R-L D.C. Circuit Questions in Hindi

(A) स्विच $S$ बंद करने के तुरंत बाद, प्रेरकों से होकर बहने वाली धारा तात्कालिक रूप से नहीं बदल सकती है। चूंकि स्विच बंद करने से पहले धारा शून्य थी, इसलिए स्विच बंद करने के तुरंत बाद भी यह शून्य ही रहती है।
इसलिए, प्रेरक युक्त शाखाएं खुले परिपथ (अनंत प्रतिरोध) के रूप में कार्य करती हैं।
परिपथ बैटरी और प्रत्येक $R$ प्रतिरोध वाले दो प्रतिरोधकों के श्रेणी संयोजन में सरल हो जाता है।
परिपथ का तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = R + R = 2.0 \, \Omega + 2.0 \, \Omega = 4.0 \, \Omega$ है।
परिपथ में धारा $i$ ओम के नियम द्वारा दी जाती है:
$i = \frac{E}{R_{eq}} = \frac{9 \, V}{4.0 \, \Omega} = 2.25 \, A$.

(D) प्रेरक में संग्रहीत ऊर्जा $U = \frac{1}{2} L i^2$ द्वारा दी जाती है। दिया गया है $U = 64 \, J$ और $i = 8 \, A$,इसलिए $64 = \frac{1}{2} \times L \times (8)^2$। इसे सरल करने पर $64 = 32L$ प्राप्त होता है,अतः $L = 2 \, H$।
ऊर्जा क्षय की दर (शक्ति) $P = i^2 R$ द्वारा दी जाती है। दिया गया है $P = 640 \, W$ और $i = 8 \, A$,इसलिए $640 = (8)^2 \times R$। इसे सरल करने पर $640 = 64R$ प्राप्त होता है,अतः $R = 10 \, \Omega$।
$LR$ परिपथ का समय नियतांक $\tau = \frac{L}{R}$ द्वारा दिया जाता है। मान रखने पर,$\tau = \frac{2}{10} = 0.2 \, s$।

(C) स्थिर अवस्था में,प्रेरक (inductor) एक चालक तार की तरह व्यवहार करता है (शॉर्ट सर्किट)।
इसलिए,परिपथ में मौजूद दोनों प्रेरक साधारण तार के रूप में कार्य करते हैं।
अब परिपथ में प्रत्येक $3 \, \Omega$ के तीन प्रतिरोधक समानांतर क्रम में जुड़े हैं।
इन तीन समानांतर प्रतिरोधकों का तुल्य प्रतिरोध इस प्रकार है:
$\frac{1}{R_{p}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1 \, \Omega^{-1}$
$\Rightarrow R_{p} = 1 \, \Omega$
यह समानांतर संयोजन $2 \, \Omega$ के प्रतिरोधक के साथ श्रेणी क्रम में है।
परिपथ का कुल तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = 2 \, \Omega + R_{p} = 2 \, \Omega + 1 \, \Omega = 3 \, \Omega$ है।
ओम के नियम के अनुसार बैटरी से प्रवाहित धारा $i$:
$i = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{30 \, V}{3 \, \Omega} = 10 \, A$ होगी।

(C) $LR$ परिपथ में अधिकतम धारा $I_{\max} = \frac{V}{R} = \frac{20\, \text{V}}{10 \times 10^3\, \Omega} = 2 \times 10^{-3}\, \text{A} = 2\, \text{mA}$ है।
जब स्विच को खोला जाता है,तो परिपथ एक $LR$ क्षय (decay) परिपथ के रूप में कार्य करता है। समय $t$ पर धारा $I(t) = I_{\max} e^{-Rt/L}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $R = 10^4\, \Omega$,$L = 10 \times 10^{-3}\, \text{H}$,और $t = 1 \times 10^{-6}\, \text{s}$ दिया गया है।
घातांक $-\frac{Rt}{L} = -\frac{10^4 \times 10^{-6}}{10 \times 10^{-3}} = -\frac{10^{-2}}{10^{-2}} = -1$ है।
अतः,$I = 2 \times e^{-1}\, \text{mA}$।
$e^{-1} = 0.37$ लेने पर,$I = 2 \times 0.37\, \text{mA} = 0.74\, \text{mA}$ प्राप्त होता है।
इसे $\frac{x}{100}\, \text{mA}$ के रूप में व्यक्त करने पर,$\frac{x}{100} = 0.74$,जिसका अर्थ है कि $x = 74$।

(B) $1$. जब $T_{1}$ और $T_{2}$ जुड़े होते हैं,तो परिपथ में $6 \, V$ की बैटरी,$R = 6 \, \Omega$ का प्रतिरोधक और प्रेरक $L$ श्रेणीक्रम में होते हैं।
$2$. स्थिर अवस्था में,प्रेरक एक शॉर्ट सर्किट (शून्य प्रतिरोध) के रूप में कार्य करता है। प्रेरक से प्रवाहित होने वाली स्थिर धारा $I = \frac{V}{R} = \frac{6 \, V}{6 \, \Omega} = 1 \, A$ है।
$3$. जब $T_{1}$ को $T_{2}$ से अलग करके तुरंत $T_{3}$ से जोड़ा जाता है,तो प्रेरक $L$ अब $r = 3 \, \Omega$ प्रतिरोधक के साथ श्रेणीक्रम में आ जाता है। चूंकि प्रेरक से प्रवाहित होने वाली धारा अचानक नहीं बदल सकती,इसलिए $I = 1 \, A$ की धारा नए परिपथ लूप में प्रवाहित होती रहती है।
$4$. स्विच बदलने के तुरंत बाद $r = 3 \, \Omega$ प्रतिरोधक पर विभव पतन $V_{r} = I \times r = 1 \, A \times 3 \, \Omega = 3 \, V$ होगा।

(D) स्विच $S$ को बंद करने के तुरंत बाद $(t = 0)$,प्रेरक (inductor) धारा में किसी भी परिवर्तन का विरोध करता है,इसलिए यह एक ओपन सर्किट (अनंत प्रतिरोध) की तरह व्यवहार करता है।
अतः,प्रेरक वाली शाखा में कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
परिपथ सरल होकर $6\,V$ की बैटरी,$2\,\Omega$ के प्रतिरोध और $4\,\Omega$ के प्रतिरोध के श्रेणीक्रम संयोजन जैसा हो जाता है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{eq} = 2\,\Omega + 4\,\Omega = 6\,\Omega$ है।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,बैटरी से प्रवाहित धारा $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{6\,V}{6\,\Omega} = 1\,A$ है।

(C) $LR$ परिपथ में धारा $i = \frac{E}{R}(1 - e^{-t/\tau})$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\tau = \frac{L}{R} = \frac{1}{100} = 0.01\,s = 10\,ms$ है।
$(a)$ धारा के अपने स्थिर-अवस्था मान के आधे तक पहुँचने $(i = \frac{E}{2R})$ के लिए:
$\frac{E}{2R} = \frac{E}{R}(1 - e^{-t/\tau})$
$0.5 = 1 - e^{-t/\tau} \implies e^{-t/\tau} = 0.5$
$t = \tau \ln 2 = 10\,ms \times 0.693 = 6.93\,ms \approx 7\,ms$.
$(b)$ $t = 15\,ms$ पर,$t/\tau = 15/10 = 1.5$:
$i = \frac{6}{100}(1 - e^{-1.5}) = 0.06(1 - 0.25) = 0.06 \times 0.75 = 0.045\,A$.
संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2}Li^2 = \frac{1}{2} \times 1 \times (0.045)^2 = 0.5 \times 0.002025 \approx 0.001\,J = 1\,mJ$.

(C) चित्र $(B)$ में दिया गया ग्राफ दर्शाता है कि धारा $I$, $t=0$ पर $0$ से शुरू होती है और समय के साथ घातांकीय रूप से बढ़ती है, और अंततः एक स्थिर मान प्राप्त करती है।
श्रेणीक्रम $RC$ परिपथ में, स्विच बंद करने के बाद धारा घातांकीय रूप से घटती है।
श्रेणीक्रम $RL$ परिपथ में, धारा $I$ को $I(t) = \frac{V}{R}(1 - e^{-Rt/L})$ द्वारा दिया जाता है।
$t=0$ पर, $I(0) = 0$ होता है, और जैसे-जैसे $t \to \infty$ होता है, $I \to V/R$ होता है, जो ग्राफ में दिखाए गए व्यवहार से मेल खाता है।
अतः, ब्लैकबॉक्स में श्रेणीक्रम में एक प्रतिरोधक और एक प्रेरक है।

(D) सही उत्तर $IV$ है।
$t=0$ पर,जब स्विच बंद किया जाता है,तो सर्किट में धारा शून्य होती है क्योंकि इंडक्टर धारा में किसी भी तात्कालिक परिवर्तन का विरोध करता है। इसलिए,प्रतिरोधक पर विभव पतन $(V_R = iR)$ शून्य होता है।
किरचॉफ के वोल्टेज नियम के अनुसार,$t=0$ पर पूरा $10 \, V$ का स्रोत वोल्टेज इंडक्टर के सिरों पर दिखाई देता है। इस प्रकार,इंडक्टर पर प्रारंभिक वोल्टेज $10 \, V$ है।
जैसे-जैसे समय बीतता है,सर्किट में धारा $i$ समीकरण $i(t) = \frac{V}{R} (1 - e^{-Rt/L})$ के अनुसार घातांकीय रूप से बढ़ती है।
इंडक्टर पर वोल्टेज $V_L = L \frac{di}{dt} = V e^{-Rt/L}$ द्वारा दिया जाता है।
जैसे-जैसे $t$ बढ़ता है,धारा बढ़ती है,और प्रतिरोधक पर विभव पतन बढ़ता है,जबकि इंडक्टर पर विभव पतन $10 \, V$ से $0 \, V$ तक घातांकीय रूप से घटता है।
जब धारा अपने अधिकतम स्थिर मान तक पहुँच जाती है,तो धारा के परिवर्तन की दर शून्य हो जाती है,और इंडक्टर पर विभव पतन शून्य की ओर प्रवृत्त होता है। यह घातांकीय क्षय ग्राफ $IV$ द्वारा सबसे अच्छी तरह दर्शाया गया है।

(D) जब स्विच $S$ को $t = 0$ समय पर बंद किया जाता है,तो प्रेरक $L$ इसमें बहने वाली धारा में किसी भी परिवर्तन का विरोध करता है।
लेंज के नियम के अनुसार,प्रेरक में प्रेरित emf $\varepsilon = -L(di/dt)$ द्वारा दिया जाता है।
$t = 0$ के क्षण पर,परिपथ में धारा शून्य होती है और प्रेरक धारा में अचानक परिवर्तन को रोकने के लिए एक खुले परिपथ (अनंत प्रतिरोध) के रूप में कार्य करता है।
इसलिए,स्विच बंद करने के क्षण पर परिपथ में धारा $i = 0$ होती है।

(B) $t=0 \, s$ पर,प्रेरक (inductor) धारा में किसी भी अचानक परिवर्तन का विरोध करता है। इसलिए,स्विच बंद करने के क्षण पर यह एक खुले परिपथ (अनंत प्रतिरोध) के रूप में कार्य करता है।
$1$. $R_1$ वाली शाखा पूरी तरह से प्रतिरोधक है,इसलिए धारा $I_1$ तुरंत प्रवाहित होती है: $I_1 = \frac{E}{R_1}$.
$2$. $L_1$ और $L_2$ वाली शाखाएँ $t=0 \, s$ पर प्रेरकों में प्रेरित बैक इलेक्ट्रोमोटिव फोर्स के कारण खुले परिपथ के रूप में कार्य करती हैं।
$3$. परिणामस्वरूप,$t=0 \, s$ पर प्रेरकों वाली शाखाओं से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है,जिसका अर्थ है $I_2 = 0$ और $I_3 = 0$.
अतः,सही मान $I_1 = \frac{E}{R_1}, I_2 = 0, I_3 = 0$ हैं।

(A) स्विच बंद करने के तुरंत बाद,प्रेरक एक ओपन सर्किट (अनंत प्रतिरोध) के रूप में कार्य करता है क्योंकि यह धारा में किसी भी परिवर्तन का विरोध करता है (प्रेरक शाखा के माध्यम से $I = 0$)।
परिपथ $1$ के लिए: प्रेरक बैटरी के साथ श्रेणीक्रम में है। अतः,धारा $I_1 = 0$ है।
परिपथ $2$ के लिए: प्रतिरोधक,प्रेरक और दूसरे प्रतिरोधक के श्रेणी संयोजन के साथ समानांतर में है। प्रेरक शाखा का प्रतिरोध अनंत है,इसलिए धारा केवल समानांतर प्रतिरोधक से होकर बहती है। अतः,$I_2 = \frac{\varepsilon}{R}$।
परिपथ $3$ के लिए: प्रेरक एक प्रतिरोधक के साथ समानांतर में है। प्रेरक शाखा एक ओपन सर्किट के रूप में कार्य करती है। बैटरी दो प्रतिरोधकों को श्रेणीक्रम में देखती है (मुख्य शाखा में एक और समानांतर में एक)। अतः,$I_3 = \frac{\varepsilon}{2R}$।
धाराओं की तुलना करने पर: $I_2 = \frac{\varepsilon}{R}$,$I_3 = \frac{\varepsilon}{2R}$,और $I_1 = 0$।
इसलिए,सही क्रम $I_2 > I_3 > I_1$ है।

(C) काफी समय बाद,$DC$ परिपथ में एक प्रेरक शॉर्ट सर्किट (शून्य प्रतिरोध वाला तार) की तरह व्यवहार करता है।
दिए गए परिपथ में तीन समानांतर शाखाएँ हैं:
$1$. ऊपरी शाखा में एक प्रेरक $L$ और एक प्रतिरोध $R$ है। चूंकि प्रेरक शॉर्ट सर्किट की तरह व्यवहार करता है,इसलिए इस शाखा का प्रभावी प्रतिरोध $R = 12\,\Omega$ है।
$2$. मध्य शाखा में केवल एक प्रतिरोध $R = 12\,\Omega$ है।
$3$. निचली शाखा में एक प्रतिरोध $R$ और एक प्रेरक $L$ है। इसी प्रकार,इस शाखा का प्रभावी प्रतिरोध $R = 12\,\Omega$ है।
चूंकि तीनों शाखाएँ समानांतर में हैं और प्रत्येक का प्रभावी प्रतिरोध $12\,\Omega$ है,इसलिए परिपथ का तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ होगा:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R} + \frac{1}{R} + \frac{1}{R} = \frac{3}{R}$
$R_{eq} = \frac{R}{3} = \frac{12\,\Omega}{3} = 4\,\Omega$
ओम के नियम के अनुसार बैटरी से प्रवाहित होने वाली धारा $I$:
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{12\,V}{4\,\Omega} = 3\,A$.

(C) एक प्रेरक में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2} L I^2$ द्वारा दी जाती है।
ऊर्जा संचय की दर $P = \frac{dU}{dt} = L I \frac{dI}{dt}$ है।
$R-L$ परिपथ के लिए,समय $t$ पर धारा $I = \frac{E}{R} (1 - e^{-tR/L})$ है।
धारा के परिवर्तन की दर $\frac{dI}{dt} = \frac{E}{L} e^{-tR/L}$ है।
इन मानों को शक्ति समीकरण में रखने पर:
$P = L \left[ \frac{E}{R} (1 - e^{-tR/L}) \right] \left[ \frac{E}{L} e^{-tR/L} \right] = \frac{E^2}{R} (e^{-tR/L} - e^{-2tR/L})$.
अधिकतम दर ज्ञात करने के लिए,हम $P$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{dP}{dt} = \frac{E^2}{R} \left( -\frac{R}{L} e^{-tR/L} + \frac{2R}{L} e^{-2tR/L} \right) = 0$.
इसका अर्थ है $e^{-tR/L} = 2 e^{-2tR/L}$,इसलिए $e^{tR/L} = 2$,या $t = \frac{L}{R} \ln 2$.
इस समय पर,$e^{-tR/L} = \frac{1}{2}$.
इस मान को वापस शक्ति समीकरण में रखने पर:
$P_{max} = \frac{E^2}{R} \left( \frac{1}{2} - (\frac{1}{2})^2 \right) = \frac{E^2}{R} (\frac{1}{4}) = \frac{E^2}{4R}$.
दिया गया है $R = 25 \, \Omega$,अतः $P_{max} = \frac{E^2}{4 \times 25} = \frac{E^2}{100}$.
इसकी तुलना $\frac{E^a}{2b}$ से करने पर,हमें $a = 2$ और $b = 50$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{b}{a} = \frac{50}{2} = 25$.

(D) मान लीजिए कि बाएं लूप में धारा $I_1$ है और दाएं लूप में धारा $I_2$ है। मध्य तार में धारा $I = I_2 - I_1$ है।
बाएं लूप के लिए: $V - I_1 R - L \frac{dI_1}{dt} = 0 \implies I_1(t) = \frac{V}{R}(1 - e^{-(R/L)t})$.
दाएं लूप के लिए: $V - I_2 R - 2L \frac{dI_2}{dt} = 0 \implies I_2(t) = \frac{V}{R}(1 - e^{-(R/2L)t})$.
मध्य तार में धारा $I(t) = I_2(t) - I_1(t) = \frac{V}{R} [e^{-(R/L)t} - e^{-(R/2L)t}]$ है।
अधिकतम धारा ज्ञात करने के लिए,$\frac{dI}{dt} = 0$ रखें:
$\frac{dI}{dt} = \frac{V}{R} [-\frac{R}{L} e^{-(R/L)t} + \frac{R}{2L} e^{-(R/2L)t}] = 0$.
$\frac{1}{L} e^{-(R/L)t} = \frac{1}{2L} e^{-(R/2L)t} \implies e^{-(R/2L)t} = \frac{1}{2}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $-\frac{R}{2L} T = \ln(1/2) = -\ln 2 \implies T = \frac{2L}{R} \ln 2$.
$T$ का मान $I(t)$ के समीकरण में रखने पर:
$I_{\max} = \frac{V}{R} [e^{-(R/L) \cdot (2L/R) \ln 2} - e^{-(R/2L) \cdot (2L/R) \ln 2}] = \frac{V}{R} [e^{-2 \ln 2} - e^{-\ln 2}] = \frac{V}{R} [\frac{1}{4} - \frac{1}{2}] = -\frac{V}{4R}$.
अतः परिमाण $I_{\max} = \frac{V}{4R}$ है।
इस प्रकार,कथन $(B)$ और $(D)$ सत्य हैं।

(A) तार $PQ$ में प्रेरित गतिक विद्युत वाहक बल (emf) $\varepsilon = Blv$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $B = 1 \text{ T}$,$l = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$,$v = 1 \text{ cm/s} = 0.01 \text{ m/s}$.
$\varepsilon = 1 \times 0.1 \times 0.01 = 10^{-3} \text{ V}$.
जब कुंजी $S$ बंद हो जाती है,तो परिपथ एक स्थिर वोल्टेज स्रोत $\varepsilon$ के साथ $LR$ श्रेणी परिपथ के रूप में कार्य करता है। समय $t$ पर धारा $i$ का सूत्र $i(t) = \frac{\varepsilon}{R} (1 - e^{-Rt/L})$ है।
दिया गया है: $R = 1 \ \Omega$,$L = 1 \text{ mH} = 10^{-3} \text{ H}$,$t = 1 \text{ ms} = 10^{-3} \text{ s}$.
मान रखने पर:
$i = \frac{10^{-3}}{1} (1 - e^{-(1 \times 10^{-3}) / 10^{-3}})$
$i = 10^{-3} (1 - e^{-1})$
$e^{-1} = 0.37$ का उपयोग करने पर:
$i = 10^{-3} (1 - 0.37) = 10^{-3} (0.63) = 0.63 \times 10^{-3} \text{ A}$.
इसे $x \times 10^{-3} \text{ A}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 0.63$ प्राप्त होता है।

(A) परिपथ के लिए किरचॉफ का वोल्टेज नियम लागू करने पर:
$\varepsilon - L \frac{dI}{dt} - IR = 0$
यहाँ,$\varepsilon = 12 \text{ V}$,$L = 3 \text{ H}$,और $R = 12 \Omega$ है।
चूंकि स्लाइडिंग संपर्क को बाहर की ओर खींचा जाता है,प्रतिरोध $R$ बढ़ता है,जिससे धारा $I$ घटती है। इसलिए,धारा के परिवर्तन की दर $\frac{dI}{dt} = -8 \text{ A/s}$ होगी।
समीकरण में मान रखने पर:
$12 - 3 \times (-8) - I \times 12 = 0$
$12 + 24 - 12I = 0$
$36 = 12I$
$I = 3 \text{ A}$

(C) $L-R$ सर्किट का समय नियतांक (time constant) $\tau = \frac{L}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
ग्राफ से पता चलता है कि सर्किट $1$ को अधिकतम धारा $I_{max} = \frac{E}{R}$ तक पहुँचने में सर्किट $2$ की तुलना में अधिक समय लगता है।
इसका अर्थ है कि सर्किट $1$ का समय नियतांक सर्किट $2$ से अधिक है,अर्थात $\tau_1 > \tau_2$।
चूंकि दोनों सर्किट में प्रतिरोध $R$ समान है,इसलिए हमारे पास $\frac{L_1}{R} > \frac{L_2}{R}$ है।
अतः,$L_1 > L_2$।

(B) कुंजी बंद करने के तुरंत बाद,प्रेरक (inductor) एक ओपन सर्किट (अनंत प्रतिरोध) के रूप में कार्य करता है। परिपथ $10 \text{ V}$ की बैटरी,$2 \Omega$ के प्रतिरोध और $4 \Omega$ के प्रतिरोध के श्रेणी संयोजन में बदल जाता है। धारा $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{10}{2 + 4} = \frac{10}{6} \text{ A} = \frac{5}{3} \text{ A}$ होगी।
$(b)$ कुंजी बंद करने के लंबे समय बाद,प्रेरक स्थिर अवस्था प्राप्त कर लेता है और एक शॉर्ट सर्किट (शून्य प्रतिरोध) के रूप में कार्य करता है। चूंकि प्रेरक $4 \Omega$ के प्रतिरोध के समानांतर है,इसलिए सारी धारा प्रेरक से होकर बहेगी और $4 \Omega$ के प्रतिरोध के सिरों पर विभवांतर शून्य हो जाएगा। अतः,$4 \Omega$ के प्रतिरोध में धारा $0 \text{ A}$ होगी।

(A) $t=0$ पर,प्रेरक एक ओपन सर्किट के रूप में कार्य करता है क्योंकि यह धारा में किसी भी परिवर्तन का विरोध करता है। सर्किट में $10 \ \Omega$ का प्रतिरोध और $20 \ \Omega$ का प्रतिरोध श्रेणीक्रम में हैं। कुल प्रतिरोध $R_{eq} = 10 \ \Omega + 20 \ \Omega = 30 \ \Omega$ है। प्रारंभिक धारा $I_0 = \frac{E}{R_{eq}} = \frac{2 \ V}{30 \ \Omega} = \frac{1}{15} \ A$ है।
$t \rightarrow \infty$ पर,प्रेरक एक शॉर्ट सर्किट (आदर्श चालक) के रूप में कार्य करता है क्योंकि धारा स्थिर हो जाती है। $10 \ \Omega$ का प्रतिरोध प्रेरक द्वारा बायपास हो जाता है। अब सर्किट में केवल $20 \ \Omega$ का प्रतिरोध बैटरी के साथ श्रेणीक्रम में है। अंतिम धारा $I_{\infty} = \frac{E}{20 \ \Omega} = \frac{2 \ V}{20 \ \Omega} = \frac{1}{10} \ A$ है।

(A) $L-R$ परिपथ का समय नियतांक (time constant) अनुपात $\tau = \frac{L}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $\tau$ समय को दर्शाता है,इसलिए इसका $SI$ मात्रक सेकंड $(s)$ है।
विमीय विश्लेषण: प्रेरकत्व $L$ की विमा $[M L^2 T^{-2} A^{-2}]$ है और प्रतिरोध $R$ की विमा $[M L^2 T^{-3} A^{-2}]$ है।
इसलिए,$\frac{L}{R}$ की विमा $\frac{[M L^2 T^{-2} A^{-2}]}{[M L^2 T^{-3} A^{-2}]} = [T]$ होती है।
अतः,$\frac{L}{R}$ का $SI$ मात्रक सेकंड है।

(B) प्रेरकत्व $L$ की विमा $V = L \frac{di}{dt}$ द्वारा दी जाती है,इसलिए $[L] = [V][T][I]^{-1}$ है।
प्रतिरोध $R$ की विमा $V = IR$ द्वारा दी जाती है,इसलिए $[R] = [V][I]^{-1}$ है।
अतः,अनुपात $\frac{L}{R}$ की विमा होगी:
$\left[ \frac{L}{R} \right] = \frac{[V][T][I]^{-1}}{[V][I]^{-1}} = [T]$.
इस प्रकार,$\frac{L}{R}$ की विमा समय के समान है।
सही विकल्प $B$ है।

(A) परिपथ $A$ ($LR$ परिपथ) के लिए:
$R_{eq} = 4 + \frac{6 \times 12}{6 + 12} = 4 + \frac{72}{18} = 4 + 4 = 8 \text{ } \Omega$.
$L_{eq} = 2 \text{ H}$.
समय नियतांक $\tau_{A} = \frac{L_{eq}}{R_{eq}} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \text{ s}$.
परिपथ $B$ ($RC$ परिपथ) के लिए:
$R_{eq} = \frac{10 \times 10}{10 + 10} = 5 \text{ } \Omega$.
$C_{eq} = 0.5 + 0.5 = 1 \text{ F}$.
समय नियतांक $\tau_{B} = R_{eq} C_{eq} = 5 \times 1 = 5 \text{ s}$.

(D) दिए गए परिपथ में,संधारित्र शाखा और प्रेरक शाखा $10 \ V$ स्रोत के समानांतर जुड़ी हुई हैं।
संधारित्र शाखा के लिए,समय $t$ पर संधारित्र के सिरों पर वोल्टेज $V_C = 10(1 - e^{-t/RC})$ द्वारा दिया जाता है। यहाँ $R = 4 \ \Omega$ और $C = 0.5 \ F$ है,इसलिए $RC = 4 \times 0.5 = 2 \ s$। अतः,$V_C = 10(1 - e^{-t/2})$।
बिंदु $a$ पर विभव $4 \ \Omega$ प्रतिरोधक के सिरों पर वोल्टेज है। चूंकि संधारित्र और प्रतिरोधक श्रेणी में हैं,धारा $I_C = \frac{10}{4} e^{-t/2} = 2.5 e^{-t/2}$ है। बिंदु $a$ पर वोल्टेज $V_a = 10 - V_C = 10 e^{-t/2}$ है।
प्रेरक शाखा के लिए,समय $t$ पर धारा $I_L = \frac{10}{2}(1 - e^{-Rt/L}) = 5(1 - e^{-2t/4}) = 5(1 - e^{-t/2})$ है।
बिंदु $b$ पर विभव प्रेरक के सिरों पर वोल्टेज है,$V_b = 10 - I_L R_L = 10 - 5(1 - e^{-t/2}) \times 2 = 10 - 10 + 10 e^{-t/2} = 10 e^{-t/2}$।
विभव की तुलना करने पर,$V_a = 10 e^{-t/2}$ और $V_b = 10 e^{-t/2}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,सभी समय $t$ पर $(V_a - V_b) = 10 e^{-t/2} - 10 e^{-t/2} = 0$ है।

(C) दिया गया है, बैटरी का emf, $E = 6 \, V$.
प्रतिरोध, $R = 12 \, \Omega$.
प्रेरकत्व, $L = 2 \, H$.
बैटरी के साथ श्रेणीक्रम में जुड़े $LR$ परिपथ में तात्कालिक धारा $I = I_0(1 - e^{-(R/L)t})$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $I_0 = E/R$ स्थिर अवस्था में धारा है।
धारा के परिवर्तन की दर समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर प्राप्त होती है:
$\frac{dI}{dt} = \frac{d}{dt} \left[ \frac{E}{R} (1 - e^{-(R/L)t}) \right] = \frac{E}{R} \cdot \left( \frac{R}{L} \right) e^{-(R/L)t} = \frac{E}{L} e^{-(R/L)t}$.
प्रारंभिक क्षण पर, $t = 0$ पर, धारा के बढ़ने की दर:
$\left. \frac{dI}{dt} \right|_{t=0} = \frac{E}{L} e^0 = \frac{E}{L} = \frac{6 \, V}{2 \, H} = 3 \, A \, s^{-1}$.

(D) दिया गया है: प्रेरकत्व $L = 5 H$,प्रतिरोध $R = 10 \Omega$ और emf $V = 15 V$ है।
$LR$ परिपथ के लिए समय नियतांक $\tau_L$ इस प्रकार है:
$\tau_L = \frac{L}{R} = \frac{5}{10} = 0.5 s$
$LR$ परिपथ में किसी भी समय $t$ पर धारा $i(t)$ का मान है:
$i(t) = i_0(1 - e^{-t/\tau_L})$
जहाँ $i_0 = \frac{V}{R}$ समय $t = \infty$ पर अधिकतम धारा है।
हमें $t = \infty$ $(i_0)$ पर धारा और $t = 1 s$ $(i(1))$ पर धारा का अनुपात ज्ञात करना है:
$\frac{i_0}{i(1)} = \frac{i_0}{i_0(1 - e^{-1/0.5})} = \frac{1}{1 - e^{-2}}$
व्यंजक को सरल करने पर:
$\frac{1}{1 - \frac{1}{e^2}} = \frac{1}{\frac{e^2 - 1}{e^2}} = \frac{e^2}{e^2 - 1}$
अतः,अभीष्ट अनुपात $\frac{e^2}{e^2 - 1}$ है।

(A) एक श्रेणी $L-R$ परिपथ में, स्विच बंद करने के बाद किसी भी समय $t$ पर धारा $i$ का मान $i(t) = \frac{V}{R} (1 - e^{-Rt/L})$ द्वारा दिया जाता है।
$t = 0$ पर, परिपथ में धारा $i(0) = \frac{V}{R} (1 - e^0) = 0$ होती है।
प्रतिरोधक के सिरों पर विभवांतर $V_R = iR$ होता है। चूंकि $t = 0$ पर $i = 0$ है, इसलिए $V_R = 0 \times R = 0 \, V$ होगा।
प्रेरक के सिरों पर विभवांतर $V_L = L \frac{di}{dt}$ होता है। किरचॉफ के वोल्टेज नियम के अनुसार, $V = V_R + V_L$ होता है। $t = 0$ पर, $V = 0 + V_L$, जिससे $V_L = 25 \, V$ प्राप्त होता है।
अतः, $t = 0$ पर, प्रतिरोधक के सिरों पर विभवांतर $0 \, V$ और प्रेरक के सिरों पर विभवांतर $25 \, V$ है।

(A) $LR$ परिपथ का समय नियतांक $\tau = \frac{L}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभ में,$\tau_1 = \frac{L}{R} = 3 \times 10^{-3} \text{ s}$ ...$(i)$
जब $90 \Omega$ का प्रतिरोध श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो कुल प्रतिरोध $(R + 90) \Omega$ हो जाता है। नया समय नियतांक $\tau_2 = \frac{L}{R + 90} = 0.5 \times 10^{-3} \text{ s}$ ...(ii)
समीकरण $(i)$ को समीकरण (ii) से विभाजित करने पर:
$\frac{3 \times 10^{-3}}{0.5 \times 10^{-3}} = \frac{L/R}{L/(R + 90)}$
$6 = \frac{R + 90}{R}$
$6R = R + 90$
$5R = 90 \implies R = 18 \Omega$
$R = 18 \Omega$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$L = 3 \times 10^{-3} \times 18 = 54 \times 10^{-3} \text{ H} = 54 \text{ mH}$.
अतः,प्रेरकत्व $54 \text{ mH}$ और प्रतिरोध $18 \Omega$ है।

(A) दिया गया है: प्रतिरोध $R = 50 \Omega$,$EMF$ $\varepsilon = 5 V$,धारा $i = 50 mA = 50 \times 10^{-3} A$,और समय $t = 0.1 s$ है।
$LR$ परिपथ में धारा वृद्धि का सूत्र है: $i = i_0(1 - e^{-\frac{Rt}{L}})$,जहाँ $i_0 = \frac{\varepsilon}{R}$ स्थिर अवस्था की धारा है।
सबसे पहले,स्थिर धारा की गणना करें: $i_0 = \frac{5 V}{50 \Omega} = 0.1 A = 100 mA$ है।
मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $50 \times 10^{-3} = 100 \times 10^{-3} (1 - e^{-\frac{50 \times 0.1}{L}})$ है।
सरल करने पर: $0.5 = 1 - e^{-\frac{5}{L}}$ है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $e^{-\frac{5}{L}} = 1 - 0.5 = 0.5$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर: $-\frac{5}{L} = \ln(0.5) = \ln(2^{-1}) = -\ln(2)$ है।
अतः,$L = \frac{5}{\ln(2)} H$ है।

(C) $LR$ सर्किट में,जब $DC$ वोल्टेज $V$ लगाया जाता है,तो किसी भी समय $t$ पर धारा $I$ का समीकरण $I(t) = \frac{V}{R}(1 - e^{-Rt/L})$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभ में,$t = 0$ पर,धारा $I = 0$ होती है क्योंकि प्रेरक धारा में परिवर्तन का विरोध करता है।
जैसे-जैसे समय $t$ बढ़ता है,धारा धीरे-धीरे बढ़ती है और $t \to \infty$ होने पर $I_{max} = \frac{V}{R}$ के स्थिर मान तक पहुँच जाती है।
यह व्यवहार प्रश्न में दिए गए विवरण से मेल खाता है।
इसलिए,सर्किट में श्रेणीक्रम में एक प्रतिरोधक और एक प्रेरक है।

(A) जिस क्षण स्विच $K$ को चालू किया जाता है $(t = 0)$,उस क्षण प्रेरकों से होकर बहने वाली धारा तात्कालिक रूप से नहीं बदल सकती है। इसलिए,प्रेरक खुले परिपथ (अनंत प्रतिरोध) के रूप में कार्य करते हैं।
दिए गए परिपथ में,पहले प्रेरक वाली शाखा और दूसरे प्रेरक वाली शाखा में धारा शून्य होगी।
केवल बीच वाली शाखा,जिसमें $9 \ \Omega$ का एक प्रतिरोधक है,उसी में धारा प्रवाहित होगी।
$t = 0$ पर परिपथ का तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = 9 \ \Omega$ है।
बैटरी का वोल्टेज $V = 9 \ V$ है।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,एमीटर से प्रवाहित धारा $I$ है:
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{9 \ V}{9 \ \Omega} = 1 \ A$.

(B) दिया गया है: प्रेरकत्व $L = 10 \text{ mH} = 10^{-2} \text{ H}$,फेरों की संख्या $N = 10^4$,वोल्टेज $V = 10 \text{ V}$,प्रतिरोध $R = 10 \ \Omega$.
अधिकतम धारा $I_0 = V/R = 10/10 = 1 \text{ A}$.
दिए गए क्षण पर,धारा $I = I_0/e = 1/e \text{ A}$.
एक लंबी परिनालिका के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_0 n I$ होता है,जहाँ $n = N/\ell$ प्रति इकाई लंबाई फेरों की संख्या है।
ऊर्जा घनत्व $E_d$ का सूत्र $E_d = \frac{B^2}{2 \mu_0} = \frac{(\mu_0 n I)^2}{2 \mu_0} = \frac{\mu_0 n^2 I^2}{2}$ है।
$E_d = \frac{1}{2} \times (4 \pi \times 10^{-7}) \times (10^4)^2 \times (1/e)^2 = 2 \pi \times 10^{-7} \times 10^8 \times (1/e^2) = 20 \pi \times (1/e^2) \text{ J/m}^3$.
$\alpha \pi \times (1/e^2)$ के साथ तुलना करने पर,$\alpha = 20$ प्राप्त होता है।

(A) $LR$ परिपथ में प्रेरक के सिरों पर वोल्टेज समीकरण $V_L = \varepsilon - iR$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\varepsilon$ बैटरी का $E$.$M$.$F$. है,$i$ तात्कालिक धारा है,और $R$ प्रेरक का प्रतिरोध है।
दिया गया है: $\varepsilon = 1.0 \text{ V}$,$R = 100 \ \Omega$.
धारा $i_1 = 2 \text{ mA} = 2 \times 10^{-3} \text{ A}$ के लिए,प्रेरक पर वोल्टेज:
$V_{L1} = 1.0 - (2 \times 10^{-3} \times 100) = 1.0 - 0.2 = 0.8 \text{ V}$.
धारा $i_2 = 4 \text{ mA} = 4 \times 10^{-3} \text{ A}$ के लिए,प्रेरक पर वोल्टेज:
$V_{L2} = 1.0 - (4 \times 10^{-3} \times 100) = 1.0 - 0.4 = 0.6 \text{ V}$.
तात्कालिक वोल्टेज का अनुपात:
$\frac{V_{L1}}{V_{L2}} = \frac{0.8}{0.6} = \frac{4}{3}$.