Earth Magnetism Questions in Gujarati

(B) ધારો કે $\delta$ એ સાચો નમનકોણ (true dip) છે અને $\delta'$ એ ચુંબકીય મેરિડિયન સાથે $\theta = 60^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવતા સમતલમાં દેખાતો નમનકોણ (apparent dip) છે.
સાચા નમનકોણ અને દેખીતા નમનકોણ વચ્ચેનો સંબંધ $\tan \delta' = \frac{\tan \delta}{\cos \theta}$ છે.
આપેલ છે કે $\delta' = \tan^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)$,તેથી $\tan \delta' = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{\tan \delta}{\cos 60^{\circ}}$.
કારણ કે $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$,તેથી $\frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{\tan \delta}{1/2} = 2 \tan \delta$.
તેથી,$\tan \delta = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
આનો અર્થ એ છે કે $\delta = 30^{\circ}$.

(B) અક્ષ પરના તટસ્થ બિંદુએ,ગજિયા ચુંબકનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B_{axis})$ એ પૃથ્વીના સમક્ષિતિજ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B)$ જેટલું અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે.
$B_{axis} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{2M}{d^3} = B$
સમાન અંતર $d$ પર વિષુવરેખા (લંબ દ્વિભાજક) પર,ગજિયા ચુંબકનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B_{eq})$ નીચે મુજબ મળે છે:
$B_{eq} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{M}{d^3} = \frac{B_{axis}}{2} = \frac{B}{2}$
ડીપ કોણ $0^{\circ}$ હોવાથી,પૃથ્વીનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર સંપૂર્ણપણે સમક્ષિતિજ છે. વિષુવરેખા પર,ચુંબકનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશામાં જ હોય છે.
તેથી,આ બિંદુએ કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B_{total})$ નીચે મુજબ થશે:
$B_{total} = B_{eq} + B = \frac{B}{2} + B = \frac{3B}{2}$
આપેલ છે કે $B_{total} = 0.6 \ G$,તેથી:
$0.6 = \frac{3B}{2}$
$B = \frac{0.6 \times 2}{3} = 0.4 \ G$

(C) પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક $B_H = B \cos \delta$ અને શિરોલંબ ઘટક $B_V = B \sin \delta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $B$ એ કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે અને $\delta$ એ ડીપ કોણ છે.
અહીં ડીપ કોણ $\delta = 60^{\circ}$ આપેલ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $B_V = B \sin 60^{\circ} = B \frac{\sqrt{3}}{2}$.
તેથી, કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{2 B_V}{\sqrt{3}}$.
વૈકલ્પિક રીતે, $B = \sqrt{B_H^2 + B_V^2}$ સંબંધનો ઉપયોગ કરતા, કારણ કે $\tan \delta = \frac{B_V}{B_H} = \tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$, તેથી $B_V = \sqrt{3} B_H$.
આ કિંમત $B$ ના સમીકરણમાં મૂકતા, આપણને $B = \frac{2 B_V}{\sqrt{3}}$ મળે છે, જે વિકલ્પ $C$ સાથે સુસંગત છે.

(A) ધારો કે $B$ એ પૃથ્વીનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે,$B_H$ એ સમક્ષિતિજ ઘટક છે અને $B_V$ એ ઉર્ધ્વ ઘટક છે.
આપેલ છે કે કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર તેના ઉર્ધ્વ ઘટક કરતા બમણું છે,તેથી $B = 2 B_V$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ઉર્ધ્વ ઘટક $B_V = B \sin \delta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\delta$ એ ડીપ એંગલ (નમનકોણ) છે.
આ સમીકરણમાં $B_V$ ની કિંમત મૂકતા: $B = 2 (B \sin \delta) \implies \sin \delta = 1/2$.
આનો અર્થ એ છે કે નમનકોણ $\delta = 30^\circ$ છે.
સમક્ષિતિજ ઘટક $B_H = B \cos \delta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે સમક્ષિતિજ ઘટક અને કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ગુણોત્તર શોધવાનો છે,જે $B_H / B = \cos \delta$ થાય.
કારણ કે $\delta = 30^\circ$,તેથી $B_H / B = \cos 30^\circ = \sqrt{3}/2$.

(C) ધારો કે $\phi$ એ ડીપ એંગલ (નમન કોણ) છે.
સમક્ષિતિજ ઘટક $B_H$,કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ અને નમન કોણ $\phi$ વચ્ચેનો સંબંધ $B_H = B \cos \phi$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\cos \phi = \frac{B_H}{B} = \frac{86.6}{100} = 0.866$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$,તેથી $\phi = 30^{\circ}$.
આમ,નમન કોણ $30^{\circ}$ છે.

(A) પૃથ્વીની ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ ચુંબકીય ઉત્તર ધ્રુવ પર પૃથ્વીની અંદર જાય છે અને ચુંબકીય દક્ષિણ ધ્રુવ પર પૃથ્વીની બહાર આવે છે.
ચુંબકીય ધ્રુવો પર,ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ પૃથ્વીની સપાટીને લંબ હોય છે.
ચુંબકીય ધ્રુવો પર ડીપ એંગલ (અથવા નમનકોણ) $90^{\circ}$ હોય છે.
ડીપ એંગલ એ કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ દ્વારા સમક્ષિતિજ દિશા સાથે બનાવેલો ખૂણો હોવાથી,$90^{\circ}$ નો ડીપ એંગલ સૂચવે છે કે ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ શિરોલંબ દિશામાં છે.
તેથી,ચુંબકીય ધ્રુવો પર પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા સંપૂર્ણપણે શિરોલંબ હોય છે.

(A) ચુંબકીય ડાયપોલના વિષુવવૃત્તીય બિંદુ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર $B = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{m}{r^3}$ છે.
પૃથ્વીને $m$ ચુંબકીય મોમેન્ટ અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ચુંબકીય ડાયપોલ તરીકે ગણવામાં આવે છે,તેથી વિષુવવૃત્ત પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર આ ડાયપોલના વિષુવવૃત્તીય ક્ષેત્રને અનુરૂપ છે.
તેથી,વિષુવવૃત્ત પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{m}{r^3}$ છે.

(B) પૃથ્વીની સપાટી પર ચુંબકીય કો-લેટિટ્યુડ $\theta$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર:
$B = \frac{\mu_0 M}{4\pi r^3} \sqrt{1 + 3 \cos^2 \theta}$
ચુંબકીય ધ્રુવો પર,$\theta = 0^{\circ}$,તેથી $B_p = \frac{\mu_0 M}{4\pi r^3} \sqrt{1 + 3 \cos^2 0^{\circ}} = 2 \left( \frac{\mu_0 M}{4\pi r^3} \right)$.
આપેલ છે કે $B_p = \sqrt{10} \times 10^{-5} \text{ T}$,તેથી $\frac{\mu_0 M}{4\pi r^3} = \frac{\sqrt{10}}{2} \times 10^{-5} \text{ T}$.
હવે,આપેલ બિંદુ માટે,$B = 5 \times 10^{-5} \text{ T}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$5 \times 10^{-5} = \frac{\sqrt{10}}{2} \times 10^{-5} \sqrt{1 + 3 \cos^2 \theta}$
$10 = \sqrt{10} \sqrt{1 + 3 \cos^2 \theta}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$100 = 10 (1 + 3 \cos^2 \theta)$
$10 = 1 + 3 \cos^2 \theta$
$9 = 3 \cos^2 \theta$
$\cos^2 \theta = 3$
આ ગણતરી દર્શાવે છે કે આપેલ મૂલ્યોમાં વિસંગતતા છે. જોકે,પ્રમાણિત ડાયપોલ મોડેલ મુજબ,વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,સાચો જવાબ $60^{\circ}$ છે.

(B) પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\beta_H = B \cos \delta$,જ્યાં $B$ એ કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે અને $\delta$ એ નમન કોણ છે.
આપેલ છે: $\beta_H = 0.3 \ G$ અને $\delta = 60^{\circ}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$0.3 = B \cos 60^{\circ}$
કારણ કે $\cos 60^{\circ} = 0.5$,તેથી:
$0.3 = B \times 0.5$
$B = \frac{0.3}{0.5} = 0.6 \ G$.
તેથી,આ સ્થળે પૃથ્વીનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $0.6 \ G$ છે.

(D) આપેલ છે:
પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક,$B_H = 0.8 \times 10^{-4} \,T$
ડીપનો ખૂણો,$\theta = 60^{\circ}$
ધારો કે પૃથ્વીનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_e$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક અને કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$B_H = B_e \cos \theta$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$0.8 \times 10^{-4} = B_e \cos 60^{\circ}$
કારણ કે $\cos 60^{\circ} = 0.5$ અથવા $\frac{1}{2}$ છે,તેથી:
$0.8 \times 10^{-4} = B_e \times 0.5$
$B_e$ માટે ગણતરી કરતા:
$B_e = \frac{0.8 \times 10^{-4}}{0.5}$
$B_e = 1.6 \times 10^{-4} \,T$
આમ,પૃથ્વીનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $1.6 \times 10^{-4} \,T$ છે.

(A) પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક $H = B \cos \delta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $B$ એ કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે અને $\delta$ એ ડીપનો ખૂણો છે.
ધારો કે બંને સ્થળોએ કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ સમાન છે:
$H_1 = B \cos 30^{\circ}$ અને $H_2 = B \cos 45^{\circ}$.
ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{H_1}{H_2} = \frac{B \cos 30^{\circ}}{B \cos 45^{\circ}} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \sqrt{2} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$.
આમ,ગુણોત્તર $\sqrt{3} : \sqrt{2}$ છે.