Refraction by Lenses Questions in Hindi

(D) स्थिति $1$: वक्र सतह मेज के संपर्क में है।
लेंस की वास्तविक गहराई $t = 6 \,cm$ है। आभासी गहराई $d' = 4 \,cm$ है।
अपवर्तनांक $n = \frac{\text{वास्तविक गहराई}}{\text{आभासी गहराई}} = \frac{6}{4} = 1.5$.
स्थिति $2$: समतल सतह मेज के संपर्क में है।
गोलीय सतह पर अपवर्तन के सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{n_2}{v} - \frac{n_1}{u} = \frac{n_2 - n_1}{R}$.
यहाँ, प्रकाश लेंस $(n = 1.5)$ से हवा $(n = 1)$ में जा रहा है।
वास्तविक गहराई $u = 6 \,cm$, आभासी गहराई $v = -\frac{17}{4} \,cm$ (आभासी प्रतिबिंब)।
सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1.5}{u} = \frac{1 - 1.5}{R}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{-17/4} - \frac{1.5}{6} = \frac{-0.5}{R}$
$-\frac{4}{17} - 0.25 = -\frac{0.5}{R}$
$-\frac{4}{17} - \frac{1}{4} = -\frac{1}{2R}$
$-\frac{16 + 17}{68} = -\frac{1}{2R}$
$\frac{33}{68} = \frac{1}{2R} \implies R = 34 \,cm$.

(B) दिया गया है,फोकस दूरी $f = 10 \ cm = 0.1 \ m$ है।
लेंस की शक्ति $P$ को मीटर में फोकस दूरी के व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$P = \frac{1}{f(m)} = \frac{1}{0.1 \ m} = 10 \ D$।
अतः,लेंस की शक्ति $10 \ D$ है।

(D) मान लीजिए उत्तल लेंस की फोकस दूरी $f$ है। लेंस द्वारा उत्पन्न आवर्धन $m = \frac{f}{f+u}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $u$ वस्तु की दूरी है।
उत्तल लेंस के लिए,यदि प्रतिबिंब का आकार समान है,तो आवर्धन $m = 1$ (आभासी प्रतिबिंब) या $m = -1$ (वास्तविक प्रतिबिंब) होना चाहिए।
स्थिति $1$: वास्तविक प्रतिबिंब के लिए,$m = -1$। सूत्र $m = \frac{f}{f+u}$ का उपयोग करने पर,$-1 = \frac{f}{f+u_1}$,जिसका अर्थ है $f+u_1 = -f$,इसलिए $u_1 = -2f$। दिया गया है $u_1 = -20 \ cm$,इसलिए $2f = 20 \ cm$,यानी $f = 10 \ cm$।
स्थिति $2$: यदि दो अलग-अलग स्थितियों के लिए प्रतिबिंब का आकार समान है,तो एक प्रतिबिंब वास्तविक और एक आभासी होना चाहिए। उत्तल लेंस के लिए,आवर्धन $m = \frac{v}{u}$ है। प्रतिबिंब का आकार समान होने के कारण,$|m_1| = |m_2|$।
वस्तु की दूरियाँ $u_1 = -20 \ cm$ और $u_2 = -10 \ cm$ हैं। आवर्धन $m = \frac{f}{f+u}$ है।
$u_1 = -20$ के लिए,$m_1 = \frac{f}{f-20}$। $u_2 = -10$ के लिए,$m_2 = \frac{f}{f-10}$।
प्रतिबिंब का आकार समान होने के कारण,$|m_1| = |m_2|$। इसलिए,$\left| \frac{f}{f-20} \right| = \left| \frac{f}{f-10} \right|$।
यह दर्शाता है कि $\frac{f}{20-f} = \frac{f}{f-10}$ (चूंकि एक प्रतिबिंब वास्तविक और एक आभासी है,एक आवर्धन ऋणात्मक है)।
$20-f = f-10 \implies 2f = 30 \implies f = 15 \ cm$।

(A) लेंस मेकर सूत्र $\frac{1}{f} = (\mu_l - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
हवा में लेंस के लिए $(\mu_a = 1)$: $\frac{1}{f_a} = (\mu_l - 1) K$,जहाँ $K = (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
द्रव में लेंस के लिए $(\mu_{liq})$: $\frac{1}{f_l} = (\frac{\mu_l}{\mu_{liq}} - 1) K$.
दिया गया है कि $\frac{f_a}{f_l} = \frac{1}{2}$,इसलिए $\frac{f_l}{f_a} = 2$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{f_a}{f_l} = \frac{(\frac{\mu_l}{\mu_{liq}} - 1)}{(\mu_l - 1)} = \frac{1}{2}$.
$\mu_l = 1.5$ रखने पर: $\frac{(\frac{1.5}{\mu_{liq}} - 1)}{(1.5 - 1)} = \frac{1}{2}$.
$\frac{1.5}{\mu_{liq}} - 1 = 0.5 \times 0.5 = 0.25$.
$\frac{1.5}{\mu_{liq}} = 1.25$.
$\mu_{liq} = \frac{1.5}{1.25} = 1.2$.

(A) हवा में,लेंस मेकर सूत्र $\frac{1}{f_a} = (\mu_g - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ है। दिया गया है $f_a = 20 \ cm = 0.2 \ m$ और $\mu_g = 1.5$,अतः $\frac{1}{0.2} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) \Rightarrow 5 = 0.5 \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) \Rightarrow \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = 10 \ m^{-1}$।
जब $\mu_l$ अपवर्तनांक वाले द्रव में डुबोया जाता है,तो फोकस दूरी $f_l$ का सूत्र $\frac{1}{f_l} = \left( \frac{\mu_g}{\mu_l} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ होता है।
शक्ति $P = -1 \ D$ दी गई है,इसलिए फोकस दूरी $f_l = \frac{1}{P} = -1 \ m = -100 \ cm$ है।
मान रखने पर: $\frac{1}{-1} = \left( \frac{1.5}{\mu_l} - 1 \right) (10)$।
$-0.1 = \frac{1.5}{\mu_l} - 1 \Rightarrow \frac{1.5}{\mu_l} = 0.9$।
$\mu_l = \frac{1.5}{0.9} = \frac{15}{9} = \frac{5}{3}$।

(B) माना लेंस के पदार्थ का अपवर्तनांक $\mu_l$ है और द्रव का अपवर्तनांक $\mu_m$ है। दिया है $\mu_m = 0.8 \mu_l = \frac{4}{5} \mu_l$,जिसका अर्थ है $\mu_l = 1.25 \mu_m = \frac{5}{4} \mu_m$.
हवा के लिए लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करते हुए $(f_a)$:
$\frac{1}{f_a} = (\mu_l - 1) K$,जहाँ $K = (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
द्रव माध्यम के लिए लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करते हुए $(f_m)$:
$\frac{1}{f_m} = (\frac{\mu_l}{\mu_m} - 1) K$.
दिया गया है कि फोकस दूरी $100 \%$ बढ़ जाती है,इसलिए $f_m = f_a + 100 \% f_a = 2 f_a$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर:
$\frac{f_m}{f_a} = \frac{\mu_l - 1}{\frac{\mu_l}{\mu_m} - 1} = 2$.
$\mu_l = \frac{5}{4} \mu_m$ का मान रखने पर:
$\frac{\frac{5}{4} \mu_m - 1}{\frac{5}{4} - 1} = 2$.
$\frac{\frac{5}{4} \mu_m - 1}{0.25} = 2 \Rightarrow \frac{5}{4} \mu_m - 1 = 0.5$.
$\frac{5}{4} \mu_m = 1.5 \Rightarrow \mu_m = 1.5 \times 0.8 = 1.2$.

(C) लेंस मेकर सूत्र $\frac{1}{f} = (\frac{\mu_l}{\mu_m} - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\mu_l$ लेंस का अपवर्तनांक है और $\mu_m$ माध्यम का अपवर्तनांक है।
माना लेंस के पदार्थ का अपवर्तनांक $\mu_l$ है और $K = (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$ है।
पहले द्रव के लिए,जिसका अपवर्तनांक $\mu_{m1} = 1.25$ है,फोकस दूरी $f_1$ के लिए: $\frac{1}{f_1} = (\frac{\mu_l}{1.25} - 1)K$.
दूसरे द्रव के लिए,जिसका अपवर्तनांक $\mu_{m2} = 1.5$ है,फोकस दूरी $f_2$ के लिए: $\frac{1}{f_2} = (\frac{\mu_l}{1.5} - 1)K$.
फोकस दूरियों का अनुपात $\frac{f_1}{f_2} = \frac{5}{16}$ दिया गया है।
अतः,$\frac{f_1}{f_2} = \frac{(\frac{\mu_l}{1.5} - 1)}{(\frac{\mu_l}{1.25} - 1)} = \frac{5}{16}$.
$\frac{\mu_l - 1.5}{1.5} \times \frac{1.25}{\mu_l - 1.25} = \frac{5}{16}$.
$\frac{\mu_l - 1.5}{\mu_l - 1.25} = \frac{5}{16} \times \frac{1.5}{1.25} = \frac{5}{16} \times 1.2 = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$.
$8(\mu_l - 1.5) = 3(\mu_l - 1.25)$.
$8\mu_l - 12 = 3\mu_l - 3.75$.
$5\mu_l = 8.25$.
$\mu_l = 1.65$.

(A) उत्तल लेंस के लिए,पहली सतह की वक्रता त्रिज्या $R_1$ धनात्मक $(+40 \,cm)$ और दूसरी सतह की वक्रता त्रिज्या $R_2$ ऋणात्मक $(-40 \,cm)$ होती है।
लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
यहाँ $\mu = 1.5$,$R_1 = 40 \,cm$,और $R_2 = -40 \,cm$ दिया गया है।
मान रखने पर:
$\frac{1}{f} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{40} - \frac{1}{-40} \right)$
$\frac{1}{f} = (0.5) \left( \frac{1}{40} + \frac{1}{40} \right)$
$\frac{1}{f} = (0.5) \left( \frac{2}{40} \right) = 0.5 \times 0.05 = 0.025$
$\frac{1}{f} = \frac{1}{40}$
अतः,फोकस दूरी $f = 40 \,cm$ है।

(D) लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
एक द्वि-उत्तल लेंस के लिए,$R_1 = +4 \ cm$ और $R_2 = -8 \ cm$ होता है।
अपवर्तनांक $\mu = 1.5$ है।
मान रखने पर: $\frac{1}{f} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{-8} \right)$.
$\frac{1}{f} = (0.5) \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{8} \right)$.
$\frac{1}{f} = (0.5) \left( \frac{2+1}{8} \right) = (0.5) \left( \frac{3}{8} \right) = \frac{1.5}{8} = \frac{3}{16}$.
अतः,$f = \frac{16}{3} \approx 5.33 \ cm$ होगा।

(B) दिया गया है, पर्दे और वस्तु के बीच की दूरी, $d = 100 \,cm$.
उत्तल लेंस की दो स्थितियों के बीच का पृथक्करण, $x = 20 \,cm$.
विस्थापन विधि में लेंस की फोकस दूरी का सूत्र $f = \frac{d^2 - x^2}{4d}$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$f = \frac{(100)^2 - (20)^2}{4 \times 100}$
$f = \frac{10000 - 400}{400}$
$f = \frac{9600}{400}$
$f = 24 \,cm$.
अतः, लेंस की फोकस दूरी $24 \,cm$ है।

(B) लेंस की पावर $P$ (डायोप्टर में) और उसकी फोकस दूरी $f$ (मीटर में) के बीच संबंध इस प्रकार है: $P = \frac{1}{f(m)}$.
यदि फोकस दूरी सेंटीमीटर $(cm)$ में हो, तो सूत्र है: $P = \frac{100}{f(cm)}$.
यहाँ दी गई पावर $P = +2.0 \,D$ है, इसलिए सूत्र में मान रखने पर:
$2.0 = \frac{100}{f(cm)}$
$f(cm) = \frac{100}{2.0} = 50 \,cm$.
अतः, आवश्यक उत्तल लेंस की फोकस दूरी $50 \,cm$ है।

(D) लेंस की फोकस दूरी $f$ लेंस मेकर सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
कॉची के समीकरण के अनुसार,पदार्थ का अपवर्तनांक $\mu$ प्रकाश की तरंग दैर्ध्य $\lambda$ पर निर्भर करता है,जहाँ $\lambda$ घटने पर $\mu$ बढ़ता है।
चूंकि नीले प्रकाश की तरंग दैर्ध्य लाल प्रकाश की तुलना में कम होती है,इसलिए नीले प्रकाश के लिए अपवर्तनांक लाल प्रकाश की तुलना में अधिक होता है $(\mu_{blue} > \mu_{red})$।
परिणामस्वरूप,जब लाल प्रकाश को नीले प्रकाश से प्रतिस्थापित किया जाता है,तो फोकस दूरी $f$ कम हो जाती है।
इसलिए,कथन $(A)$ असत्य है और कारण $(R)$ भी असत्य है।

(C) दिया गया है,लेंस का अपवर्तनांक,$\mu = 1.5$।
वक्र सतह की वक्रता त्रिज्या,$R_1 = 12 \,cm$।
समतल सतह की वक्रता त्रिज्या,$R_2 = \infty$।
लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left[ \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right]$
मान रखने पर:
$\frac{1}{f} = (1.5 - 1) \left[ \frac{1}{12} - \frac{1}{\infty} \right]$
चूंकि $\frac{1}{\infty} = 0$,इसलिए:
$\frac{1}{f} = 0.5 \times \frac{1}{12}$
$\frac{1}{f} = \frac{0.5}{12} = \frac{1}{24}$
अतः,$f = 24 \,cm$।
इस प्रकार,दिए गए समतल-उत्तल लेंस की फोकस दूरी $24 \,cm$ है।

(C) उत्तल लेंस की फोकस दूरी $f$ दी गई है।
वस्तु को प्रथम फोकस बिंदु से $x$ दूरी पर रखा गया है।
चूंकि प्रथम फोकस बिंदु ऑप्टिकल सेंटर से $f$ दूरी पर होता है,इसलिए ऑप्टिकल सेंटर से वस्तु की कुल दूरी $u = -(f + x)$ होगी।
लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करने पर।
$u = -(f + x)$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{1}{v} - \frac{1}{-(f + x)} = \frac{1}{f}$ प्राप्त होता है।
$\frac{1}{v} = \frac{1}{f} - \frac{1}{f + x} = \frac{f + x - f}{f(f + x)} = \frac{x}{f(f + x)}$.
अतः,$v = \frac{f(f + x)}{x}$.
आवर्धन $m = \frac{v}{u}$ द्वारा दिया जाता है।
$m = \frac{\frac{f(f + x)}{x}}{-(f + x)} = -\frac{f}{x}$.
वास्तविक प्रतिबिंब के आकार और वस्तु के आकार का अनुपात आवर्धन का परिमाण है,जो $|m| = \frac{f}{x}$ है।

(A) दिया गया है: लेंस का अपवर्तनांक,$\mu_g = 1.5$।
माध्यम का अपवर्तनांक,$\mu_m = 1.6$।
हवा में लेंस की शक्ति,$P = -5 \ D$।
हवा का अपवर्तनांक,$\mu_a = 1$।
लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करते हुए:
$P = \frac{1}{f} = (\mu_g - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ (हवा में)।
माध्यम के लिए,शक्ति $P'$ इस प्रकार है:
$P' = \frac{1}{f'} = \left( \frac{\mu_g}{\mu_m} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$।
$P'$ को $P$ से विभाजित करने पर:
$\frac{P'}{P} = \frac{(\frac{\mu_g}{\mu_m} - 1)}{(\mu_g - 1)} = \frac{(\frac{1.5}{1.6} - 1)}{(1.5 - 1)} = \frac{(\frac{1.5 - 1.6}{1.6})}{0.5} = \frac{-0.1}{1.6 \times 0.5} = \frac{-0.1}{0.8} = -\frac{1}{8}$।
अतः,$P' = P \times (-\frac{1}{8}) = -5 \times (-0.125) = 0.625 \ D$।

(A) माध्यम में लेंस की फोकस दूरी लेंस मेकर सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{f} = (\frac{n_l}{n_m} - 1) (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
अवतल लेंस के लिए,$R_1 = -R$ और $R_2 = +R$ होता है।
दिया गया है: $n_l = 1.5$,$n_m = 1.75$.
मान रखने पर: $\frac{1}{f} = (\frac{1.5}{1.75} - 1) (\frac{1}{-R} - \frac{1}{R})$.
$\frac{1}{f} = (\frac{6}{7} - 1) (-\frac{2}{R}) = (-\frac{1}{7}) (-\frac{2}{R}) = \frac{2}{7R}$.
अतः,$f = +3.5 R$.
चूंकि फोकस दूरी धनात्मक है,इसलिए लेंस एक अभिसारी (उत्तल) लेंस की तरह व्यवहार करेगा।

(D) दिया गया है: फोकस दूरी $f = 25 \,cm$. प्रारंभिक प्रतिबिंब दूरी $v_1 = 75 \,cm$.
लेंस सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ का उपयोग करके, हम प्रारंभिक वस्तु दूरी $u_1$ ज्ञात करते हैं:
$\frac{1}{25} = \frac{1}{75} - \frac{1}{u_1} \Rightarrow \frac{1}{u_1} = \frac{1}{75} - \frac{1}{25} = \frac{1-3}{75} = -\frac{2}{75}$.
अतः, $u_1 = -37.5 \,cm$ (वस्तु लेंस के सामने $37.5 \,cm$ पर है)।
अब, पर्दे को लेंस के करीब $25 \,cm$ खिसकाया जाता है, इसलिए नई प्रतिबिंब दूरी $v_2 = 75 - 25 = 50 \,cm$ है।
नया प्रतिबिंब स्पष्ट प्राप्त करने के लिए, हम नई वस्तु दूरी $u_2$ ज्ञात करते हैं:
$\frac{1}{25} = \frac{1}{50} - \frac{1}{u_2} \Rightarrow \frac{1}{u_2} = \frac{1}{50} - \frac{1}{25} = \frac{1-2}{50} = -\frac{1}{50}$.
अतः, $u_2 = -50 \,cm$ (वस्तु लेंस के सामने $50 \,cm$ पर है)।
वस्तु की स्थिति में विस्थापन $|u_2| - |u_1| = 50 \,cm - 37.5 \,cm = 12.5 \,cm$ है।
चूंकि लेंस से वस्तु की दूरी $37.5 \,cm$ से बढ़कर $50 \,cm$ होनी चाहिए, इसलिए वस्तु को लेंस से $12.5 \,cm$ दूर खिसकाया जाना चाहिए।

(B) उत्तल लेंस के लिए,लेंस सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ है और आवर्धन $m = \frac{v}{u}$ है।
वास्तविक प्रतिबिंब के लिए,$u = -u_1$ और $v = v_1$ है। आवर्धन $m = \frac{v_1}{u_1}$ है,इसलिए $v_1 = m u_1$ है।
लेंस सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{f} = \frac{1}{m u_1} - \frac{1}{-u_1} = \frac{1}{u_1} (\frac{1}{m} + 1) = \frac{1}{u_1} (\frac{1+m}{m})$।
अतः,$\frac{u_1}{f} = \frac{1+m}{m} \dots (1)$।
आभासी प्रतिबिंब के लिए,$u = -u_2$ और $v = -v_2$ है। आभासी प्रतिबिंब का आकार वास्तविक प्रतिबिंब का $2$ गुना है,इसलिए $v_2 = 2 v_1 = 2 m u_1$ है।
लेंस सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{f} = \frac{1}{-2 m u_1} - \frac{1}{-u_2} = \frac{1}{u_2} - \frac{1}{2 m u_1}$।
इन समीकरणों को हल करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{u_1-u_2}{f} = \frac{3}{2m}$,जिसका अर्थ है $f = \frac{2 m (u_1-u_2)}{3}$।

(B) माना वस्तु की दूरी '$u$' है और प्रतिबिंब की दूरी '$v$' है। चूंकि प्रतिबिंब वास्तविक है,'$v$' और '$u$' लेंस के विपरीत दिशाओं में हैं। उनके बीच की दूरी '$D = |v| + |u|$' है।
आवर्धन '$m = |v/u|$',इसलिए '$|v| = m|u|$'।
इसे दूरी के समीकरण में रखने पर: '$D = m|u| + |u| = |u|(m+1)$'।
अतः,'$|u| = D/(m+1)$' और '$|v| = mD/(m+1)$'।
लेंस सूत्र का उपयोग करने पर: '$1/f = 1/v - 1/u$'।
वास्तविक प्रतिबिंब के लिए,'$v$' धनात्मक है और '$u$' ऋणात्मक है,इसलिए '$1/f = 1/|v| + 1/|u|$'।
'$1/f = (m+1)/(mD) + (m+1)/D = (m+1)/D * (1/m + 1) = (m+1)/D * ((1+m)/m) = (m+1)^2 / (mD)$'।
इसलिए,'$f = mD / (m+1)^2$'।

(C) मान लीजिए कि लेंस की $S_1$ से दूरी $x$ है। तब $S_2$ से दूरी $(24 - x)$ होगी।
प्रतिबिंबों के एक ही स्थान पर बनने के लिए,एक स्रोत का आभासी प्रतिबिंब और दूसरे का वास्तविक प्रतिबिंब बनना चाहिए।
मान लीजिए $S_1$,$u_1 = -x$ दूरी पर है और $S_2$,$u_2 = +(24 - x)$ दूरी पर है।
$S_1$ के लिए,प्रतिबिंब $v$ आभासी है,इसलिए $v = -v_0$। लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{-v_0} - \frac{1}{-x} = \frac{1}{9} \Rightarrow \frac{1}{v_0} = \frac{1}{x} - \frac{1}{9} \quad (i)$
$S_2$ के लिए,प्रतिबिंब $v$ वास्तविक है,इसलिए $v = +v_0$। लेंस सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{v_0} - \frac{1}{24-x} = \frac{1}{9} \Rightarrow \frac{1}{v_0} = \frac{1}{9} + \frac{1}{24-x} \quad (ii)$
$(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर:
$\frac{1}{x} - \frac{1}{9} = \frac{1}{9} + \frac{1}{24-x}$
$\frac{1}{x} - \frac{1}{24-x} = \frac{2}{9}$
$\frac{24-x-x}{x(24-x)} = \frac{2}{9} \Rightarrow \frac{24-2x}{24x-x^2} = \frac{2}{9}$
$9(12-x) = 24x - x^2 \Rightarrow 108 - 9x = 24x - x^2$
$x^2 - 33x + 108 = 0$
$(x - 27)(x - 6) = 0$
चूंकि $x < 24$,इसलिए हमें $x = 6 \ cm$ प्राप्त होता है।

(A) वस्तु और पर्दे के बीच एक निश्चित दूरी $D$ के लिए,यदि $D > 4f$ है,तो $f$ फोकस दूरी वाला उत्तल लेंस दो स्थितियों पर स्पष्ट प्रतिबिंब बनाता है।
माना $D = 90 \ cm$ और लेंस की दो स्थितियों के बीच का पृथक्करण $d = 20 \ cm$ है।
विस्थापन विधि (displacement method) के सूत्र द्वारा फोकस दूरी $f$:
$f = \frac{D^2 - d^2}{4D}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$f = \frac{90^2 - 20^2}{4 \times 90}$
$f = \frac{8100 - 400}{360}$
$f = \frac{7700}{360}$
$f = \frac{770}{36} \approx 21.38 \ cm$.

(C) लेंस मेकर सूत्र $\frac{1}{f} = (\mu_{rel} - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$\mu_{rel} = \frac{\mu_{lens}}{\mu_{liquid}} = \frac{1.5}{1.3} = \frac{15}{13}$ है।
उत्तल लेंस के लिए,$R_1 = +6 \ cm$ और $R_2 = -12 \ cm$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{1}{f} = \left( \frac{15}{13} - 1 \right) \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{-12} \right)$
$\frac{1}{f} = \left( \frac{2}{13} \right) \left( \frac{1}{6} + \frac{1}{12} \right)$
$\frac{1}{f} = \left( \frac{2}{13} \right) \left( \frac{2+1}{12} \right) = \left( \frac{2}{13} \right) \left( \frac{3}{12} \right) = \left( \frac{2}{13} \right) \left( \frac{1}{4} \right) = \frac{2}{52} = \frac{1}{26}$ है।
अतः,$f = 26 \ cm$।

(C) एक पतले उत्तल लेंस के लिए,$P = +4 \ D$,$\mu_{\ell} = \frac{3}{2}$,$\mu_m = \frac{5}{3}$ है।
चूंकि $P = \frac{1}{f_a}$,इसलिए $f_a = \frac{1}{4} \ m = 25 \ cm$ है।
हवा में,लेंस मेकर सूत्र $\frac{1}{f_a} = (\mu_{\ell} - 1) \left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)$ ... $(i)$ है।
द्रव माध्यम में,फोकस दूरी $f_m$ के लिए $\frac{1}{f_m} = \left(\frac{\mu_{\ell}}{\mu_m} - 1\right) \left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)$ ... (ii) है।
समीकरण (ii) को $(i)$ से विभाजित करने पर,$\frac{f_a}{f_m} = \frac{(\mu_{\ell} - 1)}{(\frac{\mu_{\ell}}{\mu_m} - 1)}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $\frac{f_a}{f_m} = \frac{(\frac{3}{2} - 1)}{(\frac{3/2}{5/3} - 1)} = \frac{1/2}{(9/10 - 1)} = \frac{1/2}{-1/10} = -5$ है।
अतः,$f_m = -5 \times f_a = -5 \times 25 \ cm = -125 \ cm$ है।
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि लेंस $125 \ cm$ फोकस दूरी वाले अवतल लेंस की तरह व्यवहार करता है।

(C) एक समतल-उत्तल लेंस के लिए,वक्रता त्रिज्या $R$,द्वारक की त्रिज्या $r$ और मोटाई $t$ के बीच का संबंध ज्यामिति से प्राप्त होता है: $R^2 = r^2 + (R-t)^2$. चूंकि $t$ बहुत छोटा है,$R^2 = r^2 + R^2 - 2Rt + t^2 \approx r^2 + R^2 - 2Rt$,जो सरल होकर $R = \frac{r^2}{2t}$ हो जाता है।
लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{f} = (n-1) \left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)$. समतल-उत्तल लेंस के लिए,$R_1 = R$ और $R_2 = \infty$,इसलिए $\frac{1}{f} = (n-1) \frac{1}{R}$,जिससे $R = f(n-1)$ प्राप्त होता है।
$R$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $f(n-1) = \frac{r^2}{2t}$.
यहाँ $f = 73.5 \ cm$,$n = \frac{5}{3}$,और व्यास $d = 8.4 \ cm$ है,इसलिए $r = \frac{d}{2} = 4.2 \ cm$.
मान रखने पर: $73.5 \times \left(\frac{5}{3} - 1\right) = \frac{(4.2)^2}{2t}$.
$73.5 \times \frac{2}{3} = \frac{17.64}{2t} \Rightarrow 49 = \frac{8.82}{t}$.
$t = \frac{8.82}{49} \ cm = 0.18 \ cm = 1.8 \ mm$.

(C) उत्तल लेंस के लिए,विस्थापन विधि के अनुसार,जब वस्तु और पर्दे के बीच की दूरी निश्चित होती है,तो लेंस की दो ऐसी स्थितियाँ होती हैं जहाँ पर्दे पर स्पष्ट प्रतिबिंब बनता है।
मान लीजिए $h_0$ वस्तु की ऊँचाई है,$h_1$ पहले प्रतिबिंब की ऊँचाई है और $h_2$ दूसरे प्रतिबिंब की ऊँचाई है।
इन ऊँचाइयों के बीच का संबंध सूत्र $h_0 = \sqrt{h_1 \times h_2}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $h_0 = 12 \ cm$ और $h_1 = 18 \ cm$.
सूत्र में मान रखने पर:
$12 = \sqrt{18 \times h_2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$144 = 18 \times h_2$
$h_2 = \frac{144}{18} = 8 \ cm$.
अतः,दूसरे प्रतिबिंब की ऊँचाई $8 \ cm$ है।

(C) जब लेंस के ऊपरी आधे भाग को ढक दिया जाता है,तो लेंस का शेष निचला आधा भाग अभी भी वस्तु का पूर्ण प्रतिबिंब उसी स्थान पर बनाता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि लेंस का प्रत्येक बिंदु प्रतिबिंब के निर्माण में योगदान देता है। हालाँकि,चूंकि लेंस से गुजरने वाले प्रकाश की कुल मात्रा कम हो जाती है,इसलिए प्रतिबिंब की तीव्रता कम हो जाती है।

(A) दिया गया है: अपवर्तनांक $\mu = 1.5$,वस्तु की दूरी $u = -60 \ cm$,प्रतिबिंब की दूरी $v = +120 \ cm$ है।
समतल-उत्तल लेंस के लिए,माना उत्तल पृष्ठ की त्रिज्या $R_1 = -R$ (क्योंकि यह वस्तु की ओर है) और समतल पृष्ठ की त्रिज्या $R_2 = \infty$ है।
लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
$\frac{1}{f} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{-R} - \frac{1}{\infty} \right) = 0.5 \left( -\frac{1}{R} \right) = -\frac{1}{2R}$
अतः,$f = -2R$ है।
लेंस सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$
$\frac{1}{120} - \frac{1}{-60} = \frac{1}{-2R}$
$\frac{1}{120} + \frac{1}{60} = -\frac{1}{2R}$
$\frac{1 + 2}{120} = -\frac{1}{2R}$
$\frac{3}{120} = -\frac{1}{2R} \Rightarrow \frac{1}{40} = -\frac{1}{2R}$
$2R = -40 \ cm$। चूँकि $R$ त्रिज्या का परिमाण है,इसलिए $R = 20 \ cm$ होगा।

(A) लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
दिया गया है: $f = \frac{20}{3} \ cm$,$R_1 = 5 \ cm$,$R_2 = -10 \ cm$ (द्वि-उत्तल लेंस के लिए)।
मान रखने पर:
$\frac{3}{20} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{-10} \right)$
$\frac{3}{20} = (\mu - 1) \left( \frac{2 + 1}{10} \right)$
$\frac{3}{20} = (\mu - 1) \left( \frac{3}{10} \right)$
$\mu - 1 = \frac{3}{20} \times \frac{10}{3}$
$\mu - 1 = \frac{1}{2}$
$\mu = 1 + 0.5 = 1.5$

(C) हवा में लेंस की फोकस दूरी लेंस मेकर सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{f_a} = (\mu_g - 1) \left( \frac{2}{R} \right) = 25^{-1} \ cm^{-1}$।
जब इसे पानी में डुबोया जाता है,तो नई फोकस दूरी $f_w$ इस प्रकार होती है: $\frac{1}{f_w} = \left( \frac{\mu_g}{\mu_w} - 1 \right) \left( \frac{2}{R} \right)$।
अनुपात लेने पर: $\frac{f_w}{f_a} = \frac{\mu_g - 1}{\frac{\mu_g}{\mu_w} - 1} = \frac{1.5 - 1}{\frac{1.5}{4/3} - 1} = \frac{0.5}{1.125 - 1} = \frac{0.5}{0.125} = 4$।
अतः,$f_w = 4 \times f_a = 4 \times 25 \ cm = 100 \ cm$।
फोकस दूरी में निरपेक्ष परिवर्तन $|f_w - f_a| = |100 \ cm - 25 \ cm| = 75 \ cm$ है।

(B) उभयोत्तल लेंस की फोकस दूरी $f$ है। चूंकि त्रिज्या समान है,इसलिए $R_1 = R$ और $R_2 = -R$ लें।
हवा के सापेक्ष कांच का अपवर्तनांक ${}_a\mu_g = 3/2$ है।
लेंस मेकर सूत्र के अनुसार: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
मान रखने पर: $\frac{1}{f} = (\frac{3}{2} - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right) = (\frac{1}{2}) \left( \frac{2}{R} \right) = \frac{1}{R}$.
अतः,$f = R$.
जब लेंस को पानी में डुबोया जाता है,तो पानी के सापेक्ष कांच का अपवर्तनांक ${}_w\mu_g = \frac{{}_a\mu_g}{{}_a\mu_w} = \frac{3/2}{4/3} = \frac{9}{8}$ होता है।
पानी में लेंस के लिए लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{f_w} = ({}_w\mu_g - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = (\frac{9}{8} - 1) \left( \frac{1}{R} + \frac{1}{R} \right)$.
$\frac{1}{f_w} = (\frac{1}{8}) \left( \frac{2}{R} \right) = \frac{1}{4R}$.
चूंकि $R = f$,इसलिए $\frac{1}{f_w} = \frac{1}{4f}$,जिसका अर्थ है कि $f_w = 4f$।

(A) लेंस के लिए, आवर्धन $m = \frac{v}{u}$ होता है।
यहाँ $m = \pm 4$ और $f = 20 \,cm$ दिया गया है।
स्थिति $1$: वास्तविक प्रतिबिंब $(m = -4)$।
$m = \frac{v}{u} = -4 \Rightarrow v = -4u$.
लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{-4u} - \frac{1}{u} = \frac{1}{20} \Rightarrow \frac{-1-4}{4u} = \frac{1}{20} \Rightarrow \frac{-5}{4u} = \frac{1}{20}$.
$4u = -100 \Rightarrow u = -25 \,cm$.
अतः, जब प्रतिबिंब वास्तविक है तो वस्तु $25 \,cm$ की दूरी पर है।
स्थिति $2$: आभासी प्रतिबिंब $(m = +4)$।
$m = \frac{v}{u} = 4 \Rightarrow v = 4u$.
लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{4u} - \frac{1}{u} = \frac{1}{20} \Rightarrow \frac{1-4}{4u} = \frac{1}{20} \Rightarrow \frac{-3}{4u} = \frac{1}{20}$.
$4u = -60 \Rightarrow u = -15 \,cm$.
अतः, जब प्रतिबिंब आभासी है तो वस्तु $15 \,cm$ की दूरी पर है।

(D) उत्तल लेंस के लिए,लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ होता है।
यहाँ दिया गया है कि प्रतिबिंब दाईं ओर मुख्य फोकस पर बनता है,इसलिए प्रतिबिंब दूरी $v = +f$ है।
उत्तल लेंस की फोकस दूरी $f = +f$ होती है।
इन मानों को लेंस सूत्र में रखने पर:
$\frac{1}{f} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$
$\frac{1}{u} = \frac{1}{f} - \frac{1}{f} = 0$
$u = \infty$
अतः,प्रतिबिंब को मुख्य फोकस पर बनाने के लिए वस्तु को अनंत दूरी पर रखा जाना चाहिए।

(D) दिया गया है, $m_1 = 4$ और $m_2 = 3$ है।
वस्तु की दो स्थितियों के बीच की दूरी $|u_2 - u_1| = 2 \,cm$ है।
उत्तल लेंस द्वारा निर्मित वास्तविक प्रतिबिंब के लिए, आवर्धन $m = \frac{f}{f+u}$ होता है। वास्तविक प्रतिबिंब के लिए $u$ ऋणात्मक होता है, इसलिए मान लें $u = -x$ है। तब $m = \frac{f}{f-x}$ होगा।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर $f-x = \frac{f}{m}$, या $x = f(1 - \frac{1}{m}) = f(\frac{m-1}{m})$ प्राप्त होता है।
$m_1 = 4$ के लिए, $u_1 = f(\frac{4-1}{4}) = \frac{3f}{4}$ है।
$m_2 = 3$ के लिए, $u_2 = f(\frac{3-1}{3}) = \frac{2f}{3}$ है।
दोनों के बीच की दूरी $u_1 - u_2 = 2 \,cm$ है।
$\frac{3f}{4} - \frac{2f}{3} = 2$ है।
$\frac{9f - 8f}{12} = 2$ है।
$\frac{f}{12} = 2 \Rightarrow f = 24 \,cm$।

(B) लेंस के लिए आवर्धन $M$ का सूत्र $M = \frac{f}{u + f}$ है,जहाँ $f$ फोकस दूरी है और $u$ वस्तु की दूरी है।
दिया गया है: फोकस दूरी $f = +8 \ cm$ (उत्तल लेंस के लिए) और आवर्धन $M = -4$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$-4 = \frac{8}{u + 8}$
दोनों पक्षों को $(u + 8)$ से गुणा करने पर:
$-4(u + 8) = 8$
$-4u - 32 = 8$
$-4u = 8 + 32$
$-4u = 40$
$u = -10 \ cm$.
अतः,वस्तु को लेंस के सामने $10 \ cm$ की दूरी पर रखा जाना चाहिए।

(A) मान लीजिए कि लेंस से वस्तु की दूरी $u$ है और लेंस से वास्तविक प्रतिबिंब की दूरी $v$ है। चूंकि प्रतिबिंब वास्तविक है,इसलिए $u$ और $v$ परिमाण में धनात्मक हैं। वस्तु और प्रतिबिंब के बीच की कुल दूरी $D = u + v$ है।
लेंस सूत्र का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{-u} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$.
अतः,$v = \frac{uf}{u-f}$.
कुल दूरी $D = u + \frac{uf}{u-f}$ है।
न्यूनतम दूरी ज्ञात करने के लिए,हम $D$ का $u$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं: $\frac{dD}{du} = 1 + \frac{f(u-f) - uf}{(u-f)^2} = 1 - \frac{f^2}{(u-f)^2} = 0$.
इससे $(u-f)^2 = f^2$ प्राप्त होता है,इसलिए $u-f = f$ (चूंकि $u > f$),जिसका अर्थ है $u = 2F$.
$u = 2F$ पर,दूरी $D = 2F + 2F = 4F$ होती है,जो कि न्यूनतम दूरी है।

(B) उत्तल लेंस की फोकस दूरी $f = 20 \ cm$ है।
वस्तु $P$ के लिए जो $10 \ cm$ की दूरी पर है,यहाँ $u_P < f$ है,इसलिए वस्तु प्रकाशिक केंद्र और फोकस के बीच स्थित है। अतः,बनने वाला प्रतिबिंब आभासी और सीधा होता है।
वस्तु $Q$ के लिए जो $30 \ cm$ की दूरी पर है,यहाँ $f < u_Q < 2f$ $(20 \ cm < 30 \ cm < 40 \ cm)$ है,इसलिए वस्तु फोकस और वक्रता केंद्र के बीच स्थित है। अतः,बनने वाला प्रतिबिंब वास्तविक और उल्टा होता है।

(B) लेंस का रैखिक आवर्धन $m$,फोकस दूरी $f$ और वस्तु दूरी $u$ के संदर्भ में $m = \frac{f}{f+u}$ द्वारा दिया जाता है।
पहले लेंस के लिए,$m_1 = \frac{f_1}{f_1+u}$,जिसका अर्थ है $f_1 + u = \frac{f_1}{m_1}$,इसलिए $u = f_1(\frac{1}{m_1} - 1) = f_1(\frac{1-m_1}{m_1})$।
दूसरे लेंस के लिए,$m_2 = \frac{f_2}{f_2+u}$,जिसका अर्थ है $u = f_2(\frac{1-m_2}{m_2})$।
चूंकि वस्तु दूरी $u$ दोनों लेंसों के लिए समान है,इसलिए हमारे पास $f_1(\frac{1-m_1}{m_1}) = f_2(\frac{1-m_2}{m_2})$ है।
$f_1/f_2$ का अनुपात ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{f_1}{f_2} = \frac{m_1(1-m_2)}{m_2(1-m_1)}$ प्राप्त होता है।

(C) लेंस मेकर सूत्र के अनुसार,माध्यम में लेंस की फोकस दूरी $f'$ इस प्रकार दी जाती है: $\frac{1}{f'} = \left( \frac{\mu_c}{\mu_l} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
हवा में उत्तल लेंस के लिए,$\frac{1}{f} = (\mu_c - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
जब इसे $\mu_l > \mu_c$ अपवर्तनांक वाले द्रव में डुबोया जाता है,तो पद $\left( \frac{\mu_c}{\mu_l} - 1 \right)$ ऋणात्मक हो जाता है क्योंकि $\frac{\mu_c}{\mu_l} < 1$ है।
चूंकि उत्तल लेंस के लिए पद $\left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ धनात्मक होता है,इसलिए नई फोकस दूरी $f'$ ऋणात्मक हो जाती है।
ऋणात्मक फोकस दूरी वाला लेंस अवतल या अपसारी लेंस की तरह व्यवहार करता है।

(A) लेंस की फोकस दूरी लेंस मेकर सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{f} = (\mu_{rel} - 1) \left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)$.
हवा में,फोकस दूरी $f_a$ है: $\frac{1}{f_a} = (\mu_g - 1) K$,जहाँ $K = (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
यहाँ $\mu_g = 1.45$ दिया गया है,इसलिए $\frac{1}{f_a} = (1.45 - 1) K = 0.45 K$.
द्रव में,फोकस दूरी $f_l$ है: $\frac{1}{f_l} = (\frac{\mu_g}{\mu_l} - 1) K$.
यहाँ $\mu_l = 1.3$ दिया गया है,इसलिए $\frac{1}{f_l} = (\frac{1.45}{1.3} - 1) K = (\frac{1.45 - 1.3}{1.3}) K = (\frac{0.15}{1.3}) K$.
अब,$f_l / f_a$ का अनुपात ज्ञात करने पर:
$\frac{f_l}{f_a} = \frac{0.45 K}{(\frac{0.15}{1.3}) K} = \frac{0.45 \times 1.3}{0.15} = 3 \times 1.3 = 3.9$.

(C) पहली स्थिति के अनुसार,एक अभिसारी लेंस के लिए,लेंस सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ है।
यहाँ $f = 25 \,cm$ और $v = 75 \,cm$ दिया गया है,इसलिए:
$\frac{1}{25} = \frac{1}{75} - \frac{1}{u}$
$\frac{1}{u} = \frac{1}{75} - \frac{1}{25} = \frac{1-3}{75} = -\frac{2}{75}$
$u = -37.5 \,cm$.
अतः,वस्तु लेंस से $37.5 \,cm$ की दूरी पर रखी गई है।
दूसरी स्थिति के अनुसार,पर्दे को लेंस के करीब $25 \,cm$ खिसकाया जाता है,इसलिए नई प्रतिबिंब दूरी $v_1 = 75 \,cm - 25 \,cm = 50 \,cm$ होगी।
लेंस सूत्र का पुनः उपयोग करने पर:
$\frac{1}{25} = \frac{1}{50} - \frac{1}{u_1}$
$\frac{1}{u_1} = \frac{1}{50} - \frac{1}{25} = \frac{1-2}{50} = -\frac{1}{50}$
$u_1 = -50 \,cm$.
अतः,नई वस्तु दूरी $50 \,cm$ है।
वह दूरी जिससे वस्तु को स्थानांतरित किया जाना चाहिए वह $\Delta u = |u_1| - |u| = 50 \,cm - 37.5 \,cm = 12.5 \,cm$ है।

(C) समान वक्रता त्रिज्या $R_1 = R$ और $R_2 = -R$ वाले उत्तल लेंस के लिए,लेंस मेकर सूत्र इस प्रकार है:
$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left[ \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right]$
मान रखने पर:
$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left[ \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right] = (\mu - 1) \left[ \frac{2}{R} \right]$
अतः,$R = 2f(\mu - 1)$.
जब लेंस को लंबवत रूप से दो समान समतल-उत्तल लेंसों में काटा जाता है,तो प्रत्येक नए लेंस की एक सतह की त्रिज्या $R$ होती है और दूसरी सतह समतल (त्रिज्या $\infty$) होती है।
नए लेंस के लिए फोकस दूरी $f'$ ज्ञात करने हेतु लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{f'} = (\mu - 1) \left[ \frac{1}{R} - \frac{1}{\infty} \right]$
$\frac{1}{f'} = (\mu - 1) \left[ \frac{1}{R} \right]$
$f' = \frac{R}{\mu - 1}$
$R = 2f(\mu - 1)$ का मान रखने पर:
$f' = \frac{2f(\mu - 1)}{\mu - 1} = 2f$.

(A) लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{f} = \left( \frac{\mu_g}{\mu_m} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
यहाँ कांच के लेंस का अपवर्तनांक $\mu_g = 1.5$ है और आसपास के माध्यम का अपवर्तनांक $\mu_m = 1.75$ है।
द्वि-अवतल लेंस के लिए,वक्रता त्रिज्याएँ $R_1 = -R$ और $R_2 = +R$ होती हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{1}{f} = \left( \frac{1.5}{1.75} - 1 \right) \left( \frac{1}{-R} - \frac{1}{R} \right)$
$\frac{1}{f} = \left( \frac{1.5 - 1.75}{1.75} \right) \left( -\frac{2}{R} \right)$
$\frac{1}{f} = \left( \frac{-0.25}{1.75} \right) \left( -\frac{2}{R} \right)$
$\frac{1}{f} = \left( -\frac{1}{7} \right) \left( -\frac{2}{R} \right) = \frac{2}{7R}$
$f = +3.5 R$
चूंकि फोकस दूरी $f$ धनात्मक है,इसलिए लेंस एक अभिसारी लेंस की तरह व्यवहार करता है।

(A) समतल-अवतल लेंस के लिए, एक सतह समतल $(R_1 = \infty)$ होती है और दूसरी सतह अवतल $(R_2 = 0.3 \,m)$ होती है। चिह्न परिपाटी के अनुसार, अवतल सतह के लिए $R_2 = -0.3 \,m$ लिया जाता है।
लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
यहाँ $\mu = 5/3$, $R_1 = \infty$, और $R_2 = -0.3 \,m$ है:
$\frac{1}{f} = \left( \frac{5}{3} - 1 \right) \left( \frac{1}{\infty} - \frac{1}{-0.3} \right)$
$\frac{1}{f} = \left( \frac{2}{3} \right) \left( 0 + \frac{1}{0.3} \right)$
$\frac{1}{f} = \frac{2}{3} \times \frac{10}{3} = \frac{20}{9}$
$f = \frac{9}{20} = 0.45 \,m$
चूंकि यह एक अवतल लेंस है, चिह्न परिपाटी के अनुसार फोकस दूरी ऋणात्मक होनी चाहिए, इसलिए $f = -0.45 \,m$।

(A) लेंस मेकर सूत्र $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
द्वि-उत्तल लेंस के लिए, वक्रता त्रिज्याएँ $R_1 = R$ और $R_2 = -R$ होती हैं।
दिया गया है $\mu = 1.5$ और $f = 5 \,cm$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{1}{5} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right)$
$\frac{1}{5} = 0.5 \times \left( \frac{1}{R} + \frac{1}{R} \right)$
$\frac{1}{5} = 0.5 \times \frac{2}{R}$
$\frac{1}{5} = \frac{1}{R}$
अतः, $R = 5 \,cm$।

(A) लेंस मेकर का सूत्र $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ है।
सम-उत्तल लेंस के लिए,$R_1 = R$ और $R_2 = -R$ होता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right) = (\mu - 1) \left( \frac{2}{R} \right)$ प्राप्त होता है।
अतः,$f = \frac{R}{2(\mu - 1)}$।
प्रश्न के अनुसार,$f > R$ है।
इसलिए,$\frac{R}{2(\mu - 1)} > R$,जिसका अर्थ है कि $\frac{1}{2(\mu - 1)} > 1$।
इसे सरल करने पर $2(\mu - 1) < 1$ या $\mu - 1 < 0.5$ प्राप्त होता है।
अतः,$\mu < 1.5$।
चूंकि लेंस को हवा में लेंस के रूप में कार्य करने के लिए $1$ से अधिक अपवर्तनांक वाले पदार्थ से बना होना चाहिए,इसलिए अपवर्तनांक $\mu$ का मान $1$ से अधिक और $1.5$ से कम होना चाहिए।