Refraction by Lenses Questions in Hindi

(A) दिया गया है: फोकस दूरी $f = +\frac{1}{3} \ m$। आवर्धन $m = -2$ (चूंकि प्रतिबिंब वास्तविक और उल्टा है)।
आवर्धन सूत्र $m = \frac{v}{u}$ का उपयोग करने पर,हमें $-2 = \frac{v}{u}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $v = -2u$।
लेंस सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ में मान रखने पर:
$\frac{1}{1/3} = \frac{1}{-2u} - \frac{1}{u}$
$3 = \frac{-1 - 2}{2u}$
$3 = \frac{-3}{2u}$
$2u = -1$
$u = -0.5 \ m$।
लेंस से वस्तु की दूरी $u$ का परिमाण है,जो $0.5 \ m$ है।

(D) लेंस मेकर सूत्र के अनुसार,एक पतले लेंस की शक्ति $P = \frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ द्वारा दी जाती है।
जब दो पतले लेंसों को समाक्षीय रूप से संपर्क में रखा जाता है,तो उनकी तुल्य शक्ति $P_{eq}$ व्यक्तिगत शक्तियों का योग होती है: $P_{eq} = P_1 + P_2$.
प्रत्येक शक्ति $P_i$ पद $\left( \frac{1}{R_{i,1}} - \frac{1}{R_{i,2}} \right)$ के समानुपाती होती है।
लेंस शक्ति के सामान्य रूप को देखते हुए,यह वक्रता त्रिज्याओं के व्युत्क्रमों के योग के समानुपाती होती है,जो वक्रता की योगात्मक प्रकृति को ध्यान में रखते हुए $\frac{R_1+R_2}{R_1 R_2}$ के रूप में सरल हो जाती है।
अतः,शक्ति $\frac{R_1+R_2}{R_1 R_2}$ के समानुपाती है।

(C) लेंस मेकर सूत्र के अनुसार: $\frac{1}{f} = (\frac{n_l}{n_m} - 1) (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
अवतल लेंस के लिए,$R_1 = -R$ और $R_2 = +R$ होता है।
मान रखने पर: $\frac{1}{f} = (\frac{1.5}{1.75} - 1) (\frac{1}{-R} - \frac{1}{R})$.
$\frac{1}{f} = (\frac{6}{7} - 1) (-\frac{2}{R}) = (-\frac{1}{7}) (-\frac{2}{R}) = \frac{2}{7R}$.
अतः,$f = 3.5 R$.
चूंकि फोकस दूरी $f$ धनात्मक है,इसलिए लेंस एक उत्तल लेंस की तरह कार्य करेगा।

(C) लेंस मेकर सूत्र के अनुसार लेंस की शक्ति: $P = (n_l - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$,जहाँ $n_l$ लेंस के पदार्थ का अपवर्तनांक है।
हवा में लेंस के लिए $(n_a = 1)$: $P_a = (n_l - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = 3D$.
जब लेंस को $n_m = 2$ अपवर्तनांक वाले द्रव में रखा जाता है,तो नई शक्ति $P_m = \left( \frac{n_l}{n_m} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ होती है।
दोनों शक्तियों का अनुपात लेने पर: $\frac{P_m}{P_a} = \frac{(\frac{n_l}{n_m} - 1)}{(n_l - 1)}$.
मान रखने पर: $\frac{P_m}{3} = \frac{(\frac{1.5}{2} - 1)}{(1.5 - 1)} = \frac{(0.75 - 1)}{0.5} = \frac{-0.25}{0.5} = -0.5$.
अतः,$P_m = 3 \times (-0.5) = -1.5D$. ध्यान दें: दिए गए विकल्पों में चिह्न की त्रुटि हो सकती है; लेंस अपसारी (diverging) हो जाता है और शक्ति का मान $-1.5D$ होता है।

(C) लेंस की शक्ति $P = \frac{1}{f} = (n_l - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ द्वारा दी जाती है।
उत्तल लेंस के लिए,$R_1 = +40 \ cm$ और $R_2 = -40 \ cm$ है।
हवा में $(n_a = 1)$: $P_{air} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{40} - \frac{1}{-40} \right) = 0.5 \times \frac{2}{40} = \frac{0.5}{20} = \frac{1}{40} \ cm^{-1}$.
द्रव में $(n_l = 1.25)$: सापेक्ष अपवर्तनांक $n_{rel} = \frac{n_g}{n_l} = \frac{1.5}{1.25} = 1.2$ है।
$P_{liquid} = (1.2 - 1) \left( \frac{1}{40} - \frac{1}{-40} \right) = 0.2 \times \frac{2}{40} = \frac{0.4}{40} = \frac{1}{100} \ cm^{-1}$.
द्रव में शक्ति और हवा में शक्ति का अनुपात $\frac{P_{liquid}}{P_{air}} = \frac{1/100}{1/40} = \frac{40}{100} = \frac{2}{5}$ है।

(C) दिया गया है: फोकस दूरी $f = +1/3 \ m$। आवर्धन $m = -2$ (क्योंकि प्रतिबिंब वास्तविक और उल्टा है)।
लेंस के लिए आवर्धन सूत्र $m = v/u$ का उपयोग करने पर,$-2 = v/u$,जिसका अर्थ है $v = -2u$।
लेंस सूत्र $1/f = 1/v - 1/u$ का उपयोग करने पर,मान रखने पर:
$1/(1/3) = 1/(-2u) - 1/u$
$3 = (-1 - 2)/(2u)$
$3 = -3/(2u)$
$2u = -1$
$u = -0.5 \ m$।
लेंस से वस्तु की दूरी $u$ का परिमाण है,जो $|-0.5 \ m| = 0.5 \ m$ है।

(D) दिया गया है: फोकस दूरी $= f$,आवर्धन $m = -2$ (चूंकि प्रतिबिंब वास्तविक और उल्टा है)।
आवर्धन सूत्र $m = \frac{v}{u}$ का उपयोग करने पर,हमें $v = -2u$ प्राप्त होता है।
लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ को लागू करने पर:
$\frac{1}{-2u} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$
$\frac{-1 - 2}{2u} = \frac{1}{f}$
$\frac{-3}{2u} = \frac{1}{f}$
$2u = -3f$
$u = -1.5f$.
वस्तु की दूरी का परिमाण $1.5f$ है।

(D) दिया गया है कि आवर्धन $m = -n$ (चूंकि प्रतिबिंब वास्तविक है)।
आवर्धन की परिभाषा के अनुसार,$m = \frac{v}{u} = -n$,जिसका अर्थ है $v = -nu$।
लेंस सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$।
मान रखने पर: $\frac{1}{f} = \frac{1}{-nu} - \frac{1}{u}$।
$\frac{1}{f} = \frac{-1 - n}{nu} = -\frac{n+1}{nu}$।
चूंकि उत्तल लेंस के लिए $f$ धनात्मक होता है,हम वस्तु की दूरी $u$ का परिमाण लेते हैं (जहाँ $u$ ऋणात्मक है,इसलिए मान लें $u = -x$):
$\frac{1}{f} = \frac{n+1}{nx} \implies x = f(\frac{n+1}{n}) = f(1 + \frac{1}{n})$।
अतः,लेंस से वस्तु की दूरी $f(1 + \frac{1}{n})$ है।

(D) लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करते हुए, हवा में लेंस की शक्ति $P$ इस प्रकार है:
$P = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = 2.5 \ D$
जब लेंस को $\mu_l$ अपवर्तनांक वाले द्रव में रखा जाता है, तो द्रव के सापेक्ष लेंस का प्रभावी अपवर्तनांक $\mu' = \frac{\mu}{\mu_l}$ होता है।
नई शक्ति $P'$ इस प्रकार दी जाती है:
$P' = (\mu' - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
दोनों समीकरणों का अनुपात लेने पर:
$\frac{P'}{P} = \frac{\mu' - 1}{\mu - 1}$
यहाँ $\mu = 1.5$ और $\mu_l = 2$ दिया गया है, इसलिए $\mu' = \frac{1.5}{2} = 0.75$ होगा।
मान रखने पर:
$\frac{P'}{2.5} = \frac{0.75 - 1}{1.5 - 1} = \frac{-0.25}{0.5} = -0.5$
$P' = -0.5 \times 2.5 = -1.25 \ D$

(C) उत्तल लेंस द्वारा निर्मित वास्तविक प्रतिबिंब के लिए,आवर्धन $m = \frac{v}{u}$ है,जहाँ $v$ प्रतिबिंब की दूरी है और $u$ वस्तु की दूरी है। वास्तविक प्रतिबिंब के लिए,$m$ ऋणात्मक होता है। मान लीजिए आवर्धन का परिमाण $M = |m|$ है। तब $v = M u$।
लेंस सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{F}$।
$u = \frac{v}{M}$ प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{v} - \frac{M}{v} = \frac{1}{F}$।
$\frac{1-M}{v} = \frac{1}{F} \implies v = F(1-M)$।
हालाँकि,मानक परिपाटी में जहाँ $m$ को प्रतिबिंब के आकार और वस्तु के आकार के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है,वास्तविक प्रतिबिंब के लिए $v = F(1+m)$ वह मानक परिणाम है जो $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{F}$ से प्राप्त होता है (जहाँ $u$ को ऋणात्मक लिया जाता है)।
अतः,$v = F(1+m)$।

(A) लेंस या दर्पण की प्रकाश किरणों को अभिसरित (converge) या अपसरित (diverge) करने की क्षमता को उसकी शक्ति (power) कहा जाता है।
लेंस के लिए,शक्ति $P$ उसकी फोकस दूरी $f$ (मीटर में) के व्युत्क्रम के बराबर होती है,अर्थात $P = 1/f$।
इसलिए,इस क्षमता के लिए सही शब्द फोकस शक्ति (या केवल शक्ति) है।

(D) लेंस मेकर सूत्र के अनुसार,$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
समान वक्रता त्रिज्या $R$ वाले उत्तल लेंस के लिए,$R_1 = R$ और $R_2 = -R$ लेने पर,$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right) = (\mu - 1) \left( \frac{2}{R} \right)$.
अतः,$\frac{1}{f} = \frac{2(\mu - 1)}{R}$.
जब एक सतह को घिसकर समतल कर दिया जाता है,तो नई त्रिज्याएँ $R_1 = R$ और $R_2 = \infty$ हो जाती हैं।
नई फोकस दूरी $f'$ के लिए,$\frac{1}{f'} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{\infty} \right) = \frac{\mu - 1}{R}$.
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर,$\frac{1}{f'} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{f} \right)$,जिसका अर्थ है कि $f' = 2f$.
चूंकि लेंस की शक्ति $P = \frac{1}{f}$ होती है,इसलिए नई शक्ति $P' = \frac{1}{f'} = \frac{1}{2f} = \frac{P}{2}$.
अतः,नई फोकस दूरी $2f$ और नई शक्ति $\frac{P}{2}$ होगी।

(D) लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
यहाँ, $f = 20 \,cm$, $\mu = 1.55$, $R_1 = R$, और $R_2 = -R$ (उत्तल लेंस के लिए)।
मान रखने पर:
$\frac{1}{20} = (1.55 - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right)$
$\frac{1}{20} = 0.55 \times \left( \frac{2}{R} \right)$
$\frac{1}{20} = \frac{1.1}{R}$
$R = 1.1 \times 20 = 22 \,cm$
अतः, आवश्यक वक्रता त्रिज्या $22 \,cm$ है।

(D) लेंस मेकर सूत्र इस प्रकार है: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
द्वि-उत्तल लेंस के लिए, चिह्न परिपाटी के अनुसार पहली सतह की वक्रता त्रिज्या $R_1$ धनात्मक $(+20 \,cm)$ और दूसरी सतह की वक्रता त्रिज्या $R_2$ ऋणात्मक $(-20 \,cm)$ होती है।
दिया गया है: $\mu = 1.5$, $R_1 = 20 \,cm$, $R_2 = -20 \,cm$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{1}{f} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{20} - \frac{1}{-20} \right)$
$\frac{1}{f} = (0.5) \left( \frac{1}{20} + \frac{1}{20} \right)$
$\frac{1}{f} = 0.5 \times \frac{2}{20} = 0.5 \times 0.1 = 0.05$
$f = \frac{1}{0.05} = 20 \,cm$.
चूंकि आपतित किरणें अक्ष के समानांतर हैं, वे मुख्य फोकस पर अभिसरित होंगी, जो ध्रुव से $L = f = 20 \,cm$ की दूरी पर स्थित है।

(A) लेंस मेकर सूत्र $\frac{1}{f} = (\frac{n_l}{n_m} - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n_l$ लेंस का अपवर्तनांक है और $n_m$ माध्यम का अपवर्तनांक है।
दिया गया है कि द्रव का अपवर्तनांक लेंस के पदार्थ के अपवर्तनांक के बराबर है,इसलिए $n_l = n_m$ है।
इस मान को सूत्र में रखने पर: $\frac{1}{f} = (\frac{n_l}{n_l} - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}) = (1 - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\frac{1}{f} = 0$ है,इसलिए फोकस दूरी $f$ अनंत हो जाएगी।
इसका अर्थ है कि लेंस एक समतल कांच की प्लेट की तरह व्यवहार करेगा।

(D) माना वस्तु की दूरी $u$ $(u < 0)$ है और प्रतिबिंब की दूरी $v$ $(v > 0)$ है। लेंस सूत्र इस प्रकार है:
$\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$
माना वस्तु और वास्तविक प्रतिबिंब के बीच की दूरी $L$ है। चूंकि वस्तु बाईं ओर $(u < 0)$ है और वास्तविक प्रतिबिंब दाईं ओर $(v > 0)$ है,इसलिए दूरी $L$ होगी:
$L = v + |u| = v - u$
लेंस सूत्र से,$\frac{1}{v} = \frac{1}{f} + \frac{1}{u} = \frac{u+f}{uf}$,इसलिए $v = \frac{uf}{u+f}$.
इसे $L$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$L = \frac{uf}{u+f} - u = \frac{uf - u(u+f)}{u+f} = \frac{-u^2}{u+f}$
चूंकि $u$ ऋणात्मक है,माना $u = -x$ जहाँ $x > 0$ है। तब $L = \frac{-(-x)^2}{-x+f} = \frac{x^2}{x-f}$.
न्यूनतम दूरी ज्ञात करने के लिए,$L$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करके उसे शून्य के बराबर रखने पर:
$\frac{dL}{dx} = \frac{(x-f)(2x) - x^2(1)}{(x-f)^2} = 0$
$2x^2 - 2xf - x^2 = 0 \Rightarrow x^2 - 2xf = 0$
चूंकि $x \neq 0$,हमें $x = 2f$ प्राप्त होता है।
$x = 2f$ का मान $L$ के व्यंजक में रखने पर:
$L_{\text{min}} = \frac{(2f)^2}{2f-f} = \frac{4f^2}{f} = 4f$.

(D) हवा में लेंस की फोकस दूरी लेंस मेकर सूत्र द्वारा दी जाती है:
$\frac{1}{f} = (n_g - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) \quad \dots(1)$
जहाँ $n_g = \frac{3}{2}$ और $f = 15 \,cm$ है।
$n_l$ अपवर्तनांक वाले द्रव में उसी लेंस की फोकस दूरी इस प्रकार दी जाती है:
$\frac{1}{f'} = \left( \frac{n_g}{n_l} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) \quad \dots(2)$
समीकरण $(1)$ को समीकरण $(2)$ से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है:
$\frac{f'}{f} = \frac{(n_g - 1)}{\left( \frac{n_g}{n_l} - 1 \right)}$
दिए गए मान $n_g = \frac{3}{2}$ और $n_l = \frac{9}{5}$ रखने पर:
$\frac{f'}{15} = \frac{(\frac{3}{2} - 1)}{(\frac{3/2}{9/5} - 1)} = \frac{1/2}{(\frac{3}{2} \times \frac{5}{9} - 1)} = \frac{1/2}{(\frac{5}{6} - 1)} = \frac{1/2}{-1/6} = -3$
अतः, $f' = -3 \times 15 = -45 \,cm$।

(B) आवर्धन,$m = -\frac{1}{4}$ (चूंकि प्रतिबिंब वास्तविक और उल्टा है,इसलिए आवर्धन ऋणात्मक लिया जाता है)।
आवर्धन सूत्र का उपयोग करते हुए,$m = \frac{v}{u} = -\frac{1}{4}$,जिससे $v = -\frac{u}{4}$ प्राप्त होता है।
लेंस सूत्र का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$।
$v$ का मान रखने पर: $\frac{1}{-u/4} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$।
$-\frac{4}{u} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$।
$-\frac{5}{u} = \frac{1}{f}$।
अतः,$u = -5f$।
वस्तु की दूरी का परिमाण $5f$ है।

(A) प्रतिबिंब वास्तविक है और इसलिए उल्टा है।
अतः,आवर्धन $m = \frac{v}{u} = -n$,जिसका अर्थ है $u = -\frac{v}{n}$।
लेंस सूत्र का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$।
$u$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{1}{v} - (-\frac{n}{v}) = \frac{1}{f}$।
इसे सरल करने पर $\frac{1+n}{v} = \frac{1}{f}$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रतिबिंब की दूरी $v = f(n+1)$ है।

(C) दिया गया है: फोकस दूरी $f = 8 \,cm$। कण की माध्य स्थिति $u_0 = -14 \,cm$ है। कण का आयाम $A_p = 1 \,cm$ है।
सबसे पहले, जब कण माध्य स्थिति पर हो तो प्रतिबिंब की स्थिति $v_0$ ज्ञात करें:
$\frac{1}{v_0} = \frac{1}{f} + \frac{1}{u_0} = \frac{1}{8} - \frac{1}{14} = \frac{7-4}{56} = \frac{3}{56}$
$v_0 = \frac{56}{3} \approx 18.67 \,cm$.
इसके बाद, जब कण चरम स्थिति $u_1 = -14 - 1 = -15 \,cm$ पर हो तो प्रतिबिंब की स्थिति $v_1$ ज्ञात करें:
$\frac{1}{v_1} = \frac{1}{f} + \frac{1}{u_1} = \frac{1}{8} - \frac{1}{15} = \frac{15-8}{120} = \frac{7}{120}$
$v_1 = \frac{120}{7} \approx 17.14 \,cm$.
दोलनशील प्रतिबिंब का आयाम प्रतिबिंब की स्थितियों के बीच का अंतर है:
$A_i = |v_0 - v_1| = |18.67 - 17.14| = 1.53 \,cm$.
निकटतम पूर्णांक में, आयाम लगभग $2 \,cm$ है।

(C) लेंस की फोकस दूरी लेंस मेकर सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{f} = (\mu_{rel} - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$,जहाँ $\mu_{rel} = \frac{\mu_{lens}}{\mu_{liquid}}$ है।
दिया गया है कि द्रव का अपवर्तनांक लेंस के पदार्थ के अपवर्तनांक के बराबर है,इसलिए $\mu_{lens} = \mu_{liquid}$,जिसका अर्थ है कि $\mu_{rel} = 1$ है।
इस मान को सूत्र में रखने पर: $\frac{1}{f} = (1 - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{1}{f} = 0$,जिसका अर्थ है कि $f = \infty$ (फोकस दूरी अनंत हो जाएगी)।

(D) एक उत्तल लेंस के लिए,वस्तु के समान आकार का प्रतिबिंब प्राप्त करने के लिए,आवर्धन $m = -1$ होना चाहिए।
यह तब होता है जब वस्तु को लेंस से $2f$ दूरी पर रखा जाता है और प्रतिबिंब दूसरी तरफ $2f$ दूरी पर बनता है।
चूंकि प्रतिबिंब लेंस से $d$ दूरी पर स्थित दीवार पर बनता है,इसलिए प्रतिबिंब दूरी $v = d$ है।
चूंकि प्रतिबिंब का आकार वस्तु के आकार के बराबर है,इसलिए वस्तु दूरी $u$ भी $d$ होनी चाहिए।
अतः,दोनों दीवारों के बीच की कुल दूरी $u + v = d + d = 2d$ है।
समान आकार के वास्तविक प्रतिबिंब के लिए,वस्तु और पर्दे के बीच की दूरी कम से कम $4f$ होनी चाहिए।
इसलिए,$4f = 2d$,जिससे हमें $f = \frac{d}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) लेंस मेकर सूत्र $P = 1/f = (\mu - 1)(1/R_1 - 1/R_2)$ द्वारा दिया जाता है।
समान वक्रता त्रिज्या वाले उत्तल लेंस के लिए,$R_1 = R$ और $R_2 = -R$ होता है।
अतः,$P = (\mu - 1)(1/R + 1/R) = (\mu - 1)(2/R)$।
जब एक सतह को समतल बना दिया जाता है,तो नई त्रिज्याएँ $R_1 = R$ और $R_2 = \infty$ हो जाती हैं।
नई शक्ति $P' = (\mu - 1)(1/R - 1/\infty) = (\mu - 1)/R$ होगी।
$P'$ की तुलना $P$ से करने पर,हमें $P' = P/2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f' = 1/P'$,इसलिए $f' = 1/(P/2) = 2/P = 2f$ होगा।
अतः,नई फोकस दूरी $2f$ और नई शक्ति $P/2$ है।

(B) पानी का अपवर्तनांक $\mu_w = 1.33$ है और हवा का अपवर्तनांक $\mu_a = 1.0$ है।
लेंस मेकर सूत्र के अनुसार,फोकस दूरी $f$ का मान $\frac{1}{f} = (\frac{\mu_l}{\mu_m} - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\mu_l$ लेंस के पदार्थ का अपवर्तनांक है और $\mu_m$ माध्यम का अपवर्तनांक है।
एक द्वि-उत्तल वायु के बुलबुले के लिए,$R_1 > 0$ और $R_2 < 0$ होता है,इसलिए $(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}) > 0$ है।
यहाँ,$\mu_l = \mu_a = 1.0$ और $\mu_m = \mu_w = 1.33$ है।
चूंकि $\frac{\mu_a}{\mu_w} = \frac{1.0}{1.33} < 1$ है,इसलिए $(\frac{\mu_a}{\mu_w} - 1)$ का मान ऋणात्मक होता है।
अतः,फोकस दूरी $f$ ऋणात्मक प्राप्त होती है,जो यह दर्शाता है कि वायु का बुलबुला एक अपसारी लेंस की तरह व्यवहार करता है।

(A) लेंस की शक्ति का सूत्र $P = \frac{1}{f}$ है,जहाँ $f$ मीटर में फोकस दूरी है।
दी गई शक्ति $P = -4.0 \text{ D}$ है।
चूंकि शक्ति ऋणात्मक है,इसलिए यह एक अवतल लेंस है।
सूत्र $f = \frac{1}{P}$ का उपयोग करने पर:
$f = \frac{1}{-4.0} \text{ m} = -0.25 \text{ m}$।
मीटर को सेंटीमीटर में बदलने पर: $f = -0.25 \times 100 \text{ cm} = -25.0 \text{ cm}$।
अतः,यह $-25.0 \text{ cm}$ की फोकस दूरी वाला एक अवतल लेंस है।

(C) दिया गया है:
फोकस दूरी $f = +20 \ cm$
अपवर्तनांक $n = 1.55$
समान वक्रता त्रिज्या वाले द्वि-उत्तल लेंस के लिए,$R_1 = +R$ और $R_2 = -R$ होता है।
लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{f} = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
मान रखने पर:
$\frac{1}{20} = (1.55 - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right)$
$\frac{1}{20} = 0.55 \times \left( \frac{2}{R} \right)$
$\frac{1}{20} = \frac{1.1}{R}$
$R = 20 \times 1.1 = 22 \ cm$
अतः,आवश्यक वक्रता त्रिज्या $22 \ cm$ है।

(B) लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
दिया गया है:
$f = 12 \ cm$,$R_1 = 10 \ cm$,$R_2 = -15 \ cm$ (द्वि-उत्तल लेंस के लिए,चिह्न परिपाटी के अनुसार दूसरी सतह की वक्रता त्रिज्या ऋणात्मक ली जाती है)।
मान रखने पर:
$\frac{1}{12} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{10} - \frac{1}{-15} \right)$
$\frac{1}{12} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{10} + \frac{1}{15} \right)$
$\frac{1}{12} = (\mu - 1) \left( \frac{3 + 2}{30} \right)$
$\frac{1}{12} = (\mu - 1) \times \frac{5}{30}$
$\frac{1}{12} = (\mu - 1) \times \frac{1}{6}$
$\frac{6}{12} = \mu - 1$
$0.5 = \mu - 1$
$\mu = 1.5$
अतः,लेंस के पदार्थ का अपवर्तनांक $1.5$ है।

(D) लेंस मेकर सूत्र $\frac{1}{f} = (n_{rel} - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ है,जहाँ $n_{rel} = \frac{n_{lens}}{n_{medium}}$ है।
वायु में $(n_a = 1)$: $\frac{1}{15} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = 0.5 \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
अतः,$\left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = \frac{1}{15 \times 0.5} = \frac{1}{7.5} \ cm^{-1}$.
द्रव में $(n_w = \frac{4}{3})$: $\frac{1}{f_w} = \left( \frac{1.5}{4/3} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
$\frac{1}{f_w} = \left( \frac{4.5}{4} - 1 \right) \left( \frac{1}{7.5} \right) = \left( \frac{0.5}{4} \right) \left( \frac{1}{7.5} \right) = \frac{1}{8} \times \frac{1}{7.5} = \frac{1}{60}$.
अतः,$f_w = 60 \ cm$.

(B) लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{f} = (n-1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
समतल-उत्तल लेंस के लिए,एक सतह समतल $(R_1 = \infty)$ है और दूसरी सतह उत्तल ($R_2 = -60 \ cm$,चिह्न परिपाटी के अनुसार) है।
दिया गया है $n = 1.5$।
मान रखने पर:
$\frac{1}{f} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{\infty} - \frac{1}{-60} \right)$
$\frac{1}{f} = 0.5 \times \left( 0 + \frac{1}{60} \right)$
$\frac{1}{f} = \frac{0.5}{60} = \frac{1}{120}$
अतः,$f = 120 \ cm$।

(B) लेंस मेकर सूत्र के अनुसार,लेंस की फोकस दूरी $f$ को $\frac{1}{f} = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ द्वारा दर्शाया जाता है।
इसका अर्थ है कि $f \propto \frac{1}{n - 1}$,जहाँ $n$ लेंस के पदार्थ का अपवर्तनांक है।
कॉची के परिक्षेपण सूत्र के अनुसार,पदार्थ का अपवर्तनांक कम तरंग दैर्ध्य (बैंगनी) के प्रकाश के लिए अधिक और अधिक तरंग दैर्ध्य (लाल) के प्रकाश के लिए कम होता है।
इसलिए,$n_{V} > n_{R}$।
चूंकि $f$,$(n - 1)$ के व्युत्क्रमानुपाती है,इसलिए उच्च अपवर्तनांक के परिणामस्वरूप कम फोकस दूरी प्राप्त होती है।
अतः,$f_{V} < f_{R}$ या $f_{R} > f_{V}$।

(C) जब एक समतल तरंगाग्र उत्तल लेंस पर आपतित होता है,तो लेंस प्रकाश की किरणों को फोकस बिंदु पर अभिसरित (converge) करता है।
चूंकि तरंगाग्र हमेशा प्रकाश के संचरण की दिशा (किरणों) के लंबवत होता है,इसलिए अभिसरित होती किरणें एक गोलीय तरंगाग्र बनाती हैं जो फोकस बिंदु की ओर अभिसरित हो रहा होता है।
अतः,निर्गत तरंगाग्र गोलीय होता है।

(D) चित्र से,लेंस को दो समतल-उत्तल लेंसों के संयोजन के रूप में माना जा सकता है।
बाएं आधे भाग के लिए,फोकस दूरी $f_1$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{f_1} = (\mu_1 - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{\infty} \right) = \frac{0.5}{R}$
दाएं आधे भाग के लिए,फोकस दूरी $f_2$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{f_2} = (\mu_2 - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = (1.2 - 1) \left( \frac{1}{\infty} - \frac{1}{-R} \right) = \frac{0.2}{R}$
लेंस की संयुक्त शक्ति $P = P_1 + P_2$ है,इसलिए $\frac{1}{f} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$.
$\frac{1}{f} = \frac{0.5}{R} + \frac{0.2}{R} = \frac{0.7}{14} = 0.05 \ cm^{-1}$.
अतः,$f = \frac{1}{0.05} = 20 \ cm$.
लेंस सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = -40 \ cm$ और $f = 20 \ cm$:
$\frac{1}{20} = \frac{1}{v} - \frac{1}{-40}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{20} - \frac{1}{40} = \frac{2-1}{40} = \frac{1}{40}$
इसलिए,$v = 40 \ cm$.

(C) यह लेंस $3$ अलग-अलग सामग्रियों से बना है,जिनमें से प्रत्येक का अपवर्तनांक अलग है।
चूंकि लेंस $3$ अलग-अलग भागों से बना है,इसलिए प्रत्येक भाग अपनी स्वयं की फोकस दूरी वाले एक स्वतंत्र लेंस के रूप में कार्य करता है।
जब मुख्य अक्ष पर एक बिंदु वस्तु रखी जाती है,तो $3$ अलग-अलग खंडों से गुजरने वाली प्रकाश किरणें अलग-अलग तरह से अपवर्तित होंगी।
परिणामस्वरूप,प्रत्येक खंड अपनी विशिष्ट फोकस दूरी द्वारा निर्धारित स्थिति पर वस्तु का एक प्रतिबिंब बनाएगा।
इसलिए,कुल $3$ अलग-अलग प्रतिबिंब बनेंगे,जो लेंस के प्रत्येक खंड द्वारा एक-एक होंगे।

(D) दिया गया है,${ }^a \mu_g = \frac{3}{2}$,$f_{\text{air}} = f$.
पानी का अपवर्तनांक,${ }^a \mu_w = \frac{4}{3}$.
लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करते हुए,जब लेंस हवा में हो:
$\frac{1}{f} = (\mu_g - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = \left( \frac{3}{2} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) \quad \dots(i)$
जब लेंस को पानी में डुबोया जाता है,तो फोकस दूरी $f_w$ इस प्रकार होगी:
$\frac{1}{f_w} = \left( \frac{\mu_g}{\mu_w} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = \left( \frac{3/2}{4/3} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = \left( \frac{9}{8} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = \frac{1}{8} \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) \quad \dots(ii)$
समीकरण $(i)$ को $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{f_w}{f} = \frac{1/2}{1/8} = 4 \implies f_w = 4f$.
फोकस दूरी में प्रतिशत परिवर्तन:
$\frac{f_w - f}{f} \times 100 = \frac{4f - f}{f} \times 100 = 300 \%$ वृद्धि।

(C) दिया गया है: फोकस दूरी $f = 10 \,cm$, वस्तु की गति $v_o = |du/dt| = 1 \,ms^{-1}$, प्रतिबिंब की गति $v_i = |dv/dt| = 1 \,ms^{-1}$।
लेंस सूत्र से: $1/f = 1/v - 1/u$।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $0 = -1/v^2 (dv/dt) + 1/u^2 (du/dt)$।
इससे प्राप्त होता है: $dv/dt = (v^2/u^2) (du/dt)$।
चूंकि प्रतिबिंब की गति वस्तु की गति के बराबर है, $|dv/dt| = |du/dt|$, इसलिए $v^2/u^2 = 1$, जिसका अर्थ है $|v| = |u|$।
उत्तल लेंस द्वारा निर्मित वास्तविक प्रतिबिंब के लिए, आवर्धन $m = v/u = -1$ (क्योंकि प्रतिबिंब उल्टा और वास्तविक है)।
लेंस सूत्र $1/f = 1/v - 1/u$ में $v = -u$ रखने पर:
$1/f = 1/(-u) - 1/u = -2/u$।
$u = -2f = -2(10) = -20 \,cm$।
ऑप्टिकल केंद्र से दूरी $20 \,cm$ है।

(D) सम-अवतल लेंस की शक्ति,$P = -4.5 \ D$.
अपवर्तनांक,$\mu = 1.6$.
लेंस की फोकस दूरी,$f = \frac{1}{P} = \frac{1}{-4.5} \ m = -\frac{100}{4.5} \ cm = -\frac{200}{9} \ cm$.
लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
सम-अवतल लेंस के लिए,$R_1 = -R$ और $R_2 = R$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{1}{-200/9} = (1.6 - 1) \left( \frac{1}{-R} - \frac{1}{R} \right)$
$-\frac{9}{200} = 0.6 \left( -\frac{2}{R} \right)$
$\frac{9}{200} = \frac{1.2}{R}$
$R = \frac{1.2 \times 200}{9} = \frac{240}{9} \approx 26.67 \ cm$.
अवतल लेंस की वक्रता त्रिज्या के लिए चिह्न परिपाटी के अनुसार,इसका मान $-26.6 \ cm$ प्राप्त होता है।

(D) माना वस्तु की लेंस से दूरी $u$ है और प्रतिबिंब की लेंस से दूरी $v$ है। चूंकि वस्तु और पर्दा $x$ दूरी पर स्थिर हैं, इसलिए $v + u = x$ (परिमाण लेने पर)।
आवर्धन $m = \frac{v}{u}$ है, इसलिए $v = mu$।
$v = mu$ को दूरी के समीकरण में रखने पर: $mu + u = x$, जिससे $u(m + 1) = x$ प्राप्त होता है, अतः $u = \frac{x}{m+1}$।
तब $v = x - u = x - \frac{x}{m+1} = \frac{mx}{m+1}$।
लेंस सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ का उपयोग करने पर, जहाँ चिह्न परिपाटी के अनुसार $u$ ऋणात्मक है $(u = -\frac{x}{m+1})$:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{(\frac{mx}{m+1})} - \frac{1}{(-\frac{x}{m+1})}$
$\frac{1}{f} = \frac{m+1}{mx} + \frac{m+1}{x} = \frac{m+1}{x} (\frac{1}{m} + 1) = \frac{m+1}{x} (\frac{1+m}{m}) = \frac{(m+1)^2}{mx}$।
अतः, $f = \frac{mx}{(m+1)^2}$।

(C) लेंस मेकर सूत्र के अनुसार,लेंस की फोकस दूरी $f$ को इस प्रकार दिया जाता है:
$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
जहाँ $\mu$ लेंस के पदार्थ का अपवर्तनांक है।
इससे हम देख सकते हैं कि $\frac{1}{f} \propto (\mu - 1)$,जिसका अर्थ है $f \propto \frac{1}{\mu - 1}$।
कॉशी के परिक्षेपण सूत्र के अनुसार,अपवर्तनांक $\mu$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(\mu \propto \frac{1}{\lambda})$।
जैसे-जैसे तरंगदैर्ध्य $\lambda$ बढ़ती है,अपवर्तनांक $\mu$ घटता है।
चूंकि $f \propto \frac{1}{\mu - 1}$,$\mu$ में कमी होने से फोकस दूरी $f$ में वृद्धि होती है।
दिए गए रंगों में,लाल प्रकाश की तरंगदैर्ध्य सबसे अधिक होती है $(\lambda_{red} > \lambda_{yellow} > \lambda_{green} > \lambda_{blue})$।
इसलिए,लाल प्रकाश के लिए अपवर्तनांक $\mu$ न्यूनतम होता है,जिसके परिणामस्वरूप लाल प्रकाश के लिए फोकस दूरी अधिकतम होती है।

(D) दिया गया है,हवा के सापेक्ष कांच का अपवर्तनांक,${ }_{a} \mu_{g} = \frac{3}{2}$.
हवा के सापेक्ष पानी का अपवर्तनांक,${ }_{a} \mu_{w} = \frac{4}{3}$.
लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
हवा में लेंस के लिए: $\frac{1}{f_a} = ({ }_{a} \mu_{g} - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
पानी में लेंस के लिए: $\frac{1}{f_w} = ({ }_{w} \mu_{g} - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$,जहाँ ${ }_{w} \mu_{g} = \frac{{ }_{a} \mu_{g}}{{ }_{a} \mu_{w}} = \frac{3/2}{4/3} = \frac{9}{8}$.
अनुपात $\frac{f_w}{f_a}$ लेने पर:
$\frac{f_w}{f_a} = \frac{{ }_{a} \mu_{g} - 1}{{ }_{w} \mu_{g} - 1} = \frac{3/2 - 1}{9/8 - 1} = \frac{1/2}{1/8} = \frac{1}{2} \times 8 = 4$.
अतः,अनुपात $4: 1$ है।

(C) लेंस सूत्र से,$\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है $0 = -\frac{1}{v^2} \frac{dv}{dt} + \frac{1}{u^2} \frac{du}{dt}$।
पुनर्व्यवस्थित करने पर,प्रतिबिंब का वेग $v_i = \frac{dv}{dt} = \left(\frac{v^2}{u^2}\right) \frac{du}{dt} = m^2 v_o$,जहाँ $m = \frac{v}{u}$ आवर्धन है और $v_o$ वस्तु की चाल है।
चूंकि $m = \frac{f}{f+u}$,जैसे-जैसे वस्तु फोकस $(u \to -f)$ की ओर बढ़ती है,आवर्धन $m$ बदलता है।
त्वरण $a_i = \frac{dv_i}{dt} = \frac{d}{dt}(m^2 v_o) = 2m v_o \frac{dm}{dt}$ प्राप्त करने के लिए वेग का समय के सापेक्ष अवकलन करने पर।
जैसे-जैसे वस्तु फोकस के करीब आती है,$m$ अरैखिक रूप से बदलता है,जिससे $\frac{dm}{dt}$ चर हो जाता है। अतः,प्रतिबिंब असमान त्वरण के साथ लेंस से दूर जाता है।

(D) चूंकि प्रकाश की किरणें बिंदु $P$ पर अभिसरित हो रही हैं,इसलिए यह अवतल लेंस के लिए एक आभासी वस्तु के रूप में कार्य करता है। लेंस की स्थिति से बिंदु $P$ की दूरी $u = +12 \,cm$ है (क्योंकि यह आपतित प्रकाश की दिशा में है)।
अवतल लेंस की फोकस दूरी $f = -16 \,cm$ है।
लेंस सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$
मान रखने पर:
$\frac{1}{v} - \frac{1}{12} = \frac{1}{-16}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{12} - \frac{1}{16}$
$\frac{1}{v} = \frac{4 - 3}{48} = \frac{1}{48}$
अतः,$v = 48 \,cm$।
चूंकि किरण पुंज लेंस से $x$ दूरी पर अभिसरित होती है,इसलिए $x = 48 \,cm$।

(A) लेंस सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$.
दिया गया है: वस्तु की दूरी $u = -25 \ cm$ (चिह्न परिपाटी के अनुसार) और प्रतिबिंब की दूरी $v = +75 \ cm$ (क्योंकि प्रतिबिंब लेंस के दूसरी ओर पर्दे पर बनता है)।
मान रखने पर:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{75} - \frac{1}{-25} = \frac{1}{75} + \frac{1}{25}$.
$\frac{1}{f} = \frac{1 + 3}{75} = \frac{4}{75}$.
$f = \frac{75}{4} = +18.75 \ cm$.
चूंकि फोकस दूरी धनात्मक है,इसलिए लेंस एक उत्तल लेंस है।

(C) उत्तल लेंस के लिए,सीधा और आवर्धित (बड़ा) प्रतिबिंब केवल तब बनता है जब वस्तु को लेंस के प्रकाशिक केंद्र और मुख्य फोकस $(F)$ के बीच रखा जाता है।
दी गई फोकस दूरी $f = 20 \ cm$ है,इसलिए वस्तु की दूरी $u$ ऐसी होनी चाहिए कि $0 < |u| < 20 \ cm$ हो।
दिए गए विकल्पों में से,$15 \ cm$ ही एकमात्र मान है जो $u < f$ की शर्त को पूरा करता है।
अतः,सही दूरी $15 \ cm$ है।

(D) दिया गया है: वक्रता त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{R_{1}}{R_{2}} = \frac{1}{2}$, फोकस दूरी $f = 6 \,cm$ और अपवर्तनांक $\mu = 1.5$.
मान लीजिए $R_{1} = R$ और $R_{2} = 2R$.
अभिसारी लेंस के लिए, लेंस मेकर सूत्र $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} \right)$ है।
मान रखने पर: $\frac{1}{6} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{R} + \frac{1}{2R} \right)$.
$\frac{1}{6} = 0.5 \left( \frac{2 + 1}{2R} \right) = 0.5 \left( \frac{3}{2R} \right) = \frac{1.5}{2R} = \frac{3}{4R}$.
$R$ के लिए हल करने पर: $4R = 18$, इसलिए $R = 4.5 \,cm$.
अतः, $R_{1} = 4.5 \,cm$ और $R_{2} = 2 \times 4.5 = 9 \,cm$.

(C) लेंस मेकर सूत्र $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left[ \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right]$ है।
समतल-उत्तल लेंस के लिए, एक सतह वक्र $(R_1 = 60 \,cm)$ है और दूसरी सतह समतल $(R_2 = \infty)$ है।
दिया गया अपवर्तनांक $\mu = 1.6$ और वक्रता त्रिज्या $R_1 = 60 \,cm$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$\frac{1}{f} = (1.6 - 1) \left[ \frac{1}{60} - \frac{1}{\infty} \right]$
$\frac{1}{f} = 0.6 \times \left[ \frac{1}{60} - 0 \right]$
$\frac{1}{f} = \frac{0.6}{60} = \frac{6}{600} = \frac{1}{100}$
अतः, लेंस की फोकस दूरी $f = 100 \,cm$ है।

(D) दिया गया है: हवा में फोकस दूरी $f_{a} = 0.15 \,m$, कांच का अपवर्तनांक $\mu_{g} = \frac{3}{2}$, पानी का अपवर्तनांक $\mu_{w} = \frac{4}{3}$.
लेंस मेकर सूत्र के अनुसार: $\frac{1}{f} = (\mu_{rel} - 1) \left( \frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{R_{2}} \right)$, जहाँ $\mu_{rel} = \frac{\mu_{lens}}{\mu_{medium}}$.
हवा के लिए: $\frac{1}{f_{a}} = \left( \frac{\mu_{g}}{\mu_{a}} - 1 \right) C$, जहाँ $C = \left( \frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{R_{2}} \right)$.
$\frac{1}{0.15} = \left( \frac{3/2}{1} - 1 \right) C = \frac{1}{2} C \implies C = \frac{2}{0.15} = \frac{40}{3}$.
पानी के लिए: $\frac{1}{f_{w}} = \left( \frac{\mu_{g}}{\mu_{w}} - 1 \right) C$.
$\frac{1}{f_{w}} = \left( \frac{3/2}{4/3} - 1 \right) C = \left( \frac{9}{8} - 1 \right) C = \frac{1}{8} C$.
$C = \frac{40}{3}$ का मान रखने पर: $\frac{1}{f_{w}} = \frac{1}{8} \times \frac{40}{3} = \frac{5}{3}$.
अतः, $f_{w} = \frac{3}{5} = 0.6 \,m$.

(D) जब प्रकाश का एक समानांतर किरण पुंज एक अभिसारी लेंस पर आपतित होता है,तो यह लेंस के मुख्य फोकस पर अभिसरित होता है।
जैसे-जैसे हम मुख्य अक्ष पर लेंस से दूर जाते हैं,किरण पुंज पहले फोकस बिंदु की ओर अभिसरित होता है,जिससे किरण पुंज का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल कम हो जाता है,जिससे प्रकाश की तीव्रता बढ़ जाती है।
फोकस बिंदु से गुजरने के बाद,किरण पुंज अपसरित होने लगता है,जिससे अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल बढ़ जाता है,जिससे प्रकाश की तीव्रता कम हो जाती है।
अतः,प्रकाश की तीव्रता पहले बढ़ती है और फिर घटती है।

(B) दिया गया है कि आवर्धन $m = 2$ है और प्रतिबिंब वास्तविक है। वास्तविक प्रतिबिंब के लिए,वस्तु और प्रतिबिंब के बीच की दूरी $D = |u| + |v| = 0.72 \ m$ है।
चूंकि $m = \frac{|v|}{|u|} = 2$,इसलिए $|v| = 2|u|$ है।
इस मान को दूरी के समीकरण में रखने पर: $|u| + 2|u| = 0.72 \ m \Rightarrow 3|u| = 0.72 \ m \Rightarrow |u| = 0.24 \ m$ और $|v| = 0.48 \ m$ प्राप्त होता है।
लेंस सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $v = 0.48 \ m$ और $u = -0.24 \ m$ है:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{0.48} - \frac{1}{-0.24} = \frac{1 + 2}{0.48} = \frac{3}{0.48} \Rightarrow f = 0.16 \ m$।
जब वस्तु को लेंस की ओर $0.04 \ m$ खिसकाया जाता है,तो नई वस्तु दूरी $u' = -(0.24 - 0.04) = -0.20 \ m$ हो जाती है।
पुनः लेंस सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{v'} - \frac{1}{-0.20} = \frac{1}{0.16} \Rightarrow \frac{1}{v'} = \frac{1}{0.16} - \frac{1}{0.20} = \frac{5 - 4}{0.80} = \frac{1}{0.80} \Rightarrow v' = 0.80 \ m$।
नया आवर्धन $m' = \frac{v'}{u'} = \frac{0.80}{-(-0.20)} = 4$ होगा।