Spherical Mirror Questions in Gujarati

(D) અરીસાનું સમીકરણ $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ છે.
આને સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ ના સ્વરૂપમાં ગોઠવતા,આપણને $\frac{1}{v} = -\frac{1}{u} + \frac{1}{f}$ મળે છે.
આને $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = \frac{1}{v}$ અને $x = \frac{1}{u}$ છે,ઢાળ $m = -1$ અને અંતઃખંડ $c = \frac{1}{f}$ મળે છે.
આલેખ પરથી,$\frac{1}{v}$ અક્ષ પરનો અંતઃખંડ (જ્યારે $\frac{1}{u} = 0$ હોય ત્યારે) $-0.10 \ cm^{-1}$ છે.
તેથી,$\frac{1}{f} = -0.10 \ cm^{-1}$.
કેન્દ્રલંબાઈની ગણતરી કરતા,$f = \frac{1}{-0.10} = -10 \ cm$ મળે છે.

(C) આપેલ છે: વસ્તુની ઊંચાઈ $h_o = 3 \ cm$,પ્રતિબિંબની ઊંચાઈ $h_i = -9 \ cm$ (દીવાલ પર રચાતું વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ ઉલટું હોય છે).
અરીસાથી વસ્તુનું અંતર $u = -(x - 300) \ cm$.
અરીસાથી પ્રતિબિંબનું અંતર $v = -x \ cm$.
મોટવણીના સૂત્ર $m = \frac{h_i}{h_o} = -\frac{v}{u}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{-9}{3} = -\frac{-x}{-(x - 300)}$
$-3 = -\frac{x}{x - 300}$
$3 = \frac{x}{x - 300}$
$3(x - 300) = x$
$3x - 900 = x$
$2x = 900$
$x = 450 \ cm$.

(C) અંતર્ગોળ અરીસા માટે, વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ માટે મોટવણી $m$ ઋણ હોય છે, તેથી $m = -n$ થાય.
મોટવણીની વ્યાખ્યા મુજબ, $m = -\frac{v}{u}$, જ્યાં $v$ એ પ્રતિબિંબ અંતર છે અને $u$ એ વસ્તુ અંતર છે.
આમ, $-n = -\frac{v}{u} \implies v = nu$.
અરીસાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$.
અંતર્ગોળ અરીસો હોવાથી, કેન્દ્રલંબાઈ $f$ ઋણ લેવામાં આવે છે, એટલે કે $-f$. વસ્તુ અંતર $u$ પણ ઋણ લેવામાં આવે છે, એટલે કે $-u$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{-f} = \frac{1}{-nu} + \frac{1}{-u}$.
$-1$ વડે ગુણતા: $\frac{1}{f} = \frac{1}{nu} + \frac{1}{u} = \frac{1+n}{nu}$.
$u$ ને કર્તા બનાવતા: $u = \left(\frac{n+1}{n}\right) f$.

(D) ગોલીય અરીસા માટે,સંજ્ઞા પ્રણાલી મુજબ આપાત પ્રકાશની દિશાને ધન લેવામાં આવે છે.
જ્યારે પ્રતિબિંબ વસ્તુની બાજુએ જ રચાય છે,ત્યારે પ્રતિબિંબ અંતર $v$ ઋણ હોય છે,જે વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ દર્શાવે છે.
જ્યારે પ્રતિબિંબ વસ્તુની વિરુદ્ધ બાજુએ (અરીસાની પાછળ) રચાય છે,ત્યારે પ્રતિબિંબ અંતર $v$ ધન હોય છે,જે આભાસી પ્રતિબિંબ દર્શાવે છે.
તેથી,વસ્તુની બાજુએ રચાતા પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક હોય છે અને વિરુદ્ધ બાજુએ રચાતા પ્રતિબિંબ આભાસી હોય છે.

(D) જ્યારે કોઈ વસ્તુને અંતર્ગોળ અરીસાના ધ્રુવ $(P)$ અને મુખ્ય કેન્દ્ર $(F)$ ની વચ્ચે મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે પરાવર્તન પછી પ્રકાશના કિરણો અપસારી બને છે. આ કિરણોને પાછળની તરફ લંબાવતા,તેઓ અરીસાની પાછળ મળતા હોય તેવું લાગે છે. તેથી,રચાતું પ્રતિબિંબ આભાસી,ચત્તું અને વિવર્ધિત (મોટું) હોય છે.

(D) આપેલ છે: મોટવણી $m = -3$ (કારણ કે પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક છે,તેથી તે ઉલટું હોવું જોઈએ). વક્રતા ત્રિજ્યા $R = -30 \ cm$. કેન્દ્રલંબાઈ $f = R/2 = -15 \ cm$.
મોટવણીના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $m = -v/u \Rightarrow -3 = -v/u \Rightarrow v = 3u$.
અરીસાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $1/f = 1/v + 1/u$.
કિંમતો મૂકતા: $1/(-15) = 1/(3u) + 1/u$.
$1/(-15) = (1 + 3)/(3u) = 4/(3u)$.
$-3u = 60 \Rightarrow u = -20 \ cm$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે વ્યક્તિએ અંતર્ગોળ અરીસાની સામે $20 \ cm$ અંતરે ઊભા રહેવું જોઈએ.

(B) આપેલ છે: વસ્તુની ઊંચાઈ $h = 10 \text{ cm}$,વક્રતા ત્રિજ્યા $R = 15 \text{ cm}$,વસ્તુનું અંતર $u = -10 \text{ cm}$.
કેન્દ્રલંબાઈ $f = R/2 = 15/2 = 7.5 \text{ cm}$. અંતર્ગોળ અરીસા માટે,$f = -7.5 \text{ cm}$.
વસ્તુ $u = -10 \text{ cm}$ પર મૂકવામાં આવી છે અને કેન્દ્રલંબાઈ $f = -7.5 \text{ cm}$ છે,તેથી વસ્તુ મુખ્ય કેન્દ્ર $(F)$ અને વક્રતા કેન્દ્ર $(C)$ ની વચ્ચે મૂકવામાં આવી છે કારણ કે $f < |u| < R$ (એટલે કે $7.5 \text{ cm} < 10 \text{ cm} < 15 \text{ cm}$).
જ્યારે કોઈ વસ્તુને અંતર્ગોળ અરીસાની સામે $F$ અને $C$ ની વચ્ચે રાખવામાં આવે છે,ત્યારે રચાતું પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક,ઉલટું અને મોટું હોય છે.

(C) બહિર્ગોળ અરીસાની સામે મૂકવામાં આવેલા કોઈપણ વાસ્તવિક પદાર્થ માટે,અરીસાથી પદાર્થના અંતરને ધ્યાનમાં લીધા વિના,તે હંમેશા આભાસી,ચત્તું અને નાનું પ્રતિબિંબ રચે છે.

(D) બહિર્ગોળ અરીસા માટે,મુખ્ય કેન્દ્ર $(F)$ અરીસાની પાછળના ભાગમાં આવેલું હોય છે.
જ્યારે કોઈ વસ્તુને બહિર્ગોળ અરીસાના મુખ્ય કેન્દ્ર પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે વસ્તુમાંથી આવતા પ્રકાશના કિરણો પરાવર્તન પછી કેન્દ્રમાંથી અપસરણ પામતા હોય તેવું લાગે છે.
જો કે,મુખ્ય કેન્દ્ર અરીસાની પાછળ હોવાથી,આ વિશિષ્ટ ગોઠવણી માટે કિરણો વાસ્તવમાં કોઈ બિંદુએ મળતા નથી કે મળતા હોય તેવું જણાતું નથી,જેથી પરંપરાગત અર્થમાં પ્રતિબિંબ રચાતું નથી.
તેથી,બહિર્ગોળ અરીસાના મુખ્ય કેન્દ્ર પર કોઈ પ્રતિબિંબ રચાતું નથી.

(C) અરીસાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$.
અહીં,વસ્તુ અંતર $u = -20 \ cm$ અને કેન્દ્રલંબાઈ $f = -10 \ cm$ (અંતર્ગોળ અરીસા માટે).
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{1}{-10} = \frac{1}{v} + \frac{1}{-20}$.
$v$ માટે ઉકેલતા:
$\frac{1}{v} = \frac{1}{20} - \frac{1}{10}$.
$\frac{1}{v} = \frac{1 - 2}{20} = \frac{-1}{20}$.
તેથી,$v = -20 \ cm$.

(A) આપેલ છે: વસ્તુ અંતર $u = -20 \ cm$ (સંજ્ઞા પ્રણાલી મુજબ).
મોટવણી $m = -3$ (કારણ કે પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક અને મોટું છે).
મોટવણીના સૂત્ર $m = -\frac{v}{u}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$-3 = -\frac{v}{-20} \Rightarrow v = -60 \ cm$.
અરીસાના સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{-60} + \frac{1}{-20} = \frac{-1 - 3}{60} = \frac{-4}{60} = -\frac{1}{15}$.
તેથી,કેન્દ્રલંબાઈ $f = -15 \ cm$ મળે છે.
આમ,કેન્દ્રલંબાઈનું મૂલ્ય $15 \ cm$ છે.

(B) બહિર્ગોળ અરીસા માટે, કેન્દ્રલંબાઈ $f = +30 \,cm$ છે।
મોટવણી $m = \frac{h_i}{h_o} = +\frac{1}{4}$ (કારણ કે બહિર્ગોળ અરીસા દ્વારા રચાતું પ્રતિબિંબ હંમેશા આભાસી અને ચત્તું હોય છે)।
મોટવણીના સૂત્ર $m = -\frac{v}{u}$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને $\frac{1}{4} = -\frac{v}{u}$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $v = -\frac{u}{4}$।
અરીસાના સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{30} = \frac{1}{-u/4} + \frac{1}{u}$
$\frac{1}{30} = -\frac{4}{u} + \frac{1}{u}$
$\frac{1}{30} = -\frac{3}{u}$
$u = -30 \times 3 = -90 \,cm$।
આમ, અરીસાથી વસ્તુનું અંતર $90 \,cm$ છે।

(B) બહિર્ગોળ અરીસા માટે,મોટવણી $m$ એ $m = \frac{h_i}{h_o} = -\frac{v}{u}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે પ્રતિબિંબનું કદ વસ્તુના કદ કરતાં $1/n$ ગણું છે,તેથી $m = 1/n$.
આમ,$1/n = -v/u$,જે સૂચવે છે કે $v = -u/n$.
અરીસાના સૂત્ર $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $f$ એ બહિર્ગોળ અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈ (ધન) છે.
અરીસાના સૂત્રમાં $v = -u/n$ મૂકતા:
$\frac{1}{-u/n} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$
$-\frac{n}{u} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$
$\frac{1-n}{u} = \frac{1}{f}$
$u = f(1-n)$.
વસ્તુનું અંતર $u$ પરંપરાગત રીતે ઋણ હોવાથી,તેનું મૂલ્ય $|u| = f(n-1)$ થાય છે.

(C) આપેલ છે: વસ્તુ અંતર $u = -18 \ cm$ (અરીસાની સામે).
પ્રતિબિંબ અંતર $v = +4 \ cm$ (અરીસાની બીજી બાજુ).
અરીસાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{f} = \frac{1}{4} + \frac{1}{-18} = \frac{9 - 2}{36} = \frac{7}{36}$.
તેથી,$f = \frac{36}{7} \ cm \approx 5.14 \ cm$.
કેન્દ્રલંબાઈ $f$ ધન હોવાથી,અરીસો બહિર્ગોળ અરીસો છે.
પ્રતિબિંબ અરીસાની બીજી બાજુ બનતું હોવાથી,તે આભાસી પ્રતિબિંબ છે.

(D) અંતર્ગોળ અરીસા માટે,અરીસાનું સૂત્ર $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ છે.
ચિહ્ન પ્રણાલીનો ઉપયોગ કરતા,$u$ ને $-u$ અને $f$ ને $-f$ તરીકે લેતા:
$\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = -\frac{1}{f}$.
$v$ માટે સાદું રૂપ આપતા,$\frac{1}{v} = \frac{1}{u} - \frac{1}{f} = \frac{f-u}{uf}$.
તેથી,$v = \frac{uf}{f-u}$.
પ્રતિબિંબના સ્થાનનું મૂલ્ય $|v| = \left| \frac{uf}{f-u} \right| = \frac{uf}{u-f}$ થાય.
સળિયો $u$ થી $\infty$ સુધી વિસ્તરેલો છે. નજીકના છેડાનું પ્રતિબિંબ $v_1 = \frac{uf}{u-f}$ પર મળે છે.
દૂરના છેડાનું (અનંત અંતરે) પ્રતિબિંબ મુખ્ય કેન્દ્ર $v_2 = f$ પર મળે છે.
પ્રતિબિંબની લંબાઈ $L = |v_1 - v_2| = \left| \frac{uf}{u-f} - f \right|$.
$L = \left| \frac{uf - f(u-f)}{u-f} \right| = \left| \frac{uf - uf + f^2}{u-f} \right| = \frac{f^2}{u-f}$.

(A) જ્યારે કોઈ વસ્તુને અંતર્ગોળ અરીસાના મુખ્ય કેન્દ્ર $(F)$ અને વક્રતા કેન્દ્ર $(C)$ ની વચ્ચે મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે વસ્તુમાંથી આવતા પ્રકાશના કિરણો અરીસા પર પરાવર્તન પામીને વક્રતા કેન્દ્ર $(C)$ ની પાછળ એક બિંદુએ કેન્દ્રિત થાય છે.
આના પરિણામે મળતું પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક,ઉલટું અને વિવર્ધિત (વસ્તુ કરતા મોટું) હોય છે.
તેથી,પ્રતિબિંબ અરીસાથી વક્રતા કેન્દ્ર કરતાં વધુ દૂર રચાય છે.

(B) આપેલ છે કે,અંતર્ગોળ અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈ $f = 20 \ cm$ છે.
વક્રતા ત્રિજ્યા $R = 2f = 2 \times 20 \ cm = 40 \ cm$ થાય.
વસ્તુનું અંતર $u = 40 \ cm$ છે.
જ્યારે વસ્તુને વક્રતા કેન્દ્ર પર $(u = R)$ મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે અંતર્ગોળ અરીસા દ્વારા રચાતું પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક,ઉલટું અને વસ્તુના કદ જેટલું જ હોય છે,અને તે વક્રતા કેન્દ્ર પર જ રચાય છે.

(A) આપેલ છે: વસ્તુની ઊંચાઈ $h_o = 3.6 \ cm$,વક્રતા ત્રિજ્યા $R = 30 \ cm$.
કેન્દ્રલંબાઈ $f = R/2 = 30/2 = 15 \ cm$.
અંતર્ગોળ અરીસો હોવાથી,$f = -15 \ cm$.
વસ્તુ મુખ્ય કેન્દ્રથી $10 \ cm$ અંતરે છે.
વસ્તુનું સ્થાન $u = -(f + 10) = -(15 + 10) = -25 \ cm$.
અરીસાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $1/v + 1/u = 1/f$.
$1/v = 1/f - 1/u = 1/(-15) - 1/(-25) = -1/15 + 1/25 = (-5 + 3)/75 = -2/75$.
$v = -75/2 = -37.5 \ cm$.
મોટવણી $m = -v/u = h_i/h_o$.
$m = -(-37.5) / (-25) = -37.5 / 25 = -1.5$.
પ્રતિબિંબની ઊંચાઈ $h_i = m \times h_o = -1.5 \times 3.6 = -5.4 \ cm$.
આમ,વાસ્તવિક પ્રતિબિંબની ઊંચાઈનું મૂલ્ય $5.4 \ cm$ છે.

(B) અંતર્ગોળ અરીસા માટે,મુખ્ય કેન્દ્રથી વસ્તુનું અંતર $(x_1)$ અને વાસ્તવિક પ્રતિબિંબનું અંતર $(x_2)$ એ કેન્દ્રલંબાઈ $(f)$ સાથે ન્યૂટનના સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે: $f^2 = x_1 \cdot x_2$.
અહીં આપેલ છે,$x_1 = 16 \ cm$ અને $x_2 = 9 \ cm$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$f^2 = 16 \ cm \times 9 \ cm = 144 \ cm^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$f = \sqrt{144} \ cm = 12 \ cm$.
તેથી,અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈ $12 \ cm$ છે.

(D) આપેલ છે: કેન્દ્રલંબાઈ $f = -9 \ cm$ (અંતર્ગોળ અરીસો). સળિયો મુખ્ય અક્ષ પર મૂકવામાં આવ્યો છે. અરીસાની નજીકનો છેડો $u_1 = -15 \ cm$ પર છે. સળિયાની લંબાઈ $6 \ cm$ છે,તેથી દૂરનો છેડો $u_2 = -15 - 6 = -21 \ cm$ પર છે.
અરીસાના સૂત્ર $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે પ્રતિબિંબના સ્થાન $v_1$ અને $v_2$ શોધીએ છીએ.
$u_1 = -15 \ cm$ માટે: $\frac{1}{v_1} = \frac{1}{-9} - \frac{1}{-15} = \frac{-5 + 3}{45} = \frac{-2}{45} \implies v_1 = -22.5 \ cm$.
$u_2 = -21 \ cm$ માટે: $\frac{1}{v_2} = \frac{1}{-9} - \frac{1}{-21} = \frac{-7 + 3}{63} = \frac{-4}{63} \implies v_2 = -15.75 \ cm$.
પ્રતિબિંબની લંબાઈ $|v_1 - v_2| = |-22.5 - (-15.75)| = |-6.75| = 6.75 \ cm$ થાય.

(C) આપેલ પરિસ્થિતિ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.
ધારો કે $AB$ વસ્તુ છે અને $A^{\prime}B^{\prime}$ પ્રતિબિંબ છે.
અહીં,$AB = l$,$A^{\prime}B^{\prime} = l^{\prime}$,અને વસ્તુ અંતર $u = -X$ છે.
અરીસાના સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં અંતર્ગોળ અરીસા માટે $f = -F$ છે:
$\frac{1}{-F} = \frac{1}{v} + \frac{1}{-X}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{X} - \frac{1}{F} = \frac{F-X}{FX}$
$v = \frac{FX}{F-X}$
મુખ્ય અક્ષ પર મૂકેલી નાની વસ્તુ માટે,રેખીય મોટવણી $M$ નીચે મુજબ મળે છે:
$M = \frac{l^{\prime}}{l} = -\frac{dv}{du} = -\frac{d}{du} \left( \frac{fu}{u-f} \right) = -\frac{f^2}{(u-f)^2}$
$u = -X$ અને $f = -F$ મૂકતા:
$M = -\frac{(-F)^2}{(-X - (-F))^2} = -\frac{F^2}{(F-X)^2}$
રેખીય મોટવણીનું મૂલ્ય:
$\left| \frac{l^{\prime}}{l} \right| = \left( \frac{F}{F-X} \right)^2$

(C) આપેલ છે, વસ્તુ અને અરીસા વચ્ચેનું અંતર, $u = -7 \,cm$.
વક્રતા ત્રિજ્યા, $R = -12 \,cm$.
તેથી, કેન્દ્રલંબાઈ, $f = \frac{R}{2} = \frac{-12}{2} = -6 \,cm$.
અરીસાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા, $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{v} + \frac{1}{-7} = \frac{1}{-6}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{7} - \frac{1}{6} = \frac{6 - 7}{42} = -\frac{1}{42}$
$v = -42 \,cm$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે પ્રતિબિંબ અરીસાની ડાબી બાજુએ $42 \,cm$ અંતરે રચાય છે.

(A) અરીસાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$
અંતર્ગોળ અરીસા માટે કેન્દ્રલંબાઈ $f = -10 \,cm$ અને વસ્તુ અંતર $u = -25 \,cm$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{1}{v} = \frac{1}{f} - \frac{1}{u} = \frac{1}{-10} - \frac{1}{-25}$
$\frac{1}{v} = -\frac{1}{10} + \frac{1}{25} = \frac{-5 + 2}{50} = -\frac{3}{50}$
$v = -\frac{50}{3} \approx -16.7 \,cm$
મોટવણી $m$ નીચે મુજબ મળે:
$m = -\frac{v}{u} = -\frac{-16.7}{-25} = -0.67$
આમ,પ્રતિબિંબ $-16.7 \,cm$ અંતરે રચાય છે અને તેની મોટવણી $-0.67$ છે.

(A) આપેલ છે: પ્રકાશના સ્ત્રોતનું અંતર $(u) = -1.5 \ m = -\frac{3}{2} \ m$. બહિર્ગોળ અરીસાની વક્રતા ત્રિજ્યા $(R) = +1 \ m$. કેન્દ્રલંબાઈ $(f) = \frac{R}{2} = +0.5 \ m$.
અરીસાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{0.5} = \frac{1}{v} + \frac{1}{-1.5} \Rightarrow 2 = \frac{1}{v} - \frac{2}{3}$.
$v$ માટે ઉકેલતા: $\frac{1}{v} = 2 + \frac{2}{3} = \frac{6+2}{3} = \frac{8}{3}$.
તેથી,$v = \frac{3}{8} = 0.375 \ m$.
અહીં $v$ ધન હોવાથી,પ્રતિબિંબ અરીસાની પાછળ રચાય છે,જે આભાસી અને ચત્તું છે.
મોટવણી $(m) = -\frac{v}{u} = -\frac{0.375}{-1.5} = \frac{0.375}{1.5} = 0.25$.

(C) પરાવર્તક સપાટીનું સમીકરણ $x^{2}+y^{2}=R^{2}$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$.
આ $\frac{dy}{dx}$ એ બિંદુ $M$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ દર્શાવે છે. બિંદુ $M$ પરનો લંબ $x$-અક્ષ સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે કારણ કે આપાત કિરણ આડું છે અને પરાવર્તિત કિરણ ઊભું છે.
કિરણ $90^{\circ}$ વળવા માટે ( $+x$ થી $+y$ તરફ),$M$ પરનો લંબ $x$-અક્ષ સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવવો જોઈએ.
લંબનો ઢાળ $\tan(45^{\circ}) = 1$ છે. લંબ એ સ્પર્શકને લંબ હોવાથી,સ્પર્શકનો ઢાળ $-1$ થશે.
આમ,$-\frac{x}{y} = -1$,જેનો અર્થ છે કે $x = y$.
સમીકરણ $x^{2}+y^{2}=R^{2}$ માં $x = y$ મૂકતા,આપણને $2x^{2} = R^{2}$ મળે છે,તેથી $x = \pm \frac{R}{\sqrt{2}}$.
પરાવર્તનની ભૂમિતિના આધારે,બિંદુ $M$ બીજા ચરણમાં હોવું જોઈએ,જ્યાં $x < 0$ અને $y > 0$ છે.
તેથી,યામ $M = \left(-\frac{R}{\sqrt{2}}, \frac{R}{\sqrt{2}}\right)$ છે.

(D) અરીસા પર સૂર્ય દ્વારા બનતો ખૂણો $\theta$ એ સૂર્યના વ્યાસ $(D)$ અને પૃથ્વી તથા સૂર્ય વચ્ચેના અંતર $(d_{SE})$ ના ગુણોત્તર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સૂર્ય ખૂબ જ દૂર હોવાથી,તેનું પ્રતિબિંબ અંતર્ગોળ અરીસાના મુખ્ય કેન્દ્ર પર રચાય છે.
કોણીય કદ $\theta = \frac{D}{d_{SE}} = 0.009 \ rad$ છે.
કેન્દ્રિય સમતલ પર રચાતા પ્રતિબિંબનો વ્યાસ $(d)$ એ $d = f \times \theta$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $f$ એ અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈ છે.
કેન્દ્રલંબાઈ $f$ એ વક્રતા ત્રિજ્યા $R = 0.4 \ m$ ની અડધી હોય છે,તેથી $f = \frac{R}{2} = \frac{0.4}{2} = 0.2 \ m$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $d = 0.2 \ m \times 0.009 = 0.0018 \ m$ મળે છે.
તેથી,$d = 1.8 \times 10^{-3} \ m$.

(D) અંતર્ગોળ અરીસા માટે, વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ માટે મોટવણી $m$ ઋણ હોય છે, તેથી $m = -3$ અને $m = -2$.
અરીસાના સૂત્ર $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ અને મોટવણી $m = -\frac{v}{u}$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને $v = -mu$ મળે છે.
કિસ્સો $1$: $u_1 = -x$, $m_1 = -3$, તેથી $v_1 = -(-3)(-x) = -3x$.
$\frac{1}{-3x} + \frac{1}{-x} = \frac{1}{f} \implies \frac{-1-3}{3x} = \frac{1}{f} \implies \frac{1}{f} = \frac{-4}{3x} \quad (i)$
કિસ્સો $2$: $u_2 = -(x+5)$, $m_2 = -2$, તેથી $v_2 = -(-2)(-(x+5)) = -2(x+5)$.
$\frac{1}{-2(x+5)} + \frac{1}{-(x+5)} = \frac{1}{f} \implies \frac{-1-2}{2(x+5)} = \frac{1}{f} \implies \frac{1}{f} = \frac{-3}{2(x+5)} \quad (ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા:
$\frac{-4}{3x} = \frac{-3}{2(x+5)} \implies 8(x+5) = 9x \implies 8x + 40 = 9x \implies x = 40 \ cm$.
$x = 40$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$\frac{1}{f} = \frac{-4}{3(40)} = \frac{-4}{120} = \frac{-1}{30} \implies f = -30 \ cm$.
કેન્દ્રલંબાઈનું મૂલ્ય $30 \ cm$ છે.

(A) આપેલ છે: વસ્તુની ઊંચાઈ $h_o = 2.0 \,cm$,વસ્તુ અંતર $u = -15 \,cm$,કેન્દ્રલંબાઈ $f = -10 \,cm$.
અરીસાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{v} + \frac{1}{-15} = \frac{1}{-10} \Rightarrow \frac{1}{v} = \frac{1}{15} - \frac{1}{10} = \frac{2-3}{30} = -\frac{1}{30}$.
તેથી,$v = -30 \,cm$.
મોટવણી $m = -\frac{v}{u} = -\frac{-30}{-15} = -2$.
પ્રતિબિંબની ઊંચાઈ $h_i = m \times h_o = -2 \times 2.0 = -4.0 \,cm$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક અને ઉલટું છે. પ્રતિબિંબનું કદ $4.0 \,cm$ છે।

(D) વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ માટે,મોટવણી $m = -3$ છે. $m = -v/u$ હોવાથી,$-3 = -v/u$,જેનો અર્થ છે કે $v = 3u$.
આપેલ છે કે વસ્તુ અને પ્રતિબિંબ વચ્ચેનું અંતર $40 \ cm$ છે,અને અંતર્ગોળ અરીસા દ્વારા બનતા વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ માટે,વસ્તુ અને પ્રતિબિંબ બંને એક જ બાજુએ હોય છે,તેથી અંતર $|v - u| = 40 \ cm$ થાય.
$v = 3u$ મૂકતા,આપણને $|3u - u| = 40$ મળે છે,તેથી $|2u| = 40$,જે $u = -20 \ cm$ આપે છે (ચિહ્ન પ્રણાલીનો ઉપયોગ કરતા).
ત્યારબાદ $v = 3(-20) = -60 \ cm$.
અરીસાના સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{-60} + \frac{1}{-20} = \frac{-1 - 3}{60} = \frac{-4}{60} = \frac{-1}{15}$.
તેથી,$f = -15 \ cm$.

(B) લંબન પદ્ધતિમાં,પ્રતિબિંબ અને સોય વચ્ચેનું લંબન અવલોકન કરવા માટે આપણે વસ્તુનું વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ મેળવવું જરૂરી છે.
અંતર્ગોળ અરીસા માટે,વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ ત્યારે જ રચાય છે જ્યારે વસ્તુને મુખ્ય કેન્દ્ર $(F)$ ની બહાર મૂકવામાં આવે.
જો વસ્તુને ધ્રુવ $(P)$ અને મુખ્ય કેન્દ્ર $(F)$ ની વચ્ચે મૂકવામાં આવે,તો રચાતું પ્રતિબિંબ આભાસી,ચત્તું અને વિવર્ધિત હોય છે,જેનો ઉપયોગ લંબન પદ્ધતિ માટે થઈ શકતો નથી કારણ કે તેને પડદા પર મેળવી શકાતું નથી અથવા વાસ્તવિક સંપાત બિંદુ તરીકે જોઈ શકાતું નથી.
તેથી,વસ્તુને મુખ્ય કેન્દ્ર $(F)$ ની બહાર કોઈપણ બિંદુએ મૂકવી આવશ્યક છે.

(A) અંતર્ગોળ અરીસા માટે,કેન્દ્રલંબાઈ $f = -15 \text{ cm}$ અને વસ્તુ અંતર $u = -10 \text{ cm}$ છે.
અરીસાના સૂત્ર $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v} = \frac{1}{f} - \frac{1}{u} = \frac{1}{-15} - \frac{1}{-10} = -\frac{1}{15} + \frac{1}{10} = \frac{-2 + 3}{30} = \frac{1}{30}$.
આમ,$v = +30 \text{ cm}$.
અહીં $v$ ધન હોવાથી,પ્રતિબિંબ અરીસાની પાછળ રચાય છે,જેનો અર્થ છે કે તે આભાસી અને ચત્તું છે.
મોટવણી $m = -\frac{v}{u} = -\frac{30}{-10} = +3$.
મોટવણી $m$ ધન છે અને $|m| > 1$ હોવાથી,પ્રતિબિંબ આભાસી,ચત્તું અને વિવર્ધિત (મોટું) છે.

(B) અંતર્ગોળ અરીસા માટે,કેન્દ્રલંબાઈ $f = -10 \text{ cm}$ છે.
સળિયો $u_1 = -20 \text{ cm}$ થી $u_2 = -30 \text{ cm}$ સુધી મૂકેલો છે (કારણ કે લંબાઈ $10 \text{ cm}$ છે અને નજીકનો છેડો ધ્રુવથી $20 \text{ cm}$ અંતરે છે).
અરીસાના સૂત્ર $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા:
નજીકના છેડા માટે $u_1 = -20 \text{ cm}$:
$\frac{1}{v_1} - \frac{1}{20} = -\frac{1}{10} \implies \frac{1}{v_1} = -\frac{1}{10} + \frac{1}{20} = -\frac{1}{20} \implies v_1 = -20 \text{ cm}$.
દૂરના છેડા માટે $u_2 = -30 \text{ cm}$:
$\frac{1}{v_2} - \frac{1}{30} = -\frac{1}{10} \implies \frac{1}{v_2} = -\frac{1}{10} + \frac{1}{30} = -\frac{2}{30} = -\frac{1}{15} \implies v_2 = -15 \text{ cm}$.
પ્રતિબિંબની લંબાઈ એ બંને છેડાઓના પ્રતિબિંબ વચ્ચેનું અંતર છે:
$\text{પ્રતિબિંબની લંબાઈ} = |v_1 - v_2| = |-20 - (-15)| = |-5| = 5 \text{ cm}$.

(B) અંતર્ગોળ અરીસા માટે,મોટવણી $m = \pm 2$ હોઈ શકે છે કારણ કે પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક (ઊલટું) અથવા આભાસી (ચત્તું) હોઈ શકે છે.
કેન્દ્રલંબાઈ $f = -10$ cm.
$1$) વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ માટે,$m = -2$:
$m = \frac{f}{f-u}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$-2 = \frac{-10}{-10-u} \Rightarrow -2 = \frac{10}{10+u} \Rightarrow -20 - 2u = 10 \Rightarrow 2u = -30 \Rightarrow u_1 = -15$ cm.
$2$) આભાસી પ્રતિબિંબ માટે,$m = +2$:
$m = \frac{f}{f-u}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$2 = \frac{-10}{-10-u} \Rightarrow 2 = \frac{10}{10+u} \Rightarrow 20 + 2u = 10 \Rightarrow 2u = -10 \Rightarrow u_2 = -5$ cm.
બંને સ્થાનો વચ્ચેનું અંતર $|u_1 - u_2| = |-15 - (-5)| = |-10| = 10$ cm થાય.