Critical Angle and Total Internal Reflection Questions in Hindi

(D) सापेक्ष अपवर्तनांक अंतर $\Delta$ को $\Delta = \frac{n_1 - n_2}{n_1} = 0.88\% = 0.0088$ द्वारा दर्शाया जाता है।
इससे हमें $1 - \frac{n_2}{n_1} = 0.0088$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{n_2}{n_1} = 1 - 0.0088 = 0.9912$।
कोर-क्लैडिंग इंटरफेस पर क्रांतिक कोण $\theta_c$ को $\sin \theta_c = \frac{n_2}{n_1}$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,$\theta_c = \sin^{-1}(0.9912)$।
इस मान की गणना करने पर,$\theta_c \approx 82.4^\circ$ प्राप्त होता है।
चूंकि $82.4^\circ$ विकल्पों $60^\circ, 75^\circ, 45^\circ$ में नहीं है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(A) ऑप्टिकल फाइबर पूर्ण आंतरिक परावर्तन $(TIR)$ के सिद्धांत पर कार्य करता है।
$TIR$ होने के लिए,प्रकाश को सघन माध्यम से विरल माध्यम में जाना चाहिए।
इसलिए,कोर का अपवर्तनांक $(\mu_1)$ क्लैडिंग के अपवर्तनांक $(\mu_2)$ से अधिक होना चाहिए,अर्थात $\mu_1 > \mu_2$।
यह स्थिति सुनिश्चित करती है कि प्रकाश कोर के भीतर ही फंसा रहे,जिससे रिसाव और सिग्नल की हानि न्यूनतम हो जाती है।

(C) ऑप्टिकल फाइबर में,प्रकाश इसके कोर (core) और क्लैडिंग (cladding) के बीच के इंटरफेस पर बार-बार पूर्ण आंतरिक परावर्तन (Total Internal Reflection) के कारण यात्रा करता है। यह इसलिए होता है क्योंकि कोर का अपवर्तनांक क्लैडिंग की तुलना में अधिक होता है और प्रकाश क्रांतिक कोण (critical angle) से अधिक कोण पर आपतित होता है।

(B) स्वीकार्य कोण $\theta_a$ वह अधिकतम कोण है जो प्रकाश की किरण ऑप्टिकल फाइबर की धुरी के साथ बना सकती है और फिर भी पूर्ण आंतरिक परावर्तन द्वारा कोर के माध्यम से निर्देशित हो सकती है।
एयर-कोर इंटरफेस पर स्नेल के नियम को लागू करने पर: $1 \cdot \sin \theta_a = n_1 \cdot \sin \theta_r$,जहाँ $\theta_r$ अपवर्तन कोण है।
कोर-क्लैडिंग इंटरफेस पर,पूर्ण आंतरिक परावर्तन होने के लिए,आपतन कोण $\theta_i$ क्रांतिक कोण $\theta_c$ के बराबर या उससे अधिक होना चाहिए,जहाँ $\sin \theta_c = n_2/n_1$ है।
चूंकि $\theta_r + \theta_i = 90^\circ$,इसलिए $\sin \theta_r = \cos \theta_i = \sqrt{1 - \sin^2 \theta_i} = \sqrt{1 - (n_2/n_1)^2} = \frac{\sqrt{n_1^2 - n_2^2}}{n_1}$ है।
इस मान को पहले समीकरण में रखने पर: $\sin \theta_a = n_1 \cdot \frac{\sqrt{n_1^2 - n_2^2}}{n_1} = \sqrt{n_1^2 - n_2^2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\theta_a = \sin^{-1}\sqrt{n_1^2 - n_2^2}$।

(D) दिया गया है: कांच का अपवर्तनांक $\mu_g = \sqrt{2}$,वायु का अपवर्तनांक $\mu_a = 1$,और आपतन कोण $i = 45^{\circ}$ है।
कांच-वायु इंटरफेस पर स्नेल के नियम का उपयोग करने पर: $\mu_g \sin(i) = \mu_a \sin(r)$.
मान रखने पर: $\sqrt{2} \sin(45^{\circ}) = 1 \cdot \sin(r)$.
चूंकि $\sin(45^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,हमें प्राप्त होता है: $\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \sin(r)$.
यह सरल होकर $1 = \sin(r)$ हो जाता है,जिसका अर्थ है $r = 90^{\circ}$।
चूंकि अपवर्तन कोण $90^{\circ}$ है,इसलिए किरण कांच के ब्लॉक की सतह को छूते हुए (grazing) बाहर निकलेगी।

(B) सही उत्तर $B$ है। हीरे का अपवर्तनांक बहुत अधिक $(n \approx 2.42)$ होता है। इस उच्च अपवर्तनांक के कारण,हीरे और हवा के इंटरफेस के लिए क्रांतिक कोण बहुत छोटा (लगभग $24.4^\circ$) होता है। जब प्रकाश एक कटे हुए हीरे में प्रवेश करता है,तो वह बार-बार पूर्ण आंतरिक परावर्तन से गुजरता है क्योंकि आपतन कोण अक्सर इस छोटे क्रांतिक कोण से अधिक हो जाता है। इस बार-बार होने वाले आंतरिक परावर्तन के कारण ही हीरा चमकता है।

(C) जब प्रकाश सघन माध्यम (पानी) से विरल माध्यम (हवा) में जाता है,तो वह अभिलंब से दूर हट जाता है।
यदि आपतन कोण क्रांतिक कोण से कम है $(i < C)$,तो प्रकाश हवा में अपवर्तित हो जाता है।
यदि आपतन कोण क्रांतिक कोण से अधिक है $(i > C)$,तो पूर्ण आंतरिक परावर्तन होता है और प्रकाश पानी में ही वापस लौट आता है।
पूल के बाहर किसी व्यक्ति को संकेत देने के लिए,गोताखोर को यह सुनिश्चित करना होगा कि प्रकाश हवा में अपवर्तित हो,जो तब होता है जब आपतन कोण क्रांतिक कोण से थोड़ा कम हो।

(D) अपवर्तनांक $\mu$ और क्रांतिक कोण $C$ के बीच का संबंध $\sin C = \frac{1}{\mu}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि कांच का अपवर्तनांक $\mu$ बैंगनी रंग के प्रकाश के लिए अधिकतम होता है (विक्षेपण के कारण,$\mu_v > \mu_r$),इसलिए $\sin C$ का मान बैंगनी रंग के लिए न्यूनतम हो जाता है।
परिणामस्वरूप,क्रांतिक कोण $C = \arcsin(1/\mu)$ बैंगनी रंग के लिए न्यूनतम होता है।

(C) किसी माध्यम का अपवर्तनांक $n$ उस माध्यम में प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है,जिसे $n = \frac{c}{v} = \frac{\lambda_0}{\lambda}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
दो माध्यमों $x$ और $y$ के लिए,$y$ के सापेक्ष $x$ का सापेक्ष अपवर्तनांक $n_{xy} = \frac{n_x}{n_y} = \frac{\lambda_y}{\lambda_x}$ होता है।
यहाँ $\lambda_x = 3500 \ \mathring{A}$ और $\lambda_y = 7000 \ \mathring{A}$ दिया गया है।
पूर्ण आंतरिक परावर्तन के लिए प्रकाश को सघन माध्यम से विरल माध्यम में जाना चाहिए,इसलिए सघन माध्यम $x$ (छोटी तरंगदैर्ध्य) है और विरल माध्यम $y$ (बड़ी तरंगदैर्ध्य) है।
क्रांतिक कोण $C$ की परिभाषा के अनुसार $\sin C = \frac{n_y}{n_x} = \frac{\lambda_x}{\lambda_y}$ होता है।
मान रखने पर: $\sin C = \frac{3500}{7000} = \frac{1}{2}$।
अतः,$C = \arcsin(0.5) = 30^o$।

(C) जब एक मछली पानी की सतह के नीचे से ऊपर देखती है,तो वह प्रकाश के एक शंकु के माध्यम से पूरी बाहरी दुनिया को देख सकती है।
यह घटना हवा से पानी में आने वाली प्रकाश की किरणों के अपवर्तन के कारण होती है।
सतह से मछली की आंख तक पहुंचने वाली प्रकाश की किरणें क्रांतिक कोण $c$ द्वारा सीमित होती हैं।
क्रांतिक कोण $c$ से अधिक कोण पर आपतित होने वाली प्रकाश की कोई भी किरण पूर्ण आंतरिक परावर्तन से गुजरती है और बाहर से मछली तक नहीं पहुंचती है।
प्रकाश के शंकु की ज्यामिति से,मछली की आंख पर शंकु द्वारा बनाया गया कुल कोणीय विस्तार $\theta$ क्रांतिक कोण का दोगुना होता है।
इसलिए,$\theta = 2c$।
यह दिया गया है कि क्रांतिक कोण $c = 49^\circ$ है,इसलिए $\theta = 2 \times 49^\circ = 98^\circ$।

(B) निर्वात के सापेक्ष माध्यम का अपवर्तनांक $\mu$ और क्रांतिक कोण $C$ के बीच का संबंध है: $\mu = \frac{1}{\sin C}$।
यहाँ $C = 30^o$ दिया गया है,इसलिए $\mu = \frac{1}{\sin 30^o} = \frac{1}{0.5} = 2$।
माध्यम में प्रकाश का वेग $v$,सूत्र $v = \frac{c}{\mu}$ द्वारा प्राप्त किया जाता है,जहाँ $c$ निर्वात में प्रकाश की गति $(3 \times 10^8 \ m/s)$ है।
अतः,$v = \frac{3 \times 10^8 \ m/s}{2} = 1.5 \times 10^8 \ m/s$।

(C) परावर्तन के नियम के अनुसार,आपतन कोण $i$,परावर्तन कोण $r$ के बराबर होता है,इसलिए $i = r$ है।
यह दिया गया है कि परावर्तित किरण और अपवर्तित किरण परस्पर लंबवत हैं,इसलिए परावर्तन कोण $r$,परावर्तित और अपवर्तित किरण के बीच का कोण $(90^{\circ})$ और अपवर्तन कोण $r'$ का योग $180^{\circ}$ होता है।
अतः,$r + 90^{\circ} + r' = 180^{\circ}$,जिसका अर्थ है कि $r' = 90^{\circ} - r$। चूँकि $i = r$,इसलिए $r' = 90^{\circ} - i$ है।
अंतरापृष्ठ पर स्नेल के नियम को लागू करने पर,विरल माध्यम के सापेक्ष सघन माध्यम का अपवर्तनांक $\mu = \frac{\sin r'}{\sin i}$ द्वारा दिया जाता है।
हम जानते हैं कि क्रांतिक कोण $C$,अपवर्तनांक के साथ $\sin C = \frac{1}{\mu}$ संबंध रखता है।
इसलिए,$\sin C = \frac{\sin i}{\sin r'} = \frac{\sin i}{\sin(90^{\circ} - i)} = \frac{\sin i}{\cos i} = \tan i$ है।
अतः,क्रांतिक कोण $C = \sin^{-1}(\tan i)$ होगा।

(A) पूर्ण आंतरिक परावर्तन होने के लिए,आपतन कोण $i$ का मान क्रांतिक कोण $C$ से अधिक होना चाहिए,अर्थात $i > C$ होना चाहिए।
दोनों पक्षों का ज्या (sine) लेने पर,हमें $\sin i > \sin C$ प्राप्त होता है।
चूंकि क्रांतिक कोण $C$ को $\sin C = \frac{1}{\mu}$ द्वारा परिभाषित किया जाता है,इसलिए हम इस मान को असमिका में प्रतिस्थापित करते हैं।
अतः,$\sin i > \frac{1}{\mu}$।
इस असमिका को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{1}{\sin i} < \mu$ प्राप्त होता है।

(D) प्रकाश का पूर्ण आंतरिक परावर्तन केवल तभी होता है जब प्रकाश सघन माध्यम से विरल माध्यम में गमन करता है।
दिए गए विकल्पों में,$Air$ (वायु) की तुलना में $Water$ (जल) एक सघन माध्यम है।
इसलिए,जब प्रकाश $Water$ से $Air$ में गमन करता है,तो यदि आपतन कोण का मान क्रांतिक कोण से अधिक हो,तो पूर्ण आंतरिक परावर्तन संभव है।

(B) पूर्ण आंतरिक परावर्तन एक ऐसी घटना है जिसमें आपतित किरण दो माध्यमों के अंतरापृष्ठ पर पूर्ण परावर्तन का अनुभव करती है।
पूर्ण आंतरिक परावर्तन के लिए आवश्यक शर्तें निम्नलिखित हैं:
$1$. प्रकाश को सघन माध्यम से विरल माध्यम में जाना चाहिए।
$2$. आपतन कोण $i$ का मान क्रांतिक कोण $i_c$ से अधिक होना चाहिए $(i > i_c)$।
जब $i < i_c$ होता है,तो प्रकाश विरल माध्यम में अपवर्तित हो जाता है। जब $i = i_c$ होता है,तो प्रकाश $90^{\circ}$ के अपवर्तन कोण पर अंतरापृष्ठ को छूते हुए निकलता है। जब $i > i_c$ होता है,तो प्रकाश वापस सघन माध्यम में परावर्तित हो जाता है,जिसे पूर्ण आंतरिक परावर्तन कहा जाता है।

(C) जब एक गोताखोर पानी के अंदर से ऊपर देखता है,तो आकाश से आने वाला प्रकाश पानी में प्रवेश करता है और अपवर्तन होता है। पूर्ण आंतरिक परावर्तन की घटना के कारण,गोताखोर आकाश को प्रकाश के एक शंकु के भीतर देखता है।
इस शंकु का अर्ध-शीर्ष कोण पानी-हवा इंटरफ़ेस के लिए क्रांतिक कोण $(C)$ के बराबर होता है।
क्रांतिक कोण का सूत्र $\sin(C) = \frac{1}{\mu}$ है,जहाँ $\mu$ हवा के सापेक्ष पानी का अपवर्तनांक है।
दिया गया है $\mu = 4/3$,इसलिए $\sin(C) = \frac{1}{4/3} = \frac{3}{4}$।
अतः,अर्ध-शीर्ष कोण $C = \sin^{-1}(3/4)$ है।

(C) क्रांतिक कोण को सघन माध्यम में उस आपतन कोण के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसके लिए विरल माध्यम में अपवर्तन कोण ठीक $90^o$ होता है।
जब प्रकाश सघन माध्यम से विरल माध्यम में जाता है,तो जैसे-जैसे आपतन कोण बढ़ता है,अपवर्तन कोण भी बढ़ता जाता है।
आपतन कोण के एक विशिष्ट मान पर,जिसे क्रांतिक कोण $(i_c)$ कहा जाता है,अपवर्तित किरण दोनों माध्यमों के अंतरापृष्ठ (interface) को छूते हुए निकलती है,जिससे अपवर्तन कोण $r = 90^o$ हो जाता है।

(D) क्रांतिक कोण $C$ का सूत्र $\mu = \frac{1}{\sin C}$ है,जहाँ $\mu$ अपवर्तनांक है।
यहाँ दिया गया है कि अपवर्तनांक $\mu = 2$ है।
सूत्र में मान रखने पर: $2 = \frac{1}{\sin C}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $\sin C = \frac{1}{2}$ है।
अतः,$C = \sin^{-1}(0.5) = 30^o$।

(D) पानी में हवा का बुलबुला पूर्ण आंतरिक परावर्तन की घटना के कारण चमकता है।
जब प्रकाश सघन माध्यम (पानी) से विरल माध्यम (हवा) में जाता है,तो यदि आपतन कोण क्रांतिक कोण से अधिक हो जाता है,तो प्रकाश का पूर्ण आंतरिक परावर्तन होता है।
चूंकि हवा के बुलबुले के अंदर प्रकाश की गति पानी की तुलना में अधिक होती है,इसलिए बुलबुले की सतह पानी से आने वाली प्रकाश किरणों के लिए एक परावर्तक सतह के रूप में कार्य करती है।
इसके कारण प्रकाश बुलबुले से परावर्तित होकर दूर चला जाता है,जिससे यह कुछ कोणों से चमकीला या दर्पण जैसा दिखाई देता है।

(C) क्रांतिक कोण $C$ का सूत्र $C = \sin^{-1}\left(\frac{1}{\mu}\right)$ है।
लाल प्रकाश के लिए,$\theta = \sin^{-1}\left(\frac{1}{\mu_{\lambda_1}}\right)$ और पीले प्रकाश के लिए,$\theta' = \sin^{-1}\left(\frac{1}{\mu_{\lambda_2}}\right)$ है।
कोशी के विक्षेपण सूत्र के अनुसार,अपवर्तनांक $\mu$ तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है। चूंकि पीले प्रकाश की तरंगदैर्ध्य लाल प्रकाश की तरंगदैर्ध्य से कम होती है $(\lambda_2 < \lambda_1)$,इसलिए पीले प्रकाश का अपवर्तनांक लाल प्रकाश से अधिक होता है $(\mu_{\lambda_2} > \mu_{\lambda_1})$।
चूंकि $\mu_{\lambda_2} > \mu_{\lambda_1}$,इसलिए $\frac{1}{\mu_{\lambda_2}} < \frac{1}{\mu_{\lambda_1}}$ होगा।
अतः,$\theta' < \theta$। इस प्रकार,पीले प्रकाश के लिए क्रांतिक कोण $\theta$ से कम होगा।

(C) मृगतृष्णा (Mirage) गर्म रेगिस्तानों या गर्म सड़कों पर देखी जाने वाली एक दृष्टिभ्रम है।
यह प्रकाश के पूर्ण आंतरिक परावर्तन के कारण होती है।
जैसे-जैसे प्रकाश सघन माध्यम (जमीन के पास की ठंडी हवा) से विरल माध्यम (ऊपर की गर्म हवा) में यात्रा करता है,हवा का अपवर्तनांक लगातार बदलता रहता है।
जब आपतन कोण हवा की परतों के बीच के क्रांतिक कोण से अधिक हो जाता है,तो प्रकाश का पूर्ण आंतरिक परावर्तन हो जाता है,जिससे दूर की वस्तुओं का उल्टा प्रतिबिंब बनता है।

(D) पूर्ण आंतरिक परावर्तन $(TIR)$ होने के लिए,आपतन कोण $(i)$ क्रांतिक कोण $(C)$ से अधिक होना चाहिए।
$i > C$
दोनों पक्षों का साइन लेने पर,हमें मिलता है $\sin i > \sin C$.
दिया गया है $i = 45^\circ$,इसलिए $\sin 45^\circ > \frac{1}{n}$.
चूंकि $\sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$,असमिका इस प्रकार हो जाती है: $\frac{1}{\sqrt{2}} > \frac{1}{n}$.
इसका अर्थ है $n > \sqrt{2}$.
चूंकि $\sqrt{2} \approx 1.414$,हमें $n > 1.414$ की आवश्यकता है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर:
विकल्प $(a)$ $1.3 < 1.414$ (गलत)।
विकल्प $(b)$ $1.6 > 1.414$ (सही)।
विकल्प $(c)$ $1.5 > 1.414$ (सही)।
अतः,$(b)$ और $(c)$ दोनों $n$ के लिए संभावित मान हैं।

(C) क्रांतिक कोण $i_{c}$ को सघन माध्यम (कांच) में उस आपतन कोण के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसके लिए विरल माध्यम (वायु) में अपवर्तन कोण $90^{\circ}$ होता है।
इस विशिष्ट आपतन कोण पर,अपवर्तित किरण दोनों माध्यमों के बीच की सतह को स्पर्श करती हुई निकलती है,जो प्रभावी रूप से कांच-वायु सीमा के अनुदिश चलती है।

(D) सही उत्तर $(d)$ है।
पूर्ण आंतरिक परावर्तन एक शक्तिशाली प्रक्रिया है क्योंकि इसका उपयोग प्रकाश को सीमित करने के लिए किया जा सकता है। पूर्ण आंतरिक परावर्तन के सबसे सामान्य अनुप्रयोगों में से एक फाइबर ऑप्टिक्स है।
ऑप्टिकल फाइबर एक पतला,पारदर्शी फाइबर है,जो आमतौर पर कांच या प्लास्टिक से बना होता है,जिसका उपयोग प्रकाश को प्रसारित करने के लिए किया जाता है।
यदि प्रकाश केबल के सिरे पर आपतन कोण क्रांतिक कोण से अधिक के कोण पर आपतित होता है,तो प्रकाश बार-बार होने वाले पूर्ण आंतरिक परावर्तन के कारण कांच के तार के अंदर ही फंसा रहता है।
इस प्रकार,प्रकाश तीव्रता में महत्वपूर्ण नुकसान के बिना बहुत लंबी दूरी (दसियों किलोमीटर) तक केबल की लंबाई के साथ बहुत तेजी से यात्रा करता है।

(A) सघन माध्यम (कांच) से विरल माध्यम (पानी) में जाने वाली प्रकाश की किरण के लिए क्रांतिक कोण $C$ का सूत्र है: $\sin C = \frac{\mu_{\text{viral}}}{\mu_{\text{saghan}}}$.
यहाँ,पानी का अपवर्तनांक (विरल माध्यम) $\mu_w = 4/3$ है और कांच का अपवर्तनांक (सघन माध्यम) $\mu_g = 5/3$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\sin C = \frac{4/3}{5/3} = \frac{4}{5}$.
अतः,क्रांतिक कोण $C = \sin^{-1}(4/5)$ होगा।

(C) पूर्ण आंतरिक परावर्तन केवल तब होता है जब प्रकाश किरण सघन माध्यम से विरल माध्यम में यात्रा करती है।
दिए गए विकल्पों में,$Glass$ $(n \approx 1.5)$ एक सघन माध्यम है जबकि $Water$ $(n \approx 1.33)$ एक विरल माध्यम है।
इसलिए,जब प्रकाश $Glass$ से $Water$ में यात्रा करता है,तो पूर्ण आंतरिक परावर्तन संभव है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) माध्यम का अपवर्तनांक $\mu = \frac{c}{v}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $c$ हवा में प्रकाश का वेग है और $v$ माध्यम में वेग है।
दिया गया है कि $v = \frac{c}{2}$,इसलिए $\mu = \frac{c}{c/2} = 2$.
पूर्ण आंतरिक परावर्तन होने के लिए,आपतन कोण $i$ क्रांतिक कोण $c_{angle}$ से अधिक होना चाहिए।
क्रांतिक कोण $\sin(c_{angle}) = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{2}$ द्वारा प्राप्त होता है।
अतः,$c_{angle} = \sin^{-1}(0.5) = 30^o$.
इसलिए,पूर्ण आंतरिक परावर्तन के लिए आपतन कोण $30^o$ या उससे अधिक होना चाहिए।

(C) सघन माध्यम (कांच) से विरल माध्यम (जल) में जाने वाली प्रकाश किरण के लिए क्रांतिक कोण $C$ का सूत्र है:
$sin(C) = \frac{\mu_{\text{विरल}}}{\mu_{\text{सघन}}}$
दिया गया है:
कांच का अपवर्तनांक, $\mu_g = 3/2$
जल का अपवर्तनांक, $\mu_w = 4/3$
सूत्र में मान रखने पर:
$sin(C) = \frac{4/3}{3/2} = \frac{4}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{8}{9}$
अतः, $C = sin^{-1}(8/9)$.

(A) क्रांतिक कोण $C$ को सूत्र $\sin C = \frac{1}{\mu}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\mu$ हवा के सापेक्ष माध्यम का अपवर्तनांक है।
चूंकि जल का अपवर्तनांक $\mu_w \approx 1.33$ और कांच का अपवर्तनांक $\mu_g \approx 1.50$ है,इसलिए हमारे पास $\mu_w < \mu_g$ है।
चूंकि $C = \arcsin(\frac{1}{\mu})$,इसलिए छोटा अपवर्तनांक बड़े क्रांतिक कोण का कारण बनता है।
अतः,$C_w > C_g$ है।

(C) अपवर्तनांक $\mu$ और क्रांतिक कोण $C$ के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\mu = \frac{1}{\sin C}$।
यहाँ दिया गया है कि क्रांतिक कोण $C = 30^o$ है।
सूत्र में $C$ का मान रखने पर:
$\mu = \frac{1}{\sin 30^o}$।
चूंकि $\sin 30^o = 0.5$ या $\frac{1}{2}$ होता है,इसलिए:
$\mu = \frac{1}{1/2} = 2$।
अतः,पदार्थ का अपवर्तनांक $2$ है।

(A) ऑप्टिकल फाइबर कांच या प्लास्टिक के पतले तार होते हैं जो प्रकाश के लिए वेवगाइड के रूप में कार्य करते हैं।
ये $Total \text{ } Internal \text{ } Reflection$ $(TIR)$ के सिद्धांत पर काम करते हैं।
चूंकि ये न्यूनतम सिग्नल हानि के साथ लंबी दूरी तक बड़ी मात्रा में डेटा संचारित कर सकते हैं, इसलिए इनका उपयोग मुख्य रूप से दूरसंचार प्रणालियों में प्रकाश पल्स के रूप में जानकारी भेजने के लिए किया जाता है।
इसलिए, ऑप्टिकल फाइबर मौलिक रूप से संचार तकनीक से संबंधित हैं।

(D) $ (d) $ पूर्ण आंतरिक परावर्तन केवल तब हो सकता है जब कोई किरण ऐसे माध्यम की सतह पर आपतित हो जिसका अपवर्तनांक उस माध्यम से कम हो जिसमें किरण यात्रा कर रही है।
चूंकि हवा का अपवर्तनांक $ 1.00029 $ है और हीरे का अपवर्तनांक $ 2.42 $ है,इसलिए हीरा-हवा इंटरफ़ेस के लिए क्रांतिक कोण बहुत छोटा होता है।
जब प्रकाश हीरे में प्रवेश करता है,तो अपनी विशिष्ट कटिंग के कारण यह कई बार पूर्ण आंतरिक परावर्तन से गुजरता है,जो हीरे की चमक का कारण बनता है।

(D) दिए गए विकल्प $D$ के अनुसार,गणना करने पर समय $t = 3.85 \ \mu s$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि दूसरे माध्यम में वेग $(v_2)$ पहले माध्यम $(v_1)$ के वेग का दोगुना है,इसलिए $v_2 = 2v_1$ है।
चूंकि अपवर्तनांक $\mu$ वेग के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(\mu = c/v)$,इसलिए अपवर्तनांक का अनुपात $\frac{\mu_1}{\mu_2} = \frac{v_2}{v_1} = 2$ है।
पूर्ण आंतरिक परावर्तन तब होता है जब प्रकाश सघन माध्यम से विरल माध्यम में जाता है। यहाँ,$\mu_1 > \mu_2$ है।
क्रांतिक कोण $C$ का सूत्र $\sin C = \frac{\mu_2}{\mu_1}$ है।
मान रखने पर,$\sin C = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$C = \arcsin(0.5) = 30^o$ है।
पूर्ण आंतरिक परावर्तन के लिए,आपतन कोण $i$ का मान क्रांतिक कोण $C$ से अधिक होना चाहिए। अतः,$i > 30^o$।

(C) सही उत्तर $C$ है। ऑप्टिकल फाइबर जानकारी को विद्युत धाराओं के बजाय प्रकाश तरंगों के रूप में प्रसारित करते हैं। चूंकि वे ढांकता हुआ सामग्री (कांच या प्लास्टिक) से बने होते हैं,इसलिए वे बिजली का संचालन नहीं करते हैं। इसलिए,वे बाहरी स्रोतों,जैसे कि बिजली लाइनों या रेडियो आवृत्ति संकेतों से विद्युत चुम्बकीय हस्तक्षेप $(EMI)$ से प्रभावित नहीं होते हैं। कथन $A$,$B$,और $D$ ऑप्टिकल फाइबर की सही विशेषताएं हैं।

(A) अपवर्तनांक $\mu$ और क्रांतिक कोण $C$ के बीच का संबंध सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\mu = 1/\sin(C)$.
दिया गया है कि क्रांतिक कोण $C = 60^o$ है।
सूत्र में $C$ का मान रखने पर: $\mu = 1/\sin(60^o)$.
चूंकि $\sin(60^o) = \sqrt{3}/2$,इसलिए $\mu = 1 / (\sqrt{3}/2) = 2/\sqrt{3}$.
अतः,माध्यम का अपवर्तनांक $2/\sqrt{3}$ है।

(C) दिया गया है कि हवा के सापेक्ष कांच का अपवर्तनांक $\mu$ है। क्रांतिक कोण $\theta$ के लिए संबंध $\sin \theta = \frac{1}{\mu}$ है,जिसका अर्थ है $\mu = \frac{1}{\sin \theta}$ .....$(i)$.
अब,जब प्रकाश किरण हवा से कांच में प्रवेश करती है,तो स्नेल के नियम के अनुसार $\mu = \frac{\sin i}{\sin r}$ होता है।
यहाँ,आपतन कोण $i = \theta$ है,इसलिए $\mu = \frac{\sin \theta}{\sin r}$।
$\sin r$ के लिए हल करने पर,$\sin r = \frac{\sin \theta}{\mu}$ .....$(ii)$.
समीकरण $(i)$ से $\mu$ का मान समीकरण $(ii)$ में रखने पर:
$\sin r = \frac{\sin \theta}{(1/\sin \theta)} = \sin^2 \theta$.
चूंकि $\sin \theta = \frac{1}{\mu}$,इसलिए $\sin r = \left(\frac{1}{\mu}\right)^2 = \frac{1}{\mu^2}$.
अतः,अपवर्तन कोण $r = \sin^{-1}\left(\frac{1}{\mu^2}\right)$ होगा।

(A) क्रांतिक कोण $C$ का सूत्र $C = \sin^{-1}(1/\mu)$ है।
कॉची के समीकरण के अनुसार,अपवर्तनांक $\mu$ तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है (अर्थात,$\mu \propto 1/\lambda$)।
चूंकि पीले,नारंगी और लाल प्रकाश की तरंगदैर्ध्य हरे प्रकाश से अधिक होती है,इसलिए उनका अपवर्तनांक $\mu$ कम होगा।
परिणामस्वरूप,इन रंगों के लिए क्रांतिक कोण $C$ का मान हरे प्रकाश की तुलना में अधिक होगा।
यदि हरा प्रकाश केवल पूर्ण आंतरिक परावर्तित हो रहा है (अर्थात आपतन कोण हरे प्रकाश के क्रांतिक कोण के बराबर है),तो जिन रंगों के लिए क्रांतिक कोण अधिक है (पीला,नारंगी,लाल),उनके लिए आपतन कोण उनके संबंधित क्रांतिक कोण से कम होगा।
इसलिए,पीली,नारंगी और लाल किरणें अपवर्तित होकर हवा में बाहर निकल आएंगी।

(D) हम जानते हैं कि क्रांतिक कोण $C = {\sin ^{ - 1}}\left( {\frac{1}{\mu }} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि क्रांतिक कोण ${i_B} > {i_A}$,जिसका अर्थ है कि अपवर्तनांक ${\mu _B} < {\mu _A}$ है।
इसका मतलब है कि पदार्थ $B$ प्रकाशीय रूप से विरल माध्यम है और पदार्थ $A$ प्रकाशीय रूप से सघन माध्यम है।
पूर्ण आंतरिक परावर्तन तब होता है जब प्रकाश सघन माध्यम से विरल माध्यम में जाता है। इसलिए,जब प्रकाश $A$ से $B$ में जाता है तो उसका पूर्ण आंतरिक परावर्तन हो सकता है। अतः,कथन $(ii)$ सही है।
अब,$A$ और $B$ के बीच के इंटरफेस के लिए क्रांतिक कोण ${C_{AB}} = {\sin ^{ - 1}}\left( {\frac{{{\mu _B}}}{{{\mu _A}}}} \right)$ है।
चूंकि $\sin {i_A} = \frac{1}{{{\mu _A}}}$ और $\sin {i_B} = \frac{1}{{{\mu _B}}}$,इसलिए ${\mu _A} = \frac{1}{{\sin {i_A}}}$ और ${\mu _B} = \frac{1}{{\sin {i_B}}}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें ${C_{AB}} = {\sin ^{ - 1}}\left( {\frac{{1/\sin {i_B}}}{{1/\sin {i_A}}}} \right) = {\sin ^{ - 1}}\left( {\frac{{\sin {i_A}}}{{\sin {i_B}}}} \right)$ प्राप्त होता है। अतः,कथन $(iv)$ भी सही है।

(B) बिंदु $A$ पर,स्नेल के नियम के अनुसार:
$1 \cdot \sin(45^{\circ}) = \mu \cdot \sin(r)$
$\sin(r) = \frac{1}{\mu\sqrt{2}}$ .....$(i)$
बिंदु $B$ पर,पूर्ण आंतरिक परावर्तन के लिए,आपतन कोण $i_1$ क्रांतिक कोण $C$ से अधिक या उसके बराबर होना चाहिए,जहाँ $\sin(C) = \frac{1}{\mu}$.
त्रिभुज की ज्यामिति से,$i_1 = 90^{\circ} - r$.
न्यूनतम अपवर्तनांक के लिए,हम $i_1 = C$ लेते हैं,इसलिए $\sin(90^{\circ} - r) = \sin(C) = \frac{1}{\mu}$.
$\cos(r) = \frac{1}{\mu}$ .....$(ii)$
सर्वसमिका $\sin^2(r) + \cos^2(r) = 1$ का उपयोग करने पर:
$\left(\frac{1}{\mu\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{1}{\mu}\right)^2 = 1$
$\frac{1}{2\mu^2} + \frac{1}{\mu^2} = 1$
$\frac{1 + 2}{2\mu^2} = 1$
$3 = 2\mu^2$
$\mu^2 = \frac{3}{2}$
$\mu = \sqrt{\frac{3}{2}}$

(B) माध्यम $(ii)$ के सापेक्ष माध्यम $(i)$ का अपवर्तनांक इस संबंध द्वारा दिया जाता है: $_2\mu_1 = \frac{1}{\sin \theta}$.
चूंकि अपवर्तनांक $\mu = \frac{c}{v}$ होता है,इसलिए $\frac{\mu_1}{\mu_2} = \frac{v_2}{v_1}$ होगा।
इसे क्रांतिक कोण के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{v_2}{v_1} = \frac{1}{\sin \theta}$.
यह दिया गया है कि माध्यम $(i)$ में चाल $v_1 = v$ है,इसलिए: $\frac{v_2}{v} = \frac{1}{\sin \theta}$.
अतः,माध्यम $(ii)$ में प्रकाश की चाल $v_2 = \frac{v}{\sin \theta}$ होगी।

(C) हवा में प्रकाश की गति $v_1 = \frac{x}{t_1}$ है।
माध्यम में प्रकाश की गति $v_2 = \frac{10x}{t_2}$ है।
हवा के सापेक्ष माध्यम का अपवर्तनांक $\mu = \frac{v_1}{v_2} = \frac{x/t_1}{10x/t_2} = \frac{t_2}{10t_1}$ है।
क्रांतिक कोण $C$ के लिए सूत्र $\sin C = \frac{1}{\mu}$ है।
इसलिए,$\sin C = \frac{1}{t_2 / (10t_1)} = \frac{10t_1}{t_2}$।
अतः,$C = \sin^{-1}\left(\frac{10t_1}{t_2}\right)$।

(A) हवा के सापेक्ष माध्यम के क्रांतिक कोण $C$ और अपवर्तनांक $\mu$ के बीच का संबंध इस प्रकार है: $\sin C = \frac{1}{\mu}$.
दिया गया है कि क्रांतिक कोण $C = 45^o$ है।
सूत्र में मान रखने पर: $\sin 45^o = \frac{1}{\mu}$.
चूंकि $\sin 45^o = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\mu}$.
अतः,$\mu = \sqrt{2}$.
गणना करने पर,$\mu \approx 1.414$,जो लगभग $1.41$ है।

(C) एंडोस्कोप शरीर के अंदर और बाहर प्रकाश संचारित करने के लिए ऑप्टिकल फाइबर का उपयोग करता है।
ये ऑप्टिकल फाइबर $Total \text{ } Internal \text{ } Reflection$ $(TIR)$ यानी पूर्ण आंतरिक परावर्तन के सिद्धांत पर काम करते हैं।
जब प्रकाश फाइबर में क्रांतिक कोण से अधिक कोण पर प्रवेश करता है, तो यह तीव्रता के महत्वपूर्ण नुकसान के बिना फाइबर की लंबाई के साथ कई पूर्ण आंतरिक परावर्तन से गुजरता है।
यह चिकित्सक को आंतरिक अंगों की स्पष्ट छवियां देखने की अनुमति देता है।

(B) क्रांतिक कोण $C$ को उस आपतन कोण के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसके लिए अपवर्तन कोण $90^o$ होता है।
पूर्ण आंतरिक परावर्तन के संदर्भ में,जब कोई किरण क्रांतिक कोण पर आपतित होती है,तो अपवर्तित किरण माध्यम की सतह को छूते हुए निकलती है,जिसका अर्थ है कि अपवर्तन कोण $90^o$ है।
हालाँकि,प्रश्न में कहा गया है कि एक लंबवत आपतित किरण $90^o$ के कोण पर परावर्तित होती है। यह वाक्यांश भौतिक रूप से अस्पष्ट है क्योंकि लंबवत आपतन का अर्थ $0^o$ का आपतन कोण होता है।
ऐसे प्रश्नों की मानक व्याख्या के अनुसार जहाँ क्रांतिक कोण पर अपवर्तन $90^o$ होता है,क्रांतिक कोण $C$ उस स्थिति के अनुरूप है जहाँ अपवर्तन कोण $90^o$ होता है।
अतः,क्रांतिक कोण का मान $90^o$ है।

(B) पूर्ण आंतरिक परावर्तन तब होता है जब प्रकाश सघन माध्यम से विरल माध्यम में जाता है।
इस घटना के होने के लिए दो शर्तें पूरी होनी चाहिए:
$1$. प्रकाश को सघन माध्यम से विरल माध्यम में जाना चाहिए।
$2$. आपतन कोण $(i)$ माध्यमों के दिए गए युग्म के लिए क्रांतिक कोण $(C)$ से अधिक होना चाहिए।
जब $i > C$ होता है,तो प्रकाश पूरी तरह से सघन माध्यम में वापस परावर्तित हो जाता है,जिसे पूर्ण आंतरिक परावर्तन कहा जाता है।

(D) बाहरी दुनिया से आने वाला प्रकाश पानी में प्रवेश करता है और अपवर्तित होता है। मछली बाहरी दुनिया को प्रकाश के एक वृत्ताकार शंकु में देखती है,जो क्रांतिक कोण $\theta_c$ द्वारा परिभाषित होता है।
वृत्ताकार क्षितिज की त्रिज्या $r$ का सूत्र $r = h \tan(\theta_c)$ है,जहाँ $h$ मछली की गहराई है।
पानी का अपवर्तनांक $\mu = \frac{4}{3}$ दिया गया है,इसलिए क्रांतिक कोण $\theta_c$ के लिए $\sin(\theta_c) = \frac{1}{\mu} = \frac{3}{4}$ होगा।
सर्वसमिका $\tan(\theta_c) = \frac{\sin(\theta_c)}{\cos(\theta_c)} = \frac{\sin(\theta_c)}{\sqrt{1 - \sin^2(\theta_c)}}$ का उपयोग करने पर,हमें $\tan(\theta_c) = \frac{3/4}{\sqrt{1 - (3/4)^2}} = \frac{3/4}{\sqrt{7/16}} = \frac{3}{\sqrt{7}}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर,$r = 12 \times \frac{3}{\sqrt{7}} = \frac{36}{\sqrt{7}} \ cm$ प्राप्त होता है।