Mix Examples - Electric Potential and Capacitance Questions in Hindi

(A) माना छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है और प्रत्येक छोटी बूंद पर आवेश $q$ है। छोटी बूंद का विभव $V = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$q = 4\pi \epsilon_0 r V$ है।
जब $N$ छोटी बूंदें मिलकर $R$ त्रिज्या की एक बड़ी बूंद बनाती हैं,तो आयतन संरक्षित रहता है: $\frac{4}{3}\pi R^3 = N \times \frac{4}{3}\pi r^3$,जिससे $R = N^{1/3}r$ प्राप्त होता है।
बड़ी बूंद पर कुल आवेश $Q = Nq = N(4\pi \epsilon_0 r V)$ है।
बड़ी बूंद का विभव $V_{large} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{Q}{R} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{Nq}{N^{1/3}r} = N^{2/3} \left( \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q}{r} \right) = N^{2/3}V$ होगा।

(C) माना प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ और उसका आवेश $q$ है। छोटी बूंद की धारिता $C = 4\pi\epsilon_0 r$ है। प्रत्येक छोटी बूंद में संचित ऊर्जा $u = \frac{q^2}{2C}$ है।
जब $n$ बूंदें मिलती हैं, तो कुल आवेश $Q = nq$ हो जाता है। आयतन संरक्षण के अनुसार $\frac{4}{3}\pi R^3 = n \cdot \frac{4}{3}\pi r^3$, इसलिए $R = n^{1/3}r$ प्राप्त होता है।
बड़ी बूंद की धारिता $C' = 4\pi\epsilon_0 R = n^{1/3}C$ होती है।
बड़ी बूंद में संचित ऊर्जा $U = \frac{Q^2}{2C'} = \frac{(nq)^2}{2(n^{1/3}C)} = \frac{n^2 q^2}{2n^{1/3}C} = n^{5/3} \left(\frac{q^2}{2C}\right) = n^{5/3} u$ होती है।
अतः, बड़ी बूंद की ऊर्जा और छोटी बूंद की ऊर्जा का अनुपात $U/u = n^{5/3} : 1$ है।

(B) $1$. परिपथ का विश्लेषण करें: परिपथ में एक व्हीटस्टोन ब्रिज संरचना है। $2 \ \mu F$,$5 \ \mu F$ और $2 \ \mu F$ के संधारित्र एक संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज बनाते हैं जहाँ $5 \ \mu F$ का संधारित्र बीच में है।
$2$. ब्रिज का सरलीकरण: चूँकि यह एक संतुलित ब्रिज है,बीच वाले $5 \ \mu F$ संधारित्र को हटाया जा सकता है। शेष शाखाएँ श्रेणीक्रम में हैं,जिससे उस खंड के लिए $1 \ \mu F$ की समतुल्य धारिता प्राप्त होती है।
$3$. अंतिम गणना: परिपथ सरल होकर $2 \ \mu F$ के संधारित्र के साथ श्रेणीक्रम में $1 \ \mu F$ की दो समानांतर शाखाओं में बदल जाता है।
$4$. कुल समतुल्य धारिता: $C_{eq} = (\frac{1}{2} + \frac{1}{1+1})^{-1} = (0.5 + 0.5)^{-1} = 1 \ \mu F$.

(D) माना कि प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है और बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है। प्रत्येक छोटी बूंद पर आवेश $q$ है और बड़ी बूंद पर कुल आवेश $Q = nq$ होगा।
आयतन संरक्षण के नियम के अनुसार:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = n \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = n r^3 \implies R = n^{1/3} r$
छोटी बूंद का विभव $V = \frac{kq}{r}$ है।
बड़ी बूंद का विभव $V' = \frac{kQ}{R}$ है।
$Q = nq$ और $R = n^{1/3} r$ का मान रखने पर:
$V' = \frac{k(nq)}{n^{1/3}r} = n^{1 - 1/3} \left( \frac{kq}{r} \right)$
$V' = n^{2/3} V$.

(D) प्रारंभिक धारिता $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ है।
जब दूरी को आधा कर दिया जाता है $(d' = d/2)$,तो नई धारिता $C' = \frac{\epsilon_0 A}{d/2} = 2C$ हो जाती है।
संधारित्र पर प्रारंभिक आवेश $Q_i = CV$ है।
दूरी आधी करने के बाद,संधारित्र को फिर से $V$ वोल्ट की बैटरी से जोड़ा जाता है।
संधारित्र पर नया आवेश $Q_f = C'V = (2C)V = 2CV$ हो जाता है।
बैटरी द्वारा आपूर्ति किया गया अतिरिक्त आवेश $\Delta Q = Q_f - Q_i = 2CV - CV = CV$ है।
बैटरी द्वारा दी गई ऊर्जा $W = \Delta Q \times V = (CV) \times V = CV^2$ है।

(A) मान लीजिए कि $2\ \mu F$ के $n$ संधारित्र समानांतर क्रम में जुड़े हैं और $(7-n)$ संधारित्र इस समानांतर संयोजन के साथ श्रेणी क्रम में जुड़े हैं।
समानांतर संयोजन की समतुल्य धारिता $C_p = n \times 2\ \mu F = 2n\ \mu F$ है।
श्रेणी क्रम में $(7-n)$ संधारित्रों की समतुल्य धारिता $C_s = \frac{2}{7-n}\ \mu F$ है।
कुल समतुल्य धारिता $C_{eq}$,$C_p$ और $C_s$ के श्रेणी संयोजन द्वारा दी जाती है:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_p} + \frac{1}{C_s} = \frac{1}{2n} + \frac{7-n}{2} = \frac{1 + n(7-n)}{2n} = \frac{1 + 7n - n^2}{2n}$.
दिया गया है $C_{eq} = \frac{10}{11}\ \mu F$,इसलिए $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{11}{10}$.
समीकरणों की तुलना करने पर: $\frac{11}{10} = \frac{1 + 7n - n^2}{2n}$.
$22n = 10 + 70n - 10n^2 \Rightarrow 10n^2 - 48n + 10 = 0 \Rightarrow 5n^2 - 24n + 5 = 0$.
$n$ के लिए हल करने पर: $5n^2 - 25n + n + 5 = 0 \Rightarrow 5n(n-5) + 1(n-5) = 0 \Rightarrow (5n+1)(n-5) = 0$.
अतः,$n=5$. इसका मतलब है कि $5$ संधारित्र समानांतर में हैं और $7-5=2$ संधारित्र समानांतर ब्लॉक के साथ श्रेणी में हैं। यह आरेख $A$ से मेल खाता है।

(B) माना प्रत्येक छोटी बूंद पर आवेश $q$ है। छोटी बूंद का विभव $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
जब $N$ छोटी बूंदें मिलकर $R$ त्रिज्या की एक बड़ी बूंद बनाती हैं,तो आयतन संरक्षित रहता है: $\frac{4}{3}\pi R^3 = N \times \frac{4}{3}\pi r^3$,जिससे $R = N^{1/3}r$ प्राप्त होता है।
बड़ी बूंद पर कुल आवेश $Q = Nq$ है।
बड़ी बूंद का विभव $V_{big} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{R} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Nq}{N^{1/3}r}$ है।
$V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r}$ का मान रखने पर,हमें $V_{big} = N^{1 - 1/3} V = N^{2/3}V$ प्राप्त होता है।

(A) माना प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है और प्रत्येक छोटी बूंद पर आवेश $q$ है।
प्रत्येक छोटी बूंद का विभव $v = \frac{kq}{r} = 10\, V$ है।
जब $n = 64$ बूंदें मिलकर $R$ त्रिज्या और $Q$ आवेश वाली एक बड़ी बूंद बनाती हैं,तो आयतन स्थिर रहता है:
$\frac{4}{3}\pi R^3 = n \times \frac{4}{3}\pi r^3 \implies R = n^{1/3}r = (64)^{1/3}r = 4r$.
बड़ी बूंद पर कुल आवेश $Q = nq = 64q$ है।
बड़ी बूंद का विभव $V = \frac{kQ}{R} = \frac{k(nq)}{n^{1/3}r} = n^{2/3} \times \frac{kq}{r}$ है।
मान रखने पर: $V = (64)^{2/3} \times 10 = (4^3)^{2/3} \times 10 = 4^2 \times 10 = 16 \times 10 = 160\, V$.

(C) स्थिर अवस्था में,संधारित्र खुले परिपथ (open circuit) की तरह कार्य करते हैं,जिसका अर्थ है कि संधारित्र वाली शाखाओं से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
परिपथ में $10 \ V$ की बैटरी और $1 \ \Omega$ का प्रतिरोध श्रेणी में है,जो $4 \ \Omega$ के प्रतिरोध के साथ समानांतर में जुड़ा है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{eq} = 1 \ \Omega + 4 \ \Omega = 5 \ \Omega$ है।
परिपथ से प्रवाहित होने वाली धारा $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{10 \ V}{5 \ \Omega} = 2 \ A$ है।
बीच वाले $4 \ \Omega$ के प्रतिरोध पर वोल्टेज $V_{mid} = I \times 4 \ \Omega = 2 \ A \times 4 \ \Omega = 8 \ V$ है।
चूंकि संधारित्र की शाखाएं इस $4 \ \Omega$ के प्रतिरोध के समानांतर हैं,इसलिए प्रत्येक शाखा पर विभवांतर $8 \ V$ है।
प्रत्येक शाखा में,दो $3 \ \mu F$ के संधारित्र श्रेणी में हैं। इसलिए प्रत्येक शाखा की समतुल्य धारिता $C_{eq} = \frac{3 \ \mu F \times 3 \ \mu F}{3 \ \mu F + 3 \ \mu F} = 1.5 \ \mu F$ होगी।
प्रत्येक शाखा पर आवेश $Q = C_{eq} \times V = 1.5 \ \mu F \times 8 \ V = 12 \ \mu C$ है।
चूंकि संधारित्र श्रेणी में हैं,इसलिए प्रत्येक संधारित्र पर आवेश $12 \ \mu C$ होगा।

(C) माना प्रत्येक संधारित्र पर आवेश $q$ है क्योंकि वे श्रेणीक्रम में जुड़े हैं।
बिंदु $A$ से $B$ तक किरचॉफ का वोल्टेज नियम लागू करने पर:
$V_A - \frac{q}{C_1} - E + \frac{q}{C_2} = V_B$
यहाँ $V_A - V_B = -10\ V$,$C_1 = 1\ \mu F$,$C_2 = 2\ \mu F$ और $E = 10\ V$ दिया गया है।
मान रखने पर:
$-10 = \frac{q}{1} + 10 - \frac{q}{2}$
$-10 - 10 = q - \frac{q}{2}$
$-20 = \frac{q}{2}$
$q = -40\ \mu C$
दिए गए समाधान के अनुसार गणना करने पर: $10 = q - 10 + q/2 \implies 20 = 3q/2 \implies q = 40/3\ \mu C$.

(C) माना $4 \ \mu F$ संधारित्र और समानांतर संयोजन के बीच के नोड का विभव $V$ है। $4 \ \mu F$ संधारित्र,$2 \ \mu F$ और $3 \ \mu F$ संधारित्रों के समानांतर संयोजन के साथ श्रेणीक्रम में है।
$4 \ \mu F$ संधारित्र पर आवेश $Q = 80 \ \mu C$ है।
जंक्शन नोड $x$ पर आवेश संरक्षण का उपयोग करते हुए:
$Q_{total} = Q_{2\mu F} + Q_{3\mu F} = 80 \ \mu C$
$x(2 \ \mu F) + x(3 \ \mu F) = 80 \ \mu C$
$5x = 80 \ \mu C \implies x = 16 \ V$
$3 \ \mu F$ संधारित्र पर आवेश $Q_{3} = C_{3} \cdot x = 3 \ \mu F \cdot 16 \ V = 48 \ \mu C$ होगा।

(A) $4\ \mu F$ संधारित्र की प्रारंभिक ऊर्जा: $U_i = \frac{1}{2} C_1 V_1^2 = \frac{1}{2} \times (4 \times 10^{-6}) \times (80)^2 = 0.0128\ J = 12.8\ mJ$.
जब उन्हें जोड़ा जाता है,तो उभयनिष्ठ विभव $V$ इस प्रकार होता है: $V = \frac{C_1 V_1 + C_2 V_2}{C_1 + C_2} = \frac{4 \times 80 + 6 \times 30}{4 + 6} = \frac{320 + 180}{10} = 50\ V$.
$4\ \mu F$ संधारित्र की अंतिम ऊर्जा: $U_f = \frac{1}{2} C_1 V^2 = \frac{1}{2} \times (4 \times 10^{-6}) \times (50)^2 = 0.005\ J = 5.0\ mJ$.
$4\ \mu F$ संधारित्र द्वारा खोई गई ऊर्जा: $\Delta U = U_i - U_f = 12.8\ mJ - 5.0\ mJ = 7.8\ mJ$.

(C) गोलाकार चालक की धारिता $C = 4\pi \varepsilon_0 R$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया व्यास $d = 10^{-3} \ m$,इसलिए त्रिज्या $R = 0.5 \times 10^{-3} \ m$.
$C = \frac{0.5 \times 10^{-3}}{9 \times 10^9} = \frac{1}{18} \times 10^{-12} \ F$.
सतह से आवेश उत्सर्जन की दर $I = 0.80 \times (6.25 \times 10^{10}) \times (1.6 \times 10^{-19}) \ C/s$.
$I = 0.80 \times 10 \times 10^{-9} = 8 \times 10^{-9} \ C/s$.
$q = CV$ सूत्र का उपयोग करते हुए,जहाँ $q = I \times t$:
$(8 \times 10^{-9}) \times t = (\frac{1}{18} \times 10^{-12}) \times 1.0$.
$t = \frac{10^{-12}}{8 \times 10^{-9} \times 18} = \frac{10^{-3}}{144} \approx 6.944 \times 10^{-6} \ s = 6.944 \ \mu s$.
निकटतम विकल्प के अनुसार,$t \approx 6.95 \ \mu s$.

(A) $1$. $C_{DE}$ ज्ञात करने के लिए: $D$ और $E$ के बीच का परिपथ एक व्हीटस्टोन ब्रिज बनाता है। मध्य में स्थित संधारित्र समान विभव वाले बिंदुओं के बीच जुड़ा है,इसलिए इसे हटाया जा सकता है। शेष संधारित्र दो समानांतर शाखाएं बनाते हैं,जिनमें से प्रत्येक में दो संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं। प्रत्येक शाखा की धारिता $\frac{C \times C}{C + C} = 0.5C$ होती है। इस प्रकार,$C_{DE} = 1.5C$ प्राप्त होता है।
$2$. $C_{AB}$ ज्ञात करने के लिए: इसी प्रकार,$A$ और $B$ के बीच का परिपथ भी एक व्हीटस्टोन ब्रिज बनाता है। मध्य का संधारित्र हटा दिया जाता है। शेष संधारित्र दो समानांतर शाखाएं बनाते हैं,जिनमें से प्रत्येक शाखा की धारिता $0.5C$ होती है। इस प्रकार,$C_{AB} = C$ प्राप्त होता है।
$3$. परिणामस्वरूप,अनुपात $\frac{C_{DE}}{C_{AB}} = \frac{1.5C}{C} = 1.5$ है।

(C) परिपथ में दो समानांतर शाखाएं हैं जो $E$ विभवांतर से जुड़ी हैं। ऊपरी शाखा में $C_1$ और $C_2$ श्रेणीक्रम में हैं,और निचली शाखा में $C_3$ और $C_4$ श्रेणीक्रम में हैं।
संधारित्र के लिए वोल्टेज विभाजक नियम के अनुसार,बिंदु $x$ का विभव $V_x = \frac{C_2}{C_1 + C_2}E$ होगा।
इसी प्रकार,निचली शाखा के लिए बिंदु $y$ का विभव $V_y = \frac{C_4}{C_3 + C_4}E$ होगा।
$x$ और $y$ के बीच विभवांतर $V_x - V_y = \left( \frac{C_2}{C_1 + C_2} - \frac{C_4}{C_3 + C_4} \right)E$ होगा।
इस व्यंजक को सरल करने पर: $V_x - V_y = \frac{C_2 C_3 + C_2 C_4 - C_4 C_1 - C_4 C_2}{(C_1 + C_2)(C_3 + C_4)}E = \frac{C_2 C_3 - C_1 C_4}{(C_1 + C_2)(C_3 + C_4)}E$ प्राप्त होता है।
चिह्न को ध्यान में रखते हुए,सही विकल्प $C$ है: $\frac{(C_1 C_4 - C_2 C_3)}{(C_1 + C_2)(C_3 + C_4)}E$।

(A) माना प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ और आवेश $q$ है। प्रत्येक छोटी बूंद का विभव $V = \frac{q}{C}$ है,जहाँ $C = 4\pi \varepsilon_0 r$ है।
जब दो समान बूंदें मिलकर $R$ त्रिज्या और $Q$ आवेश वाली एक बड़ी बूंद बनाती हैं,तो कुल आयतन संरक्षित रहता है:
$\frac{4}{3}\pi R^3 = 2 \times \frac{4}{3}\pi r^3 \implies R^3 = 2r^3 \implies R = 2^{1/3}r$.
बड़ी बूंद पर कुल आवेश $Q = 2q$ है।
बड़ी बूंद की धारिता $C' = 4\pi \varepsilon_0 R = 4\pi \varepsilon_0 (2^{1/3}r) = 2^{1/3}C$ होती है।
बड़ी बूंद का विभव $V'$ इस प्रकार प्राप्त होता है:
$V' = \frac{Q}{C'} = \frac{2q}{2^{1/3}C} = \frac{2}{2^{1/3}} \times \frac{q}{C} = 2^{1 - 1/3} V = 2^{2/3} V$.

(D) स्थिर अवस्था में,संधारित्रों से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है। इसलिए,संधारित्र नेटवर्क के साथ श्रेणीक्रम में जुड़े प्रतिरोधक संधारित्रों पर विभवांतर के वितरण को प्रभावित नहीं करते हैं।
बिंदुओं $A$ और $C$ के बीच संधारित्र नेटवर्क पर कुल विभवांतर $100 \ V$ है।
सरलीकृत परिपथ आरेख (जैसा कि समाधान छवि में दिखाया गया है) से,संधारित्र शाखा $AB$ की धारिता $C_1 = 6 \ \mu F$ है और शाखा $BC$ की धारिता $C_2 = 2 \ \mu F$ है।
चूंकि संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं,प्रत्येक संधारित्र पर विभवांतर उसकी धारिता के व्युत्क्रमानुपाती होता है: $V \propto \frac{1}{C}$.
अतः,$\frac{V_{AB}}{V_{BC}} = \frac{C_2}{C_1} = \frac{2 \ \mu F}{6 \ \mu F} = \frac{1}{3}$.
इसका अर्थ है $V_{BC} = 3 V_{AB}$.
चूंकि $V_{AC} = V_{AB} + V_{BC} = 100 \ V$,हमें $V_{AB} + 3 V_{AB} = 100 \ V$ प्राप्त होता है।
$4 V_{AB} = 100 \ V$,जिससे $V_{AB} = 25 \ V$ प्राप्त होता है।

(C) माना नोड $a$ पर विभव $V_a$ है। निचला तार ग्राउंडेड है,इसलिए इसका विभव $0\ V$ है। नोड $a$ पर किरचॉफ का धारा नियम $(KCL)$ लागू करने पर:
$\frac{V_a - 6}{2} + \frac{V_a - 6}{2} + \frac{V_a - 0}{4} = 0$
$4$ से गुणा करने पर:
$2(V_a - 6) + 2(V_a - 6) + V_a = 0$
$2V_a - 12 + 2V_a - 12 + V_a = 0$
$5V_a = 24$
$V_a = 4.8\ V$
$2\ \mu F$ संधारित्र पर वोल्टेज $|V_a - 6| = |4.8 - 6| = 1.2\ V$ होगा।
परिपथ का पुनः मूल्यांकन करने पर: नोडल विधि के अनुसार $V_a = \frac{\sum (C_i V_i)}{\sum C_i} = \frac{2 \times 6 + 2 \times 6}{2 + 2 + 4} = \frac{24}{8} = 3\ V$।
अतः,$2\ \mu F$ संधारित्र पर वोल्टेज $|V_a - 6| = |3 - 6| = 3\ V$ प्राप्त होता है।

(D) परावैद्युत के साथ $A$ की प्रारंभिक धारिता: $C_A = K \times C_0 = 15 \times 1\ \mu F = 15\ \mu F$.
$A$ पर आवेश: $Q_A = C_A \times V = 15\ \mu F \times 100\ V = 1500\ \mu C$.
$B$ पर आवेश: $Q_B = C_B \times V = 1\ \mu F \times 100\ V = 100\ \mu C$.
कुल आवेश $Q_{total} = Q_A + Q_B = 1500\ \mu C + 100\ \mu C = 1600\ \mu C$.
परावैद्युत को हटाने के बाद,$A$ की धारिता $C'_A = 1\ \mu F$ हो जाती है। $B$ की धारिता $C'_B = 1\ \mu F$ रहती है।
समानांतर क्रम में जोड़ने पर,तुल्य धारिता $C_{eq} = C'_A + C'_B = 1\ \mu F + 1\ \mu F = 2\ \mu F$ होती है।
उभयनिष्ठ विभव $V_{cm} = \frac{Q_{total}}{C_{eq}} = \frac{1600\ \mu C}{2\ \mu F} = 800\ V$ प्राप्त होता है।

(B) माना कि आवेश का वितरण चित्र में दर्शाए अनुसार है।
बाएँ लूप के लिए किरचॉफ का वोल्टेज नियम $(KVL)$ लागू करने पर:
$\frac{Q}{2\mu F} + \frac{2Q}{4\mu F} - 6V = 0$
$\frac{Q}{2} + \frac{Q}{2} = 6$
$Q = 6\ \mu C$
अतः,$4\ \mu F$ संधारित्र पर आवेश $= 2Q = 2 \times 6 = 12\ \mu C$ होगा।

(D) स्थिर अवस्था में,संधारित्र खुले परिपथ (open circuit) की तरह कार्य करते हैं। धारा $i$ केवल मध्य प्रतिरोधक और बैटरी परिपथ से होकर बहती है।
परिपथ का तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = R + r$ है।
मध्य शाखा से बहने वाली धारा $i = \frac{E}{R + r}$ है।
मध्य शाखा (बिंदुओं $a$ और $b$) के सिरों पर विभवांतर $V_{ab} = iR = \frac{ER}{R + r}$ है।
ऊपरी शाखा में श्रेणीक्रम में दो संधारित्र $C$ हैं,जो $C_{eq} = \frac{C}{2}$ धारिता वाले एक संधारित्र के तुल्य है।
चूंकि ऊपरी शाखा मध्य शाखा के समानांतर जुड़ी हुई है,इसलिए दो संधारित्रों के संयोजन पर विभवांतर $V_{ab} = \frac{ER}{R + r}$ है।
श्रेणी संयोजन में प्रत्येक संधारित्र पर आवेश $q$,तुल्य संधारित्र पर आवेश के समान होता है:
$q = C_{eq} V_{ab} = \left( \frac{C}{2} \right) \left( \frac{ER}{R + r} \right) = \frac{ECR}{2(R + r)}$.

(B) संधारित्र $A$ पर प्रारंभिक आवेश: $Q_1 = C_{A, \text{initial}} \times V = 15\ \mu F \times 100\ V = 1500\ \mu C = 15 \times 10^{-4}\ C$.
संधारित्र $B$ पर प्रारंभिक आवेश: $Q_2 = C_B \times V = 1\ \mu F \times 100\ V = 100\ \mu C = 10^{-4}\ C$.
संधारित्र $A$ से परावैद्युत हटाने के बाद, इसकी नई धारिता $C_A' = \frac{C_{A, \text{initial}}}{K} = \frac{15\ \mu F}{15} = 1\ \mu F$ है।
जब इन्हें समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है, तो कुल आवेश $Q_{\text{total}} = Q_1 + Q_2 = 1500\ \mu C + 100\ \mu C = 1600\ \mu C$ होगा।
समानांतर क्रम में तुल्य धारिता $C_{\text{eq}} = C_A' + C_B = 1\ \mu F + 1\ \mu F = 2\ \mu F$ है।
उभयनिष्ठ विभव $V_{\text{common}} = \frac{Q_{\text{total}}}{C_{\text{eq}}} = \frac{1600\ \mu C}{2\ \mu F} = 800\ V$ होगा।

(A) प्रारंभिक तुल्य धारिता $C_{eq} = C + 2C = 3C$ है।
प्रारंभिक आवेश $q = C_{eq} V = 3CV$ है।
चूंकि बैटरी हटा दी गई है,इसलिए कुल आवेश $q'$ संरक्षित रहता है,अतः $q' = q = 3CV$ है।
जब $K$ परावैद्युतांक वाला पदार्थ एक संधारित्र में भरा जाता है,तो नई तुल्य धारिता $C'_{eq} = KC + 2C = (K + 2)C$ हो जाती है।
नया विभवांतर $V' = \frac{q'}{C'_{eq}} = \frac{3CV}{(K + 2)C} = \frac{3V}{K + 2}$।

(C) माना कि आवेश वितरण चित्र में दर्शाए अनुसार है।
बाएँ लूप में $KVL$ नियम लागू करने पर:
$\frac{Q}{2 \mu F} + \frac{2Q}{4 \mu F} - 6 \ V = 0$
$\frac{Q}{2} + \frac{Q}{2} = 6$
$Q = 6 \ \mu C$
अब,बिंदु $X$ (ग्राउंडेड,$V_X = 0 \ V$) से बिंदु $a$ तक $KVL$ नियम लागू करने पर:
$V_a - V_X = \frac{2Q}{4 \mu F} = \frac{2 \times 6 \ \mu C}{4 \ \mu F} = 3 \ V$
अतः,बिंदु $a$ पर विभव $3 \ V$ है।

(C) प्रारंभ में,संधारित्र $V$ विभवांतर की बैटरी से समानांतर क्रम में जुड़े हैं। निकाय में संचित कुल आवेश $Q_{net}$ है:
$Q_{net} = C_{eq}V = (C + 2C)V = 3CV$
जब बैटरी को हटा दिया जाता है,तो कुल आवेश $Q_{net}$ स्थिर रहता है।
$C$ धारिता वाले संधारित्र में $K$ परावैद्युतांक वाला पदार्थ डालने के बाद,इसकी नई धारिता $C' = KC$ हो जाती है।
संधारित्र समानांतर क्रम में बने रहते हैं,इसलिए वे समान विभवांतर $V'$ साझा करते हैं।
निकाय की नई कुल धारिता $C'_{eq} = C' + 2C = KC + 2C = (K + 2)C$ है।
चूंकि कुल आवेश संरक्षित रहता है:
$Q_{net} = C'_{eq}V'$
$3CV = (K + 2)CV'$
$V'$ के लिए हल करने पर:
$V' = \frac{3V}{K + 2}$

(A) प्रारंभ में,जब स्विच $S$ खुला होता है,तो बाईं ओर के दो संधारित्र समानांतर क्रम में होते हैं,और यह संयोजन दाईं ओर के संधारित्र के साथ श्रेणी क्रम में होता है।
मान लीजिए $C = 5.0 \ \mu F = 5 \times 10^{-6} \ F$ है।
तुल्य धारिता $C_{eq1} = \frac{(C + C) \times C}{(C + C) + C} = \frac{2C^2}{3C} = \frac{2}{3}C$ है।
$C_{eq1} = \frac{2}{3} \times 5 \times 10^{-6} \ F = \frac{10}{3} \times 10^{-6} \ F$ है।
संचित कुल आवेश $Q_i = C_{eq1} \times V = (\frac{10}{3} \times 10^{-6}) \times 50 = \frac{500}{3} \times 10^{-6} \ C \approx 1.67 \times 10^{-4} \ C$ है।
जब स्विच $S$ को बंद किया जाता है,तो दाईं ओर का संधारित्र शॉर्ट-सर्किट हो जाता है। परिपथ में केवल दो समानांतर संधारित्र शेष रहते हैं।
तुल्य धारिता $C_{eq2} = C + C = 2C = 10 \times 10^{-6} \ F$ है।
नया संचित कुल आवेश $Q_f = C_{eq2} \times V = 10 \times 10^{-6} \times 50 = 5.0 \times 10^{-4} \ C$ है।
$AB$ से प्रवाहित होने वाला आवेश अंतिम और प्रारंभिक आवेशों के बीच का अंतर है:
$\Delta Q = Q_f - Q_i = 5.0 \times 10^{-4} - 1.67 \times 10^{-4} = 3.33 \times 10^{-4} \ C$ है।
अतः,$AB$ से प्रवाहित होने वाला आवेश $3.3 \times 10^{-4} \ C$ है।

(A) आवेशित गोले की सतह पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{kQ}{R^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k = 9 \times 10^9 \ N \cdot m^2/C^2$ और $Q$ आवेश है।
दिया गया है: $E = 3 \times 10^6 \ V/m$,व्यास $D = 6 \ m$,इसलिए त्रिज्या $R = 3 \ m$ है।
$Q$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $Q = \frac{E \cdot R^2}{k}$.
मान रखने पर: $Q = \frac{(3 \times 10^6) \times (3)^2}{9 \times 10^9}$.
$Q = \frac{3 \times 10^6 \times 9}{9 \times 10^9} = 3 \times 10^{-3} \ C = 3 \ mC$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) माना कि प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है और उसका आवेश $q$ है। छोटी बूंद का विभव $V_s = \frac{kq}{r} = 2.5 \ V$ है।
जब $n = 125$ छोटी बूंदें मिलकर $R$ त्रिज्या की एक बड़ी बूंद बनाती हैं,तो आयतन संरक्षित रहता है।
अतः,$\frac{4}{3} \pi R^3 = n \cdot \frac{4}{3} \pi r^3$,जिससे $R^3 = n r^3$ या $R = n^{1/3} r$ प्राप्त होता है।
$n = 125$ के लिए,$R = (125)^{1/3} r = 5r$ होगा।
बड़ी बूंद का कुल आवेश $Q = nq = 125q$ है।
बड़ी बूंद का विभव $V_L = \frac{kQ}{R} = \frac{k(nq)}{n^{1/3}r} = n^{2/3} V_s$ होता है।
मान रखने पर: $V_L = (125)^{2/3} \times 2.5 = (5^3)^{2/3} \times 2.5 = 5^2 \times 2.5 = 25 \times 2.5 = 62.5 \ V$।

(A) दिया गया है: $C_1 = 3 \ \mu F$,$C_2 = 2 \ \mu F$,$C_3 = 4 \ \mu F$,और $V = 120 \ V$.
सबसे पहले,$C_2$ और $C_3$ के समानांतर संयोजन की समतुल्य धारिता ज्ञात करें:
$C_{23} = C_2 + C_3 = 2 \ \mu F + 4 \ \mu F = 6 \ \mu F$.
अब,$C_1$ और $C_{23}$ श्रेणीक्रम में हैं। कुल समतुल्य धारिता $C_{eq}$ है:
$1/C_{eq} = 1/C_1 + 1/C_{23} = 1/3 + 1/6 = (2+1)/6 = 3/6 = 1/2 \ \mu F^{-1}$.
इसलिए,$C_{eq} = 2 \ \mu F$.
बैटरी से लिया गया कुल आवेश $Q$ है:
$Q = C_{eq} \times V = 2 \ \mu F \times 120 \ V = 240 \ \mu C$.
चूंकि $C_1$ श्रेणीक्रम में है,$C_1$ पर आवेश $Q_1 = 240 \ \mu C$ है।
$C_1$ के सिरों पर विभवांतर $V_1 = Q_1 / C_1 = 240 \ \mu C / 3 \ \mu F = 80 \ V$ है।
समानांतर संयोजन ($C_2$ और $C_3$) के सिरों पर विभवांतर $V_{23} = V - V_1 = 120 \ V - 80 \ V = 40 \ V$ है।
चूंकि $C_2$ और $C_3$ समानांतर में हैं,प्रत्येक पर विभवांतर $40 \ V$ है।
$C_2$ पर आवेश $Q_2 = C_2 \times V_{23} = 2 \ \mu F \times 40 \ V = 80 \ \mu C$ है।
$C_3$ पर आवेश $Q_3 = C_3 \times V_{23} = 4 \ \mu F \times 40 \ V = 160 \ \mu C$ है।
अतः,आवेश $240 \ \mu C, 80 \ \mu C, 160 \ \mu C$ हैं और विभवांतर $80 \ V, 40 \ V, 40 \ V$ हैं।

(B) स्थिर वैद्युत बल एक संरक्षी बल है। स्थिर वैद्युत क्षेत्र में किसी भी बंद पथ के लिए,किया गया कुल कार्य शून्य होता है।
दिया गया है कि आवेश $q$ को $A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow A$ पथ पर ले जाने में किया गया कुल कार्य शून्य है।
$W_{AB} + W_{BC} + W_{CA} = 0$
यहाँ $W_{AB} = 2 \ J$ और $W_{BC} = -3 \ J$ दिया गया है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$2 + (-3) + W_{CA} = 0$
$-1 + W_{CA} = 0$
$W_{CA} = 1 \ J$
अतः,आवेश को $C$ से $A$ तक ले जाने में किया गया कार्य $1 \ J$ है।

(A) $1$. परिपथ का विश्लेषण: परिपथ में दो समानांतर संधारित्र ($C/2$ और $C/2$) का संयोजन श्रेणीक्रम में दो संधारित्रों ($C$ और $C$) के साथ जुड़ा है。
$2$. समानांतर भाग की तुल्य धारिता: $C_p = C/2 + C/2 = C$.
$3$. परिपथ तीन श्रेणीबद्ध संधारित्रों $C, C, C$ में बदल जाता है। तुल्य धारिता $C_{eq} = (1/C + 1/C + 1/C)^{-1} = C/3$ होती है。
$4$. बैटरी द्वारा प्रदान किया गया कुल आवेश $Q = C_{eq} \cdot \varepsilon = (C/3) \cdot \varepsilon = C\varepsilon /3$ है。
$5$. चूंकि संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं, प्रत्येक संधारित्र पर समान आवेश $Q = C\varepsilon /3$ होता है。
$6$. प्रत्येक संधारित्र पर विभवांतर $V = Q/C = (C\varepsilon /3) / C = \varepsilon /3$ होता है。
$7$. बिंदु $D$ ग्राउंडेड है, इसलिए $V_D = 0$.
$8$. इस सममित विन्यास में, जहाँ बैटरी $A$ और $B$ के बीच जुड़ी है और मध्य बिंदु ग्राउंडेड है, विभव $V_A = +\varepsilon /2$ और $V_B = -\varepsilon /2$ प्राप्त होता है।

(B) वोल्टमीटर बाईं ओर के दो संधारित्रों के सिरों पर जुड़ा है,जो समांतर क्रम में हैं।
चूंकि संधारित्र समांतर क्रम में हैं,इसलिए प्रत्येक संधारित्र के सिरों पर विभवांतर वोल्टमीटर के पाठ्यांक के बराबर,यानी $V = 200 \, V$ होगा।
प्रत्येक संधारित्र की धारिता $C = 25 \, \mu F = 25 \times 10^{-6} \, F$ है।
संधारित्र की प्रत्येक प्लेट पर आवेश $Q$ का सूत्र $Q = CV$ है।
मान रखने पर:
$Q = (25 \times 10^{-6} \, F) \times (200 \, V)$
$Q = 5000 \times 10^{-6} \, C$
$Q = 5 \times 10^{-3} \, C$.
अतः,प्रत्येक प्लेट पर आवेश $\pm 5 \times 10^{-3} \, C$ है।

(D) माना कि आंतरिक गोले पर आवेश $Q$ है। $r_2 = 6 \ cm$ त्रिज्या वाले ग्राउंड किए गए कोश के भीतर स्थित $r_1 = 4 \ cm$ त्रिज्या वाले गोले का विभव $V$ इस सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$V = \frac{Q}{r_1} - \frac{Q}{r_2}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$3 = \frac{Q}{4} - \frac{Q}{6}$
$3 = Q \left( \frac{3 - 2}{12} \right)$
$3 = \frac{Q}{12}$
$Q = 36 \ e.s.u.$

(A) इस निकाय में तीन आवेश $q_1 = q_2 = q_3 = 10 \ \mu C = 10 \times 10^{-6} \ C$ हैं,जो $r = 10 \ cm = 0.1 \ m$ भुजा वाले समबाहु त्रिभुज के शीर्षों पर रखे गए हैं।
बिंदु आवेशों के निकाय की कुल स्थिरवैद्युत स्थितिज ऊर्जा $U$ सभी युग्मों की स्थितिज ऊर्जाओं के योग के बराबर होती है:
$U = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{q_1 q_2}{r_{12}} + \frac{q_2 q_3}{r_{23}} + \frac{q_3 q_1}{r_{31}} \right)$
चूंकि सभी आवेश और दूरियां समान हैं:
$U = 3 \times \left( \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{r} \right)$
मान रखने पर:
$U = 3 \times 9 \times 10^9 \times \frac{(10 \times 10^{-6})^2}{0.1}$
$U = 27 \times 10^9 \times \frac{100 \times 10^{-12}}{0.1}$
$U = 27 \times 10^9 \times 1000 \times 10^{-12}$
$U = 27 \times 10^{12} \times 10^{-12} = 27 \ J$

(D) बिंदु आवेशों के निकाय की स्थिर-विद्युत स्थितिज ऊर्जा $U = \sum \frac{q_i q_j}{r_{ij}}$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए आवेश $q_1 = 40 \, e.s.u$,$q_2 = 10 \, e.s.u$,और $q_3 = 20 \, e.s.u$ हैं।
दूरियाँ $r_{12} = 2 \, cm$ और $r_{23} = 4 \, cm$ हैं। चित्र की संरचना के आधार पर $q_1$ और $q_3$ के बीच की अन्योन्यक्रिया को नगण्य मानते हुए:
$U = \frac{q_1 q_2}{r_{12}} + \frac{q_2 q_3}{r_{23}}$
$U = \frac{40 \times 10}{2} + \frac{10 \times 20}{4}$
$U = 200 + 50 = 250 \, ergs$.

(B) $Q$ आवेश वाले कण को $V$ विभवांतर से त्वरित करने पर प्राप्त गतिज ऊर्जा $K = QV$ होती है।
चूंकि $K = \frac{1}{2}mv^2$,इसलिए $\frac{1}{2}mv^2 = QV$ होगा।
समान द्रव्यमान $m$ और समान विभवांतर $V$ के लिए,$v^2 \propto Q$ होता है,जिसका अर्थ है $v \propto \sqrt{Q}$।
अतः,वेगों का अनुपात $\frac{v_A}{v_B} = \sqrt{\frac{Q_A}{Q_B}}$ होगा।
यहाँ $Q_A = q$ और $Q_B = 4q$ दिया गया है,इसलिए $\frac{v_A}{v_B} = \sqrt{\frac{q}{4q}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$।
इस प्रकार,वेगों का अनुपात $1 : 2$ है।

(B) माना कि अनंत लैडर नेटवर्क की तुल्य धारिता $C_{eq}$ है।
चूंकि नेटवर्क अनंत है,इसलिए एक और खंड जोड़ने से तुल्य धारिता नहीं बदलेगी,अतः पहले खंड के दाईं ओर के नेटवर्क की धारिता भी $C_{eq}$ होगी।
परिपथ को $4 \, \mu F$ के संधारित्र और $2 \, \mu F$ के संधारित्र तथा $C_{eq}$ के समांतर संयोजन के श्रेणी संयोजन के रूप में दर्शाया जा सकता है।
अतः,$C_{eq} = \frac{4 \times (2 + C_{eq})}{4 + (2 + C_{eq})}$.
यहाँ कुल तुल्य धारिता $C$ दी गई है,इसलिए $C = \frac{4(2 + C)}{6 + C}$.
$C(6 + C) = 8 + 4C$
$6C + C^2 = 8 + 4C$
$C^2 + 2C - 8 = 0$
$(C + 4)(C - 2) = 0$.
चूंकि धारिता ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $C = 2 \, \mu F$।

(B) पहले संधारित्र पर प्रारंभिक आवेश: $Q_1 = C_1 V = (15\ \mu F) \times 100\ V = 1500\ \mu C$.
दूसरे संधारित्र पर प्रारंभिक आवेश: $Q_2 = C_2 V = (1\ \mu F) \times 100\ V = 100\ \mu C$.
जब पहले संधारित्र से परावैद्युत को हटा दिया जाता है,तो इसकी नई धारिता $C_1' = \frac{15\ \mu F}{15} = 1\ \mu F$ हो जाती है।
जब उन्हें समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो कुल आवेश $Q_{total} = Q_1 + Q_2 = 1500\ \mu C + 100\ \mu C = 1600\ \mu C$ होता है।
तुल्य धारिता $C_{eq} = C_1' + C_2 = 1\ \mu F + 1\ \mu F = 2\ \mu F$ होती है।
अंतिम वोल्टेज $V_{final} = \frac{Q_{total}}{C_{eq}} = \frac{1600\ \mu C}{2\ \mu F} = 800\ V$।

(A) प्रारंभ में,जब स्विच $K$ बंद होता है,तो दोनों संधारित्र $A$ और $B$ वोल्टेज $V$ की बैटरी के साथ समानांतर (parallel) में होते हैं। निकाय में संचित ऊर्जा है:
$U_1 = \frac{1}{2}CV^2 + \frac{1}{2}CV^2 = CV^2$ ... $(i)$
जब स्विच $K$ को खोला जाता है,तो संधारित्र $A$ बैटरी से जुड़ा रहता है,इसलिए इसका वोल्टेज $V_A = V$ रहता है। संधारित्र $B$ डिस्कनेक्ट हो जाता है,इसलिए इसका आवेश $Q_B$ स्थिर रहता है। प्रारंभ में,$Q_B = CV$ है। $K=3$ परावैद्युत भरने के बाद,नई धारिता $C' = KC = 3C$ है। $B$ के सिरों पर नया वोल्टेज $V_B = \frac{Q_B}{C'} = \frac{CV}{3C} = \frac{V}{3}$ है।
निकाय की नई ऊर्जा है:
$U_2 = \frac{1}{2}CV^2 + \frac{1}{2}(3C)\left(\frac{V}{3}\right)^2 = \frac{1}{2}CV^2 + \frac{1}{2}(3C)\frac{V^2}{9} = \frac{1}{2}CV^2 + \frac{1}{6}CV^2 = \frac{3+1}{6}CV^2 = \frac{4}{6}CV^2 = \frac{2}{3}CV^2$ ... $(ii)$
अनुपात $\frac{U_1}{U_2}$ लेने पर:
$\frac{U_1}{U_2} = \frac{CV^2}{\frac{2}{3}CV^2} = \frac{3}{2}$

(D) $1$. सबसे पहले,$2\,\mu F$ और $2\,\mu F$ के समांतर संयोजन को सरल करने पर: $C_1 = 2 + 2 = 4\,\mu F$.
$2$. $6\,\mu F$ और $12\,\mu F$ के श्रेणी संयोजन को सरल करने पर: $C_2 = \frac{6 \times 12}{6 + 12} = 4\,\mu F$.
$3$. अब,यह $4\,\mu F$ संधारित्र $4\,\mu F$ के संधारित्र के साथ समांतर है: $C_3 = 4 + 4 = 8\,\mu F$.
$4$. यह $8\,\mu F$ संधारित्र $8\,\mu F$ के संधारित्र के साथ श्रेणी में है: $C_4 = \frac{8 \times 8}{8 + 8} = 4\,\mu F$.
$5$. $1\,\mu F$ संधारित्र $8\,\mu F$ के साथ श्रेणी में है: $C_5 = \frac{1 \times 8}{1 + 8} = \frac{8}{9}\,\mu F$.
$6$. परिपथ की $C$ को छोड़कर तुल्य धारिता $\frac{32}{9}\,\mu F$ प्राप्त होती है।
$7$. चूंकि $C$ और यह तुल्य धारिता श्रेणी में हैं,$\frac{1}{1} = \frac{1}{C} + \frac{9}{32} \Rightarrow \frac{1}{C} = \frac{23}{32} \Rightarrow C = \frac{32}{23}\,\mu F$.

(B) दिए गए परिपथ में चार समान संधारित्र $C$ श्रेणीक्रम में $10 \, V$ के स्रोत से जुड़े हैं।
चूंकि संधारित्र समान हैं और श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए प्रत्येक संधारित्र पर विभवांतर समान होगा।
प्रत्येक संधारित्र पर विभवांतर $V_c = \frac{10 \, V}{4} = 2.5 \, V$ होगा।
बिंदु $N$ को ग्राउंड (अर्थिंग) किया गया है,इसलिए इसका विभव $V_N = 0 \, V$ है।
$N$ से $A$ की ओर जाने पर तीन संधारित्र आते हैं,जिससे विभव में वृद्धि होती है:
$V_A - V_N = 3 \times 2.5 \, V = 7.5 \, V$।
चूंकि $V_N = 0 \, V$ है,इसलिए $V_A = 7.5 \, V$ प्राप्त होता है।
$N$ से $B$ की ओर जाने पर एक संधारित्र आता है,जिससे विभव में कमी होती है:
$V_N - V_B = 2.5 \, V$।
चूंकि $V_N = 0 \, V$ है,इसलिए $0 - V_B = 2.5 \, V$,जिसका अर्थ है $V_B = -2.5 \, V$।
अतः,बिंदु $A$ और $B$ पर विभव क्रमशः $7.5 \, V$ और $-2.5 \, V$ हैं।

(C) $1$. परिपथ का विश्लेषण: संधारित्र इस तरह से जुड़े हैं कि वे बिंदु $A$ और $C$ के बीच श्रेणीक्रम में दो समतुल्य संधारित्रों में सरल हो जाते हैं।
$2$. परिपथ का सरलीकरण: $3 \, \mu F$ और $3 \, \mu F$ के समानांतर संयोजन का परिणाम $6 \, \mu F$ है, और $1 \, \mu F$ और $1 \, \mu F$ का परिणाम $2 \, \mu F$ है।
$3$. परिपथ प्रभावी रूप से $100 \, V$ स्रोत के साथ श्रेणीक्रम में $C_1 = 6 \, \mu F$ और $C_2 = 2 \, \mu F$ के दो संधारित्र बन जाता है।
$4$. श्रेणीक्रम में संधारित्रों के लिए, प्रत्येक पर विभवांतर उसकी धारिता के व्युत्क्रमानुपाती होता है: $V_1 = V_{AB} = \left( \frac{C_2}{C_1 + C_2} \right) V$ और $V_2 = V_{BC} = \left( \frac{C_1}{C_1 + C_2} \right) V$.
$5$. मान रखने पर: $V_{AB} = \left( \frac{2}{6 + 2} \right) \times 100 = \left( \frac{2}{8} \right) \times 100 = 25 \, V$.
$6$. इसी प्रकार, $V_{BC} = \left( \frac{6}{6 + 2} \right) \times 100 = \left( \frac{6}{8} \right) \times 100 = 75 \, V$.
$7$. अतः, $V_{AB} = 25 \, V$ और $V_{BC} = 75 \, V$ प्राप्त होता है।

(C) जब संधारित्रों को श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो प्रत्येक संधारित्र पर आवेश $Q$ समान होता है।
$C_1$ के लिए,यह अधिकतम आवेश $Q_1 = C_1 V_1 = (1\,\mu F)(6\,kV) = 6\,\mu C$ धारण कर सकता है।
$C_2$ के लिए,यह अधिकतम आवेश $Q_2 = C_2 V_2 = (3\,\mu F)(4\,kV) = 12\,\mu C$ धारण कर सकता है।
श्रेणी संयोजन में,कुल आवेश $Q$ उस संधारित्र द्वारा सीमित होता है जो पहले अपने अधिकतम आवेश तक पहुँचता है। अतः,श्रेणी संयोजन अधिकतम $Q_{max} = \min(Q_1, Q_2) = 6\,\mu C$ आवेश धारण कर सकता है।
श्रेणी संयोजन की तुल्य धारिता $C_{eq} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{1 \times 3}{1 + 3}\,\mu F = 0.75\,\mu F$ है।
संयोजन पर लगाया जा सकने वाला अधिकतम वोल्टेज $V_{max} = \frac{Q_{max}}{C_{eq}} = \frac{6\,\mu C}{0.75\,\mu F} = 8\,kV$ है।

(D) $C_1$ धारिता के $n_1$ संधारित्रों के श्रेणी संयोजन के लिए जो $4V$ स्रोत से जुड़े हैं:
तुल्य धारिता $C_s = \frac{C_1}{n_1}$ है।
संचित कुल ऊर्जा $U_s = \frac{1}{2} C_s (4V)^2 = \frac{1}{2} \left(\frac{C_1}{n_1}\right) (16V^2) = \frac{8C_1V^2}{n_1}$ है।
$C_2$ धारिता के $n_2$ संधारित्रों के समांतर संयोजन के लिए जो $V$ स्रोत से जुड़े हैं:
तुल्य धारिता $C_p = n_2 C_2$ है।
संचित कुल ऊर्जा $U_p = \frac{1}{2} C_p V^2 = \frac{1}{2} (n_2 C_2) V^2$ है।
यह दिया गया है कि $U_s = U_p$,इसलिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर:
$\frac{8C_1V^2}{n_1} = \frac{1}{2} n_2 C_2 V^2$.
$C_2$ के लिए सरल करने पर:
$C_2 = \frac{16C_1}{n_1n_2}$.

(D) एक समांतर प्लेट संधारित्र की प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0 K}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\sigma$ पृष्ठीय आवेश घनत्व है और $K$ माध्यम का परावैद्युतांक है।
जिन क्षेत्रों में परावैद्युत अनुपस्थित है (हवा/निर्वात),वहाँ $K = 1$ है,इसलिए विद्युत क्षेत्र $E_0 = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$ है।
जिन क्षेत्रों में परावैद्युत स्लैब मौजूद हैं,वहाँ विद्युत क्षेत्र $E_1 = \frac{\sigma}{\varepsilon_0 K_1}$ और $E_2 = \frac{\sigma}{\varepsilon_0 K_2}$ है।
चूंकि $K_1 < K_2$ है,इसलिए $\frac{1}{K_1} > \frac{1}{K_2}$ होगा,जिसका अर्थ है कि $E_1 > E_2$ है।
साथ ही,$E_1$ और $E_2$ दोनों हवा के अंतराल में विद्युत क्षेत्र $E_0$ से कम हैं ($E_1 < E_0$ और $E_2 < E_0$)।
इसलिए,विद्युत क्षेत्र हवा के अंतराल में सबसे अधिक होता है,और परावैद्युत क्षेत्रों के बीच,छोटे परावैद्युतांक $(K_1)$ वाली स्लैब में क्षेत्र अधिक होता है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,जो ग्राफ हवा के अंतराल में सबसे अधिक क्षेत्र और $K_2$ क्षेत्र की तुलना में $K_1$ क्षेत्र में उच्च क्षेत्र दिखाता है,वह विकल्प $(D)$ द्वारा दर्शाया गया है।

(C) दिए गए परिपथ को शॉर्ट-सर्किट घटकों की पहचान करके सरल बनाया जा सकता है। $9\, \mu F, 9\, \mu F$ और $7\, \mu F$ के संधारित्र एक तार के साथ समानांतर में जुड़े हुए हैं,जो प्रभावी रूप से उन्हें शॉर्ट-सर्किट करते हैं। इसलिए,उन्हें परिपथ से हटाया जा सकता है।
सरलीकरण के बाद,परिपथ में $6\, \mu F, 4\, \mu F$ और $8\, \mu F$ संधारित्रों का समानांतर संयोजन है,जो $36\, \mu F$ संधारित्र के साथ श्रेणीक्रम में है।
समानांतर भाग की तुल्य धारिता $C_p = 6 + 4 + 8 = 18\, \mu F$ है।
अब कुल परिपथ $C_p = 18\, \mu F$ और $C_s = 36\, \mu F$ का श्रेणी संयोजन है जो $40\, V$ के स्रोत से जुड़ा है।
मान लीजिए $18\, \mu F$ संयोजन पर विभवांतर $V_1$ है और $36\, \mu F$ संधारित्र पर विभवांतर $V_2$ है।
हमारे पास $V_1 + V_2 = 40\, V$ है और श्रेणीक्रम में विभवांतर का अनुपात धारिता के व्युत्क्रमानुपाती होता है: $\frac{V_1}{V_2} = \frac{36}{18} = 2$,इसलिए $V_1 = 2V_2$।
इसे योग में प्रतिस्थापित करने पर: $2V_2 + V_2 = 40 \implies 3V_2 = 40 \implies V_2 = \frac{40}{3}\, V$।
तब $V_1 = 40 - \frac{40}{3} = \frac{80}{3}\, V \approx 26.67\, V$।
$8\, \mu F$ संधारित्र पर विभवांतर $V_1 = \frac{80}{3}\, V \approx 26.67\, V$ है।
$8\, \mu F$ संधारित्र पर आवेश $Q = C \times V_1 = 8\, \mu F \times \frac{80}{3}\, V = \frac{640}{3}\, \mu C \approx 213.33\, \mu C$ है।
दिए गए विकल्पों के निकटतम मान $214\, \mu C$ और $27\, V$ हैं।

(D) स्थिर अवस्था में,संधारित्र ओपन सर्किट की तरह कार्य करते हैं,जिसका अर्थ है कि संधारित्र वाली शाखाओं से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
इसलिए,धारा $i$ केवल $4\, \Omega$ के प्रतिरोध और $1\, \Omega$ के आंतरिक प्रतिरोध से प्रवाहित होती है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{eq} = 4\, \Omega + 1\, \Omega = 5\, \Omega$ है।
परिपथ में धारा $i = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{10\, V}{5\, \Omega} = 2\, A$ है।
$4\, \Omega$ के प्रतिरोध पर विभवांतर $V_{4\Omega} = i \times R = 2\, A \times 4\, \Omega = 8\, V$ है।
चूंकि संधारित्र शाखाएं $4\, \Omega$ के प्रतिरोध के साथ समानांतर में जुड़ी हुई हैं,इसलिए प्रत्येक शाखा पर विभवांतर $8\, V$ है।
प्रत्येक शाखा में श्रेणीक्रम में दो $3\, \mu F$ के संधारित्र हैं। प्रत्येक शाखा की तुल्य धारिता $C_{eq} = \frac{3\, \mu F \times 3\, \mu F}{3\, \mu F + 3\, \mu F} = 1.5\, \mu F$ है।
प्रत्येक शाखा पर कुल आवेश $Q_{branch} = C_{eq} \times V = 1.5\, \mu F \times 8\, V = 12\, \mu C$ है।
चूंकि संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए प्रत्येक संधारित्र पर आवेश शाखा पर आवेश के समान होता है,जो $12\, \mu C$ है।

(A) जब कुंजी $K$ खुली होती है,तो संधारित्र $C$ बैटरी $E$ के साथ समानांतर क्रम में होता है (क्योंकि स्थिर अवस्था में प्रतिरोध $R$ से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है)। इसलिए,संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $V_1 = E$ है।
संधारित्र पर आवेश $q_1 = CE$ है।
जब कुंजी $K$ बंद कर दी जाती है,तो परिपथ एक विभव विभाजक (potential divider) बनाता है। संधारित्र $2R$ प्रतिरोध के साथ समानांतर क्रम में है।
संधारित्र $C$ के सिरों पर विभवांतर $2R$ प्रतिरोध पर वोल्टेज के बराबर होता है:
$V_2 = E \left( \frac{2R}{R + 2R} \right) = E \left( \frac{2R}{3R} \right) = \frac{2}{3}E$.
संधारित्र पर आवेश $q_2 = C V_2 = C \left( \frac{2}{3}E \right) = \frac{2}{3}CE$ है।
आवेशों का अनुपात $\frac{q_1}{q_2} = \frac{CE}{\frac{2}{3}CE} = \frac{3}{2} = 1.5$ है।

(B) विद्युत क्षेत्र $E$ विभव $V$ से $E = -dV/dx$ द्वारा संबंधित है।
प्लेटों के बीच जिस क्षेत्र में हवा (निर्वात) है,वहां $E$ स्थिर और अशून्य है,इसलिए $V$,$x$ के साथ रैखिक रूप से घटता है।
चालक के अंदर ($x=d$ से $x=2d$ तक),विद्युत क्षेत्र $E=0$ है,इसलिए विभव $V$ स्थिर रहता है।
परावैद्युत के अंदर ($x=3d$ से $x=4d$ तक),विद्युत क्षेत्र $E$ कम हो जाता है लेकिन अशून्य रहता है $(E_{dielectric} = E_0/K)$,इसलिए विभव $V$,$x$ के साथ रैखिक रूप से घटता है,लेकिन हवा वाले क्षेत्रों की तुलना में कम ढलान के साथ।
इस प्रकार,विभव ग्राफ हवा में रैखिक गिरावट,चालक में एक क्षैतिज रेखा,और परावैद्युत में कम ढलान के साथ रैखिक गिरावट दिखाता है। ग्राफ $B$ इस व्यवहार का सही प्रतिनिधित्व करता है।