Refraction of Light Questions in Hindi

(C) वायु के सापेक्ष कांच का अपवर्तनांक $_a\mu_g = 1.5$ है।
वायु के सापेक्ष जल का अपवर्तनांक $_a\mu_w = 1.2$ है।
जल के सापेक्ष कांच का अपवर्तनांक निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$_w\mu_g = \frac{_a\mu_g}{_a\mu_w}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$_w\mu_g = \frac{1.5}{1.2} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4} = 1.25$.

(B) किसी माध्यम में प्रकाश की तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda_m = \frac{\lambda_a}{\mu}$ है,जहाँ $\lambda_a$ हवा में तरंगदैर्ध्य है और $\mu$ माध्यम का अपवर्तनांक है।
दिया गया है: $\lambda_a = 5890 \ \mathring{A}$ और $\mu = 1.6$.
मान रखने पर: $\lambda_g = \frac{5890}{1.6} = 3681.25 \ \mathring{A}$.
निकटतम पूर्णांक में,तरंगदैर्ध्य $3681 \ \mathring{A}$ है।

(A) माना स्तंभ की मोटाई $t$ है। निर्वात में तरंगदैर्ध्यों की संख्या $n$,$t = n \lambda_0$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\lambda_0 = 6000 \mathring A = 6 \times 10^{-7} \, m$ है।
हवा में,तरंगदैर्ध्य $\lambda_a = \frac{\lambda_0}{\mu}$ है,जहाँ $\mu = 1.0003$ है।
समान मोटाई $t$ के लिए हवा में तरंगदैर्ध्यों की संख्या $(n+1)$ है,इसलिए $t = (n+1) \lambda_a$ है।
$t$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $n \lambda_0 = (n+1) \frac{\lambda_0}{\mu}$ प्राप्त होता है।
$\lambda_0$ से विभाजित करने पर: $n = \frac{n+1}{\mu} \implies n\mu = n+1 \implies n(\mu - 1) = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$n = \frac{1}{\mu - 1}$ है।
पहले समीकरण में $n$ का मान रखने पर: $t = \frac{\lambda_0}{\mu - 1}$ प्राप्त होता है।
$t = \frac{6 \times 10^{-7}}{1.0003 - 1} = \frac{6 \times 10^{-7}}{0.0003} = \frac{6 \times 10^{-7}}{3 \times 10^{-4}} = 2 \times 10^{-3} \, m = 2 \, mm$।

(A) हवा के सापेक्ष माध्यम का अपवर्तनांक हवा में प्रकाश की गति $(c)$ और माध्यम में प्रकाश की गति $(v)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,$\mu_m = \frac{c}{v}$।
चूंकि प्रकाश जब एक माध्यम से दूसरे माध्यम में जाता है तो उसकी आवृत्ति $(n)$ स्थिर रहती है,इसलिए हम लिख सकते हैं कि $c = n \lambda_a$ और $v = n \lambda_m$।
इन मानों को अपवर्तनांक के सूत्र में रखने पर:
$\mu_m = \frac{n \lambda_a}{n \lambda_m} = \frac{\lambda_a}{\lambda_m}$।
अतः,माध्यम का अपवर्तनांक हवा में तरंगदैर्ध्य और माध्यम में तरंगदैर्ध्य का अनुपात होता है।

(B) किसी माध्यम में प्रकाश की गति $v$ को $v = \frac{c}{\mu}$ संबंध द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $c$ निर्वात में प्रकाश की गति है और $\mu$ माध्यम का अपवर्तनांक है।
चूंकि $v \propto \frac{1}{\mu}$,इसलिए प्रकाश की गति उस माध्यम में अधिकतम होती है जिसका अपवर्तनांक सबसे कम होता है।
दिए गए माध्यमों के अपवर्तनांक लगभग इस प्रकार हैं: वायु $\approx 1.0003$,जल $\approx 1.33$,कांच $\approx 1.5$,और हीरा $\approx 2.42$।
चूंकि दिए गए विकल्पों में वायु का अपवर्तनांक सबसे कम है,इसलिए वायु में प्रकाश की गति अधिकतम होती है।

(B) निर्वात में प्रकाश की चाल $c = f \lambda$ होती है,जहाँ $f$ प्रकाश की आवृत्ति है।
जब प्रकाश $n$ अपवर्तनांक वाले माध्यम में प्रवेश करता है,तो उसकी आवृत्ति $f$ स्थिर रहती है,लेकिन उसकी चाल $v$ बदलकर $v = \frac{c}{n}$ हो जाती है।
चूँकि $v = f \lambda_{medium}$,इसलिए $f \lambda_{medium} = \frac{c}{n} = \frac{f \lambda}{n}$ प्राप्त होता है।
अतः,माध्यम में तरंगदैर्ध्य $\lambda_{medium} = \frac{\lambda}{n}$ होगी।

(C) पानी का अपवर्तनांक $\mu = 1.33 \approx 4/3$ है।
जब सूर्य अस्त हो रहा होता है,तो सूर्य से आने वाली प्रकाश किरणें पानी की सतह पर $i = 90^o$ के आपतन कोण पर आपतित होती हैं।
स्नेल के नियम के अनुसार,$\mu_1 \sin(i) = \mu_2 \sin(r)$,जहाँ $\mu_1 = 1$ (वायु) और $\mu_2 = 1.33$ (पानी) है।
$\sin(r) = \frac{1}{1.33} \sin(90^o) = \frac{1}{1.33} \approx 0.75$।
$r = \arcsin(0.75) \approx 48.75^o \approx 49^o$।
यह कोण $r$ अभिलंब (ऊर्ध्वाधर) के साथ अपवर्तन का कोण है।
इसलिए,डूबते हुए सूर्य को देखने के लिए व्यक्ति को ऊर्ध्वाधर से $49^o$ के कोण पर देखना चाहिए।

(B) प्राथमिक इंद्रधनुष तब बनता है जब सूर्य का प्रकाश पानी की एक गोलाकार बूंद के भीतर दो अपवर्तन और एक आंतरिक परावर्तन से गुजरता है।
$1$. प्रकाश बूंद में प्रवेश करता है,जहाँ हवा-पानी की सतह पर उसका अपवर्तन होता है।
$2$. इसके बाद यह बूंद की पिछली सतह पर आंतरिक परावर्तन का अनुभव करता है।
$3$. अंत में,जब यह बूंद से बाहर निकलकर हवा में आता है,तो इसका दूसरा अपवर्तन होता है।
घटनाओं का यह विशिष्ट क्रम प्रकाश को न्यूनतम विचलन पर बाहर निकलने में मदद करता है,जिससे प्राथमिक इंद्रधनुष का निर्माण होता है।

(B) प्रेक्षक की दृष्टि रेखा स्थिर रहती है,जो हवा में अभिलंब के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाती है।
व्यवस्था की ज्यामिति से,जब तरल को $2h$ की ऊँचाई तक भरा जाता है,तो छड़ के निचले सिरे से प्रकाश किरण बीकर की ऊर्ध्वाधर अक्ष से $h$ दूरी पर तरल की सतह तक पहुँचती है।
तरल में आपतन कोण $\theta$,$\tan \theta = \frac{h}{2h} = 1/2$ द्वारा दिया जाता है।
इस प्रकार,$\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
तरल-वायु इंटरफ़ेस पर स्नेल के नियम को लागू करने पर: $\mu \sin \theta = 1 \cdot \sin 45^{\circ}$.
$\mu \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
इसलिए,$\mu = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{5}{2}}$.

(B) माना कांच का अपवर्तनांक ${\mu _g}$ है और जल का अपवर्तनांक ${\mu _w} = 4/3$ है। वायु का अपवर्तनांक ${\mu _a} = 1$ है।
कांच-जल इंटरफ़ेस पर स्नेल का नियम लागू करने पर:
${\mu _g} \sin i = {\mu _w} \sin r$ ---$(1)$
जल-वायु इंटरफ़ेस पर स्नेल का नियम लागू करने पर:
${\mu _w} \sin r = {\mu _a} \sin 90^\circ$ ---$(2)$
चूंकि किरण जल की सतह के समानांतर बाहर निकलती है,इसलिए जल-वायु इंटरफ़ेस पर अपवर्तन कोण $90^\circ$ है।
समीकरण $(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है:
${\mu _g} \sin i = {\mu _a} \sin 90^\circ$
${\mu _g} \sin i = 1 \times 1$
${\mu _g} = \frac{1}{\sin i}$

(A) माना कि पानी की सतह से पक्षी की ऊँचाई $y$ है और पानी की सतह से नीचे मछली की गहराई $y'$ है।
अपवर्तन के कारण,मछली द्वारा देखी गई पक्षी की आभासी ऊँचाई $h_{app} = \mu y$ है,जहाँ $\mu = 4/3$ पानी का अपवर्तनांक है।
पक्षी और मछली के बीच की कुल आभासी दूरी $S = y' + \mu y$ है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें मछली के सापेक्ष पक्षी का आभासी वेग प्राप्त होता है:
$\frac{dS}{dt} = \frac{dy'}{dt} + \mu \frac{dy}{dt}$.
यहाँ,$\frac{dS}{dt} = 9 \; ms^{-1}$ (मछली के सापेक्ष पक्षी की आभासी गति),
$\frac{dy'}{dt} = 3 \; ms^{-1}$ (मछली के ऊपर आने की गति),
और $\frac{dy}{dt} = v_{bird}$ (पक्षी की वास्तविक गति)।
मान रखने पर: $9 = 3 + (4/3) v_{bird}$.
$6 = (4/3) v_{bird}$.
$v_{bird} = (6 \times 3) / 4 = 18 / 4 = 4.5 \; ms^{-1}$.

(A) वास्तविक गहराई $(h)$ और आभासी गहराई $(h')$ के बीच का संबंध $h = \mu h'$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\mu$ अपवर्तनांक है।
पहले मामले में,द्रव की वास्तविक गहराई $h_1 = \mu(b - a)$ है,जहाँ $(b - a)$ आभासी गहराई है।
दूसरे मामले में,द्रव की वास्तविक गहराई $h_2 = \mu(d - c)$ है,जहाँ $(d - c)$ आभासी गहराई है।
वास्तविक गहराई में अंतर $\Delta h = h_2 - h_1 = \mu(d - c - b + a)$ है।
वास्तविक गहराई में यह अंतर मिलाए गए अतिरिक्त द्रव की मोटाई के बराबर है,जो $\Delta h = d - b$ है।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\mu(d - c - b + a) = d - b$.
अतः,अपवर्तनांक $\mu = \frac{d - b}{d - c - b + a}$ है।

(B) आभासी गहराई $h'$ और वास्तविक गहराई $h$ के बीच संबंध $h' = h / \mu$ है,जहाँ $\mu = n_2/n_1$ हवा के सापेक्ष पानी का अपवर्तनांक है।
दिया गया है कि आभासी गहराई $x \, cm/min$ की दर से कम हो रही है,इसलिए $\frac{dh'}{dt} = -x$ है।
चूंकि $h' = h \cdot (n_1/n_2)$ है,समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $\frac{dh'}{dt} = \frac{n_1}{n_2} \frac{dh}{dt}$ प्राप्त होता है।
दी गई दर को प्रतिस्थापित करने पर: $-x = \frac{n_1}{n_2} \frac{dh}{dt}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{dh}{dt} = -x \cdot (n_2/n_1)\text{।}$ इस प्रकार,वास्तविक गहराई $x \cdot (n_2/n_1) \, cm/min$ की दर से कम हो रही है।
बेलनाकार टंकी में पानी का आयतन $V = \pi R^2 h$ है।
आयतन में परिवर्तन की दर $\frac{dV}{dt} = \pi R^2 \frac{dh}{dt}$ है।
$\frac{dh}{dt}$ का मान रखने पर,प्रति मिनट बाहर निकाले गए पानी का आयतन $\frac{dV}{dt} = \pi R^2 \cdot x \cdot (n_2/n_1) = x \pi R^2 (n_2/n_1)$ होगा।

(A) किसी माध्यम में प्रकाश के अपवर्तनांक $\mu$ और तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के बीच का संबंध कौशी के समीकरण द्वारा दिया जाता है: $\mu = A + \frac{B}{\lambda^2}$,जहाँ $A$ और $B$ स्थिरांक हैं।
इस समीकरण के अनुसार,जैसे-जैसे तरंगदैर्ध्य $\lambda$ बढ़ती है,अपवर्तनांक $\mu$ घटता है।
यह एक व्युत्क्रमानुपाती संबंध को दर्शाता है जहाँ $\mu$,$\frac{1}{\lambda^2}$ के समानुपाती है।
दिए गए विकल्पों में से,जो ग्राफ $\lambda$ के बढ़ने पर $\mu$ के घटने को दर्शाता है,वह पहले ग्राफ (ग्राफ $A$) द्वारा प्रदर्शित होता है।

(D) ग्राफ से,ढाल (slope) $\tan 30^\circ = \frac{\sin r}{\sin i}$ द्वारा दी गई है।
स्नेल के नियम के अनुसार,$\mu = \frac{\sin i}{\sin r}$ होता है।
इसलिए,$\frac{1}{\mu} = \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$,जिसका अर्थ है कि $\mu = \sqrt{3}$ है।
माध्यम में प्रकाश की गति $v = \frac{c}{\mu}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि $v = nc$,इसलिए $nc = \frac{c}{\mu}$,जिसका अर्थ है $n = \frac{1}{\mu}$।
$\mu = \sqrt{3}$ रखने पर,हमें $n = \frac{1}{\sqrt{3}} = 3^{-1/2}$ प्राप्त होता है।

(A) जब प्रकाश किसी सघन माध्यम की सतह से परावर्तित होता है,तो $\pi$ रेडियन $(180^o)$ का कलांतर उत्पन्न होता है।
विकल्प $(A)$ में,प्रकाश वायु (विरल माध्यम) से कांच (सघन माध्यम) में जाता है।
अतः,कांच की सतह पर परावर्तन के कारण $180^o$ का कलांतर प्राप्त होता है।

(A) पहले माध्यम के सापेक्ष दूसरे माध्यम का अपवर्तनांक,जिसे $n_{21}$ के रूप में दर्शाया जाता है,पहले माध्यम में प्रकाश की गति और दूसरे माध्यम में प्रकाश की गति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,$n_{21} = \frac{v_1}{v_2}$ होता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) आभासी गहराई का सूत्र है: $\text{आभासी गहराई} = \frac{\text{वास्तविक गहराई}}{\text{अपवर्तनांक (}\mu\text{)}}$.
यहाँ,वास्तविक गहराई $= 12.5 \, cm$ और नया अपवर्तनांक $\mu = 1.63$ दिया गया है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\text{आभासी गहराई} = \frac{12.5}{1.63} \approx 7.67 \, cm$.
अतः,सुई की आभासी गहराई $7.67 \, cm$ होगी।

(B) जब प्रकाश अधिक प्रकाशीय घनत्व वाले माध्यम से कम प्रकाशीय घनत्व वाले माध्यम में जाता है,तो वह अभिलंब से दूर हट जाता है।
यहाँ,टर्पेन्टाइन का अपवर्तनांक $(n_t \approx 1.47)$ पानी के अपवर्तनांक $(n_w \approx 1.33)$ से अधिक है।
चूंकि प्रकाश टर्पेन्टाइन से पानी में जा रहा है,इसलिए यह सघन माध्यम से विरल माध्यम में जा रहा है।
अतः,अपवर्तित किरण को अंतरापृष्ठ पर अभिलंब से दूर झुकना चाहिए।
दिए गए चित्र को देखने पर,किरण $2$ टर्पेन्टाइन परत से पानी में प्रवेश करते समय अभिलंब से दूर झुकती हुई दिखाई देती है।
अतः,सही पथ किरण $2$ द्वारा दर्शाया गया है।

(B) मान लीजिए कि पिनहोल मूल बिंदु पर है। प्रकाश किरण छड़ के निचले सिरे से पिनहोल तक और फिर प्रेक्षक की आँख तक जाती है।
व्यवस्था की ज्यामिति से,तरल में आपतन कोण $\theta$,आधार $h$ और ऊँचाई $2h$ द्वारा बनता है (क्योंकि छड़ किनारे पर है और पिनहोल ऊपरी सतह के केंद्र में है)।
$\sin \theta = \frac{h}{\sqrt{h^2 + (2h)^2}} = \frac{h}{\sqrt{5h^2}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
हवा में अपवर्तन कोण $45^\circ$ है क्योंकि पिनहोल छड़ से $h$ की क्षैतिज दूरी पर है और तरल के ऊपर की ऊर्ध्वाधर ऊँचाई $h$ है (क्योंकि कुल ऊँचाई $3h$ है और तरल स्तर $2h$ है)।
स्नेल के नियम का उपयोग करते हुए: $\mu \sin \theta = 1 \cdot \sin 45^\circ$.
$\mu \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\mu = \sqrt{\frac{5}{2}}$.

(B) यहाँ,वास्तविक गहराई $(d) = 12.5 \, cm$ और आभासी गहराई $(d') = 9.4 \, cm$ है।
अपवर्तनांक $(\mu)$ का सूत्र है:
$\mu = \frac{\text{वास्तविक गहराई}}{\text{आभासी गहराई}}$
मान रखने पर:
$\mu = \frac{12.5}{9.4}$
$\mu \approx 1.33$
अतः,पानी का अपवर्तनांक $1.33$ है।

(B) दिया गया है:
हवा के सापेक्ष कांच का अपवर्तनांक,$\mu_g = 3/2$
हवा के सापेक्ष पानी का अपवर्तनांक,$\mu_w = 4/3$
पानी के सापेक्ष कांच का अपवर्तनांक ज्ञात करने का सूत्र:
$_w\mu_g = \frac{\mu_g}{\mu_w}$
मान रखने पर:
$_w\mu_g = \frac{3/2}{4/3} = \frac{3}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{9}{8}$
अतः,पानी के सापेक्ष कांच का अपवर्तनांक $9/8$ है।

(A) स्नेल के नियम के अनुसार,$n_1 \sin i = n_2 \sin r$ होता है। यहाँ $n_1 = 1$ (वायु) और $n_2 = \mu$ है,इसलिए $\sin i = \mu \sin r$ होगा।
दिया गया है कि अपवर्तन कोण $r = i/2$ है,इसे समीकरण में रखने पर:
$\sin i = \mu \sin(i/2)$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin i = 2 \sin(i/2) \cos(i/2)$ का उपयोग करने पर:
$2 \sin(i/2) \cos(i/2) = \mu \sin(i/2)$.
यदि $\sin(i/2) \neq 0$ है,तो दोनों पक्षों को $\sin(i/2)$ से विभाजित करने पर:
$2 \cos(i/2) = \mu$.
$\cos(i/2) = \mu/2$.
$i/2 = \cos^{-1}(\mu/2)$.
अतः,$i = 2 \cos^{-1}(\mu/2)$।

(D) स्नेल के नियम के अनुसार,समानांतर माध्यमों के बीच प्रत्येक इंटरफेस पर,अपवर्तनांक और आपतन कोण की ज्या (sine) का गुणनफल स्थिर रहता है: $\mu_1 \sin \theta_1 = \mu_2 \sin \theta_2 = \mu_3 \sin \theta_3 = \mu_4 \sin \theta_4$.
चूंकि निर्गत किरण $CD$,आपतित किरण $AB$ के समानांतर है,इसलिए पहले माध्यम में आपतन कोण और चौथे माध्यम में अपवर्तन कोण समान होने चाहिए,अर्थात $\theta_1 = \theta_4$.
इस मान को स्नेल के नियम के समीकरण में रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\mu_1 \sin \theta_1 = \mu_4 \sin \theta_1$.
अतः,$\mu_1 = \mu_4$.

(B) ब्रूस्टर के नियम के अनुसार,जब परावर्तित और अपवर्तित किरणें एक-दूसरे के लंबवत होती हैं,तो आपतन कोण ब्रूस्टर कोण $(i_p)$ होता है।
यहाँ दिया गया है कि आपतन कोण $i = 60^o$ है,इसलिए $i_p = 60^o$ होगा।
अपवर्तनांक $\mu$ का सूत्र है: $\mu = \tan(i_p)$।
मान रखने पर: $\mu = \tan(60^o) = \sqrt{3}$।

(C) माध्यम $i$ के सापेक्ष माध्यम $j$ का अपवर्तनांक $_i\mu_j = \frac{\mu_j}{\mu_i}$ द्वारा दिया जाता है।
हमें दिया गया गुणनफल है: $_2\mu_1 \times _3\mu_2 \times _4\mu_3$।
अपवर्तनांक की परिभाषा रखने पर:
$_2\mu_1 = \frac{\mu_1}{\mu_2}$
$_3\mu_2 = \frac{\mu_2}{\mu_3}$
$_4\mu_3 = \frac{\mu_3}{\mu_4}$
इन पदों का गुणा करने पर:
$\left(\frac{\mu_1}{\mu_2}\right) \times \left(\frac{\mu_2}{\mu_3}\right) \times \left(\frac{\mu_3}{\mu_4}\right) = \frac{\mu_1}{\mu_4}$।
चूंकि $_i\mu_j = \frac{\mu_j}{\mu_i}$,हम जानते हैं कि $_4\mu_1 = \frac{\mu_1}{\mu_4}$।
साथ ही,अपवर्तनांक के गुणधर्म के अनुसार,$_4\mu_1 = \frac{1}{_1\mu_4}$।
अतः,गुणनफल $_4\mu_1$ या $\frac{1}{_1\mu_4}$ के बराबर है।

(B) अपवर्तनांक $\mu = \mu_0 + \mu_2 I$ द्वारा दिया गया है।
माध्यम में प्रकाश की गति $v$ और अपवर्तनांक के बीच संबंध $v = \frac{c}{\mu}$ है,जहाँ $c$ निर्वात में प्रकाश की गति है।
चूंकि किरण पुंज समानांतर है और तीव्रता घटने पर त्रिज्या बढ़ती है,इसलिए तीव्रता $I$ किरण पुंज की अक्ष पर सबसे अधिक होती है और अक्ष से दूर जाने पर घटती जाती है।
$\mu = \mu_0 + \mu_2 I$ होने के कारण,अक्ष पर उच्च तीव्रता $I$ के परिणामस्वरूप अक्ष पर अपवर्तनांक $\mu$ भी अधिक होता है।
चूंकि $v = \frac{c}{\mu}$ है,इसलिए अक्ष पर उच्च अपवर्तनांक $\mu$ के कारण अक्ष पर गति $v$ न्यूनतम होती है।
अतः,प्रकाश की गति किरण पुंज की अक्ष पर न्यूनतम है।

(B) माध्यम में प्रकाश की गति $v = \frac{c}{\mu}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $c$ निर्वात में प्रकाश की गति है और $\mu$ अपवर्तनांक है।
दिया गया है कि $\mu(I) = \mu_0 + \mu_2 I$,इसलिए अपवर्तनांक तीव्रता $I$ पर निर्भर करता है।
चूंकि बेलनाकार किरण की धुरी पर तीव्रता $I$ अधिकतम होती है और जैसे-जैसे हम त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर बढ़ते हैं,यह घटती जाती है,इसलिए अपवर्तनांक $\mu$ भी धुरी पर अधिकतम होगा।
चूंकि $v = \frac{c}{\mu}$,इसलिए उच्च अपवर्तनांक $\mu$ के परिणामस्वरूप गति $v$ कम हो जाती है।
अतः,प्रकाश की गति $v$ किरण की धुरी पर न्यूनतम होती है।

(B) जब प्रकाश की किरण एक माध्यम से दूसरे माध्यम (जैसे हवा से पानी) में जाती है, तो उसकी आवृत्ति स्थिर रहती है क्योंकि यह प्रकाश के स्रोत द्वारा निर्धारित होती है।
हालाँकि, माध्यम के अपवर्तनांक में परिवर्तन के कारण प्रकाश का वेग $(v)$ और तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ बदल जाते हैं।
संबंध $v = f \lambda$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $f$ आवृत्ति है।
चूंकि $f$ स्थिर है, इसलिए वेग में परिवर्तन के कारण तरंगदैर्ध्य में आनुपातिक परिवर्तन होता है।

(B) निर्वात में प्रकाश की गति एक सार्वभौमिक स्थिरांक है,जिसे $c \approx 3 \times 10^8 \ m/s$ द्वारा दर्शाया जाता है।
किसी अन्य भौतिक माध्यम में,प्रकाश की गति $v$ को $v = c/n$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ माध्यम का अपवर्तनांक है $(n > 1)$।
चूंकि सभी भौतिक माध्यमों के लिए $n > 1$ होता है,इसलिए प्रकाश की गति $v$ हमेशा $c$ से कम होती है।
अतः,निर्वात में प्रकाश का वेग अधिकतम होता है।

(C) अपवर्तनांक $\mu$ माध्यम में प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है,जिसे संबंध $\mu = \frac{\lambda_{air}}{\lambda_{medium}}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $\lambda_{air} = 4200\, \mathring A$ और $\mu = 4/3$।
सूत्र में मान रखने पर: $\frac{4}{3} = \frac{4200}{\lambda_{water}}$।
$\lambda_{water}$ के लिए हल करने पर: $\lambda_{water} = \frac{4200 \times 3}{4}$।
$\lambda_{water} = 1050 \times 3 = 3150\, \mathring A$।

(B) दिया गया है: आपतन कोण $i = 60^o$ है।
माना अपवर्तन कोण $r$ है।
परावर्तित किरण और अपवर्तित किरण के बीच का कोण $90^o$ है।
ज्यामितीय स्थिति के अनुसार,परावर्तन कोण $(i)$,परावर्तित और अपवर्तित किरणों के बीच का कोण,और अपवर्तन कोण $(r)$ का योग $180^o$ होता है (क्योंकि वे एक सीधी रेखा पर स्थित हैं)।
अतः,$i + 90^o + r = 180^o$ है।
$60^o + 90^o + r = 180^o$ है।
$150^o + r = 180^o$ है।
$r = 30^o$ है।
स्नेल के नियम का उपयोग करते हुए,अपवर्तनांक $\mu = \frac{\sin i}{\sin r}$ द्वारा दिया जाता है।
$\mu = \frac{\sin 60^o}{\sin 30^o} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$।

(C) किसी माध्यम का अपवर्तनांक $\mu$ उस माध्यम में प्रकाश के वेग $v$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है,जिसे $\mu = \frac{c}{v}$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $c$ निर्वात में प्रकाश की चाल है।
अतः,$\mu \propto \frac{1}{v}$,जिसका अर्थ है $\mu_1 v_1 = \mu_2 v_2$।
दिया गया है:
कांच का अपवर्तनांक $\mu_g = 1.5$
कांच में प्रकाश का वेग $v_g = 2 \times 10^8 \ m/s$
द्रव में प्रकाश का वेग $v_l = 2.5 \times 10^8 \ m/s$
संबंध $\mu_l v_l = \mu_g v_g$ का उपयोग करने पर:
$\mu_l = \frac{\mu_g v_g}{v_l}$
मान रखने पर:
$\mu_l = \frac{1.5 \times 2 \times 10^8}{2.5 \times 10^8}$
$\mu_l = \frac{3.0}{2.5} = 1.2$
अतः,द्रव का अपवर्तनांक $1.2$ है।

(D) समानांतर अंतरापृष्ठों (interfaces) की एक श्रृंखला के लिए स्नेल के नियम के अनुसार,अपवर्तनांक और आपतन कोण की ज्या (sine) का गुणनफल सभी माध्यमों में स्थिर रहता है: $\mu \sin \theta = \text{constant}$.
मान लीजिए कि $\theta_1$ माध्यम $\mu_1$ में आपतन कोण है और $\theta_4$ माध्यम $\mu_4$ में अपवर्तन कोण है।
चूंकि किरण $AB$,किरण $CD$ के समानांतर है,इसलिए पहले माध्यम में आपतन कोण और अंतिम माध्यम में अपवर्तन कोण बराबर होने चाहिए,अर्थात $\theta_1 = \theta_4$।
पहले और अंतिम माध्यम के बीच स्नेल का नियम लागू करने पर: $\mu_1 \sin \theta_1 = \mu_4 \sin \theta_4$।
चूंकि $\theta_1 = \theta_4$ है,इसलिए हमें $\mu_1 = \mu_4$ प्राप्त होता है।

(B) कांच-पानी के अंतरापृष्ठ पर स्नेल का नियम लागू करने पर:
$_g\mu_w = \frac{\sin i}{\sin r} \implies \frac{\mu_w}{\mu_g} = \frac{\sin i}{\sin r} \implies \mu_g = \mu_w \frac{\sin r}{\sin i} \dots (1)$
पानी-हवा के अंतरापृष्ठ पर स्नेल का नियम लागू करने पर (चूंकि किरण सतह को छूकर निकलती है,इसलिए अपवर्तन कोण $90^\circ$ है):
$_w\mu_a = \frac{\sin r}{\sin 90^\circ} \implies \frac{1}{\mu_w} = \sin r \dots (2)$
समीकरण $(2)$ से $\sin r = 1/\mu_w$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$\mu_g = \mu_w \cdot \frac{1/\mu_w}{\sin i} = \frac{1}{\sin i}$

(B) स्नेल के नियम के अनुसार,$\mu = \frac{\sin i}{\sin r}$,जहाँ $i$ आपतन कोण है और $r$ अपवर्तन कोण है।
दिया गया है कि $i = 2r$ है।
इसे स्नेल के नियम में प्रतिस्थापित करने पर: $\mu = \frac{\sin(2r)}{\sin r}$ प्राप्त होता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(2\theta) = 2\sin\theta \cos\theta$ का उपयोग करते हुए,हमें $\mu = \frac{2\sin r \cos r}{\sin r} = 2\cos r$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\cos r = \frac{\mu}{2}$,जिसका अर्थ है $r = \cos^{-1}(\frac{\mu}{2})$।
चूंकि $i = 2r$ है,इसलिए $i = 2\cos^{-1}(\frac{\mu}{2})$ होगा।

(B) प्रथम आपतन बिंदु $B$ पर,विचलन कोण $\delta_1 = (\alpha - \beta)$ है।
दूसरे अपवर्तन बिंदु $C$ पर,किरण $\beta$ कोण पर आपतित होती है और सममिति के कारण $\alpha$ कोण पर निर्गत होती है।
बिंदु $C$ पर विचलन कोण $\delta_2 = (\alpha - \beta)$ है।
कुल विचलन कोण $\delta$ दोनों बिंदुओं पर हुए विचलनों का योग है:
$\delta = \delta_1 + \delta_2 = (\alpha - \beta) + (\alpha - \beta) = 2(\alpha - \beta)$.

(B) अपवर्तनांक $\mu$ को निर्वात में प्रकाश की गति $(c)$ और माध्यम में प्रकाश की गति $(v)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है: $\mu = \frac{c}{v}$.
माध्यम में प्रकाश की गति $v = f \lambda$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $f$ आवृत्ति है और $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है।
दिया गया है: $f = 2 \times 10^{14} \ Hz$ और $\lambda = 5000 \ \mathring{A} = 5000 \times 10^{-10} \ m = 5 \times 10^{-7} \ m$.
माध्यम में वेग की गणना: $v = (2 \times 10^{14}) \times (5 \times 10^{-7}) = 10 \times 10^{7} = 10^{8} \ m/s$.
$c = 3 \times 10^{8} \ m/s$ का उपयोग करते हुए,अपवर्तनांक: $\mu = \frac{3 \times 10^{8}}{10^{8}} = 3$.

(D) माना आपतित किरण की चौड़ाई $w_i$ है और अपवर्तित किरण की चौड़ाई $w_r$ है।
स्नेल के नियम के अनुसार, $n_1 \sin i = n_2 \sin r$।
यहाँ $n_1 = 1$ (हवा), $n_2 = 1.414 = \sqrt{2}$, और $i = 45^o$ दिया गया है।
$1 \cdot \sin 45^o = \sqrt{2} \cdot \sin r$ implies $\frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \cdot \sin r$ implies $\sin r = \frac{1}{2}$ implies $r = 30^o$।
तरंगाग्र की ज्यामिति से, किरण की चौड़ाई $w = d \cos \theta$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $d$ अंतरापृष्ठ पर आपतन बिंदुओं के बीच की दूरी है।
अतः, $w_i = d \cos i$ और $w_r = d \cos r$।
अपवर्तित किरण की चौड़ाई और आपतित किरण की चौड़ाई का अनुपात $\frac{w_r}{w_i} = \frac{d \cos r}{d \cos i} = \frac{\cos 30^o}{\cos 45^o}$ है।
$\frac{w_r}{w_i} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{2} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$।
अतः, अनुपात $\sqrt{3} : \sqrt{2}$ है।

(B) माध्यम $\mu_1$ और $\mu_2$ के बीच पहले इंटरफ़ेस पर स्नेल के नियम के अनुसार:
$\mu_1 \sin i = \mu_2 \sin r_1$
जहाँ $r_1$ दूसरे माध्यम में अपवर्तन कोण है।
माध्यम $\mu_2$ और $\mu_3$ के बीच दूसरे इंटरफ़ेस पर:
$\mu_2 \sin r_1 = \mu_3 \sin r$
जहाँ $r$ तीसरे माध्यम में अपवर्तन कोण है।
इन दो समीकरणों से,हम सामान्य पद $\mu_2 \sin r_1$ को बराबर कर सकते हैं:
$\mu_1 \sin i = \mu_3 \sin r$
अतः,अनुपात है:
$\frac{\sin i}{\sin r} = \frac{\mu_3}{\mu_1}$

(A) $x-z$ समतल इंटरफ़ेस है,इसलिए $y$-अक्ष इंटरफ़ेस के लंबवत है।
मान लीजिए $i$ आपतन कोण है और $r$ अभिलंब ($y$-अक्ष) के साथ अपवर्तन कोण है।
इकाई सदिश $\vec{r}_A = a\hat{i} + b\hat{j}$ और $\vec{r}_B = \alpha\hat{i} + \beta\hat{j}$ हैं। चूंकि ये इकाई सदिश हैं,इसलिए इनका परिमाण $1$ है,अतः $a^2 + b^2 = 1$ और $\alpha^2 + \beta^2 = 1$ है।
अभिलंब ($y$-अक्ष) के अनुदिश घटक $\cos i = \vec{r}_A \cdot \hat{j} = b$ और $\cos r = \vec{r}_B \cdot \hat{j} = \beta$ हैं।
इंटरफ़ेस ($x$-अक्ष) के अनुदिश घटक $\sin i = \vec{r}_A \cdot \hat{i} = a$ और $\sin r = \vec{r}_B \cdot \hat{i} = \alpha$ हैं।
स्नेल के नियम के अनुसार,$\mu_1 \sin i = \mu_2 \sin r$ होता है।
मान रखने पर,हमें $\mu_1 a = \mu_2 \alpha$ प्राप्त होता है।

(B) माना आपतन कोण $i = 75^{\circ}$ है।
परावर्तित किरण का विचलन $\delta_r = 180^{\circ} - 2i$ है।
अपवर्तित किरण का विचलन $\delta_t = i - r$ है,जहाँ $r$ अपवर्तन कोण है।
प्रश्न के अनुसार,विचलन समान हैं,इसलिए $180^{\circ} - 2i = i - r \implies r = 3i - 180^{\circ}$।
$i = 75^{\circ}$ रखने पर,$r = 3(75^{\circ}) - 180^{\circ} = 225^{\circ} - 180^{\circ} = 45^{\circ}$।
स्नेल के नियम के अनुसार: $\mu = \frac{\sin i}{\sin r} = \frac{\sin 75^{\circ}}{\sin 45^{\circ}}$।
$\sin 75^{\circ} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}$।
अतः,$\mu = \frac{(\sqrt{3} + 1) / 2\sqrt{2}}{1 / \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2}$।

(A) $1$. पहले बिंदु पर स्नेल का नियम लागू करने पर: $1 \cdot \sin(45^{\circ}) = \sqrt{2} \cdot \sin(r) \Rightarrow \sin(r) = 0.5 \Rightarrow r = 30^{\circ}$।
$2$. पहले अपवर्तन पर विचलन: $\delta_1 = i - r = 45^{\circ} - 30^{\circ} = 15^{\circ}$।
$3$. दो आंतरिक परावर्तनों में से प्रत्येक पर आपतन कोण $r = 30^{\circ}$ है। प्रत्येक परावर्तन पर विचलन $\delta = 180^{\circ} - 2(30^{\circ}) = 120^{\circ}$ होता है।
$4$. दो आंतरिक परावर्तनों के लिए कुल विचलन $\delta_2 + \delta_3 = 120^{\circ} + 120^{\circ} = 240^{\circ}$।
$5$. अंतिम अपवर्तन पर,आपतन कोण $r = 30^{\circ}$ और निर्गत कोण $e = 45^{\circ}$ है। विचलन $\delta_4 = e - r = 45^{\circ} - 30^{\circ} = 15^{\circ}$।
$6$. कुल विचलन $\delta_{total} = 15^{\circ} + 120^{\circ} + 120^{\circ} + 15^{\circ} = 270^{\circ}$।

(D) परिवर्ती अपवर्तनांक $\mu(y)$ वाले माध्यम में $y$ गहराई पर स्थित वस्तु की आभासी गहराई $h$ को समाकलन $h = \int_{0}^{y} \frac{dy'}{\mu(y')}$ द्वारा ज्ञात किया जाता है।
दिया गया है $\mu = \mu_0(1 + ay)$,अतः आभासी गहराई $h$:
$h = \int_{0}^{y} \frac{dy'}{\mu_0(1 + ay')} = \frac{1}{\mu_0 a} [\ln(1 + ay')]_{0}^{y} = \frac{\ln(1 + ay)}{\mu_0 a}$.
आभासी गति $v_{app}$ समय के सापेक्ष आभासी गहराई में परिवर्तन की दर है:
$v_{app} = \frac{dh}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{\ln(1 + ay)}{\mu_0 a} \right)$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{dh}{dt} = \frac{1}{\mu_0 a} \cdot \frac{1}{1 + ay} \cdot \frac{d(1 + ay)}{dt} = \frac{1}{\mu_0 a} \cdot \frac{1}{1 + ay} \cdot (a \frac{dy}{dt})$.
चूंकि कीट की गति $u = -\frac{dy}{dt}$ है (जैसे-जैसे वह ऊपर जाता है,$y$ घटता है),इसलिए $\frac{dy}{dt} = -u$ है।
अतः,आभासी गति का परिमाण $v_{app} = \frac{u}{\mu_0(1 + ay)}$ है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,कोई भी विकल्प इस परिणाम से मेल नहीं खाता है,इसलिए सही विकल्प 'इनमें से कोई नहीं' है।

(D) माना मछली का वेग $v_f = 3 \, m/s$ (ऊपर की ओर) है और पक्षी का वास्तविक वेग $v_b$ (नीचे की ओर) है।
माना मछली की गहराई $x$ है और पानी की सतह से पक्षी की ऊँचाई $y$ है।
मछली द्वारा देखा गया पक्षी की आभासी ऊँचाई $y' = \mu y$ है,जहाँ $\mu = 4/3$ है।
मछली से पक्षी की कुल आभासी दूरी $h = x + \mu y$ है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,मछली के सापेक्ष पक्षी का आभासी वेग प्राप्त होता है: $\frac{dh}{dt} = \frac{dx}{dt} + \mu \frac{dy}{dt}$.
यहाँ,$\frac{dh}{dt} = 9 \, m/s$ (वह दर जिस पर मछली पक्षी को अपनी ओर आते हुए देखती है) और $\frac{dx}{dt} = 3 \, m/s$ (मछली की गति) है।
मान रखने पर: $9 = 3 + (4/3) \times v_b$.
$6 = (4/3) \times v_b$.
$v_b = 6 \times (3/4) = 4.5 \, m/s$.

(C) मान लीजिए बिंदु स्रोत $A$ है,गोले का शीर्ष $B$ है और गोले का केंद्र $C$ है। किरण इंटरफ़ेस पर $E$ पर टकराती है और अपवर्तित होकर $D$ पर गोले की स्पर्शरेखा बन जाती है।
दिया गया है $AB = a/2$ और $BC = a$। गोले की त्रिज्या $a$ है।
$\triangle CED$ में,$CD = a$ (त्रिज्या) और $ED$ स्पर्शरेखा है,इसलिए $\angle CDE = 90^{\circ}$।
अपवर्तन कोण $r = \angle CED = 30^{\circ}$ है।
$\triangle CED$ में,$\sin r = \frac{CD}{CE} \Rightarrow \sin 30^{\circ} = \frac{a}{CE} \Rightarrow CE = 2a$।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर,$ED = \sqrt{CE^2 - CD^2} = \sqrt{(2a)^2 - a^2} = a\sqrt{3}$।
मान लीजिए $E$ ऊर्ध्वाधर अक्ष से $x$ क्षैतिज दूरी पर है। तो $BE = x$। $\triangle ABE$ में,$\tan i = \frac{BE}{AB} = \frac{x}{a/2} = \frac{2x}{a}$।
ज्यामिति से,$x = CE \sin(\angle ECD)$। चूंकि $\angle CED = 30^{\circ}$ और $\angle CDE = 90^{\circ}$ है,इसलिए $\angle ECD = 60^{\circ}$।
अतः,$x = 2a \sin 60^{\circ} = 2a \frac{\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3}$।
तब $\tan i = \frac{2(a\sqrt{3})}{a} = 2\sqrt{3}$।
तब $\sin i = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{1 + (2\sqrt{3})^2}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{13}}$।
स्नेल के नियम से: $1 \cdot \sin i = n \cdot \sin r \Rightarrow \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{13}} = n \cdot \frac{1}{2} \Rightarrow n = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{13}}$।
ज्यामिति का पुनर्मूल्यांकन करने पर: स्पर्शरेखा बिंदु $D$ पर $\angle CDE = 90^{\circ}$ होता है। अपवर्तन कोण $r$,$E$ पर अभिलंब के साथ बना कोण है। $E$ पर अभिलंब ऊर्ध्वाधर है। इसलिए $\angle CED = r = 30^{\circ}$।
$BE = CE \sin 30^{\circ} = 2a \cdot 0.5 = a$। $\tan i = BE/AB = a/(a/2) = 2$। $\sin i = 2/\sqrt{5}$।
$n = \sin i / \sin r = (2/\sqrt{5}) / (1/2) = 4/\sqrt{5}$।

(B) $1$. माध्यम $\mu_1$ और $\mu_3$ के बीच पहले इंटरफेस पर,प्रकाश किरण लंबवत (सतह के लंब) प्रवेश करती है। चूंकि आपतन कोण $0^\circ$ है,इसलिए प्रकाश किरण का कोई विचलन नहीं होता है। इसका तात्पर्य यह है कि दोनों माध्यमों के अपवर्तनांक समान हैं,इसलिए $\mu_1 = \mu_3$ है।
$2$. माध्यम $\mu_3$ और $\mu_2$ के बीच दूसरे इंटरफेस पर,प्रकाश किरण अभिलंब (normal) की ओर झुकती है। स्नेल के नियम के अनुसार,जब प्रकाश किरण विरल माध्यम से सघन माध्यम में जाती है,तो वह अभिलंब की ओर झुक जाती है। इसलिए,माध्यम $\mu_2$ को माध्यम $\mu_3$ की तुलना में प्रकाशिक रूप से सघन होना चाहिए,जिसका अर्थ है $\mu_2 > \mu_3$।

(C) मान लीजिए कि ऊपरी और निचली तरल परतों की मोटाई क्रमशः $t_1$ और $t_2$ है।
जब $d$ ऊँचाई पर स्थित एक बिंदु स्रोत से प्रकाश तरल परतों में प्रवेश करता है,तो इसका अपवर्तन होता है।
$t$ मोटाई और $\mu$ अपवर्तनांक वाले स्लैब द्वारा उत्पन्न आभासी विस्थापन $\Delta x = t(1 - \frac{1}{\mu})$ है।
कुल आभासी विस्थापन $\Delta x_{total} = t_1(1 - \frac{1}{\mu_1}) + t_2(1 - \frac{1}{\mu_2})$ है।
चूंकि स्रोत अपने प्रतिबिंब के साथ संपाती है,इसलिए किरणें दर्पण पर लंबवत पड़नी चाहिए।
किरणों के दर्पण पर लंबवत पड़ने के लिए,दर्पण से देखे जाने पर स्रोत की आभासी स्थिति दर्पण के वक्रता केंद्र $R$ पर होनी चाहिए।
इस विशिष्ट विन्यास में,जहाँ $d$ बहुत बड़ा है,प्रभावी दूरी $d_{eff} = \frac{t_1}{\mu_1} + \frac{t_2}{\mu_2} + (d - t_1 - t_2)$ है।
अतः,वक्रता त्रिज्या $R = d$ प्राप्त होती है।

(C) स्नेल के नियम के अनुसार,आपतन कोण $\theta$ और अपवर्तन कोण $\theta'$ के बीच का संबंध है: $\sin \theta = n(\lambda) \sin \theta'$.
चूंकि आपतन कोण $\theta$ स्थिर है,हम दोनों पक्षों का $\lambda$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$0 = \frac{d}{d\lambda} [n(\lambda) \sin \theta']$
$0 = \frac{dn}{d\lambda} \sin \theta' + n(\lambda) \cos \theta' \frac{d\theta'}{d\lambda}$
$\frac{d\theta'}{d\lambda}$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$n(\lambda) \cos \theta' \frac{d\theta'}{d\lambda} = -\frac{dn}{d\lambda} \sin \theta'$
$\frac{d\theta'}{d\lambda} = -\frac{1}{n(\lambda)} \frac{dn}{d\lambda} \tan \theta'$
छोटे प्रसार $\delta \lambda$ के लिए,कोणीय प्रसार $\delta \theta' = |\frac{d\theta'}{d\lambda}| \delta \lambda$ द्वारा दिया जाता है।
$\frac{d\theta'}{d\lambda}$ का मान रखने पर:
$\delta \theta' = \left| \frac{\tan \theta'}{n} \frac{dn(\lambda)}{d\lambda} \delta \lambda \right|$.

(C) अपवर्तनांक के सूत्र के अनुसार,$_1\mu_2 = \dfrac{v_1}{v_2} = \dfrac{v_{\text{rarer}}}{v_{\text{denser}}} \Rightarrow v_1 > v_2$ है।
प्रकाश की चाल $v = f \lambda$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $f$ आवृत्ति है और $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है।
जब प्रकाश एक माध्यम से दूसरे माध्यम में जाता है,तो इसकी आवृत्ति $f$ अपरिवर्तित रहती है क्योंकि यह प्रकाश के स्रोत पर निर्भर करती है।
इसलिए,$f_1 = f_2 = f$।
चूंकि चाल $v_1 > v_2$ है,इसलिए $\lambda_1 f > \lambda_2 f$ होता है,जिसका अर्थ है कि $\lambda_1 > \lambda_2$।
अतः,जब प्रकाश सघन माध्यम में प्रवेश करता है,तो इसकी तरंगदैर्ध्य घट जाती है लेकिन आवृत्ति स्थिर रहती है।
इसलिए,विकल्प $C$ सही है।