Earth Magnetism Questions in Gujarati

(N/A) ડાયનેમો ઇફેક્ટ એ એક ભૌતિક પ્રક્રિયા છે જે સમજાવે છે કે પૃથ્વી જેવો અવકાશી પદાર્થ તેનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર કેવી રીતે ઉત્પન્ન કરે છે.
આ પ્રક્રિયા પૃથ્વીના બાહ્ય કોર (outer core) માં થાય છે,જે પીગળેલા લોખંડ અને નિકલનું બનેલું છે.
જેમ પૃથ્વી ફરે છે,તેમ આંતરિક કોરની ગરમીને કારણે બાહ્ય કોરમાં રહેલી પીગળેલી ધાતુમાં સંવહન (convection) ગતિ થાય છે.
આ ગતિશીલ,વિદ્યુતનું વહન કરતું પ્રવાહી પૃથ્વીના અસ્તિત્વમાં રહેલા ચુંબકીય ક્ષેત્ર સાથે આંતરક્રિયા કરે છે,જેનાથી પ્રવાહીની અંદર વિદ્યુત પ્રવાહ ઉત્પન્ન થાય છે.
આ વિદ્યુત પ્રવાહો બદલામાં તેમના પોતાના ચુંબકીય ક્ષેત્રો ઉત્પન્ન કરે છે,જે પૃથ્વીના એકંદર ચુંબકીય ક્ષેત્રને મજબૂત અને જાળવી રાખે છે.
આ સ્વ-ટકાવી રાખતી પદ્ધતિને ડાયનેમો ઇફેક્ટ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

(B) પૃથ્વીની ચુંબકીય ધરી તેની ભૌગોલિક ધરી (પરિભ્રમણ ધરી) ની સાપેક્ષમાં નમેલી છે.
ચુંબકીય ધરી અને ભૌગોલિક ધરી વચ્ચેનો આ નમનકોણ આશરે $11.3^{\circ}$ છે.

(N/A) $(i)$ ચુંબકીય ઉત્તર ધ્રુવ ઉત્તર કેનેડામાં $79.74^{\circ} N$ અક્ષાંશ અને $71.8^{\circ} W$ રેખાંશ પર આવેલો છે.
$(ii)$ ચુંબકીય દક્ષિણ ધ્રુવ એન્ટાર્કટિકામાં $79.74^{\circ} S$ અને $108.22^{\circ} E$ પર આવેલો છે.

(A) પૃથ્વી એક વિશાળ ગજિયા ચુંબક તરીકે વર્તે છે. ભૌગોલિક ઉત્તર ધ્રુવની નજીક આવેલા પૃથ્વીના ચુંબકીય ધ્રુવને $ \text{ઉત્તર ચુંબકીય ધ્રુવ} $ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
તેનાથી વિપરીત, ભૌગોલિક દક્ષિણ ધ્રુવની નજીક આવેલા પૃથ્વીના ચુંબકીય ધ્રુવને $ \text{દક્ષિણ ચુંબકીય ધ્રુવ} $ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
તેથી, સાચો ક્રમ છે: $(i)$ $ \text{ઉત્તર ચુંબકીય ધ્રુવ} $, $(ii)$ $ \text{દક્ષિણ ચુંબકીય ધ્રુવ} $.

(N/A) $1$. ભૌગોલિક મેરિડિયન: પૃથ્વી પરના કોઈપણ સ્થળેથી પસાર થતું અને પૃથ્વીના ભૌગોલિક ઉત્તર અને દક્ષિણ ધ્રુવોમાંથી પસાર થતું શિરોલંબ સમતલ એટલે ભૌગોલિક મેરિડિયન. આ તે સમતલ છે જેમાં પૃથ્વીની ભૌગોલિક ધરીનો સમાવેશ થાય છે.
$2$. ચુંબકીય મેરિડિયન: પૃથ્વી પરના કોઈપણ સ્થળેથી પસાર થતું અને પૃથ્વીના ચુંબકીય ઉત્તર અને દક્ષિણ ધ્રુવોમાંથી પસાર થતું શિરોલંબ સમતલ એટલે ચુંબકીય મેરિડિયન. આ તે સમતલ છે જેમાં પૃથ્વીની ચુંબકીય ધરીનો સમાવેશ થાય છે,જે પૃથ્વીના ચુંબકીય ધ્રુવોને જોડતી રેખા છે.

(N/A) મેગ્નેટિક ડેક્લિનેશન એટલે પૃથ્વીની સપાટી પરના કોઈ ચોક્કસ સ્થળે ચુંબકીય મેરિડિયન અને ભૌગોલિક મેરિડિયન વચ્ચેનો ખૂણો.
તે ચુંબકીય ઉત્તર (જે દિશામાં હોકાયંત્રની સોય નિર્દેશ કરે છે) અને સાચા ભૌગોલિક ઉત્તર (ઉત્તર ધ્રુવ તરફની દિશા) વચ્ચેનો તફાવત દર્શાવે છે.
આ ખૂણો પૃથ્વી પરના અવલોકનકારના સ્થાનના આધારે બદલાય છે અને પૃથ્વીના ચુંબકીય ધ્રુવોના હલનચલનને કારણે સમય જતાં ધીમે ધીમે બદલાતો રહે છે.

(N/A) $(i)$ ઉચ્ચ અક્ષાંશો પર ડેક્લિનેશન વધારે હોય છે કારણ કે ચુંબકીય મેરિડિયન ચુંબકીય ધ્રુવો તરફ એકત્રિત થાય છે.
$(ii)$ ભારતમાં ડેક્લિનેશન ઓછું છે,કારણ કે ભારત ચુંબકીય ધ્રુવોની સાપેક્ષમાં નીચા અક્ષાંશ પર આવેલું છે.

(N/A) $1$. ડિપનો ખૂણો (મેગ્નેટિક ઇન્ક્લિનેશન): પૃથ્વીના કોઈ ચોક્કસ સ્થળે પૃથ્વીનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર પૃથ્વીની સપાટી (સમક્ષિતિજ દિશા) સાથે જે ખૂણો બનાવે છે,તેને ડિપનો ખૂણો કહે છે. તે ચુંબકીય વિષુવવૃત્ત પર $0^{\circ}$ અને ચુંબકીય ધ્રુવો પર $90^{\circ}$ હોય છે.
$2$. ડેક્લિનેશનનો ખૂણો: પૃથ્વીની સપાટી પરના કોઈ ચોક્કસ બિંદુએ ભૌગોલિક મેરિડિયન (સાચી ઉત્તર-દક્ષિણ રેખા) અને ચુંબકીય મેરિડિયન (પૃથ્વીની ચુંબકીય ધરી ધરાવતું સમતલ) વચ્ચેના ખૂણાને ડેક્લિનેશનનો ખૂણો કહે છે.

(N/A) પૃથ્વીની સપાટી પરના કોઈપણ બિંદુએ પૃથ્વીનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર ત્રણ ભૌતિક રાશિઓ દ્વારા સંપૂર્ણપણે નિર્દિષ્ટ થાય છે, જેને પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રના ઘટકો તરીકે ઓળખવામાં આવે છે:
$1$. મેગ્નેટિક ડેક્લિનેશન $(\theta)$: કોઈ સ્થળે ભૌગોલિક મેરિડિયન અને ચુંબકીય મેરિડિયન વચ્ચેનો ખૂણો.
$2$. મેગ્નેટિક ઇન્ક્લિનેશન અથવા ડીપનો ખૂણો $(\delta)$: ચુંબકીય મેરિડિયનમાં પૃથ્વીના કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ દ્વારા સમક્ષિતિજ દિશા સાથે બનાવવામાં આવતો ખૂણો.
$3$. પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક $(B_H)$: ચુંબકીય મેરિડિયનમાં સમક્ષિતિજ દિશામાં પૃથ્વીના કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશનો ઘટક.

(A) આપેલ છે કે,$B_{V} = \frac{\mu_{0}}{4\pi} \frac{2m \cos \theta}{r^{3}}$ અને $B_{H} = \frac{\mu_{0}}{4\pi} \frac{m \sin \theta}{r^{3}}$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું મૂલ્ય $B = \sqrt{B_{V}^{2} + B_{H}^{2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પદો મૂકતા:
$B^{2} = \left(\frac{\mu_{0}}{4\pi} \frac{m}{r^{3}}\right)^{2} (4 \cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta)$
$\sin^{2} \theta = 1 - \cos^{2} \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$B^{2} = \left(\frac{\mu_{0}}{4\pi} \frac{m}{r^{3}}\right)^{2} (3 \cos^{2} \theta + 1)$
$B = \frac{\mu_{0}}{4\pi} \frac{m}{r^{3}} \sqrt{3 \cos^{2} \theta + 1}$.
$B$ ન્યૂનતમ હોવા માટે,પદ $(3 \cos^{2} \theta + 1)$ ન્યૂનતમ હોવું જોઈએ. આ ત્યારે થાય છે જ્યારે $\cos \theta = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 90^{\circ}$.
ચુંબકીય વિષુવવૃત્ત પર $\theta = 90^{\circ}$ હોય છે. આમ,જે બિંદુઓ પર $|\vec{B}|$ ન્યૂનતમ હોય છે તે ચુંબકીય વિષુવવૃત્ત છે.

(A) ડીપ એંગલ $\delta$ એ સંબંધ $\tan \delta = \frac{B_v}{B_H}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
ડીપ એંગલ શૂન્ય હોવા માટે,આપણી પાસે $\tan \delta = 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $B_v = 0$.
$B_v$ માટે આપેલ સમીકરણ મૂકતા:
$B_v = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2m \cos \theta}{r^3} = 0$
અહીં $\frac{\mu_0}{4\pi}$,$m$,અને $r^3$ શૂન્ય નથી,તેથી $\cos \theta = 0$ હોવું જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $\theta = 90^\circ$.
આપેલ છે કે $\theta = 90^\circ - \text{અક્ષાંશ}$,તેથી $90^\circ = 90^\circ - \text{અક્ષાંશ}$,જેનો અર્થ છે કે $\text{અક્ષાંશ} = 0^\circ$.
તેથી,જે બિંદુઓ પર ડીપ એંગલ શૂન્ય હોય છે તે બિંદુપથ ચુંબકીય વિષુવવૃત્ત છે.

(A) નમન કોણ $\delta$ એ $\tan \delta = \frac{B_v}{B_H}$ સંબંધ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
શિરોલંબ ઘટક $B_v$ અને સમક્ષિતિજ ઘટક $B_H$ માટે આપેલ સમીકરણો:
$B_v = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2m \cos \theta}{r^3}$
$B_H = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{m \sin \theta}{r^3}$
આ કિંમતોને $\tan \delta$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\tan \delta = \frac{\frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2m \cos \theta}{r^3}}{\frac{\mu_0}{4\pi} \frac{m \sin \theta}{r^3}} = \frac{2 \cos \theta}{\sin \theta} = 2 \cot \theta$
આપણે એવા બિંદુઓનો બિંદુપથ શોધી રહ્યા છીએ જ્યાં નમન કોણ $\delta = \pm 45^{\circ}$ હોય.
$\tan(\pm 45^{\circ}) = \pm 1$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\pm 1 = 2 \cot \theta$
$\cot \theta = \pm 0.5$
$\tan \theta = \pm 2$
$\theta = 90^{\circ} - \lambda$ (જ્યાં $\lambda$ એ અક્ષાંશ છે) હોવાથી,બિંદુઓનો બિંદુપથ $\tan(90^{\circ} - \lambda) = \pm 2$ શરત દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જેનું સાદું રૂપ $\cot \lambda = \pm 2$ અથવા $\tan \lambda = \pm 0.5$ થાય છે.

(N/A) $1$. બિંદુ $P$ આગળ: બિંદુ $P$ એ ડાયપોલ અક્ષ અને પૃથ્વીની અક્ષ દ્વારા બનતા સમતલ $S$ માં આવેલું હોવાથી,ચુંબકીય મેરિડિયન અને ભૌગોલિક મેરિડિયન એકબીજા પર સંપાત થાય છે. તેથી,$P$ આગળ ડેક્લિનેશન $0^{\circ}$ છે. $P$ એ ચુંબકીય વિષુવવૃત્ત પર હોવાથી,$P$ આગળ ડીપ ખૂણો $0^{\circ}$ છે.
$2$. બિંદુ $Q$ આગળ: બિંદુ $Q$ એ ભૌગોલિક અને ચુંબકીય વિષુવવૃત્તનું છેદબિંદુ છે. ચુંબકીય અક્ષ એ ભૌગોલિક અક્ષ સાથે $11.3^{\circ}$ ના ખૂણે નમેલી છે. પરિણામે,$Q$ આગળ ચુંબકીય મેરિડિયન એ ભૌગોલિક મેરિડિયન સાથે $11.3^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે. તેથી,$Q$ આગળ ડેક્લિનેશન $11.3^{\circ}$ છે. $Q$ એ ચુંબકીય વિષુવવૃત્ત પર હોવાથી,$Q$ આગળ ડીપ ખૂણો $0^{\circ}$ છે.

(D) પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક $B_H = 0.36 \times 10^{-4} \; Wb/m^2$ આપેલ છે.
ડીપનો ખૂણો $\delta = 60^{\circ}$ છે.
ઉર્ધ્વ ઘટક $B_V$ અને સમક્ષિતિજ ઘટક $B_H$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$B_V = B_H \tan \delta$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$B_V = (0.36 \times 10^{-4}) \times \tan 60^{\circ}$
$\tan 60^{\circ} = \sqrt{3} \approx 1.732$ હોવાથી:
$B_V = 0.36 \times 10^{-4} \times 1.732$
$B_V \approx 0.6235 \times 10^{-4} \; Wb/m^2$.
આપેલ વિકલ્પ મુજબ,સાચું મૂલ્ય $0.622 \times 10^{-4} \; Wb/m^2$ છે.

(B) સાચા ડીપ $(\delta)$ અને ચુંબકીય મેરિડિયન સાથે $\theta$ ખૂણે રહેલા આભાસી ડીપ $(\delta^{\prime})$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $\tan \delta^{\prime} = \frac{\tan \delta}{\cos \theta}$.
સાચા ડીપ માટે સૂત્ર: $\tan \delta = \tan \delta^{\prime} \cos \theta$.
આપેલ છે: $\delta^{\prime} = 45^{\circ}$ અને $\theta = 30^{\circ}$.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \delta = \tan 45^{\circ} \cos 30^{\circ}$.
કારણ કે $\tan 45^{\circ} = 1$ અને $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી: $\tan \delta = 1 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
આમ,સાચો ડીપ $\delta = \tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$ છે.

(B) સાચો ડીપ $(\phi)$ ચુંબકીય મેરિડિયનમાં વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે,જ્યાં પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક $B_H$ છે. આ સંબંધ $\tan \phi = \frac{B_V}{B_H}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $B_V$ એ શિરોલંબ ઘટક છે.
જ્યારે ડીપ સર્કલને ચુંબકીય મેરિડિયનથી $\alpha$ ખૂણે ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે સમક્ષિતિજ ઘટક $B_H \cos \alpha$ બને છે,જ્યારે શિરોલંબ ઘટક $B_V$ અપરિવર્તિત રહે છે.
તેથી આભાસી ડીપ $(\phi^{\prime})$ એ $\tan \phi^{\prime} = \frac{B_V}{B_H \cos \alpha} = \frac{\tan \phi}{\cos \alpha}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ કે $\cos \alpha \leq 1$,તેથી $\tan \phi^{\prime} \geq \tan \phi$ થાય છે. ટેન્જેન્ટ વિધેય $[0, \pi/2]$ ની રેન્જમાં વધતું હોવાથી,આપણને $\phi^{\prime} \geq \phi$ મળે છે.
તેથી,સાચો ડીપ $(\phi)$ હંમેશા આભાસી ડીપ $(\phi^{\prime})$ કરતા ઓછો અથવા તેના જેટલો હોય છે.

(A) પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $B_H = B \cos \delta$,જ્યાં $B$ એ કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે અને $\delta$ એ ડીપનો ખૂણો છે.
આપેલ છે: $B_H = 0.5 \ G$ અને $\delta = 30^{\circ}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $0.5 = B \cos 30^{\circ}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી $0.5 = B \times \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$B$ માટે ઉકેલતા: $B = \frac{0.5 \times 2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \ G$.

(A) ચુંબકીય મેરિડિયન સાથે $\alpha$ ખૂણો બનાવતા સમતલમાં દેખીતો નમનકોણ $\theta^{\prime}$ નીચેના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\tan \theta^{\prime} = \frac{\tan \theta}{\cos \alpha}$,જ્યાં $\theta$ એ વાસ્તવિક નમનકોણ છે.
આપેલ છે કે,$\theta^{\prime} = 60^{\circ}$ અને $\alpha = 45^{\circ}$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\tan 60^{\circ} = \frac{\tan \theta}{\cos 45^{\circ}}$
$\sqrt{3} = \frac{\tan \theta}{1/\sqrt{2}}$
$\tan \theta = \sqrt{3} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$
તેથી,વાસ્તવિક નમનકોણ $\theta = \tan ^{-1}\left(\sqrt{\frac{3}{2}}\right)$ છે.

(D) પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ઉર્ધ્વ ઘટક $(B_V)$,પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B)$ અને ડીપના ખૂણા $(\delta)$ સાથે નીચે મુજબ સંબંધિત છે:
$B_V = B \sin \delta$
અહીં $B_V = 6 \times 10^{-5} \text{ T}$ અને $\delta = 37^{\circ}$ આપેલ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 37^{\circ} = \frac{3}{4}$,તેથી કાટકોણ ત્રિકોણના ગુણોત્તર મુજબ $\sin 37^{\circ} = \frac{3}{5}$ થાય.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$6 \times 10^{-5} = B \times \frac{3}{5}$
$B = \frac{6 \times 10^{-5} \times 5}{3}$
$B = 2 \times 10^{-5} \times 5$
$B = 10 \times 10^{-5} \text{ T} = 10^{-4} \text{ T}$

(B) અભિમુખતામાં કુલ ફેરફાર $180^{\circ}$ છે.
આપેલ છે કે ફેરફારનો સમયગાળો $10^5$ વર્ષ છે.
પ્રતિ વર્ષ ડિગ્રીમાં સરેરાશ ફેરફાર $\frac{180^{\circ}}{10^5} = 1.8 \times 10^{-3} \, ^{\circ}/\text{વર્ષ}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1^{\circ} = 60 \, \text{મિનિટ}$ અને $1 \, \text{મિનિટ} = 60 \, \text{સેકન્ડ}$, તેથી $1^{\circ} = 3600 \, \text{સેકન્ડ}$.
તેથી, પ્રતિ વર્ષ સેકન્ડમાં સરેરાશ ફેરફાર $1.8 \times 10^{-3} \times 3600 \, \text{s/વર્ષ} = 6.48 \, \text{s/વર્ષ}$ છે.
આ કિંમતને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા, તે $5 \, \text{s}$ ની સૌથી નજીક છે.

(B) $r$ અંતરે લાંબા સીધા તારને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{\text{wire}} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $I = 5.0 \, A$ અને $r = 10.0 \, cm = 0.1 \, m$ આપેલ છે.
$B_{\text{wire}} = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 5.0}{2 \pi \times 0.1} = 1.0 \times 10^{-5} \, T$.
હોકાયંત્રની સોય પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર સાથે સંરેખિત થાય છે. વિચલન પૂર્વથી ઉત્તર તરફ $60^{\circ}$ છે. સદિશ સરવાળાની ભૂમિતિ પરથી,$\tan 60^{\circ} = \frac{B_{\text{wire}}}{B_H}$,જ્યાં $B_H$ એ પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક છે.
તેથી,$B_H = \frac{B_{\text{wire}}}{\tan 60^{\circ}} = \frac{1.0 \times 10^{-5}}{\sqrt{3}} \approx 0.577 \times 10^{-5} \, T \approx 0.6 \times 10^{-5} \, T$.
આમ,વિકલ્પ $(B)$ સાચો જવાબ છે.

(A) સાચો જવાબ $A$ છે.
ડાયનેમો થિયરી મુજબ,ગ્રહનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર તેના ગર્ભમાં રહેલા પીગળેલા,વિદ્યુત વાહક પદાર્થની ગતિ દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે.
આ ચુંબકીય ક્ષેત્રની પ્રબળતા ગ્રહની પરિભ્રમણ ઝડપ સાથે સીધી રીતે સંબંધિત છે.
જે ગ્રહો ઝડપથી પરિભ્રમણ કરે છે,તેમના ગર્ભમાં વધુ જોરદાર સંવહન અને ગતિ જોવા મળે છે,જેના પરિણામે મજબૂત ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન થાય છે.
તેથી,મોટું ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરતા ગ્રહો પાસે વધુ પરિભ્રમણ ઝડપ હોય છે.

(B) ડિપનો ખૂણો (અથવા નમનકોણ) $\theta$ એ $\tan \theta = \frac{B_V}{B_H}$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $B_V$ એ પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ઉર્ધ્વ ઘટક છે અને $B_H$ એ સમક્ષિતિજ ઘટક છે.
આપેલ છે કે $B_V = \sqrt{3} B_H$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $\tan \theta = \frac{\sqrt{3} B_H}{B_H} = \sqrt{3}$ મળે છે.
કારણ કે $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$,તેથી નમનકોણ $\theta = 60^{\circ}$ છે.
આમ,ચુંબકીય સોય સમક્ષિતિજથી $60^{\circ}$ નીચે નમશે.

(B) ધારો કે $\phi$ એ સાચો ડીપ એંગલ છે,અને $\alpha_1$ તથા $\alpha_2$ એ એકબીજાને લંબ બે સમતલોમાં દેખીતા ડીપ એંગલ છે.
સાચા ડીપ એંગલ અને દેખીતા ડીપ એંગલ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$\cot^2 \phi = \cot^2 \alpha_1 + \cot^2 \alpha_2$
આપેલ છે:
$\alpha_1 = 45^{\circ}$
$\alpha_2 = 30^{\circ}$
કિંમતો મૂકતા:
$\cot^2 \phi = \cot^2 45^{\circ} + \cot^2 30^{\circ}$
અહીં $\cot 45^{\circ} = 1$ અને $\cot 30^{\circ} = \sqrt{3}$ હોવાથી:
$\cot^2 \phi = (1)^2 + (\sqrt{3})^2$
$\cot^2 \phi = 1 + 3 = 4$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\cot \phi = 2$
તેથી,સાચો ડીપ એંગલ:
$\phi = \cot^{-1}(2)$

(D) પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક $B_H = 0.35 \times 10^{-4} \,T$ આપેલ છે.
ડીપ કોણ $\delta = 60^{\circ}$ છે.
ઉર્ધ્વ ઘટક $(B_V)$,સમક્ષિતિજ ઘટક $(B_H)$ અને ડીપ કોણ $(\delta)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $B_V = B_H \tan \delta$.
આ સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$B_V = (0.35 \times 10^{-4}) \times \tan(60^{\circ})$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan(60^{\circ}) = \sqrt{3} \approx 1.732$ થાય છે.
તેથી,$B_V = 0.35 \times 1.732 \times 10^{-4} \,T$.
$B_V \approx 0.6062 \times 10^{-4} \,T$.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,$B_V \approx 0.61 \times 10^{-4} \,T$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) ચુંબકીય વિચલન (Magnetic declination) એ આપેલ સ્થાન પર ભૌગોલિક મેરિડિયન અને ચુંબકીય મેરિડિયન વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ છે કે વિચલન $15^{\circ} \, E$ છે,જેનો અર્થ છે કે ચુંબકીય ઉત્તર એ ભૌગોલિક ઉત્તરની પૂર્વ દિશામાં $15^{\circ}$ પર છે.
આપેલ આકૃતિમાં,હોકાયંત્રની સોય મધ્ય તીરની દિશામાં નિર્દેશ કરે છે. ચુંબકીય ઉત્તર એ ભૌગોલિક ઉત્તરની પૂર્વમાં $15^{\circ}$ હોવાથી,ભૌગોલિક ઉત્તર એ ચુંબકીય ઉત્તર (હોકાયંત્રની સોયની દિશા) ની પશ્ચિમમાં $15^{\circ}$ હોવો જોઈએ.
આકૃતિ જોતા,દિશા $2$ એ મધ્ય તીર (ચુંબકીય ઉત્તર) થી ડાબી બાજુ (પશ્ચિમ) $15^{\circ}$ પર છે.
તેથી,દિશા $2$ એ ભૌગોલિક ઉત્તર દર્શાવે છે.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચુંબકીય સોયની દોલન આવૃત્તિ $f$ એ $f \propto \sqrt{B_H}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $B_H$ એ પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક છે.
આપેલ છે કે $B_H = B \cos \theta$,જ્યાં $B$ એ કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે અને $\theta$ એ ડીપ એંગલ છે.
તેથી,$f \propto \sqrt{B \cos \theta}$.
ધારો કે $\theta_1 = 30^{\circ}$ પર $f_1 = 20 \text{ દોલન/મિનિટ}$ અને $\theta_2 = 60^{\circ}$ પર $f_2 = 30 \text{ દોલન/મિનિટ}$ છે.
$\frac{f_1}{f_2} = \sqrt{\frac{B_1 \cos \theta_1}{B_2 \cos \theta_2}}$
$\frac{20}{30} = \sqrt{\frac{B_1 \cos 30^{\circ}}{B_2 \cos 60^{\circ}}}$
$\frac{2}{3} = \sqrt{\frac{B_1 (\sqrt{3}/2)}{B_2 (1/2)}} = \sqrt{\frac{B_1 \sqrt{3}}{B_2}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{4}{9} = \frac{B_1 \sqrt{3}}{B_2} \Rightarrow \frac{B_1}{B_2} = \frac{4}{9\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{81 \times 3}} = \frac{4}{\sqrt{243}}$.
આને $\frac{4}{\sqrt{x}}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 243$ મળે છે.

(A) પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક $B_H = 3.5 \times 10^{-5} \,T$ છે.
વાહકમાં વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $i = \sqrt{2} \,A$ છે.
વાહક દક્ષિણ-પૂર્વથી ઉત્તર-પશ્ચિમ દિશામાં મૂકવામાં આવ્યો છે,જે સમક્ષિતિજ ચુંબકીય ક્ષેત્ર (ઉત્તર-દક્ષિણ દિશા) સાથે $\theta = 45^\circ$ નો ખૂણો બનાવે છે.
વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત વાહક પર લાગતું એકમ લંબાઈ દીઠ બળ $\frac{F}{\ell} = i B_H \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{F}{\ell} = \sqrt{2} \times (3.5 \times 10^{-5}) \times \sin(45^\circ)$.
કારણ કે $\sin(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $\frac{F}{\ell} = \sqrt{2} \times 3.5 \times 10^{-5} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 3.5 \times 10^{-5} \,N/m$.
જરૂરી સ્વરૂપમાં ફેરવતા: $3.5 \times 10^{-5} = 35 \times 10^{-6} \,N/m$.
તેથી,જવાબ $35$ છે.

(D) પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક $H = B_e \cos \delta$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $B_e$ એ પૃથ્વીનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે અને $\delta$ એ ડીપ કોણ છે.
સ્થળ $A$ પર,ડીપ કોણ $\delta_A = 30^{\circ}$ છે. તેથી,સમક્ષિતિજ ઘટક $H_A = B_e \cos 30^{\circ}$ થાય.
સ્થળ $B$ પર,ડીપ કોણ $\delta_B = 45^{\circ}$ છે. તેથી,સમક્ષિતિજ ઘટક $H_B = B_e \cos 45^{\circ}$ થાય.
$A$ પરના સમક્ષિતિજ ઘટકનો $B$ પરના ઘટક સાથેનો ગુણોત્તર:
$\frac{H_A}{H_B} = \frac{B_e \cos 30^{\circ}}{B_e \cos 45^{\circ}} = \frac{\cos 30^{\circ}}{\cos 45^{\circ}}$
કિંમતો મૂકતા: $\frac{H_A}{H_B} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \sqrt{2} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$.
આમ,ગુણોત્તર $\sqrt{3}: \sqrt{2}$ છે.

(B) નમનકોણ $(I)$ એ પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રના ઉર્ધ્વ ઘટક $(Z_E)$ અને સમક્ષિતિજ ઘટક $(H_E)$ વચ્ચેના સંબંધ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$\tan I = \frac{Z_E}{H_E}$
આપેલ છે કે સમક્ષિતિજ ઘટક એ ઉર્ધ્વ ઘટક જેટલો જ છે,તેથી:
$Z_E = H_E$
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$\tan I = \frac{Z_E}{Z_E} = 1$
તેથી,નમનકોણ:
$I = \tan^{-1}(1) = 45^{\circ}$

(D) કોઈપણ ચોક્કસ સ્થળે મેગ્નેટિક ડેક્લિનેશન એ ભૌગોલિક મેરિડિયન અને મેગ્નેટિક મેરિડિયન વચ્ચેનો ખૂણો છે. ભારત માટેના પ્રમાણિત ભૌગોલિક અને ચુંબકીય ડેટા અનુસાર,દિલ્હી ખાતે મેગ્નેટિક ડેક્લિનેશન આશરે $0^{\circ} 41^{\prime} E$ છે.

(A) પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રના સંદર્ભમાં,$B_E$ એ કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા દર્શાવે છે,$H_E$ એ સમક્ષિતિજ ઘટક દર્શાવે છે અને $Z_E$ એ શિરોલંબ ઘટક દર્શાવે છે.
પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રના સદિશ વિભાજન મુજબ,કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_E$ એ તેના સમક્ષિતિજ અને શિરોલંબ ઘટકોનો સદિશ સરવાળો છે.
આ ઘટકો એકબીજાને લંબ હોવાથી,તેનું મૂલ્ય પાયથાગોરસના પ્રમેય દ્વારા મળે છે: $B_E = \sqrt{Z_E^2 + H_E^2}$.

(B) ડીપ એંગલ $(I)$ એ પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રના ઉર્ધ્વ ઘટક $(Z_E)$ અને સમક્ષિતિજ ઘટક $(H_E)$ વચ્ચેના સંબંધ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$\tan I = \frac{Z_E}{H_E}$
આપેલ છે કે ઉર્ધ્વ ઘટક એ સમક્ષિતિજ ઘટક કરતાં $\sqrt{3}$ ગણો છે:
$Z_E = \sqrt{3} H_E$
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$\tan I = \frac{\sqrt{3} H_E}{H_E} = \sqrt{3}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$,તેથી:
$I = 60^{\circ}$

(B) પૃથ્વીના ચુંબકીય વિષુવવૃત્ત પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{m}{R^3}$
જ્યાં $m$ એ ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ કિંમતો:
$B = 0.5 \times 10^{-4} \text{ T}$
$R = 6400 \text{ km} = 6.4 \times 10^6 \text{ m}$
$\frac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7} \text{ T m A}^{-1}$
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$0.5 \times 10^{-4} = 10^{-7} \times \frac{m}{(6.4 \times 10^6)^3}$
$m = \frac{0.5 \times 10^{-4} \times (6.4 \times 10^6)^3}{10^{-7}}$
$m = 0.5 \times 10^3 \times (6.4)^3 \times 10^{18}$
$m = 0.5 \times 262.144 \times 10^{21}$
$m = 131.072 \times 10^{21} = 1.31 \times 10^{23} \text{ Am}^2$
આમ,પૃથ્વીની ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $1.31 \times 10^{23} \text{ Am}^2$ છે.

(B) ડીપ એંગલ (નમન કોણ) $(I)$ એ પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રના ઉર્ધ્વ ઘટક $(Z_{E})$ અને સમક્ષિતિજ ઘટક $(H_{E})$ ના ગુણોત્તર દ્વારા નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$\tan I = \frac{Z_{E}}{H_{E}}$
આપેલ છે કે ડીપ એંગલ $I = 60^{\circ}$ છે,તેથી આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\tan 60^{\circ} = \frac{Z_{E}}{H_{E}}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$,તેથી:
$\sqrt{3} = \frac{Z_{E}}{H_{E}}$
આમ,સંબંધ નીચે મુજબ મળે છે:
$Z_{E} = \sqrt{3} H_{E}$

(D) પૃથ્વીની સપાટી પરના કોઈપણ બિંદુએ જીઓગ્રાફિક મેરિડિયન અને મેગ્નેટિક મેરિડિયન વચ્ચેના ખૂણાને મેગ્નેટિક ડેક્લિનેશન અથવા ફક્ત ડેક્લિનેશન તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
તે સાચા ભૌગોલિક ઉત્તરથી ચુંબકીય હોકાયંત્રની સોયના વિચલનને દર્શાવે છે.

(D) આપેલ છે:
પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક,$B_H = 3 \times 10^{-5} \,T$
નમનકોણ,$\delta = 45^{\circ}$
આપણે જાણીએ છીએ કે સમક્ષિતિજ ઘટક $B_H$ અને પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$B_H = B \cos \delta$
તેથી,પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નીચે મુજબ મળે:
$B = \frac{B_H}{\cos \delta}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$B = \frac{3 \times 10^{-5}}{\cos 45^{\circ}}$
કારણ કે $\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી:
$B = \frac{3 \times 10^{-5}}{1 / \sqrt{2}}$
$B = 3 \sqrt{2} \times 10^{-5} \,T$

(D) વીજભારિત કણોના કોસ્મિક કિરણોની તીવ્રતા વિષુવવૃત્ત કરતા ધ્રુવો પર વધુ હોય છે કારણ કે પૃથ્વીનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર ધ્રુવો પર સૌથી વધુ પ્રબળ હોય છે.
વીજભારિત કણો (કોસ્મિક કિરણો) લોરેન્ટ્ઝ બળ,$F = q(v \times B)$ ને કારણે પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્ર દ્વારા વિચલિત થાય છે.
આ વિચલન વિષુવવૃત્તની નજીક વધુ સ્પષ્ટ હોય છે,જ્યાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ આડી હોય છે,જેના કારણે ઘણા વીજભારિત કણો દૂર ફેંકાય છે.
ધ્રુવો પર,ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ ઊભી હોય છે,જે વધુ વીજભારિત કણોને સપાટી સુધી પહોંચવા દે છે.
કોસ્મિક કિરણોની તીવ્રતામાં આ તફાવત સીધો પુરાવો આપે છે કે પૃથ્વી પાસે ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે.

(B) ચુંબકીય ધ્રુવો પર,ડીપ એંગલ (નમન કોણ),$\delta = 90^{\circ}$ હોય છે.
પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક $(B_{H})$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$B_{H} = B \cos \delta$
જ્યાં $B$ એ પૃથ્વીનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે.
ધ્રુવો પર $\delta$ ની કિંમત મૂકતા:
$B_{H} = B \cos 90^{\circ}$
કારણ કે $\cos 90^{\circ} = 0$ છે,તેથી:
$B_{H} = 0$
આમ,ચુંબકીય ધ્રુવો પર પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક શૂન્ય હોય છે.

(D) પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રની પ્રબળતા સમગ્ર વિશ્વમાં સમાન નથી.
તે પૃથ્વીની સપાટી પર એક જગ્યાએથી બીજી જગ્યાએ બદલાતી રહે છે.
આ ફેરફાર એટલા માટે થાય છે કારણ કે ચુંબકીય ક્ષેત્રની પ્રબળતા કોઈ ચોક્કસ સ્થાન પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓની ઘનતા પર આધાર રાખે છે.
પૃથ્વીની ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ સમાન ઘનતા સાથે વિતરિત થયેલી ન હોવાથી,ભૌગોલિક સ્થાનના આધારે ચુંબકીય ક્ષેત્રની પ્રબળતા બદલાય છે.

(C) આપેલ છે: પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક $(B_H)$ = $3.0 \ G$. ડીપનો ખૂણો $(\delta)$ = $30^{\circ}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક નીચે મુજબના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $B_H = B \cos \delta$,જ્યાં $B$ એ પૃથ્વીનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$3.0 = B \cos 30^{\circ}$
$3.0 = B \times \frac{\sqrt{3}}{2}$
$B = \frac{3.0 \times 2}{\sqrt{3}}$
$B = \frac{6.0}{1.732} \approx 3.464 \ G$
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $B \approx 3.5 \ G$ મળે છે.
તેથી,તે સ્થળે પૃથ્વીનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $3.5 \ G$ છે.

(B) આપેલ છે:
પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ઉર્ધ્વ ઘટક,$B_v = 0.45 \ G$
ડીપનો ખૂણો,$\delta = 60^{\circ}$
આપણે જાણીએ છીએ કે પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ઉર્ધ્વ ઘટક નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$B_v = B \sin \delta$
જ્યાં $B$ એ પૃથ્વીનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે.
$B$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$B = \frac{B_v}{\sin \delta}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$B = \frac{0.45}{\sin 60^{\circ}}$
કારણ કે $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$:
$B = \frac{0.45}{0.866} \approx 0.5196 \ G$
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને મળે છે:
$B \approx 0.52 \ G$

(D) આપેલ છે: પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક $B_{H} = 3 \times 10^{-5} \ T$.
મેગ્નેટિક ડેક્લિનેશન $\phi = 30^{\circ}$.
હોકાયંત્રની સોયની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = 18 \ Am^2$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચુંબકીય ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau$ શોધવાનું સૂત્ર $\tau = M B_{H} \sin \phi$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\tau = 18 \times (3 \times 10^{-5}) \times \sin 30^{\circ}$
કારણ કે $\sin 30^{\circ} = 0.5$,
$\tau = 18 \times 3 \times 10^{-5} \times 0.5$
$\tau = 54 \times 10^{-5} \times 0.5$
$\tau = 27 \times 10^{-5} \ Nm$.

(A) ડિપ એંગલ (નમન કોણ) $\delta$ એ પૃથ્વીના કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર દ્વારા સમક્ષિતિજ દિશા સાથે બનાવેલો ખૂણો છે. અહીં,$\delta = 30^{\circ}$ છે.
આપેલ છે કે,પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક $B_H = 0.3 \ G$ છે.
કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$,સમક્ષિતિજ ઘટક $B_H$ અને ડિપ એંગલ $\delta$ વચ્ચેનો સંબંધ $B_H = B \cos \delta$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $0.3 = B \cos 30^{\circ}$.
કારણ કે $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી $0.3 = B \times \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$B$ માટે ઉકેલતા: $B = \frac{0.3 \times 2}{\sqrt{3}} = \frac{0.6}{\sqrt{3}} = \frac{0.6 \times \sqrt{3}}{3} = 0.2 \sqrt{3} \ G$.
વૈકલ્પિક રીતે,$B = \frac{0.6}{\sqrt{3}} = \frac{6}{10 \sqrt{3}} = \frac{3}{5 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{5} \ G$.

(C) ધારો કે $\phi$ એ સાચો ડિપ ખૂણો છે અને $\theta$ એ મેગ્નેટિક ડેક્લિનેશન છે. જ્યારે ડિપ સર્કલ ભૌગોલિક મેરિડિયનમાં હોય,ત્યારે સમતલ અને મેગ્નેટિક મેરિડિયન વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ હોય છે. આભાસી ડિપ $\delta_1$ માટેનું સૂત્ર $\tan \delta_1 = \frac{\tan \phi}{\cos \theta}$ છે.
જ્યારે સમતલ ભૌગોલિક મેરિડિયનને લંબ હોય,ત્યારે સમતલ અને મેગ્નેટિક મેરિડિયન વચ્ચેનો ખૂણો $(90^\circ - \theta)$ થાય છે. આભાસી ડિપ $\delta_2$ માટેનું સૂત્ર $\tan \delta_2 = \frac{\tan \phi}{\cos(90^\circ - \theta)} = \frac{\tan \phi}{\sin \theta}$ છે.
આ બે સમીકરણો પરથી,$\tan \phi = \tan \delta_1 \cos \theta$ અને $\tan \phi = \tan \delta_2 \sin \theta$ મળે છે.
$\tan \phi$ માટેના બંને પદોને સરખાવતા: $\tan \delta_1 \cos \theta = \tan \delta_2 \sin \theta$.
તેથી,$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\tan \delta_1}{\tan \delta_2}$,જેનો અર્થ છે કે $\tan \theta = \frac{\tan \delta_1}{\tan \delta_2}$.
આમ,$\theta = \tan ^{-1}\left(\frac{\tan \delta_1}{\tan \delta_2}\right)$.

(A) ધારો કે $B_e$ એ બંને સ્થળોએ પૃથ્વીનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે. પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક $H$ એ $H = B_e \cos \delta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\delta$ એ ડીપનો ખૂણો છે.
બે સ્થળો માટે,સમક્ષિતિજ ઘટકો $H_1$ અને $H_2$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{H_1}{H_2} = \frac{B_e \cos \delta_1}{B_e \cos \delta_2} = \frac{\cos \delta_1}{\cos \delta_2}$
અહીં $\delta_1 = 30^{\circ}$ અને $\delta_2 = 45^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{H_1}{H_2} = \frac{\cos 30^{\circ}}{\cos 45^{\circ}} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \sqrt{2} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$
તેથી,ગુણોત્તર $H_1: H_2 = \sqrt{3}: \sqrt{2}$ થશે.

(C) ધારો કે $\delta$ એ સાચો ડીપ કોણ છે અને $\theta$ એ મેગ્નેટિક ડેક્લિનેશન છે.
જ્યારે ડીપ સર્કલ મેગ્નેટિક મેરિડિયનમાં હોય,ત્યારે આભાસી ડીપ $\delta$ હોય છે.
અહીં,સમતલ ભૌગોલિક મેરિડિયનમાં ગોઠવેલું છે. ધારો કે $\theta$ એ ભૌગોલિક મેરિડિયન અને મેગ્નેટિક મેરિડિયન વચ્ચેનો ખૂણો છે.
મેગ્નેટિક મેરિડિયન સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવતા સમતલમાં આભાસી ડીપ $\delta_1$ માટેનું સૂત્ર $\tan \delta_1 = \frac{\tan \delta}{\cos \theta}$ છે.
પ્રથમ સમતલને લંબ (મેગ્નેટિક મેરિડિયન સાથે $90^\circ - \theta$ ખૂણો બનાવતા) સમતલમાં આભાસી ડીપ $\delta_2$ માટેનું સૂત્ર $\tan \delta_2 = \frac{\tan \delta}{\cos(90^\circ - \theta)} = \frac{\tan \delta}{\sin \theta}$ છે.
આ બે સમીકરણો પરથી,$\tan \delta = \tan \delta_1 \cos \theta$ અને $\tan \delta = \tan \delta_2 \sin \theta$ મળે છે.
બંનેને સરખાવતા: $\tan \delta_1 \cos \theta = \tan \delta_2 \sin \theta$.
તેથી,$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\tan \delta_1}{\tan \delta_2}$,જેનો અર્થ છે કે $\tan \theta = \frac{\tan \delta_1}{\tan \delta_2}$.
આમ,$\theta = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{\tan \delta_1}{\tan \delta_2}\right)$.

(B) પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ઉર્ધ્વ ઘટક $(B_V)$,સમક્ષિતિજ ઘટક $(B_H)$ અને નમન કોણ $(\delta)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $\tan \delta = \frac{B_V}{B_H}$.
આપેલ છે: $B_V = 0.3464 \ G$ અને $\delta = 30^{\circ}$.
$B_H$ શોધવા માટે સૂત્રને ગોઠવતા: $B_H = \frac{B_V}{\tan \delta}$.
કિંમતો મૂકતા: $B_H = \frac{0.3464}{\tan 30^{\circ}}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.577$,તેથી $B_H = 0.3464 \times \sqrt{3}$.
$\sqrt{3} \approx 1.732$ લેતા,આપણને મળે છે: $B_H = 0.3464 \times 1.732 \approx 0.6 \ G$.

(C) ડીપનો ખૂણો $\theta$ એ પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રના ઉર્ધ્વ ઘટક $B_V$ અને સમક્ષિતિજ ઘટક $B_H$ સાથે નીચે મુજબ સંબંધિત છે: $\tan \theta = \frac{B_V}{B_H}$.
અહીં આપેલ છે કે સમક્ષિતિજ ઘટક $B_H$ એ ઉર્ધ્વ ઘટક $B_V$ ના $\frac{1}{\sqrt{3}}$ ગણો છે,એટલે કે $B_H = \frac{1}{\sqrt{3}} B_V$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા: $\tan \theta = \frac{B_V}{\frac{1}{\sqrt{3}} B_V} = \sqrt{3}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$,તેથી ડીપનો ખૂણો $\theta = 60^{\circ}$ થાય.