दो रेडियोधर्मी पदार्थों $A$ और $B$ की अर्ध-आयु क्रमशः $T$ और $2T$ है। यदि पदार्थों $A$ और $B$ के प्रारंभिक द्रव्यमानों का अनुपात $8:1$ है,तो वह समय जिसके बाद पदार्थों $A$ और $B$ के द्रव्यमानों का अनुपात $4:1$ हो जाएगा,है

एक रेडियोधर्मी नमूने की अर्ध-आयु $20 \ days$ है। इसका अर्थ है कि:

एक रेडियोधर्मी पदार्थ में $10000$ नाभिक हैं और इसकी अर्ध-आयु $20$ दिन है। $10$ दिनों के अंत में उपस्थित नाभिकों की संख्या क्या है?

यदि सभी स्वतंत्र राशियों में मापन त्रुटियां ज्ञात हैं,तो किसी भी आश्रित राशि में त्रुटि निर्धारित करना संभव है। यह श्रेणी विस्तार का उपयोग करके और त्रुटि की पहली घात पर विस्तार को काटकर किया जाता है। उदाहरण के लिए,संबंध $z = x / y$ पर विचार करें। यदि $x, y$ और $z$ में त्रुटियां क्रमशः $\Delta x, \Delta y$ और $\Delta z$ हैं,तो $z \pm \Delta z = \frac{x \pm \Delta x}{y \pm \Delta y} = \frac{x}{y}(1 \pm \frac{\Delta x}{x})(1 \pm \frac{\Delta y}{y})^{-1}$। $(1 \pm \frac{\Delta y}{y})^{-1}$ के लिए श्रेणी विस्तार,$\Delta y / y$ में पहली घात तक,$1 \mp(\Delta y / y)$ है। स्वतंत्र चरों में सापेक्ष त्रुटियां हमेशा जोड़ी जाती हैं। इसलिए $z$ में त्रुटि $\Delta z = z(\frac{\Delta x}{x} + \frac{\Delta y}{y})$ होगी। उपरोक्त व्युत्पत्ति यह मानती है कि $\Delta x / x \ll 1, \Delta y / y \ll 1$। इसलिए,इन राशियों की उच्च घातों की उपेक्षा की जाती है।
$(1)$ अनुपात $r = \frac{(1-a)}{(1+a)}$ पर विचार करें जिसे एक विमाहीन राशि $a$ को मापकर निर्धारित किया जाना है। यदि $a$ के मापन में त्रुटि $\Delta a$ $(\Delta a / a \ll 1)$ है,तो त्रुटि $\Delta r$ क्या है?
$(2)$ एक प्रयोग में,रेडियोधर्मी नाभिकों की प्रारंभिक संख्या $3000$ है। यह पाया गया है कि पहले $1.0 \ s$ में $1000 \pm 40$ नाभिक क्षयित हो गए। $|x| \ll 1$ के लिए,$\ln(1+x) \approx x$ है,$x$ की पहली घात तक। क्षय नियतांक $\lambda$ के निर्धारण में त्रुटि $\Delta \lambda$ ($s^{-1}$ में) क्या है?

एक रेडियोधर्मी तत्व का क्षय नियतांक $0.01 \ s^{-1}$ है। इसकी अर्ध-आयु ....... $s$ है।

एक रेडियोधर्मी पदार्थ की अर्ध-आयु $ 20 \text{ मिनट} $ है। पदार्थ के $ 50\% $ क्षय और $ 87.5\% $ क्षय के बीच लगा समय होगा ($ \text{ मिनट} $ में)