R-L D.C. Circuit Questions in Hindi

(A) जब $X$ को लंबे समय तक $Y$ से जोड़ा जाता है,तो प्रेरक $L$ स्थिर अवस्था में शॉर्ट सर्किट की तरह कार्य करता है।
प्रेरक से बहने वाली स्थिर धारा $i_0 = \frac{\varepsilon}{R_1}$ है।
प्रेरक के चुंबकीय क्षेत्र में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2}Li_0^2 = \frac{1}{2}L\left(\frac{\varepsilon}{R_1}\right)^2 = \frac{L\varepsilon^2}{2R_1^2}$ है।
जब $X$ को $Z$ से जोड़ा जाता है,तो बैटरी डिस्कनेक्ट हो जाती है और प्रेरक प्रतिरोध $R_2$ के माध्यम से डिस्चार्ज होता है।
चूंकि डिस्चार्ज प्रक्रिया के दौरान प्रेरक में संचित पूरी ऊर्जा परिपथ में ऊष्मा के रूप में नष्ट हो जाती है,इसलिए $R_2$ में उत्पन्न कुल ऊष्मा प्रारंभिक संचित ऊर्जा $U = \frac{L\varepsilon^2}{2R_1^2}$ के बराबर होती है।

(C) बल्ब $B_1$ में धारा $I_1 = V/R = 4\text{V} / 2\Omega = 2\text{A}$ है।
बल्ब $B_2$ और इंडक्टर $L$ वाले सर्किट में धारा $I_2(t) = I_{max}(1 - e^{-t/\tau})$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $I_{max} = 4\text{V} / 2\Omega = 2\text{A}$ और $\tau = L/R = 20\text{H} / 2\Omega = 10\text{s}$ है।
समान रोशनी के लिए,दोनों बल्बों में धारा समान होनी चाहिए। यदि हम $I_2 = 1\text{A}$ लेते हैं,तो $1 = 2(1 - e^{-t/10}) \Rightarrow 0.5 = 1 - e^{-t/10} \Rightarrow e^{-t/10} = 0.5 \Rightarrow t = 10 \ln 2 = 7\text{s}$ प्राप्त होता है।
पहिये द्वारा तय किया गया कोण: $\theta = \omega_i t - \frac{1}{2} \alpha t^2 = (2.5\pi)(7) - \frac{1}{2}(2)(7)^2 = 17.5\pi - 49 \text{ rad}$.
$17.5\pi \approx 54.978$. $\theta = 54.978 - 49 = 5.978 \text{ rad}$.
$5.978 \text{ rad} \times (180/\pi) \approx 342.5^{\circ}$.
चूँकि पहिया वर्टिकल पॉइंटर से शुरू होता है,$342.5^{\circ}$ का घूर्णन पॉइंटर को हरे रंग के क्षेत्र में रखता है।

(B) परिपथ को बैटरी से जुड़े दो स्वतंत्र लूपों में विभाजित करके विश्लेषण किया जा सकता है।
लूप $1$ (बायां लूप): इसमें बैटरी $(20 \, V)$,प्रेरक $(L = 5 \, mH)$ और प्रतिरोधक ($4 \, \Omega$ और $6 \, \Omega$) हैं। कुल प्रतिरोध $R_1 = 4 + 6 = 10 \, \Omega$ है। समय नियतांक $\tau_1 = L/R_1 = 5 \times 10^{-3} / 10 = 5 \times 10^{-4} \, s$ है। धारा $I_1(t) = \frac{V}{R_1} (1 - e^{-t/\tau_1}) = 2 (1 - e^{-2000t})$ है।
लूप $2$ (दायां लूप): इसमें बैटरी $(20 \, V)$,संधारित्र $(C = 0.1 \, mF = 10^{-4} \, F)$ और प्रतिरोधक ($5 \, \Omega$ और $5 \, \Omega$) हैं। कुल प्रतिरोध $R_2 = 5 + 5 = 10 \, \Omega$ है। समय नियतांक $\tau_2 = R_2 C = 10 \times 10^{-4} = 10^{-3} \, s$ है। धारा $I_2(t) = \frac{V}{R_2} e^{-t/\tau_2} = 2 e^{-1000t}$ है।
$t = 10^{-3} \ln 2 \, s$ पर:
$I_1 = 2 (1 - e^{-2 \ln 2}) = 2 (1 - 1/4) = 1.5 \, A$।
$I_2 = 2 e^{-\ln 2} = 2 (1/2) = 1 \, A$।
कुंजी $K$ से प्रवाहित होने वाली कुल धारा $I = I_1 + I_2 = 1.5 + 1 = 2.5 \, A$ है।

(A) $DC$ स्रोत $\varepsilon$ से जुड़े $L-R$ परिपथ के लिए,किरचॉफ का वोल्टेज नियम $\varepsilon = L \frac{dI}{dt} + IR$ है।
प्रेरक में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2} LI^2$ द्वारा दी जाती है।
विकल्प $A$ के लिए,ऊर्जा $U = \frac{L\varepsilon^2}{8R^2}$ है।
इसे $\frac{1}{2} LI^2$ के बराबर रखने पर,हमें $\frac{1}{2} LI^2 = \frac{L\varepsilon^2}{8R^2}$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $I^2 = \frac{\varepsilon^2}{4R^2}$ हो जाता है,इसलिए $I = \frac{\varepsilon}{2R}$।
परिपथ समीकरण में $I$ का मान रखने पर: $\varepsilon = L \frac{dI}{dt} + (\frac{\varepsilon}{2R})R = L \frac{dI}{dt} + \frac{\varepsilon}{2}$।
इससे $L \frac{dI}{dt} = \frac{\varepsilon}{2}$ प्राप्त होता है,या $\frac{dI}{dt} = \frac{\varepsilon}{2L}$।
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(B) जब कुंजी $K$ को बंद किया जाता है,तो प्रेरक धारा में परिवर्तन का विरोध करता है। हालाँकि,लंबे समय के बाद,धारा एक स्थिर अवस्था (steady state) प्राप्त कर लेती है।
स्थिर अवस्था में,प्रेरक शून्य प्रतिरोध वाले एक साधारण तार की तरह कार्य करता है (आदर्श प्रेरक)।
परिपथ केवल बैटरी और प्रतिरोधक वाले एक साधारण $DC$ परिपथ की तरह व्यवहार करता है।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए: $I = \frac{V}{R}$।
यहाँ $V = 10 \ V$ और $R = 2 \ \Omega$ दिया गया है।
इसलिए,$I = \frac{10}{2} = 5 \ A$।

(A) एक प्रेरक में, चुंबकीय फ्लक्स $\phi = LI$ तात्कालिक रूप से नहीं बदल सकता है।
प्रारंभ में, प्रेरक में लोहे का क्रोड है, इसलिए इसका प्रेरकत्व $L_1 = L_{core}$ है। स्थिर अवस्था में धारा $I_1 = V/R$ है।
प्रेरक से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\phi_1 = L_1 I_1$ है।
जब लोहे के क्रोड को हटा दिया जाता है, तो प्रेरकत्व बदलकर $L_2$ हो जाता है (जहाँ $L_2 < L_1$)।
चूंकि फ्लक्स तात्कालिक रूप से नहीं बदल सकता, इसलिए क्रोड को हटाने के तुरंत बाद धारा $I_2$ को $\phi_1 = \phi_2$ का पालन करना चाहिए, जिसका अर्थ है $L_1 I_1 = L_2 I_2$।
चूंकि $L_2 < L_1$, इसलिए $I_2 = (L_1/L_2) I_1 > I_1$ होता है।
अतः, लोहे के क्रोड को हटाने के तुरंत बाद प्रेरक से बहने वाली धारा बढ़ जाती है।

(A) $LR$ परिपथ में समय $t$ पर धारा $I(t) = \frac{E}{R}(1 - e^{-Rt/L})$ द्वारा दी जाती है।
जैसे $t \to \infty$,स्थिर-अवस्था धारा $I_{max} = \frac{E}{R}$ होती है।
ग्राफ से,दोनों वक्र एक ही स्थिर-अवस्था धारा मान तक पहुँचते हैं,जिसका अर्थ है कि प्रतिरोध $R$ अपरिवर्तित रहता है।
परिपथ का समय नियतांक (time constant) $\tau = \frac{L}{R}$ होता है।
वक्र $2$,वक्र $1$ की तुलना में स्थिर-अवस्था मान तक अधिक धीरे पहुँचता है,जिसका अर्थ है कि वक्र $2$ के लिए समय नियतांक वक्र $1$ से बड़ा है $(\tau_2 > \tau_1)$।
चूंकि $\tau = \frac{L}{R}$ और $R$ स्थिर है,इसलिए समय नियतांक $\tau$ में वृद्धि का अर्थ है कि प्रेरकत्व $L$ को बढ़ाया गया होगा।

(D) $LR$ परिपथ का समय नियतांक $\tau = \frac{L}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभ में,$\frac{L}{R} = 10$,जिसका अर्थ है $L = 10R$ --- $(1)$.
जब $10 \, \Omega$ का प्रतिरोध श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो नया प्रतिरोध $(R + 10) \, \Omega$ हो जाता है। नया समय नियतांक $\frac{L}{R + 10} = 2$ है,जिसका अर्थ है $L = 2(R + 10) = 2R + 20$ --- $(2)$.
समीकरण $(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर:
$10R = 2R + 20$
$8R = 20$
$R = 2.5 \, \Omega$.
$R$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$L = 10 \times 2.5 = 25 \, H$.

(B) $LR$ परिपथ में धारा की वृद्धि का सूत्र: $I = I_0(1 - e^{-t/\tau})$ है,जहाँ $\tau$ समय नियतांक है।
दिया गया है कि $t = 4 \, s$ पर,$I = \frac{3}{4} I_0$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\frac{3}{4} I_0 = I_0(1 - e^{-4/\tau})$
$\frac{3}{4} = 1 - e^{-4/\tau}$
$e^{-4/\tau} = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर:
$-\frac{4}{\tau} = \ln(\frac{1}{4})$
$-\frac{4}{\tau} = -\ln(4) = -\ln(2^2) = -2 \ln 2$
$\tau = \frac{4}{2 \ln 2} = \frac{2}{\ln 2} \, s$.

(C) $LR$ परिपथ का समय नियतांक $\tau$ ज्ञात करने के लिए,वोल्टेज स्रोत $E$ को लघुपथित (short-circuit) करके प्रेरक $L$ के सिरों से तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ निर्धारित करना आवश्यक है।
$1$. वोल्टेज स्रोत $E$ को लघुपथित करें। अब परिपथ में दो प्रतिरोध $R$ एक-दूसरे के समानांतर हैं और यह संयोजन तीसरे प्रतिरोध $R$ के साथ श्रेणीक्रम में है।
$2$. समानांतर में जुड़े दो प्रतिरोध $R$ का तुल्य प्रतिरोध $R_p = \frac{R \times R}{R + R} = \frac{R}{2}$ होता है।
$3$. यह समानांतर संयोजन शेष प्रतिरोध $R$ के साथ श्रेणीक्रम में है। इसलिए,प्रेरक द्वारा देखा गया कुल तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = R + \frac{R}{2} = \frac{3}{2}R$ है।
$4$. $LR$ परिपथ के लिए समय नियतांक $\tau$ का सूत्र $\tau = \frac{L}{R_{eq}}$ होता है।
$5$. $R_{eq}$ का मान रखने पर,हमें $\tau = \frac{L}{\frac{3}{2}R} = \frac{2L}{3R}$ प्राप्त होता है।

(D) $t=0$ पर,प्रेरक $L$ धारा में किसी भी परिवर्तन का विरोध करता है,इसलिए यह एक खुले परिपथ (open circuit) के रूप में कार्य करता है (इसमें से धारा शून्य होती है)।
परिपथ $(i)$ के लिए: पूरा परिपथ खुला है,इसलिए धारा $i_1 = 0$ है।
परिपथ $(ii)$ के लिए: प्रेरक $L$ प्रतिरोध $R$ के साथ श्रेणीक्रम में है। $t=0$ पर,$L$ वाली शाखा खुली है। धारा सीधे स्रोत $E$ से जुड़े समानांतर प्रतिरोध $R$ से होकर बहती है। अतः,$i_2 = E/R$।
परिपथ $(iii)$ के लिए: प्रेरक $L$ प्रतिरोध $R$ के साथ समानांतर क्रम में है। $t=0$ पर,$L$ वाली शाखा खुली है। धारा समानांतर में स्थित प्रतिरोध $R$ से होकर बहती है। अतः,$i_3 = E/R$।
धाराओं की तुलना करने पर,$i_2 = i_3 = E/R$,जो $i_1 = 0$ से अधिक है। इसलिए,परिपथ $(ii)$ और $(iii)$ दोनों में धारा अधिकतम है।

(A) जब परिपथ लंबे समय तक जुड़ा रहता है,तो प्रेरक एक शॉर्ट सर्किट के रूप में कार्य करता है,और स्थिर धारा $I_0$ इस प्रकार दी जाती है:
$I_0 = \frac{E}{R} = \frac{100 \, V}{100 \, \Omega} = 1 \, A$
जब बैटरी को हटा दिया जाता है और बिंदुओं $A$ और $B$ को शॉर्ट-सर्किट कर दिया जाता है,तो परिपथ एक क्षयकारी $LR$ परिपथ बन जाता है। समय $t$ पर धारा इस प्रकार दी जाती है:
$I(t) = I_0 e^{-t/\tau}$
यहाँ,समय नियतांक $\tau$ है:
$\tau = \frac{L}{R} = \frac{100 \times 10^{-3} \, H}{100 \, \Omega} = 1 \times 10^{-3} \, s = 1 \, ms$
दिया गया है $t = 1 \, ms$,तो धारा है:
$I = 1 \times e^{-1 \, ms / 1 \, ms} = 1 \times e^{-1} = \frac{1}{e} \, A$

(C) $t = 0$ पर, प्रेरक (inductor) एक ओपन सर्किट की तरह कार्य करता है क्योंकि यह धारा में किसी भी अचानक परिवर्तन का विरोध करता है। परिपथ में $10\, V$ की बैटरी, $2\, \Omega$ का प्रतिरोध और $4\, \Omega$ का प्रतिरोध श्रेणीक्रम में हैं।
कुल प्रतिरोध $R_{eq} = 2\, \Omega + 4\, \Omega = 6\, \Omega$ है।
धारा $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{10\, V}{6\, \Omega} = \frac{5}{3}\, A$ है।
$t = \infty$ पर, प्रेरक एक शॉर्ट सर्किट की तरह कार्य करता है क्योंकि धारा स्थिर अवस्था में पहुँच गई है। प्रेरक के शॉर्ट सर्किट होने के कारण $4\, \Omega$ का प्रतिरोध परिपथ से हट जाता है।
अब परिपथ में केवल $10\, V$ की बैटरी और $2\, \Omega$ का प्रतिरोध है।
धारा $I = \frac{10\, V}{2\, \Omega} = 5\, A$ है।
अतः, धाराएँ क्रमशः $\frac{5}{3}\, A$ और $5\, A$ हैं।

(B) धारा के बढ़ने (Growth) के लिए,स्विच बंद है। प्रेरक $L$,प्रतिरोध $2R$ के साथ श्रेणीक्रम में है। प्रतिरोध $R$,$2R$ और $L$ के श्रेणी संयोजन के साथ समानांतर क्रम में है। बढ़ने के दौरान प्रेरक द्वारा देखा गया समतुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = 2R$ है। अतः,बढ़ने के लिए समय नियतांक $\tau_{growth} = \frac{L}{2R}$ है।
धारा के घटने (Decay) के लिए,स्विच खोल दिया जाता है। अब प्रेरक $L$,प्रतिरोध $R$ और $2R$ के साथ श्रेणीक्रम में एक बंद लूप बनाता है। घटने के दौरान प्रेरक द्वारा देखा गया समतुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = R + 2R = 3R$ है। अतः,घटने के लिए समय नियतांक $\tau_{decay} = \frac{L}{3R}$ है।
बढ़ने और घटने के दौरान समय नियतांकों का अनुपात $\frac{\tau_{growth}}{\tau_{decay}} = \frac{L/2R}{L/3R} = \frac{3R}{2R} = \frac{3}{2}$ अर्थात $3 : 2$ है।

(C) स्थायी अवस्था में,प्रेरक (inductor) एक शॉर्ट सर्किट (शून्य प्रतिरोध) के रूप में कार्य करता है।
ऊपरी शाखा में $6 \, \Omega$ का प्रतिरोध है जो $4 \, H$ के प्रेरक और $2 \, \Omega$ के प्रतिरोध के समानांतर संयोजन के साथ श्रेणी में है। चूँकि प्रेरक एक शॉर्ट सर्किट है,इसलिए $2 \, \Omega$ का प्रतिरोध बायपास हो जाता है। अतः,ऊपरी शाखा का प्रतिरोध $6 \, \Omega$ है।
निचली शाखा में $2 \, H$ का प्रेरक,$2 \, \Omega$ का प्रतिरोध और $4 \, \Omega$ का प्रतिरोध श्रेणी में है। प्रेरक शॉर्ट सर्किट के रूप में कार्य करता है,इसलिए निचली शाखा का प्रतिरोध $2 \, \Omega + 4 \, \Omega = 6 \, \Omega$ है।
समानांतर संयोजन में प्रवेश करने वाली कुल धारा ऊपरी शाखा में $2 \, A$ है। चूँकि दोनों शाखाओं का प्रतिरोध समान $(6 \, \Omega)$ है,इसलिए निचली शाखा में भी धारा $2 \, A$ होगी।
$3 \, \Omega$ के प्रतिरोध से प्रवाहित होने वाली कुल धारा $I_{total} = 2 \, A + 2 \, A = 4 \, A$ है।
विभवांतर $V_A - V_B$ ऊपरी शाखा और $3 \, \Omega$ के प्रतिरोध पर विभव पतन का योग है: $V_A - V_B = (I_{upper} \times R_{upper}) + (I_{total} \times R_{series}) = (2 \, A \times 6 \, \Omega) + (4 \, A \times 3 \, \Omega) = 12 \, V + 12 \, V = 24 \, V$.

(A) $LR$ परिपथ में $t$ समय पर धारा $I(t) = \frac{E}{R}(1 - e^{-t/T})$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T = L/R$ समय नियतांक है।
समय $T$ में बैटरी से गुजरने वाला आवेश $q$,समय के सापेक्ष धारा का समाकलन है:
$q = \int_{0}^{T} I(t) dt = \int_{0}^{T} \frac{E}{R}(1 - e^{-t/T}) dt$
व्यंजक का समाकलन करने पर:
$q = \frac{E}{R} \left[ t - (-T)e^{-t/T} \right]_{0}^{T}$
$q = \frac{E}{R} \left[ t + Te^{-t/T} \right]_{0}^{T}$
सीमाओं को प्रतिस्थापित करने पर:
$q = \frac{E}{R} \left[ (T + Te^{-T/T}) - (0 + Te^{0}) \right]$
$q = \frac{E}{R} \left[ T + \frac{T}{e} - T \right]$
$q = \frac{ET}{eR}$

(A) स्थिर अवस्था (steady-state) में,एक इंडक्टर शॉर्ट सर्किट (आदर्श तार) के रूप में कार्य करता है क्योंकि धारा स्थिर होती है $(di/dt = 0)$।
दिया गया है: स्थिर धारा $I = 2.0 \ A$,$emf$ $E = 4.0 \ V$,और प्रेरकत्व $L = 1.0 \ H$।
स्थिर अवस्था के लिए ओम के नियम का उपयोग करने पर: $R = E / I = 4.0 / 2.0 = 2.0 \ \Omega$।
$LR$ परिपथ का समय नियतांक $\tau$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\tau = L / R$।
मान रखने पर: $\tau = 1.0 \ H / 2.0 \ \Omega = 0.5 \ s$।
अतः,परिपथ का समय नियतांक $0.5 \ s$ है।

(D) परिपथ $(a)$ में,हमारे पास एक $RC$ श्रेणी परिपथ है। जब स्विच को $t=0$ पर बंद किया जाता है,तो संधारित्र चार्ज होना शुरू हो जाता है। परिपथ में धारा $i(t) = \frac{E}{R} e^{-t/RC}$ द्वारा दी जाती है। यह दर्शाता है कि धारा $\frac{E}{R}$ के अधिकतम मान से शुरू होती है और जैसे-जैसे $t \to \infty$ होता है,यह चरघातांकीय रूप से शून्य की ओर घटती है।
परिपथ $(b)$ में,हमारे पास एक $RL$ श्रेणी परिपथ है। जब स्विच को $t=0$ पर बंद किया जाता है,तो प्रेरक धारा में परिवर्तन का विरोध करता है। परिपथ में धारा $i(t) = \frac{E}{R} (1 - e^{-Rt/L})$ द्वारा दी जाती है। यह दर्शाता है कि धारा $0$ से शुरू होती है और जैसे-जैसे $t \to \infty$ होता है,यह $\frac{E}{R}$ के अधिकतम स्थिर-अवस्था मान तक चरघातांकीय रूप से बढ़ती है।
इन व्यवहारों की दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,चित्र $(d)$ में वक्र $(a)$ को $\frac{E}{R}$ से शुरू होकर घटते हुए और वक्र $(b)$ को $0$ से शुरू होकर $\frac{E}{R}$ तक बढ़ते हुए दिखाया गया है। अतः,चित्र $(d)$ सही निरूपण है।

(A) $0 \le t < t_0$ के लिए,परिपथ में एक बैटरी,प्रतिरोध $R$ और प्रेरक $L$ श्रेणीक्रम में होते हैं। धारा घातांकीय रूप से बढ़ती है: $I(t) = \frac{\epsilon}{R}(1 - e^{-Rt/L})$.
$t = t_0$ पर,धारा का मान $I_0 = \frac{\epsilon}{R}(1 - e^{-Rt_0/L})$ तक पहुँच जाता है।
$t \ge t_0$ के लिए,स्विच $S_1$ को खोल दिया जाता है और $S_2$ को बंद कर दिया जाता है। बैटरी हट जाती है और प्रेरक $L$,प्रतिरोध $R$ के माध्यम से डिस्चार्ज होता है। धारा घातांकीय रूप से घटती है: $I(t) = I_0 e^{-R(t-t_0)/L}$.
सही ग्राफ घातांकीय वृद्धि और उसके बाद शून्य की ओर घातांकीय क्षय को दर्शाता है,जो दिए गए समाधान चित्र से मेल खाता है।

(D) लंबे समय के बाद,प्रेरक (inductor) एक शॉर्ट सर्किट (शून्य प्रतिरोध वाला तार) के रूप में कार्य करता है क्योंकि धारा स्थिर हो जाती है।
अब परिपथ में $5\,\Omega$ के दो प्रतिरोधक हैं,जो $15\, V$ की बैटरी के साथ समानांतर क्रम में जुड़े हुए हैं।
दो समानांतर प्रतिरोधकों का तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार है:
$R_{eq} = \frac{R \times R}{R + R} = \frac{5 \times 5}{5 + 5} = \frac{25}{10} = 2.5\,\Omega$
ओम के नियम के अनुसार बैटरी से प्रवाहित होने वाली धारा $i$ है:
$i = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{15}{2.5} = 6\, A$

(D) $LR$ परिपथ में $t$ समय पर धारा $I = I_0(1 - e^{-t/\tau})$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $I_0 = E/R$ और $\tau = L/R$ है।
यहाँ $L = 20 \, H$ और $R = 10 \, \Omega$ दिया गया है,इसलिए समय नियतांक $\tau = 20/10 = 2 \, s$ है।
अतः,$I = \frac{E}{10}(1 - e^{-t/2})$।
प्रतिरोध में ऊर्जा के क्षय (जूल ऊष्मा) की दर $P_R = I^2 R = I^2 \times 10$ है।
प्रेरक में चुंबकीय ऊर्जा के संचय की दर $P_L = \frac{d}{dt}(\frac{1}{2} L I^2) = L I \frac{dI}{dt}$ है।
$P_R = P_L$ रखने पर,हमें $I^2 R = L I \frac{dI}{dt}$ मिलता है,जो सरल होकर $I R = L \frac{dI}{dt}$ हो जाता है।
$I = \frac{E}{10}(1 - e^{-t/2})$ और $\frac{dI}{dt} = \frac{E}{10} \times \frac{1}{2} e^{-t/2}$ का मान रखने पर:
$\frac{E}{10}(1 - e^{-t/2}) \times 10 = 20 \times \frac{E}{20} e^{-t/2}$।
$1 - e^{-t/2} = e^{-t/2}$।
$1 = 2 e^{-t/2} \implies e^{-t/2} = 1/2$।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $-t/2 = \ln(1/2) = -\ln 2$।
अतः,$t = 2 \ln 2 \, s$।

(A) दिया गया है: स्व-प्रेरकत्व $L = 10\,mH = 10 \times 10^{-3}\,H$,कुंडली का प्रतिरोध $r_1 = 0.1\,\Omega$,आंतरिक प्रतिरोध $r_2 = 0.9\,\Omega$.
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R = r_1 + r_2 = 0.1 + 0.9 = 1.0\,\Omega$ है।
$LR$ परिपथ का समय नियतांक $\tau = \frac{L}{R} = \frac{10 \times 10^{-3}}{1.0} = 10^{-2}\,s$ है।
किसी भी समय $t$ पर धारा $i = i_0(1 - e^{-t/\tau})$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $i_0$ संतृप्ति धारा है।
हमें वह $t$ ज्ञात करना है जब $i = 0.8 i_0$ हो।
$0.8 i_0 = i_0(1 - e^{-t/\tau})$
$0.8 = 1 - e^{-t/\tau}$
$e^{-t/\tau} = 0.2 = \frac{1}{5}$
$e^{t/\tau} = 5$
दोनों तरफ प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\frac{t}{\tau} = \ln 5$.
दिया गया है $\ln 5 = 1.6$,इसलिए $t = 1.6 \times \tau = 1.6 \times 10^{-2}\,s = 0.016\,s$.

(B) $LR$ परिपथ में स्विच बंद करने के बाद समय $t$ पर धारा $i(t) = \frac{E}{R}(1 - e^{-\frac{Rt}{L}})$ द्वारा दी जाती है।
समय अंतराल $t = 0$ से $t = \frac{L}{R}$ के बीच बैटरी से गुजरने वाला आवेश $q$, धारा का समय के सापेक्ष समाकलन करने पर प्राप्त होता है:
$q = \int_{0}^{\frac{L}{R}} i(t) dt = \int_{0}^{\frac{L}{R}} \frac{E}{R}(1 - e^{-\frac{Rt}{L}}) dt$
समाकलन का मान निकालने पर:
$q = \frac{E}{R} \left[ t + \frac{L}{R} e^{-\frac{Rt}{L}} \right]_{0}^{\frac{L}{R}}$
$q = \frac{E}{R} \left[ (\frac{L}{R} + \frac{L}{R} e^{-1}) - (0 + \frac{L}{R} e^{0}) \right]$
$q = \frac{E}{R} \left[ \frac{L}{R} + \frac{L}{Re} - \frac{L}{R} \right]$
$q = \frac{E}{R} \cdot \frac{L}{Re} = \frac{EL}{eR^2}$
चूंकि $e \approx 2.718$, इसलिए:
$q = \frac{EL}{2.7R^2}$

(A) $LR$ परिपथ का समय नियतांक $\tau = \frac{L}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभ में,$\tau_1 = \frac{L}{R} = 4 \, sec$ है।
जब कॉइल को दो बराबर भागों में काटा जाता है,तो प्रत्येक भाग का प्रतिरोध और इंडक्टेंस मूल मानों का आधा हो जाता है,अर्थात $R' = \frac{R}{2}$ और $L' = \frac{L}{2}$।
जब इन दो भागों को समानांतर में जोड़ा जाता है,तो तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ का मान $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R'} + \frac{1}{R'} = \frac{2}{R'} = \frac{2}{R/2} = \frac{4}{R}$ होता है,इसलिए $R_{eq} = \frac{R}{4}$।
समानांतर में दो इंडक्टर्स के लिए तुल्य इंडक्टेंस $L_{eq}$ का मान $\frac{1}{L_{eq}} = \frac{1}{L'} + \frac{1}{L'} = \frac{2}{L'} = \frac{2}{L/2} = \frac{4}{L}$ होता है,इसलिए $L_{eq} = \frac{L}{4}$।
नया समय नियतांक $\tau_2 = \frac{L_{eq}}{R_{eq}} = \frac{L/4}{R/4} = \frac{L}{R} = \tau_1$ है।
अतः,नया समय नियतांक $4 \, sec$ है।

(A) $DC$ परिपथ में,लंबे समय के बाद $(t \to \infty)$,प्रेरक (inductor) एक शॉर्ट सर्किट (शून्य प्रतिरोध वाला तार) के रूप में कार्य करता है क्योंकि धारा स्थिर हो जाती है और प्रेरक के सिरों पर प्रेरित $EMF$ शून्य हो जाता है।
चूंकि $50\,\Omega$ का प्रतिरोधक शुद्ध प्रेरक के साथ समानांतर क्रम में जुड़ा है,इसलिए पूरी धारा न्यूनतम प्रतिरोध वाले पथ यानी प्रेरक से होकर बहेगी।
इसलिए,$50\,\Omega$ के प्रतिरोधक के सिरों पर विभवांतर शून्य हो जाता है।
परिणामस्वरूप,$50\,\Omega$ के प्रतिरोधक से बहने वाली अंतिम धारा $0\,A$ है।

(A) $RL$ परिपथ के लिए समय नियतांक $\tau = \frac{L}{R_{eq}}$ द्वारा दिया जाता है।
जब स्विच स्थिति $a$ में होता है,तो प्रेरक $L = 4\,mH$ प्रतिरोधों $R$ और $500\,\Omega$ के समानांतर संयोजन के साथ श्रेणीक्रम में होता है।
तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ वह प्रतिरोध है जो प्रेरक द्वारा देखा जाता है,जो $R_{eq} = \frac{R \times 500}{R + 500}$ है।
दिया गया है $\tau = 10\,\mu s = 10 \times 10^{-6}\,s$ और $L = 4\,mH = 4 \times 10^{-3}\,H$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$10 \times 10^{-6} = \frac{4 \times 10^{-3}}{\left(\frac{R \times 500}{R + 500}\right)}$
$10 \times 10^{-6} = \frac{4 \times 10^{-3} \times (R + 500)}{500R}$
$10^{-5} = \frac{4 \times 10^{-3} \times (R + 500)}{500R}$
$500R \times 10^{-5} = 4 \times 10^{-3} \times (R + 500)$
$5 \times 10^{-3} R = 4 \times 10^{-3} R + 2000 \times 10^{-3}$
$10^{-3} R = 2$
$R = 2000\,\Omega = 2\,K\Omega$.

(B) $LR$ परिपथ में $t$ समय पर धारा का सूत्र: $I(t) = I_0(1 - e^{-\frac{R}{L}t})$ है।
हमें दिया गया है कि धारा अपने अंतिम मान $I_0$ के $\frac{e-1}{e}$ तक पहुँचती है।
अतः,$I(t) = \left(\frac{e-1}{e}\right)I_0 = I_0(1 - e^{-1})$ है।
इसकी तुलना सूत्र से करने पर,हमें $e^{-\frac{R}{L}t} = e^{-1}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $\frac{R}{L}t = 1$,या $t = \frac{L}{R}$ है।
$L = 60\, H$ और $R = 30\, \Omega$ दिए गए हैं,इसलिए $t = \frac{60}{30} = 2\, s$ प्राप्त होता है।

(C) एक प्रेरक में संग्रहीत ऊर्जा $U = \frac{1}{2} L I^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $L$ प्रेरकत्व है और $I$ धारा है।
इससे,हम प्रेरकत्व को $L = \frac{2U}{I^2}$ के रूप में लिख सकते हैं।
प्रेरक के आंतरिक प्रतिरोध $R$ के कारण ऊर्जा क्षय की दर (शक्ति हानि) $P = I^2 R$ द्वारा दी जाती है।
इससे,हम प्रतिरोध को $R = \frac{P}{I^2}$ के रूप में लिख सकते हैं।
$LR$ परिपथ का समय नियतांक $\tau$,$\tau = \frac{L}{R}$ के रूप में परिभाषित होता है।
$L$ और $R$ के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\tau = \frac{2U / I^2}{P / I^2} = \frac{2U}{P}$.
अतः,समय नियतांक $\frac{2U}{P}$ है।

(B) परिपथ में $5\,V$ की बैटरी,$10\,mH$ का प्रेरक (inductor) और एक परिवर्ती प्रतिरोध $R_H$ है।
किरचॉफ के वोल्टेज नियम के अनुसार,परिपथ के लिए समीकरण $V = iR + L\frac{di}{dt}$ है।
यदि प्रतिरोध $R$ का मान $10\,\Omega$ पर स्थिर होता,तो स्थिर धारा $i = \frac{V}{R} = \frac{5}{10} = 0.5\,A$ होती।
हालाँकि,प्रतिरोध बढ़ रहा है,जिसका अर्थ है कि $\frac{dR}{dt} > 0$ है। जैसे-जैसे प्रतिरोध बढ़ता है,धारा $i$ घटने की प्रवृत्ति रखती है।
लेंज के नियम के अनुसार,प्रेरक इस परिवर्तन का विरोध करता है और एक प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ उत्पन्न करता है जो धारा को बनाए रखने का प्रयास करता है।
प्रेरित $EMF$ $\varepsilon = -L\frac{di}{dt}$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि धारा घट रही है,$\frac{di}{dt}$ ऋणात्मक है,जिससे प्रेरित $EMF$ मुख्य धारा की दिशा में धनात्मक हो जाता है।
यह प्रेरित $EMF$ एक स्रोत के रूप में कार्य करता है जो धारा में वृद्धि करता है,जिससे वास्तविक धारा उस मान से अधिक हो जाती है जो प्रतिरोध के स्थिर रहने पर होती।
इसलिए,$i > 0.5\,A$।

(A) क्षय होते हुए $L-R$ परिपथ में धारा $i = i_0 e^{-t/\tau}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\tau = L/R$ समय नियतांक है।
प्रेरक में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2} L i^2$ होती है।
मान लीजिए $U_0$ प्रारंभिक ऊर्जा है,$U_0 = \frac{1}{2} L i_0^2$।
हमें दिया गया है कि ऊर्जा अपने प्रारंभिक मान की एक-चौथाई हो जाती है,इसलिए $U = \frac{1}{4} U_0$।
ऊर्जा के व्यंजक रखने पर: $\frac{1}{2} L i^2 = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} L i_0^2)$।
यह सरल होकर $i^2 = \frac{1}{4} i_0^2$,या $i = \frac{1}{2} i_0$ हो जाता है।
$i = i_0 e^{-t/\tau}$ रखने पर,हमें $i_0 e^{-t/\tau} = \frac{1}{2} i_0$ प्राप्त होता है।
$e^{-t/\tau} = \frac{1}{2} \Rightarrow e^{t/\tau} = 2$।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर: $t/\tau = \ln 2$।
अतः,$t = \tau \ln 2 = \frac{L}{R} \ln 2$।

(B) जब स्विच $S$ को $t=0$ पर बंद किया जाता है,तो $RL$ परिपथ में धारा $i$ निम्नलिखित समीकरण के अनुसार बढ़ती है:
$i = \frac{E}{R} (1 - e^{-tR/L})$
यह एक बढ़ता हुआ घातांकीय फलन है जो $t=0$ पर $i=0$ से शुरू होता है और जैसे-जैसे $t \to \infty$ होता है,$i=E/R$ तक पहुँचता है। यह व्यवहार ग्राफ $D$ द्वारा दर्शाया गया है।
प्रेरक $L$ में प्रेरित $emf$ $e$ को इस प्रकार दिया जाता है:
$e = L \frac{di}{dt} = L \frac{d}{dt} [\frac{E}{R} (1 - e^{-tR/L})] = L \cdot \frac{E}{R} \cdot \frac{R}{L} e^{-tR/L} = E e^{-tR/L}$
$t=0$ पर,$e=E$,और जैसे-जैसे $t \to \infty$ होता है,$e \to 0$ होता है। यह एक घटता हुआ घातांकीय फलन है,जिसे ग्राफ $C$ द्वारा दर्शाया गया है।
इसलिए,ग्राफ $C$,$e$ को दर्शाता है और ग्राफ $D$,$i$ को दर्शाता है।

(B) शॉर्ट-सर्किट किए गए $RL$ परिपथ के लिए,$t$ समय पर धारा $I = I_0 e^{-t/\tau}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\tau$ समय नियतांक है।
दिया गया है कि $t = t_0$ पर,धारा $I = \frac{I_0}{\alpha}$ हो जाती है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\frac{I_0}{\alpha} = I_0 e^{-t_0/\tau}$
$\frac{1}{\alpha} = e^{-t_0/\tau}$
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर:
$\ln(1/\alpha) = -t_0/\tau$
$-\ln(\alpha) = -t_0/\tau$
$\ln(\alpha) = t_0/\tau$
अतः,समय नियतांक $\tau = \frac{t_0}{\ln(\alpha)}$ या $\tau = \frac{t_0}{\log_e \alpha}$ है।

(B) जब स्विच $K$ को बंद किया जाता है,तो लंबे समय के बाद परिपथ स्थिर अवस्था (steady state) में पहुँच जाता है।
स्थिर अवस्था में,प्रेरक (inductor) एक शॉर्ट सर्किट की तरह कार्य करता है (आदर्श प्रेरक जिसका प्रतिरोध शून्य है)।
चूंकि प्रेरक $20\, \Omega$ के प्रतिरोध के साथ समानांतर में जुड़ा हुआ है,इसलिए पूरी धारा प्रेरक से होकर बहेगी,जिससे $20\, \Omega$ का प्रतिरोध प्रभावी रूप से शॉर्ट-सर्किट हो जाएगा।
अतः,परिपथ का तुल्य प्रतिरोध केवल $30\, \Omega$ का प्रतिरोध ही होगा।
ओम के नियम के अनुसार $30\, \Omega$ के प्रतिरोध से बहने वाली धारा $I$ है:
$I = \frac{V}{R} = \frac{3\, V}{30\, \Omega} = 0.1\, A$.

(D) $LR$ परिपथ के लिए समीकरण $V = IR + L \frac{dI}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
जिस क्षण स्विच बंद किया जाता है $(t = 0)$,परिपथ में धारा $I = 0$ होती है।
समीकरण में $I = 0$ रखने पर,हमें $V = L \frac{dI}{dt}$ प्राप्त होता है।
अतः,धारा के बढ़ने की प्रारंभिक दर $\frac{dI}{dt} = \frac{V}{L}$ है।
यहाँ $V = 1.6 \, V$ और $L = 0.20 \, H$ दिए गए हैं,इसलिए $\frac{dI}{dt} = \frac{1.6}{0.20} = 8 \, A \, s^{-1}$ प्राप्त होता है।

(B) प्रतिरोध में व्यय होने वाली शक्ति $P = I^2 R$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि प्रतिरोध से गुजरने वाली धारा समय के साथ बदलती है,इसलिए कुल ऊष्मा ऊर्जा $W$ ज्ञात करने के लिए हमें समय के सापेक्ष शक्ति का समाकलन (integrate) करना होगा।
$W = \int_{0}^{\infty} I^2 R \, dt$
$RL$ परिपथ में धारा के क्षय के दौरान धारा $I = I_0 e^{-(R/L)t}$ होती है।
इस मान को समाकलन में रखने पर:
$W = \int_{0}^{\infty} (I_0 e^{-(R/L)t})^2 R \, dt = \int_{0}^{\infty} I_0^2 R e^{-(2R/L)t} \, dt$
$W = I_0^2 R \left[ \frac{e^{-(2R/L)t}}{-(2R/L)} \right]_{0}^{\infty} = I_0^2 R \left( 0 - \left( -\frac{L}{2R} \right) \right) = \frac{1}{2} L I_0^2$.
वैकल्पिक रूप से,ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,प्रतिरोध में उत्पन्न कुल ऊष्मा,प्रेरक के चुंबकीय क्षेत्र में प्रारंभ में संचित कुल ऊर्जा के बराबर होनी चाहिए,जो कि $U = \frac{1}{2} L I_0^2$ है।

(A) परिपथ में दो प्रेरक $L_1$ और $L_2$ श्रेणीक्रम में हैं और दो प्रतिरोध $R_1$ और $R_2$ श्रेणीक्रम में हैं।
श्रेणीक्रम में जुड़े प्रेरकों के लिए,तुल्य प्रेरकत्व $L = L_1 + L_2 = 1\, mH + 2\, mH = 3\, mH$ है।
श्रेणीक्रम में जुड़े प्रतिरोधों के लिए,तुल्य प्रतिरोध $R = R_1 + R_2 = 1\, \Omega + 2\, \Omega = 3\, \Omega$ है।
$RL$ परिपथ के लिए समय नियतांक $\tau$ का सूत्र $\tau = \frac{L}{R}$ होता है।
मान रखने पर,हमें $\tau = \frac{3\, mH}{3\, \Omega} = 1\, ms$ प्राप्त होता है।

(A) कुंजी $K$ को दबाने के तुरंत बाद ($t = 0$ पर), प्रेरक (inductor) एक खुले परिपथ (open circuit) के रूप में कार्य करता है क्योंकि यह धारा में किसी भी तात्कालिक परिवर्तन का विरोध करता है।
इसलिए, प्रेरक और $8 \, \Omega$ प्रतिरोधक वाली शाखा प्रभावी रूप से डिस्कनेक्ट हो जाती है।
परिपथ $10 \, V$ की बैटरी और श्रेणीक्रम में $6 \, \Omega$ के प्रतिरोधक तथा उसके साथ समानांतर में $8 \, \Omega$ के प्रतिरोधक में सरल हो जाता है।
हालाँकि, चूंकि प्रेरक वाली शाखा खुली है, इसलिए धारा $I_1$ पहले $6 \, \Omega$ के प्रतिरोधक से होकर बहती है और फिर पूरी तरह से समानांतर में जुड़े $8 \, \Omega$ के प्रतिरोधक से होकर गुजरती है।
परिपथ का तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = 6 \, \Omega + 8 \, \Omega = 14 \, \Omega$ है।
धारा $I_1$ का मान $I_1 = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{10 \, V}{14 \, \Omega} = \frac{5}{7} \, A$ प्राप्त होता है।

(C) $LR$ परिपथ में धारा की वृद्धि $I = I_0 (1 - e^{-t/\tau})$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\tau$ समय नियतांक है।
दिया गया है कि $t = 4 \, sec$ पर,$I = \frac{I_0}{4}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{I_0}{4} = I_0 (1 - e^{-4/\tau})$.
$\frac{1}{4} = 1 - e^{-4/\tau} \implies e^{-4/\tau} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $-\frac{4}{\tau} = \log_e (3/4)$.
$-\frac{4}{\tau} = \log_e 3 - \log_e 4$.
$\frac{4}{\tau} = \log_e 4 - \log_e 3 = \log_e (4/3)$.
अतः,$\tau = \frac{4}{\log_e (4/3)} \, sec$।

(C) परिपथ में $10 \, V$ की बैटरी के साथ समानांतर में जुड़ी दो शाखाएं हैं।
शाखा $1$ में श्रेणीक्रम में एक प्रेरक $(0.1 \, H)$ और एक प्रतिरोधक $(10 \, \Omega)$ है।
शाखा $2$ में एक प्रतिरोधक $(10 \, \Omega)$ है।
$t = 0$ पर (स्विच बंद करने के तुरंत बाद),प्रेरक बैक $EMF$ के कारण एक खुले परिपथ के रूप में कार्य करता है। अतः,पहली शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है। परिपथ में कुल धारा केवल दूसरी शाखा से प्रवाहित होती है: $i_{min} = \frac{10 \, V}{10 \, \Omega} = 1 \, A$.
$t = \infty$ पर (स्विच बंद करने के लंबे समय बाद),प्रेरक एक शॉर्ट सर्किट (शून्य प्रतिरोध) के रूप में कार्य करता है। कुल धारा दोनों शाखाओं में धाराओं का योग है: $i_{branch1} = \frac{10 \, V}{10 \, \Omega} = 1 \, A$ और $i_{branch2} = \frac{10 \, V}{10 \, \Omega} = 1 \, A$.
अतः,$i_{max} = 1 \, A + 1 \, A = 2 \, A$.
अधिकतम और न्यूनतम धारा के बीच का अंतर $i_{max} - i_{min} = 2 \, A - 1 \, A = 1 \, A$ है।

(A) जब स्विच $S$ बंद किया जाता है,तो प्रेरक $L$ वाले परिपथ में धारा धीरे-धीरे बढ़ती है क्योंकि प्रेरक में उत्पन्न बैक $EMF$ धारा में परिवर्तन का विरोध करता है $(e = -L \frac{di}{dt})$।
प्रतिरोध $R$ वाली शाखा में,धारा लगभग तुरंत अपने स्थिर मान तक पहुँच जाती है।
इसलिए,बल्ब $B_2$ (प्रतिरोध शाखा में) बल्ब $B_1$ (प्रेरक शाखा में) से पहले जल जाता है।
जैसे-जैसे समय बीतता है,प्रेरक शाखा में धारा बढ़ती है और अंततः प्रतिरोध शाखा के समान ही स्थिर मान तक पहुँच जाती है,क्योंकि प्रेरक कुंडली का प्रतिरोध $R$ के बराबर है।
इस प्रकार,अंत में,दोनों बल्ब समान चमक के साथ जलते हैं।

(D) जब कुंजी $K$ को बंद किया जाता है,तो परिपथ स्थिर अवस्था (steady state) प्राप्त कर लेता है।
स्थिर अवस्था में,एक आदर्श प्रेरक (inductor) एक शॉर्ट सर्किट (शून्य प्रतिरोध) के रूप में कार्य करता है।
चूंकि प्रेरक $10 \, \Omega$ के प्रतिरोधक के साथ समानांतर में जुड़ा हुआ है,इसलिए पूरी धारा प्रेरक के पथ से होकर बहेगी और $10 \, \Omega$ के प्रतिरोधक को बायपास कर देगी।
अतः,$10 \, \Omega$ के प्रतिरोधक से प्रवाहित होने वाली अंतिम धारा $0 \, A$ है।

(D) $LR$ परिपथ का समय नियतांक $\tau = \frac{L}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभ में,$\frac{L}{R} = 10$,जिसका अर्थ है $L = 10R$ .......... $(1)$
जब $10 \, \Omega$ का प्रतिरोध श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो नया प्रतिरोध $(R + 10) \, \Omega$ हो जाता है।
नया समय नियतांक $\frac{L}{R + 10} = 2$ है,जिसका अर्थ है $L = 2(R + 10) = 2R + 20$ .......... $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर:
$10R = 2R + 20$
$8R = 20$
$R = 2.5 \, \Omega$
$R$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$L = 10 \times 2.5 = 25 \, H$.

(D) $d.c.$ परिपथ में एक प्रेरक $t = 0$ पर एक खुले परिपथ (अनंत प्रतिरोध) के रूप में और स्थिर अवस्था $(t \to \infty)$ में एक शॉर्ट सर्किट (शून्य प्रतिरोध) के रूप में कार्य करता है।
चूंकि प्रतिरोध अनंत से शून्य तक बदलता है,इसलिए यह कथन कि यह 'हमेशा स्थिर रहता है' गलत है।
स्थिर अवस्था में,एक आदर्श प्रेरक का प्रतिरोध शून्य होता है,इसलिए यह कथन कि यह 'गैर-शून्य है' भी गलत है।
अतः,कथन और कारण दोनों गलत हैं।

(B) $RL$ परिपथ में $t$ समय पर धारा $i(t) = i_0(1 - e^{-Rt/L})$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $i_0 = V/R$ समय $t = \infty$ पर स्थिर धारा है।
यहाँ $V = 20\; V$,$R = 5\; \Omega$,और $L = 10\; mH = 0.01\; H$ है।
समय नियतांक $\tau = L/R = 0.01 / 5 = 0.002\; s = 2\; ms$ है।
$t = 4\; ms$ के लिए,घातांक $-Rt/L = -t/\tau = -4\; ms / 2\; ms = -2$ है।
अतः,$i(4\; ms) = i_0(1 - e^{-2})$.
अनुपात $i(\infty) / i(4\; ms) = i_0 / [i_0(1 - e^{-2})] = 1 / (1 - 1/e^2) = e^2 / (e^2 - 1)$ होगा।
$e^2 = 7.389$ का उपयोग करने पर,अनुपात $7.389 / (7.389 - 1) = 7.389 / 6.389 \approx 1.156$ प्राप्त होता है।

(B) $LR$ परिपथ में $t$ समय पर धारा $i(t) = \frac{\varepsilon}{R} (1 - e^{-Rt/L})$ द्वारा दी जाती है।
माना $T_c = \frac{L}{R}$ समय नियतांक है। तब $i(t) = \frac{\varepsilon}{R} (1 - e^{-t/T_c})$ होगा।
$t=0$ से $t=T_c$ तक प्रवाहित कुल आवेश $q$ समय के सापेक्ष धारा का समाकलन है:
$q = \int_{0}^{T_c} i(t) dt = \int_{0}^{T_c} \frac{\varepsilon}{R} (1 - e^{-t/T_c}) dt$
$q = \frac{\varepsilon}{R} \left[ t - \frac{e^{-t/T_c}}{-1/T_c} \right]_{0}^{T_c} = \frac{\varepsilon}{R} \left[ t + T_c e^{-t/T_c} \right]_{0}^{T_c}$
$q = \frac{\varepsilon}{R} \left[ (T_c + T_c e^{-1}) - (0 + T_c e^{0}) \right]$
$q = \frac{\varepsilon}{R} [T_c + T_c e^{-1} - T_c] = \frac{\varepsilon}{R} T_c e^{-1}$
$T_c = \frac{L}{R}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$q = \frac{\varepsilon}{R} \cdot \frac{L}{R} \cdot \frac{1}{e} = \frac{\varepsilon L}{e R^2}$.

(N/A) लंबाई की एक छड़ चुंबकीय क्षेत्र $B$ के लंबवत $v$ वेग से गति कर रही है,जो इसके सिरों के बीच $\varepsilon = Bvd$ का emf उत्पन्न करती है।
जब $t = 0$ पर स्विच $S$ बंद किया जाता है,तो संधारित्र चार्ज होना शुरू हो जाता है। मान लीजिए कि $t$ समय पर संधारित्र पर आवेश $Q(t)$ है।
किरचॉफ के दूसरे नियम के अनुसार:
$\varepsilon = V_R + V_C$
$Bvd = IR + \frac{Q}{C}$
चूंकि $I = \frac{dQ}{dt}$,इसलिए:
$R \frac{dQ}{dt} + \frac{Q}{C} = Bvd$
$\frac{dQ}{dt} + \frac{Q}{RC} = \frac{Bvd}{R}$
यह एक प्रथम-क्रम का रैखिक अवकल समीकरण है। $Q(t)$ के लिए सामान्य हल है:
$Q(t) = BvdC + A e^{-t/RC}$
$t = 0$ पर,आवेश $Q(0) = 0$ है,इसलिए $0 = BvdC + A$,जिससे $A = -BvdC$ प्राप्त होता है।
अतः,$Q(t) = BvdC(1 - e^{-t/RC})$ है।
धारा $I(t)$ आवेश का समय के सापेक्ष अवकलन है:
$I(t) = \frac{dQ}{dt} = \frac{d}{dt} [BvdC(1 - e^{-t/RC})]$
$I(t) = BvdC \cdot \left( \frac{1}{RC} \right) e^{-t/RC}$
$I(t) = \frac{Bvd}{R} e^{-t/RC}$

(N/A) जब $d$ लंबाई की एक छड़ चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत $v$ वेग से गति करती है,तो छड़ के दोनों सिरों के बीच एक विद्युत वाहक बल (emf) प्रेरित होता है।
प्रेरित emf $\varepsilon = Bvd$ है।
जब $t = 0$ पर स्विच $S$ बंद किया जाता है,तो प्रेरक (inductor) में धारा बढ़ना शुरू हो जाती है।
मान लीजिए कि समय $t$ पर परिपथ में धारा $I$ है। किरचॉफ के दूसरे नियम के अनुसार:
$\varepsilon = V_R + V_L$
$Bvd = IR + L \frac{dI}{dt}$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें निम्नलिखित रैखिक अवकल समीकरण प्राप्त होता है:
$\frac{dI}{dt} + \frac{R}{L}I = \frac{Bvd}{L}$
इस रैखिक अवकल समीकरण का हल इस प्रकार है:
$I(t) = \frac{Bvd}{R} + A e^{-\frac{R}{L}t}$
प्रारंभिक स्थिति का उपयोग करते हुए कि $t = 0$ पर,$I = 0$:
$0 = \frac{Bvd}{R} + A \implies A = -\frac{Bvd}{R}$
$A$ का मान समीकरण में वापस रखने पर:
$I(t) = \frac{Bvd}{R} \left(1 - e^{-\frac{R}{L}t}\right)$
यह समय के फलन के रूप में छड़ में प्रवाहित धारा का आवश्यक समीकरण है।

(A) प्रेरक में संचित अधिकतम ऊर्जा $U_{\max} = \frac{1}{2} L I_{\max}^2$ है।
$L-R$ परिपथ में $t$ समय पर धारा $i = I_{\max}(1 - e^{-Rt/L})$ द्वारा दी जाती है।
हम चाहते हैं कि ऊर्जा $U = \frac{U_{\max}}{n}$ हो। चूँकि $U = \frac{1}{2} L i^2$,इसका अर्थ है कि $\frac{1}{2} L i^2 = \frac{1}{n} \left(\frac{1}{2} L I_{\max}^2\right)$,जो सरल होकर $i = \frac{I_{\max}}{\sqrt{n}}$ हो जाता है।
इस मान को धारा के समीकरण में रखने पर: $\frac{I_{\max}}{\sqrt{n}} = I_{\max}(1 - e^{-Rt/L})$.
$I_{\max}$ से भाग देने पर,हमें $\frac{1}{\sqrt{n}} = 1 - e^{-Rt/L}$ प्राप्त होता है,या $e^{-Rt/L} = 1 - \frac{1}{\sqrt{n}} = \frac{\sqrt{n}-1}{\sqrt{n}}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर: $-\frac{Rt}{L} = \ln \left(\frac{\sqrt{n}-1}{\sqrt{n}}\right)$.
$-1$ से गुणा करके पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{Rt}{L} = -\ln \left(\frac{\sqrt{n}-1}{\sqrt{n}}\right) = \ln \left(\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}-1}\right)$.
अतः,$t = \frac{L}{R} \ln \left(\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}-1}\right)$.

(C) प्रेरक (inductor) में संचित चुंबकीय ऊर्जा $U = \frac{1}{2} L i^2$ द्वारा दी जाती है।
मान लीजिए $U_{max}$ अधिकतम ऊर्जा है,जो तब होती है जब धारा अपने अधिकतम मान $i_0$ तक पहुँच जाती है। अतः,$U_{max} = \frac{1}{2} L i_0^2$।
हमें दिया गया है कि ऊर्जा अपने अधिकतम मान के $25\%$ तक पहुँच जाती है:
$U = 0.25 U_{max} = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} L i_0^2) = \frac{1}{2} L (\frac{i_0}{2})^2$।
इसे $U = \frac{1}{2} L i^2$ के साथ तुलना करने पर,हम पाते हैं कि धारा $i = \frac{i_0}{2}$ होनी चाहिए।
चार्जिंग के दौरान $RL$ सर्किट में धारा का समीकरण $i = i_0 (1 - e^{-Rt/L})$ है।
$i = \frac{i_0}{2}$ रखने पर: $\frac{i_0}{2} = i_0 (1 - e^{-Rt/L})$।
$\frac{1}{2} = 1 - e^{-Rt/L} \Rightarrow e^{-Rt/L} = \frac{1}{2}$।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर: $-\frac{Rt}{L} = \ln(\frac{1}{2}) = -\ln 2$।
अतः,$t = \frac{L}{R} \ln 2$।

(D) $t = 0$ पर,इंडक्टर एक ओपन सर्किट (अनंत प्रतिरोध) के रूप में कार्य करता है। सर्किट दो समानांतर शाखाओं में सरल हो जाता है: एक $(5 \Omega + 1 \Omega) = 6 \Omega$ और दूसरी $(5 \Omega + 4 \Omega) = 9 \Omega$ के साथ।
ये दो शाखाएं समानांतर में हैं,इसलिए समतुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = (6 \times 9) / (6 + 9) = 54 / 15 = 18 / 5 \ \Omega$ है।
$t = 0$ पर धारा $i$ का मान $i_1 = E / R_{eq} = E / (18 / 5) = 5E / 18$ है।
$t = \infty$ पर,इंडक्टर एक शॉर्ट सर्किट (शून्य प्रतिरोध) के रूप में कार्य करता है। सर्किट एक ब्रिज जैसी संरचना बन जाता है जहाँ $5 \Omega$ और $5 \Omega$ के प्रतिरोधक समानांतर में हैं,और $1 \Omega$ और $4 \Omega$ के प्रतिरोधक समानांतर में हैं।
समतुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = (5 \parallel 5) + (1 \parallel 4) = (2.5) + (4 / 5) = 2.5 + 0.8 = 3.3 \ \Omega = 33 / 10 \ \Omega$ है।
$t = \infty$ पर धारा $i$ का मान $i_2 = E / R_{eq} = E / (33 / 10) = 10E / 33$ है।