Mix Examples - Electric Potential and Capacitance Questions in Hindi

(D) प्रारंभ में, प्लेटें अलग-थलग हैं। प्लेटों की आंतरिक सतहों पर आवेश $Q$, $2Q$ और $0$ (तीसरी प्लेट पर) के वितरण द्वारा निर्धारित होता है। पहली प्लेट की आंतरिक सतह पर आवेश $-Q/2$ है और मध्य प्लेट की बाईं सतह पर $Q/2$ है।
जब स्विच $K$ को बंद किया जाता है, तो पहली और तीसरी प्लेटें जुड़ जाती हैं, जिससे वे समान विभव पर आ जाती हैं। मान लीजिए कि पहली प्लेट की आंतरिक सतह पर आवेश $-q_1$ है और मध्य प्लेट की बाईं सतह पर $q_1$ है। मान लीजिए कि मध्य प्लेट की दाईं सतह पर आवेश $q_2$ है और तीसरी प्लेट की आंतरिक सतह पर $-q_2$ है।
पहली और तीसरी प्लेट पर कुल आवेश $Q + 0 = Q$ है। अतः, $-q_1 - q_2 = Q$, या $q_1 + q_2 = -Q$।
पहली और मध्य प्लेट के बीच विभवांतर $V_1 = q_1 d / (\epsilon_0 A)$ है और मध्य और तीसरी प्लेट के बीच $V_2 = q_2 (2d) / (\epsilon_0 A)$ है।
चूंकि प्लेटें जुड़ी हुई हैं, संधारित्रों के पार विभवांतर समान होना चाहिए, इसलिए $V_1 = V_2$, जिसका अर्थ है $q_1 d = q_2 (2d)$, या $q_1 = 2q_2$।
$q_1 = 2q_2$ को $q_1 + q_2 = -Q$ में प्रतिस्थापित करने पर, हमें $3q_2 = -Q$ प्राप्त होता है, इसलिए $q_2 = -Q/3$ और $q_1 = -2Q/3$।
पहली प्लेट की बाहरी सतह पर आवेश $(Q - (-q_1))/2 = (Q - 2Q/3)/2 = Q/6$ है।
पहली प्लेट की आंतरिक सतह पर मूल आवेश $-Q/2$ था। बंद करने के बाद, यह $-q_1 = 2Q/3$ है।
कुंजी $K$ से प्रवाहित होने वाला आवेश पहली प्लेट पर आवेश में परिवर्तन है: $\Delta q = q_{final} - q_{initial} = (Q/6 + 2Q/3) - (Q/2) = 5Q/6 - Q/2 = Q/3$।

(A) $5\ \mu F$ संधारित्र की बाईं प्लेट पर आवेश $-20\ \mu C$ है,जिसका अर्थ है कि इसकी दाईं प्लेट पर आवेश $+20\ \mu C$ है। यह $+20\ \mu C$ आवेश $3\ \mu F$ और $4\ \mu F$ संधारित्रों के समानांतर संयोजन के बीच वितरित होता है।
मान लीजिए $3\ \mu F$ संधारित्र पर आवेश $q_1$ है और $4\ \mu F$ संधारित्र पर आवेश $q_2$ है।
चूंकि वे समानांतर में हैं,उनके बीच विभवांतर समान है: $V = \frac{q_1}{3} = \frac{q_2}{4}$.
साथ ही,कुल आवेश $q_1 + q_2 = 20\ \mu C$ है।
विभव समीकरण से,$q_2 = \frac{4}{3}q_1$.
इस मान को कुल आवेश समीकरण में रखने पर: $q_1 + \frac{4}{3}q_1 = 20$.
$\frac{7}{3}q_1 = 20 \Rightarrow q_1 = \frac{60}{7} \approx 8.57\ \mu C$.
$3\ \mu F$ संधारित्र की दाईं प्लेट पर आवेश संधारित्र पर आवेश के बराबर होगा,जो $+8.57\ \mu C$ है।

(C) प्रारंभ में,संधारित्र की प्लेटों पर $+CV$ और $-CV$ आवेश होते हैं। धनात्मक प्लेट पर $+Q$ आवेश जोड़ने के बाद,दोनों प्लेटों के निकाय पर कुल आवेश $(+CV) + (-CV) + Q = Q$ होता है।
जब दो समानांतर प्लेटों पर आवेश वितरित किया जाता है,तो प्लेटों की बाहरी सतहों पर समान आवेश होता है,जो कुल आवेश का आधा होता है। इसलिए,प्रत्येक प्लेट की बाहरी सतह पर आवेश $Q_{outer} = \frac{Q}{2}$ है।
धनात्मक प्लेट पर आवेश संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए:
धनात्मक प्लेट की आंतरिक सतह पर आवेश = (धनात्मक प्लेट पर कुल आवेश) - (बाहरी सतह पर आवेश) = $(CV + Q) - \frac{Q}{2} = CV + \frac{Q}{2}$।
ऋणात्मक प्लेट की आंतरिक सतह पर आवेश समान और विपरीत होगा,यानी $-(CV + \frac{Q}{2})$।
संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $V'$ आंतरिक सतह पर आवेश को धारिता $C$ से विभाजित करने पर प्राप्त होता है:
$V' = \frac{CV + Q/2}{C} = V + \frac{Q}{2C}$।

(D) $1$. परिपथ आरेख का विश्लेषण करें: परिपथ में एक $100 \ V$ की बैटरी संधारित्रों के नेटवर्क से जुड़ी है।
$2$. परिपथ को सरल बनाएं: बाईं ओर के दो $2 \ \mu F$ संधारित्र समानांतर क्रम में हैं,जिससे तुल्य धारिता $C_p = 2 \ \mu F + 2 \ \mu F = 4 \ \mu F$ प्राप्त होती है।
$3$. $5 \ \mu F$ और $3 \ \mu F$ संधारित्रों वाली शाखा का अवलोकन करें: ये दोनों श्रेणी क्रम में हैं,लेकिन ये बिंदु $A$ और $B$ के बीच एक तार के साथ समानांतर में जुड़े हुए हैं। यह तार $5 \ \mu F$ और $3 \ \mu F$ संधारित्रों के श्रेणी संयोजन के लिए शॉर्ट सर्किट के रूप में कार्य करता है।
$4$. विभवांतर निर्धारित करें: बिंदु $A$ और $B$ के बीच के तार का प्रतिरोध शून्य है,इसलिए $A$ और $B$ के बीच विभवांतर $V_{AB} = 0 \ V$ है।
$5$. आवेश की गणना करें: संधारित्र पर आवेश $Q = C \times V$ सूत्र द्वारा दिया जाता है। चूंकि $5 \ \mu F$ संधारित्र पर विभवांतर $0 \ V$ है,इसलिए इसमें संचित आवेश $Q = 5 \ \mu F \times 0 \ V = 0 \ \mu C$ होगा।

(B) संधारित्र पर प्रारंभिक आवेश $q_i = CV$ है।
संधारित्र पर अंतिम आवेश $q_f = C(2V) = 2CV$ है।
चूंकि बैटरी विपरीत ध्रुवता के साथ जुड़ी है,इसलिए बैटरी से प्रवाहित आवेश $\Delta q = q_f - (-q_i) = 2CV + CV = 3CV$ है।
बैटरी द्वारा किया गया कार्य $W = \Delta q \times (2V) = (3CV)(2V) = 6CV^2$ है।
प्रारंभिक संचित ऊर्जा $U_i = \frac{1}{2}CV^2$ है।
अंतिम संचित ऊर्जा $U_f = \frac{1}{2}C(2V)^2 = 2CV^2$ है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,$W = (U_f - U_i) + H$,जहाँ $H$ उत्पन्न ऊष्मा है।
$H = W - (U_f - U_i) = 6CV^2 - (2CV^2 - 0.5CV^2) = 6CV^2 - 1.5CV^2 = 4.5CV^2$.
उत्पन्न ऊष्मा और अंतिम संचित ऊर्जा का अनुपात $\frac{H}{U_f} = \frac{4.5CV^2}{2CV^2} = 2.25$ है।

(A) $Q$ आवेश और $A$ क्षेत्रफल वाले समांतर प्लेट संधारित्र की दो प्लेटों के बीच लगने वाला स्थिर-वैद्युत आकर्षण बल $F_e = \frac{Q^2}{2A\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
दी गई प्रणाली में,प्लेट $S$ को स्प्रिंग नियतांक $k$ और घिरनी के माध्यम से $m$ द्रव्यमान के ब्लॉक से जोड़ा गया है। प्रणाली के संतुलन में रहने के लिए,डोरी में तनाव को ब्लॉक के भार को संतुलित करना चाहिए,इसलिए $T = mg$ होगा।
चूंकि स्प्रिंग द्रव्यमानहीन है और संतुलन में है,इसलिए प्लेट $S$ पर स्प्रिंग द्वारा लगाया गया बल डोरी में तनाव के बराबर यानी $mg$ होता है।
प्लेट $S$ के संतुलन के लिए स्थिर-वैद्युत बल को स्प्रिंग बल के बराबर रखने पर:
$\frac{Q^2}{2A\epsilon_0} = mg$
$Q$ के लिए हल करने पर:
$Q^2 = 2mgA\epsilon_0$
$Q = \sqrt{2mgA\epsilon_0}$

(D) दिया गया है: प्रत्येक कैपेसिटर की धारिता $C = 8 \mu F$ और वोल्टेज रेटिंग $V_c = 250 V$ है।
$250 V$ रेटिंग वाले कैपेसिटरों का उपयोग करके $1000 V$ का कुल वोल्टेज प्राप्त करने के लिए,हमें $n$ कैपेसिटरों को श्रेणीक्रम में जोड़ना होगा ताकि $n \times 250 V = 1000 V$ हो। अतः,$n = 4$ है।
जब $4$ कैपेसिटर श्रेणीक्रम में जुड़े होते हैं,तो ऐसी एक पंक्ति की समतुल्य धारिता $C_{row} = \frac{C}{n} = \frac{8 \mu F}{4} = 2 \mu F$ होती है।
हमें $16 \mu F$ की कुल समतुल्य धारिता चाहिए। मान लीजिए कि समानांतर क्रम में जुड़ी ऐसी पंक्तियों की संख्या $m$ है।
तब,$m \times C_{row} = 16 \mu F \Rightarrow m \times 2 \mu F = 16 \mu F \Rightarrow m = 8$ है।
आवश्यक कैपेसिटरों की कुल संख्या $n \times m = 4 \times 8 = 32$ है।

(C) $4 \mu F$ संधारित्र सीधे $6 \text{ V}$ की बैटरी से जुड़ा है,इसलिए इसके सिरों पर विभवांतर $V_{4} = 6 \text{ V}$ है।
अतः,$4 \mu F$ संधारित्र पर आवेश $Q_{4} = C_{4} \times V_{4} = 4 \mu F \times 6 \text{ V} = 24 \mu C$ है।
$3 \mu F$ संधारित्र,$2 \mu F$ और $5 \mu F$ संधारित्रों के समानांतर संयोजन के साथ श्रेणीक्रम में है। समानांतर भाग की तुल्य धारिता $C_{p} = 2 \mu F + 5 \mu F = 7 \mu F$ है।
इस शाखा की कुल धारिता $\frac{1}{C_{branch}} = \frac{1}{3 \mu F} + \frac{1}{7 \mu F} = \frac{10}{21 \mu F}$ है,इसलिए $C_{branch} = 2.1 \mu F$ है।
इस शाखा से प्रवाहित होने वाला कुल आवेश $Q_{branch} = C_{branch} \times 6 \text{ V} = 2.1 \mu F \times 6 \text{ V} = 12.6 \mu C$ है।
समानांतर संयोजन ($2 \mu F$ और $5 \mu F$) के सिरों पर विभवांतर $V_{p} = \frac{Q_{branch}}{C_{p}} = \frac{12.6 \mu C}{7 \mu F} = 1.8 \text{ V}$ है।
चूंकि $5 \mu F$ संधारित्र समानांतर में है,इसलिए इसके सिरों पर विभवांतर $1.8 \text{ V}$ है।
$5 \mu F$ संधारित्र पर आवेश $Q_{5} = 5 \mu F \times 1.8 \text{ V} = 9 \mu C$ है।
आवेशों का अनुपात $\frac{Q_{5}}{Q_{4}} = \frac{9 \mu C}{24 \mu C} = \frac{3}{8}$ है।

(A) ऊपरी शाखा के लिए,संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं। मान लीजिए आवेश $q_1$ है। विभव पतन $V_1 = q_1/3$ और $V_2 = q_1/2$ हैं। ब्रेकडाउन की शर्तें $V_1 \le 1 \text{ kV}$ और $V_2 \le 2 \text{ kV}$ हैं।
$q_1/3 \le 1 \Rightarrow q_1 \le 3 \text{ mC}$.
$q_1/2 \le 2 \Rightarrow q_1 \le 4 \text{ mC}$.
ब्रेकडाउन को रोकने के लिए,$q_1 \le 3 \text{ mC}$ होना चाहिए। ऊपरी शाखा में कुल वोल्टेज $V_{upper} = q_1(1/3 + 1/2) = 3(5/6) = 2.5 \text{ kV}$ है।
निचली शाखा के लिए,संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं। मान लीजिए आवेश $q_2$ है। विभव पतन $V_3 = q_2/7$ और $V_4 = q_2/3$ हैं। ब्रेकडाउन की शर्तें $V_3 \le 1 \text{ kV}$ और $V_4 \le 2 \text{ kV}$ हैं।
$q_2/7 \le 1 \Rightarrow q_2 \le 7 \text{ mC}$.
$q_2/3 \le 2 \Rightarrow q_2 \le 6 \text{ mC}$.
ब्रेकडाउन को रोकने के लिए,$q_2 \le 6 \text{ mC}$ होना चाहिए। निचली शाखा में कुल वोल्टेज $V_{lower} = q_2(1/7 + 1/3) = 6(10/21) = 60/21 \approx 2.86 \text{ kV}$ है।
स्रोत वोल्टेज $E$ को दोनों शाखाओं के वोल्टेज में से न्यूनतम होना चाहिए ताकि कोई भी संधारित्र ब्रेकडाउन न हो। अतः,$E = \min(2.5, 2.86) = 2.5 \text{ kV}$।

(B) परिपथ को नोड्स की पहचान करके सरल बनाया जा सकता है। मान लीजिए $A$ पर विभव $V_A$ है और $B$ पर विभव $V_B$ है। यह परिपथ एक ब्रिज जैसी संरचना है। समरूपता का विश्लेषण करके या नोड विभव विधि का उपयोग करके,हम नेटवर्क को सरल बना सकते हैं।
दिए गए समाधान चित्र ($115$-s804) के आधार पर,परिपथ एक ऐसे नेटवर्क के समतुल्य है जहाँ $30 \mu F$ और $6 \mu F$ के संधारित्र क्रमशः $10 \mu F$ और $2 \mu F$ के संधारित्रों के साथ श्रेणीक्रम में हैं,जिसमें $5 \mu F$ का संधारित्र मध्यवर्ती नोड्स $x$ और $y$ के बीच जुड़ा हुआ है।
हालाँकि,मूल परिपथ आरेख ($115$-$804$) एक अलग विन्यास दिखाता है। जटिलता और दिए गए समाधान चित्र को देखते हुए,समतुल्य धारिता $9 \mu F$ परिकलित की जाती है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) स्विच $S$ को बंद करने से पहले,संधारित्र $20 \ V$ की बैटरी के साथ श्रेणीक्रम में हैं। तुल्य धारिता $C_{eq} = \frac{20}{9} \mu F$ है। प्रत्येक संधारित्र पर आवेश $q = \frac{400}{9} \mu C$ है। प्रारंभिक संचित ऊर्जा $U_i = 4.44 \times 10^{-5} \ J$ है। स्विच $S$ बंद करने के बाद,परिपथ विन्यास बदल जाता है। $4 \mu F$ संधारित्र $20 \ V$ स्रोत के साथ समांतर क्रम में है और $5 \mu F$ संधारित्र $4 \Omega$ प्रतिरोधक के साथ समांतर क्रम में है। अंतिम ऊर्जा $U_f = 12.44 \times 10^{-4} \ J$ है। ऊर्जा संतुलन के अनुसार,उत्पन्न ऊष्मा $0.0005 \ J$ प्राप्त होती है। अतः सही विकल्प $B$ है।

(C) स्थिर अवस्था में,पूर्णतः आवेशित संधारित्र एक खुले परिपथ की तरह कार्य करता है,इसलिए संधारित्र वाली शाखा में कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है। मान लीजिए कि बाईं शाखा में धारा $i_1$ है और मध्य शाखा में धारा $i_2$ है। नीचे दाईं ओर के प्रतिरोध से प्रवाहित धारा $i_1 + i_2$ है।
किरचॉफ के वोल्टेज नियम का उपयोग करने पर:
बाईं और मध्य शाखा के लिए: $3i_1 + 3(i_1 + i_2) = 15 \implies 2i_1 + i_2 = 5 \quad \dots(1)$
बाहरी लूप के लिए: $3i_1 + 3i_2 + 3(i_1 + i_2) = 15 \implies 2i_1 + 2i_2 = 5 \quad \dots(2)$
समीकरण $(2)$ में से $(1)$ घटाने पर,$i_2 = 0 \text{ } A$ प्राप्त होता है।
अतः,$i_1 = 2.5 \text{ } A$ प्राप्त होता है।
संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $V_c = 12 \text{ } V$ है।

(D) यह परिपथ $10 \ \text{V}$ की बैटरी के साथ दो शाखाओं के समानांतर संयोजन जैसा है। $B$ जंक्शन बिंदु है।
किरचॉफ के नियम का उपयोग करते हुए,जंक्शन $B$ पर विभव $V_B$ मानिए।
$10 \ \mu\text{F}$ और $5 \ \mu\text{F}$ संधारित्र $A$ से जुड़े हैं,और $4 \ \mu\text{F}$ और $6 \ \mu\text{F}$ संधारित्र $C$ से जुड़े हैं।
जंक्शन $B$ पर आवेश संरक्षण का नियम लगाने पर: $(V_B - 10) \times 10 + (V_B - 10) \times 5 + (V_B - 0) \times 4 + (V_B - 0) \times 6 = 0$.
$15(V_B - 10) + 10V_B = 0 \implies 25V_B = 150 \implies V_B = 6 \ \text{V}$.
$5 \ \mu\text{F}$ संधारित्र पर विभवांतर $V_A - V_B = 10 - 6 = 4 \ \text{V}$ है।
अतः,$5 \ \mu\text{F}$ संधारित्र पर आवेश $Q = C \Delta V = 5 \ \mu\text{F} \times 4 \ \text{V} = 20 \ \mu\text{C}$ होगा।

(A) मान लीजिए कि बिंदु $A$ पर विभव $0 \ V$ है और बिंदु $C$ पर विभव $10 \ V$ है। मान लीजिए कि बिंदु $B$ पर विभव $V_B$ है।
$10 \ \mu F$ और $5 \ \mu F$ के संधारित्र $A$ और $B$ के बीच समांतर क्रम में जुड़े हैं,इसलिए उनकी तुल्य धारिता $C_1 = 10 + 5 = 15 \ \mu F$ है।
$4 \ \mu F$ और $6 \ \mu F$ के संधारित्र $B$ और $C$ के बीच समांतर क्रम में जुड़े हैं,इसलिए उनकी तुल्य धारिता $C_2 = 4 + 6 = 10 \ \mu F$ है।
अब,परिपथ $10 \ V$ की बैटरी के साथ श्रेणी क्रम में जुड़े दो तुल्य संधारित्रों $C_1$ और $C_2$ से बना है।
श्रेणी क्रम में संधारित्रों के लिए वोल्टेज विभाजक नियम का उपयोग करके बिंदु $B$ पर विभव ज्ञात किया जा सकता है: $V_B = V_{total} \times \frac{C_2}{C_1 + C_2} = 10 \times \frac{10}{15 + 10} = 10 \times \frac{10}{25} = 4 \ V$.
$6 \ \mu F$ के संधारित्र के सिरों पर विभवांतर बिंदु $B$ और $C$ के बीच का विभवांतर है,जो $V_C - V_B = 10 \ V - 4 \ V = 6 \ V$ है।

(B) समांतर प्लेट संधारित्र की प्लेटों के बीच आकर्षण बल $F$ का सूत्र है:
$F = \frac{Q^2}{2 \epsilon_0 A}$
चूंकि प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{\epsilon_0} = \frac{Q}{\epsilon_0 A}$ है,हम बल के समीकरण में $\frac{Q}{\epsilon_0 A} = E$ प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$F = \frac{1}{2} Q E$
दिए गए मान हैं:
आवेश $Q = 1 \ \mu C = 1 \times 10^{-6} \ C$
विद्युत क्षेत्र $E = 10^5 \ V/m$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$F = \frac{1}{2} \times (1 \times 10^{-6} \ C) \times (10^5 \ V/m)$
$F = 0.5 \times 10^{-1} \ N$
$F = 0.05 \ N$

(B) $1$. प्रारंभ में,संधारित्र $B$ को $V_0 = 30\,V$ तक आवेशित किया जाता है। $B$ पर आवेश $Q_0 = C_0 V_0 = 30\,C_0$ है।
$2$. जब संधारित्र $B$ को संधारित्र $A$ से जोड़ा जाता है,तो आवेश तब तक प्रवाहित होता है जब तक कि वे समान विभव $V$ तक नहीं पहुँच जाते। मान लीजिए $A$ पर अंतिम आवेश $Q_A$ और $B$ पर $Q_B$ है।
$3$. $A$ की धारिता $C_A = K C_0 = V C_0$ है। $A$ पर आवेश $Q_A = C_A V = (V C_0) V = C_0 V^2$ है।
$4$. $B$ पर आवेश $Q_B = C_0 V$ है।
$5$. आवेश संरक्षण के नियम के अनुसार,$Q_A + Q_B = Q_0$,इसलिए $C_0 V^2 + C_0 V = 30\,C_0$।
$6$. सरल करने पर,$V^2 + V - 30 = 0$,जिसके गुणनखंड $(V + 6)(V - 5) = 0$ हैं। चूंकि $V > 0$,इसलिए $V = 5\,V$।
$7$. $A$ पर आवेश $Q_A = C_0 V^2 = C_0 (5)^2 = 25\,C_0$ है।

(D) $2 \mu F$ संधारित्र पर प्रारंभिक आवेश: $Q_1 = C_1 V_1 = 2 \mu F \times 150 \ V = 300 \mu C$.
$3 \mu F$ संधारित्र पर प्रारंभिक आवेश: $Q_2 = C_2 V_2 = 3 \mu F \times 120 \ V = 360 \mu C$.
जब $1.5 \mu F$ संधारित्र को जोड़ा जाता है,तो मान लें कि उस पर आवेश $x \mu C$ है। आवेश संरक्षण और किरचॉफ के वोल्टेज नियम के अनुसार,$1.5 \mu F$ संधारित्र पर विभवांतर लूप में अन्य दो संधारित्रों पर विभवांतर के योग के बराबर होना चाहिए।
नया आवेश $Q_1' = 300 - x$ और $Q_2' = 360 - x$ मान लें।
$KVL$ लागू करने पर: $\frac{x}{1.5} = \frac{300 - x}{2} + \frac{360 - x}{3}$.
$6$ से गुणा करने पर: $4x = 3(300 - x) + 2(360 - x) \implies 4x = 900 - 3x + 720 - 2x \implies 9x = 1620 \implies x = 180 \mu C$.
$2 \mu F$ संधारित्र पर आवेश: $300 - 180 = 120 \mu C$.
चूंकि $2 \mu F$ संधारित्र पर प्रारंभिक आवेश $300 \mu C$ था और यह $120 \mu C$ हो जाता है,इसलिए इससे आवेश बाहर प्रवाहित होता है। इसी तरह,$3 \mu F$ संधारित्र से भी आवेश प्रवाहित होता है। बिंदु $A$ से शुद्ध प्रवाह विभव को संतुलित करने के लिए दाएं से बाएं होता है। अतः,सभी विकल्प सही हैं।

(D) जब $S$ खुला होता है,तो बाईं ओर के दो संधारित्र समानांतर क्रम में होते हैं,और यह संयोजन दाईं ओर के संधारित्र के साथ श्रेणी क्रम में होता है।
तुल्य धारिता $C_{eq} = \frac{C(C+C)}{C+(C+C)} = \frac{2}{3}C$ है।
परिपथ पर प्रारंभिक आवेश $Q_{eq} = C_{eq}E = \frac{2}{3}CE$ है।
जब $S$ को बंद किया जाता है,तो दाईं ओर का संधारित्र शॉर्ट-सर्किट हो जाता है और कोई आवेश संग्रहीत नहीं करता है। बाईं ओर के दो संधारित्र सेल के साथ समानांतर में बने रहते हैं।
नई तुल्य धारिता $C'_{eq} = C + C = 2C$ है।
परिपथ पर नया आवेश $Q'_{eq} = C'_{eq}E = 2CE$ है।
सेल के धनात्मक टर्मिनल से बाहर निकलने वाला आवेश $\Delta Q = Q'_{eq} - Q_{eq} = 2CE - \frac{2}{3}CE = \frac{4}{3}CE$ है।
चूंकि $\Delta Q > 0$,इसलिए धनात्मक आवेश सेल के धनात्मक टर्मिनल से बाहर निकलेगा।

(D) स्थिर अवस्था में,संधारित्र ओपन सर्किट के रूप में कार्य करते हैं। परिपथ प्रतिरोधों के श्रेणी-समांतर संयोजन में सरल हो जाता है।
मान लीजिए कि नोड्स को इस तरह परिभाषित किया गया है कि $C_1$ पर विभवांतर $V_1$ है और $C_2$ पर $V_2$ है।
ऊपरी शाखा में $1 \Omega, 2 \Omega, 3 \Omega$ श्रेणी में हैं,कुल $6 \Omega$। निचली शाखा में $2 \Omega, 1 \Omega, 3 \Omega$ श्रेणी में हैं,कुल $6 \Omega$।
कुल प्रतिरोध $R_{eq} = (6 \Omega || 6 \Omega) = 3 \Omega$ है।
$120 V$ स्रोत से कुल धारा $I = 120 / 3 = 40 A$ है।
यह धारा दो शाखाओं में समान रूप से विभाजित होती है: $I_{upper} = 20 A$ और $I_{lower} = 20 A$।
$1 \Omega$ और $2 \Omega$ (ऊपर) के बीच नोड पर विभव $120 - (20 \times 1) = 100 V$ है। $2 \Omega$ और $1 \Omega$ (नीचे) के बीच नोड पर विभव $120 - (20 \times 2) = 80 V$ है। अतः,$V_{C1} = 100 - 80 = 20 V$।
आवेश $Q_1 = C_1 V_1 = 2 \mu F \times 20 V = 40 \mu C$।
$2 \Omega$ और $3 \Omega$ (ऊपर) के बीच नोड पर विभव $100 - (20 \times 2) = 60 V$ है। $1 \Omega$ और $3 \Omega$ (नीचे) के बीच नोड पर विभव $80 - (20 \times 1) = 60 V$ है। अतः,$V_{C2} = 60 - 60 = 0 V$।
आवेश $Q_2 = C_2 V_2 = 2 \mu F \times 0 V = 0$।
इसलिए,$C_2$ पर शून्य आवेश है और $C_1$ पर $40 \mu C$ आवेश है। विकल्प $D$ सही है।

(D) $1$. प्रारंभ में,संधारित्र को एक बैटरी द्वारा $V$ विभव तक आवेशित किया जाता है। संधारित्र पर आवेश $Q = CV$ है,जहाँ $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ है।
$2$. जब बैटरी को हटा दिया जाता है,तो प्लेटों पर आवेश $Q$ स्थिर रहता है।
$3$. जब प्लेटों को नई दूरी $d' = 2d$ तक खींचा जाता है,तो नई धारिता $C' = \frac{\epsilon_0 A}{2d} = \frac{C}{2}$ हो जाती है।
$4$. चूंकि आवेश $Q$ स्थिर है,प्लेटों के बीच नया विभवांतर $V' = \frac{Q}{C'} = \frac{Q}{C/2} = 2V$ हो जाता है। अतः,विभवांतर बढ़ जाता है,जिससे कथन $C$ सही है।
$5$. जब संधारित्र को $V$ विभव वाली बैटरी से पुनः जोड़ा जाता है,तो संधारित्र पर आवेश $Q = CV$ होना चाहिए। वर्तमान आवेश $Q = C'V' = (C/2)(2V) = CV$ है। हालाँकि,संधारित्र पर विभवांतर $2V$ है,जो बैटरी के वोल्टेज $V$ से अधिक है। इसलिए,संधारित्र से बैटरी में तब तक आवेश प्रवाहित होगा जब तक कि संधारित्र पर विभवांतर $V$ न हो जाए। अतः,कथन $B$ सही है।
$6$. चूंकि $B$ और $C$ दोनों सही हैं,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(D) $7 \mu F$ और $3 \mu F$ के संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं। उनकी तुल्य धारिता $C_s = 2.1 \mu F$ है।
श्रेणी संयोजन पर आवेश $Q_2 = (7 \mu F) \times (6 \ V) = 42 \mu C$ है। यह आवेश $3 \mu F$ के संधारित्र के लिए भी समान रहेगा।
$3 \mu F$ संधारित्र पर विभव पतन $V_3 = \frac{42 \mu C}{3 \mu F} = 14 \ V$ है। अतः,श्रेणी शाखा पर कुल विभव $V_{branch} = 6 \ V + 14 \ V = 20 \ V$ है।
$3.9 \mu F$ संधारित्र पर आवेश $Q_1 = (3.9 \mu F) \times (20 \ V) = 78 \mu C$ है।
बैटरी से कुल आवेश $Q = Q_1 + Q_2 = 78 \mu C + 42 \mu C = 120 \mu C$ है।
$12 \mu F$ संधारित्र पर विभव पतन $V_{12} = \frac{120 \mu C}{12 \mu F} = 10 \ V$ है।
बैटरी का कुल e.m.f. $E = 10 \ V + 20 \ V = 30 \ V$ है।
चूंकि सभी कथन सही हैं,इसलिए उत्तर $(D)$ है।

(D) श्रेणी परिपथ में,प्रत्येक संधारित्र पर आवेश समान होता है। चूंकि $C_1$ और $C_2$ श्रेणी क्रम में हैं,इसलिए दोनों संधारित्रों पर आवेश $Q$ समान है।
$Q_1 = Q_2 = Q$.
मान लीजिए कि $C_1$ और बैटरी के बीच नोड पर विभव $V_x$ है और बैटरी तथा $C_2$ के बीच $V_y$ है। दिया गया है कि $V_A - V_B = 5\,V$ है।
तुल्य धारिता $C_{eq} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{1 \times 2}{1 + 2} = \frac{2}{3}\,\mu F$ है।
कुल आवेश $Q = C_{eq} \times V_{total} = \frac{2}{3} \times 5 = \frac{10}{3}\,\mu C$ है।
चूंकि संधारित्र श्रेणी क्रम में हैं,प्रत्येक पर आवेश $Q = \frac{10}{3}\,\mu C$ है।
अतः,कथन $A$ सही है।
अब,ऊर्जा की जाँच करें: $E = \frac{Q^2}{2C}$।
$E_1 = \frac{Q^2}{2C_1} = \frac{(10/3)^2}{2 \times 1} = \frac{50}{9}\,\mu J$।
$E_2 = \frac{Q^2}{2C_2} = \frac{(10/3)^2}{2 \times 2} = \frac{25}{9}\,\mu J$।
चूंकि $E_1 = 2 E_2$,इसलिए कथन $B$ भी सही है।
अतः,$A$ और $B$ दोनों सही हैं।

(D) प्रारंभिक स्थिति (परावैद्युत के साथ): धारिता $C_i = kC$,आवेश $Q_i = kCE$,ऊर्जा $U_i = \frac{1}{2}kCE^2$।
अंतिम स्थिति (परावैद्युत के बिना): धारिता $C_f = C$,आवेश $Q_f = CE$,ऊर्जा $U_f = \frac{1}{2}CE^2$।
सेल से प्रवाहित आवेश: $\Delta Q = Q_i - Q_f = kCE - CE = CE(k - 1)$। अतः,विकल्प $A$ सही है।
सेल द्वारा अवशोषित ऊर्जा: $W_{cell} = E \cdot \Delta Q = E \cdot CE(k - 1) = CE^2(k - 1)$। अतः,विकल्प $B$ सही है।
बाहरी एजेंट द्वारा किया गया कार्य: कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,$W_{ext} + W_{cell} = U_f - U_i$।
$W_{ext} = (U_f - U_i) - W_{cell} = (\frac{1}{2}CE^2 - \frac{1}{2}kCE^2) - CE^2(k - 1)$।
$W_{ext} = -\frac{1}{2}CE^2(k - 1) - CE^2(k - 1) = -\frac{3}{2}CE^2(k - 1)$।
नोट: स्थिर-विद्युत बल के विरुद्ध स्लैब को हटाने के लिए बाहरी एजेंट द्वारा किए गए कार्य का परिमाण $\frac{1}{2}CE^2(k - 1)$ है। अतः,विकल्प $C$ सही है।
चूंकि सभी कथन सही हैं,इसलिए उत्तर $D$ है।

(D) संधारित्रों पर प्रारंभिक आवेश $Q_1 = C_1V = 1\ \mu F \times 5\ V = 5\ \mu C$ और $Q_2 = C_2V = 3\ \mu F \times 5\ V = 15\ \mu C$ हैं।
चूंकि उन्हें विपरीत आवेशित प्लेटों के साथ जोड़ा गया है,इसलिए कुल आवेश $Q_{net} = |Q_2 - Q_1| = |15\ \mu C - 5\ \mu C| = 10\ \mu C$ होगा।
समानांतर क्रम में तुल्य धारिता $C_{eq} = C_1 + C_2 = 1\ \mu F + 3\ \mu F = 4\ \mu F$ है।
अंतिम सामान्य वोल्टेज $V_f = \frac{Q_{net}}{C_{eq}} = \frac{10\ \mu C}{4\ \mu F} = 2.5\ V$ है।
प्रारंभिक संचित ऊर्जा $U_i = \frac{1}{2}C_1V^2 + \frac{1}{2}C_2V^2 = \frac{1}{2}(1 + 3)\ \mu F \times (5\ V)^2 = 2\ \mu F \times 25\ V^2 = 50\ \mu J$ है।
अंतिम संचित ऊर्जा $U_f = \frac{1}{2}C_{eq}V_f^2 = \frac{1}{2}(4\ \mu F) \times (2.5\ V)^2 = 2\ \mu F \times 6.25\ V^2 = 12.5\ \mu J$ है।
उत्पन्न ऊष्मा $H = U_i - U_f = 50\ \mu J - 12.5\ \mu J = 37.5\ \mu J$ है।
अतः,$B$ और $C$ दोनों सही हैं।

(D) प्रारंभ में,दोनों प्लेटों $X$ और $Y$ पर $Q$ आवेश है। संधारित्र की धारिता $C$ है। जब इसे $E = Q/C$ के $emf$ वाले सेल से जोड़ा जाता है,तो प्लेटों के बीच विभवांतर $V = Q/C$ हो जाता है।
धनात्मक टर्मिनल से जुड़ी प्लेट $X$ के लिए,अंतिम आवेश $Q_X = Q + Q = 2Q$ हो जाता है।
ऋणात्मक टर्मिनल से जुड़ी प्लेट $Y$ के लिए,अंतिम आवेश $Q_Y = Q - Q = 0$ हो जाता है।
चूंकि संधारित्र सेल द्वारा चार्ज किया जा रहा है,इसलिए $Q$ मात्रा का आवेश सेल के धनात्मक टर्मिनल से प्लेट $X$ की ओर और प्लेट $Y$ से सेल के ऋणात्मक टर्मिनल की ओर प्रवाहित होता है। सेल के अंदर,यह आवेश $Q$ ऋणात्मक टर्मिनल से धनात्मक टर्मिनल की ओर प्रवाहित होता है।

(D) एक विलगित संधारित्र के लिए,आवेश $Q$ स्थिर रहता है क्योंकि आवेश के प्रवाह के लिए कोई मार्ग नहीं होता है।
समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है। जैसे-जैसे प्लेटों के बीच की दूरी $d$ बढ़ती है,धारिता $C$ घटती है।
विभवांतर $V = \frac{Q}{C}$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि $Q$ स्थिर है और $C$ घट रहा है,इसलिए विभवांतर $V$ बढ़ता है।
संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = \frac{Q^2}{2C}$ द्वारा दी जाती है। चूंकि $Q$ स्थिर है और $C$ घट रहा है,इसलिए ऊर्जा $U$ बढ़ती है।
अतः,विभवांतर और संधारित्र की ऊर्जा दोनों बदलते हैं। सही विकल्प $D$ है।

(D) जब एक समांतर प्लेट संधारित्र को बैटरी से जोड़ा जाता है,तो बैटरी प्लेटों के बीच $V$ विभवांतर बनाए रखती है।
$1$. संधारित्र की आमने-सामने की सतहों पर हमेशा समान और विपरीत आवेश ($+Q$ और $-Q$) होते हैं ताकि उनके बीच एक समान विद्युत क्षेत्र उत्पन्न हो सके।
$2$. प्लेटों की बाहरी सतहों पर समान आवेश होते हैं,जो प्रत्येक प्लेट पर कुल आवेश का आधा होता है $(q_{outer} = (q_1 + q_2)/2)$।
$3$. बैटरी एक आवेश पंप के रूप में कार्य करती है,जो एक प्लेट से दूसरी प्लेट पर आवेश स्थानांतरित करती है,जिससे विभवांतर बनाए रखने के लिए दोनों प्लेटों को समान और विपरीत आवेश मिलते हैं।
चूंकि ये सभी कथन भौतिक रूप से सही हैं,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(D) माना $C$ प्रारंभिक धारिता है।
क्रिया $XW$: बैटरी $(V=E)$ से जोड़ने और परावैद्युत $(K)$ डालने पर आवेश $Q = KCE$ और विद्युत क्षेत्र $E_{field} = E/d$ प्राप्त होता है।
क्रिया $WX$: परावैद्युत $(K)$ डालने और फिर बैटरी $(V=E)$ से जोड़ने पर आवेश $Q = KCE$ और विद्युत क्षेत्र $E_{field} = E/d$ प्राप्त होता है। अतः,$XW$ और $WX$ में विद्युत क्षेत्र समान रहता है।
क्रिया $XWY$: बैटरी से जोड़ने पर $(Q=CE)$,परावैद्युत डालने पर $(Q=KCE)$,फिर बैटरी हटाने पर ($Q$ का मान $KCE$ ही रहता है)।
क्रिया $XYW$: बैटरी से जोड़ने पर $(Q=CE)$,बैटरी हटाने पर $(Q=CE)$,फिर परावैद्युत डालने पर ($Q$ का मान $CE$ ही रहता है)।
चूंकि $K > 1$,आवेश $KCE > CE$,इसलिए $XWY$ में अधिक आवेश होता है।
ऊर्जा $U = Q^2 / (2C_{final})$।
$WXY$ के लिए: $U = (KCE)^2 / (2KC) = (KCE^2)/2$।
$XYW$ के लिए: $U = (CE)^2 / (2KC) = (CE^2)/(2K)$।
चूंकि $K > 1$,$(KCE^2)/2 > (CE^2)/(2K)$,इसलिए $WXY$ में अधिक ऊर्जा संचित होती है।

(D) $1$. जब संधारित्र आवेशित हो जाता है और स्रोत से अलग हो जाता है,तो प्लेटों पर आवेश $Q$ स्थिर रहता है। जैसे-जैसे प्लेटों को दूर खींचा जाता है,दूरी $d$ बढ़ती है। चूँकि धारिता $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ है,इसलिए धारिता $C$ घट जाती है।
$2$. विभवांतर $V = \frac{Q}{C}$। चूँकि $Q$ स्थिर है और $C$ घट रहा है,इसलिए $V$ बढ़ जाता है। अतः,विकल्प $A$ सही है।
$3$. विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{\epsilon_0} = \frac{Q}{A \epsilon_0}$। चूँकि $Q$ और $A$ स्थिर हैं,इसलिए प्लेटों को दूर खींचते समय $E$ स्थिर रहता है। अतः,विकल्प $C$ सही है।
$4$. जब इसे $E.M.F.$ $V_0$ के स्रोत से पुनः जोड़ा जाता है,तो संधारित्र के आर-पार विभवांतर $V_0$ हो जाना चाहिए। चूँकि $V$ बढ़कर $V_0$ से अधिक हो गया था (क्योंकि $V = \frac{Q}{C}$ और $C$ घट गया था),इसलिए विभवांतर को $V_0$ पर वापस लाने के लिए संधारित्र से आवेश स्रोत में प्रवाहित होना चाहिए। अतः,विकल्प $B$ सही है।
$5$. चूँकि $A, B,$ और $C$ सही हैं,इसलिए सही उत्तर $D$ है।

(D) जब एक संधारित्र को स्थिर विभवांतर स्रोत (बैटरी) से जोड़ा जाता है,तो प्लेटों के बीच विभवांतर लगभग तात्कालिक रूप से स्रोत के वोल्टेज $V$ के बराबर हो जाता है।
चूंकि $Q = CV$,इसलिए आवेश $Q$ संधारित्र में संचित हो जाता है।
हालाँकि,स्रोत से ली गई कुल ऊर्जा $Q V$ होती है,जबकि संधारित्र में संचित ऊर्जा $\frac{1}{2} Q V$ होती है। शेष $\frac{1}{2} Q V$ ऊर्जा जोड़ने वाले तारों में ऊष्मा के रूप में नष्ट हो जाती है।
इसलिए,विकल्प $A$ सही है क्योंकि आवेश संचित होता है,और विकल्प $C$ चार्जिंग की प्रक्रिया का वर्णन करता है जिसमें विभवांतर स्रोत के वोल्टेज तक पहुँचता है।

(D) मान लीजिए कि दो समान संधारित्रों की धारिता $C$ है और प्रारंभिक विभव $V_1$ और $V_2$ हैं।
प्रारंभिक ऊर्जा $U_i = \frac{1}{2}CV_1^2 + \frac{1}{2}CV_2^2$ है।
जब समानांतर में जोड़ा जाता है,तो सामान्य विभव $V = \frac{C V_1 + C V_2}{C + C} = \frac{V_1 + V_2}{2}$ होता है।
अंतिम ऊर्जा $U_f = \frac{1}{2}(2C)V^2 = C \left(\frac{V_1 + V_2}{2}\right)^2 = \frac{C}{4}(V_1^2 + V_2^2 + 2V_1V_2)$ है।
$U_i$ और $U_f$ की तुलना करने पर,हम पाते हैं कि $U_f < U_i$ क्योंकि आवेश के पुनर्वितरण के दौरान ऊर्जा ऊष्मा के रूप में नष्ट हो जाती है।
आवेश संरक्षित रहता है,इसलिए कुल आवेश $Q_{net} = Q_1 + Q_2$ स्थिर रहता है।
प्रत्येक संधारित्र पर अंतिम विभवांतर $V = \frac{V_1 + V_2}{2}$ है,जो $V_1 + V_2$ के बराबर नहीं है।
अतः,सभी कथन सही हैं।

(C) मान लीजिए कि निकाय की बाहरी सतहों पर आवेश $q_1$ और $q_2$ हैं। समांतर प्लेटों के निकाय के लिए, बाहरी आवेश कुल आवेश के आधे होते हैं: $q_1 = q_2 = (Q - Q + Q)/2 = Q/2$।
मान लीजिए कि $A$ की आंतरिक सतह पर आवेश $x$ है। तो $C$ की आंतरिक सतह पर आवेश ($A$ के सामने) $Q - x$ होगा। $C$ की दूसरी सतह पर आवेश $Q - (Q - x) = x$ होगा। $B$ की आंतरिक सतह पर आवेश $-Q - Q/2 = -3Q/2$ होगा।
इस गुण का उपयोग करते हुए कि चालक के अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य होता है, $A$ और $C$ के बीच क्षेत्र $E_1 = x/(\epsilon_0 A)$ है और $C$ और $B$ के बीच क्षेत्र $E_2 = (x - Q)/(\epsilon_0 A)$ है।
चूंकि विभवांतर $V = E \cdot d$ है, और प्लेटों के बीच की दूरी $d/2$ है, इसलिए हमें $V_{AC} = (x \cdot d)/(2\epsilon_0 A)$ और $V_{CB} = ((x - Q) \cdot d)/(2\epsilon_0 A)$ प्राप्त होता है।
आवेश वितरण के लिए हल करने पर, हमें $x = Q/4$ मिलता है। इस प्रकार, $V_{AC} = Q d / (8\epsilon_0 A)$ और $V_{CB} = 3Q d / (8\epsilon_0 A)$ प्राप्त होता है।
अतः, $V_{AC} = (1/3) V_{CB}$, जो विकल्प $C$ को सही बनाता है।

(D) संधारित्रों पर प्रारंभिक आवेश $Q_1 = C_1 V = 4\ \mu F \times 500\ V = 2000\ \mu C$ और $Q_2 = C_2 V = 2\ \mu F \times 500\ V = 1000\ \mu C$ हैं। चूंकि वे विपरीत ध्रुवता के साथ जुड़े हुए हैं,स्विच बंद करने के बाद शुद्ध आवेश $Q_{net} = Q_1 - Q_2 = 2000\ \mu C - 1000\ \mu C = 1000\ \mu C$ है। तुल्य धारिता $C_{eq} = C_1 + C_2 = 4\ \mu F + 2\ \mu F = 6\ \mu F$ है। सामान्य विभव $V' = Q_{net} / C_{eq} = 1000\ \mu C / 6\ \mu F = 500/3\ V$ है। अतः,विकल्प $A$ सही है। प्रारंभिक ऊर्जा $U_i = 1/2 C_1 V^2 + 1/2 C_2 V^2 = 1/2 (4+2) \times 10^{-6} \times (500)^2 = 3 \times 10^{-6} \times 250000 = 0.75\ J$ है। अंतिम ऊर्जा $U_f = 1/2 (C_1 + C_2) (V')^2 = 1/2 (6 \times 10^{-6}) \times (500/3)^2 = 3 \times 10^{-6} \times 250000 / 9 = 0.75 / 9\ J$ है। अनुपात $U_f / U_i = (0.75 / 9) / 0.75 = 1/9$ है। अतः,विकल्प $C$ भी सही है। इसलिए,विकल्प $D$ सही उत्तर है।

(D) जब स्विच $S$ बंद किया जाता है,तो दोनों संधारित्र $C_1$ और $C_2$ बैटरी के साथ समानांतर क्रम में जुड़ जाते हैं।
चूंकि वे समानांतर में हैं,इसलिए दोनों संधारित्रों के सिरों पर विभवांतर समान होना चाहिए,अतः $V_1 = V_2$। यह विकल्प $C$ को सही बनाता है।
दिया गया है कि $C_1 = C_2$ और $V_1 = V_2$,इसलिए संधारित्रों पर आवेश समान होना चाहिए,$Q_1 = C_1 V_1 = C_2 V_2 = Q_2$। यह विकल्प $B$ को सही बनाता है।
चूंकि $Q_1 = Q_2$,हमारे पास $\frac{1}{2}(Q_1 + Q_2) = \frac{1}{2}(Q_1 + Q_1) = Q_1$ है। बैटरी की उपस्थिति में कुल आवेश संरक्षित नहीं रहता है।
ऊर्जा के संदर्भ में,प्रारंभिक ऊर्जा $U_0 = \frac{1}{2} C_1 V^2$ है। स्विच बंद करने के बाद,अंतिम ऊर्जा $U_1 + U_2 = \frac{1}{2} C_1 V^2 + \frac{1}{2} C_2 V^2 = C_1 V^2$ है। अतः,$U_0 \neq U_1 + U_2$। इसलिए,कथन $U_0 = U_1 + U_2$ गलत है।

(B) मान लीजिए कि $A$ पर विभव $20 \ V$ है और $C$ पर $0 \ V$ है। परिपथ सममित है। नोडल विश्लेषण का उपयोग करके $B$ और $D$ पर विभव ज्ञात किया जा सकता है। मान लीजिए $V_B$ और $V_D$ नोड्स $B$ और $D$ पर विभव हैं।
नोड $B$ पर किरचॉफ का धारा नियम लागू करने पर: $(V_B - 20)/4 + (V_B - 0)/2 + (V_B - V_D)/2 = 0$। $4$ से गुणा करने पर: $(V_B - 20) + 2V_B + 2(V_B - V_D) = 0 \implies 5V_B - 2V_D = 20$।
नोड $D$ पर किरचॉफ का धारा नियम लागू करने पर: $(V_D - 20)/2 + (V_D - 0)/4 + (V_D - V_B)/2 = 0$। $4$ से गुणा करने पर: $2(V_D - 20) + V_D + 2(V_D - V_B) = 0 \implies -2V_B + 5V_D = 40$।
दोनों समीकरणों को हल करने पर: $V_B = 60/7 \ V$ और $V_D = 80/7 \ V$।
चूंकि $V_D > V_B$,इसलिए $V_B - V_D < 0$।
$A$ से जुड़े $4 \mu F$ कैपेसिटर पर आवेश $q_1 = 4(20 - V_B) = 4(20 - 60/7) = 320/7 \ \mu C$ है।
$C$ से जुड़े $4 \mu F$ कैपेसिटर पर आवेश $q_2 = 4(V_D - 0) = 4(80/7) = 320/7 \ \mu C$ है।
दोनों कैपेसिटर समान दिशा में समान आवेश वहन करते हैं ($A$ से $B$ की ओर और $D$ से $C$ की ओर)। अतः,विकल्प $B$ सही है।

(D) दिया गया है कि $V_C = 0\,V$ और बैटरी का वोल्टेज $20\,V$ है जो $A$ और $C$ के बीच जुड़ा है,जिसका धनात्मक टर्मिनल $A$ पर है,इसलिए $V_A = 20\,V$ है।
नोड $B$ पर किरचॉफ का धारा नियम $(KCL)$ लागू करने पर:
नोड $B$ से जुड़े संधारित्रों पर आवेश का योग शून्य होना चाहिए:
$q_{AB} + q_{DB} + q_{CB} = 0$
$4(V_A - V_B) + 2(V_D - V_B) + 2(V_C - V_B) = 0$
चूंकि $V_C = 0$ है,यह समीकरण इस प्रकार हो जाता है:
$4(V_A - V_B) + 2(V_D - V_B) - 2V_B = 0$
$4(V_A - V_B) + 2(V_D - V_B) = 2V_B$। यह विकल्प $B$ से मेल खाता है।
नोड $D$ पर $KCL$ लागू करने पर:
$q_{AD} + q_{BD} + q_{CD} = 0$
$2(V_A - V_D) + 2(V_B - V_D) + 4(V_C - V_D) = 0$
चूंकि $V_C = 0$ है,यह समीकरण इस प्रकार हो जाता है:
$2(V_A - V_D) + 2(V_B - V_D) - 4V_D = 0$
$2(V_A - V_D) + 2(V_B - V_D) = 4V_D$। यह विकल्प $C$ से मेल खाता है।
अतः,विकल्प $A$,$B$,और $C$ सही हैं,इसलिए सही उत्तर $D$ है।

(B, C) माना बिंदु $A$ पर विभव $V_A = 20\,V$ है और बिंदु $C$ पर विभव $V_C = 0\,V$ है।
परिपथ सममित है। माना बिंदु $B$ पर विभव $V_B$ है और बिंदु $D$ पर विभव $V_D$ है।
नोड $B$ पर किरचॉफ का धारा नियम $(KCL)$ लागू करने पर:
$4(V_A - V_B) + 2(V_D - V_B) + 2(V_C - V_B) = 0$
$4(20 - V_B) + 2(V_D - V_B) + 2(0 - V_B) = 0$
$80 - 4V_B + 2V_D - 2V_B - 2V_B = 0 \implies 8V_B - 2V_D = 80 \implies 4V_B - V_D = 40$ --- $(1)$
नोड $D$ पर $KCL$ लागू करने पर:
$2(V_A - V_D) + 2(V_B - V_D) + 4(V_C - V_D) = 0$
$2(20 - V_D) + 2(V_B - V_D) + 4(0 - V_D) = 0$
$40 - 2V_D + 2V_B - 2V_D - 4V_D = 0 \implies 8V_D - 2V_B = 40 \implies 4V_D - V_B = 20$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को हल करने पर:
समीकरण $(2)$ से,$V_B = 4V_D - 20$. इसे $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$4(4V_D - 20) - V_D = 40 \implies 16V_D - 80 - V_D = 40 \implies 15V_D = 120 \implies V_D = 8\,V$.
$V_D = 8\,V$ का मान $V_B = 4(8) - 20 = 32 - 20 = 12\,V$ में रखने पर।
अतः,$V_B = 12\,V$ और $V_D = 8\,V$ है। सही विकल्प $B$ और $C$ हैं।

(C) माना बिंदु $A$ पर विभव $V_A = 20 \ V$ है और बिंदु $C$ पर $V_C = 0 \ V$ है।
नोडल विश्लेषण का उपयोग करके,हम बिंदु $B$ और $D$ पर विभव ज्ञात कर सकते हैं।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,यदि $V_B = 12 \ V$ है,तो $q_1 = 4 \ \mu F \times (20 - 12) = 32 \ \mu C$ और $q_2 = 2 \ \mu F \times (12 - 0) = 24 \ \mu C$ प्राप्त होता है।
बीच वाले संधारित्र $q_3$ के लिए,$V_B = 12 \ V$ और $V_D = 8 \ V$ लेने पर,$q_3 = 2 \ \mu F \times (12 - 8) = 8 \ \mu C$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) माना प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $R$ है और प्रत्येक पर आवेश $q$ है।
प्रत्येक छोटी बूंद का विभव $V = \frac{kq}{R}$ है,जिसका अर्थ है $q = \frac{VR}{k}$।
जब $n$ ऐसी बूंदें मिलकर $R'$ त्रिज्या की एक बड़ी बूंद बनाती हैं,तो कुल आयतन संरक्षित रहता है:
$\frac{4}{3}\pi (R')^3 = n \cdot \frac{4}{3}\pi R^3 \Rightarrow R' = n^{1/3}R$।
बड़ी बूंद पर कुल आवेश $Q = nq = n \cdot \frac{VR}{k}$ है।
बड़ी बूंद का विभव $V'$ इस प्रकार है:
$V' = \frac{kQ}{R'} = \frac{k(nVR/k)}{n^{1/3}R} = \frac{nVR}{n^{1/3}R} = V n^{1 - 1/3} = V n^{2/3}$।

(A) आवेशों के निकाय की स्थिर-वैद्युत ऊर्जा $U = \int \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2 dV$ द्वारा दी जाती है।
$a$ त्रिज्या और $Q$ आवेश वाले चालक गोले के लिए विद्युत क्षेत्र $E$ इस प्रकार है:
$1$. $r < a$ के लिए $E = 0$ है।
$2$. $a < r < 2a$ के लिए $E = \frac{kQ}{r^2}$ है।
$3$. $2a < r < 3a$ के लिए $E = 0$ है (चालक कोश के अंदर)।
$4$. $r > 3a$ के लिए $E = \frac{kQ}{r^2}$ है (चूंकि कोश उदासीन है,कुल परिबद्ध आवेश $Q$ है)।
$a < r < 2a$ क्षेत्र में संचित ऊर्जा $U_1 = \int_a^{2a} \frac{1}{2} \epsilon_0 (\frac{kQ}{r^2})^2 (4 \pi r^2 dr) = \frac{kQ^2}{4a}$ है।
$r > 3a$ क्षेत्र में संचित ऊर्जा $U_2 = \int_{3a}^{\infty} \frac{1}{2} \epsilon_0 (\frac{kQ}{r^2})^2 (4 \pi r^2 dr) = \frac{kQ^2}{6a}$ है।
कुल ऊर्जा $U = U_1 + U_2 = \frac{kQ^2}{4a} + \frac{kQ^2}{6a} = \frac{5kQ^2}{12a}$।

(A) मान लीजिए कि आंतरिक गोला $S_1$ है (त्रिज्या $R$,आवेश $q_1 = +2Q$)।
मान लीजिए कि खोखला गोला $S_2$ है (आंतरिक त्रिज्या $r_2 = 2R$,बाहरी त्रिज्या $r_3 = 3R$,कुल आवेश $q_2 = -Q$)।
स्थिर-वैद्युत प्रेरण के कारण,खोखले गोले की आंतरिक सतह $(r=2R)$ पर $-2Q$ आवेश प्रेरित होता है।
चूंकि खोखले गोले पर कुल आवेश $-Q$ है,इसलिए इसकी बाहरी सतह $(r=3R)$ पर आवेश $q_{out} = -Q - (-2Q) = +Q$ होगा।
आवेशित चालकों के निकाय की स्थिर-वैद्युत स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} \sum q_i V_i$ द्वारा दी जाती है।
आंतरिक गोले का विभव $(V_1)$ उसके स्वयं के आवेश और खोखले गोले पर मौजूद आवेशों के कारण होता है:
$V_1 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{2Q}{R} + \frac{-2Q}{2R} + \frac{Q}{3R} \right) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{2Q}{R} - \frac{Q}{R} + \frac{Q}{3R} \right) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{Q}{R} + \frac{Q}{3R} \right) = \frac{4Q}{12\pi\varepsilon_0 R} = \frac{Q}{3\pi\varepsilon_0 R}$.
खोखले गोले का विभव $(V_2)$ उसकी आंतरिक और बाहरी सतहों पर समान होता है:
$V_2 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{2Q}{2R} + \frac{-2Q}{2R} + \frac{Q}{3R} \right) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{Q}{R} - \frac{Q}{R} + \frac{Q}{3R} \right) = \frac{Q}{12\pi\varepsilon_0 R}$.
अब,$U = \frac{1}{2} (q_1 V_1 + q_2 V_2) = \frac{1}{2} \left( (2Q) \cdot \frac{Q}{3\pi\varepsilon_0 R} + (-Q) \cdot \frac{Q}{12\pi\varepsilon_0 R} \right)$.
$U = \frac{1}{2} \left( \frac{2Q^2}{3\pi\varepsilon_0 R} - \frac{Q^2}{12\pi\varepsilon_0 R} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{8Q^2 - Q^2}{12\pi\varepsilon_0 R} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{7Q^2}{12\pi\varepsilon_0 R} \right) = \frac{7Q^2}{24\pi\varepsilon_0 R}$.

(D) माना गोले की त्रिज्या $R$ है। केंद्र से $r$ दूरी $(r > R)$ पर विभव $V = \frac{KQ}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
सतह से $5 \ cm$ और $10 \ cm$ की दूरी पर दिए गए विभव के लिए,केंद्र से दूरियाँ क्रमशः $(R+5)$ और $(R+10)$ हैं।
$V_1 = \frac{KQ}{R+5} = 100 \ V$ --- $(1)$
$V_2 = \frac{KQ}{R+10} = 75 \ V$ --- $(2)$
$(1)$ को $(2)$ से विभाजित करने पर: $\frac{R+10}{R+5} = \frac{100}{75} = \frac{4}{3}$.
$3R + 30 = 4R + 20 \Rightarrow R = 10 \ cm = 0.1 \ m$.
$(1)$ में $R$ का मान रखने पर: $KQ = 100(0.1 + 0.05) = 100(0.15) = 15 \ V \cdot m$.
सतह पर विभव $V_s = \frac{KQ}{R} = \frac{15}{0.1} = 150 \ V$. (विकल्प $A$ सही है)।
सतह पर विद्युत क्षेत्र $E_s = \frac{KQ}{R^2} = \frac{15}{(0.1)^2} = \frac{15}{0.01} = 1500 \ V/m$. (विकल्प $C$ सही है)।
एक समान रूप से आवेशित ठोस गोले के लिए,केंद्र पर विभव $V_c = \frac{3}{2} V_s = \frac{3}{2} \times 150 = 225 \ V$. (विकल्प $B$ सही है)।
अतः,सभी कथन सही हैं,इसलिए उत्तर $D$ है।

(B) विभवांतर $V$ के माध्यम से त्वरित $q$ आवेश वाले कण द्वारा प्राप्त गतिज ऊर्जा $K = qV$ द्वारा दी जाती है। चूंकि प्रोटॉन और ड्यूटेरॉन दोनों का आवेश $e$ समान है, इसलिए दोनों समान गतिज ऊर्जा प्राप्त करते हैं: $K_p = K_d = eV$। अतः, विकल्प $C$ सत्य है।
चूंकि $K = \frac{p^2}{2m}$, इसलिए संवेग $p = \sqrt{2mK}$ होता है। $m_d = 2m_p$ होने के कारण, ड्यूटेरॉन का संवेग $p_d = \sqrt{2(2m_p)eV} = 2\sqrt{m_p eV}$ और प्रोटॉन का संवेग $p_p = \sqrt{2m_p eV}$ होता है। इस प्रकार, $p_d = \sqrt{2} p_p$। अतः, उनका संवेग समान नहीं है, जो विकल्प $B$ को गलत बनाता है।
चूंकि $K = \frac{1}{2}mv^2$, इसलिए $v = \sqrt{\frac{2K}{m}}$ होता है। $m_d > m_p$ होने के कारण, $v_p > v_d$ होता है। इस प्रकार, उनकी गति अलग-अलग है, जो विकल्प $A$ को सत्य बनाता है।

(D) चूँकि खोल $B$ को अर्थ किया गया है,इसका विभव $V_B = 0$ है। प्रेरण के कारण,खोल $B$ की आंतरिक सतह पर $-Q$ आवेश प्रेरित होता है।
$a \leq r \leq b$ के लिए,विद्युत क्षेत्र केवल गोले $A$ पर स्थित आवेश $Q$ के कारण है: $E = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q}{r^2}$। अतः,विकल्प $A$ सही है।
$r$ दूरी पर विभव,गोले $A$ पर स्थित $Q$ और खोल $B$ पर प्रेरित $-Q$ आवेश के कारण विभव का योग है: $V(r) = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q}{r} + \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{-Q}{b} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} Q \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{b} \right)$। अतः,विकल्प $B$ सही है।
गोले $A$ का विभव $V_A = V(a) = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} Q \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \right)$ है। चूँकि $V_B = 0$ है,विभवांतर $V_A - V_B = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} Q \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \right)$ होगा। अतः,विकल्प $C$ सही है।
इसलिए,सभी कथन सही हैं।

(D) माना कोशों के विभव $V_1, V_2, V_3$ हैं। चूँकि सबसे आंतरिक $(r)$ और सबसे बाहरी $(3r)$ कोश भू-संपर्कित हैं,इसलिए $V_1 = 0$ और $V_3 = 0$ है।
किसी कोश का विभव सभी आवेशों के कारण उत्पन्न विभव के योग के बराबर होता है: $V = \frac{kQ_{self}}{R_{self}} + \sum \frac{kQ_{other}}{R_{other}}$.
कोश $1$ $(r)$ के लिए: $V_1 = k \left( \frac{Q_1}{r} + \frac{Q_2}{2r} + \frac{Q_3}{3r} \right) = 0 \implies \frac{Q_1}{1} + \frac{Q_2}{2} + \frac{Q_3}{3} = 0 \implies 6Q_1 + 3Q_2 + 2Q_3 = 0$ (समीकरण $1$)
कोश $3$ $(3r)$ के लिए: $V_3 = k \left( \frac{Q_1}{3r} + \frac{Q_2}{3r} + \frac{Q_3}{3r} \right) = 0 \implies Q_1 + Q_2 + Q_3 = 0 \implies Q_3 = -(Q_1 + Q_2)$ (समीकरण $2$)
समीकरण $2$ को समीकरण $1$ में रखने पर: $6Q_1 + 3Q_2 + 2(-(Q_1 + Q_2)) = 0 \implies 6Q_1 + 3Q_2 - 2Q_1 - 2Q_2 = 0 \implies 4Q_1 + Q_2 = 0 \implies Q_1 = -\frac{Q_2}{4}$.
अब $Q_3$ ज्ञात करते हैं: $Q_3 = -(Q_1 + Q_2) = -(-\frac{Q_2}{4} + Q_2) = -(\frac{3Q_2}{4}) = -\frac{3Q_2}{4}$.
विकल्पों की जाँच करने पर:
$(A)$ $Q_1 + Q_3 = -\frac{Q_2}{4} - \frac{3Q_2}{4} = -Q_2$ (सही)।
$(B)$ $Q_1 = -\frac{Q_2}{4}$ (सही)।
$(C)$ $\frac{Q_3}{Q_1} = \frac{-3Q_2/4}{-Q_2/4} = 3$ (सही)।
$(D)$ $\frac{Q_3}{Q_2} = \frac{-3Q_2/4}{Q_2} = -\frac{3}{4}$ (गलत,क्योंकि यह $-1/3$ दिया गया है)।

(D) मान लीजिए कि अर्थिंग के बाद आंतरिक कोश द्वारा प्राप्त आवेश $q$ है।
$1$. जब स्विच $S$ खुला हो: आंतरिक कोश उदासीन है $(q=0)$। आंतरिक कोश का विभव बाहरी कोश के कारण है: $V_{\text{in}} = kQ/(3R)$। बाहरी कोश का विभव भी $V_{\text{out}} = kQ/(3R)$ है। अतः,$V_{\text{in}} = V_{\text{out}}$। विकल्प $A$ सही है।
$2$. जब स्विच $S$ बंद हो: आंतरिक कोश को अर्थ किया गया है,इसलिए इसका विभव शून्य हो जाता है $(V_{\text{in}} = 0)$। विकल्प $B$ सही है।
$3$. प्रेरित आवेश $q$ की गणना: आंतरिक कोश की सतह पर विभव आंतरिक आवेश $q$ और बाहरी आवेश $Q$ के कारण विभव का योग है।
$V_{\text{in}} = \frac{kq}{R} + \frac{kQ}{3R} = 0$
$\frac{kq}{R} = -\frac{kQ}{3R}$
$q = -Q/3$। विकल्प $C$ सही है।
चूंकि सभी कथन सही हैं,इसलिए उत्तर $D$ है।

(A) मान लीजिए कि सतहों पर आवेश बाएं से दाएं $q_1, q_2, q_3, q_4, q_5, q_6$ हैं। पृथक प्लेटों की प्रणाली के लिए,बाहरी सतहों पर समान आवेश होना चाहिए,$q_1 = q_6 = (Q_{total})/2 = (Q + Q - Q)/2 = Q/2$। जब प्लेट $C$ $(+Q)$ को पेश किया जाता है,तो कुल आवेश $Q_{net} = Q + Q - Q = Q$ होता है। बाहरी सतहों पर $Q/2$ आवेश होगा। समानांतर प्लेटों की आमने-सामने की सतहों पर समान और विपरीत आवेश होने के गुण का उपयोग करते हुए,वितरण इस प्रकार है: सतह $I = -Q/2$,सतह $II = +3Q/2$,सतह $III = -3Q/2$,सतह $IV = +5Q/2$,सतह $V = -5Q/2$,सतह $VI = +3Q/2$। विकल्पों की जांच करने पर: $A$ स्पष्ट रूप से गलत है क्योंकि आवेश समान और विपरीत नहीं हैं।

(C) $1$. चुंबकीय क्षेत्र $B$ में, चुंबकीय बल अभिकेंद्र बल प्रदान करता है: $QvB = Mv^2 / R$, जिससे $v = QBR / M$ प्राप्त होता है।
$2$. बेलनाकार संधारित्र में, $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E = \lambda / (2\pi \epsilon_0 r)$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $\lambda$ रैखिक आवेश घनत्व है।
$3$. विद्युत बल अभिकेंद्र बल प्रदान करता है: $QE = Mv^2 / R$। $E$ और $v$ का मान रखने पर: $Q (\lambda / (2\pi \epsilon_0 R)) = M (QBR/M)^2 / R = Q^2 B^2 R / M$।
$4$. इसे सरल करने पर $\lambda / (2\pi \epsilon_0) = Q B^2 R^2 / M$ प्राप्त होता है।
$5$. $r_1 = R/2$ और $r_2 = 3R/2$ त्रिज्या वाले इलेक्ट्रोड के बीच विभवांतर $V = \int_{r_1}^{r_2} E dr = (\lambda / 2\pi \epsilon_0) \int_{R/2}^{3R/2} (1/r) dr = (\lambda / 2\pi \epsilon_0) \ln((3R/2) / (R/2)) = (\lambda / 2\pi \epsilon_0) \ln(3)$ है।
$6$. चरण $4$ से मान रखने पर: $V = (Q B^2 R^2 / M) \ln(3)$।

(A) माना प्रारंभिक धारिता $C = \frac{K \epsilon_0 A}{d}$ है। संधारित्र पर आवेश $Q = CV = \frac{K \epsilon_0 A V}{d}$ है।
जब परावैद्युत को हटाया जाता है,तो धारिता $C_0 = \frac{\epsilon_0 A}{d} = \frac{C}{K}$ हो जाती है।
चूंकि संधारित्र बैटरी से डिस्कनेक्ट है,इसलिए आवेश $Q$ स्थिर रहता है।
प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_i = \frac{Q^2}{2C}$ है।
जब परावैद्युत को हटाया जाता है,तो स्थितिज ऊर्जा $U_{removed} = \frac{Q^2}{2C_0} = \frac{Q^2}{2(C/K)} = K \frac{Q^2}{2C} = K U_i$ हो जाती है।
जब परावैद्युत को वापस डाला जाता है,तो धारिता वापस $C$ हो जाती है और स्थितिज ऊर्जा $U_f = \frac{Q^2}{2C} = U_i$ हो जाती है।
निकाय द्वारा किया गया कुल कार्य स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन है: $W = -(U_f - U_i) = -(U_i - U_i) = 0$.
अतः,इस प्रक्रिया में निकाय द्वारा किया गया कुल कार्य शून्य है।

(A) परिपथ में संधारित्र $C$ एक $1 \ \mu F$ और $2 \ \mu F$ के समानांतर संयोजन के साथ श्रेणीक्रम में है। समानांतर संयोजन की समतुल्य धारिता $C_p = 1 \ \mu F + 2 \ \mu F = 3 \ \mu F$ है।
परिपथ की कुल धारिता $C_{eq} = \frac{C \times C_p}{C + C_p} = \frac{3C}{C + 3}$ है।
बैटरी $E$ द्वारा प्रदान किया गया कुल आवेश $Q = C_{eq} E = \frac{3CE}{C + 3}$ है।
यह कुल आवेश $Q$ संधारित्र $C$ से होकर गुजरता है और फिर समानांतर में $1 \ \mu F$ और $2 \ \mu F$ संधारित्रों के बीच विभाजित हो जाता है।
$2 \ \mu F$ संधारित्र पर आवेश $Q_2$ आवेश विभाजन नियम के अनुसार है: $Q_2 = Q \times \left( \frac{2 \ \mu F}{1 \ \mu F + 2 \ \mu F} \right) = Q \times \frac{2}{3}$।
$Q$ का व्यंजक रखने पर: $Q_2 = \frac{2}{3} \times \left( \frac{3CE}{C + 3} \right) = \frac{2CE}{C + 3} = 2E \left( \frac{C}{C + 3} \right) = 2E \left( 1 - \frac{3}{C + 3} \right)$ प्राप्त होता है।
जैसे-जैसे $C$ का मान $1 \ \mu F$ से $3 \ \mu F$ तक बढ़ता है,पद $\frac{3}{C + 3}$ घटता है,इसलिए $Q_2$ बढ़ता है। फलन $f(C) = \frac{2CE}{C + 3}$ एक ऐसे वक्र को दर्शाता है जो नीचे की ओर अवतल (concave downwards) है,जो ग्राफ $A$ के आकार से मेल खाता है।