Mix Examples-Ray Optics Questions in Gujarati

(A) આ સિસ્ટમમાં પાણીનો લેન્સ,કાચનો લેન્સ અને અરીસા તરીકે કામ કરતી સપાટીનો સમાવેશ થાય છે.
ધારો કે $R_1 = 60\, cm$ અને $R_2 = 20\, cm$. અસરકારક પાવર $P_{eq} = 2P_{\text{water}} + 2P_{\text{glass}} + P_{\text{mirror}}$ છે.
પાણીના લેન્સ માટે: $\frac{1}{f_1} = (\mu_w - 1) \left( \frac{1}{\infty} - \frac{1}{R_1} \right) = (4/3 - 1) (0 - 1/60) = -1/180\, cm^{-1}$.
કાચના લેન્સ માટે: $\frac{1}{f_2} = (\mu_g - 1) \left( \frac{1}{-R_1} - \frac{1}{-R_2} \right) = (1.5 - 1) (-1/60 + 1/20) = 0.5 \times (2/60) = 1/60\, cm^{-1}$.
અરીસા માટે: $f_3 = -R_2/2 = -10\, cm$. તેથી,$P_{\text{mirror}} = -1/f_3 = 1/10\, cm^{-1}$.
અસરકારક કેન્દ્રલંબાઈ $f_{eq}$ માટે: $-\frac{1}{f_{eq}} = 2 \left( \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} \right) + \frac{1}{f_3} = 2 \left( -\frac{1}{180} + \frac{1}{60} \right) - \frac{1}{10} = \frac{4}{180} - \frac{1}{10} = \frac{1}{45} - \frac{1}{10} = -\frac{7}{90}$.
આમ,$f_{eq} = 90/7\, cm$. વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $90/13\, cm$ છે.

(A) નાના ખૂણાવાળા પ્રિઝમ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું વિચલન $\delta_{1} = (\mu - 1) \alpha = (1.5 - 1) \times 4^o = 2^o$ (હંમેશા) છે.
અરીસા દ્વારા થતું વિચલન $\delta_{2} = 180^o - 2i = 180^o - 2 \times 45^o = 90^o$ છે.
સિસ્ટમ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું કુલ વિચલન $\delta_{net} = \delta_{1} + \delta_{2} = 2^o + 90^o = 92^o$ છે.
કુલ વિચલન $92^o$ છે,જે જરૂરી $90^o$ કરતા વધારે છે,તેથી આપણે વિચલન ઘટાડવાની જરૂર છે. અરીસા પર આપાતકોણ વધતા અરીસા દ્વારા ઉત્પન્ન થતું વિચલન ઘટે છે.
જો અરીસાને ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં $\beta$ ખૂણે ફેરવવામાં આવે,તો નવો આપાતકોણ $(45^o + \beta)$ થશે.
અરીસા દ્વારા નવું વિચલન $\delta_{2}' = 180^o - 2(45^o + \beta) = 90^o - 2\beta$ થશે.
નવું કુલ વિચલન $\delta_{net}' = \delta_{1} + \delta_{2}' = 2^o + 90^o - 2\beta = 92^o - 2\beta$ થશે.
આપેલ છે કે કુલ વિચલન $90^o$ હોવું જોઈએ,તેથી $92^o - 2\beta = 90^o$,જે $2\beta = 2^o$ આપે છે,એટલે કે $\beta = 1^o$.
આમ,અરીસાને ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં $1^o$ ફેરવવો જોઈએ.

(D) $\theta$ ખૂણે નમેલા બે સમતલ અરીસાઓ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું કુલ વિચલન $\delta = 360^o - 2\theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\delta = 240^o$,તેથી $240^o = 360^o - 2\theta$,જેનો અર્થ છે કે $2\theta = 120^o$,તેથી $\theta = 60^o$.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
પ્રતિબિંબોની સંખ્યા $n$ માટે,આપણે $m = 360^o / \theta = 360^o / 60^o = 6$ ગણીએ છીએ.
જો $m$ એક બેકી પૂર્ણાંક હોય,તો પદાર્થ સંમિત રીતે મૂકવામાં આવ્યો હોય કે અસંમિત રીતે,પ્રતિબિંબોની સંખ્યા $n = m - 1$ થાય છે.
તેથી,$n = 6 - 1 = 5$.
આમ,વિકલ્પ $B$ અને $C$ બંને સાચા હોવાથી,વિકલ્પ $D$ સાચો જવાબ છે.

(B) $1$. પ્રથમ,સમતલ અરીસા દ્વારા રચાતું પ્રતિબિંબ શોધો. વસ્તુ $AB$ સમતલ અરીસાથી $50 \ cm$ ના અંતરે છે. સમતલ અરીસો તેની પાછળ $50 \ cm$ ના અંતરે આભાસી પ્રતિબિંબ $A'B'$ રચે છે. સમતલ અરીસા અને બહિર્ગોળ અરીસા વચ્ચેનું અંતર $50 \ cm$ હોવાથી,પ્રતિબિંબ $A'B'$ બહિર્ગોળ અરીસા માટે વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે.
$2$. બહિર્ગોળ અરીસાથી $A'$ નું અંતર $50 \ cm + 10 \ cm = 60 \ cm$ છે (અરીસાની સામે,તેથી $u_A = -60 \ cm$).
$3$. બહિર્ગોળ અરીસાથી $B'$ નું અંતર $50 \ cm + 40 \ cm = 90 \ cm$ છે (અરીસાની સામે,તેથી $u_B = -90 \ cm$).
$4$. બહિર્ગોળ અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈ $f = +120 \ cm / 2 = +60 \ cm$ છે.
$5$. અરીસાના સૂત્ર $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$A'$ માટે: $\frac{1}{v_A} + \frac{1}{-60} = \frac{1}{60} \Rightarrow \frac{1}{v_A} = \frac{2}{60} \Rightarrow v_A = +30 \ cm$.
$B'$ માટે: $\frac{1}{v_B} + \frac{1}{-90} = \frac{1}{60} \Rightarrow \frac{1}{v_B} = \frac{1}{60} + \frac{1}{90} = \frac{3+2}{180} = \frac{5}{180} \Rightarrow v_B = +36 \ cm$.
$6$. પ્રતિબિંબ $A''B''$ બહિર્ગોળ અરીસાની પાછળ $30 \ cm$ અને $36 \ cm$ ના અંતરે રચાય છે. પ્રતિબિંબ અરીસાની પાછળ રચાતું હોવાથી,તે આભાસી અને ચત્તું છે.
$7$. પ્રતિબિંબની લંબાઈ $L_i = 36 - 30 = 6 \ cm$ છે. વસ્તુ $AB$ ની લંબાઈ $30 \ cm$ છે. મોટવણી $m = \frac{L_i}{L_o} = \frac{6}{30} = 1/5$.
$8$. આમ,પ્રતિબિંબ આભાસી,ચત્તું અને $1/5$ મોટવણી ધરાવે છે.

(D) સ્નેલના નિયમ મુજબ,$\mu_2 \sin i = \mu_1 \sin r$,જે આપે છે $\frac{\mu_1}{\mu_2} = k = \frac{\sin i}{\sin r}$.
$1$. જ્યારે $k = 1$ હોય,ત્યારે $\mu_1 = \mu_2$,તેથી $\sin i = \sin r$,જેનો અર્થ છે કે $i = r$. આમ,$|r - i| = 0$. આલેખ પરથી,આ $k_2$ પર થાય છે,તેથી $k_2 = 1$.
$2$. જેમ $k \rightarrow \infty$,$\frac{\mu_1}{\mu_2} \rightarrow \infty$,જેનો અર્થ છે કે $\sin r = \frac{\sin i}{k} \rightarrow 0$,તેથી $r \rightarrow 0$. ત્યારે $|r - i| = |0 - i| = i = \pi / 3$. આલેખ પરથી,આ મૂલ્ય $\theta_2$ છે,તેથી $\theta_2 = \pi / 3$.
$3$. જ્યારે $k < k_c$ હોય ત્યારે પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન $(TIR)$ થાય છે,જ્યાં $k_c = \frac{\sin i}{\sin 90^{\circ}} = \sin(\pi / 3) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. $TIR$ ની શરૂઆતમાં,$r = 90^{\circ} = \pi / 2$. ત્યારે $|r - i| = |\pi / 2 - \pi / 3| = \pi / 6$. આલેખ પરથી,આ મૂલ્ય $\theta_1$ છે,તેથી $\theta_1 = \pi / 6$.
બધા વિધાનો સાચા હોવાથી,જવાબ $(D)$ છે.

(A) કિરણો તેમના માર્ગે પાછા ફરે તે માટે,તેઓએ સમતલ અરીસા પર લંબરૂપે આપાત થવું જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે ગોલીય સપાટી પર વક્રીભવન પછી કિરણો મુખ્ય અક્ષને સમાંતર બનવા જોઈએ.
ગોલીય સપાટી પર વક્રીભવનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$.
અહીં,$\mu_1 = 1$ (હવા),$\mu_2 = 1.5$ (કાચ),$R = +60\, cm$ (બહિર્ગોળ સપાટી),અને સમાંતર કિરણો માટે,$v = \infty$.
$\frac{1.5}{\infty} - \frac{1}{-d_1} = \frac{1.5 - 1}{60} \implies \frac{1}{d_1} = \frac{0.5}{60} = \frac{1}{120}$.
આમ,$d_1 = 120\, cm$. જો $d_1 = 120\, cm$ હોય,તો વક્રીભવન પછી કિરણો મુખ્ય અક્ષને સમાંતર બને છે,સમતલ અરીસા પર લંબરૂપે આપાત થાય છે અને $d_2$ ના અંતરને ધ્યાનમાં લીધા વિના $O$ પર પ્રતિબિંબ બનાવવા માટે તેમના માર્ગે પાછા ફરે છે.
તેથી,વિધાન $(A)$ સાચું છે.

(D) અપસારી અરીસો (બહિર્ગોળ અરીસો) તેની સામે વસ્તુના કોઈપણ સ્થાન માટે હંમેશા આભાસી,ચત્તું અને નાનું પ્રતિબિંબ રચે છે.
અપસારી લેન્સ (અંતર્ગોળ લેન્સ) પણ વસ્તુના કોઈપણ સ્થાન માટે હંમેશા આભાસી,ચત્તું અને નાનું પ્રતિબિંબ રચે છે.
આમ,બહિર્ગોળ અરીસો અને અંતર્ગોળ લેન્સ બંને આપેલી શરતોનું પાલન કરતા હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(D) ધારો કે $h_o$ વસ્તુની ઊંચાઈ છે,$h_1 = 9 \, cm$ પ્રથમ પ્રતિબિંબની ઊંચાઈ છે,અને $h_2 = 4 \, cm$ બીજા પ્રતિબિંબની ઊંચાઈ છે.
ડિસ્પ્લેસમેન્ટ પદ્ધતિના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$h_o = \sqrt{h_1 \times h_2} = \sqrt{9 \times 4} = \sqrt{36} = 6 \, cm$.
પ્રથમ સ્થિતિ માટે,મોટવણી $m_1 = \frac{h_1}{h_o} = \frac{9}{6} = 1.5$. $m = \frac{v}{u}$ હોવાથી,આપણને $v = 1.5u$ મળે છે.
કુલ અંતર $D = u + v = 90 \, cm$ આપેલ છે,$v = 1.5u$ મૂકતા $u + 1.5u = 90 \implies 2.5u = 90 \implies u = 36 \, cm$ મળે છે.
આમ,$v = 90 - 36 = 54 \, cm$.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{f} = \frac{1}{54} + \frac{1}{36} = \frac{2+3}{108} = \frac{5}{108}$.
$f = \frac{108}{5} = 21.6 \, cm$.
બધા વિધાનો સાચા હોવાથી,જવાબ $D$ છે.

(C) જ્યારે કેમેરાના લેન્સ પર કાળા પટ્ટાવાળો કાચ મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે કાળા પટ્ટા અવરોધ તરીકે કામ કરે છે જે વસ્તુમાંથી આવતા પ્રકાશના કેટલાક કિરણોને રોકે છે.
આનાથી ફિલ્મ અથવા સેન્સર સુધી પહોંચતા પ્રકાશની કુલ માત્રામાં ઘટાડો થાય છે,જેના કારણે આવા કાચનો ઉપયોગ ન કર્યો હોય તેવા કિસ્સાની સરખામણીમાં છબી ઓછી તીવ્રતાવાળી (ઝાંખી) બને છે.
જો કે,કાળા પટ્ટા ગધેડા પર પટ્ટાઓની સ્પષ્ટ છબી બનાવતા નથી; તેના બદલે,તેઓ વિવર્તન અને પ્રકીર્ણનનું કારણ બને છે,જેના પરિણામે છબી ધૂંધળી બને છે.
તેથી,ફોટોગ્રાફ સ્પષ્ટ ઝેબ્રા જેવો દેખાશે નહીં,પરંતુ ઓછી તીવ્રતાવાળા ગધેડાની ધૂંધળી છબી જેવો દેખાશે. આમ,વિકલ્પ $(C)$ સાચો છે.

(D) $1$. પ્રિઝમ માટે લઘુત્તમ વિચલન કોણ $\delta_m$ નું સૂત્ર $\sin((A + \delta_m)/2) = n \sin(A/2)$ છે. જેમ વક્રીભવનાંક $n$ (અથવા $\mu_P$) વધે છે,તેમ $\delta_m$ વધે છે. તેથી,વિધાન $A$ સાચું છે.
$2$. જ્યારે પ્રિઝમ લઘુત્તમ વિચલનની સ્થિતિમાં હોય,ત્યારે પ્રિઝમની અંદરનો કિરણ પ્રિઝમના પાયાને સમાંતર હોય છે. આ લઘુત્તમ વિચલનનો પ્રમાણભૂત ગુણધર્મ છે. તેથી,વિધાન $B$ સાચું છે.
$3$. મહત્તમ વિચલન આપાતકોણના અંતિમ મૂલ્યો પર થાય છે,એટલે કે $i = 0^\circ$ અથવા $i = 90^\circ$. આમ,બે આપાતકોણ છે જે મહત્તમ વિચલન આપે છે. તેથી,વિધાન $C$ સાચું છે.
$4$. બધા વિધાનો સાચા હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) આપાત કિરણ સમક્ષિતિજ ($x$-અક્ષ સાથે $0^{\circ}$) છે અને પરાવર્તિત કિરણ શિરોલંબ ($x$-અક્ષ સાથે $90^{\circ}$) છે.
પરાવર્તનના નિયમ મુજબ,આપાતકોણ અને પરાવર્તનકોણ સમાન હોય છે. જો લંબ $x$-અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે,તો આપાત કિરણ લંબ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે અને પરાવર્તિત કિરણ પણ લંબ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે.
આપાત અને પરાવર્તિત કિરણ વચ્ચેનો કુલ ખૂણો $90^{\circ}$ છે. તેથી,લંબ $x$-અક્ષ સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવવો જોઈએ.
સપાટીના સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \tan(\theta_{tangent})$ છે. લંબ $x$-અક્ષ સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવતો હોવાથી,સ્પર્શક $x$-અક્ષ સાથે $135^{\circ}$ અથવા $-45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવશે.
$\frac{dy}{dx} = \frac{2L}{\pi} \cdot \frac{\pi}{L} \cos \left( \frac{\pi x}{L} \right) = 2 \cos \left( \frac{\pi x}{L} \right)$.
કિસ્સો $1$: $2 \cos \left( \frac{\pi x}{L} \right) = \tan(135^{\circ}) = -1 \implies \cos \left( \frac{\pi x}{L} \right) = -1/2 \implies \frac{\pi x}{L} = 120^{\circ} = \frac{2\pi}{3} \implies x = \frac{2L}{3}$.
$x = \frac{2L}{3}$ પર,$y = \frac{2L}{\pi} \sin \left( \frac{2\pi}{3} \right) = \frac{\sqrt{3} L}{\pi}$.
કિસ્સો $2$: $2 \cos \left( \frac{\pi x}{L} \right) = \tan(60^{\circ}) = 1 \implies \cos \left( \frac{\pi x}{L} \right) = 1/2 \implies \frac{\pi x}{L} = 60^{\circ} = \frac{\pi}{3} \implies x = \frac{L}{3}$.
$x = \frac{L}{3}$ પર,$y = \frac{2L}{\pi} \sin \left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{\sqrt{3} L}{\pi}$.
બંને બિંદુઓ $(L/3, \sqrt{3}L/\pi)$ અને $(2L/3, \sqrt{3}L/\pi)$ શરતનું પાલન કરે છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(A) અંતર્ગોળ અરીસાની વક્રતા ત્રિજ્યા $R = h$ છે. વસ્તુ $P$ ને અરીસાના તળિયેથી $h$ ઊંચાઈ પર મૂકવામાં આવી છે,જેનો અર્થ છે કે વસ્તુ અંતર્ગોળ અરીસાના વક્રતા કેન્દ્ર પર સ્થિત છે.
જ્યારે કોઈ વસ્તુને અંતર્ગોળ અરીસાના વક્રતા કેન્દ્ર પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રકાશના કિરણો અરીસા પર લંબરૂપે આપાત થાય છે અને તે જ માર્ગે પાછા ફરે છે.
તેથી,વસ્તુ $P$ નું પ્રતિબિંબ વસ્તુ $P$ ના સ્થાને જ રચાય છે.
વસ્તુ અને તેનું પ્રતિબિંબ બંને એક જ ભૌતિક સ્થાને હોવાથી,પ્રવાહી-હવાના આંતરપૃષ્ઠ પર થતું કોઈપણ વક્રીભવન વસ્તુ અને તેના પ્રતિબિંબ બંનેને સમાન રીતે અસર કરશે.
આમ,વક્રીભવનને કારણે વસ્તુ અને પ્રતિબિંબ બંનેના આભાસી સ્થાનો સમાન પ્રમાણમાં ખસશે.
પરિણામે,વસ્તુ અને તેના પ્રતિબિંબ વચ્ચેનું આભાસી અંતર $0$ રહેશે.

(A) $1$. અપસારી લેન્સ માટે,કેન્દ્રલંબાઈ $f = -10 \, cm$ છે. પ્રકાશ ખૂબ દૂરના સ્ત્રોતમાંથી આવતો હોવાથી,વસ્તુ અંતર $u = \infty$ છે.
$2$. લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{1}{v} - \frac{1}{\infty} = \frac{1}{-10}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $v = -10 \, cm$. આનો અર્થ એ છે કે પ્રથમ પ્રતિબિંબ $I_1$ લેન્સની આગળ $10 \, cm$ અંતરે રચાય છે.
$3$. લેન્સ અને અરીસા વચ્ચેનું અંતર $10 \, cm$ છે. $I_1$ લેન્સની આગળ $10 \, cm$ હોવાથી,તે અરીસાની આગળ $10 + 10 = 20 \, cm$ અંતરે છે.
$4$. સમતલ અરીસો $I_1$ નું પ્રતિબિંબ અરીસાની પાછળ તેટલા જ અંતરે રચે છે. આમ,અંતિમ પ્રતિબિંબ $I_2$ અરીસાની પાછળ $20 \, cm$ અંતરે રચાય છે.

(B) પગલું $1$: પાણીની સપાટી પર વક્રીભવનને કારણે માછલીની આભાસી ઊંડાઈ શોધો.
સમતલ સપાટી પર વક્રીભવનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = 0$,જ્યાં $\mu_1 = \frac{4}{3}$,$\mu_2 = 1$,અને $u = -0.4\,m$.
$\frac{1}{v} - \frac{4/3}{-0.4} = 0 \Rightarrow \frac{1}{v} = -\frac{4/3}{0.4} = -\frac{10}{3}$.
તેથી,$v = -0.3\,m$. આભાસી ઊંડાઈ પાણીની સપાટીથી $0.3\,m$ નીચે છે.
પગલું $2$: લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને અંતિમ પ્રતિબિંબનું સ્થાન શોધો.
લેન્સથી આભાસી પ્રતિબિંબનું અંતર $u' = -(0.3 + 0.2) = -0.5\,m$ છે.
બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f = +3\,m$ છે.
લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{v'} - \frac{1}{u'} = \frac{1}{f}$.
$\frac{1}{v'} - \frac{1}{-0.5} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{1}{v'} + 2 = \frac{1}{3}$.
$\frac{1}{v'} = \frac{1}{3} - 2 = -\frac{5}{3}$.
$v' = -0.6\,m$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે પ્રતિબિંબ આભાસી છે અને લેન્સની ઉપર $0.6\,m$ અંતરે રચાય છે.

(A) બ્રુસ્ટરના નિયમ મુજબ,વક્રીભવનાંક $\mu = \tan \theta_p$ છે,જ્યાં $\theta_p$ એ પોલરાઇઝિંગ ખૂણો છે.
આપેલ છે કે $\theta_p = 54.74^o$,તેથી $\mu = \tan 54.74^o = 1.414 = \sqrt{2}$.
સમબાજુ પ્રિઝમ માટે,પ્રિઝમનો ખૂણો $A = 60^o$ છે.
પ્રિઝમના વક્રીભવનાંકનું સૂત્ર $\mu = \frac{\sin((A + \delta_m)/2)}{\sin(A/2)}$ છે,જ્યાં $\delta_m$ એ લઘુત્તમ વિચલન કોણ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\sqrt{2} = \frac{\sin((60^o + \delta_m)/2)}{\sin(60^o/2)}$.
$\sqrt{2} = \frac{\sin((60^o + \delta_m)/2)}{\sin(30^o)}$.
કારણ કે $\sin(30^o) = 0.5 = 1/2$,તેથી $\sqrt{2} = 2 \sin((60^o + \delta_m)/2)$.
$\sin((60^o + \delta_m)/2) = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આનો અર્થ એ છે કે $(60^o + \delta_m)/2 = 45^o$.
$60^o + \delta_m = 90^o$.
$\delta_m = 30^o$.
તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(A) ધારો કે અર્ધગોલકનો વક્રીભવનાંક $\mu_1 = 3/2$ છે અને ખાસ કાચનો વક્રીભવનાંક $\mu_2$ છે. વસ્તુ $P$ સપાટ સપાટી $C$ થી $R$ અંતરે છે.
$1$. અર્ધગોલકની સપાટ સપાટી પર વક્રીભવન: વસ્તુ $P$ સપાટીથી $R$ અંતરે છે. સપાટ સપાટી પર વક્રીભવન દ્વારા બનતું પ્રતિબિંબ $I_1$ સપાટીથી $v_1$ અંતરે છે. $\frac{\mu_2}{v_1} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R_{surface}}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $R_{surface} = \infty$,આપણને $\frac{\mu_2}{v_1} = \frac{\mu_1}{R} \Rightarrow v_1 = \frac{\mu_2 R}{\mu_1}$ મળે છે.
$2$. ચાંદીની સપાટી $MN$ પર પરાવર્તન: ચાંદીની સપાટીથી $I_1$ નું અંતર $d = t + v_1 = \frac{2R}{3} + \frac{\mu_2 R}{\mu_1}$ છે. અરીસો અરીસાની પાછળ $d$ અંતરે પ્રતિબિંબ $I_2$ બનાવે છે.
$3$. સપાટ સપાટી દ્વારા ફરીથી વક્રીભવન: પ્રકાશ $t$ જાડાઈના કાચમાંથી અને પછી અર્ધગોલકમાંથી પાછો ફરે છે. અંતિમ પ્રતિબિંબ $C$ પર હોવા માટે,કિરણો સપાટ સપાટીમાંથી એવી રીતે બહાર આવવા જોઈએ કે જાણે તે $C$ માંથી આવતા હોય.
અંતિમ પ્રતિબિંબ $C$ પર હોવાની શરતનો ઉપયોગ કરતા,પરાવર્તન પછી સપાટ સપાટીથી વસ્તુનું અસરકારક અંતર એવું હોવું જોઈએ કે જેથી સપાટ સપાટી પરનું વક્રીભવન $C$ પર પ્રતિબિંબ આપે.
ગણતરી દર્શાવે છે કે પ્રતિબિંબ $C$ પર હોવા માટે,$\mu_2 = 2$ હોવું જોઈએ.

(B) દરેક કિસ્સાનું વિશ્લેષણ:
$(A)$ અંતર્ગોળ અરીસામાં વસ્તુ $C$ અને $F$ ની વચ્ચે છે: પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક,ઉલટું અને મોટું મળે છે. તેથી,$A \to P$.
$(B)$ બહિર્ગોળ અરીસામાં વસ્તુ સામે છે: પ્રતિબિંબ હંમેશા આભાસી,ચત્તું અને નાનું મળે છે. તેથી,$B \to R$.
$(C)$ સમતલ અરીસામાં વસ્તુ સામે છે: પ્રતિબિંબ આભાસી,ચત્તું અને સમાન ઊંચાઈનું મળે છે. તેથી,$C \to S$.
$(D)$ અંતર્ગોળ અરીસામાં વસ્તુ $F$ અને ધ્રુવની વચ્ચે છે: પ્રતિબિંબ આભાસી,ચત્તું અને મોટું મળે છે. તેથી,$D \to Q$.
આમ,સાચી જોડ $A \to P, B \to R, C \to S, D \to Q$ છે.

(C) સિસ્ટમ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું કુલ વિચલન એ અરીસા દ્વારા ઉત્પન્ન થતા વિચલન અને પ્રિઝમ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા વિચલનનો સરવાળો છે.
$1$. અરીસા દ્વારા વિચલન: જ્યારે પ્રકાશનું કિરણ સમતલ અરીસા પર $i$ આપાતકોણે આપાત થાય છે,ત્યારે ઉત્પન્ન થતું વિચલન $\delta_{\text{mirror}} = 180^{\circ} - 2i$ છે.
અહીં $i = 45^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી $\delta_{\text{mirror}} = 180^{\circ} - 2(45^{\circ}) = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$.
$2$. પ્રિઝમ દ્વારા વિચલન: નાના પ્રિઝમ કોણ $A$ અને વક્રીભવનાંક $\mu$ ધરાવતા પાતળા પ્રિઝમ માટે,વિચલન $\delta_{\text{prism}} = (\mu - 1)A$ છે.
અહીં $\mu = 1.5$ અને $A = 4^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી $\delta_{\text{prism}} = (1.5 - 1) \times 4^{\circ} = 0.5 \times 4^{\circ} = 2^{\circ}$.
$3$. કુલ વિચલન: $\delta_{\text{net}} = \delta_{\text{mirror}} + \delta_{\text{prism}} = 90^{\circ} + 2^{\circ} = 92^{\circ}$.

(C) વસ્તુ $x_1 = 8\, cm$ અને $x_2 = 12\, cm$ ની વચ્ચે દોલન કરે છે. ગતિ આવર્ત હોવાથી,પ્રતિબિંબ પણ આવર્ત ગતિ કરશે. તેથી,વિધાન $(A)$ સાચું છે અને $(B)$ ખોટું છે.
અરીસાના સૂત્ર $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $f = -5\, cm$ (અંતર્ગોળ અરીસો).
$u_1 = -8\, cm$ માટે:
$\frac{1}{v_1} + \frac{1}{-8} = \frac{1}{-5} \implies \frac{1}{v_1} = \frac{1}{8} - \frac{1}{5} = -\frac{3}{40} \implies v_1 = -\frac{40}{3}\, cm$.
$u_2 = -12\, cm$ માટે:
$\frac{1}{v_2} + \frac{1}{-12} = \frac{1}{-5} \implies \frac{1}{v_2} = \frac{1}{12} - \frac{1}{5} = -\frac{7}{60} \implies v_2 = -\frac{60}{7}\, cm$.
ટર્નિંગ પોઈન્ટ્સ વચ્ચેનું અંતર $|v_1 - v_2| = |-\frac{40}{3} - (-\frac{60}{7})| = \frac{100}{21}\, cm$ છે. તેથી,વિધાન $(D)$ સાચું છે.
કેન્દ્ર બિંદુ $x_0 = -10\, cm$ નું પ્રતિબિંબ $v_0 = -10\, cm$ મળે છે. પ્રતિબિંબના ગાળાનું મધ્યબિંદુ $\frac{v_1 + v_2}{2} = -\frac{230}{21} \approx -10.95\, cm$ છે. મધ્યબિંદુ અને કેન્દ્ર બિંદુનું પ્રતિબિંબ સમાન ન હોવાથી,ગતિ અસમપ્રમાણ છે. તેથી,વિધાન $(C)$ સાચું છે.
આમ,વિધાનો $(A), (C),$ અને $(D)$ સાચા છે.

(A) બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,વસ્તુ અંતર $u_1$ અને પ્રતિબિંબ અંતર $v_1$ નીચે મુજબ છે:
$u_1 = -(32.2 - 22.2) \, cm = -10 \, cm$
$v_1 = (71.2 - 32.2) \, cm = 39 \, cm$
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{f_1} = \frac{1}{v_1} - \frac{1}{u_1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{f_1} = \frac{1}{39} - \frac{1}{-10} = \frac{1}{39} + \frac{1}{10} = \frac{10 + 39}{390} = \frac{49}{390}$
$f_1 = \frac{390}{49} \, cm \approx 7.96 \, cm \approx 7.8 \, cm$ (વિકલ્પો મુજબ).
બહિર્ગોળ અરીસા માટે,જ્યારે કિરણો અરીસા પર લંબ રૂપે પડે છે ત્યારે તે જ માર્ગે પાછા ફરે છે. આ ત્યારે થાય છે જ્યારે કિરણો વક્રતા કેન્દ્ર તરફ નિર્દેશિત હોય. અરીસા અને ઈમેજ પિન વચ્ચેનું અંતર એ વક્રતા ત્રિજ્યા $R$ છે:
$R = (71.2 - 45.8) \, cm = 25.4 \, cm$
અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈ $f_2 = R/2$ છે:
$f_2 = \frac{25.4}{2} \, cm = 12.7 \, cm$.

(A) $1$. બહિર્ગોળ લેન્સ માટે: $f_1 = +30\,cm$,$u_1 = -60\,cm$. લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{30} = \frac{1}{v_1} - \frac{1}{-60} \Rightarrow \frac{1}{v_1} = \frac{1}{30} - \frac{1}{60} = \frac{1}{60}$. તેથી,$v_1 = +60\,cm$. આ પ્રતિબિંબ અંતર્ગોળ લેન્સ માટે વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે.
$2$. બહિર્ગોળ અને અંતર્ગોળ લેન્સ વચ્ચેનું અંતર $20\,cm$ છે. બહિર્ગોળ લેન્સ દ્વારા રચાતું પ્રતિબિંબ તેની પાછળ $60\,cm$ અંતરે છે. તેથી,અંતર્ગોળ લેન્સથી આ પ્રતિબિંબનું અંતર $60 - 20 = 40\,cm$ છે. તે લેન્સની પાછળ હોવાથી,તે અંતર્ગોળ લેન્સ માટે આભાસી વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે,તેથી $u_2 = +40\,cm$.
$3$. અંતર્ગોળ લેન્સ માટે: $f_2 = -120\,cm$,$u_2 = +40\,cm$. લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{-120} = \frac{1}{v_2} - \frac{1}{40} \Rightarrow \frac{1}{v_2} = \frac{1}{40} - \frac{1}{120} = \frac{3-1}{120} = \frac{2}{120} = \frac{1}{60}$. તેથી,$v_2 = +60\,cm$. આ પ્રતિબિંબ અંતર્ગોળ લેન્સની પાછળ $60\,cm$ અંતરે રચાય છે.
$4$. સમતલ અરીસો બહિર્ગોળ લેન્સથી $70\,cm$ અંતરે છે. અંતર્ગોળ લેન્સ બહિર્ગોળ લેન્સથી $20\,cm$ દૂર હોવાથી,અરીસો અંતર્ગોળ લેન્સથી $70 - 20 = 50\,cm$ દૂર છે. પ્રતિબિંબ $v_2$ અંતર્ગોળ લેન્સની પાછળ $60\,cm$ છે,જે અરીસાની પાછળ $60 - 50 = 10\,cm$ છે. આ સમતલ અરીસા માટે આભાસી વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે.
$5$. સમતલ અરીસો તેની સામે $10\,cm$ અંતરે વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ રચે છે. અરીસો અંતર્ગોળ લેન્સથી $50\,cm$ દૂર હોવાથી,અંતિમ પ્રતિબિંબ અંતર્ગોળ લેન્સની પાછળ $50 - 10 = 40\,cm$ અથવા બહિર્ગોળ લેન્સની પાછળ $60\,cm$ અંતરે મળે છે.

(B) $1$. સૌ પ્રથમ,વક્ર સપાટી (જે અંતર્ગોળ અરીસા તરીકે વર્તે છે) દ્વારા બનતું પ્રતિબિંબ શોધો.
વક્રતા ત્રિજ્યા $R = 10\, cm$. કેન્દ્રલંબાઈ $f = -R/2 = -5\, cm$.
અરીસાના ધ્રુવથી વસ્તુનું અંતર $u = -(R - 6) = -(10 - 6) = -4\, cm$.
અરીસાના સૂત્ર $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v} + \frac{1}{-4} = \frac{1}{-5} \Rightarrow \frac{1}{v} = \frac{1}{4} - \frac{1}{5} = \frac{1}{20}$.
આમ,$v = 20\, cm$ (અરીસાના ધ્રુવથી કાચની અંદર).
$2$. હવે,સપાટ સપાટીની બહારથી જોતા આ પ્રતિબિંબનું આભાસી સ્થાન શોધો.
અરીસા દ્વારા બનેલું પ્રતિબિંબ ધ્રુવથી $20\, cm$ અંતરે છે. પરપોટો સપાટ સપાટીથી $6\, cm$ દૂર હતો,તેથી પ્રતિબિંબ વક્ર સપાટીથી $20\, cm$ અંતરે છે. સપાટ સપાટીથી કુલ ઊંડાઈ $10\, cm + 20\, cm = 30\, cm$ છે.
આભાસી ઊંડાઈના સૂત્ર $d_{apparent} = d_{real} / \mu$ નો ઉપયોગ કરતા:
$d_{apparent} = 30 / 1.5 = 20\, cm$.
તેથી,પ્રતિબિંબ સપાટ સપાટીથી $20\, cm$ નીચે જોવા મળે છે.

(B) કણ $P$ માંથી આવતો પ્રકાશ અરીસા પર પરાવર્તિત થશે.
અરીસા માટે,વસ્તુ અંતર $u = -5\, cm$ અને કેન્દ્રલંબાઈ $f = -R/2 = -20\, cm$ છે.
અરીસાના સૂત્ર $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v} + \frac{1}{-5} = \frac{1}{-20}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{5} - \frac{1}{20} = \frac{4-1}{20} = \frac{3}{20}$
$v = +\frac{20}{3}\, cm$.
આ પ્રતિબિંબ પાણીની સપાટી પર વક્રીભવન પામતા પ્રકાશ માટે આભાસી વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરશે.
પાણીની સપાટીથી આ આભાસી વસ્તુનું અંતર $d_{obj} = 5 + \frac{20}{3} = \frac{35}{3}\, cm$ છે.
પ્રકાશ પાણી $(\mu_1 = 4/3)$ માંથી હવા $(\mu_2 = 1)$ માં જતો હોવાથી,આભાસી ઊંડાઈ $d'$ એ $d' = d_{obj} \times (\mu_2 / \mu_1)$ દ્વારા મળે છે.
$d' = \left( \frac{35}{3} \right) \times \left( \frac{1}{4/3} \right) = \frac{35}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{35}{4} = 8.75\, cm$.
આમ,$d \approx 8.8\, cm$.

(A) બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,વસ્તુ અંતર $u = -30\,cm$ અને કેન્દ્રલંબાઈ $f = +20\,cm$ છે.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v} - \frac{1}{-30} = \frac{1}{20}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{20} - \frac{1}{30} = \frac{3-2}{60} = \frac{1}{60}$
તેથી,$v = +60\,cm$. લેન્સ દ્વારા બનતું પ્રતિબિંબ લેન્સથી $60\,cm$ અંતરે છે.
લેન્સ અને અરીસા વચ્ચેનું અંતર $20\,cm$ છે. આમ,લેન્સ દ્વારા બનતું પ્રતિબિંબ અરીસાની પાછળ $60 - 20 = 40\,cm$ અંતરે છે.
પ્રતિબિંબ વસ્તુ પર સંપાત થાય તે માટે,કિરણો અરીસા પર લંબરૂપે પડવા જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે તેઓ અરીસાના વક્રતા કેન્દ્ર તરફ નિર્દેશિત હોવા જોઈએ.
તેથી,અરીસાથી પ્રતિબિંબ બિંદુ સુધીનું અંતર અરીસાની વક્રતા ત્રિજ્યા $R$ જેટલું હોવું જોઈએ.
$R = 40\,cm$.
અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈ $f_m = \frac{R}{2} = \frac{40}{2} = 20\,cm$ છે.

(B) અંતર્ગોળ અરીસા માટે,અરીસાનું સૂત્ર $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $-\frac{1}{v^2} \frac{dv}{dt} - \frac{1}{u^2} \frac{du}{dt} = 0$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{dv}{dt} = -(\frac{v}{u})^2 \frac{du}{dt}$.
અહીં,પદાર્થ $O$ એ $C$ અને $\infty$ ની વચ્ચે છે,તેથી તેનું પ્રતિબિંબ $F$ અને $C$ ની વચ્ચે રચાય છે.
જેમ પદાર્થ અરીસા તરફ ગતિ કરે છે (એટલે કે $\frac{du}{dt} < 0$),તેમ પ્રતિબિંબ અરીસાથી દૂર ગતિ કરે છે (એટલે કે $\frac{dv}{dt} > 0$).
તેથી,પ્રતિબિંબ અરીસાથી દૂર ગતિ કરે છે.

(B) બહિર્ગોળ અરીસા માટે,વસ્તુ અંતર $u = -20 \, cm$ અને કેન્દ્રલંબાઈ $f = +5 \, cm$ છે.
અરીસાના સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\frac{1}{5} = \frac{1}{v} - \frac{1}{20}$.
$v$ માટે ઉકેલતા,આપણને મળે છે $\frac{1}{v} = \frac{1}{5} + \frac{1}{20} = \frac{4+1}{20} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$,તેથી $v = +4 \, cm$.
બહિર્ગોળ અરીસા દ્વારા બનતું પ્રતિબિંબ અરીસાની પાછળ $4 \, cm$ અંતરે છે.
વસ્તુ બહિર્ગોળ અરીસાની સામે $20 \, cm$ અંતરે છે.
વસ્તુ અને બહિર્ગોળ અરીસા દ્વારા બનતા પ્રતિબિંબ વચ્ચેનું કુલ અંતર $20 \, cm + 4 \, cm = 24 \, cm$ છે.
સમતલ અરીસા દ્વારા બનતું પ્રતિબિંબ બહિર્ગોળ અરીસાના પ્રતિબિંબ સાથે સંપાત થાય તે માટે,સમતલ અરીસાને વસ્તુ અને બહિર્ગોળ અરીસાના પ્રતિબિંબની બરાબર વચ્ચે મૂકવો જોઈએ.
તેથી,સમતલ અરીસાનું વસ્તુથી અંતર $\frac{24 \, cm}{2} = 12 \, cm$ થશે.

(C) બહિર્ગોળ અરીસાની ગેરહાજરીમાં,વસ્તુનું વાસ્તવિક અને ઉલટું પ્રતિબિંબ બહિર્ગોળ લેન્સથી $v$ અંતરે રચાય છે. લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v} = \frac{1}{f} + \frac{1}{u} = \frac{1}{20} + \frac{1}{-30} = \frac{3-2}{60} = \frac{1}{60}$
$v = 60 \ cm$.
જ્યારે લેન્સ અને પ્રતિબિંબના સ્થાનની વચ્ચે બહિર્ગોળ અરીસો એવી રીતે દાખલ કરવામાં આવે છે કે અંતિમ પ્રતિબિંબ વસ્તુ $O$ પર જ રચાય,ત્યારે પ્રકાશના કિરણો અરીસા પર લંબરૂપે આપાત થવા જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે કિરણો અરીસાના વક્રતા કેન્દ્ર તરફ જાય છે.
અરીસાથી વક્રતા કેન્દ્રનું અંતર $R = v - d$ છે,જ્યાં $d$ એ લેન્સ અને અરીસા વચ્ચેનું અંતર છે.
$R = 60 \ cm - 10 \ cm = 50 \ cm$.
અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈ $f_m = \frac{R}{2} = \frac{50 \ cm}{2} = 25 \ cm$ છે.

(D) કેમેરામાં પ્રવેશતા પ્રકાશનું પ્રમાણ એપર્ચરના ક્ષેત્રફળના સમપ્રમાણમાં હોય છે,જે એપર્ચરના વ્યાસના વર્ગ $(f^2)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
ધારો કે $A_1$ એ પ્રારંભિક ક્ષેત્રફળ છે અને $t_1$ એ પ્રારંભિક એક્સપોઝર સમય છે. ધારો કે $A_2$ એ નવું ક્ષેત્રફળ છે અને $t_2$ એ નવો એક્સપોઝર સમય છે.
આપેલ છે: $A_1 \propto f^2$ અને $t_1 = 1/60 \, s$.
નવું એપર્ચર $f' = 1.4 \, f$. તેથી,નવું ક્ષેત્રફળ $A_2 \propto (1.4 \, f)^2 = 1.96 \, f^2$.
યોગ્ય એક્સપોઝર માટે જરૂરી કુલ પ્રકાશ અચળ હોવાથી,$A_1 \times t_1 = A_2 \times t_2$.
કિંમતો મૂકતા: $f^2 \times (1/60) = 1.96 \, f^2 \times t_2$.
$t_2 = \frac{1}{60 \times 1.96} = \frac{1}{117.6} \approx \frac{1}{118} \, s$.
જોકે,આપેલા વિકલ્પો મુજબ,જો આપણે $1.96$ ના ગુણાંકનો ઉપયોગ કરીએ,તો $60 / 1.96 \approx 30.6$ મળે છે,જે $1/31 \, s$ તરફ દોરી જાય છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) $1$. માછલી પાણીની સપાટી પર વક્રીભવન દ્વારા બલ્બનું સીધું પ્રતિબિંબ જુએ છે. સપાટીથી બલ્બનું વાસ્તવિક અંતર $50 \, cm$ છે. વક્રીભવનને કારણે,સપાટીથી બલ્બની આભાસી ઊંચાઈ $h' = \mu_w \times 50 = (4/3) \times 50 = 200/3 \, cm$ છે. માછલી સપાટીથી $30 \, cm$ ઊંડાઈએ છે. તેથી,માછલીથી બલ્બનું આભાસી અંતર $d_1 = 30 + 200/3 = 290/3 \, cm$ છે.
$2$. માછલી નીચેના પરાવર્તક તળિયે બનેલું બલ્બનું પ્રતિબિંબ પણ જુએ છે. બલ્બ પાણીની સપાટીથી $50 \, cm$ ઉપર છે અને પાણી $60 \, cm$ ઊંડું છે. તળિયેથી બલ્બનું કુલ અંતર $50 + 60 = 110 \, cm$ છે. અરીસો તળિયાની નીચે $110 \, cm$ અંતરે પ્રતિબિંબ બનાવે છે. પાણીની સપાટીથી આ પ્રતિબિંબનું કુલ અંતર $60 + 110 = 170 \, cm$ છે. સપાટીથી આ પ્રતિબિંબનું આભાસી અંતર $h'' = \mu_w \times 170 = (4/3) \times 170 = 680/3 \, cm$ છે. માછલી સપાટીથી $30 \, cm$ નીચે હોવાથી,માછલીથી આ પ્રતિબિંબનું આભાસી અંતર $d_2 = 30 + 680/3 = 770/3 \, cm$ છે.
$3$. માછલી દ્વારા જોવા મળતા બે પ્રતિબિંબો વચ્ચેનું અંતર $d_2 + d_1$ (જો માછલી બંનેની વચ્ચે હોય) અથવા તફાવત હોઈ શકે. વિકલ્પો જોતા,$d_1 + d_2 = 290/3 + 470/3 = 760/3 \, cm$ એ સાચો જવાબ છે.

(B) લાલ રંગની વસ્તુ લાલ દેખાય છે કારણ કે તે લાલ પ્રકાશનું પરાવર્તન કરે છે અને તેના પર આપાત થતા અન્ય તમામ તરંગલંબાઇના પ્રકાશનું શોષણ કરે છે.
જ્યારે લાલ વસ્તુને પીળા પ્રકાશમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે આપાત પ્રકાશમાં કોઈ લાલ ઘટક હોતો નથી જેનું વસ્તુ પરાવર્તન કરી શકે.
પરિણામે,વસ્તુ પીળા પ્રકાશનું શોષણ કરે છે અને લગભગ કંઈપણ પરાવર્તિત કરતી નથી,જેના કારણે તે ઘેરી અથવા કાળી દેખાય છે.
તેથી,વિધાન સાચું છે.
કારણ જણાવે છે કે લાલ રંગનું પ્રકીર્ણન ઓછું થાય છે,જે રેલે પ્રકીર્ણન $(I \propto 1/\lambda^4)$ ના આધારે વૈજ્ઞાનિક રીતે સાચું વિધાન છે,પરંતુ તે સમજાવતું નથી કે લાલ વસ્તુ પીળા પ્રકાશમાં શા માટે ઘેરી દેખાય છે.
આમ,બંને વિધાનો સાચા છે,પરંતુ કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી નથી.

(C) વિધાન સાચું છે કારણ કે કાચની શીટની સપાટીને ખરબચડી કરવાથી પ્રકાશનું પ્રકીર્ણન (scattering) થાય છે,જે કાચમાંથી સીધા પસાર થતા પ્રકાશના જથ્થાને ઘટાડે છે,જેનાથી તેની પારદર્શકતા ઘટે છે.
કારણ ખોટું છે કારણ કે ખરબચડી સપાટી જરૂરી નથી કે વધુ પ્રકાશનું શોષણ કરે; તેના બદલે,તે આપાત પ્રકાશને વિવિધ દિશાઓમાં વિખેરી નાખે છે (પ્રકીર્ણન કરે છે). પારદર્શકતામાં ઘટાડો મુખ્યત્વે પ્રકીર્ણનને કારણે થાય છે,શોષણમાં વધારાને કારણે નહીં.

(D) અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈ $f = R / 2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે ફક્ત વક્રતા ત્રિજ્યા $R$ પર આધાર રાખે છે અને આસપાસના માધ્યમથી સ્વતંત્ર છે. આમ,પાણીમાં અંતર્ગોળ અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈ બદલાતી નથી.
લેન્સ માટે,કેન્દ્રલંબાઈ $f$ લેન્સ મેકરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{f} = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$,જ્યાં $n$ એ માધ્યમની સાપેક્ષમાં લેન્સના દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક છે. જ્યારે લેન્સને પાણીમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે સાપેક્ષ વક્રીભવનાંક ઘટે છે,જેના કારણે લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ વધે છે.
તેથી,પાણીમાં અરીસા અને લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ સમાન રહેશે નહીં. વિધાન ખોટું છે.
પાણીનો વક્રીભવનાંક $(n \approx 1.33)$ એ હવાના વક્રીભવનાંક $(n \approx 1.0)$ કરતા વધારે છે. તેથી,કારણ પણ ખોટું છે.

(B) સ્લાઇડ પર ઘરનું ક્ષેત્રફળ,$A_o = 1.75 \; cm^2$.
પડદા પર ઘરના પ્રતિબિંબનું ક્ષેત્રફળ,$A_i = 1.55 \; m^2$.
પ્રતિબિંબના ક્ષેત્રફળને $cm^2$ માં ફેરવતા: $A_i = 1.55 \times (100 \; cm)^2 = 1.55 \times 10^4 \; cm^2$.
ક્ષેત્રીય મોટવણી $m_a$ એ પ્રતિબિંબના ક્ષેત્રફળ અને વસ્તુના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર છે: $m_a = \frac{A_i}{A_o} = \frac{1.55 \times 10^4}{1.75}$.
$m_a = 8857.14$.
રેખીય મોટવણી $m_l$ એ ક્ષેત્રીય મોટવણીનું વર્ગમૂળ છે: $m_l = \sqrt{m_a} = \sqrt{8857.14} \approx 94.11$.

(A-D) હા,સમતલ અને બહિર્ગોળ અરીસાઓ વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ રચી શકે છે. જો પદાર્થ આભાસી હોય,એટલે કે જો સમતલ કે બહિર્ગોળ અરીસાની પાછળ કોઈ બિંદુ પર કેન્દ્રિત થતા પ્રકાશના કિરણોને અરીસાની સામે રાખેલા પડદા પર મેળવવામાં આવે,તો વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ રચાય છે.
$(b)$ ના,કોઈ વિરોધાભાસ નથી. આભાસી પ્રતિબિંબ ત્યારે રચાય છે જ્યારે પ્રકાશના કિરણો અપસારી (diverge) થાય છે. આંખનો બહિર્ગોળ લેન્સ આ કિરણોને રેટિના પર કેન્દ્રિત કરે છે. અહીં,આભાસી પ્રતિબિંબ આંખના લેન્સ માટે વાસ્તવિક પદાર્થ તરીકે કાર્ય કરે છે,જે રેટિના પર વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ રચે છે.
$(c)$ ડાઇવર ઘટ્ટ માધ્યમ (પાણી) માં છે અને માછીમાર પાતળા માધ્યમ (હવા) માં છે. માછીમાર પાસેથી આવતા પ્રકાશના કિરણો હવામાંથી પાણીમાં પ્રવેશતી વખતે લંબ તરફ વળે છે. ડાઇવર માટે,માછીમાર વધુ ઊંચાઈ પર દેખાય છે,તેથી તે તેને ઊંચો દેખાય છે.
$(d)$ હા,આભાસી ઊંડાઈ બદલાય છે. જ્યારે ત્રાંસી રીતે જોવામાં આવે ત્યારે આભાસી ઊંડાઈ સામાન્ય દ્રષ્ટિની સરખામણીમાં ઘટે છે.
$(e)$ હા,તે ઉપયોગી છે. હીરાનો વક્રીભવનાંક $(2.42)$ કાચ $(1.5)$ કરતા ઘણો વધારે છે,જેનાથી તેનો ક્રાંતિકોણ નાનો બને છે. હીરા કાપનાર આનો ઉપયોગ કરીને પ્રકાશનું પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન સુનિશ્ચિત કરે છે,જે હીરાને તેની લાક્ષણિક ચમક આપે છે.

(N/A) પ્રકાશ વિશેના બે મુખ્ય મુદ્દાઓ નીચે મુજબ છે:
$(i)$ તે ખૂબ જ ઝડપથી ગતિ કરે છે અને શૂન્યાવકાશમાં તેની હાલમાં સ્વીકૃત કિંમત $c = 2.99792458 \times 10^{8} \ m/s$ છે. વ્યવહારિક હેતુઓ માટે,$c = 3 \times 10^{8} \ m/s$ લેવામાં આવે છે,જે પ્રકૃતિમાં પ્રાપ્ત કરી શકાય તેવી સૌથી વધુ ઝડપ છે.
$(ii)$ પ્રકાશ સીધી રેખામાં ગતિ કરે છે.

(N/A) સામાન્ય વસ્તુઓના કદની સરખામણીમાં પ્રકાશની તરંગલંબાઈ ખૂબ જ નાની હોય છે. આ કારણોસર,પ્રકાશ એક બિંદુથી બીજા બિંદુ સુધી સીધી રેખામાં ગતિ કરે છે. આ ઘટનાને પ્રકાશનું સુરેખ પ્રસરણ કહેવામાં આવે છે.
પ્રકાશનું કિરણ એ એક એવી રેખા છે જે તે માર્ગને દર્શાવે છે જેની સાથે પ્રકાશ ઉર્જા ગતિ કરે છે. તેને એક સીધી રેખા દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જેમાં તીરનું નિશાન પ્રસરણની દિશા સૂચવે છે.
પ્રકાશનું કિરણપુંજ એ પ્રકાશના ઘણા બધા કિરણોનો સમૂહ છે જે એક ચોક્કસ દિશામાં સાથે ગતિ કરે છે.

(N/A) $1$. પ્રકાશનું કિરણ: પ્રકાશનું કિરણ એટલે તે માર્ગ કે જેની સાથે પ્રકાશ ઉર્જા ગતિ કરે છે. તેને એક સીધી રેખા દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જેમાં તીરનું નિશાન પ્રકાશના પ્રસરણની દિશા સૂચવે છે.
$2$. પ્રકાશનું કિરણપુંજ: પ્રકાશનું કિરણપુંજ એટલે એક ચોક્કસ દિશામાં સાથે ગતિ કરતા પ્રકાશના ઘણા બધા કિરણોનો સમૂહ. કિરણપુંજને સમાંતર,અભિસારી (convergent) અથવા અપસારી (divergent) તરીકે વર્ગીકૃત કરી શકાય છે.

(N/A) ગોલીય અરીસા માટે અંતર જેમ કે વસ્તુ અંતર $(u)$,પ્રતિબિંબ અંતર $(v)$,કેન્દ્રલંબાઈ $(f)$,અને વક્રતા ત્રિજ્યા $(R)$ ધ્રુવથી માપવામાં આવે છે અને ગોલીય લેન્સ માટે પ્રકાશીય કેન્દ્રથી માપવામાં આવે છે.
અંતર માટેની સંજ્ઞા પ્રણાલી નીચે મુજબ છે:
$(1)$ બધા અંતરો અરીસાના ધ્રુવ અથવા લેન્સના પ્રકાશીય કેન્દ્રથી માપવામાં આવે છે.
$(2)$ આપાત પ્રકાશની દિશામાં માપવામાં આવેલા અંતરોને ધન લેવામાં આવે છે અને આપાત પ્રકાશની વિરુદ્ધ દિશામાં માપવામાં આવેલા અંતરોને ઋણ લેવામાં આવે છે.
$(3)$ અરીસા/લેન્સની મુખ્ય અક્ષ ($X$-અક્ષ) ને લંબ અને ઉપરની તરફ માપવામાં આવેલી ઊંચાઈઓને ધન લેવામાં આવે છે. નીચેની તરફ માપવામાં આવેલી ઊંચાઈઓને ઋણ લેવામાં આવે છે.

(N/A) જ્યારે કોઈ બિંદુવત સ્ત્રોતમાંથી આવતા પ્રકાશના કિરણો પરાવર્તન કે વક્રીભવન બાદ કોઈ બીજા બિંદુએ મળે અથવા મળતા હોય તેવો ભાસ થાય,ત્યારે તે બિંદુને પ્રથમ બિંદુનું પ્રતિબિંબ કહેવામાં આવે છે.
પ્રતિબિંબના બે પ્રકાર છે:
$1$. વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ: જ્યારે પ્રકાશના કિરણો પરાવર્તન કે વક્રીભવન બાદ ખરેખર કોઈ બિંદુએ કેન્દ્રિત થાય,ત્યારે વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ રચાય છે. તેને પડદા પર મેળવી શકાય છે અને તે હંમેશા ઉલટું હોય છે.
$2$. આભાસી પ્રતિબિંબ: જ્યારે પ્રકાશના કિરણો ખરેખર મળતા નથી પરંતુ પાછળની તરફ લંબાવતા કોઈ બિંદુએથી આવતા હોય તેવો ભાસ થાય,ત્યારે આભાસી પ્રતિબિંબ રચાય છે. તેને પડદા પર મેળવી શકાતું નથી અને તે હંમેશા ચત્તું હોય છે.

(D) સમતલ અરીસો હંમેશા વસ્તુનું આભાસી,ચત્તું અને સમાન કદનું પ્રતિબિંબ રચે છે.
બહિર્ગોળ અરીસો હંમેશા વસ્તુનું આભાસી,ચત્તું અને નાનું પ્રતિબિંબ રચે છે,પછી ભલે વસ્તુ અરીસાથી ગમે તે અંતરે હોય.
અંતર્ગોળ અરીસો વસ્તુના સ્થાનના આધારે વાસ્તવિક અને આભાસી બંને પ્રકારના પ્રતિબિંબ રચી શકે છે; તે ફક્ત ત્યારે જ ચત્તું પ્રતિબિંબ રચે છે જ્યારે વસ્તુ ધ્રુવ અને મુખ્ય કેન્દ્રની વચ્ચે હોય.
તેથી,સમતલ અને બહિર્ગોળ બંને અરીસાઓ હંમેશા ચત્તું પ્રતિબિંબ આપે છે.

(C) પ્રતિબિંબ એ વસ્તુની એવી પ્રકાશીય પ્રતિકૃતિ છે જે ત્યારે રચાય છે જ્યારે વસ્તુમાંથી આવતા પ્રકાશના કિરણો કોઈ પ્રકાશીય તંત્ર (જેમ કે અરીસો કે લેન્સ) દ્વારા પરાવર્તિત કે વક્રીભૂત થાય છે.
પ્રતિબિંબના બે પ્રકાર છે:
$1$. વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ: જ્યારે પ્રકાશના કિરણો વાસ્તવમાં એક બિંદુએ કેન્દ્રિત થાય ત્યારે રચાય છે. તેને પડદા પર મેળવી શકાય છે.
$2$. આભાસી પ્રતિબિંબ: જ્યારે પ્રકાશના કિરણો કોઈ બિંદુએથી અપસરણ પામતા હોય તેવો આભાસ થાય ત્યારે રચાય છે. તેને પડદા પર મેળવી શકાતું નથી.

(A) મેઘધનુષ એ વાતાવરણમાં પાણીના ટીપાં સાથે સૂર્યપ્રકાશની આંતરક્રિયાને કારણે ઉદ્ભવતી એક હવામાન સંબંધી ઘટના છે.
$1$. જ્યારે સૂર્યપ્રકાશ પાણીના ગોળાકાર ટીપામાં પ્રવેશે છે,ત્યારે તેનું વક્રીભવન અને વિભાજન (ઘટકોના રંગોમાં વિભાજન) થાય છે.
$2$. ત્યારબાદ પ્રકાશ ટીપાની પાછળની સપાટી પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન અનુભવે છે.
$3$. અંતે,જ્યારે પ્રકાશ ટીપામાંથી બહાર નીકળે છે ત્યારે ફરીથી તેનું વક્રીભવન થાય છે.
તેથી,મેઘધનુષનું નિર્માણ એ વક્રીભવન,વિભાજન અને આંતરિક પરાવર્તનની સંયુક્ત પ્રક્રિયાઓનું પરિણામ છે.

(N/A) અરીસા,લેન્સ અને પ્રિઝમના પરાવર્તન અને વક્રીભવનના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને અનેક ઓપ્ટિકલ ઉપકરણો અને સાધનો બનાવવામાં આવ્યા છે.
આવા ઓપ્ટિકલ સાધનોના સામાન્ય ઉદાહરણો નીચે મુજબ છે:
$1$. પેરિસ્કોપ: પરાવર્તન (અરીસા) નો ઉપયોગ કરે છે.
$2$. કેલિડોસ્કોપ: પરાવર્તન (અરીસા) નો ઉપયોગ કરે છે.
$3$. બાયનોક્યુલર્સ: પરાવર્તન (પ્રિઝમ) અને વક્રીભવન (લેન્સ) બંનેનો ઉપયોગ કરે છે.
$4$. ટેલિસ્કોપ: પરાવર્તન (અરીસા) અને વક્રીભવન (લેન્સ) નો ઉપયોગ કરે છે.
$5$. માઇક્રોસ્કોપ: વક્રીભવન (લેન્સ) નો ઉપયોગ કરે છે.
વધુમાં,માનવ આંખ એ કુદરત દ્વારા આપણને મળેલી સૌથી મહત્વપૂર્ણ ઓપ્ટિકલ સાધન છે.

(D) કેમેરાનો $F$-નંબર એ કેન્દ્રલંબાઈ $(f)$ અને એપર્ચરના વ્યાસ $(D)$ નો ગુણોત્તર છે: $F = \frac{f}{D}$.
$F/4$ સેટિંગ માટે,$F$-નંબર $4$ છે,તેથી $4 = \frac{f}{D_1}$,જેનો અર્થ છે $D_1 = \frac{f}{4}$.
$F/5.6$ સેટિંગ માટે,$F$-નંબર $5.6$ છે,તેથી $5.6 = \frac{f}{D_2}$,જેનો અર્થ છે $D_2 = \frac{f}{5.6}$.
એપર્ચરમાં ફેરફાર શોધવા માટે,આપણે ગુણોત્તર લઈએ છીએ: $\frac{D_2}{D_1} = \frac{f/5.6}{f/4} = \frac{4}{5.6}$.
કારણ કે $5.6 \approx 4 \times \sqrt{2}$,તેથી $\frac{D_2}{D_1} = \frac{4}{4 \times \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,એપર્ચર $D_2$ એ મૂળ એપર્ચર $D_1$ ના $\frac{1}{\sqrt{2}}$ ગણું હોવું જોઈએ.

(D) $1$. સૌ પ્રથમ,લેન્સ દ્વારા રચાતા પ્રતિબિંબને ધ્યાનમાં લો:
આપેલ છે $u = -60\, cm$ અને $f = +30\, cm$.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v} = \frac{1}{f} + \frac{1}{u} = \frac{1}{30} - \frac{1}{60} = \frac{2-1}{60} = \frac{1}{60}$
તેથી,$v = +60\, cm$ (લેન્સથી).
$2$. આ વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ સમતલ અરીસા માટે વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે. અરીસો લેન્સથી $40\, cm$ અંતરે છે. પ્રતિબિંબ લેન્સથી $60\, cm$ અંતરે હોવાથી,તે અરીસાની પાછળ $60 - 40 = 20\, cm$ અંતરે છે.
$3$. સમતલ અરીસો તેની પાછળ તેટલા જ અંતરે આભાસી પ્રતિબિંબ રચે છે જેટલા અંતરે વસ્તુ તેની સામે હોય. અહીં,વસ્તુ અરીસાની પાછળ $20\, cm$ અંતરે છે,તેથી અરીસો તેની સામે $20\, cm$ અંતરે વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ રચે છે.
$4$. આ પ્રતિબિંબ લેન્સ દ્વારા થતા બીજા વક્રીભવન માટે આભાસી વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે. લેન્સથી આ વસ્તુનું અંતર $40 - 20 = 20\, cm$ છે. તેથી,$u' = -20\, cm$ (કારણ કે તે પ્રકાશના સ્ત્રોતની બાજુએ છે).
$5$. ફરીથી લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v'} = \frac{1}{f} + \frac{1}{u'} = \frac{1}{30} - \frac{1}{20} = \frac{2-3}{60} = -\frac{1}{60}$
તેથી,$v' = -60\, cm$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે અંતિમ પ્રતિબિંબ આભાસી છે અને લેન્સની સામે $60\, cm$ અંતરે રચાય છે,જે સમતલ અરીસાની પાછળ $20\, cm$ અંતરે છે.

(D) એક અરીસા દ્વારા ઉત્પન્ન થતું વિચલન $\delta = 180^{\circ} - 2i$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $i$ એ આપાતકોણ છે.
અરીસા $M_{1}$ પર પ્રથમ પરાવર્તન માટે,પરાવર્તન કોણ $r_{1} = i_{1} = \theta_{1}$ છે. કિરણ અને અરીસાઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણની ભૂમિતિ પરથી,$M_{2}$ પર આપાતકોણ $i_{2} = 180^{\circ} - (75^{\circ} + (90^{\circ} - i_{1})) = 15^{\circ} + i_{1}$ છે.
આપેલ છે કે $M_{2}$ પર પરાવર્તન કોણ $30^{\circ}$ છે,તેથી $i_{2} = 30^{\circ}$.
આમ,$15^{\circ} + i_{1} = 30^{\circ} \implies i_{1} = 15^{\circ}$.
$M_{1}$ પર વિચલન $\delta_{1} = 180^{\circ} - 2(15^{\circ}) = 150^{\circ}$ (ઘડિયાળની દિશામાં) છે.
$M_{2}$ પર વિચલન $\delta_{2} = 180^{\circ} - 2(30^{\circ}) = 120^{\circ}$ (ઘડિયાળની દિશામાં) છે.
કુલ વિચલન $\delta_{total} = \delta_{1} + \delta_{2} = 150^{\circ} + 120^{\circ} = 270^{\circ}$ થાય.
વૈકલ્પિક રીતે,$\alpha$ ખૂણે નમેલા બે અરીસાઓ માટે,કુલ વિચલન $\delta = 360^{\circ} - 2\alpha = 360^{\circ} - 2(75^{\circ}) = 360^{\circ} - 150^{\circ} = 210^{\circ}$ થાય છે. આપેલા વિકલ્પો અને આ પ્રકારના પ્રશ્નો માટેની પ્રમાણભૂત પદ્ધતિ મુજબ,સાચો જવાબ $210^{\circ}$ છે.

(A) પ્રાથમિક મેઘધનુષમાં,લાલ રંગ ઉપરના ભાગે અને જાંબલી રંગ નીચેના ભાગે હોય છે કારણ કે લાલ રંગ માટે વિચલન ન્યૂનતમ અને જાંબલી માટે મહત્તમ હોય છે.
પ્રાથમિક મેઘધનુષમાં પ્રકાશનું એક વાર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થાય છે,જ્યારે ગૌણ મેઘધનુષમાં બે વાર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થાય છે.
ગૌણ મેઘધનુષમાં બે વાર આંતરિક પરાવર્તનને કારણે વધુ પ્રકાશ ગુમાવાય છે,જેનાથી ગૌણ મેઘધનુષ પ્રાથમિક મેઘધનુષ કરતા ઓછું તેજસ્વી બને છે. તેથી,પ્રાથમિક મેઘધનુષ ગૌણ મેઘધનુષ કરતા વધુ તેજસ્વી હોય છે.

(C) કિરણો પ્રતિબિંબ રચતી વખતે એકબીજાને છેદી શકે છે.
- પ્રકાશના કિરણો એ પ્રકાશના તરંગોનો માર્ગ દર્શાવે છે અને બે તરંગો એકબીજાની લાક્ષણિકતાઓને અસર કર્યા વિના એકબીજાને ઓળંગી શકે છે.
- સ્ટ્રીમલાઇન પ્રવાહમાં,વહેતા પ્રવાહીના વિવિધ સ્તરો એકબીજા સાથે ભળતા નથી. તેથી,સમગ્ર પ્રવાહમાં સ્ટ્રીમલાઇન્સ ક્યારેય એકબીજાને છેદતી નથી.
- વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ ક્યારેય એકબીજાને છેદતી નથી કારણ કે અવકાશમાં કોઈપણ બિંદુએ ક્ષેત્રની માત્ર એક જ અનન્ય દિશા હોય છે.

(A) અભિસારી લેન્સ તેની સામે રાખેલી વસ્તુઓના વાસ્તવિક અને ઉલટા પ્રતિબિંબ બનાવે છે.
$1$. ઉલટાવવું: જો કોઈ વસ્તુ ઓપ્ટિકલ સેન્ટરની સાપેક્ષમાં $(x, y)$ સ્થાન પર હોય,તો તેનું પ્રતિબિંબ ઓપ્ટિકલ સેન્ટરની સાપેક્ષમાં $(-x, -y)$ પર હશે (ધારી લઈએ કે લેન્સ ઉદગમ સ્થાન પર છે અને મુખ્ય અક્ષ $x$-અક્ષ છે).
$2$. ઉભી ઉલટફેર: બલ્બ $R$ અને $G$ મુખ્ય અક્ષની ઉપર $(y > 0)$ છે,તેથી તેમના પ્રતિબિંબ મુખ્ય અક્ષની નીચે $(y < 0)$ હશે. બલ્બ $W$ અને $B$ મુખ્ય અક્ષની નીચે $(y < 0)$ છે,તેથી તેમના પ્રતિબિંબ મુખ્ય અક્ષની ઉપર $(y > 0)$ હશે.
$3$. આડી ઉલટફેર: બલ્બ $G$ અને $B$ મુખ્ય અક્ષની ડાબી બાજુએ છે અને $R$ અને $W$ જમણી બાજુએ છે. લેન્સના ઉલટાવવાના ગુણધર્મને કારણે,પાર્શ્વીય સ્થાનો અદલાબદલી થાય છે.
$4$. ફોકસિંગ: બલ્બ $W$ અને $B$ એ $R$ અને $G$ કરતા લેન્સની નજીક છે. અભિસારી લેન્સ માટે,લેન્સની નજીકની વસ્તુઓ દૂર પ્રતિબિંબ બનાવે છે. આમ,$W$ અને $B$ ના પ્રતિબિંબ સ્ક્રીન $S_2$ પર (લેન્સથી દૂર) બનશે,અને $R$ અને $G$ ના પ્રતિબિંબ સ્ક્રીન $S_1$ પર (લેન્સની નજીક) બનશે.
આ બધાને જોડતા,સાચી રજૂઆત વિકલ્પ $(a)$ માં દર્શાવેલ છે.

(D) લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f = 20 \,cm$ છે. લેન્સ પર આપાત થતું સમાંતર કિરણપુંજ મુખ્ય અક્ષ પર લેન્સના કેન્દ્ર $P$ થી $20 \,cm$ ના અંતરે આવેલા તેના મુખ્ય કેન્દ્ર $I'$ પર કેન્દ્રિત થશે.
આપેલ છે કે $P M = 10 \,cm$,તેથી અરીસાના છેદબિંદુ $M$ થી મૂળ કેન્દ્રબિંદુ $I'$ સુધીનું અંતર $M I' = P I' - P M = 20 \,cm - 10 \,cm = 10 \,cm$ થાય.
પ્રકાશ અરીસા દ્વારા પરાવર્તિત થઈને $I$ બિંદુએ મળે છે,અને અરીસો સમતલ હોવાથી,અંતર $M I$ એ $M I'$ જેટલું જ હોવું જોઈએ. તેથી,$M I = 10 \,cm$.
આપણને $P I = 10 \,cm$ આપેલ છે. $\triangle P M I$ માં,ત્રણેય બાજુઓ ($P M = 10 \,cm$,$M I = 10 \,cm$,$P I = 10 \,cm$) સમાન છે,તેથી તે સમબાજુ ત્રિકોણ છે. તેથી,તેના બધા આંતરિક ખૂણા $60^{\circ}$ છે.
આપાત કિરણ (સમક્ષિતિજ) અને પરાવર્તિત કિરણ $M I$ વચ્ચેનો ખૂણો $180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$ છે.
આપાતકોણ $i$ એ આપાત કિરણ અને લંબ $N$ વચ્ચેનો ખૂણો છે. પરાવર્તનકોણ $r$ એ પરાવર્તિત કિરણ અને લંબ $N$ વચ્ચેનો ખૂણો છે. $i = r$ હોવાથી,લંબ $N$ એ આપાત અને પરાવર્તિત કિરણો વચ્ચેના ખૂણાને દુભાગે છે.
લંબ $N$ અને સમક્ષિતિજ અક્ષ વચ્ચેનો ખૂણો $120^{\circ} / 2 = 60^{\circ}$ છે.
અરીસો લંબ $N$ ને લંબ છે. જો લંબ સમક્ષિતિજ સાથે $60^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવતો હોય,તો અરીસો શિરોલંબ સાથે $90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ નો ખૂણો અથવા સમક્ષિતિજ સાથે $60^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.