કરવા માટે ધ્રુવીભવન (ખાસ કરીને સર્ક્યુલર ડાયક્રોઇઝમ) ના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.
તેથી,આ ચોક્કસ અભ્યાસ માટે ધ્રુવીભવન એ યોગ્ય ગુણધર્મ છે.

(A) વિશિષ્ટ ધ્રુવીભવન શક્તિનું સૂત્ર $\alpha = \frac{\theta}{l \cdot c}$ છે,જ્યાં $\theta$ એ પ્રકાશીય પરિભ્રમણ છે,$l$ એ ટ્યુબની લંબાઈ છે અને $c$ એ શુદ્ધ ખાંડની સાંદ્રતા છે.
શુદ્ધ ખાંડની સાંદ્રતા શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $c = \frac{\theta}{\alpha \cdot l}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $c = \frac{0.4}{0.01 \times 0.25} = \frac{0.4}{0.0025} = 160 \ kg/m^3$.
શુદ્ધતાની ટકાવારી એ શુદ્ધ ખાંડની સાંદ્રતા અને અશુદ્ધ નમૂનાની સાંદ્રતાના ગુણોત્તરને $100$ વડે ગુણીને મેળવવામાં આવે છે.
શુદ્ધતાની ટકાવારી $= \left( \frac{160}{200} \right) \times 100 = 80\%$.

(D) જ્યારે $I_0$ તીવ્રતાનો કુદરતી (અધ્રુવીભૂત) પ્રકાશ પ્રથમ પોલેરોઇડમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે તેની તીવ્રતા $I_1 = \frac{I_0}{2}$ થાય છે.
બાકીના $5$ પોલેરોઇડ્સ માટે,આપણે મેલસનો નિયમ વાપરીએ છીએ: $I_n = I_{n-1} \cos^2(\theta)$,જ્યાં $\theta = 30^\circ$ છે.
બધા $6$ પોલેરોઇડ્સમાંથી પસાર થયા પછી અંતિમ તીવ્રતા $I_6$ નીચે મુજબ મળે છે:
$I_6 = I_1 \times (\cos^2 30^\circ)^5 = \frac{I_0}{2} \times (\cos^2 30^\circ)^5$.
$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ કિંમત મૂકતા:
$I_6 = \frac{I_0}{2} \times \left(\frac{3}{4}\right)^5 = \frac{I_0}{2} \times \frac{243}{1024} = \frac{243}{2048} I_0 \approx 0.1186 I_0$.
ટકાવારીમાં ફેરવતા: $0.1186 \times 100 \approx 11.86\% \approx 12\%$.

(A) મેલસના નિયમ મુજબ,પારગમિત પ્રકાશની તીવ્રતા $I = I_0 \cos^2 \theta$ છે,જ્યાં $I_0$ એ આપાત તીવ્રતા છે અને $\theta$ એ ધ્રુવીભવનની દિશા અને પોલરાઈઝરની અક્ષ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
પોલરાઈઝર ફરી રહ્યું હોવાથી,એક પરિભ્રમણમાં $\theta$ નું મૂલ્ય $0$ થી $2\pi$ સુધી બદલાય છે.
સરેરાશ તીવ્રતા $I_{av} = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} I_0 \cos^2 \theta \, d\theta = \frac{I_0}{2}$ મળે છે.
આપાત પાવર $P = 10^{-3} \, W$ છે. આપાત તીવ્રતા $I_0 = \frac{P}{A} = \frac{10^{-3}}{3 \times 10^{-4}} = \frac{10}{3} \, W/m^2$ છે.
પારગમિત સરેરાશ પાવર $P_{av} = I_{av} \times A = \frac{I_0}{2} \times A = \frac{P}{2} = \frac{10^{-3}}{2} = 0.5 \times 10^{-3} \, W$ છે.
એક પરિભ્રમણ માટેનો સમયગાળો $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2 \times 3.14}{31.4} = 0.2 \, s$ છે.
પ્રતિ પરિભ્રમણ પોલરાઈઝરમાંથી પસાર થતી ઉર્જા $E = P_{av} \times T = (0.5 \times 10^{-3}) \times 0.2 = 10^{-4} \, J$ છે.

(C) જ્યારે $I_0$ તીવ્રતા ધરાવતો અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ પ્રથમ નિકોલ પ્રિઝમ (પોલરાઈઝર) માંથી પસાર થાય છે,ત્યારે બહાર આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I_1 = \frac{I_0}{2}$ થાય છે.
મેલસના નિયમ મુજબ,જ્યારે આ ધ્રુવીભૂત પ્રકાશ બીજા નિકોલ પ્રિઝમ (એનાલાઈઝર) માંથી પસાર થાય છે જે પ્રથમ પ્રિઝમ સાથે $\theta = 60^o$ ના ખૂણે છે,ત્યારે બહાર આવતી તીવ્રતા $I$ નીચે મુજબ મળે છે:
$I = I_1 \cos^2 \theta = \left(\frac{I_0}{2}\right) \cos^2(60^o)$.
અહીં $\cos(60^o) = \frac{1}{2}$ હોવાથી,$\cos^2(60^o) = \frac{1}{4}$ થાય.
તેથી,$I = \left(\frac{I_0}{2}\right) \times \left(\frac{1}{4}\right) = \frac{I_0}{8}$.
તંત્રમાંથી પસાર થતા પ્રકાશની ટકાવારી $\left(\frac{I}{I_0}\right) \times 100 = \left(\frac{I_0/8}{I_0}\right) \times 100 = \frac{100}{8} = 12.5\%$ થાય.

(B) પોલરાઈઝર એ એક ઓપ્ટિકલ ઉપકરણ છે જે અધ્રુવીભૂત પ્રકાશને ધ્રુવીભૂત પ્રકાશમાં રૂપાંતરિત કરે છે. તે ફક્ત તે જ પ્રકાશ તરંગોને પસાર થવા દે છે જેના વિદ્યુત ક્ષેત્રના સદિશો એક ચોક્કસ સમતલમાં દોલન કરે છે. તેથી,પોલરાઈઝરનું મુખ્ય કાર્ય ધ્રુવીભૂત પ્રકાશ ઉત્પન્ન કરવાનું છે.

(A) ધ્રુવીભવન એ માત્ર લંબગત તરંગોમાં જોવા મળતી ઘટના છે. પ્રકાશના તરંગો ધ્રુવીભવન દર્શાવે છે,જે સાબિત કરે છે કે પ્રકાશ લંબગત તરંગો છે. સંગત તરંગો (જેમ કે ધ્વનિ તરંગો) નું ધ્રુવીભવન થઈ શકતું નથી કારણ કે તેમના દોલનો તરંગના પ્રસરણની દિશામાં જ હોય છે.

(B) માલસના નિયમ મુજબ,પોલેરોઈડમાંથી પસાર થતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I = I_0 \cos^2 \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,ખૂણો $\theta = 45^\circ$ છે.
કિંમત મૂકતા: $I = I_0 \cos^2(45^\circ)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(45^\circ) = 1/\sqrt{2}$,તેથી $\cos^2(45^\circ) = 1/2$.
આમ,$I = I_0 \times (1/2) = I_0 / 2$.

(B) જ્યારે અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ પ્રથમ નિકોલ પ્રિઝમ (પોલરાઈઝર) પર આપાત થાય છે,ત્યારે બહાર આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I_1 = \frac{1}{2} I_0$ હોય છે,જ્યાં $I_0$ એ આપાત પ્રકાશની તીવ્રતા છે.
શરૂઆતમાં,બંને નિકોલ એકબીજાને લંબ છે,એટલે કે તેમની ટ્રાન્સમિશન ધરીઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta_{initial} = 90^{\circ}$ છે.
જ્યારે તેમાંથી એકને $60^{\circ}$ ના ખૂણે ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે ટ્રાન્સમિશન ધરીઓ વચ્ચેનો નવો ખૂણો $\theta = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ થાય છે.
મેલસના નિયમ મુજબ,બીજા નિકોલ પ્રિઝમ (એનાલાઈઝર) માંથી બહાર આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I = I_1 \cos^2 \theta$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $I = (\frac{1}{2} I_0) \cos^2 30^{\circ}$.
કારણ કે $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી $\cos^2 30^{\circ} = \frac{3}{4}$.
આમ,$I = \frac{1}{2} I_0 \times \frac{3}{4} = \frac{3}{8} I_0$.
તંત્રમાંથી પસાર થતા આપાત પ્રકાશની ટકાવારી $\frac{I}{I_0} \times 100 = \frac{3}{8} \times 100 = 37.5\%$ છે.

(C) પગલું $1$: જ્યારે $I_0$ તીવ્રતા ધરાવતો અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ પ્રથમ પોલેરોઈડ $A$ માંથી પસાર થાય છે,ત્યારે નિર્ગમન પામતા પ્રકાશની તીવ્રતા પ્રારંભિક તીવ્રતા કરતા અડધી થઈ જાય છે.
$I_A = \frac{I_0}{2}$
પગલું $2$: માલસના નિયમ મુજબ,જ્યારે આ ધ્રુવીભૂત પ્રકાશ બીજા પોલેરોઈડ $B$ માંથી પસાર થાય છે,જેની ટ્રાન્સમિશન અક્ષ $A$ ની ટ્રાન્સમિશન અક્ષ સાથે $\theta = 45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે,ત્યારે નિર્ગમન પામતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I_B$ નીચે મુજબ મળે છે:
$I_B = I_A \cos^2 \theta$
પગલું $3$: કિંમતો મૂકતા:
$I_B = \frac{I_0}{2} \cos^2(45^{\circ})$
કારણ કે $\cos(45^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $\cos^2(45^{\circ}) = \frac{1}{2}$.
$I_B = \frac{I_0}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{I_0}{4}$

(C) જ્યારે $I_0$ તીવ્રતાનો અધ્રુવીય પ્રકાશ પોલેરાઈઝિંગ શીટ પર આપાત થાય છે,ત્યારે પારગમિત થતી તીવ્રતા અધ્રુવીય પ્રકાશ માટેના માલસના નિયમના ખ્યાલ મુજબ $I = \frac{1}{2} I_0$ મળે છે.
કુલ આપાત તીવ્રતા $I_0$ છે અને પારગમિત તીવ્રતા $\frac{1}{2} I_0$ હોવાથી,જે પ્રકાશ પસાર થતો નથી (શોષાયેલી તીવ્રતા) તે $I_{absorbed} = I_0 - \frac{1}{2} I_0 = \frac{1}{2} I_0$ થશે.

(A) મલસના નિયમ મુજબ,નિર્ગમન પામતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I = I_0 \cos^2 \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I_0$ એ મહત્તમ તીવ્રતા છે અને $\theta$ એ પોલરાઈઝર અને એનલાઈઝરની ટ્રાન્સમિશન અક્ષો વચ્ચેનો ખૂણો છે.
શરૂઆતમાં,તીવ્રતા મહત્તમ છે,જેનો અર્થ છે કે અક્ષો સમાંતર છે $(\theta = 0^{\circ})$.
જ્યારે એનલાઈઝરને $60^{\circ}$ જેટલું ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે નવો ખૂણો $\theta = 60^{\circ}$ થાય છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$I = I_0 \cos^2(60^{\circ})$
$I = I_0 \left( \frac{1}{2} \right)^2$
$I = \frac{I_0}{4}$

(C) પ્રકાશના તરંગો લંબગત (transverse) સ્વરૂપના હોય છે અને તેનું ધ્રુવીભવન થઈ શકે છે,જ્યારે ધ્વનિના તરંગો સંગત (longitudinal) સ્વરૂપના હોય છે અને તેનું ધ્રુવીભવન થઈ શકતું નથી. તેથી,ધ્રુવીભવન એવો ગુણધર્મ છે જે પ્રકાશના તરંગોને ધ્વનિના તરંગોથી અલગ પાડે છે.

(D) મેલસના નિયમ મુજબ,એનેલાઇઝરમાંથી બહાર આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I = I_0 \cos^2 \theta$ છે,જ્યાં $I_0$ એ એનેલાઇઝર પર આપાત થતા પ્રકાશની તીવ્રતા છે અને $\theta$ એ પોલેરાઇઝર અને એનેલાઇઝર વચ્ચેનો ખૂણો છે.
તીવ્રતા $I$ એ કંપવિસ્તારના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોવાથી $(I \propto A^2)$,એનેલાઇઝરમાંથી બહાર આવતા પ્રકાશનો કંપવિસ્તાર $A' = A_0 \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A_0$ એ એનેલાઇઝર પર આપાત થતા પ્રકાશનો કંપવિસ્તાર છે.
અહીં પોલેરાઇઝર પર આપાત થતા પ્રકાશનો કંપવિસ્તાર $A$ છે,તેથી પોલેરાઇઝરમાંથી બહાર આવતા પ્રકાશનો કંપવિસ્તાર $A_0 = A$ થશે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $A' = A \cos(60^o) = A \times (1/2) = A/2$.

(A) જ્યારે $I_0$ તીવ્રતા ધરાવતો અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ પોલરાઇઝિંગ શીટ પર આપાત થાય છે,ત્યારે પારગમિત (transmitted) ધ્રુવીભૂત પ્રકાશની તીવ્રતા $I_t = I_0 / 2$ મળે છે.
જે પ્રકાશનું સંક્રમણ થતું નથી (જે શોષાય છે અથવા પરાવર્તિત થાય છે) તેની તીવ્રતા એ આપાત તીવ્રતા અને પારગમિત તીવ્રતા વચ્ચેનો તફાવત છે.
અપારગમિત પ્રકાશની તીવ્રતા $= I_0 - I_t = I_0 - I_0 / 2 = I_0 / 2$.

(C) જ્યારે $I_0$ તીવ્રતાવાળો અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ પોલેરાઇઝરમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે નિર્ગમન પામતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I_{transmitted} = \frac{I_0}{2}$ મળે છે.
પોલેરાઇઝરમાંથી પસાર ન થતા પ્રકાશની તીવ્રતા એ આપાત તીવ્રતા અને નિર્ગમન પામતી તીવ્રતા વચ્ચેનો તફાવત છે.
$I_{blocked} = I_0 - I_{transmitted} = I_0 - \frac{I_0}{2} = \frac{I_0}{2}$.

(C) પ્રકાશની લંબગત પ્રકૃતિનો અર્થ એ છે કે વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રોના દોલનો તરંગના પ્રસરણની દિશાને લંબ રૂપે થાય છે.
વ્યતિકરણ,વક્રીભવન અને વિભાજનને લંબગત અને સંગત બંને તરંગ મોડેલો દ્વારા સમજાવી શકાય છે.
ધ્રુવીભવન એ એક એવી ઘટના છે જે ફક્ત લંબગત તરંગોમાં જ જોવા મળે છે,જ્યાં દોલનોની દિશાને ચોક્કસ સમતલ સુધી મર્યાદિત કરી શકાય છે.
આમ,પ્રકાશ ધ્રુવીભવન દર્શાવે છે,તે સાબિત કરે છે કે પ્રકાશ એક લંબગત તરંગ છે.

(C) જ્યારે $I_0$ તીવ્રતા ધરાવતો અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ પ્રથમ નિકોલ પ્રિઝમ (પોલેરાઇઝર) પર આપાત થાય છે,ત્યારે નિર્ગમન પામતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I_1 = I_0 / 2$ થાય છે.
ત્યારબાદ આ પ્રકાશ બીજા નિકોલ પ્રિઝમ (એનાલાઇઝર) માંથી પસાર થાય છે,જેનું મુખ્ય સમતલ પ્રથમ પ્રિઝમ સાથે $\theta = 60^o$ ના ખૂણે છે.
મેલસના નિયમ મુજબ,એનાલાઇઝરમાંથી બહાર આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I = I_1 \cos^2 \theta$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $I = (I_0 / 2) \cos^2(60^o) = (I_0 / 2) \times (1/2)^2 = I_0 / 8$.
નિર્ગમન પામતા પ્રકાશની ટકાવારી શોધવા માટે: $(I / I_0) \times 100 = (1/8) \times 100 = 12.5\%$.

(A) ધ્રુવીભૂત સનગ્લાસનો ઉપયોગ એટલા માટે થાય છે કારણ કે તે પાણી,રસ્તાઓ અથવા બરફ જેવી સપાટીઓ પરથી પરાવર્તિત પ્રકાશને કારણે થતા ઝગઝગાટ (glare) ને ઘટાડે છે. પ્રકાશના આડા ધ્રુવીભૂત ઘટકને અવરોધીને,તે આંખનો થાક ઘટાડે છે અને દ્રશ્યતામાં સુધારો કરે છે,જેનાથી આંખોને તીવ્ર પ્રકાશથી અંજાઈ જતી અટકાવે છે.

(D) માલસના નિયમ મુજબ,પારગમિત પ્રકાશની તીવ્રતા $I = I_0 \cos^2 \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ પોલારોઈડની ટ્રાન્સમિશન ધરી અને આપાત પ્રકાશના ધ્રુવીભવનના સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
જ્યારે પોલારોઈડ એક સંપૂર્ણ પરિભ્રમણ ($0$ થી $2\pi$) પૂર્ણ કરે છે,ત્યારે ખૂણો $\theta$ સતત બદલાય છે.
તીવ્રતા $I$ જ્યારે $\theta = 0$ અને $\theta = \pi$ હોય ત્યારે મહત્તમ થાય છે,અને જ્યારે $\theta = \pi/2$ અને $\theta = 3\pi/2$ હોય ત્યારે શૂન્ય (ન્યૂનતમ) થાય છે.
તેથી,એક સંપૂર્ણ પરિભ્રમણ દરમિયાન પ્રકાશની તીવ્રતા બે વાર મહત્તમ અને બે વાર શૂન્ય થાય છે.

(D) $I_0$ તીવ્રતા ધરાવતો અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ જ્યારે પોલેરોઇડ $A$ પર આપાત થાય છે,ત્યારે તેમાંથી બહાર આવતા ધ્રુવીભૂત પ્રકાશની તીવ્રતા $I_1 = I_0/2$ થાય છે.
હવે,આ $I_1 = I_0/2$ તીવ્રતા ધરાવતો ધ્રુવીભૂત પ્રકાશ પોલેરોઇડ $B$ પર તેની દગ્-અક્ષ સાથે $\theta = 45^\circ$ ના ખૂણે આપાત થાય છે.
મેલસના નિયમ મુજબ,પોલેરોઇડ $B$ માંથી બહાર આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I = I_1 \cos^2 \theta$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $I = (I_0/2) \cos^2(45^\circ) = (I_0/2) \times (1/\sqrt{2})^2 = (I_0/2) \times (1/2) = I_0/4$.

(C) જ્યારે કેલ્સાઈટ સ્ફટિકને ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે પરાવર્તિત પ્રકાશની તીવ્રતા બદલાય છે કારણ કે આકાશમાંથી આવતો પ્રકાશ પ્રકીર્ણનને કારણે આંશિક રીતે ધ્રુવીભૂત હોય છે.
રેલેના પ્રકીર્ણનના નિયમ મુજબ,પ્રકીર્ણન પામતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I \propto 1/\lambda^4$ હોય છે.
વાદળી રંગની તરંગલંબાઈ $\lambda$ ન્યૂનતમ હોવાથી,તેની પ્રકીર્ણન તીવ્રતા $I$ મહત્તમ હોય છે.
આમ,આકાશનો પ્રકાશ વાતાવરણના કણો દ્વારા પ્રકીર્ણનને કારણે ધ્રુવીભૂત થાય છે.
બંને વિધાનો સાચા છે અને વિધાન-$2$ એ વિધાન-$1$ માં અવલોકિત ધ્રુવીભવન માટે સાચી સમજૂતી આપે છે.

(B) પ્રકાશીય પરિભ્રમણનું સૂત્ર $\theta = [\alpha]_\lambda^T \cdot l \cdot C$ છે,જ્યાં $\theta$ એ પરિભ્રમણ છે,$[\alpha]_\lambda^T$ એ વિશિષ્ટ પરિભ્રમણ છે,$l$ એ નળીની લંબાઈ ડેસીમીટર $(dm)$ માં છે અને $C$ એ સાંદ્રતા $g/cm^3$ માં છે.
આપેલ છે: $l = 300 \, mm = 30 \, cm = 3 \, dm$,$\theta = 10^\circ$,$[\alpha]_\lambda^T = 60^\circ$,અને કદ $V = 60 \, cm^3$.
પ્રથમ,સાંદ્રતા $C$ ની ગણતરી કરો: $C = \frac{\theta}{[\alpha]_\lambda^T \cdot l} = \frac{10}{60 \cdot 3} = \frac{10}{180} = \frac{1}{18} \, g/cm^3$.
ખાંડની કુલ માત્રા $m$ એ $m = C \cdot V$ દ્વારા મળે છે.
$m = \frac{1}{18} \cdot 60 = \frac{60}{18} = 3.33 \, g$.

(B) $P_1$ પર આપાત થતા અધ્રુવીભૂત પ્રકાશની તીવ્રતા $I_0$ છે. $P_1$ માંથી પસાર થયા પછી,તીવ્રતા $I_1 = \frac{I_0}{2}$ થાય છે.
$P_3$ માંથી પસાર થતા પ્રકાશની તીવ્રતા,જે $P_1$ સાથે $\theta_1 = 45^{\circ}$ ના ખૂણે છે,તે માલસના નિયમ મુજબ: $I_2 = I_1 \cos^2(45^{\circ}) = \frac{I_0}{2} \times (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{I_0}{4}$ મળે છે.
$P_3$ અને $P_2$ ની ધરીઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta_2 = 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}$ છે.
$P_2$ માંથી પસાર થતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I_3 = I_2 \cos^2(45^{\circ}) = \frac{I_0}{4} \times (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{I_0}{8}$ થાય છે.

(C) પોલરાઇઝર્સની જોડીમાંથી પસાર થતા પ્રકાશની તીવ્રતા માલસના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $I = I_0 \cos^2 \theta$,જ્યાં $\theta$ એ બે પોલરાઇઝર્સની ટ્રાન્સમિશન અક્ષો વચ્ચેનો ખૂણો છે.
પ્રથમ પોલરાઇઝર પર આપાત થતા અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ માટે,તીવ્રતા $I_1 = I_0 / 2$ થાય છે. બીજા પોલરાઇઝર પછીની તીવ્રતા $I = I_1 \cos^2 \theta = (I_0 / 2) \cos^2 \theta$ છે.
જોડીઓને ક્રમ આપવા માટે,આપણે દરેક કિસ્સા માટે બે શીટ્સ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ ગણીએ છીએ:
$(i)$ પ્રથમ શીટ ઊભી રેખા સાથે $30^\circ$ પર છે,બીજી આડી રેખા સાથે $60^\circ$ પર છે. તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 90^\circ - 30^\circ - 60^\circ = 0^\circ$ છે. તેથી,$\cos^2(0^\circ) = 1$.
(ii) પ્રથમ શીટ ઊભી રેખા સાથે $30^\circ$ પર છે,બીજી આડી રેખા સાથે $60^\circ$ પર છે. તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 60^\circ$ છે. તેથી,$\cos^2(60^\circ) = 0.25$.
(iii) પ્રથમ શીટ આડી રેખા સાથે $30^\circ$ પર છે,બીજી આડી રેખા સાથે $60^\circ$ પર છે. તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 30^\circ$ છે. તેથી,$\cos^2(30^\circ) = 0.75$.
(iv) પ્રથમ શીટ આડી રેખા સાથે $30^\circ$ પર છે,બીજી આડી રેખા સાથે $60^\circ$ પર છે. તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 90^\circ$ છે. તેથી,$\cos^2(90^\circ) = 0$.
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા: $1 > 0.75 > 0.25 > 0$,જે $(i) > (iii) > (ii) > (iv)$ ને અનુરૂપ છે.

(C) જ્યારે $I_o$ તીવ્રતાનો અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ પોલરાઇઝિંગ શીટ પર આપાત થાય છે,ત્યારે પારગમિત પ્રકાશની તીવ્રતા $I_t = \frac{I_o}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જે પ્રકાશનું પ્રસરણ (પારગમન) થતું નથી તેની તીવ્રતા એ આપાત તીવ્રતા અને પારગમિત તીવ્રતા વચ્ચેનો તફાવત છે.
$\text{અપારગમિત પ્રકાશની તીવ્રતા} = I_o - I_t$
$\text{અપારગમિત પ્રકાશની તીવ્રતા} = I_o - \frac{I_o}{2} = \frac{I_o}{2}$.

(D) જ્યારે $I_0$ તીવ્રતા ધરાવતો અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ પ્રથમ પોલરોઇડ $A$ માંથી પસાર થાય છે,ત્યારે બહાર આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I_1 = \frac{I_0}{2}$ થાય છે.
મેલસના નિયમ મુજબ,જ્યારે આ ધ્રુવીભૂત પ્રકાશ બીજા પોલરોઇડ $B$ માંથી પસાર થાય છે,જેની ટ્રાન્સમિશન અક્ષ $A$ ની અક્ષ સાથે $\theta = 45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે,ત્યારે બહાર આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I_R$ નીચે મુજબ મળે છે:
$I_R = I_1 \cos^2(\theta)$
કિંમતો મૂકતા:
$I_R = \left(\frac{I_0}{2}\right) \cos^2(45^{\circ})$
કારણ કે $\cos(45^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $\cos^2(45^{\circ}) = \frac{1}{2}$ થાય.
આમ,$I_R = \frac{I_0}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{I_0}{4}$.

(C) મેલસના નિયમ મુજબ,બહાર આવતા કિરણની તીવ્રતા $I = I_0 \cos^2 \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે કિરણ $A$ ની પ્રારંભિક તીવ્રતા $I_A$ છે અને કિરણ $B$ ની $I_B$ છે. જ્યારે પોલરોઇડ એવી સ્થિતિમાં હોય કે જ્યાં કિરણ $A$ ની તીવ્રતા મહત્તમ હોય,ત્યારે પોલરોઇડની ટ્રાન્સમિશન ધરી અને કિરણ $A$ ના ધ્રુવીભવનના સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો $0^{\circ}$ છે,અને કિરણ $B$ માટે તે $90^{\circ}$ છે.
પોલરોઇડને $30^{\circ}$ ફેરવ્યા પછી,કિરણ $A$ માટે નવો ખૂણો $\theta_A = 30^{\circ}$ અને કિરણ $B$ માટે $\theta_B = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$ થાય છે.
પોલરોઇડમાંથી પસાર થયા પછી કિરણોની તીવ્રતા:
$I_A' = I_A \cos^2(30^{\circ}) = I_A \cdot \frac{3}{4}$
$I_B' = I_B \cos^2(60^{\circ}) = I_B \cdot \frac{1}{4}$
આપેલ છે કે બંને કિરણો સમાન તેજસ્વી દેખાય છે,તેથી $I_A' = I_B'$:
$I_A \cdot \frac{3}{4} = I_B \cdot \frac{1}{4}$
$\frac{I_A}{I_B} = \frac{1}{3}$