Mix Examples-Ray Optics Questions in Gujarati

(A) બાજુની લંબાઈ ધરાવતા નિયમિત ષટ્કોણની ભૂમિતિ પરથી,અંતર $P_1P_2$ એ એક શિરોબિંદુ દ્વારા અલગ પડેલા બે શિરોબિંદુઓને જોડતા વિકર્ણની લંબાઈ છે. કોસાઇનના નિયમ અથવા ભૂમિતિનો ઉપયોગ કરીને,$P_1P_2 = 2a \sin(60^\circ) = a\sqrt{3}$ મળે છે.
કોઈ બિંદુ પર પ્રકાશની તીવ્રતા $I$ એ $I = \frac{L \cos \theta}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $L$ એ સ્ત્રોતની પ્રકાશિત તીવ્રતા છે,$r$ એ અંતર છે,અને $\theta$ એ પ્રકાશના કિરણ અને સપાટીના લંબ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$P_2$ પર,પ્રકાશનું કિરણ લંબરૂપે આપાત થાય છે,તેથી $\theta = 0^\circ$ અને $\cos 0^\circ = 1$. આમ,$I_0 = \frac{L}{(a\sqrt{3})^2} = \frac{L}{3a^2}$.
બિંદુ $P_3$ માટે,અંતર $r = P_1P_3$ છે. નિયમિત ષટ્કોણમાં,$P_1$ અને $P_3$ વચ્ચેનું અંતર $r = \sqrt{(a\sqrt{3})^2 + a^2} = \sqrt{3a^2 + a^2} = 2a$ છે.
પ્રકાશના કિરણ $P_1P_3$ અને $P_3$ પરના લંબ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 30^\circ$ છે. તેથી,$I_{P_3} = \frac{L \cos 30^\circ}{r^2} = \frac{L (\sqrt{3}/2)}{(2a)^2} = \frac{L \sqrt{3}}{8a^2}$.
$L = 3a^2 I_0$ મૂકતા,આપણને $I_{P_3} = \frac{(3a^2 I_0) \sqrt{3}}{8a^2} = \frac{3\sqrt{3}}{8} I_0$ મળે છે.

(C) પાણીનો વક્રીભવનાંક $\mu = 1.33 \approx 4/3$ છે.
વાસ્તવિક ઊંડાઈ $d$ પર રહેલી વસ્તુની આભાસી ઊંડાઈ $d' = d/\mu = d \times (3/4)$ થાય છે.
$1$. અરીસાથી વસ્તુ (તળિયે) નું અંતર:
વસ્તુ તળિયે છે,તેથી પાણીની સપાટીથી તેની વાસ્તવિક ઊંડાઈ $33.25\ cm$ છે. પાણીની સપાટીથી તેની આભાસી ઊંડાઈ $d'_o = 33.25 \times (3/4) = 24.9375\ cm$ થાય.
અરીસો પાણીની સપાટીથી $15\ cm$ ઉપર છે,તેથી વસ્તુ અંતર $u = -(15 + 24.9375) = -39.9375\ cm$ થાય.
$2$. અરીસાથી પ્રતિબિંબનું અંતર:
પ્રતિબિંબ પાણીની સપાટીથી $25\ cm$ નીચે રચાય છે. પાણીની સપાટીથી તેની આભાસી ઊંડાઈ $d'_i = 25 \times (3/4) = 18.75\ cm$ થાય.
પ્રતિબિંબ અંતર $v = -(15 + 18.75) = -33.75\ cm$ થાય.
$3$. અરીસાના સૂત્ર $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{-33.75} + \frac{1}{-39.9375} = \frac{1}{f}$
$-0.05467 = \frac{1}{f}$
$f \approx -18.3\ cm$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સૌથી નજીકનું મૂલ્ય $20\ cm$ છે.

(D) શરૂઆતમાં,$C$ પર રહેલી વસ્તુમાંથી આવતા પ્રકાશના કિરણો અરીસા પર લંબરૂપે આપાત થાય છે અને પોતાનો માર્ગ પાછો ખેંચે છે,જેથી $C$ પર પ્રતિબિંબ રચાય છે. જ્યારે અરીસાને પાણીથી ભરવામાં આવે છે,ત્યારે $C$ પરની વસ્તુમાંથી આવતા પ્રકાશના કિરણો હવા દ્વારા મુસાફરી કરે છે અને પછી પાણીમાં પ્રવેશે છે. પાણીની સપાટી પર વક્રીભવનને કારણે,કિરણો લંબ તરફ વળે છે. આ કિરણો પછી અંતર્ગોળ અરીસા પર અથડાય છે અને પરાવર્તિત થાય છે. પરાવર્તન પછી,તેઓ ફરીથી પાણીમાંથી પસાર થાય છે અને પાણીની સપાટી પર લંબથી દૂર વક્રીભવન પામે છે. પરિણામે,કિરણો $C$ અને $O$ ની વચ્ચે આવેલા બિંદુ $I$ પર કેન્દ્રિત થાય છે. આમ,$C$ અને $O$ ની વચ્ચે વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ રચાય છે.

(B) કોઈ લંબન (parallax) ન હોવાનો અર્થ એ છે કે બંને પ્રતિબિંબો (સમતલ અરીસા અને બહિર્ગોળ અરીસા દ્વારા બનેલા) એકબીજા પર સંપાત થાય છે.
સમતલ અરીસાના ગુણધર્મ મુજબ,તે તેની પાછળ $30\, cm$ ના અંતરે પ્રતિબિંબ બનાવશે. સમતલ અરીસો વસ્તુથી $30\, cm$ અને બહિર્ગોળ અરીસાથી $20\, cm$ ના અંતરે મૂકવામાં આવ્યો છે (કારણ કે કુલ અંતર $50\, cm$ છે).
આકૃતિ મુજબ,બહિર્ગોળ અરીસા માટે પ્રતિબિંબ અંતર $v = +10\, cm$ છે અને વસ્તુ અંતર $u = -50\, cm$ છે.
અરીસાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$
$\frac{1}{f} = \frac{1}{10} + \frac{1}{-50} = \frac{5-1}{50} = \frac{4}{50} = \frac{2}{25}$
તેથી,$f = \frac{25}{2}\, cm$
વક્રતા ત્રિજ્યા $R = 2f = 2 \times \frac{25}{2} = 25\, cm$ થાય.

(D) અંતર્ગોળ અરીસા માટે,અરીસાનું સૂત્ર $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ છે. અહીં $f = -1\, m$ (સંજ્ઞા પ્રણાલી મુજબ,અંતર્ગોળ અરીસા માટે $f$ ઋણ હોય છે). ધારો કે અંતર $u_P = -3\, m$ અને $u_Q = -5\, m$ છે.
$P$ ફલક માટે:
$\frac{1}{v_P} + \frac{1}{-3} = \frac{1}{-1} \implies \frac{1}{v_P} = -1 + \frac{1}{3} = -\frac{2}{3} \implies v_P = -1.5\, m$.
પ્રતિબિંબ અંતરનું મૂલ્ય $1.5\, m$ છે.
$Q$ ફલક માટે:
$\frac{1}{v_Q} + \frac{1}{-5} = \frac{1}{-1} \implies \frac{1}{v_Q} = -1 + \frac{1}{5} = -\frac{4}{5} \implies v_Q = -1.25\, m$.
પ્રતિબિંબ અંતરનું મૂલ્ય $1.25\, m$ છે.
પ્રતિબિંબો વચ્ચેનું અંતર $|v_P - v_Q| = |1.5 - 1.25| = 0.25\, m$ છે.
મોટવણી $m = -\frac{v}{u}$.
$P$ ફલક માટે: $m_P = -\frac{-1.5}{-3} = -0.5$. પ્રતિબિંબ $P$ ની ઊંચાઈ = $|m_P| \times 2\, m = 0.5 \times 2 = 1\, m$.
$Q$ ફલક માટે: $m_Q = -\frac{-1.25}{-5} = -0.25$. પ્રતિબિંબ $Q$ ની ઊંચાઈ = $|m_Q| \times 2\, m = 0.25 \times 2 = 0.5\, m$.
આમ,મૂલ્યો $0.25\, m, 1\, m, 0.5\, m$ છે.

(B) આપેલ છે: વક્રતા ત્રિજ્યા $R = 10 \, cm$. કેન્દ્રલંબાઈ $f = R/2 = 5 \, cm$. તે અંતર્ગોળ અરીસો હોવાથી,$f = -5 \, cm$. વળાંક $Q$ માટે વસ્તુ અંતર $u = -20 \, cm$ છે.
$1$. ઊભા ભાગ $PQ$ માટે (અનુપ્રસ્થ મોટવણી):
અનુપ્રસ્થ મોટવણી $m_t = \frac{f}{f - u} = \frac{-5}{-5 - (-20)} = \frac{-5}{15} = -\frac{1}{3}$.
ઊભા ભાગના પ્રતિબિંબની લંબાઈ $L_1 = |m_t| \times L_0 = \frac{1}{3} L_0$.
$2$. આડા ભાગ $QR$ માટે (રેખીય મોટવણી):
રેખીય મોટવણી $m_l = -\left(\frac{f}{f - u}\right)^2 = -\left(\frac{-5}{-5 - (-20)}\right)^2 = -\left(\frac{-5}{15}\right)^2 = -\frac{1}{9}$.
આડા ભાગના પ્રતિબિંબની લંબાઈ $L_2 = |m_l| \times L_0 = \frac{1}{9} L_0$.
$3$. પ્રતિબિંબની લંબાઈનો ગુણોત્તર:
ગુણોત્તર = $\frac{L_1}{L_2} = \frac{\frac{1}{3} L_0}{\frac{1}{9} L_0} = \frac{9}{3} = \frac{3}{1}$.
આમ,ગુણોત્તર $3:1$ છે.

(C) પ્રિઝમ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું વિચલન $\delta_{prism} = (\mu - 1)A = (1.5 - 1) \times 4^o = 2^o$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિરણ પ્રિઝમમાં લંબરૂપે પ્રવેશે છે,તેથી તે પ્રથમ સપાટી પરથી વિચલિત થયા વગર પસાર થાય છે અને બીજી સપાટી પર $2^o$ જેટલું વિચલિત થાય છે.
આ વિચલિત કિરણ અરીસા પર $i = 2^o$ ના આપાતકોણે અથડાય છે (કારણ કે વિચલન એ આપાત કિરણ અને નિર્ગમન કિરણ વચ્ચેનો ખૂણો છે).
અરીસા દ્વારા ઉત્પન્ન થતું વિચલન $\delta_{mirror} = 180^o - 2i = 180^o - 2(2^o) = 176^o$ છે.
કુલ વિચલન $\delta_{total} = \delta_{prism} + \delta_{mirror} = 2^o + 176^o = 178^o$ થાય છે.

(C) ધારો કે લેમ્પની પ્રકાશિત તીવ્રતા $I_1$ છે અને બિંદુવત ઉદગમની તીવ્રતા $I_2$ છે. ધારો કે ગ્રીસ સ્પોટથી લેમ્પનું અંતર $x$ છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં (ગંદી ચીમની),લેમ્પની તીવ્રતા $I_1' = I_1(1 - a)$ છે,જ્યાં $a$ એ શોષાયેલા પ્રકાશનો અંશ છે. સંતુલનની શરત નીચે મુજબ છે:
$\frac{I_1'}{x^2} = \frac{I_2}{10^2} \implies \frac{I_1'}{I_2} = \frac{x^2}{100} \quad (1)$
બીજા કિસ્સામાં (સાફ ચીમની),લેમ્પની તીવ્રતા $I_1$ છે. સંતુલન મેળવવા માટે બિંદુવત ઉદગમને $2 \, cm$ ખસેડવામાં આવે છે. લેમ્પ હવે વધુ તેજસ્વી હોવાથી,સંતુલન જાળવવા માટે અંતર $8 \, cm$ થાય છે. સંતુલનની શરત નીચે મુજબ છે:
$\frac{I_1}{x^2} = \frac{I_2}{8^2} \implies \frac{I_1}{I_2} = \frac{x^2}{64} \quad (2)$
સમીકરણ $(1)$ ને $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{I_1'}{I_1} = \frac{x^2/100}{x^2/64} = \frac{64}{100} = 0.64$
આનો અર્થ એ છે કે $I_1' = 0.64 \, I_1$. પ્રસારિત પ્રકાશનો અંશ $0.64$ છે,તેથી શોષાયેલો અંશ $1 - 0.64 = 0.36$ છે.
તેથી,શોષાયેલા પ્રકાશની ટકાવારી $36\%$ છે.

(D) સ્નેલના નિયમ મુજબ,$\mu_1 \sin i = \mu_2 \sin r$,જે સૂચવે છે કે $\frac{\sin r}{\sin i} = \frac{\mu_1}{\mu_2}$.
આપેલ આલેખ પરથી,ઢાળ $\tan 30^\circ = \frac{\sin r}{\sin i} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ છે.
તેથી,$\frac{\mu_1}{\mu_2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,જેનો અર્થ છે કે $\mu_2 = \sqrt{3} \mu_1$.
ચું કે $\mu = \frac{c}{v}$,તેથી $\frac{\mu_2}{\mu_1} = \frac{v_1}{v_2} = \sqrt{3} \approx 1.73$.
આમ,$v_1 = 1.73 v_2$,જે વિધાન $(b)$ ની પુષ્ટિ કરે છે.
ક્રાંતિકોણ $i_c$ એ $\sin i_c = \frac{\mu_{rarer}}{\mu_{denser}} = \frac{\mu_1}{\mu_2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે વિધાન $(c)$ ની પુષ્ટિ કરે છે.
તેથી,$(b)$ અને $(c)$ બંને સાચા છે.

(A) અરીસાનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$ છે.
આને $\frac{1}{v}$ ને $\frac{1}{u}$ ના પદમાં દર્શાવવા માટે ગોઠવતા,આપણને $\frac{1}{v} = -\frac{1}{u} + \frac{1}{f}$ મળે છે.
આ સમીકરણ $y = mx + c$ ના રેખીય સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $y = \frac{1}{v}$,$x = \frac{1}{u}$,ઢાળ $m = -1$,અને અંતઃખંડ $c = \frac{1}{f}$ છે.
અંતર્ગોળ અરીસા માટે,કેન્દ્રલંબાઈ $f$ ઋણ હોય છે,તેથી $c = \frac{1}{f}$ ઋણ છે. જોકે,વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ માટે,$u$ અને $v$ બંને ઋણ હોય છે. જેમ $u$ એ $f$ થી $\infty$ સુધી બદલાય છે,તેમ $v$ એ $\infty$ થી $f$ સુધી બદલાય છે. આલેખ $-1$ ના ઢાળ સાથેની એક સીધી રેખા છે જે બંને અક્ષો પર ઋણ અંતઃખંડ ધરાવે છે,જે વિકલ્પ $A$ માં દર્શાવેલ સ્વરૂપને અનુરૂપ છે.

(B) અંતર્ગોળ અરીસા માટે, મોટવણી $m$ નું સૂત્ર $m = \frac{f}{f - u}$ છે.
જ્યારે આભાસી પ્રતિબિંબ રચાય છે, ત્યારે વસ્તુ અંતર $u$ એ $0$ અને $f$ ની વચ્ચે હોય છે (એટલે કે $0 < u < f$).
જ્યારે $u = 0$ હોય, ત્યારે $m = \frac{f}{f - 0} = 1$ થાય છે.
જેમ જેમ $u$ ડાબી બાજુથી $f$ ની નજીક પહોંચે છે $(u \to f^-)$, તેમ છેદ $(f - u)$ ધન બાજુથી $0$ ની નજીક પહોંચે છે, તેથી $m \to \infty$ થાય છે.
$m = \frac{f}{f - u}$ હોવાથી, આપણે $m(f - u) = f$ લખી શકીએ, જેનો અર્થ છે $mf - mu = f$, અથવા $mu = f(m - 1)$, જે આપણને $u = f(1 - \frac{1}{m})$ આપે છે.
આ એક વક્ર દર્શાવે છે જ્યાં $u$ એ $0$ થી $f$ સુધી વધે છે તેમ $m$ એ $1$ થી $\infty$ સુધી વધે છે. આ આલેખ વિકલ્પ $B$ માં દર્શાવેલ છે.

(A) અંતર્ગોળ અરીસા માટે,વક્રતા ત્રિજ્યા $R = -10\; cm$,તેથી કેન્દ્રલંબાઈ $f = -5\; cm$ છે. વસ્તુ બંને અરીસાની વચ્ચે મધ્યમાં મૂકેલી હોવાથી,વસ્તુ અંતર $u = -7.5\; cm$ છે.
અરીસાના સૂત્ર $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v} + \frac{1}{-7.5} = \frac{1}{-5}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{7.5} - \frac{1}{5} = \frac{2}{15} - \frac{3}{15} = -\frac{1}{15}$
$v = -15\; cm$.
અરીસાઓ વચ્ચેનું અંતર $15\; cm$ હોવાથી,આ પ્રતિબિંબ બરાબર બહિર્ગોળ અરીસાના ધ્રુવ પર રચાય છે.
બહિર્ગોળ અરીસા માટે,વસ્તુ તેના ધ્રુવ પર છે,તેથી $u = 0$. કેન્દ્રલંબાઈ $f = +5\; cm$ છે.
અરીસાના સૂત્ર $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v} + \frac{1}{0} = \frac{1}{5}$
આનો અર્થ એ છે કે પ્રકાશના કિરણો ધ્રુવ પર આપાત થાય છે અને તે જ માર્ગે પાછા ફરે છે,એટલે કે અંતિમ પ્રતિબિંબ બહિર્ગોળ અરીસાના ધ્રુવ પર રચાય છે.

(C) જ્યારે અરીસાઓને એકબીજા સાથે કાટખૂણે ગોઠવવામાં આવે છે,જેમ કે બે અરીસા બાજુની દીવાલો પર અને એક છત પર,ત્યારે તેઓ $90^{\circ}$ ના ખૂણે અરીસાઓની સિસ્ટમ બનાવે છે.
ત્રણ અરીસાઓ જે એકબીજા સાથે કાટખૂણે ગોઠવાયેલા હોય (ખૂણો બનાવતા હોય),ત્યારે ખૂણામાં મૂકેલી વસ્તુ માટે રચાતા પ્રતિબિંબોની સંખ્યા $n = \frac{360^{\circ}}{\theta} - 1$ ના સૂત્ર દ્વારા સમજાય છે,પરંતુ કોર્નર રિફ્લેક્ટર માટે કુલ પ્રતિબિંબોની સંખ્યા $7$ હોય છે.
ચોક્કસ રીતે કહીએ તો,જ્યારે ત્રણ અરીસાઓ પરસ્પર કાટખૂણે હોય,ત્યારે વિવિધ સ્થાનો પર પ્રતિબિંબ રચાય છે,જેનું પરિણામ કુલ $7$ પ્રતિબિંબ મળે છે.

(C) આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,જો વસ્તુને અંતર્ગોળ અરીસાથી $x$ અંતરે મૂકવામાં આવે,તો સમતલ અરીસાથી તેનું અંતર $(22.5 - x)$ થશે. સમતલ અરીસો વસ્તુનું સમાન અને ચત્તું પ્રતિબિંબ અરીસાની પાછળ $(22.5 - x)$ અંતરે રચશે.
પ્રશ્ન મુજબ,અંતર્ગોળ અરીસા દ્વારા બનતું પ્રતિબિંબ સમતલ અરીસા દ્વારા બનતા પ્રતિબિંબ સાથે સંપાત થાય છે. તેથી,અંતર્ગોળ અરીસા માટે:
$v = -[22.5 + (22.5 - x)] = -(45 - x)$
અરીસાના સૂત્ર $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{-(45 - x)} + \frac{1}{-x} = \frac{1}{-10}$
$\frac{45}{45x - x^2} = \frac{1}{10}$
$x^2 - 45x + 450 = 0$
$(x - 30)(x - 15) = 0$
$x = 30\; cm$ અથવા $x = 15\; cm$.
બે અરીસાઓ વચ્ચેનું અંતર $22.5\; cm$ હોવાથી,$x = 30\; cm$ શક્ય નથી. તેથી,વસ્તુ અંતર્ગોળ અરીસાથી $15\; cm$ અંતરે હોવી જોઈએ.
$v = -(45 - 15) = -30\; cm$.
મોટવણી $m = -\frac{v}{u} = -\frac{-30}{-15} = -2$.

(B) અભિસારી લેન્સ માટે: $u = -15 \; cm$,$f = +10 \; cm$.
લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
$\frac{1}{v} - \frac{1}{-15} = \frac{1}{10} \Rightarrow \frac{1}{v} = \frac{1}{10} - \frac{1}{15} = \frac{3-2}{30} = \frac{1}{30}$.
તેથી,$v = 30 \; cm$.
લેન્સ દ્વારા રચાતું પ્રતિબિંબ અંતર્ગોળ અરીસા માટે વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે. પ્રતિબિંબ વસ્તુ પર જ રચાય તે માટે,કિરણો અરીસા પર લંબરૂપે આપાત થવા જોઈએ. આ ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે કિરણો અરીસાના વક્રતા કેન્દ્ર તરફ જતા હોય.
લેન્સથી પ્રતિબિંબનું અંતર $30 \; cm$ છે. ધારો કે અરીસાને લેન્સથી $d$ અંતરે મૂકવામાં આવે છે. અરીસાથી પ્રતિબિંબનું અંતર $(d - 30)$ થશે.
કિરણો પોતાના માર્ગે પાછા ફરે તે માટે,લેન્સ દ્વારા રચાતું પ્રતિબિંબ અરીસાના વક્રતા કેન્દ્ર પર હોવું જોઈએ.
આમ,અરીસાથી પ્રતિબિંબનું અંતર $R = 2f = 2 \times 12 = 24 \; cm$ હોવું જોઈએ.
તેથી,$d - 30 = 24 \Rightarrow d = 54 \; cm$.

(A) મેઘધનુષ્યની રચના એ એક જટિલ પ્રકાશીય ઘટના છે જે વાતાવરણમાં પાણીના ટીપાં સાથે સૂર્યપ્રકાશની આંતરક્રિયાને કારણે થાય છે.
$1$. વક્રીભવન: જ્યારે સૂર્યપ્રકાશ પાણીના ટીપામાં પ્રવેશે છે,ત્યારે તેનું વક્રીભવન થાય છે,જેના કારણે પ્રકાશનું કિરણ વળે છે.
$2$. વિભાજન (વર્ણપટ): સફેદ પ્રકાશ તેના ઘટક રંગોમાં $(VIBGYOR)$ વિભાજિત થાય છે કારણ કે વિવિધ તરંગલંબાઇઓ અલગ-અલગ ખૂણે વક્રીભવન પામે છે.
$3$. સંપૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન: ત્યારબાદ પ્રકાશ ટીપાની આંતરિક સપાટી પર અથડાય છે અને તેનું સંપૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થાય છે.
$4$. વક્રીભવન: અંતે,પ્રકાશ ટીપામાંથી બહાર નીકળે છે,ત્યારે ફરીથી તેનું વક્રીભવન થાય છે.
તેથી,તેમાં સામેલ મુખ્ય ઘટનાઓ વક્રીભવન,વિભાજન અને સંપૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન છે. વ્યતિકરણ એ મેઘધનુષ્યની રચનામાં મુખ્ય પરિબળ નથી. આમ,સાચો વિકલ્પ $1, 2$ અને $3$ છે.

(A) આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,સમતલ અરીસો તેની પાછળ $30\, cm$ ના અંતરે સમાન કદની ચત્તી અને આભાસી છબી બનાવે છે.
વસ્તુ અને સમતલ અરીસા વચ્ચેનું અંતર $30\, cm$ હોવાથી,સમતલ અરીસા દ્વારા બનતી છબી સમતલ અરીસાની પાછળ $30\, cm$ ના અંતરે છે.
બહિર્ગોળ અરીસાથી સમતલ અરીસાનું અંતર $50\, cm - 30\, cm = 20\, cm$ છે.
ધારો કે $P$ એ બહિર્ગોળ અરીસાનું ધ્રુવ છે અને $M$ એ સમતલ અરીસાનું સ્થાન છે. સમતલ અરીસા દ્વારા બનતી છબી $I$ એ $M$ ની પાછળ $30\, cm$ ના અંતરે છે.
બહિર્ગોળ અરીસાના ધ્રુવ $P$ થી આ છબી $I$ નું અંતર $PI = MI - MP = 30\, cm - 20\, cm = 10\, cm$ છે.
કોઈ લંબન ન હોવાથી,બહિર્ગોળ અરીસા દ્વારા બનતી છબી પણ આ સ્થાને જ રચાય છે.
બહિર્ગોળ અરીસા માટે,વસ્તુ અંતર $u = -50\, cm$ અને પ્રતિબિંબ અંતર $v = +10\, cm$ છે.
મોટવણી $m = -\frac{v}{u} = -\frac{10}{-50} = \frac{1}{5}$ મળે છે.

(A) પ્રકાશની તીવ્રતા $I$ અને સમય $t$ ના ગુણાકારને એક્સપોઝર કહેવામાં આવે છે. તીવ્રતા $I$ એ વ્યસ્ત વર્ગના નિયમનું પાલન કરે છે,$I \propto \frac{P}{r^2}$,જ્યાં $P$ એ સ્ત્રોતનો પાવર છે અને $r$ એ અંતર છે.
સમાન ફોટોગ્રાફિક પ્રિન્ટ માટે,જરૂરી કુલ એક્સપોઝર અચળ રહે છે,તેથી $I_1 t_1 = I_2 t_2$.
તીવ્રતા માટેનું સૂત્ર મૂકતા: $\frac{P_1}{r_1^2} \times t_1 = \frac{P_2}{r_2^2} \times t_2$.
આપેલ છે: $P_1 = 40$,$r_1 = 0.6 \, m$,$t_1 = 20 \, s$ અને $P_2 = 20$,$r_2 = 1.2 \, m$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{40}{(0.6)^2} \times 20 = \frac{20}{(1.2)^2} \times t_2$.
$\frac{40}{0.36} \times 20 = \frac{20}{1.44} \times t_2$.
$t_2 = \frac{40 \times 20 \times 1.44}{0.36 \times 20} = \frac{40 \times 1.44}{0.36} = 40 \times 4 = 160 \, s$.

(C) લેન્સ માટે: $u = -15 \, cm$,$f = +10 \, cm$.
લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f} \implies \frac{1}{v} - \frac{1}{-15} = \frac{1}{10} \implies \frac{1}{v} = \frac{1}{10} - \frac{1}{15} = \frac{3-2}{30} = \frac{1}{30}$.
તેથી,$v = 30 \, cm$.
પ્રતિબિંબ વસ્તુ પર જ રચાય તે માટે,કિરણો બહિર્ગોળ અરીસા પર લંબરૂપે આપાત થવા જોઈએ. આ ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે કિરણો અરીસાના વક્રતા કેન્દ્ર તરફ જતા હોય.
લેન્સથી પ્રતિબિંબનું અંતર $30 \, cm$ છે. જો અરીસાને લેન્સથી $d$ અંતરે મૂકવામાં આવે,તો લેન્સ દ્વારા બનતા પ્રતિબિંબથી અરીસાનું અંતર $(30 - d)$ થશે.
કિરણો અરીસાને લંબરૂપે મળે તે માટે,આ અંતર વક્રતા ત્રિજ્યા $R = 2f = 2 \times 12 = 24 \, cm$ જેટલું હોવું જોઈએ.
તેથી,$30 - d = 24 \implies d = 6 \, cm$.

(D) ધારો કે આપાત કિરણ અરીસા $M_1$ ના લંબ સાથે $i$ ખૂણો બનાવે છે। પરાવર્તનના નિયમ મુજબ, પરાવર્તન કોણ પણ $i$ થશે।
પરાવર્તિત કિરણ અરીસા $M_1$ સાથે $(90° - i)$ નો ખૂણો બનાવે છે।
અરીસાઓ લંબ હોવાથી, પરાવર્તિત કિરણ અરીસા $M_2$ ના લંબ સાથે $90° - (90° - i) = i$ નો ખૂણો બનાવે છે।
$M_2$ પર પરાવર્તનના નિયમ મુજબ, અંતિમ પરાવર્તિત કિરણ $M_2$ ના લંબ સાથે $i$ ખૂણો બનાવે છે।
$\theta$ ખૂણે રાખેલા બે અરીસાઓ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું કુલ વિચલન $\delta = 360° - 2\theta$ છે।
અહીં, $\theta = 90°$, તેથી $\delta = 360° - 2(90°) = 180°$।
$180°$ નું વિચલન એટલે કે અંતિમ કિરણ આપાત કિરણની વિરુદ્ધ દિશામાં (anti-parallel) છે।
આમ, કોઈપણ આપાત કોણ $i$ માટે (જ્યાં બંને પરાવર્તન થાય છે), અંતિમ કિરણ હંમેશા આપાત કિરણને સમાંતર (વિરુદ્ધ દિશામાં) રહે છે। તેથી, આ શરત કોઈપણ $i$ માટે સાચી છે।

(C) ધારો કે અંતર્ગોળ અરીસો $M_1$ છે અને બહિર્ગોળ અરીસો $M_2$ છે. અરીસા $M_1$ માટે,વસ્તુ $O$ એ $u = -15 \ cm$ અને $f = -10 \ cm$ પર છે.
અરીસાના સૂત્ર $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v} + \frac{1}{-15} = \frac{1}{-10} \Rightarrow \frac{1}{v} = \frac{1}{15} - \frac{1}{10} = \frac{2-3}{30} = -\frac{1}{30} \Rightarrow v = -30 \ cm$.
આ પ્રતિબિંબ $I_1$ એ અરીસા $M_2$ માટે વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે. $M_2$ થી $I_1$ નું અંતર $u_2 = -(40 - 30) = -10 \ cm$ છે.
અરીસા $M_2$ માટે,$f = +15 \ cm$ અને $u = -10 \ cm$.
અરીસાના સૂત્ર $\frac{1}{v_2} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v_2} + \frac{1}{-10} = \frac{1}{15} \Rightarrow \frac{1}{v_2} = \frac{1}{15} + \frac{1}{10} = \frac{2+3}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6} \Rightarrow v_2 = +6 \ cm$.
આમ,અંતિમ પ્રતિબિંબ બહિર્ગોળ અરીસાની પાછળ $6 \ cm$ અંતરે રચાય છે.

(C) અંતર્ગોળ અરીસા માટે,અરીસાનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$ છે.
ચિહ્ન પ્રણાલીનો ઉપયોગ કરતા,વસ્તુ અંતર $u = -x$ અને પ્રતિબિંબ અંતર $v = -y$ લેવામાં આવે છે.
આ કિંમતોને અરીસાના સૂત્રમાં મૂકતા: $\frac{1}{f} = \frac{1}{-y} + \frac{1}{-x}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{1}{f} = -(\frac{1}{y} + \frac{1}{x})$,અથવા $\frac{1}{y} = -\frac{1}{x} - \frac{1}{f}$ મળે છે.
આ સમીકરણ દર્શાવે છે કે જેમ $x$ વધે છે,તેમ $y$ અરેખીય રીતે ઘટે છે. ખાસ કરીને,સંબંધ $y = \frac{fx}{x-f}$ છે.
જ્યારે $x \to f$ થાય,ત્યારે $y \to \infty$ થાય છે. જ્યારે $x \to \infty$ થાય,ત્યારે $y \to f$ થાય છે. આ એક લંબચોરસ અતિવલય (Rectangular hyperbola) દર્શાવે છે.

(B) પ્રકાશની તીવ્રતા $I$ એ અંતર $d$ ના વ્યસ્ત વર્ગના નિયમનું પાલન કરે છે, જે $I \propto \frac{1}{d^2}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
સમાન ફોટોગ્રાફિક અસર (એક્સપોઝર) મેળવવા માટે, ફિલ્મ દ્વારા પ્રાપ્ત થતી કુલ ઉર્જા અચળ હોવી જોઈએ, જ્યાં $\text{Energy} = \text{Intensity} \times \text{Time}$.
તેથી, $I_1 \times t_1 = I_2 \times t_2$.
$I \propto \frac{1}{d^2}$ સંબંધનો ઉપયોગ કરતા, આપણને મળે છે $\frac{t_1}{d_1^2} = \frac{t_2}{d_2^2}$.
અહીં $d_1 = 20 \,cm$, $t_1 = 2 \,s$, અને $d_2 = 40 \,cm$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{2}{20^2} = \frac{t_2}{40^2}$.
$t_2 = 2 \times \left(\frac{40}{20}\right)^2 = 2 \times (2)^2 = 2 \times 4 = 8 \,s$.

(A) જ્યારે પ્રકાશનું કિરણ પાતળા માધ્યમ (હવા) માંથી ઘટ્ટ માધ્યમ (પાણી) માં પ્રવેશે છે,ત્યારે તે લંબ તરફ વળે છે.
કોશીના સમીકરણ મુજબ,માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $n$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $\lambda$ પર આધાર રાખે છે,જે $n(\lambda) = A + B/\lambda^2 + ...$ તરીકે દર્શાવાય છે,જ્યાં $A$ અને $B$ અચળાંકો છે.
જાંબલી પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $(\lambda_V)$ એ લાલ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $(\lambda_R)$ કરતા નાની હોવાથી,જાંબલી પ્રકાશ માટેનો વક્રીભવનાંક $(n_V)$ એ લાલ પ્રકાશના વક્રીભવનાંક $(n_R)$ કરતા વધારે હોય છે.
સ્નેલના નિયમ મુજબ,$n_1 \sin(i) = n_2 \sin(r)$,જ્યાં $i$ એ આપાતકોણ છે અને $r$ એ વક્રીભવનકોણ છે.
$n_V > n_R$ હોવાથી,જાંબલી પ્રકાશ માટેનો વક્રીભવનકોણ $(r_V)$ એ લાલ પ્રકાશના વક્રીભવનકોણ $(r_R)$ કરતા નાનો હશે.
તેથી,જાંબલી કિરણ લાલ કિરણ કરતા લંબની વધુ નજીક વળશે. આકૃતિ $A$ આ વર્તણૂકને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(B) લેન્સનું સૂત્ર: $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ છે.
બહિર્ગોળ લેન્સ માટે સંજ્ઞા પ્રણાલી મુજબ,વસ્તુ અંતર $u$ ઋણ $(-u)$ અને પ્રતિબિંબ અંતર $v$ ધન $(+v)$ લેવામાં આવે છે.
આ કિંમતો લેન્સના સૂત્રમાં મૂકતા: $\frac{1}{v} - \frac{1}{-u} = \frac{1}{f} \implies \frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
$v$ ને કર્તા બનાવતા: $\frac{1}{v} = \frac{1}{f} - \frac{1}{u} = \frac{u-f}{uf} \implies v = \frac{uf}{u-f}$.
જ્યારે $u$ એ $f$ અને $2f$ ની વચ્ચે હોય,ત્યારે $v$ ધન અને $2f$ કરતા મોટું મળે છે. જેમ $u$ નું મૂલ્ય $f$ થી $\infty$ તરફ વધે છે,તેમ $v$ નું મૂલ્ય $\infty$ થી $f$ તરફ ઘટે છે. આ પ્રથમ ચરણમાં એક અતિવલય વક્ર દર્શાવે છે.

(A) સ્નેલના નિયમ મુજબ,$\mu_1 \sin i = \mu_2 \sin r$.
ઋણ વક્રીભવનાંક ધરાવતા પદાર્થ માટે,$\mu_2$ ઋણ છે.
તેથી,$\sin r = (\mu_1 / \mu_2) \sin i$.
ચૂક $\mu_2 < 0$ હોવાથી,$\sin r$ ઋણ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે વક્રીભૂત કિરણ આપાત કિરણની જેમ લંબની એક જ બાજુએ રહે છે.
આ તે આકૃતિને અનુરૂપ છે જ્યાં કિરણ લંબ તરફ વળે છે પરંતુ આપાત બાજુ પર જ રહે છે.

(C) ધારો કે પદાર્થ $O$ પર છે. બહિર્ગોળ અરીસાથી પદાર્થનું અંતર $u = -20 \, cm$ છે.
સમતલ અરીસો પદાર્થથી $15 \, cm$ દૂર છે. પદાર્થ બહિર્ગોળ અરીસાથી $20 \, cm$ દૂર હોવાથી,સમતલ અરીસો બહિર્ગોળ અરીસાની પાછળ $20 - 15 = 5 \, cm$ અંતરે છે.
સમતલ અરીસા દ્વારા રચાતું પ્રતિબિંબ સમતલ અરીસાની પાછળ $15 \, cm$ અંતરે મળે છે. સમતલ અરીસો બહિર્ગોળ અરીસાની પાછળ $5 \, cm$ હોવાથી,પ્રતિબિંબ બહિર્ગોળ અરીસાની પાછળ $15 - 5 = 10 \, cm$ અંતરે મળે છે. તેથી,$v = +10 \, cm$.
અરીસાના સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{10} + \frac{1}{-20} = \frac{2-1}{20} = \frac{1}{20}$.
તેથી,$f = 20 \, cm$.

(D) વસ્તુ બહિર્ગોળ અરીસાથી $50 \, cm$ ના અંતરે છે. સમતલ અરીસો વસ્તુથી $30 \, cm$ ના અંતરે મૂકવામાં આવ્યો છે.
વસ્તુથી બહિર્ગોળ અરીસા સુધીનું કુલ અંતર $50 \, cm$ હોવાથી,સમતલ અરીસાથી બહિર્ગોળ અરીસા સુધીનું અંતર $50 - 30 = 20 \, cm$ થાય.
સમતલ અરીસો વસ્તુનું આભાસી પ્રતિબિંબ અરીસાની પાછળ $30 \, cm$ અંતરે રચે છે.
આ પ્રતિબિંબનું બહિર્ગોળ અરીસાથી અંતર $30 + 20 = 50 \, cm$ (અરીસાની પાછળ) થાય.
પરંતુ,પ્રશ્નમાં આપેલ છે કે કોઈ દ્રષ્ટિ સ્થાન ભેદ નથી,જેનો અર્થ છે કે બંને અરીસાઓ દ્વારા રચાતા પ્રતિબિંબો એકબીજા પર સંપાત થાય છે.
સમતલ અરીસા દ્વારા રચાતું પ્રતિબિંબ અરીસાની પાછળ $30 \, cm$ અંતરે છે.
ભૂમિતિ મુજબ,સમતલ અરીસા દ્વારા રચાતા પ્રતિબિંબનું બહિર્ગોળ અરીસાના ધ્રુવ $P$ થી અંતર $v = 30 - 20 = 10 \, cm$ (અરીસાની પાછળ) થાય.
તેથી,બહિર્ગોળ અરીસા માટે $u = -50 \, cm$ અને $v = +10 \, cm$.
અરીસાના સૂત્ર $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{10} + \frac{1}{-50} = \frac{1}{f}$
$\frac{5 - 1}{50} = \frac{1}{f} \Rightarrow \frac{4}{50} = \frac{1}{f} \Rightarrow f = 12.5 \, cm$.
વક્રતા ત્રિજ્યા $R = 2f = 2 \times 12.5 = 25 \, cm$ થાય.

(D) એક્સ્પોઝર સમય $t$ એ f-નંબરના વર્ગ $(N^2)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,$t \propto N^2$.
અહીં $t_1 = 1/100 \ s$ જ્યારે $N_1 = 2$ $(f/2)$ છે.
આપણે $N_2 = 4$ $(f/4)$ માટે $t_2$ શોધવાનું છે.
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{t_2}{t_1} = \frac{N_2^2}{N_1^2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{t_2}{t_1} = \frac{4^2}{2^2} = \frac{16}{4} = 4$.
તેથી,$t_2 = 4 \times t_1 = 4 \times \frac{1}{100} \ s = \frac{4}{100} \ s$.

(C) પ્રિઝમ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું વિચલન $\delta_{prism} = (\mu - 1)A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\delta_{prism} = (1.5 - 1) \times 4^o = 0.5 \times 4^o = 2^o$.
કિરણ અરીસા પર આપાતકોણ $i = \delta_{prism} = 2^o$ સાથે અથડાય છે (કારણ કે કિરણ પ્રિઝમની પ્રથમ સપાટી પર લંબરૂપે આપાત થાય છે).
અરીસા દ્વારા ઉત્પન્ન થતું વિચલન $\delta_{mirror} = 180^o - 2i = 180^o - 2(2^o) = 180^o - 4^o = 176^o$.
કુલ વિચલન એ પ્રિઝમ અને અરીસા દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલા વિચલનનો સરવાળો છે: $\delta_{total} = \delta_{prism} + \delta_{mirror} = 2^o + 176^o = 178^o$.

(D) સંયુક્ત માઈક્રોસ્કોપની મોટવણીનું સૂત્ર $m = \left(\frac{L}{f_o}\right) \left(\frac{D}{f_e}\right)$ છે,જ્યાં $f_o$ એ ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ છે,$f_e$ એ આઈપીસની કેન્દ્રલંબાઈ છે,$L$ એ ટ્યુબની લંબાઈ છે અને $D$ એ સ્પષ્ટ દ્રષ્ટિનું લઘુત્તમ અંતર છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $m \propto \frac{1}{f_o}$. તેથી,જો $f_o$ વધે,તો માઈક્રોસ્કોપની મોટવણી ઘટશે.
ખગોળીય ટેલિસ્કોપની મોટવણીનું સૂત્ર $m = \frac{f_o}{f_e}$ છે,જ્યાં $f_o$ એ ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ છે અને $f_e$ એ આઈપીસની કેન્દ્રલંબાઈ છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $m \propto f_o$. તેથી,જો $f_o$ વધે,તો ટેલિસ્કોપની મોટવણી વધશે.

(B) હવામાં રહેલું પાણીનું ટીપું ગોળાકાર લેન્સ તરીકે વર્તે છે. પાણીનો વક્રીભવનાંક $(n_w \approx 1.33)$ એ હવાના વક્રીભવનાંક $(n_a \approx 1.0)$ કરતા વધારે હોવાથી,પાણીનું ટીપું આપાત સમાંતર પ્રકાશના કિરણો માટે અભિસારી લેન્સ (converging lens) તરીકે વર્તે છે. જ્યારે પ્રકાશ ટીપામાં પ્રવેશે છે,ત્યારે તે લંબ તરફ વક્રીભવન પામે છે અને જ્યારે તે બહાર નીકળે છે,ત્યારે તે લંબથી દૂર વક્રીભવન પામે છે,જેના કારણે સમાંતર કિરણો ટીપાની પાછળ એક બિંદુ પર કેન્દ્રિત થાય છે,જે આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.

(A) $1$. અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈ માત્ર તેની વક્રતા ત્રિજ્યા $(f = R/2)$ પર આધાર રાખે છે અને તે આસપાસના માધ્યમથી સ્વતંત્ર છે. તેથી,પાણીમાં અંતર્ગોળ અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈ $3 \, cm$ જ રહેશે.
$2$. લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ લેન્સ મેકર્સ ફોર્મ્યુલા દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{f} = (\mu_{rel} - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$,જ્યાં $\mu_{rel} = \frac{\mu_{lens}}{\mu_{medium}}$.
$3$. હવામાં: $\frac{1}{f_a} = (1.5 - 1) K = 0.5 K$,જ્યાં $K = (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$. આપેલ છે $f_a = 3 \, cm$,તેથી $K = \frac{1}{1.5} = \frac{2}{3}$.
$4$. પાણીમાં: $\mu_{rel} = \frac{1.5}{4/3} = 1.5 \times \frac{3}{4} = 1.125 = \frac{9}{8}$.
$5$. $\frac{1}{f_w} = (\frac{9}{8} - 1) K = (\frac{1}{8}) \times \frac{2}{3} = \frac{1}{12}$.
$6$. આમ,$f_w = 12 \, cm$.

(A) માણસ $M_1$ માંથી આવતો પ્રકાશ અરીસાઓ પર અથડાય છે અને પછી માણસ $M_2$ સુધી પહોંચે છે. જ્યારે પ્રકાશ તેના પરથી અરીસાની ધાર પર અથડાઈને ઉભેલા માણસ $M_2$ સુધી પહોંચે ત્યારે ગતિ કરતા માણસ $M_1$ ના સ્થાન શોધવાની જરૂર છે.
ધારો કે $M_1$ ની ગતિની રેખા અરીસાઓના સમતલથી $2L$ અંતરે છે. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ અરીસાની ધાર $E, F, G, H$ છે. અવલોકનકાર $O$ અરીસાઓ વચ્ચેની જગ્યાથી $L$ અંતરે છે.
ઉપરના અરીસા (ધાર $E$ અને $G$) માટે સમાન ત્રિકોણનો ઉપયોગ કરતા:
ધાર $E$ માટે ($O$ ની નજીક): $O$ માંથી પસાર થતી અરીસાઓને સમાંતર રેખાથી $M_1$ નું અંતર $x_E$ છે. સમાન ત્રિકોણ દ્વારા,$\frac{x_E}{L} = \frac{2L}{L} \implies x_E = 2L$.
ધાર $G$ માટે ($O$ થી દૂર): $O$ માંથી પસાર થતી રેખાથી $M_1$ નું અંતર $x_G$ છે. સમાન ત્રિકોણ દ્વારા,$\frac{x_G}{L+L} = \frac{2L}{L} \implies x_G = 4L$.
ઉપરના અરીસા દ્વારા દ્રશ્યમાન પથની લંબાઈ $AB = x_G - x_E = 4L - 2L = 2L$ છે.
તે જ રીતે,નીચેના અરીસા માટે,દ્રશ્યમાન પથની લંબાઈ $CD$ પણ $2L$ છે.
કુલ દ્રશ્યમાન લંબાઈ $= AB + CD = 2L + 2L = 4L$.
કુલ સમય $t = \frac{\text{કુલ અંતર}}{u} = \frac{4L}{u}$.

(D) $m$ દળના ડાબી બાજુના બ્લોક માટે,કુલ ખેંચાણ બળ $3mg$ છે અને સિસ્ટમનું કુલ દળ $(m + 3m) = 4m$ છે. તેથી,ડાબી બાજુના બ્લોકનો પ્રવેગ $a_1 = \frac{3mg}{4m} = \frac{3}{4}g$ છે.
અરીસો (બાજુ $AB$) પદાર્થ $O$ તરફ $a_1$ પ્રવેગથી ગતિ કરે છે,તેથી આ અરીસા દ્વારા બનતું પ્રતિબિંબ $a_{I_1} = 2a_1 = 2 \times \frac{3}{4}g = \frac{3}{2}g$ પ્રવેગથી પદાર્થ તરફ ગતિ કરશે.
$m$ દળના જમણી બાજુના બ્લોક માટે,કુલ ખેંચાણ બળ $2mg$ છે અને સિસ્ટમનું કુલ દળ $(m + 2m) = 3m$ છે. તેથી,જમણી બાજુના બ્લોકનો પ્રવેગ $a_2 = \frac{2mg}{3m} = \frac{2}{3}g$ છે.
અરીસો (બાજુ $CD$) પદાર્થ $O$ થી દૂર $a_2$ પ્રવેગથી ગતિ કરે છે,તેથી આ અરીસા દ્વારા બનતું પ્રતિબિંબ $a_{I_2} = 2a_2 = 2 \times \frac{2}{3}g = \frac{4}{3}g$ પ્રવેગથી પદાર્થથી દૂર ગતિ કરશે.
બંને પ્રતિબિંબો પદાર્થની સાપેક્ષે વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરી રહ્યા હોવાથી,તેમનો સાપેક્ષ પ્રવેગ $a_{rel} = a_{I_1} + a_{I_2} = \frac{3}{2}g + \frac{4}{3}g = \frac{9g + 8g}{6} = \frac{17}{6}g$ થશે.

(B) ધારો કે વસ્તુનો વેગ $\vec{v}_o = V \hat{j}$ છે.
અરીસા $(2)$ માટે,જે શિરોલંબ છે,પ્રતિબિંબનો વેગ $\vec{v}_{I_2}$ એ વસ્તુના વેગનું અરીસાની સપાટી પર પરાવર્તન કરીને મળે છે. અરીસો સ્થિર હોવાથી,$\vec{v}_{I_2} = -V \hat{i} + V \hat{j}$ મળે.
અરીસા $(1)$ માટે,જે શિરોલંબ સાથે $\beta$ ખૂણે છે,તેનો લંબ સદિશ $\hat{n} = \sin \beta \hat{i} + \cos \beta \hat{j}$ છે. પ્રતિબિંબનો વેગ $\vec{v}_{I_1} = \vec{v}_o - 2(\vec{v}_o \cdot \hat{n})\hat{n}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
ડોટ ગુણાકાર ગણતા: $\vec{v}_o \cdot \hat{n} = (V \hat{j}) \cdot (\sin \beta \hat{i} + \cos \beta \hat{j}) = V \cos \beta$.
તેથી,$\vec{v}_{I_1} = V \hat{j} - 2(V \cos \beta)(\sin \beta \hat{i} + \cos \beta \hat{j}) = -2V \sin \beta \cos \beta \hat{i} + V(1 - 2 \cos^2 \beta) \hat{j} = -V \sin 2\beta \hat{i} - V \cos 2\beta \hat{j}$.
સાપેક્ષ વેગ $\vec{v}_{I_1/I_2} = \vec{v}_{I_1} - \vec{v}_{I_2} = (-V \sin 2\beta \hat{i} - V \cos 2\beta \hat{j}) - (-V \hat{i} + V \hat{j}) = V(1 - \sin 2\beta) \hat{i} - V(1 + \cos 2\beta) \hat{j}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $2V \sin \beta$ છે.

(A) $1$. સમતલ અરીસા $M_1$ દ્વારા બનતું પ્રતિબિંબ અરીસા $M_1$ ની પાછળ $x$ અંતરે મળે છે. $M_1$ અને $M_2$ વચ્ચેનું અંતર $y$ હોવાથી,$M_1$ દ્વારા બનતું પ્રતિબિંબ બહિર્ગોળ અરીસા $M_2$ ની સામે $(x + y)$ અંતરે હશે. તેથી,$M_2$ માટે વસ્તુ અંતર $u = -(x + y)$ થશે.
$2$. બહિર્ગોળ અરીસા $M_2$ દ્વારા બનતું પ્રતિબિંબ $M_1$ દ્વારા બનતા પ્રતિબિંબના સ્થાને જ મળે છે. $M_1$ દ્વારા બનતું પ્રતિબિંબ $M_1$ ની પાછળ $x$ અંતરે છે,જે $M_2$ ની પાછળ $(y - x)$ અંતરે (અથવા $M_2$ ની સામે $(x - y)$ અંતરે) છે. તેથી,$M_2$ માટે પ્રતિબિંબ અંતર $v = +(x - y)$ થશે.
$3$. અરીસાના સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $f$ એ બહિર્ગોળ અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈ છે:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{x - y} + \frac{1}{-(x + y)}$
$\frac{1}{f} = \frac{1}{x - y} - \frac{1}{x + y}$
$\frac{1}{f} = \frac{(x + y) - (x - y)}{(x - y)(x + y)}$
$\frac{1}{f} = \frac{2y}{x^2 - y^2}$
$f = \frac{x^2 - y^2}{2y}$

(B) વસ્તુ અને સમતલ અરીસા વચ્ચેનું અંતર $30 \ cm$ છે,એટલે કે સમતલ અરીસા અને બહિર્ગોળ અરીસા વચ્ચેનું અંતર $20 \ cm$ છે. તેથી બહિર્ગોળ અરીસા માટે પ્રતિબિંબ અંતર $10 \ cm$ મળે છે.
બહિર્ગોળ અરીસા માટે,$u = -50 \ cm$ અને $v = +10 \ cm$.
ધારો કે $f$ એ કેન્દ્રલંબાઈ છે.
$\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$
$\frac{1}{10} - \frac{1}{50} = \frac{1}{f}$
$\frac{5-1}{50} = \frac{1}{f} \implies f = \frac{50}{4} = 12.5 \ cm$.
વક્રતા ત્રિજ્યા $R = 2f = 2 \times 12.5 = 25 \ cm$.

(A) ધારો કે પદાર્થ $O$ એ સમતલ અરીસા $M_1$ તરફ $v$ વેગથી ગતિ કરે છે. સમતલ અરીસા $M_1$ દ્વારા રચાતું પ્રતિબિંબ $O'$ પણ અંતર્ગોળ અરીસા $M_2$ તરફ $v$ વેગથી ગતિ કરશે.
હવે,$O'$ એ અંતર્ગોળ અરીસા $M_2$ માટે પદાર્થ તરીકે કાર્ય કરે છે. અંતર્ગોળ અરીસા દ્વારા રચાતા પ્રતિબિંબ $I$ નો વેગ $v_I = -m^2 v_O$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ મોટવણી છે અને $v_O$ એ અરીસા $M_2$ ની સાપેક્ષમાં પદાર્થ $O'$ નો વેગ છે.
જેহেতু પદાર્થ $O'$ અંતર્ગોળ અરીસા $M_2$ તરફ ગતિ કરી રહ્યો છે,તેનો વેગ $v_O$ ડાબી તરફની દિશામાં છે. આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,પ્રતિબિંબ $I$ નો વેગ જમણી તરફની દિશામાં મળશે.

(D) ધારો કે બિંદુવત સ્ત્રોતનો પાવર $P$ છે.
જ્યારે અરીસો દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે સ્ત્રોતમાંથી પ્રકાશ સીધો $d = 60\, cm$ અંતરે રહેલા પડદા પર પડે છે. તીવ્રતા $I_1 = \frac{P}{4\pi d^2} = \frac{P}{4\pi (60)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે અરીસો હાજર હોય છે,ત્યારે પ્રકાશ પડદા પર બે રીતે પહોંચે છે:
$1$. સ્ત્રોતમાંથી સીધો: $I_{direct} = \frac{P}{4\pi (60)^2}$.
$2$. અરીસા દ્વારા પરાવર્તિત: સ્ત્રોત મુખ્ય કેન્દ્ર $(f = 20\, cm)$ પર હોવાથી,પરાવર્તિત કિરણો મુખ્ય અક્ષને સમાંતર હોય છે. આ કિરણો અરીસાના મુખ (aperture) જેટલી ત્રિજ્યા ધરાવતો બીમ બનાવે છે. ધારો કે અરીસાના મુખની ત્રિજ્યા $h$ છે,તો પરાવર્તિત પ્રકાશ $\pi h^2$ ક્ષેત્રફળ પર કેન્દ્રિત થાય છે. પરાવર્તિત પ્રકાશની તીવ્રતા $I_{reflected} = \frac{P}{4\pi h^2}$ છે.
ભૂમિતિ મુજબ,નાના ખૂણાઓ માટે $\tan \theta = \frac{h}{20} \approx \theta$. તેમજ,સીધા માર્ગ માટે,$\tan \theta = \frac{h}{60}$.
તીવ્રતાનો ગુણોત્તર લેતા: $I_{total} = I_{direct} + I_{reflected} = \frac{P}{4\pi (60)^2} + \frac{P}{4\pi (20)^2}$.
ગુણોત્તર $\frac{I_{total}}{I_1} = \frac{\frac{P}{4\pi (60)^2} + \frac{P}{4\pi (20)^2}}{\frac{P}{4\pi (60)^2}} = 1 + \frac{(60)^2}{(20)^2} = 1 + 3^2 = 1 + 9 = 10$.
આમ,ગુણોત્તર $10 : 1$ છે.

(B) આપાત કિરણનો સદિશ $\vec{v}_i = -\hat{i} - 2\hat{j}$ છે. આપાત કિરણનો એકમ સદિશ $\hat{r}_i = \frac{-\hat{i} - 2\hat{j}}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{-\hat{i} - 2\hat{j}}{\sqrt{5}}$ છે.
આંતર સપાટી ($x-z$ સમતલ) ને લંબ સદિશ $y$-અક્ષની દિશામાં છે. લંબ સદિશ $\hat{n} = -\hat{j}$ લો.
આપાતકોણ $i$ માટે,$\cos i = |\hat{r}_i \cdot \hat{n}| = |(-\frac{1}{\sqrt{5}}\hat{i} - \frac{2}{\sqrt{5}}\hat{j}) \cdot (-\hat{j})| = \frac{2}{\sqrt{5}}$.
તેથી,$\sin i = \sqrt{1 - \cos^2 i} = \sqrt{1 - \frac{4}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
સ્નેલના નિયમ મુજબ,$\mu_1 \sin i = \mu_2 \sin r$:
$2 \times \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{2} \sin r \implies \sin r = \frac{4}{5}$.
તેથી,$\cos r = \sqrt{1 - \sin^2 r} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \frac{3}{5}$.
વક્રીભૂત કિરણનો સદિશ $\vec{v}_r$ આપાત કિરણ અને લંબના સમતલમાં જ રહે છે. આપાત કિરણનો $z$-ઘટક શૂન્ય હોવાથી,વક્રીભૂત કિરણનો પણ $z$-ઘટક શૂન્ય હશે. ધારો કે $\vec{v}_r = a\hat{i} + b\hat{j}$.
સપાટી પર વક્રીભવન દરમિયાન સદિશનો સ્પર્શક ઘટક જળવાઈ રહે છે. આપાત સદિશનો $x$-ઘટક $-1/\sqrt{5}$ છે. વક્રીભૂત એકમ સદિશનો $x$-ઘટક $\sin r \cdot (\text{દિશા}) = \frac{4}{5} \cdot (-1) = -4/5$ થશે.
$y$-ઘટક $-\cos r = -3/5$ છે.
આમ,એકમ સદિશ $\hat{r}_r = -\frac{4}{5}\hat{i} - \frac{3}{5}\hat{j} = \frac{-4\hat{i} - 3\hat{j}}{5}$ છે.

(D) અંતર્ગોળ અરીસા માટે,જ્યારે વસ્તુ વક્રતા કેન્દ્ર પર મૂકવામાં આવે ત્યારે પ્રતિબિંબનું સ્થાન વસ્તુ સાથે એકરૂપ થાય છે. તેથી,વક્રતા ત્રિજ્યા $R = 0.5\, m$ છે.
જ્યારે અરીસાને પ્રવાહીમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે વસ્તુ (પિન) માંથી આવતો પ્રકાશ અરીસા સુધી પહોંચવા માટે પ્રવાહીમાંથી પસાર થાય છે. પ્રતિબિંબ વસ્તુ સાથે એકરૂપ થાય તે માટે અરીસા દ્વારા જોવામાં આવતી વસ્તુની આભાસી ઊંડાઈ વક્રતા ત્રિજ્યા $R = 0.5\, m$ જેટલી હોવી જોઈએ.
પિનને અરીસાથી $0.4\, m$ ના અંતરે મૂકવામાં આવે છે. આ અંતરમાં $0.2\, m$ હવા અને $0.2\, m$ પ્રવાહીનો સમાવેશ થાય છે.
અરીસાથી વસ્તુનું આભાસી અંતર $d_{app}$ એ હવામાં વાસ્તવિક અંતર અને પ્રવાહીમાં આભાસી અંતરના સરવાળા દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$d_{app} = 0.2\, m + \mu(0.2\, m) = 0.5\, m$
$0.2\mu = 0.5 - 0.2 = 0.3$
$\mu = \frac{0.3}{0.2} = 1.5 = 3/2$.

(D) જ્યારે અરીસાને પાણીથી ભરવામાં આવે છે,ત્યારે $C$ પર રહેલી વસ્તુમાંથી આવતા પ્રકાશના કિરણો અરીસાની સપાટી પર પહોંચતા પહેલા પાણી-હવાની સપાટી પર વક્રીભવન પામે છે. વક્રીભવનને કારણે,વસ્તુનું આભાસી સ્થાન ઉપરની તરફ $C^{\prime}$ પર ખસે છે,જ્યાં $OC^{\prime} = R\mu$ (જ્યાં $\mu$ એ પાણીનો વક્રીભવનાંક છે).
વસ્તુ અરીસાથી $R$ કરતા વધારે અંતરે હોવાથી,અરીસો વક્રતા કેન્દ્ર $C$ અને મુખ્ય કેન્દ્ર $F$ ની વચ્ચે વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ $I^{\prime}$ બનાવે છે.
જ્યારે પરાવર્તિત કિરણો પાછા ફરે છે,ત્યારે તેઓ ફરીથી પાણી-હવાની સપાટી પર વક્રીભવન પામે છે. આ બીજા વક્રીભવનને કારણે કિરણો વધુ વળે છે,જેનાથી અંતિમ પ્રતિબિંબ $I$ નીચેની તરફ ધ્રુવ $O$ ની નજીક ખસે છે.
આમ,અંતિમ પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક છે અને તે $C$ અને $O$ ની વચ્ચેના કોઈ બિંદુ પર સ્થિત છે.

(D) પક્ષી તળિયેથી $3h$ ઊંચાઈ પર છે. પાણીનું સ્તર $h$ ઊંચાઈ પર છે. પાણીની સપાટીથી પક્ષીનું અંતર $d = 3h - h = 2h$ છે.
પ્રથમ,પક્ષીમાંથી આવતો પ્રકાશ પાણીમાં વક્રીભવન પામે છે. પાણીની અંદરથી જોતા પક્ષીની આભાસી ઊંડાઈ $d' = \mu \times d = (4/3) \times 2h = 8h/3$ છે.
આ આભાસી વસ્તુનું ચાંદીના તળિયેથી કુલ અંતર $H = h + 8h/3 = 11h/3$ છે.
અરીસો તળિયેથી $H = 11h/3$ અંતરે પાછળ (તળિયેથી નીચે) પ્રતિબિંબ બનાવે છે.
આ પ્રતિબિંબ પાણીની સપાટી પર વક્રીભવન માટે વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે. સપાટીથી આ વસ્તુનું અંતર $H' = H + h = 11h/3 + h = 14h/3$ છે.
પક્ષી દ્વારા જોવામાં આવતું અંતિમ આભાસી સ્થાન $y = H' / \mu = (14h/3) / (4/3) = 14h/4 = 3.5h$ છે.
જેમ કે પાણીનું સ્તર $h$ એ $dh/dt = -1\, cm/s$ ના દરે બદલાય છે,આપણે $y$ નું સમયની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$dy/dt = d/dt(3.5h) = 3.5 \times (dh/dt) = 3.5 \times (-1) = -3.5\, cm/s$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે પ્રતિબિંબ $3.5\, cm/s$ ની ઝડપે નીચેની તરફ ગતિ કરે છે.

(A) ધારો કે કાચ-હવા આંતરપૃષ્ઠ પર આપાતકોણ $\alpha$ છે. સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$n_1 \sin \alpha = 1 \times \sin \theta$ (જ્યાં હવાનો વક્રીભવનાંક $1$ છે).
તેથી,$\sin \theta = n_1 \sin \alpha$ --- $(1)$
હવે,કાચ-પાણી આંતરપૃષ્ઠ પર આપાતકોણ $(90^\circ - \alpha)$ થશે.
પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન $(TIR)$ માટે,આપાતકોણ ક્રાંતિકોણ $(C)$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ. તેથી,$(90^\circ - \alpha) \geq C$.
ક્રાંતિકોણની સ્થિતિ માટે,$\sin C = \frac{n_2}{n_1}$.
કારણ કે $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha$,તેથી $\cos \alpha \geq \frac{n_2}{n_1}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha \leq 1 - (\frac{n_2}{n_1})^2 = \frac{n_1^2 - n_2^2}{n_1^2}$.
તેથી,$\sin \alpha \leq \frac{\sqrt{n_1^2 - n_2^2}}{n_1}$.
સમીકરણ $(1)$ માં કિંમત મૂકતા,$\sin \theta = n_1 \sin \alpha \leq n_1 \left( \frac{\sqrt{n_1^2 - n_2^2}}{n_1} \right) = \sqrt{n_1^2 - n_2^2}$.
તેથી,$\sin \theta < \sqrt{n_1^2 - n_2^2}$.

(C) $1$. પ્રથમ સપાટી (હવામાંથી પાણીમાં) પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા: $1 \times \sin 53^o = (4/3) \times \sin r$.
$2$. આપેલ છે કે $\sin 53^o = 0.8 = 4/5$,તેથી $(4/5) = (4/3) \sin r$,જે આપે છે $\sin r = 3/5 = 0.6$,એટલે કે $r = 37^o$.
$3$. પ્રથમ વક્રીભવન પર વિચલન $\delta_1 = i - r = 53^o - 37^o = 16^o$ (ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં) છે.
$4$. પાછળની સપાટી પર,કિરણ પરાવર્તિત થાય છે. આપાતકોણ $r = 37^o$ છે,અને પરાવર્તન કોણ પણ $37^o$ છે. પરાવર્તન પર વિચલન $\delta_2 = 180^o - 2r = 180^o - 2(37^o) = 180^o - 74^o = 106^o$ (ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં) છે.
$5$. બીજા વક્રીભવન પર (પાણીમાંથી હવામાં),આપાતકોણ $r = 37^o$ છે,અને નિર્ગમન કોણ $i = 53^o$ છે. વિચલન $\delta_3 = i - r = 53^o - 37^o = 16^o$ (ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં) છે.
$6$. કુલ વિચલન $\delta_{net} = \delta_1 + \delta_2 + \delta_3 = 16^o + 106^o + 16^o = 138^o$.

(D) આપેલ છે: વક્રીભવનાંક $\mu = 1.5$,ત્રિજ્યા $R = 40\,cm$.
પગલું $1$: પ્રથમ સપાટી પર વક્રીભવન.
સૂત્ર $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = \infty$,$\mu_1 = 1$,$\mu_2 = 1.5$,અને $R = +40\,cm$.
$\frac{1.5}{v} - \frac{1}{\infty} = \frac{1.5 - 1}{40} \Rightarrow v = 120\,cm$.
પગલું $2$: પાછળની સપાટી પર પરાવર્તન.
અરીસા માટે વસ્તુ અંતર $u' = -(120 - 40) = -80\,cm$ (અરીસાની સામે).
અરીસાના સૂત્ર $\frac{1}{v'} + \frac{1}{u'} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $f = -20\,cm$.
$\frac{1}{v'} + \frac{1}{-80} = \frac{1}{-20} \Rightarrow \frac{1}{v'} = -\frac{1}{20} + \frac{1}{80} = -\frac{3}{80} \Rightarrow v' = -80/3\,cm$.
પગલું $3$: ફરીથી પ્રથમ સપાટી પર વક્રીભવન.
અહીં વસ્તુ અંતર $u'' = -(40 - 80/3) = -40/3\,cm$ (કેન્દ્રથી).
સૂત્ર $\frac{\mu_2}{v''} - \frac{\mu_1}{u''} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$ નો ઉપયોગ કરતા,અંતિમ પ્રતિબિંબ કેન્દ્રની ડાબી બાજુએ $60\,cm$ અંતરે મળે છે.

(B) પ્રતિબિંબ વસ્તુ પર સંપાત થાય તે માટે,પ્રકાશના કિરણો બહિર્ગોળ અરીસા પર લંબરૂપે આપાત થવા જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે કિરણો અરીસાના વક્રતા કેન્દ્ર તરફ નિર્દેશિત હોવા જોઈએ.
પ્રથમ,આપણે લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને બહિર્ગોળ લેન્સ દ્વારા બનતા પ્રતિબિંબનું સ્થાન શોધીએ: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$.
આપેલ છે: $f = +10\,cm$,$u = -15\,cm$.
$\frac{1}{v} = \frac{1}{10} + \frac{1}{-15} = \frac{3-2}{30} = \frac{1}{30}$.
તેથી,$v = +30\,cm$.
આનો અર્થ એ છે કે લેન્સ લેન્સથી $30\,cm$ ના અંતરે પ્રતિબિંબ બનાવે છે.
બહિર્ગોળ અરીસો લેન્સના મુખ્ય કેન્દ્ર પર મૂકવામાં આવ્યો છે,જે લેન્સથી $10\,cm$ દૂર છે. લેન્સ અને અરીસા વચ્ચેનું અંતર $d = 10\,cm$ છે.
લેન્સ દ્વારા બનેલા પ્રતિબિંબનું અરીસાથી અંતર $MI = v - d = 30\,cm - 10\,cm = 20\,cm$ છે.
કિરણોએ તેમનો માર્ગ પાછો મેળવવા માટે અરીસા પર લંબરૂપે અથડાવું જોઈએ,તેથી બિંદુ $I$ એ બહિર્ગોળ અરીસાનું વક્રતા કેન્દ્ર હોવું જોઈએ.
તેથી,વક્રતા ત્રિજ્યા $R = MI = 20\,cm$.
અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈ $f_m = \frac{R}{2} = \frac{20}{2} = 10\,cm$ છે.

(A) જ્યારે અભિસારી લેન્સના નીચેના અડધા ભાગને અપારદર્શક કાર્ડ વડે ઢાંકવામાં આવે છે,ત્યારે વસ્તુમાંથી આવતા પ્રકાશના કિરણો હજુ પણ લેન્સના ઉપરના અડધા ભાગમાંથી પસાર થઈ શકે છે.
વસ્તુના દરેક બિંદુમાંથી પ્રકાશના કિરણો લેન્સના તમામ ભાગો પર જાય છે,તેથી લેન્સનો ઉપરનો અડધો ભાગ સ્ક્રીન પર વસ્તુની સંપૂર્ણ છબી બનાવવા માટે પૂરતો છે.
જોકે,પ્રકાશનો અમુક ભાગ અવરોધાય છે,તેથી છબી બનાવતા પ્રકાશની તીવ્રતા ઘટે છે,જેનાથી છબી ઝાંખી બને છે.
તેથી,આખી છબી દેખાય છે,પરંતુ તે ઓછી તેજસ્વી બને છે. આપેલા વિકલ્પોમાંથી,જે છબી સંપૂર્ણ વસ્તુને દર્શાવે છે (ભલે તે ઝાંખી હોય) તે સાચો વિકલ્પ છે.

(D) શરૂઆતમાં, પદાર્થ મુખ્ય કેન્દ્ર પર છે $(u = -f)$. જેમ લેન્સ જમણી તરફ ગતિ કરે છે, તેમ પદાર્થનું અંતર $u$ અસરકારક રીતે કેન્દ્રલંબાઈ $f$ કરતા વધી જાય છે (મૂલ્યમાં)।
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ મુજબ, જેમ $u$ નું મૂલ્ય $-f$ થી બદલાઈને $-f$ કરતા થોડું ઓછું થાય છે, તેમ પ્રતિબિંબ $v$ અનંત $(\infty)$ થી લેન્સ તરફ (એટલે કે ડાબી તરફ) ગતિ કરે છે।
જેમ લેન્સ ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખે છે, તેમ પદાર્થ અંતે મુખ્ય કેન્દ્ર અને પ્રકાશીય કેન્દ્રની વચ્ચેના વિસ્તારમાં $(|u| < f)$ આવી જાય છે। આ વિસ્તારમાં, પદાર્થની બાજુએ જ આભાસી પ્રતિબિંબ રચાય છે। જેમ લેન્સ વધુ જમણી તરફ જાય છે, તેમ આભાસી પ્રતિબિંબ પણ લેન્સની દિશામાં (એટલે કે જમણી તરફ) ગતિ કરે છે।
તેથી, પ્રતિબિંબ પહેલા ડાબી તરફ અને પછી જમણી તરફ ગતિ કરશે।