Mix Examples-Ray Optics Questions in Gujarati

(C) $1$. બિંદુ $P$ માંથી આવતો પ્રકાશ પ્રિઝમમાં પ્રવેશે છે. પ્રિઝમની અંદરથી જોતા $P$ ની આભાસી ઊંડાઈ $h' = \mu h = 2h$ છે. લંબવત પથ પર સિલ્વર કરેલી સપાટીથી વસ્તુનું કુલ અંતર $d_1 = 2h + x$ છે,જ્યાં $x$ એ ઉપરની સપાટીથી કર્ણ પરના બિંદુ સુધીનું અંતર છે.
$2$. સિલ્વર કરેલી કર્ણ સપાટી સમતલ અરીસા તરીકે વર્તે છે. પ્રતિબિંબ $I$ અરીસાની પાછળ $d_1 = 2h + x$ અંતરે રચાય છે.
$3$. આ પ્રતિબિંબ $I$ પ્રિઝમની ઊભી સપાટી પર વક્રીભવન માટે વસ્તુ તરીકે વર્તે છે. ઊભી સપાટીથી $I$ નું અંતર $d_1 + y = 2h + x + y$ છે,જ્યાં $y$ એ કર્ણ પરના બિંદુથી ઊભી સપાટી સુધીનું અંતર છે. $45^{\circ}-45^{\circ}-90^{\circ}$ પ્રિઝમની ભૂમિતિ મુજબ,$x + y = 10 \,cm$.
$4$. પ્રિઝમની બહારથી જોતા પ્રતિબિંબ $I$ નું આભાસી અંતર $d_{out} = \frac{d_1 + y}{\mu} = \frac{2h + 10}{2} = h + 5$ છે.
$5$. આ પ્રતિબિંબ બહિર્ગોળ લેન્સથી $u = -(h + 5 + 15) = -(h + 20) \,cm$ અંતરે છે. લેન્સ દીવાલ પર $v = +15 \,cm$ પર પ્રતિબિંબ રચે છે. લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{15} - \frac{1}{-(h + 20)} = \frac{1}{10}$
$\frac{1}{h + 20} = \frac{1}{10} - \frac{1}{15} = \frac{1}{30}$
$h + 20 = 30 \implies h = 10 \,cm$.

(C) પરાવર્તનના નિયમો અનુસાર,આપાત કિરણ,પરાવર્તિત કિરણ અને આપાત બિંદુએ દોરેલો લંબ ત્રણેય એક જ સમતલમાં હોય છે.
અહીં $\hat{n}_1$,$\hat{n}_2$ અને $\hat{n}_3$ એ અનુક્રમે આપાત કિરણ,લંબ અને પરાવર્તિત કિરણની દિશામાં એકમ સદિશો હોવાથી,તેઓ એક જ સમતલમાં આવેલા સદિશો છે.
કોઈપણ ત્રણ સમતલીય સદિશો માટે,તેમનો અદિશ ત્રિગુણક (scalar triple product) શૂન્ય થાય છે.
અદિશ ત્રિગુણકની વ્યાખ્યા મુજબ,સમતલીય સદિશો માટે $(\vec{A} \times \vec{B}) \cdot \vec{C} = 0$ થાય.
તેથી,$(\hat{n}_1 \times \hat{n}_2) \cdot \hat{n}_3 = 0$ સાચું હોવું જોઈએ.

(D) વિધાન $A$ સાચું છે: વસ્તુઓનું ધ્રૂજવું એ ગરમીને કારણે હવાની ઘનતામાં થતા અનિયમિત ફેરફારને લીધે થતા વાતાવરણીય વક્રીભવનને કારણે છે.
વિધાન $B$ સાચું છે: ક્ષિતિજની નજીક ચંદ્રનું મોટું દેખાવું એ એક જાણીતો દ્રષ્ટિભ્રમ છે.
વિધાન $C$ સાચું છે: પ્રિઝમ માટે,જો પ્રિઝમનો કોણ $A > 2 \theta_c$ હોય,તો બીજા ફલક પર આપાત થતું પ્રકાશનું કિરણ ક્રાંતિકોણ કરતા મોટા ખૂણે આપાત થશે,જેના પરિણામે પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થશે અને કોઈ નિર્ગમન કિરણ મળશે નહીં.
તેથી,આપેલા તમામ વિધાનો સાચા છે.

(B) સાચો વિકલ્પ $B$ છે.
ટેલિસ્કોપનો ઉપયોગ મુખ્યત્વે દૂરની વસ્તુઓને રિઝોલ્વ કરવા માટે થાય છે જે નરી આંખે એક બિંદુ તરીકે દેખાય છે અથવા જેમને અલગ પાડી શકાતી નથી. કોણીય કદ વધારીને અને વધુ પ્રકાશ એકત્રિત કરીને,તે આપણને દૂરની વસ્તુઓની વિગતોને રિઝોલ્વ કરવામાં મદદ કરે છે.
માઈક્રોસ્કોપનો ઉપયોગ મુખ્યત્વે ખૂબ જ નાની વસ્તુઓને મોટી કરવા માટે થાય છે જે નિરીક્ષકની નજીક હોય છે,જેથી તે વસ્તુઓ મોટી દેખાય અને તેની વિગતો સ્પષ્ટપણે જોઈ શકાય.

(B) આપેલ છે: બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f = 10\,cm$. લેન્સથી અરીસાનું અંતર $= 20\,cm$. અંતિમ પ્રતિબિંબ અરીસાની પાછળ $5\,cm$ અંતરે મળે છે.
અરીસા દ્વારા રચાતું પ્રતિબિંબ અરીસાની પાછળ $5\,cm$ અંતરે છે. આનો અર્થ એ છે કે અરીસા માટેની વસ્તુ (જે લેન્સ દ્વારા રચાતું પ્રતિબિંબ $I_1$ છે) અરીસાની આગળ $5\,cm$ અંતરે હોવી જોઈએ.
અરીસો લેન્સથી $20\,cm$ અંતરે હોવાથી,લેન્સ દ્વારા રચાતું પ્રતિબિંબ $I_1$ લેન્સથી $v = 20\,cm - 5\,cm = 15\,cm$ અંતરે છે.
લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{15} - \frac{1}{-u} = \frac{1}{10}$
$\frac{1}{15} + \frac{1}{u} = \frac{1}{10}$
$\frac{1}{u} = \frac{1}{10} - \frac{1}{15} = \frac{3 - 2}{30} = \frac{1}{30}$
તેથી,$u = 30\,cm$. આમ,વસ્તુ લેન્સથી $30\,cm$ અંતરે મૂકવામાં આવી છે.

(D) અરીસાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
અહીં $u = -40\,cm$ અને $v = -120\,cm$ (અભિસારી અરીસા દ્વારા રચાતા વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ માટે).
$\frac{1}{-120} + \frac{1}{-40} = \frac{1}{f} \implies \frac{-1-3}{120} = \frac{1}{f} \implies f = -30\,cm$.
માપપટ્ટીનું લઘુત્તમ માપ $(LC)$ = $\frac{1}{20}\,cm = 0.05\,cm$. તેથી,$du = dv = 0.05\,cm$.
અરીસાના સૂત્રનું વિકલન કરતા: $-\frac{dv}{v^2} - \frac{du}{u^2} = -\frac{df}{f^2}$.
ત્રુટિની ગણતરી માટે માન લેતા: $|df| = f^2 \left( \frac{|dv|}{v^2} + \frac{|du|}{u^2} \right)$.
$|df| = (30)^2 \left( \frac{1/20}{120^2} + \frac{1/20}{40^2} \right) = 900 \times \frac{1}{20} \left( \frac{1}{14400} + \frac{1}{1600} \right)$.
$|df| = 45 \left( \frac{1 + 9}{14400} \right) = 45 \times \frac{10}{14400} = \frac{450}{14400} = \frac{45}{1440} = \frac{1}{32}\,cm$.
$1/K$ સાથે સરખાવતા,આપણને $K = 32$ મળે છે.

(C) પ્રાથમિક મેઘધનુષ વરસાદના ટીપાંની અંદર સૂર્યપ્રકાશના એકલ આંતરિક પરાવર્તન દ્વારા રચાય છે,અને તે $40^{\circ}$ થી $42^{\circ}$ ના કોણીય વિસ્તારમાં દેખાય છે.
ગૌણ મેઘધનુષ વરસાદના ટીપાંની અંદર સૂર્યપ્રકાશના બેવડા આંતરિક પરાવર્તન દ્વારા રચાય છે,અને તે $51^{\circ}$ થી $54^{\circ}$ ના કોણીય વિસ્તારમાં દેખાય છે.
ગૌણ મેઘધનુષની કોણીય ત્રિજ્યા મોટી હોવાથી,તે હંમેશા પ્રાથમિક મેઘધનુષની ઉપર રચાય છે.

(C) લઘુત્તમ માપશક્તિ $\Delta x = 0.2\,cm$.
વસ્તુ અંતર $u = (100 \pm 0.2) - (80 \pm 0.2) = (20 \pm 0.4)\,cm$.
પ્રતિબિંબ અંતર $v = (180 \pm 0.2) - (100 \pm 0.2) = (80 \pm 0.4)\,cm$.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ નો ઉપયોગ કરતા, $\frac{1}{f} = \frac{1}{80} - \frac{1}{-20} = \frac{1+4}{80} = \frac{5}{80} = \frac{1}{16}$.
તેથી, $f = 16\,cm$.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ નું વિકલન કરતા, આપણને $\frac{\Delta f}{f^2} = \frac{\Delta v}{v^2} + \frac{\Delta u}{u^2}$ મળે છે.
કેન્દ્રલંબાઈમાં પ્રતિશત ભૂલ $\frac{\Delta f}{f} \times 100 = \left( \frac{\Delta v}{v^2} + \frac{\Delta u}{u^2} \right) \times f \times 100$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\% \text{ભૂલ} = \left( \frac{0.4}{80^2} + \frac{0.4}{20^2} \right) \times 16 \times 100$.
$\% \text{ભૂલ} = \left( \frac{0.4}{6400} + \frac{0.4}{400} \right) \times 1600 = \left( \frac{0.4}{4} + \frac{0.4}{64} \right) \times 16 = (0.1 + 0.00625) \times 16 = 1.6 + 0.1 = 1.70\%$.

(D) (અંતર્ગોળ અરીસો) માટે: તે વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ (જ્યારે પદાર્થ $F$ ની બહાર હોય), આભાસી પ્રતિબિંબ (જ્યારે પદાર્થ $P$ અને $F$ ની વચ્ચે હોય), મોટું પ્રતિબિંબ (જ્યારે પદાર્થ $P$ અને $2F$ ની વચ્ચે હોય), અને અનંત અંતરે પ્રતિબિંબ (જ્યારે પદાર્થ $F$ પર હોય) રચી શકે છે। તેથી, $A \rightarrow p, q, r, s$.
$B$ (બહિર્ગોળ અરીસો) માટે: તે હંમેશા આભાસી પ્રતિબિંબ રચે છે। પ્રતિબિંબ નાનું હોય છે, તેથી તે મોટું હોઈ શકતું નથી। જો પદાર્થ $F$ પર હોય તો તે અનંત અંતરે પ્રતિબિંબ રચી શકે છે। તેથી, $B \rightarrow q, s$.
$C$ (બહિર્ગોળ લેન્સ) માટે: તે વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ (જ્યારે પદાર્થ $F$ ની બહાર હોય), આભાસી પ્રતિબિંબ (જ્યારે પદાર્થ $O$ અને $F$ ની વચ્ચે હોય), મોટું પ્રતિબિંબ (જ્યારે પદાર્થ $O$ અને $2F$ ની વચ્ચે હોય), અને અનંત અંતરે પ્રતિબિંબ (જ્યારે પદાર્થ $F$ પર હોય) રચી શકે છે। તેથી, $C \rightarrow p, q, r, s$.
$D$ (અંતર્ગોળ લેન્સ) માટે: તે હંમેશા આભાસી પ્રતિબિંબ રચે છે। પ્રતિબિંબ હંમેશા નાનું હોય છે, તેથી તે મોટું હોઈ શકતું નથી। જો પદાર્થ $F$ પર હોય તો તે અનંત અંતરે પ્રતિબિંબ રચી શકે છે। તેથી, $D \rightarrow q, s$.

(B) વક્રીભવનના કિસ્સામાં,મોટવણી $m = -v/u = 2$. વસ્તુ વાસ્તવિક હોવાથી,$u = -30 \ cm$,તેથી $v = -2u = 60 \ cm$. લેન્સના સૂત્ર $1/v - 1/u = 1/f_1$ નો ઉપયોગ કરતા,$1/60 - 1/(-30) = 1/f_1$,જે $f_1 = 20 \ cm$ આપે છે.
પરાવર્તનના કિસ્સામાં,વક્ર સપાટી અંતર્ગોળ અરીસા તરીકે વર્તે છે. પ્રતિબિંબ લેન્સથી $10 \ cm$ અંતરે રચાય છે. અરીસાના સૂત્ર $1/v + 1/u = 1/f_2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = -30 \ cm$ અને $v = -10 \ cm$,આપણને $1/(-10) + 1/(-30) = 1/f_2$ મળે છે,તેથી $f_2 = -7.5 \ cm$. $f_2 = -R/2$ હોવાથી,વક્રતા ત્રિજ્યા $R = 15 \ cm$ મળે છે.
સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે લેન્સ મેકરના સૂત્ર $1/f_1 = (n-1)/R$ નો ઉપયોગ કરતા,$f_1 = 20 \ cm$ અને $R = 15 \ cm$ મૂકતા,$1/20 = (n-1)/15$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $n-1 = 0.75$,તેથી $n = 1.75$.
આમ,સાચું વિધાન $D$ છે.

(B) $1$. બહિર્ગોળ લેન્સ માટે: લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = -50 \ cm$ અને $f = +30 \ cm$.
$\frac{1}{v} - \frac{1}{-50} = \frac{1}{30} \implies \frac{1}{v} = \frac{1}{30} - \frac{1}{50} = \frac{5-3}{150} = \frac{2}{150} = \frac{1}{75}$. આમ,$v = 75 \ cm$.
$2$. આ પ્રતિબિંબ બહિર્ગોળ અરીસા માટે આભાસી વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે. અરીસો $x = 50 \ cm$ પર છે. લેન્સ દ્વારા રચાયેલ પ્રતિબિંબ $x = 75 \ cm$ પર છે,જે અરીસાની પાછળ $25 \ cm$ અંતરે છે. તેથી,અરીસા માટે વસ્તુ અંતર $u = +25 \ cm$ છે.
$3$. બહિર્ગોળ અરીસા માટે: $f_m = \frac{R}{2} = \frac{100}{2} = 50 \ cm$. અરીસાના સૂત્ર $\frac{1}{v_m} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f_m}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = +25 \ cm$ અને $f_m = +50 \ cm$.
$\frac{1}{v_m} + \frac{1}{25} = \frac{1}{50} \implies \frac{1}{v_m} = \frac{1}{50} - \frac{1}{25} = \frac{1-2}{50} = -\frac{1}{50}$. આમ,$v_m = -50 \ cm$.
$4$. પ્રતિબિંબ અરીસાની સામે તેની નમેલી અક્ષ પર $50 \ cm$ અંતરે રચાય છે. અરીસાની અક્ષ $x$-અક્ષ સાથે $\theta = 30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે. અરીસાના ધ્રુવના યામ $(50, 0)$ છે. પ્રતિબિંબ ધ્રુવથી $30^{\circ}$ ના ખૂણે અક્ષ પર $50 \ cm$ અંતરે છે.
$5$. ધ્રુવની સાપેક્ષમાં પ્રતિબિંબના યામ: $\Delta x = -50 \cos 30^{\circ} = -50 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = -25\sqrt{3}$ અને $\Delta y = 50 \sin 30^{\circ} = 50 \times \frac{1}{2} = 25$.
$6$. નિરપેક્ષ યામ $x = 50 - 25\sqrt{3}$ અને $y = 25$ છે. આમ,યામ $(50 - 25\sqrt{3}, 25)$ છે.

(C) ધારો કે $L$ અને $M_1$ વચ્ચેનું અંતર $d$ છે. પદાર્થ $S$ એ $L$ થી $10 \text{ cm}$ અંતરે છે ($20 \text{ cm}$ નું મધ્યબિંદુ). $L$ ની કેન્દ્રલંબાઈ $10 \text{ cm}$ હોવાથી,પદાર્થ $S$ એ લેન્સ $L$ ના મુખ્ય કેન્દ્ર પર છે.
$S$ માંથી આવતા પ્રકાશના કિરણો $L$ માંથી પસાર થઈને મુખ્ય અક્ષને સમાંતર બને છે.
આ સમાંતર કિરણો અંતર્ગોળ અરીસા $M_1$ પર આપાત થાય છે. $M_1$ પરથી પરાવર્તન પામ્યા પછી,તેઓ $M_1$ ના મુખ્ય કેન્દ્ર પર કેન્દ્રિત થાય છે. $M_1$ ની કેન્દ્રલંબાઈ $f_1 = R_1/2 = 20/2 = 10 \text{ cm}$ છે.
તેથી,કિરણો $M_1$ ની સામે $10 \text{ cm}$ અંતરે એક બિંદુ પર કેન્દ્રિત થાય છે.
આ બિંદુ લેન્સ $L$ માટે પદાર્થ તરીકે કાર્ય કરે છે. લેન્સ $L$ થી આ બિંદુનું અંતર $u = -(d - 10) \text{ cm}$ છે.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v} - \frac{1}{-(d - 10)} = \frac{1}{10} \implies \frac{1}{v} = \frac{1}{10} - \frac{1}{d - 10} \quad (i)$.
$L$ માંથી બહાર આવતા કિરણો અરીસા $M_2$ પર આપાત થાય છે. અંતિમ પ્રતિબિંબ $S$ પર સંપાત થાય તે માટે,કિરણો $M_2$ પર લંબરૂપે આપાત થવા જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે તેઓ $M_2$ ના વક્રતા કેન્દ્રમાંથી આવતા હોય તેમ લાગવું જોઈએ. $M_2$ ની વક્રતા ત્રિજ્યા $24 \text{ cm}$ છે. $S$ એ $M_2$ થી $10 \text{ cm}$ દૂર હોવાથી,કિરણો $M_2$ થી $10 \text{ cm}$ અંતરે (જે $S$ પોતે જ છે) કેન્દ્રિત થવા જોઈએ.
આમ,$L$ દ્વારા રચાતું પ્રતિબિંબ $L$ થી $v = 10 \text{ cm}$ અંતરે ($M_2$ ની દિશામાં) હોવું જોઈએ.
$(i)$ માં $v = 10$ મૂકતા:
$\frac{1}{10} = \frac{1}{10} - \frac{1}{d - 10} \implies \frac{1}{d - 10} = 0$,જે શક્ય નથી.
પુનઃમૂલ્યાંકન: $M_1$ પરથી પરાવર્તન પછી કિરણો $M_1$ થી $10 \text{ cm}$ અંતરે કેન્દ્રિત થાય છે. ધારો કે આ $I_1$ છે. $I_1$ એ $L$ થી $(d-10)$ અંતરે છે. અંતિમ પ્રતિબિંબ $S$ પર મેળવવા માટે,કિરણો $M_2$ પર એવી રીતે આપાત થવા જોઈએ કે તેઓ તેમનો માર્ગ પાછો ખેંચે. આ ત્યારે થાય છે જ્યારે તેઓ $M_2$ ના વક્રતા કેન્દ્ર તરફ નિર્દેશિત હોય. $M_2$ નું વક્રતા કેન્દ્ર $M_2$ થી $24 \text{ cm}$ અંતરે છે,એટલે કે $L$ ની પાછળ $4 \text{ cm}$ અંતરે.
$L$ માટે $u = -(d-10)$ અને $v = +4$ સાથે લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{4} - \frac{1}{-(d-10)} = \frac{1}{10} \implies \frac{1}{d-10} = \frac{1}{10} - \frac{1}{4} = \frac{2-5}{20} = -\frac{3}{20}$.
આનાથી $d-10 = -20/3$,$d = 10 - 6.67 = 3.33$ મળે છે.
વૈકલ્પિક રીતે,જો $M_1$ માંથી આવતા કિરણો $L$ માંથી ફરી પસાર થયા પછી $S$ પર પ્રતિબિંબ બનાવે:
$M_2$ માટે,પદાર્થ $S$ એ $10 \text{ cm}$ પર છે. $f_2 = -12 \text{ cm}$. $\frac{1}{v} + \frac{1}{-10} = \frac{1}{-12} \implies \frac{1}{v} = \frac{1}{10} - \frac{1}{12} = \frac{1}{60} \implies v = 60 \text{ cm}$.
આ પ્રતિબિંબ $L$ માટે $u = -(20+60) = -80 \text{ cm}$ પર પદાર્થ તરીકે કાર્ય કરે છે.
$\frac{1}{v_L} - \frac{1}{-80} = \frac{1}{10} \implies \frac{1}{v_L} = \frac{1}{10} - \frac{1}{80} = \frac{7}{80} \implies v_L = 80/7$.
આ $v_L$ એ $L$ થી તે અંતર છે જ્યાં $M_1$ માંથી આવતા કિરણો કેન્દ્રિત થવા જોઈએ. $M_1$ ની $f=10$ હોવાથી,$L$ માંથી આવતા કિરણો (સમાંતર) $M_1$ થી $10 \text{ cm}$ અંતરે કેન્દ્રિત થાય છે. તેથી $d - 10 = 80/7 \implies d = 150/7$.
આમ $n = 150$.

(B) તારને $f/2$ અને $f$ ની વચ્ચે મૂકવામાં આવ્યો છે. અંતર્ગોળ અરીસા માટે,અરીસાનું સૂત્ર $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ છે.
ધારો કે કર્ણ પરનો એક બિંદુ $P$ એ મુખ્ય કેન્દ્ર $f$ થી $x$ અંતરે છે,તેથી $u = -(f-x)$.
આને અરીસાના સૂત્રમાં મૂકતા: $\frac{1}{v} - \frac{1}{f-x} = -\frac{1}{f}$.
$\frac{1}{v} = \frac{1}{f-x} - \frac{1}{f} = \frac{x}{f(f-x)}$.
આમ,$v = \frac{f(f-x)}{x}$.
મોટવણી $M = -\frac{v}{u} = -\frac{f(f-x)/x}{-(f-x)} = \frac{f}{x}$.
$u = -f/2$ પરના ત્રિકોણના ઊભા ભાગ માટે,પ્રતિબિંબ $v = -f$ પર મળે છે (વાસ્તવિક,ઉલટું અને $2$ ગણું મોટું).
મુખ્ય કેન્દ્ર $(u = -f)$ પરના બિંદુ માટે,પ્રતિબિંબ અનંત $(v \rightarrow \infty)$ પર મળે છે.
જેમ જેમ $x$ એ $0$ થી $f/2$ સુધી વધે છે,તેમ મોટવણી $M = f/x$ એ $\infty$ થી $2$ સુધી ઘટે છે. કર્ણનું પ્રતિબિંબ એક વક્ર છે જે અનંત સુધી વિસ્તરે છે,જે વિકલ્પ $B$ સાથે સુસંગત છે.

(A) આપેલ છે કે લેન્સ $75 cm$ પર,ઓબ્જેક્ટ પિન $45 cm$ પર અને ઈમેજ પિન $135 cm$ પર છે.
વસ્તુ અંતર $u = 45 - 75 = -30 cm$.
પ્રતિબિંબ અંતર $v = 135 - 75 = 60 cm$.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{f} = \frac{1}{60} - \frac{1}{-30} = \frac{1+2}{60} = \frac{3}{60} = \frac{1}{20}$. તેથી,$f = 20 cm$.
સ્કેલ પર $1 cm$ માં $4$ વિભાગો છે,તેથી લઘુત્તમ માપશક્તિ (least count) $\Delta u = \Delta v = \frac{1}{4} cm = 0.25 cm$.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ નું વિકલન કરતા,$-\frac{df}{f^2} = -\frac{dv}{v^2} + \frac{du}{u^2}$ મળે.
મહત્તમ ત્રુટિ માટે મૂલ્યો લેતા: $\frac{df}{f^2} = \frac{dv}{v^2} + \frac{du}{u^2}$.
પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{df}{f} \times 100 = f \left[ \frac{dv}{v^2} + \frac{du}{u^2} \right] \times 100$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{df}{f} \times 100 = 20 \left[ \frac{0.25}{60^2} + \frac{0.25}{30^2} \right] \times 100$.
$= 20 \times 0.25 \left[ \frac{1}{3600} + \frac{1}{900} \right] \times 100 = 5 \left[ \frac{1+4}{3600} \right] \times 100 = 5 \times \frac{5}{36} = \frac{25}{36} \% \approx 0.69 \%$.

(B) $\triangle OAB$ માં,જ્યાં $O$ વક્રતા કેન્દ્ર છે,$A$ પરિઘ પરનું બિંદુ છે,અને $B$ પાણીની સપાટીનું કેન્દ્ર છે:
$R^2 = (R-h)^2 + r^2$
$R^2 = R^2 - 2Rh + h^2 + r^2$
$2Rh = h^2 + r^2$
$R = \frac{h^2 + r^2}{2h}$. $h \ll r$ હોવાથી,$R \approx \frac{r^2}{2h}$. આમ,$(A)$ અને $(B)$ બંને ગાણિતિક રીતે સાચા છે,પરંતુ $(A)$ એ ચોક્કસ ભૌમિતિક સંબંધ છે.
ભ્રમણ કરતા પ્રવાહી માટે,સપાટીનું સમીકરણ $y = y_0 + \frac{\omega^2 r^2}{2g}$ છે. ઊંચાઈનો તફાવત $h = \frac{\omega^2 r^2}{2g}$ છે.
ગોળાકાર સપાટી પર વક્રીભવનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$.
અહીં $\mu_1 = \frac{4}{3}$ (પાણી),$\mu_2 = 1$ (હવા),$u = -H$ (આશરે),અને સપાટી અંતર્ગોળ હોવાથી,$R$ ઋણ છે: $-R$.
$\frac{1}{v} - \frac{4/3}{-H} = \frac{1 - 4/3}{-R} \Rightarrow \frac{1}{v} + \frac{4}{3H} = \frac{1}{3R}$.
$\frac{1}{v} = \frac{1}{3R} - \frac{4}{3H} = \frac{2h}{3r^2} - \frac{4}{3H}$.
$h = \frac{\omega^2 r^2}{2g}$ મૂકતા:
$\frac{1}{v} = \frac{2(\omega^2 r^2 / 2g)}{3r^2} - \frac{4}{3H} = \frac{\omega^2}{3g} - \frac{4}{3H} = -\frac{4}{3H} (1 - \frac{\omega^2 H}{4g})$.
$v = -\frac{3H}{4} (1 - \frac{\omega^2 H}{4g})^{-1} \approx -\frac{3H}{4} (1 + \frac{\omega^2 H}{4g})^{-1}$.
આમ,$(C)$ સાચું છે.

(D) કિરણ લંબ આપાતકોણે પ્રિઝમમાં પ્રવેશે છે અને કર્ણ પર $45^{\circ}$ ના આપાતકોણે અથડાય છે.
$1$. માર્ગ $e \rightarrow i$ (પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન) માટે: શરત $i > \theta_c$ છે,જ્યાં $\sin \theta_c = \mu_2 / \mu_1$. તેથી,$\sin 45^{\circ} > \mu_2 / \mu_1 \Rightarrow 1/\sqrt{2} > \mu_2 / \mu_1 \Rightarrow \mu_1 > \sqrt{2} \mu_2$. (જે $S-1$ સાથે જોડાય છે)
$2$. માર્ગ $e \rightarrow f$ (લંબથી દૂર વક્રીભવન) માટે: આ ત્યારે થાય છે જ્યારે કિરણ પ્રિઝમ-બ્લોક ઇન્ટરફેસ પર લંબથી દૂર વળે છે,જેના માટે $\mu_2 < \mu_1$ હોવું જરૂરી છે. ત્યારબાદ તે બ્લોકમાંથી $\mu_3$ માધ્યમમાં બહાર નીકળે છે,જેના માટે $\mu_2 > \mu_3$ હોવું જરૂરી છે. (જે $P-2$ સાથે જોડાય છે)
$3$. માર્ગ $e \rightarrow g$ (કોઈ વિચલન નહીં) માટે: આ ત્યારે થાય છે જ્યારે ઇન્ટરફેસ પર વક્રીભવનાંકમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી,એટલે કે $\mu_1 = \mu_2$. (જે $Q-3$ સાથે જોડાય છે)
$4$. માર્ગ $e \rightarrow h$ (લંબ તરફ વક્રીભવન) માટે: આ ત્યારે થાય છે જ્યારે $\mu_2 > \mu_1$ (પરંતુ પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન ન હોય) અને અંતિમ બહાર નીકળવા માટે $\mu_2 > \mu_3$ હોય. ખાસ કરીને,$\mu_2 < \mu_1 < \sqrt{2} \mu_2$. (જે $R-4$ સાથે જોડાય છે)
આમ,સાચી જોડી $P-2, Q-3, R-4, S-1$ છે.

$(D)$ $\theta=30^{\circ}$ માટે, કિરણ સામેના અરીસા પર $90^{\circ}$ ના ખૂણે (લંબ આપાત) અથડાય છે અને તેનો માર્ગ પાછો ખેંચે છે, જે તે જ છિદ્રમાંથી બહાર નીકળે છે। આ $0 < l < L$ માટે સાચું છે।
$(B)$ $l=\frac{L}{2}$ અને $\theta=60^{\circ}$ માટે, કિરણ અન્ય બે અરીસાઓ પર એક-એક વાર અથડાય છે (કુલ બે પરાવર્તન) અને છિદ્રમાંથી બહાર નીકળે છે।
$(C)$ $l=\frac{L}{3}$ અને $\theta=60^{\circ}$ માટે, કિરણ અનેક પરાવર્તનોમાંથી પસાર થાય છે અને અંતે છિદ્રમાંથી બહાર નીકળે છે। તેથી, તે $\text{ક્યારેય}$ બહાર આવશે નહીં તેવું વિધાન ખોટું છે।
$(D)$ $\theta=60^{\circ}$ અને $0 < l < \frac{L}{2}$ માટે, કિરણ અનેક પરાવર્તનો ધરાવતા માર્ગને અનુસરે છે અને છિદ્રમાંથી બહાર નીકળે છે। પરાવર્તનોની સંખ્યા $l$ ના ચોક્કસ મૂલ્ય પર આધાર રાખે છે।

(B) અહીં $STU$ એક સમતલ અરીસો હોવાથી,આપણે તેની સાપેક્ષ સમગ્ર તંત્રનું પ્રતિબિંબ લઈ શકીએ છીએ. જો કિરણો સમાન માર્ગે પાછા ફરે તો અંતિમ પ્રતિબિંબ પદાર્થના સ્થાને જ રચાય છે.
આ તંત્ર લેન્સ અને અરીસાના સંયોજન તરીકે કાર્ય કરે છે. તંત્રની સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $F_{eq}$ એ $\frac{1}{F_{eq}} = \frac{2}{f_L} + \frac{1}{f_M}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમતલ અરીસા માટે,$f_M = \infty$,તેથી $\frac{1}{F_{eq}} = \frac{2}{f_L}$.
લેન્સ કાચ-પ્રવાહીની સપાટી દ્વારા રચાય છે. લેન્સનો પાવર $P = (\mu_g - \mu_l) \left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)$ છે.
અહીં,$R_1 = 9 \ cm$ અને $R_2 = \infty$ (સમતલ સપાટી).
તેથી,$\frac{1}{f_L} = (1.6 - n) \left(\frac{1}{9} - 0\right) = \frac{1.6 - n}{9}$.
આમ,$\frac{1}{F_{eq}} = 2 \left(\frac{1.6 - n}{9}\right) = \frac{3.2 - 2n}{9}$.
પ્રતિબિંબ પદાર્થ પર રચાય તે માટે,પદાર્થ સમતુલ્ય અરીસાના વક્રતા કેન્દ્ર પર હોવો જોઈએ,એટલે કે $h = 2F_{eq}$.
તેથી,$\frac{2}{h} = \frac{3.2 - 2n}{9} \implies h = \frac{18}{3.2 - 2n} = \frac{9}{1.6 - n}$.
વિકલ્પો તપાસતા:
$(A)$ $n = 1.42$ માટે,$h = \frac{9}{1.6 - 1.42} = \frac{9}{0.18} = 50 \ cm$. (સાચું)
$(B)$ $n = 1.35$ માટે,$h = \frac{9}{1.6 - 1.35} = \frac{9}{0.25} = 36 \ cm$. (સાચું)
$(C)$ $n = 1.45$ માટે,$h = \frac{9}{1.6 - 1.45} = \frac{9}{0.15} = 60 \ cm$. (ખોટું)
$(D)$ $n = 1.48$ માટે,$h = \frac{9}{1.6 - 1.48} = \frac{9}{0.12} = 75 \ cm$. (ખોટું)
આમ,વિકલ્પો $(A)$ અને $(B)$ સાચા છે.

(B) ગોળામાં એક આંતરિક પરાવર્તન અનુભવતા કિરણ માટે કુલ વિચલન $\alpha = 180^{\circ} + 2\theta_0 - 4\phi_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta_0$ એ આપાતકોણ છે અને $\phi_0$ એ વક્રીભવન કોણ છે.
$(P)$ $n=2$ અને $\alpha=180^{\circ}$ માટે:
$180^{\circ} = 180^{\circ} + 2\theta_0 - 4\phi_0 \Rightarrow \theta_0 = 2\phi_0$.
સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\sin \theta_0 = n \sin \phi_0 = 2 \sin(\theta_0/2)$.
$2 \sin(\theta_0/2) \cos(\theta_0/2) = 2 \sin(\theta_0/2) \Rightarrow \cos(\theta_0/2) = 1 \Rightarrow \theta_0 = 0^{\circ}$.
આમ,$P \rightarrow 5$.
$(Q)$ $n=\sqrt{3}$ અને $\alpha=180^{\circ}$ માટે:
$\theta_0 = 2\phi_0$. સ્નેલનો નિયમ: $\sin \theta_0 = \sqrt{3} \sin \phi_0 = \sqrt{3} \sin(\theta_0/2)$.
$2 \sin(\theta_0/2) \cos(\theta_0/2) = \sqrt{3} \sin(\theta_0/2) \Rightarrow \cos(\theta_0/2) = \sqrt{3}/2 \Rightarrow \theta_0/2 = 30^{\circ} \Rightarrow \theta_0 = 60^{\circ}$.
વળી $\theta_0 = 0^{\circ}$ પણ એક ઉકેલ છે. આમ,$Q \rightarrow 2$.
$(R)$ $n=\sqrt{3}$ અને $\alpha=180^{\circ}$ માટે:
$\theta_0 = 2\phi_0$. $\cos(\theta_0/2) = \sqrt{3}/2$ પરથી,આપણને $\phi_0 = 30^{\circ}$ મળે છે. વળી $\phi_0 = 0^{\circ}$ પણ એક ઉકેલ છે. આમ,$R \rightarrow 1$.
$(S)$ $n=\sqrt{2}$ અને $\theta_0=45^{\circ}$ માટે:
$\sin 45^{\circ} = \sqrt{2} \sin \phi_0 \Rightarrow 1/\sqrt{2} = \sqrt{2} \sin \phi_0 \Rightarrow \sin \phi_0 = 1/2 \Rightarrow \phi_0 = 30^{\circ}$.
$\alpha = 180^{\circ} + 2(45^{\circ}) - 4(30^{\circ}) = 180^{\circ} + 90^{\circ} - 120^{\circ} = 150^{\circ}$. આમ,$S \rightarrow 4$.

(C) બહિર્ગોળ અરીસા માટે,વસ્તુ અંતર $u = -30 \ cm$ અને કેન્દ્રલંબાઈ $f = +30 \ cm$ છે.
અરીસાના સૂત્ર $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v} + \frac{1}{-30} = \frac{1}{30}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{30} + \frac{1}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$
તેથી,$v = +15 \ cm$. આ પ્રતિબિંબ બહિર્ગોળ અરીસાની પાછળ $15 \ cm$ અંતરે રચાય છે.
વસ્તુથી આ પ્રતિબિંબનું અંતર $30 \ cm + 15 \ cm = 45 \ cm$ છે.
સમતલ અરીસા દ્વારા બનતું પ્રતિબિંબ બહિર્ગોળ અરીસાના પ્રતિબિંબ સાથે સંપાત થાય તે માટે,સમતલ અરીસાને એવી રીતે મૂકવો જોઈએ કે જેથી સમતલ અરીસાથી વસ્તુનું અંતર અને પ્રતિબિંબનું અંતર સમાન હોય.
ધારો કે સમતલ અરીસો બહિર્ગોળ અરીસાથી $d$ અંતરે છે. વસ્તુ સમતલ અરીસાથી $(30 - d)$ અંતરે છે. સમતલ અરીસા દ્વારા બનતું પ્રતિબિંબ અરીસાની પાછળ $(30 - d)$ અંતરે રચાય છે.
આ પ્રતિબિંબનું બહિર્ગોળ અરીસાથી અંતર $d + (30 - d) = 30 \ cm$ થાય છે.
પ્રતિબિંબ સંપાત થવા માટે,સમતલ અરીસાનું પ્રતિબિંબ બહિર્ગોળ અરીસાના પ્રતિબિંબના સ્થાને હોવું જોઈએ.
ગણતરી મુજબ,$d = 22.5 \ cm$ મળે છે.

(C) બાયકોન્વેક્સ લેન્સ માટે,લેન્સ મેકરનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ છે.
અહીં $R_1 = 30 \ cm$ અને $R_2 = -30 \ cm$ (બાયકોન્વેક્સ લેન્સ માટે સંજ્ઞા પ્રણાલી મુજબ),અને $\mu = 1.6$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{f} = (1.6 - 1) \left( \frac{1}{30} - \frac{1}{-30} \right) = 0.6 \times \left( \frac{2}{30} \right) = \frac{1.2}{30} = \frac{1}{25}$.
આમ,લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f = 25 \ cm$ મળે છે.
અંતર્ગોળ અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ જેટલી હોવાથી,$f_{mirror} = 25 \ cm$.
અંતર્ગોળ અરીસાની વક્રતા ત્રિજ્યા $R = 2f = 2 \times 25 \ cm = 50 \ cm$ થાય.

(C) ગૌણ મેઘધનુષના નિર્માણમાં પાણીના ટીપાંની અંદર બે વાર વક્રીભવન,બે વાર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન અને પ્રકાશનું કોણીય વિક્ષેપન થાય છે.
વ્યતિકરણ એ તરંગ પ્રકૃતિની ઘટના છે જે મેઘધનુષના નિર્માણની ભૌમિતિક પ્રકાશશાસ્ત્રની સમજૂતીમાં મુખ્ય પ્રક્રિયા નથી.
તેથી,ગૌણ મેઘધનુષના નિર્માણમાં વ્યતિકરણનો સમાવેશ થતો નથી.

(C) પ્રકાશનું સમાંતર કિરણપુંજ પ્રિઝમ દ્વારા $\delta$ ખૂણે વિચલિત થાય છે, જે નીચે મુજબ છે:
$\delta = (\mu - 1) A = (1.5 - 1) \times 1.8^{\circ} = 0.5 \times 1.8^{\circ} = 0.9^{\circ}$.
આ ખૂણાને રેડિયનમાં ફેરવતા:
$\delta = 0.9^{\circ} \times \frac{\pi}{180^{\circ}} \text{ rad} = \frac{\pi}{200} \text{ rad}$.
પ્રિઝમમાંથી પસાર થયા પછી આ કિરણપુંજ સમાંતર રહે છે અને મુખ્ય અક્ષ સાથે $\delta$ આપાતકોણે અંતર્ગોળ અરીસા પર પડે છે।
કિરણો અંતર્ગોળ અરીસાના મુખ્ય કેન્દ્રના સમતલમાં એક બિંદુ પર કેન્દ્રિત થાય છે।
મુખ્ય અક્ષથી આ બિંદુનું અંતર $x$ નીચે મુજબ મળે છે:
$x = f \times \delta$, જ્યાં $f$ એ અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈ છે।
વક્રતા ત્રિજ્યા $R = 40 \,cm$ આપેલ હોવાથી, કેન્દ્રલંબાઈ $f = \frac{R}{2} = \frac{40}{2} = 20 \,cm$.
કિંમતો મૂકતા:
$x = 20 \,cm \times (0.9^{\circ} \times \frac{\pi}{180^{\circ}}) = 20 \times \frac{\pi}{200} \,cm = \frac{\pi}{10} \,cm = 0.314 \,cm = 3.14 \,mm$.

(A) પ્રથમ લેન્સ માટે:
$u_1 = -f/2$,$f_1 = f$
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v_1} - \frac{1}{u_1} = \frac{1}{f_1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v_1} - \frac{1}{-f/2} = \frac{1}{f} \Rightarrow \frac{1}{v_1} + \frac{2}{f} = \frac{1}{f} \Rightarrow \frac{1}{v_1} = -\frac{1}{f} \Rightarrow v_1 = -f$.
મોટવણી $m_1 = \frac{v_1}{u_1} = \frac{-f}{-f/2} = 2$.
બીજા લેન્સ માટે:
પ્રથમ લેન્સનું પ્રતિબિંબ બીજા લેન્સ માટે વસ્તુ તરીકે વર્તે છે. લેન્સ વચ્ચેનું અંતર $f$ છે. તેથી,$u_2 = -(f + |v_1|) = -(f + f) = -2f$.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v_2} - \frac{1}{u_2} = \frac{1}{f_2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v_2} - \frac{1}{-2f} = \frac{1}{f} \Rightarrow \frac{1}{v_2} + \frac{1}{2f} = \frac{1}{f} \Rightarrow \frac{1}{v_2} = \frac{1}{2f} \Rightarrow v_2 = 2f$.
મોટવણી $m_2 = \frac{v_2}{u_2} = \frac{2f}{-2f} = -1$.
ત્રીજા લેન્સ માટે:
બીજા લેન્સનું પ્રતિબિંબ ત્રીજા લેન્સ માટે વસ્તુ તરીકે વર્તે છે. બીજા અને ત્રીજા લેન્સ વચ્ચેનું અંતર $f$ છે. પ્રતિબિંબ $v_2 = 2f$ એ બીજા લેન્સની પાછળ રચાય છે. ત્રીજા લેન્સ માટે વસ્તુ અંતર $u_3 = -(f - v_2) = -(f - 2f) = f$.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v_3} - \frac{1}{u_3} = \frac{1}{f_3}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v_3} - \frac{1}{f} = \frac{1}{f} \Rightarrow \frac{1}{v_3} = \frac{2}{f} \Rightarrow v_3 = f/2$.
મોટવણી $m_3 = \frac{v_3}{u_3} = \frac{f/2}{f} = 1/2$.
કુલ મોટવણી $M = m_1 \times m_2 \times m_3 = 2 \times (-1) \times (1/2) = -1$.
અંતિમ પ્રતિબિંબ સૌથી જમણી બાજુના લેન્સની પાછળ $f/2$ અંતરે મળે છે.

(A) બહિર્ગોળ અરીસા માટે,વસ્તુ અંતર $u = -60 \ cm$ અને કેન્દ્રલંબાઈ $f = +30 \ cm$ છે.
અરીસાના સૂત્ર $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v} + \frac{1}{-60} = \frac{1}{30}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{30} + \frac{1}{60} = \frac{2+1}{60} = \frac{3}{60} = \frac{1}{20}$
તેથી,$v = +20 \ cm$ (અરીસાની પાછળ).
બહિર્ગોળ અરીસા દ્વારા રચાતું પ્રતિબિંબ અરીસાની પાછળ $20 \ cm$ અંતરે છે.
વસ્તુથી આ પ્રતિબિંબનું કુલ અંતર $60 \ cm + 20 \ cm = 80 \ cm$ છે.
ધારો કે સમતલ અરીસો વસ્તુથી $x$ અંતરે મૂકવામાં આવ્યો છે. સમતલ અરીસા દ્વારા રચાતું પ્રતિબિંબ સમતલ અરીસાની પાછળ $x$ અંતરે હશે.
લંબન ન રહે તે માટે,સમતલ અરીસા દ્વારા રચાતું પ્રતિબિંબ બહિર્ગોળ અરીસા દ્વારા રચાતા પ્રતિબિંબ સાથે એકરૂપ થવું જોઈએ.
સમતલ અરીસાના પ્રતિબિંબનું વસ્તુથી અંતર $2x$ છે.
અંતરને સરખાવતા: $2x = 80 \ cm$,જે $x = 40 \ cm$ આપે છે.