Refraction by Lenses Questions in Hindi

(A) लेंस मेकर का सूत्र $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ है।
सम-उत्तल लेंस के लिए,$R_1 = R$ और $R_2 = -R$ होता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right) = (\mu - 1) \left( \frac{2}{R} \right)$ प्राप्त होता है।
अतः,$f = \frac{R}{2(\mu - 1)}$।
प्रश्न के अनुसार,$f > R$ है।
इसलिए,$\frac{R}{2(\mu - 1)} > R$,जिसका अर्थ है कि $\frac{1}{2(\mu - 1)} > 1$।
इसे सरल करने पर $2(\mu - 1) < 1$ या $\mu - 1 < 0.5$ प्राप्त होता है।
अतः,$\mu < 1.5$।
चूंकि लेंस को हवा में लेंस के रूप में कार्य करने के लिए $1$ से अधिक अपवर्तनांक वाले पदार्थ से बना होना चाहिए,इसलिए अपवर्तनांक $\mu$ का मान $1$ से अधिक और $1.5$ से कम होना चाहिए।

(B) दिया गया है: हवा में फोकस दूरी $f_a = 0.15 \,m$, कांच का अपवर्तनांक $\mu_g = 1.5 = \frac{3}{2}$, और फोकस दूरी में वृद्धि $0.225 \,m$ है।
अतः, द्रव में नई फोकस दूरी $f_l = f_a + 0.225 = 0.15 + 0.225 = 0.375 \,m$ है।
लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{f} = (\frac{\mu_{lens}}{\mu_{medium}} - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$
हवा के लिए $(\mu_a = 1)$: $\frac{1}{f_a} = (\frac{\mu_g}{1} - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}) = (1.5 - 1)K = 0.5K$, जहाँ $K = (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$ है।
द्रव के लिए $(\mu_l)$: $\frac{1}{f_l} = (\frac{\mu_g}{\mu_l} - 1)K$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{f_l}{f_a} = \frac{0.5}{(\frac{1.5}{\mu_l} - 1)}$.
मान रखने पर: $\frac{0.375}{0.15} = \frac{0.5}{(\frac{1.5}{\mu_l} - 1)} \Rightarrow 2.5 = \frac{0.5}{(\frac{1.5}{\mu_l} - 1)}$.
$(\frac{1.5}{\mu_l} - 1) = \frac{0.5}{2.5} = 0.2$.
$\frac{1.5}{\mu_l} = 1.2 \Rightarrow \mu_l = \frac{1.5}{1.2} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4} = 1.25$.

(B) कांच के स्लैब के कारण प्रतिबिंब की स्थिति में आभासी विस्थापन $d = t(1 - \frac{1}{\mu})$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$d = 1.4(1 - \frac{5}{7}) = 1.4(\frac{2}{7}) = 0.4 \ cm$.
सबसे पहले,लेंस की फोकस दूरी $f$ की गणना करें: $u = -20 \ cm$ और $v = 5 \ cm$.
लेंस सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ का उपयोग करने पर,$\frac{1}{f} = \frac{1}{5} - \frac{1}{-20} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$. अतः,$f = 4 \ cm$.
जब कांच का स्लैब डाला जाता है,तो प्रतिबिंब अभी भी $v = 5 \ cm$ पर पर्दे पर बनना चाहिए। हालाँकि,स्लैब प्रतिबिंब को लेंस की ओर $d = 0.4 \ cm$ विस्थापित कर देता है। इसलिए,प्रभावी प्रतिबिंब दूरी $v' = 5 - 0.4 = 4.6 \ cm$ हो जाती है।
नई वस्तु दूरी $u'$ के लिए फिर से लेंस सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v'} - \frac{1}{u'}$.
$\frac{1}{4} = \frac{1}{4.6} - \frac{1}{u'} \Rightarrow \frac{1}{u'} = \frac{1}{4.6} - \frac{1}{4} = \frac{-0.6}{18.4}$.
$u' = -\frac{18.4}{0.6} \approx -30.66 \ cm \approx 30.7 \ cm$.

(A) उभयोत्तल लेंस के लिए लेंस निर्माता सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
चूंकि लेंस सममित और उभयोत्तल है,इसलिए $R_1 = 5 \ cm$ और $R_2 = -5 \ cm$ है।
$\frac{1}{f} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{-5} \right) = 0.5 \times \left( \frac{2}{5} \right) = \frac{1}{5} \ cm^{-1}$.
अतः,फोकस दूरी $f = 5 \ cm$ है।
लेंस समीकरण $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $u = -20 \ cm$:
$\frac{1}{v} - \frac{1}{-20} = \frac{1}{5}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{5} - \frac{1}{20} = \frac{4 - 1}{20} = \frac{3}{20}$
$v = \frac{20}{3} \ cm$.
प्रतिबिंब लेंस के ऑप्टिकल केंद्र से $\frac{20}{3} \ cm$ की दूरी पर बनता है।

(D) दिया गया है: फोकस दूरी $f = 0.05 \ m$,वस्तु की दूरी $u = -0.2 \ m$.
लेंस सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
मान रखने पर: $\frac{1}{v} = \frac{1}{f} + \frac{1}{u} = \frac{1}{0.05} - \frac{1}{0.2} = 20 - 5 = 15 \ m^{-1}$.
अतः,$v = \frac{1}{15} \ m$.
समय के सापेक्ष लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है: $-\frac{dv}{v^2} + \frac{du}{u^2} = 0$.
यह दर्शाता है कि $dv = \left( \frac{v^2}{u^2} \right) du$.
प्रतिबिंब के दोलन का आयाम $A_{image} = |dv|$ को $A_{image} = \left( \frac{v}{u} \right)^2 A_{object}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $A_{object} = A \ cm = A \times 10^{-2} \ m$.
$A_{image} = \left( \frac{1/15}{0.2} \right)^2 \times A \times 10^{-2} \ m = \left( \frac{1}{15 \times 0.2} \right)^2 \times A \times 10^{-2} \ m = \left( \frac{1}{3} \right)^2 \times A \times 10^{-2} \ m = \frac{A}{9} \times 10^{-2} \ m$.

(D) जब वस्तु और पर्दे के बीच की दूरी $d$ निश्चित हो,तो उत्तल लेंस द्वारा पर्दे पर वास्तविक प्रतिबिंब प्राप्त करने की शर्त विस्थापन विधि (displacement method) द्वारा दी जाती है।
माना वस्तु की दूरी $u$ है और प्रतिबिंब की दूरी $v$ है। अतः $u + v = d$।
वास्तविक प्रतिबिंब के लिए,लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ है।
$u = -(d - v)$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{1}{v} + \frac{1}{d - v} = \frac{1}{f}$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर द्विघात समीकरण $v^2 - dv + df = 0$ प्राप्त होता है।
$v$ के वास्तविक मूल होने के लिए,विविक्तकर (discriminant) शून्य या उससे अधिक होना चाहिए: $D = d^2 - 4df \geq 0$।
इसका अर्थ है कि $d^2 \geq 4df$,या $f \leq \frac{d}{4}$।
अतः,उत्तल लेंस की अधिकतम संभव फोकस दूरी $\frac{d}{4}$ है।

(A) उत्तल लेंस के लिए,आवर्धन $m = \frac{f}{f+u}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $u$ वस्तु की दूरी है (चिह्न परिपाटी के अनुसार,$u$ ऋणात्मक है)।
यह दिया गया है कि दो अलग-अलग वस्तु स्थितियों के लिए आवर्धन $m$ समान है,जो केवल तभी संभव है जब एक प्रतिबिंब वास्तविक हो और दूसरा आभासी हो।
प्रथम स्थिति में,$u_1 = -16 \ cm$। आवर्धन $m = \frac{f}{f-16}$ है। चूँकि $m > 1$ है,यह एक आभासी प्रतिबिंब होना चाहिए,इसलिए $m = \frac{f}{f-16}$।
जब वस्तु को लेंस की ओर $8 \ cm$ खिसकाया जाता है,तो नई वस्तु दूरी $u_2 = -(16 - 8) = -8 \ cm$ होती है। आवर्धन $m' = \frac{f}{f-8}$ है। चूँकि आवर्धन का परिमाण समान है,हमारे पास $|\frac{f}{f-16}| = |\frac{f}{f-8}|$ है।
चूँकि $m > 1$ है,एक धनात्मक और एक ऋणात्मक होना चाहिए: $\frac{f}{f-16} = -\frac{f}{f-8}$।
$f$ से विभाजित करने पर $(f \neq 0)$: $\frac{1}{f-16} = -\frac{1}{f-8}$।
$\Rightarrow f - 8 = -(f - 16) = -f + 16$।
$\Rightarrow 2f = 24$।
$\Rightarrow f = 12 \ cm$।

(A) लेंस मेकर सूत्र के अनुसार,माध्यम में लेंस की फोकस दूरी $f'$ इस प्रकार दी जाती है: $\frac{1}{f'} = (\frac{n_{1}}{n_{2}} - 1)(\frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{R_{2}})$.
उभयोत्तल लेंस के लिए,$R_{1} = R$ और $R_{2} = -R$ होता है,इसलिए $(\frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{R_{2}}) = \frac{2}{R}$ होगा।
अतः,$\frac{1}{f'} = (\frac{n_{1}}{n_{2}} - 1)(\frac{2}{R})$.
यदि $n_{1} > n_{2}$ है,तो $(\frac{n_{1}}{n_{2}} - 1) > 0$ होगा,इसलिए $f' > 0$ होगा और लेंस एक उत्तल (अभिसारी) लेंस की तरह व्यवहार करेगा।
यदि $n_{1} < n_{2}$ है,तो $(\frac{n_{1}}{n_{2}} - 1) < 0$ होगा,इसलिए $f' < 0$ होगा और लेंस एक अवतल (अपसारी) लेंस की तरह व्यवहार करेगा।
अतः,लेंस का व्यवहार $n_{1}$ और $n_{2}$ के सापेक्ष मानों पर निर्भर करता है।

(A) दिया गया है: फोकस दूरी $f = +30 \,cm$ (उत्तल लेंस के लिए)।
आवर्धन $m = -5$ (क्योंकि प्रतिबिंब वास्तविक है)।
हम जानते हैं कि आवर्धन $m = \frac{v}{u}$, इसलिए $v = mu = -5u$ है।
लेंस सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$।
मान रखने पर: $\frac{1}{30} = \frac{1}{-5u} - \frac{1}{u}$।
$\frac{1}{30} = \frac{-1 - 5}{5u} = \frac{-6}{5u}$।
$5u = -180$।
$u = -36 \,cm$।
वस्तु की दूरी का परिमाण $36 \,cm$ है।

(B) लेंस की शक्ति $P$ को लेंस मेकर सूत्र द्वारा दिया जाता है: $P = \frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
एक समतल-अवतल लेंस के लिए, वक्र पृष्ठ पहला पृष्ठ है $(R_1 = -1 \,m)$ और दूसरा पृष्ठ समतल है $(R_2 = \infty)$.
दिया गया अपवर्तनांक $\mu = 1.5$ है।
मान रखने पर: $P = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{-1} - \frac{1}{\infty} \right)$.
$P = (0.5) (-1 - 0) = -0.5 \,D$.

(D) एक अपसारी (अवतल) लेंस के लिए,फोकस दूरी $f$ को ऋणात्मक लिया जाता है,इसलिए $f_{lens} = -f$ (जहाँ $f > 0$ है)।
दिया गया है कि वस्तु की दूरी $u = -mf$ है।
लेंस सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f_{lens}}$.
मान रखने पर: $\frac{1}{v} - \frac{1}{-mf} = \frac{1}{-f}$.
$\frac{1}{v} + \frac{1}{mf} = -\frac{1}{f}$.
$\frac{1}{v} = -\frac{1}{f} - \frac{1}{mf} = -\frac{1}{f} \left(1 + \frac{1}{m}\right) = -\frac{1}{f} \left(\frac{m+1}{m}\right)$.
अतः,$v = -f \left(\frac{m}{m+1}\right)$.
रैखिक आवर्धन $M = \frac{v}{u}$ द्वारा दिया जाता है।
$M = \frac{-f \left(\frac{m}{m+1}\right)}{-mf} = \frac{1}{m+1}$.

(A) चरण $1$: खाली बर्तन की स्थिति का उपयोग करके लेंस की फोकस दूरी ज्ञात करें।
खाली बर्तन के लिए, वस्तु की दूरी $u = -80 \,cm$ और प्रतिबिंब की दूरी $v = +20 \,cm$ है।
लेंस सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{20} - \frac{1}{-80} = \frac{1}{20} + \frac{1}{80} = \frac{4+1}{80} = \frac{5}{80} = \frac{1}{16} \,cm^{-1}$.
अतः, फोकस दूरी $f = 16 \,cm$ है।
चरण $2$: पानी भरने के बाद नई वस्तु दूरी ज्ञात करें।
जब $h = 64 \,cm$ ऊंचाई तक पानी भरा जाता है, तो सिक्के की आभासी गहराई $d' = \frac{h}{\mu} = \frac{64}{4/3} = 64 \times \frac{3}{4} = 48 \,cm$ होती है।
लेंस से सिक्के की दूरी $80 \,cm$ है। तल से आभासी प्रतिबिंब की दूरी $64 - 48 = 16 \,cm$ है। इस प्रकार, लेंस से नई वस्तु दूरी $u' = 80 - 16 = 64 \,cm$ है (या $16 \,cm$ हवा + $48 \,cm$ आभासी गहराई)।
अतः, $u' = -64 \,cm$.
चरण $3$: प्रतिबिंब की नई स्थिति $v'$ ज्ञात करें।
लेंस सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v'} - \frac{1}{u'}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{16} = \frac{1}{v'} - \frac{1}{-64} \implies \frac{1}{v'} = \frac{1}{16} - \frac{1}{64} = \frac{4-1}{64} = \frac{3}{64}$.
$v' = \frac{64}{3} \approx 21.33 \,cm$.
इसलिए, प्रतिबिंब लेंस के $21.33 \,cm$ ऊपर बनता है।

(C) लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
हवा में: $\frac{1}{f_{\text{air}}} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = 0.5 \times K$,जहाँ $K = (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
दिया है $f_{\text{air}} = f = 18 \ cm$,इसलिए $K = \frac{1}{0.5f} = \frac{2}{f}$.
पानी में $(\mu_w = 4/3)$: $\frac{1}{f_{\text{water}}} = (\frac{1.5}{4/3} - 1) K = (\frac{4.5}{4} - 1) K = (1.125 - 1) K = 0.125 K$.
$K = \frac{2}{f}$ रखने पर: $\frac{1}{f_{\text{water}}} = 0.125 \times \frac{2}{f} = \frac{0.25}{f} = \frac{1}{4f}$.
अतः,$f_{\text{water}} = 4f$.
फोकस दूरियों का अंतर $f_{\text{water}} - f_{\text{air}} = 4f - f = 3f$ है।
$\alpha \times f$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha = 3$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए कि उभयोत्तल लेंस की वक्रता त्रिज्याएँ $R_1$ और $R_2$ हैं। उभयोत्तल लेंस की शक्ति $P_A = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right) = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right) = 0.5 \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)$ द्वारा दी जाती है।
समतल-अवतल लेंस के लिए, वक्र सतह की वक्रता त्रिज्या $R_2$ है और दूसरी सतह समतल $(R = \infty)$ है। इसकी शक्ति $P_B = -(\mu' - 1) \left( \frac{1}{R_2} + \frac{1}{\infty} \right) = -(1.7 - 1) \left( \frac{1}{R_2} \right) = -0.7 \left( \frac{1}{R_2} \right)$ है।
यह दिया गया है कि शक्ति का परिमाण समान है, इसलिए $|P_A| = |P_B|$.
$0.5 \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right) = 0.7 \left( \frac{1}{R_2} \right)$.
$0.5 \left( \frac{1}{R_1} \right) = (0.7 - 0.5) \left( \frac{1}{R_2} \right) = 0.2 \left( \frac{1}{R_2} \right)$.
$\frac{0.5}{R_1} = \frac{0.2}{R_2} \implies \frac{R_1}{R_2} = \frac{0.5}{0.2} = \frac{5}{2}$.

(B) पतले लेंस के लिए,आवर्धन $m = \frac{f}{f+u}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि प्रतिबिंबों का आकार समान है,इसलिए आवर्धन का परिमाण समान होना चाहिए,लेकिन एक प्रतिबिंब वास्तविक (उल्टा) और दूसरा आभासी (सीधा) होता है।
अतः,$m_1 = -m_2$.
मान लीजिए कि दो स्थितियाँ $u_1 = -8 \ cm$ और $u_2 = -24 \ cm$ हैं।
इन मानों को आवर्धन सूत्र में रखने पर: $\frac{f}{f-8} = -\frac{f}{f-24}$.
दोनों पक्षों से $f$ को हटाने पर: $\frac{1}{f-8} = -\frac{1}{f-24}$.
तिर्यक गुणा करने पर: $f - 24 = -(f - 8)$.
$f - 24 = -f + 8$.
$2f = 32$.
$f = 16 \ cm$.

(B) दिया गया पावर $P = +5 \ D$ है। फोकस दूरी $f = \frac{100}{P} = \frac{100}{5} = 20 \ cm$ है।
लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u$ ऋणात्मक है,हमें मिलता है $\frac{1}{v} = \frac{1}{f} + \frac{1}{u} = \frac{1}{20} - \frac{1}{|u|}$।
$P_1$ के लिए: $u = -25 \ cm, \frac{1}{v} = \frac{1}{20} - \frac{1}{25} = \frac{1}{100} \Rightarrow v = 100 \ cm$ (लगभग $96 \ cm$ करीब है)।
$P_2$ के लिए: $u = -30 \ cm, \frac{1}{v} = \frac{1}{20} - \frac{1}{30} = \frac{1}{60} \Rightarrow v = 60 \ cm$ (लगभग $62 \ cm$ करीब है)।
$P_3$ के लिए: $u = -35 \ cm, \frac{1}{v} = \frac{1}{20} - \frac{1}{35} = \frac{3}{140} \Rightarrow v \approx 46.6 \ cm$। दर्ज किया गया मान $37 \ cm$ काफी गलत है।
$P_4$ के लिए: $u = -45 \ cm, \frac{1}{v} = \frac{1}{20} - \frac{1}{45} = \frac{1}{36} \Rightarrow v = 36 \ cm$ (लगभग $35 \ cm$ करीब है)।
$P_5$ के लिए: $u = -50 \ cm, \frac{1}{v} = \frac{1}{20} - \frac{1}{50} = \frac{3}{100} \Rightarrow v \approx 33.3 \ cm$ (लगभग $32 \ cm$ करीब है)।
अतः,$P_3$ द्वारा दर्ज की गई रीडिंग गलत है।

(D) लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{f} = (\mu - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
समान वक्रता त्रिज्या $R$ वाले उत्तल लेंस के लिए,$R_1 = R$ और $R_2 = -R$ होता है।
मान रखने पर: $\frac{1}{f} = (1.4 - 1)(\frac{1}{R} - (\frac{1}{-R}))$.
$\frac{1}{f} = 0.4 \times (\frac{1}{R} + \frac{1}{R}) = 0.4 \times \frac{2}{R} = \frac{0.8}{R}$.
अतः,फोकस दूरी $f$ और वक्रता त्रिज्या $R$ का अनुपात $\frac{f}{R} = \frac{1}{0.8} = 1.25$ है।

(B) कागज को जलाने के लिए सबसे कम समय तब लगता है जब सूर्य का प्रकाश लेंस के मुख्य फोकस पर केंद्रित होता है। इसलिए,फोकस दूरी $f = 30 \text{ cm}$ है।
लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
एक सममित द्वि-उत्तल लेंस के लिए,$R_1 = R = 60 \text{ cm}$ और $R_2 = -R = -60 \text{ cm}$ होता है।
इन मानों को रखने पर: $\frac{1}{30} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{60} - \frac{1}{-60} \right)$.
$\frac{1}{30} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{60} + \frac{1}{60} \right) = (\mu - 1) \left( \frac{2}{60} \right) = (\mu - 1) \left( \frac{1}{30} \right)$.
इसका अर्थ है $\mu - 1 = 1$,इसलिए $\mu = 2$.
दिया गया है कि $\mu = \frac{\alpha}{10}$,अतः $2 = \frac{\alpha}{10}$,जिससे $\alpha = 20$ प्राप्त होता है।

(B) अवतल लेंस के लिए,मुख्य अक्ष के समानांतर चलने वाली प्रकाश की किरण अपवर्तन के बाद अपसरित (diverge) हो जाती है।
जब इस अपसरित किरण को पीछे की ओर बढ़ाया जाता है,तो यह लेंस के प्रथम मुख्य फोकस से आती हुई प्रतीत होती है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।