Bar Magnet and Magnetic Dipole and Magnetic Moment Questions in Gujarati

(A) ચુંબકીય મોમેન્ટ $(M)$ એ ધ્રુવ પ્રબળતા $(m)$ અને ચુંબકીય લંબાઈ $(2l)$ ના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ધ્રુવ પ્રબળતાનો $SI$ એકમ $Ampere \cdot meter$ $(A \cdot m)$ છે.
લંબાઈનો $SI$ એકમ $meter$ $(m)$ છે.
તેથી,ચુંબકીય મોમેન્ટનો એકમ $(Ampere \cdot meter) \times meter = Ampere \cdot meter^2$ $(A \cdot m^2)$ થાય છે.

(A) ચુંબકીય ડાયપોલ તેના ચુંબકીય મોમેન્ટ સદિશ $\vec{M}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
વર્તુળાકાર પ્રવાહ લૂપ માટે,ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec{M}$ લૂપની અક્ષની દિશામાં હોય છે.
ચુંબકીય મોમેન્ટ સદિશ (અક્ષ) માંથી પસાર થતી રેખા પર આવેલા કોઈપણ બિંદુને એન્ડ-ઓન પોઝિશન (જેને અક્ષીય સ્થિતિ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે) તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
તેથી,લૂપની અક્ષ પરનું બિંદુ એ એન્ડ-ઓન પોઝિશન છે.

(C) નિયોન $(Ne)$ એ $10$ પરમાણુ ક્રમાંક ધરાવતો નિષ્ક્રિય વાયુ છે.
તેની ઇલેક્ટ્રોનિક રચના $1s^2 2s^2 2p^6$ છે.
બધી કક્ષકો સંપૂર્ણ ભરાયેલી હોવાથી,બધા ઇલેક્ટ્રોન યુગ્મિત (paired) છે.
ઇલેક્ટ્રોનની જોડી બનવાને કારણે,સ્પિન ચુંબકીય મોમેન્ટ અને કક્ષીય ચુંબકીય મોમેન્ટ એકબીજાની અસરને નાબૂદ કરે છે.
તેથી,નિયોન પરમાણુની ચોખ્ખી પરિણામી ચુંબકીય મોમેન્ટ $0$ છે.

(B) સળિયાની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = m \times L$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ ધ્રુવની પ્રબળતા છે અને $L$ એ સળિયાની લંબાઈ છે.
જ્યારે સળિયાને અર્ધવર્તુળમાં વાળવામાં આવે છે,ત્યારે લંબાઈ $L$ એ અર્ધવર્તુળની ચાપની લંબાઈ બને છે,તેથી $L = \pi R$,જ્યાં $R$ એ અર્ધવર્તુળની ત્રિજ્યા છે.
આમ,ત્રિજ્યા $R = \frac{L}{\pi}$ થાય.
ધ્રુવો વચ્ચેનું નવું અંતર (અર્ધવર્તુળનો વ્યાસ) $L' = 2R = \frac{2L}{\pi}$ છે.
ધ્રુવની પ્રબળતા $m$ બદલાતી નથી.
તેથી,નવી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M'$ એ $M' = m \times L' = m \times \frac{2L}{\pi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $M = m \times L$,આપણે સમીકરણમાં $M$ મૂકી શકીએ છીએ:
$M' = \frac{2M}{\pi}$.

(D) જ્યારે ચુંબકને લોખંડના પાવડરમાં મૂકીને બહાર કાઢવામાં આવે છે,ત્યારે લોખંડનો મહત્તમ પાવડર ચુંબકના છેડાઓ પર ચોંટી જાય છે. આનું કારણ એ છે કે ચુંબકીય ક્ષેત્રની પ્રબળતા ચુંબકના ધ્રુવો (છેડાઓ) પર સૌથી વધુ હોય છે,જેના પરિણામે આ સ્થાનો પર લોખંડના કણો પર વધુ ચુંબકીય બળ લાગે છે.

(B) ચુંબકની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = m \times l$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ ધ્રુવ શક્તિ છે અને $l$ એ ચુંબકીય લંબાઈ છે.
કિસ્સો $1$: જો ચુંબકને તેની અક્ષની દિશામાં (લાંબાઈની દિશામાં) કાપવામાં આવે,તો નવી ધ્રુવ શક્તિ $m' = m/2$ થાય છે અને લંબાઈ $l' = l$ રહે છે.
તેથી,નવી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M' = m' \times l' = (m/2) \times l = M/2$.
કિસ્સો $2$: જો ચુંબકને તેની અક્ષને લંબરૂપે કાપવામાં આવે,તો ધ્રુવ શક્તિ $m' = m$ રહે છે અને નવી લંબાઈ $l' = l/2$ થાય છે.
તેથી,નવી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M' = m' \times l' = m \times (l/2) = M/2$.
બંને કિસ્સાઓમાં,દરેક ભાગની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M/2$ મળે છે.

(B) ચુંબકની ધ્રુવ શક્તિ $m$ તેના આડછેદના ક્ષેત્રફળ $A$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે (એટલે કે $m \propto A$).
જ્યારે ચુંબકને ચાર ભાગમાં એવી રીતે કાપવામાં આવે છે કે દરેક ભાગની લંબાઈ અને પહોળાઈ અડધી થઈ જાય,ત્યારે આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ પણ અડધું થઈ જાય છે. તેથી,નવી ધ્રુવ શક્તિ $m'$ એ નવા ક્ષેત્રફળ $A' = A/2$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,$m' = m/2$.

(A) ચુંબકનું ચુંબકત્વ મુખ્યત્વે ઇલેક્ટ્રોનની સ્પિન ગતિને કારણે હોય છે. પરમાણુમાં દરેક ઇલેક્ટ્રોન ન્યુક્લિયસની આસપાસ કક્ષામાં પરિભ્રમણ કરે છે, જે એક નાના પ્રવાહ લૂપની સમકક્ષ છે, જે કક્ષીય ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{M}_{l} = \text{current} \times \text{area}$ ઉત્પન્ન કરે છે.
કક્ષીય ગતિ ઉપરાંત, દરેક ઇલેક્ટ્રોન તેની પોતાની ધરી પર આંતરિક સ્પિન ગતિ ધરાવે છે, જે સ્પિન ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{M}_{s}$ ઉત્પન્ન કરે છે. પરમાણુની કુલ ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{M}$ એ $\vec{M}_{l}$ અને $\vec{M}_{s}$ નો સદિશ સરવાળો છે. કારણ કે $\vec{M}_{s}$ એ $\vec{M}_{l}$ કરતા ઘણું મોટું છે, તેથી ચુંબકનું ચુંબકત્વ મુખ્યત્વે ઇલેક્ટ્રોનના સ્પિનને આભારી છે.

(D) નાના ગજિયા ચુંબકની અક્ષ પર $x$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{axis} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2M}{x^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નાના ગજિયા ચુંબકની વિષુવરેખા પર $y$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{equator} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{M}{y^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે ચુંબકીય ક્ષેત્રો સમાન છે,તેથી $B_{axis} = B_{equator}$.
તેથી,$\frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2M}{x^3} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{M}{y^3}$.
સમીકરણનું સાદુંરૂપ આપતા,આપણને $\frac{2}{x^3} = \frac{1}{y^3}$ મળે છે.
ગુણોત્તર માટે ગોઠવતા,$\frac{x^3}{y^3} = 2$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા,$\frac{x}{y} = 2^{1/3}$ મળે છે.

(B) ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ ધરાવતા ટૂંકા ગજિયા ચુંબક માટે,$d$ અંતરે અક્ષીય બિંદુ (end-on position) પર ચુંબકીય તીવ્રતા $H_{axial} = \frac{2M}{4\pi d^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તે જ ચુંબક માટે,સમાન અંતર $d$ પર વિષુવવૃત્તીય બિંદુ (broad side-on position) પર ચુંબકીય તીવ્રતા $H_{equatorial} = \frac{M}{4\pi d^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $OP_1 = OP_2 = d = 10 \ m$ આપેલ છે,જ્યાં $P_1$ વિષુવવૃત્તીય સ્થિતિમાં છે અને $P_2$ અક્ષીય સ્થિતિમાં છે.
તેથી,$H_1 = H_{equatorial} = \frac{M}{4\pi d^3}$ અને $H_2 = H_{axial} = \frac{2M}{4\pi d^3}$.
ગુણોત્તર $\frac{H_1}{H_2} = \frac{M/4\pi d^3}{2M/4\pi d^3} = \frac{1}{2}$ થાય.
આમ,ગુણોત્તર $H_1:H_2 = 1:2$ છે.

(B) ગજિયા ચુંબકમાં ચુંબકીય પ્રેરણ રેખાઓ (અથવા ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ) સતત હોય છે અને બંધ ગાળાઓ બનાવે છે.
ચુંબકની બહાર,ક્ષેત્ર રેખાઓ ઉત્તર ધ્રુવમાંથી બહાર નીકળીને દક્ષિણ ધ્રુવમાં પ્રવેશે છે.
ચુંબકની અંદર,આ રેખાઓ દક્ષિણ ધ્રુવથી ઉત્તર ધ્રુવ તરફ વહે છે જેથી બંધ ગાળો પૂર્ણ થાય છે.
તેથી,તે ચુંબકની અંદર અને બહાર સતત વહે છે.

(A) ચુંબકની ધ્રુવ પ્રબળતા એ તેના આડછેદના ક્ષેત્રફળ અને પદાર્થની મેગ્નેટાઇઝેશનની તીવ્રતા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવતો ગુણધર્મ છે.
જ્યારે ચુંબકને તેની લંબાઈને લંબ દિશામાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે આડછેદનું ક્ષેત્રફળ બદલાતું નથી.
પદાર્થના ગુણધર્મો અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ બદલાતા ન હોવાથી,દરેક ટુકડાની ધ્રુવ પ્રબળતા મૂળ ચુંબક જેટલી જ રહે છે.
તેથી,બંને ભાગોની ધ્રુવ પ્રબળતાનો ગુણોત્તર $1 : 1$ છે,જેનો અર્થ છે કે તે સમાન છે.

(B) કોઈ બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $(H)$ ને તે બિંદુએ મૂકવામાં આવેલા એકમ ઉત્તર ધ્રુવ દ્વારા અનુભવાતા બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,તે $H = F/m$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $F$ એ ચુંબકીય બળ છે અને $m$ એ ધ્રુવની પ્રબળતા છે.
તેથી,તે એકમ ચુંબકીય ધ્રુવ પર લાગતા ચુંબકીય પ્રેરણ બળને દર્શાવે છે.
આમ,વિકલ્પ $(b)$ સાચી વ્યાખ્યા છે.

(A) ચુંબકીય સોય એક ચુંબકીય ડાયપોલ તરીકે વર્તે છે.
અસમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં,સોયના બંને ધ્રુવો પર લાગતું ચુંબકીય બળ મૂલ્ય અને દિશા બંનેમાં અલગ-અલગ હશે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર અસમાન હોવાને કારણે,ડાયપોલ પરનું પરિણામી બળ શૂન્ય હોતું નથી,જેના પરિણામે તે સ્થાનાંતરિત બળ અનુભવે છે.
વધુમાં,બંને ધ્રુવો પર લાગતા બળો એક રેખીય નથી અને તેમના મૂલ્યો અલગ હોવાથી,તેઓ એક પરિણામી ટોર્ક ઉત્પન્ન કરે છે,જેના કારણે સોય પરિભ્રમણ કરે છે.
તેથી,ચુંબકીય સોય બળ અને ટોર્ક બંને અનુભવે છે.

(B) $m$ શક્તિ ધરાવતા એકલ ચુંબકીય ધ્રુવથી $d$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર $SI$ પદ્ધતિમાં $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{m}{d^2}$ છે.
$C.G.S.$ પદ્ધતિમાં,અચળાંક $\frac{\mu_0}{4\pi}$ ને $1$ લેવામાં આવે છે. તેથી,ચુંબકીય પ્રેરણ $B = \frac{m}{d^2}$ થાય છે.

(C) જ્યારે ચુંબકીય સોયને તેની લંબાઈને લંબ રૂપે બે સમાન ટુકડાઓમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક નવા ટુકડાની ધ્રુવ શક્તિ $m$ મૂળ જેટલી જ રહે છે,કારણ કે ચુંબકનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ બદલાતું નથી.
દરેક નવા ટુકડાની લંબાઈ $L' = \frac{2L}{2} = L$ થાય છે.
દરેક નવા ટુકડાની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M'$ એ તેની ધ્રુવ શક્તિ અને તેની નવી લંબાઈના ગુણાકાર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$M' = m \times L' = m \times L$.
મૂળ ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = m \times (2L) = 2mL$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ:
$M' = \frac{M}{2}$.
તેથી,દરેક ટુકડાની ચુંબકીય મોમેન્ટ $\frac{M}{2}$ અને ધ્રુવ શક્તિ $m$ હશે.

(B) બે ચુંબકીય ધ્રુવો જેની પ્રબળતા $m_1$ અને $m_2$ છે અને તેમની વચ્ચેનું અંતર $r$ છે,તેમની વચ્ચે લાગતું બળ કુલંબના નિયમ મુજબ $F = k \frac{m_1 m_2}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં નવી ધ્રુવ પ્રબળતા $m_1' = 2m_1$ અને $m_2' = 2m_2$ છે,અને નવું અંતર $r' = 2r$ છે.
નવું બળ $F'$ આ રીતે મળે છે: $F' = k \frac{(2m_1)(2m_2)}{(2r)^2}$.
$F' = k \frac{4 m_1 m_2}{4 r^2} = k \frac{m_1 m_2}{r^2} = F$.
તેથી,બળમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.

(C) $m_1$ અને $m_2$ ધ્રુવમાન ધરાવતા અને $r$ અંતરે રહેલા બે ચુંબકીય ધ્રુવો વચ્ચેનું બળ કુલંબના ચુંબકત્વના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$F = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{m_1 m_2}{r^2}$
અહીં આપેલ છે કે ધ્રુવમાન એકમ છે,તેથી $m_1 = 1 \, Am$ અને $m_2 = 1 \, Am$.
અંતર $r = 1 \, m$ છે.
$\frac{\mu_0}{4\pi}$ નું મૂલ્ય $10^{-7} \, N/A^2$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$F = 10^{-7} \times \frac{1 \times 1}{1^2} = 10^{-7} \, N$.

(C) ગજિયા ચુંબકની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ એ તેના ધ્રુવમાન $m$ અને ચુંબકીય લંબાઈ $2l$ ના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જે $M = m \times 2l$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે ગજિયા ચુંબકના કેન્દ્રમાં કાણું પાડવામાં આવે છે,ત્યારે ચુંબકના મધ્ય ભાગમાંથી દ્રવ્ય દૂર થાય છે.
જો કે,ધ્રુવમાન $m$ એ ચુંબકના છેડાઓ પર રહેલા ચુંબકીય દ્રવ્ય પર આધાર રાખે છે,જે કેન્દ્રમાં કાણું પાડવાથી પ્રભાવિત થતું નથી.
ચુંબકીય લંબાઈ $2l$ (ધ્રુવો વચ્ચેનું અંતર) પણ બદલાતું નથી.
આમ,ધ્રુવમાન અને ચુંબકીય લંબાઈ બંને અચળ રહેતા હોવાથી,ગજિયા ચુંબકની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ બદલાતી નથી.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ સતત બંધ ગાળાઓ બનાવે છે.
ગજિયા ચુંબકની બહાર,ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ ઉત્તર ધ્રુવથી શરૂ થઈને દક્ષિણ ધ્રુવ પર સમાપ્ત થાય છે.
ગજિયા ચુંબકની અંદર,ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ બંધ ગાળો પૂર્ણ કરવા માટે દક્ષિણ ધ્રુવથી ઉત્તર ધ્રુવ તરફ ગતિ કરે છે.
તેથી,સાચું વર્ણન એ છે કે તે ચુંબકની અંદર દક્ષિણ ધ્રુવથી ઉત્તર ધ્રુવ તરફ અને ચુંબકની બહાર ઉત્તર ધ્રુવથી દક્ષિણ ધ્રુવ તરફ ગતિ કરે છે.

(D) બે ટૂંકા ગજિયા ચુંબકોને અક્ષીય રીતે મૂકવામાં આવે ત્યારે,તેમની વચ્ચેનું આકર્ષણ કે અપાકર્ષણ બળ $F$ એ તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેના અંતર $r$ ની ચતુર્થ ઘાતના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $F \propto \frac{1}{r^4}$.
આપેલ છે કે શરૂઆતનું બળ $F_1 = 4.8 \ N$ અંતર $r_1 = r$ પર છે.
જ્યારે અંતર વધારીને $r_2 = 2r$ કરવામાં આવે,ત્યારે નવું બળ $F_2$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{F_2}{F_1} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^4$
$\frac{F_2}{4.8} = \left( \frac{r}{2r} \right)^4 = \left( \frac{1}{2} \right)^4 = \frac{1}{16}$
$F_2 = \frac{4.8}{16} = 0.3 \ N$.

(B) કાયમી ચુંબક એ એક એવો પદાર્થ છે જે ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે. આ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ચુંબકીય પદાર્થો (જેમ કે લોખંડ,નિકલ અને કોબાલ્ટ) પર બળ લગાડે છે,જેના કારણે તેઓ ચુંબક તરફ આકર્ષાય છે. બિન-ચુંબકીય પદાર્થો આ રીતે ચુંબકીય ક્ષેત્ર સાથે આંતરક્રિયા કરતા નથી,જેનો અર્થ છે કે તેઓ ચુંબક દ્વારા આકર્ષાતા પણ નથી કે અપાકર્ષાતા પણ નથી. તેથી,કાયમી ચુંબક માત્ર ચુંબકીય પદાર્થોને જ આકર્ષે છે.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ સતત બંધ ગાળાઓ બનાવે છે. ચુંબકની બહાર,તે ઉત્તર ધ્રુવથી દક્ષિણ ધ્રુવ તરફ જાય છે. જો કે,ચુંબકની અંદર,તે બંધ ગાળો પૂર્ણ કરવા માટે દક્ષિણ ધ્રુવથી ઉત્તર ધ્રુવ તરફ જાય છે. તેથી,વિકલ્પ $C$ માં આપેલ વિધાન ખોટું છે.

(B) સાચો જવાબ $B$ છે. આકર્ષણ એ ચુંબક અને ચુંબકીય પદાર્થ (જેમ કે લોખંડ અથવા સ્ટીલ) વચ્ચે અથવા બે ચુંબકના વિરુદ્ધ ધ્રુવો વચ્ચે થઈ શકે છે. જો કે,અપાકર્ષણ ત્યારે જ થાય છે જ્યારે બે ચુંબકના સમાન ધ્રુવો એકબીજાની સામે હોય. તેથી,અપાકર્ષણ એ ચુંબકત્વ માટેનો એકમાત્ર નિર્ણાયક પુરાવો છે.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચુંબકીય ડાયપોલ દ્વારા અનુભવાતું ટોર્ક $\tau = M B \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ ટોર્ક માટે,$\theta = 90^\circ$,તેથી $\tau_{\max} = M B$.
આપેલ છે: $\tau_{\max} = 4 \times 10^{-5} \ N \cdot m$ અને $B = 10^{-4} \ Wb/m^2$.
કિંમતો મૂકતા: $4 \times 10^{-5} = M \times 10^{-4}$.
$M$ માટે ઉકેલતા: $M = \frac{4 \times 10^{-5}}{10^{-4}} = 4 \times 10^{-1} = 0.4 \ A \cdot m^2$.

(B) ચુંબકીય મોમેન્ટ એ સદિશ રાશિ છે. જ્યારે સમાન ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ ધરાવતા બે ચુંબકોને એકબીજા સાથે કાટખૂણે મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તેમની પરિણામી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M_{net}$ એ વ્યક્તિગત ચુંબકીય મોમેન્ટના સદિશ સરવાળા દ્વારા મળે છે.
બે ચુંબકીય મોમેન્ટ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ હોવાથી,પરિણામી ચુંબકીય મોમેન્ટનું મૂલ્ય નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$M_{net} = \sqrt{M^2 + M^2 + 2MM \cos(90^{\circ})}$
કારણ કે $\cos(90^{\circ}) = 0$ છે,તેથી આ સમીકરણનું સાદું રૂપ નીચે મુજબ થશે:
$M_{net} = \sqrt{M^2 + M^2} = \sqrt{2M^2} = \sqrt{2} \,M$

(B) ધારો કે બિંદુ $P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય છે,જે $10$ એકમના ધ્રુવથી $x$ અંતરે આવેલું છે.
ધ્રુવો સમાન હોવાથી,શૂન્ય ક્ષેત્રબિંદુ તેમની વચ્ચે આવેલું હશે.
$40$ એકમના ધ્રુવથી $P$ નું અંતર $(30 - x)$ છે.
બિંદુ $P$ પર,બંને ધ્રુવોને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ હોવી જોઈએ:
$\frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{10}{x^2} = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{40}{(30 - x)^2}$
$\frac{1}{x^2} = \frac{4}{(30 - x)^2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{1}{x} = \frac{2}{30 - x}$
$30 - x = 2x$
$3x = 30 \Rightarrow x = 10 \, cm$.
આમ,આ બિંદુ $10$ એકમના ધ્રુવથી $10 \, cm$ ના અંતરે અને વધારે શક્તિશાળી ($40$ એકમ) ધ્રુવથી $(30 - 10) = 20 \, cm$ ના અંતરે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(b)$ છે.

(C) ધારો કે મૂળ ધ્રુવમાન $m$,લંબાઈ $L$ અને ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = m \times L$ છે.
કિસ્સો $1$: ચુંબક $P$ ને તેની અક્ષીય રેખા પર (લંબાઈની દિશામાં) કાપવામાં આવે છે.
દરેક ટુકડાની લંબાઈ $L' = L$ અને ધ્રુવમાન $m' = \frac{m}{2}$ થાય છે.
નવી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M' = m' \times L' = \frac{m}{2} \times L = \frac{M}{2}$ થાય છે.
કિસ્સો $2$: ચુંબક $Q$ ને તેની વિષુવવૃત્તીય રેખા પર (લંબાઈને લંબ) કાપવામાં આવે છે.
દરેક ટુકડાની લંબાઈ $L' = \frac{L}{2}$ અને ધ્રુવમાન $m' = m$ થાય છે.
નવી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M' = m' \times L' = m \times \frac{L}{2} = \frac{M}{2}$ થાય છે.
આમ,મળતા ચારેય ટુકડાઓની ચુંબકીય મોમેન્ટ $\frac{M}{2}$ હોય છે.

(D) કપલ (couple) એટલે બે સમાન અને વિરુદ્ધ દિશાના બળો જે અલગ-અલગ કાર્યરેખાઓ પર લાગતા હોય,જે ટોર્ક ઉત્પન્ન કરે છે.
જ્યારે બે ગજિયા ચુંબકોને અક્ષીય રીતે મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તેમની વચ્ચે લાગતું ચુંબકીય બળ તેમના કેન્દ્રોને જોડતી અક્ષ પર કાર્ય કરે છે.
ચુંબકના ધ્રુવો પર લાગતા બળો એક જ રેખા (સામાન્ય અક્ષ) પર કાર્ય કરતા હોવાથી,બળોની કાર્યરેખાઓ વચ્ચેનું લંબ અંતર શૂન્ય થાય છે.
તેથી,ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = 0$ થાય છે.
આમ,ચુંબકો પર કોઈ કપલ લાગતું નથી.

(D) ગજિયા ચુંબકની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ એ $M = m \times L$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ ધ્રુવમાન છે અને $L$ એ ચુંબકની લંબાઈ છે.
સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં દરેક ધ્રુવ પર લાગતું બળ $F$ એ $F = m \times B$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આના પરથી,ધ્રુવમાન $m = \frac{F}{B}$ થાય.
ચુંબકીય મોમેન્ટના સૂત્રમાં $m$ ની કિંમત મૂકતા: $M = \left( \frac{F}{B} \right) \times L$.
$L$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $L = \frac{M \times B}{F}$.
આપેલ છે: $M = 3.0 \, A-m^2$,$B = 2 \times 10^{-5} \, T$,અને $F = 6 \times 10^{-4} \, N$.
$L = \frac{3.0 \times 2 \times 10^{-5}}{6 \times 10^{-4}} = \frac{6 \times 10^{-5}}{6 \times 10^{-4}} = 0.1 \, m$.
તેથી,ચુંબકની લંબાઈ $0.1 \, m$ છે.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ કોઈપણ બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા દર્શાવે છે. જો બે ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ એકબીજાને છેદે,તો તેનો અર્થ એ થાય કે છેદબિંદુ પર ચુંબકીય ક્ષેત્રની બે અલગ-અલગ દિશાઓ છે,જે ભૌતિક રીતે અશક્ય છે. તેથી,ગજિયા ચુંબકને કારણે ઉદ્ભવતી ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ ક્યારેય એકબીજાને છેદતી નથી.

(C) ચુંબકત્વમાં,અલગ પડેલા ચુંબકીય મોનોપોલ (એકધ્રુવી) અસ્તિત્વ ધરાવતા નથી. પરમાણુ સ્તરે પણ,ચુંબકત્વ પ્રવાહ લૂપ્સ અથવા ઇલેક્ટ્રોન સ્પિનથી ઉદ્ભવે છે,જે સ્વાભાવિક રીતે ચુંબકીય ડાયપોલ બનાવે છે. તેથી,ચુંબકત્વનો સૌથી નાનો મૂળભૂત એકમ ચુંબકીય ડાયપોલ છે.

(D) એ સાચો વિકલ્પ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ સતત બંધ ગાળાઓ બનાવે છે.
ચુંબકની બહાર,ક્ષેત્ર રેખાઓ ઉત્તર ધ્રુવથી દક્ષિણ ધ્રુવ તરફ જાય છે.
ચુંબકની અંદર,ક્ષેત્ર રેખાઓ દક્ષિણ ધ્રુવથી ઉત્તર ધ્રુવ તરફ જાય છે,જે બંધ ગાળાઓની સાતત્યતા જાળવી રાખે છે.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ સતત બંધ ગાળાઓ બનાવે છે. ચુંબકની બહાર,ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ ઉત્તર ધ્રુવમાંથી બહાર નીકળે છે અને દક્ષિણ ધ્રુવમાં પ્રવેશે છે. ચુંબકની અંદર,બંધ ગાળો પૂર્ણ કરવા માટે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ દક્ષિણ ધ્રુવથી ઉત્તર ધ્રુવ તરફ ગતિ કરે છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં મૂકવામાં આવેલા $M$ ચુંબકીય મોમેન્ટ ધરાવતા ગજિયા ચુંબક પર લાગતું ટોર્ક $\tau$ એ સૂત્ર $\tau = MB \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ ચુંબકીય અક્ષ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો છે.
પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્ર માટે,ટોર્ક $\tau = M B_H \sin \theta$ છે,જ્યાં $B_H$ એ પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક છે.
ટોર્ક $\tau$ ત્યારે મહત્તમ હોય છે જ્યારે $\sin \theta$ મહત્તમ હોય,જે $\theta = 90^{\circ}$ પર થાય છે.
તેથી,જ્યારે ચુંબકની અક્ષ પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ હોય ત્યારે ટોર્ક મહત્તમ હોય છે.

(B) ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ,જેને $\vec{M}$ અથવા $\vec{m}$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે,તે ચુંબકની ધ્રુવ પ્રબળતા $(q_m)$ અને ચુંબકીય લંબાઈ $(2\vec{l})$ ના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
તેનું મૂલ્ય અને ચોક્કસ દિશા (દક્ષિણ ધ્રુવથી ઉત્તર ધ્રુવ તરફ) બંને હોવાથી,તે એક સદિશ રાશિ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) ગજિયા ચુંબકની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ એ તેની ધ્રુવ શક્તિ $m$ અને તેની ચુંબકીય લંબાઈ $L$ ના ગુણાકાર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
ધ્રુવ શક્તિ $m = 4.0\, Am$
લંબાઈ $L = 10\, cm = 0.1\, m$
સૂત્ર: $M = m \times L$
ગણતરી: $M = 4.0\, Am \times 0.1\, m = 0.4\, A\, m^2$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) પ્રારંભિક ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ એ $M = m \times L$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m = 0.5 \, Am$ અને $L = 31.4 \, cm = 0.314 \, m$ છે.
તેથી,$M = 0.5 \times 0.314 = 0.157 \, Am^2$.
જ્યારે ચુંબકને અર્ધવર્તુળમાં વાળવામાં આવે છે,ત્યારે નવી અસરકારક લંબાઈ (ધ્રુવો વચ્ચેનું અંતર) $L'$ એ અર્ધવર્તુળનો વ્યાસ બને છે.
જો $R$ ત્રિજ્યા હોય,તો ચાપની લંબાઈ $L = \pi R$,તેથી $R = L / \pi$.
ધ્રુવો વચ્ચેનું નવું અંતર $L' = 2R = 2L / \pi$ છે.
નવી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M' = m \times L' = m \times (2L / \pi) = (2 / \pi) \times M$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $M' = (2 / 3.14) \times (0.5 \times 0.314) = (2 / 3.14) \times 0.157 = 2 \times 0.05 = 0.1 \, Am^2$.

(B) મુક્ત રીતે લટકાવેલા ચુંબકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB_H}} = 4 \ s$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે ચુંબકને તેની લંબાઈની દિશામાં બે સમાન ભાગોમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે નવી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M' = \frac{M}{2}$ થાય છે.
એક ભાગ માટે નવી જડત્વની ચાકમાત્રા $I' = \frac{m'l'^2}{12}$ છે,જ્યાં $m' = \frac{m}{2}$ અને $l' = \frac{l}{2}$ છે.
તેથી,$I' = \frac{(m/2)(l/2)^2}{12} = \frac{1}{8} \cdot \frac{ml^2}{12} = \frac{I}{8}$.
નવો આવર્તકાળ $T' = 2\pi \sqrt{\frac{I'}{M'B_H}} = 2\pi \sqrt{\frac{I/8}{(M/2)B_H}}$ છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા,$T' = 2\pi \sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{I}{MB_H}} = \frac{1}{2} \cdot 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB_H}} = \frac{T}{2}$ મળે છે.
$T = 4 \ s$ મૂકતા,આપણને $T' = \frac{4}{2} = 2 \ s$ મળે છે.

(D) પરમાણુની ચુંબકીય મોમેન્ટ તેના ઇલેક્ટ્રોનના સ્પિન અને ઓર્બિટલ કોણીય વેગમાનને કારણે ઉદભવે છે.
જુદા જુદા તત્વોની ઇલેક્ટ્રોનિક ગોઠવણી અલગ હોય છે,જેના કારણે ચુંબકીય ગુણધર્મો બદલાય છે.
કેટલાક પરમાણુઓમાં અયુગ્મિત ઇલેક્ટ્રોનને કારણે કાયમી ચુંબકીય મોમેન્ટ હોય છે,જ્યારે અન્યમાં હોતી નથી.
વધુમાં,પદાર્થમાં પરમાણુઓ વચ્ચેની આંતરક્રિયા ચોખ્ખી ચુંબકીય વર્તણૂક નક્કી કરે છે.
તેથી,એવું કહેવું સાર્વત્રિક રીતે સાચું નથી કે બધા પરમાણુઓ પાસે ચુંબકીય મોમેન્ટ છે,કે એવું પણ નથી કે કોઈની પાસે નથી,અથવા બધા બાહ્ય ક્ષેત્ર હેઠળ એક જ દિશામાં ગોઠવાય છે.
આમ,આપેલા વિધાનોમાંથી કોઈ પણ સચોટ નથી.

(A) નિયોન $(Ne)$ પરમાણુની ઇલેક્ટ્રોનિક રચના $1s^2 2s^2 2p^6$ છે.
બધી કક્ષકો સંપૂર્ણ ભરાયેલી હોવાથી,બધા ઇલેક્ટ્રોન યુગ્મિત (paired) છે.
ઇલેક્ટ્રોનના યુગ્મીકરણને કારણે,સ્પિન ચુંબકીય મોમેન્ટ અને કક્ષીય ચુંબકીય મોમેન્ટ એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે.
તેથી,નિયોન પરમાણુનો કુલ ચુંબકીય મોમેન્ટ શૂન્ય હોય છે.

(B) ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $M$ એ મેગ્નેટાઇઝેશન $I$ અને ચુંબકના કદ $V$ ના ગુણાકાર જેટલી હોય છે,એટલે કે $M = I \times V$.
આપેલ છે: મેગ્નેટાઇઝેશન $I = 5.30 \times 10^3 \, A/m$,લંબાઈ $l = 5 \, cm = 0.05 \, m$,અને વ્યાસ $d = 1 \, cm$,તેથી ત્રિજ્યા $r = 0.5 \, cm = 0.005 \, m$.
નળાકાર સળિયાનું કદ $V = \pi r^2 l$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$V = \pi \times (0.005)^2 \times 0.05 = \pi \times (2.5 \times 10^{-5}) \times 0.05 = 3.927 \times 10^{-6} \, m^3$.
હવે,ડાયપોલ મોમેન્ટની ગણતરી કરતા:
$M = (5.30 \times 10^3) \times (3.927 \times 10^{-6}) \approx 2.08 \times 10^{-2} \, J/T$.

(C) $1$. એકમ કદ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $(n)$ ગણો:
$n = \frac{\rho N_A}{M} = \frac{7.78 \times 10^3 \times 6.02 \times 10^{23}}{56 \times 10^{-3}} \approx 8.36 \times 10^{28} \, atoms/m^3$.
$2$. સળિયાનું કદ $(V)$ ગણો:
$V = 5 \, cm \times 1 \, cm \times 1 \, cm = 5 \times 10^{-6} \, m^3$.
$3$. કુલ પરમાણુઓની સંખ્યા $(N)$ ગણો:
$N = n \times V = 8.36 \times 10^{28} \times 5 \times 10^{-6} = 4.18 \times 10^{23} \, atoms$.
$4$. કુલ ચુંબકીય મોમેન્ટ $(M_{total})$ ગણો:
$M_{total} = N \times \mu_{atom} = 4.18 \times 10^{23} \times 1.8 \times 10^{-23} \approx 7.52 \, A \cdot m^2$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $7.54 \, A \cdot m^2$ છે.

(B) શરૂઆતની ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $M = m \cdot L$ છે,જ્યાં $m$ એ ધ્રુવની પ્રબળતા છે.
જ્યારે સળિયાને $R$ ત્રિજ્યાના અર્ધવર્તુળમાં વાળવામાં આવે છે,ત્યારે તેની લંબાઈ $L$ એ અર્ધવર્તુળની ચાપની લંબાઈ બને છે,તેથી $L = \pi R$,જે આપણને $R = \frac{L}{\pi}$ આપે છે.
નવી ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $M'$ એ ધ્રુવની પ્રબળતા $m$ અને ધ્રુવો વચ્ચેના સીધા અંતર (વ્યાસ $2R$) નો ગુણાકાર છે.
$M' = m \cdot (2R) = m \cdot \left( \frac{2L}{\pi} \right)$.
કારણ કે $M = m \cdot L$,આપણે સમીકરણમાં $M$ ની કિંમત મૂકીએ છીએ:
$M' = \frac{2M}{\pi}$.

(D) ગજિયા ચુંબકની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ એ $M = m \cdot L$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ ધ્રુવમાન છે અને $L$ એ ચુંબકની લંબાઈ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ધ્રુવ પર લાગતું બળ $F$ એ $F = m \cdot B$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,આપણને $m = \frac{M}{L}$ મળે છે.
આ કિંમતને બળના સમીકરણમાં મૂકતા: $F = \frac{M}{L} \cdot B$.
અહીં $M = 3.0 \, A \cdot m^2$,$B = 2 \times 10^{-5} \, T$,અને $F = 6 \times 10^{-4} \, N$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $6 \times 10^{-4} = \frac{3.0}{L} \times 2 \times 10^{-5}$.
$L = \frac{3.0 \times 2 \times 10^{-5}}{6 \times 10^{-4}} = \frac{6 \times 10^{-5}}{6 \times 10^{-4}} = 10^{-1} = 0.1 \, m$.

(C) ધ્રુવમાન $m = 0.01 \, A \cdot m$ છે. બે ધ્રુવો વચ્ચેનું અંતર $d = 0.1 \, m$ છે. મધ્યબિંદુ દરેક ધ્રુવથી $r = d/2 = 0.05 \, m$ અંતરે છે.
મધ્યબિંદુ પર,ઉત્તર ધ્રુવને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B_N)$ તેનાથી દૂરની દિશામાં હોય છે અને દક્ષિણ ધ્રુવને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B_S)$ તેની તરફની દિશામાં હોય છે. બંને ક્ષેત્રો એક જ દિશામાં હોય છે.
એક ધ્રુવને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{m}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$B_N = B_S = 10^{-7} \times \frac{0.01}{(0.05)^2} = 10^{-7} \times \frac{0.01}{0.0025} = 10^{-7} \times 4 = 4 \times 10^{-7} \, T$.
કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net} = B_N + B_S = 4 \times 10^{-7} + 4 \times 10^{-7} = 8 \times 10^{-7} \, T$.

(B) મેગ્નેટિક મોમેન્ટ $M$ એ મેગ્નેટાઈઝેશન $I$ અને સળિયાના કદ $V$ ના ગુણાકાર જેટલી હોય છે.
$M = I \times V$
આપેલ છે:
મેગ્નેટાઈઝેશન $I = 5.30 \times 10^3 \, A/m$
લંબાઈ $l = 5 \, cm = 5 \times 10^{-2} \, m$
ત્રિજ્યા $r = \text{વ્યાસ} / 2 = 0.5 \, cm = 0.5 \times 10^{-2} \, m$
કદ $V = \pi r^2 l = \pi \times (0.5 \times 10^{-2})^2 \times (5 \times 10^{-2}) \, m^3$
$V = 3.14159 \times 0.25 \times 10^{-4} \times 5 \times 10^{-2} \approx 3.927 \times 10^{-6} \, m^3$
હવે,મેગ્નેટિક મોમેન્ટની ગણતરી કરતા:
$M = (5.30 \times 10^3) \times (3.927 \times 10^{-6})$
$M \approx 20.813 \times 10^{-3} \, J/T = 2.08 \times 10^{-2} \, J/T$.

(A) ગજિયા ચુંબકની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ એ $M = m \times L$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ ધ્રુવમાન છે અને $L$ એ ચુંબકની ચુંબકીય લંબાઈ છે.
જ્યારે ચુંબકને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ધ્રુવ પર લાગતું બળ $F = mB$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આના પરથી,ધ્રુવમાન $m = F/B$ થાય છે.
$m$ ની કિંમતને ચુંબકીય મોમેન્ટના સમીકરણમાં મૂકતા: $M = (F/B) \times L$.
લંબાઈ $L$ માટે સમીકરણને ગોઠવતા,આપણને મળે છે: $L = MB/F$.

(B) ધારો કે $l$ લંબાઈના ગજિયા ચુંબકના દરેક ધ્રુવની ધ્રુવ પ્રબળતા $m$ છે. તો,પ્રારંભિક ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ નીચે મુજબ છે:
$M = m \times l$ ......... $(i)$
જ્યારે ગજિયા ચુંબકને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી ચાપમાં વાળવામાં આવે છે જે કેન્દ્ર પર $\theta = 60^{\circ} = \frac{\pi}{3} \text{ રેડિયન}$ નો ખૂણો આંતરે છે,ત્યારે ચાપની લંબાઈ $l$ છે:
$l = r \theta = r \times \frac{\pi}{3}$
$r = \frac{3l}{\pi}$
નવી ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $M^{\prime}$ એ ધ્રુવ પ્રબળતા $m$ અને બે ધ્રુવો વચ્ચેના સીધા અંતર (જીવાની લંબાઈ) નો ગુણાકાર છે.
જીવાની લંબાઈ $d = 2r \sin(\frac{\theta}{2}) = 2r \sin(30^{\circ}) = 2r \times \frac{1}{2} = r$.
તેથી,$M^{\prime} = m \times d = m \times r$.
$r = \frac{3l}{\pi}$ મૂકતા:
$M^{\prime} = m \times \frac{3l}{\pi} = \frac{3}{\pi} (m \times l) = \frac{3}{\pi} M$ (સમીકરણ $(i)$ નો ઉપયોગ કરતા).