Equipotential Surface Questions in Hindi

(N/A) यदि विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E}$ समविभव पृष्ठ के लंबवत नहीं होता,तो इसका पृष्ठ की दिशा में एक गैर-शून्य घटक होता।
इस घटक की दिशा के विरुद्ध एक इकाई परीक्षण आवेश को स्थानांतरित करने के लिए कार्य करना पड़ता।
हालाँकि,यह समविभव पृष्ठ की परिभाषा के विपरीत है,जो यह कहता है कि पृष्ठ पर किन्हीं दो बिंदुओं के बीच विभवांतर $\Delta V$ शून्य होता है।
चूंकि कार्य $W = q \Delta V$ है और $\Delta V = 0$ है,इसलिए किया गया कार्य $W = 0$ होना चाहिए।
साथ ही,पृष्ठ पर एक छोटे विस्थापन $\overrightarrow{dl}$ के लिए विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E}$ द्वारा किया गया कार्य $W = \overrightarrow{E} \cdot \overrightarrow{dl} = E dl \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $W = 0$,इसलिए $0 = E dl \cos \theta$ है।
यह देखते हुए कि $\overrightarrow{E} \neq 0$ और $\overrightarrow{dl} \neq 0$,इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि $\cos \theta = 0$,जिसका अर्थ है $\theta = \frac{\pi}{2}$ $(90^{\circ})$।
अतः,विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E}$ उस बिंदु पर समविभव पृष्ठ के लंबवत है।

(N/A) $(1)$ समविभव पृष्ठ आवेश विन्यास के चारों ओर विद्युत क्षेत्र रेखाओं के अतिरिक्त एक वैकल्पिक दृश्य निरूपण प्रदान करते हैं। ये पृष्ठ प्रबल विद्युत क्षेत्र में एक-दूसरे के निकट होते हैं और दुर्बल विद्युत क्षेत्र में एक-दूसरे से दूर होते हैं।
$(2)$ समविभव पृष्ठ पर एक परीक्षण आवेश को एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक ले जाने में कोई कार्य नहीं किया जाता है क्योंकि पृष्ठ पर किन्हीं भी दो बिंदुओं के बीच विभवांतर शून्य होता है।
$(3)$ विद्युत क्षेत्र प्रत्येक बिंदु पर समविभव पृष्ठ के सदैव लंबवत (normal) होता है।
$(4)$ दो समविभव पृष्ठ कभी भी एक-दूसरे को प्रतिच्छेद नहीं कर सकते,क्योंकि यदि वे ऐसा करते हैं,तो प्रतिच्छेदन बिंदु पर विद्युत विभव के दो अलग-अलग मान प्राप्त होंगे,जो भौतिक रूप से असंभव है।

(N/A) समविभव पृष्ठ वह पृष्ठ है जिसके सभी बिंदुओं पर विद्युत विभव का मान समान होता है।
किसी भी आवेश वितरण के लिए,समविभव पृष्ठ पर प्रत्येक बिंदु पर विद्युत विभव $V$ समान होता है।
परिणामस्वरूप,ऐसे पृष्ठ पर किन्हीं दो बिंदुओं के बीच विभवांतर शून्य होता है $(V_A - V_B = 0)$।
चूंकि एक समविभव पृष्ठ पर दो बिंदुओं के बीच एक परीक्षण आवेश $q_0$ को ले जाने में किया गया कार्य $W = q_0(V_A - V_B)$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए समविभव पृष्ठ पर आवेश को ले जाने में कोई कार्य नहीं किया जाता है।
इसके अतिरिक्त,विद्युत क्षेत्र रेखाएं प्रत्येक बिंदु पर समविभव पृष्ठ के लंबवत होती हैं।

(B) परिभाषा के अनुसार,एक समविभव पृष्ठ वह पृष्ठ है जहाँ प्रत्येक बिंदु पर विद्युत विभव स्थिर रहता है।
यदि विद्युत क्षेत्र का कोई घटक पृष्ठ के समांतर होता,तो यह पृष्ठ पर गतिमान आवेश पर बल लगाता,जिसका अर्थ है कि कार्य किया जाता।
हालाँकि,चूंकि एक समविभव पृष्ठ पर किन्हीं दो बिंदुओं के बीच विभवांतर शून्य होता है,इसलिए आवेश को पृष्ठ पर ले जाने में किया गया कार्य शून्य होता है।
इसलिए,विद्युत क्षेत्र को प्रत्येक बिंदु पर समविभव पृष्ठ के लंबवत होना चाहिए।

(N/A) एक विद्युत द्विध्रुव दो समान और विपरीत आवेशों,$+q$ और $-q$,से बना होता है जो एक छोटी दूरी $d$ द्वारा अलग होते हैं।
समविभव पृष्ठ वह पृष्ठ है जहाँ विद्युत विभव $V$ हर बिंदु पर समान होता है।
एक विद्युत द्विध्रुव के लिए,समविभव पृष्ठ गोलाकार नहीं होते हैं।
आवेशों के पास,पृष्ठ लगभग गोलाकार होते हैं और प्रत्येक आवेश के चारों ओर केंद्रित होते हैं।
जैसे-जैसे हम द्विध्रुव से दूर जाते हैं,पृष्ठ विकृत हो जाते हैं और अंततः दोनों आवेशों को घेरने वाले पृष्ठ का आकार ले लेते हैं।
द्विध्रुव के लंब समद्विभाजक पर विभव शून्य होता है,जो शून्य विभव का एक तल बनाता है (एक समविभव पृष्ठ जहाँ $V = 0$ है)।
संक्षेप में,पृष्ठ वहाँ एक-दूसरे के करीब होते हैं जहाँ विद्युत क्षेत्र मजबूत होता है (आवेशों के पास) और वहाँ दूर होते हैं जहाँ क्षेत्र कमजोर होता है।

(N/A) जब दो समान धनात्मक आवेशों को एक-दूसरे से अल्प दूरी पर रखा जाता है,तो वे एक-दूसरे को प्रतिकर्षित करते हैं। विद्युत क्षेत्र रेखाएं धनात्मक आवेशों से बाहर की ओर निकलती हैं।
समविभव पृष्ठ वह पृष्ठ है जहाँ विद्युत विभव सभी बिंदुओं पर समान होता है।
दो समान धनात्मक आवेशों के लिए,समविभव पृष्ठ गोलाकार नहीं होते हैं। प्रत्येक आवेश के निकट,पृष्ठ लगभग गोलाकार होते हैं,लेकिन जैसे-जैसे हम आवेशों के बीच के क्षेत्र की ओर बढ़ते हैं,पृष्ठ विकृत हो जाते हैं और आपस में मिल जाते हैं।
दोनों आवेशों के बीच के क्षेत्र में,विद्युत क्षेत्र कमजोर होता है (मध्य बिंदु पर उदासीन बिंदु होता है),जिसके कारण समविभव पृष्ठ बाहर की ओर उभर जाते हैं और अंततः बड़ी दूरियों पर दोनों आवेशों को घेरने वाला एक एकल पृष्ठ बनाते हैं।

(N/A) एकसमान विद्युत क्षेत्र के लिए,विद्युत क्षेत्र रेखाएं एक-दूसरे के समानांतर और समान दूरी पर होती हैं।
समविभव पृष्ठ को एक ऐसे पृष्ठ के रूप में परिभाषित किया जाता है जहाँ विद्युत विभव प्रत्येक बिंदु पर समान होता है।
$x$-अक्ष की दिशा में एकसमान विद्युत क्षेत्र के लिए,समविभव पृष्ठ $yz$-तल के समानांतर समतल होते हैं।
ये समतल विद्युत क्षेत्र रेखाओं की दिशा के लंबवत होते हैं।
अतः,एकसमान विद्युत क्षेत्र के लिए,समविभव पृष्ठ समानांतर समतलों का एक समूह होते हैं।

(N/A) समविभव पृष्ठ वह पृष्ठ है जिसके प्रत्येक बिंदु पर विद्युत विभव समान होता है।
एक बिंदु आवेश $q$ के लिए,$r$ दूरी पर विद्युत विभव $V$ का सूत्र $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r}$ है।
चूंकि $V$ केवल आवेश से दूरी $r$ पर निर्भर करता है,इसलिए $r$ दूरी पर स्थित सभी बिंदुओं का विभव समान होता है।
अतः,एक बिंदु आवेश के लिए समविभव पृष्ठ बिंदु आवेश के स्थान पर केंद्रित संकेंद्रीय गोलीय कोश होते हैं।
द्विविमीय निरूपण में,ये पृष्ठ बिंदु आवेश के चारों ओर संकेंद्रीय वृत्तों के रूप में दिखाई देते हैं।

(N/A) मान लीजिए कि एक बंद समविभव पृष्ठ $S$ है जो एक आयतन $V$ को घेरता है जिसमें कोई आवेश नहीं है $(q_{in} = 0)$.
विरोधाभास के लिए मान लीजिए कि आयतन के भीतर विभव स्थिर नहीं है। यदि विभव बदलता है, तो आयतन के भीतर एक गैर-शून्य विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ मौजूद होना चाहिए, जो $\vec{E} = -\nabla V$ संबंध द्वारा दिया जाता है।
गॉस के नियम के अनुसार, किसी भी बंद पृष्ठ से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स घिरे हुए आवेश के समानुपाती होता है: $\oint_S \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{q_{in}}{\epsilon_0}$.
चूंकि $q_{in} = 0$ है, इसलिए पृष्ठ से गुजरने वाला कुल फ्लक्स शून्य होना चाहिए।
यदि अंदर विभव बदलता है, तो विद्युत क्षेत्र रेखाओं को आयतन के भीतर के आवेशों पर उत्पन्न या समाप्त होना चाहिए। हालाँकि, चूंकि अंदर कोई आवेश नहीं है, इसलिए आयतन में प्रवेश करने वाली किसी भी क्षेत्र रेखा को उससे बाहर निकलना चाहिए, या क्षेत्र को हर जगह शून्य होना चाहिए।
यदि विभव स्थिर नहीं होता, तो क्षेत्र के भीतर विभव के स्थानीय अधिकतम या न्यूनतम मान होते। हार्मोनिक फलनों के गुणों (लाप्लास समीकरण $\nabla^2 V = 0$) के अनुसार, आवेश-मुक्त क्षेत्र में विभव का कोई स्थानीय अधिकतम या न्यूनतम मान नहीं हो सकता है।
इसलिए, पूरे आयतन में विभव स्थिर होना चाहिए, जिसका अर्थ है कि पूरा आयतन समविभव है।

(N/A) $r$ त्रिज्या और $l$ लंबाई वाले बेलनाकार गाऊसी पृष्ठ के लिए गाउस के नियम का उपयोग करते हुए:
$\oint \overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{S} = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0} = \frac{\lambda l}{\epsilon_0}$
चूंकि विद्युत क्षेत्र त्रिज्यीय है,$E(2\pi rl) = \frac{\lambda l}{\epsilon_0}$,जिससे $E = \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 r}$ प्राप्त होता है।
$r$ दूरी पर स्थित बिंदु और $r_0$ त्रिज्या वाली सतह के बीच विभवांतर:
$V(r) - V(r_0) = -\int_{r_0}^{r} E dr = -\int_{r_0}^{r} \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 r} dr$
$V(r) - V(r_0) = -\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0} \ln\left(\frac{r}{r_0}\right)$
समविभव पृष्ठ के लिए,$V(r)$ स्थिर है,जिसका अर्थ है कि $r$ स्थिर होना चाहिए।
अतः,समविभव पृष्ठ का समीकरण $r = \text{constant}$ है,जो एक समाक्षीय बेलन को दर्शाता है।

(N/A) माना कि आवश्यक समतल मूल बिंदु से $x$ दूरी पर स्थित है,जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।
सतह पर एक सामान्य बिंदु $P$ पर विभव दोनों आवेशों के कारण विभव के योग के बराबर होता है:
$V = \frac{kq}{\sqrt{(x + d/2)^2 + h^2}} - \frac{kq}{\sqrt{(x - d/2)^2 + h^2}} = 0$
$\therefore \frac{1}{\sqrt{(x + d/2)^2 + h^2}} = \frac{1}{\sqrt{(x - d/2)^2 + h^2}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(x - d/2)^2 + h^2 = (x + d/2)^2 + h^2$
वर्गों का विस्तार करने पर:
$x^2 - xd + \frac{d^2}{4} + h^2 = x^2 + xd + \frac{d^2}{4} + h^2$
समीकरण को सरल करने पर:
$-xd = xd$
$2xd = 0$
चूंकि $d \neq 0$,इसलिए $x = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,आवश्यक समविभव पृष्ठ का समीकरण $x = 0$ है,जो $yz$-समतल को दर्शाता है।

(B) एक समविभव पृष्ठ पर आवेश $q$ को ले जाने में किया गया कार्य शून्य होता है क्योंकि पृष्ठ पर किन्हीं दो बिंदुओं के बीच विभवांतर शून्य होता है।
किया गया कार्य $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{l} = q \int \vec{E} \cdot d\vec{l} = 0$ है।
चूंकि $q \neq 0$ और $d\vec{l} \neq 0$,इसका अर्थ है कि $\vec{E} \cdot d\vec{l} = 0$ है।
इसका मतलब है कि विद्युत क्षेत्र सदिश $\vec{E}$ समविभव पृष्ठ पर विस्थापन सदिश $d\vec{l}$ के लंबवत होना चाहिए।
अतः,विद्युत बल रेखाओं और समविभव पृष्ठ के बीच का कोण $90^{\circ}$ है।

(D) बिंदु आवेश $q$ के कारण $r$ दूरी पर विद्युत विभव $V$ का सूत्र $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r}$ है।
स्थिर विभव $V$ के लिए,दूरी $r$ स्थिर होनी चाहिए। यह बिंदु आवेश को केंद्र मानकर एक गोला परिभाषित करता है। अतः,बिंदु आवेश के लिए एक गोलीय समविभव पृष्ठ संभव है। इसलिए,कथन $(A)$ असत्य है।
गोलीय संधारित्र के अंदर,विद्युत क्षेत्र त्रिज्यीय होता है और समविभव पृष्ठ संधारित्र की प्लेटों के साथ संकेंद्रित गोलीय कोश होते हैं। अतः,कारण $(R)$ सत्य है।
चूंकि कथन असत्य है और कारण सत्य है,इसलिए सही विकल्प $(d)$ है।

(D) विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ में आवेश $q$ को गति कराने में किया गया कार्य $W$,$W = \int \vec{F} \cdot d\vec{l} = \int q\vec{E} \cdot d\vec{l}$ द्वारा दिया जाता है।
समविभव पृष्ठ पर,विभव $V$ स्थिर रहता है,इसलिए विभवांतर $dV = 0$ होता है।
चूंकि $dV = -\vec{E} \cdot d\vec{l} = 0$,इसका अर्थ है कि विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ हमेशा पृष्ठ पर विस्थापन $d\vec{l}$ के लंबवत होता है।
यह पुष्टि करता है कि विद्युत बल रेखाएं समविभव पृष्ठों के लंबवत होती हैं (कारण $(R)$ सही है)।
चूंकि $\vec{E} \perp d\vec{l}$,अदिश गुणनफल $\vec{E} \cdot d\vec{l} = E dl \cos(90^{\circ}) = 0$ होता है।
इसलिए,किया गया कार्य शून्य है (अभिकथन $(A)$ सही है)।
चूंकि शून्य कार्य विद्युत क्षेत्र के पृष्ठ के लंबवत होने का सीधा परिणाम है,इसलिए $(R)$,$(A)$ की सही व्याख्या है।

(C) आवेशों की दी गई व्यवस्था $z$-अक्ष पर रखा गया एक विद्युत द्विध्रुव (electric dipole) है,जिसमें धनात्मक आवेश $(0, 0, a/2)$ पर और ऋणात्मक आवेश $(0, 0, -a/2)$ पर है।
विद्युत द्विध्रुव के कारण किसी बिंदु $(x, y, z)$ पर विद्युत विभव $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{p} \cdot \vec{r}}{r^3}$ द्वारा दिया जाता है।
मूल बिंदु पर केंद्रित द्विध्रुव के लिए,निरक्षीय तल (equatorial plane) $xy$-तल $(z = 0)$ है।
$xy$-तल पर किसी भी बिंदु पर,धनात्मक आवेश से दूरी और ऋणात्मक आवेश से दूरी समान होती है,इसलिए $xy$-तल पर हर जगह विभव $V$ शून्य होता है।
प्रारंभिक स्थिति $(-a, 0, 0)$ है,जो $xy$-तल पर स्थित है,इसलिए $V_i = 0$ है।
अंतिम स्थिति $(0, a, 0)$ है,जो भी $xy$-तल पर स्थित है,इसलिए $V_f = 0$ है।
विद्युत क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य $W_e = -\Delta U = -q_0(V_f - V_i)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $q_0$ परीक्षण आवेश है।
चूँकि $V_f = V_i = 0$ है,इसलिए किया गया कार्य $W_e = -q_0(0 - 0) = 0$ होगा।

(C) मान लीजिए कि बिंदु $P(x, y)$ समविभव वृत्त पर है जहाँ विभव $V = 0$ है।
बिंदु $P$ पर $-Q$ (जो $(0,0)$ पर है) और $+Q / \sqrt{3}$ (जो $(2,0)$ पर है) आवेशों के कारण विभव:
$V_P = \frac{k(-Q)}{r_1} + \frac{k(Q / \sqrt{3})}{r_2} = 0$
जहाँ $r_1 = \sqrt{x^2 + y^2}$ और $r_2 = \sqrt{(x - 2)^2 + y^2}$ है।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\frac{kQ}{r_1} = \frac{kQ}{\sqrt{3} r_2} \implies \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{1}{\sqrt{3} \sqrt{(x - 2)^2 + y^2}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$3((x - 2)^2 + y^2) = x^2 + y^2$
$3(x^2 - 4x + 4 + y^2) = x^2 + y^2$
$3x^2 - 12x + 12 + 3y^2 = x^2 + y^2$
$2x^2 - 12x + 2y^2 + 12 = 0$
$2$ से भाग देने पर:
$x^2 - 6x + y^2 + 6 = 0$
$x$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$(x^2 - 6x + 9) + y^2 = -6 + 9$
$(x - 3)^2 + y^2 = 3 = (\sqrt{3})^2$
इसे मानक वृत्त समीकरण $(x - b)^2 + y^2 = R^2$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$b = 3$ और $R = \sqrt{3} \approx 1.73$।
अतः,$R = 1.73$ और $b = 3$।

(C) अनंत लंबाई के आवेशित तार से $r$ दूरी पर विभव $V = -\int \vec{E} \cdot d\vec{r} = -\int \frac{2k\lambda}{r} dr = -2k\lambda \ln r + C$ द्वारा दिया जाता है।
$x, y$ और $z$ अक्षों पर रखे गए तीन तारों के लिए,बिंदु $(x, y, z)$ से तारों की दूरियाँ क्रमशः $r_x = \sqrt{y^2+z^2}$,$r_y = \sqrt{x^2+z^2}$ और $r_z = \sqrt{x^2+y^2}$ हैं।
कुल विभव $V$ प्रत्येक तार के कारण विभव का योग है:
$V = -2k\lambda \ln(\sqrt{y^2+z^2}) - 2k\lambda \ln(\sqrt{x^2+z^2}) - 2k\lambda \ln(\sqrt{x^2+y^2}) + C$.
$V = -k\lambda \ln[(y^2+z^2)(x^2+z^2)(x^2+y^2)] + C$.
समविभव पृष्ठ के लिए,$V = \text{स्थिरांक}$,जिसका अर्थ है कि गुणनफल $(x^2+y^2)(y^2+z^2)(z^2+x^2)$ स्थिर होना चाहिए।

(D) बिंदु आवेश $Q$ से $r$ दूरी पर विद्युत विभव $V$ का सूत्र $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{r}$ होता है।
चूंकि बिंदु $A$ और $B$ दोनों आवेश $Q$ से समान दूरी $r$ पर स्थित हैं,इसलिए वे एक ही समविभव पृष्ठ (equipotential surface) पर स्थित हैं।
बिंदु $A$ पर विभव $(V_A)$ बिंदु $B$ पर विभव $(V_B)$ के बराबर है।
आवेश $q$ को $A$ से $B$ तक ले जाने में किया गया कार्य $W = q(V_B - V_A)$ होता है।
चूंकि $V_B = V_A$,इसलिए किया गया कार्य $W = q(0) = 0$ होगा।

(D) एक आवेश $q$ को एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक ले जाने में किया गया कार्य $W$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$W = q \Delta V$
जहाँ $\Delta V$ दो बिंदुओं के बीच विभवांतर है।
परिभाषा के अनुसार,समविभव पृष्ठ वह पृष्ठ है जहाँ प्रत्येक बिंदु पर विद्युत विभव समान होता है।
इसलिए,समविभव पृष्ठ पर किन्हीं भी दो बिंदुओं के लिए,विभवांतर $\Delta V = 0$ होता है।
इस मान को कार्य के सूत्र में रखने पर:
$W = q \times 0 = 0$
अतः,समविभव पृष्ठ पर आवेश को स्थानांतरित करने के लिए किया गया कार्य शून्य होता है।

(D) बिंदु आवेश $Q$ के कारण विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ हमेशा त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर निर्देशित होता है।
चूंकि $A$ से $B$ तक का पथ $Q$ को केंद्र मानकर खींचे गए वृत्त का एक चाप है,इसलिए पथ पर किसी भी बिंदु पर विस्थापन सदिश $d\vec{s}$ वृत्त की स्पर्शरेखा के अनुदिश होता है।
त्रिज्यीय दिशा ($\vec{E}$ की दिशा) किसी भी बिंदु पर वृत्त की स्पर्शरेखा के हमेशा लंबवत होती है।
इसलिए,बल $\vec{F} = q\vec{E}$ हमेशा विस्थापन $d\vec{s}$ के लंबवत होता है।
किया गया कार्य $W$,समाकलन $W = \int_A^B \vec{F} \cdot d\vec{s}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $\vec{F} \perp d\vec{s}$,अदिश गुणनफल $\vec{F} \cdot d\vec{s} = F \cdot ds \cos 90^{\circ} = 0$ होता है।
अतः,कुल किया गया कार्य $W = 0$ है।

(D) बिंदु आवेश $Q$ से $r$ दूरी पर स्थित किसी भी बिंदु पर विद्युत विभव $V$ का मान $V = \frac{kQ}{r}$ होता है।
चूंकि वृत्त की परिधि पर स्थित सभी बिंदु केंद्र से समान दूरी $(r = 10 \ cm)$ पर हैं,इसलिए वृत्त पर स्थित किसी भी बिंदु पर विद्युत विभव समान होता है।
मान लीजिए कि $A$ और $B$ वृत्त पर दो बिंदु हैं,तो उनका विभव $V_A = V_B = \frac{kQ}{10 \ cm}$ होगा।
आवेश $q$ को बिंदु $A$ से बिंदु $B$ तक ले जाने में किया गया कार्य $W = q(V_B - V_A)$ होता है।
चूंकि $V_A = V_B$ है,इसलिए विभवांतर $(V_B - V_A) = 0$ होगा।
अतः,$W = q(0) = 0 \ J$।

(B) विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ एकसमान है और $+X$-दिशा में है।
बिंदु $P(0,0)$ और $R(0,2)$ विद्युत क्षेत्र रेखाओं के लंबवत एक ही तल ($YZ$-तल) पर स्थित हैं। इसलिए,$P$ और $R$ एक ही समविभव पृष्ठ पर स्थित हैं,जिसका अर्थ है कि $V_P = V_R$ है।
विद्युत क्षेत्र की दिशा में विद्युत विभव घटता है। चूंकि बिंदु $Q(2,0)$,बिंदु $P(0,0)$ की तुलना में $+X$-दिशा में आगे है,इसलिए $P$ पर विभव $Q$ पर विभव से अधिक होना चाहिए,अर्थात $V_P > V_Q$ है।
अतः,$V_P = V_R$ और $V_P > V_Q$ सही है।

(D) विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ एकसमान है और धनात्मक $Y$-अक्ष की दिशा में है।
बिंदु $A(0,0)$ और $C(2,0)$ $X$-अक्ष पर स्थित हैं,जो विद्युत क्षेत्र की दिशा के लंबवत है। इसलिए,इन बिंदुओं पर विद्युत विभव समान है,अर्थात $V_A = V_C$।
विद्युत क्षेत्र की दिशा में विद्युत विभव घटता है। चूंकि बिंदु $B(0,2)$ बिंदुओं $A$ और $C$ की तुलना में उच्च $Y$-निर्देशांक पर है,इसलिए इसका विभव कम होगा।
अतः,$V_A = V_C > V_B$।

(B) बिंदु आवेश $Q$ से $r$ दूरी पर विद्युत विभव $V = \frac{kQ}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि वृत्ताकार पथ का केंद्र $Q$ पर स्थित है,इसलिए परिधि का प्रत्येक बिंदु आवेश $Q$ से समान दूरी $r$ पर है।
अतः,वृत्ताकार पथ पर किसी भी बिंदु पर विद्युत विभव स्थिर रहता है।
मान लीजिए बिंदु $A$ पर विभव $V_A$ है और बिंदु $B$ पर विभव $V_B$ है। चूंकि दोनों बिंदु वृत्त पर हैं,इसलिए $V_A = V_B = \frac{kQ}{r}$ होगा।
आवेश $q$ को बिंदु $A$ से बिंदु $B$ तक ले जाने में किया गया कार्य $W = q(V_B - V_A)$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$W = q(\frac{kQ}{r} - \frac{kQ}{r}) = q(0) = 0$.
इस प्रकार,किया गया कार्य शून्य है।

(B) सही विकल्प $(B)$ है।
ऐसे आवेशों के समूह के लिए जिनका कुल योग शून्य नहीं है $(Q \neq 0)$,बहुत अधिक दूरी $(r \to \infty)$ से देखने पर यह निकाय एक बिंदु आवेश की तरह व्यवहार करता है।
बिंदु आवेश $q$ के कारण विद्युत विभव $V$ का सूत्र है:
$V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r}$
यह समीकरण दर्शाता है कि विभव $V$ केवल आवेश से दूरी $r$ पर निर्भर करता है। इसलिए,आवेश से समान दूरी $r$ पर स्थित सभी बिंदुओं का विभव समान होता है।
त्रिविमीय अंतरिक्ष में एक बिंदु स्रोत से समान दूरी पर स्थित बिंदुओं का बिंदुपथ एक गोले की सतह बनाता है।
अतः,बहुत अधिक दूरी पर,ऐसे आवेश वितरण के समविभव पृष्ठ लगभग गोले होते हैं।

(A) समविभव पृष्ठ वह पृष्ठ है जहाँ प्रत्येक बिंदु पर विद्युत विभव समान होता है।
चूंकि समविभव पृष्ठ पर किन्हीं दो बिंदुओं के बीच विभवांतर $(V_B - V_A)$ शून्य होता है,इसलिए एक आवेश $(q)$ को एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक ले जाने में किया गया कार्य $(W)$,$W = q(V_B - V_A) = 0$ होता है।
अतः,यह कथन कि 'समविभव पृष्ठ पर आवेश को ले जाने में किया गया कार्य शून्य नहीं होता है' गलत है।

(B) दिए गए चित्र के अनुसार,रेखा $A B$ विद्युत क्षेत्र रेखाओं की दिशा के लंबवत है। अतः,रेखा $A B$ से गुजरने वाली और विद्युत क्षेत्र रेखाओं के लंबवत सतह एक समविभव सतह की तरह व्यवहार करती है,इसलिए
$V_{A}=V_{B} \dots (i)$
विद्युत क्षेत्र और विद्युत विभव इस प्रकार संबंधित हैं
$E=-\frac{d V}{d x} \Rightarrow V=-\int E d x$
जो यह दर्शाता है कि विद्युत क्षेत्र की दिशा में विद्युत विभव घटता है,अर्थात
$V_{B}>V_{C} \dots (ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ से,हमारे पास है
$V_{A}=V_{B}>V_{C}$

(D) एक समविभव पृष्ठ के सभी बिंदुओं पर विद्युत विभव समान होता है।
इसलिए,एक समविभव पृष्ठ पर आवेश $q$ को बिंदु $A$ से बिंदु $B$ तक ले जाने में किया गया कार्य इस सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$W = q(V_{B} - V_{A})$
चूंकि पृष्ठ समविभव है,इसलिए सभी बिंदुओं पर विभव समान है,जिसका अर्थ है $V_{A} = V_{B}$।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$W = q(V_{A} - V_{A}) = q(0) = 0$
अतः,समविभव पृष्ठ पर किसी आवेश को ले जाने में किया गया कार्य $0$ होता है।

(B) बिंदु आवेश $q$ के कारण $r$ दूरी पर विद्युत विभव $V$ का सूत्र $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r}$ होता है।
समविभव पृष्ठ के लिए,विभव $V$ का मान स्थिर होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि दिए गए विभव $V$ के लिए दूरी $r$ स्थिर होनी चाहिए।
एक स्थिर बिंदु आवेश $q$ से समान दूरी पर स्थित बिंदुओं का बिंदुपथ एक गोला होता है।
अतः,बिंदु आवेश के लिए समविभव पृष्ठ एक गोला होता है जिसके केंद्र पर आवेश स्थित होता है।

(D) एक समान विद्युत क्षेत्र में, विद्युत क्षेत्र रेखाओं की दिशा में विद्युत विभव $V$ घटता है। एक समान विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = E\hat{i}$ में किसी बिंदु $(x, y)$ पर विभव $V = -Ex + \text{स्थिरांक}$ द्वारा दिया जाता है।
एक ही ऊर्ध्वाधर रेखा पर स्थित बिंदुओं (क्षेत्र रेखाओं के लंबवत) का विभव समान होता है क्योंकि उनका $x$-निर्देशांक समान होता है।
चित्र को देखने पर:
$1$. बिंदु $C$ सबसे बाईं ओर है, इसलिए इसका $x$-निर्देशांक सबसे छोटा है, जिसका अर्थ है कि $V_{C}$ सबसे अधिक है।
$2$. बिंदु $D$ सबसे दाईं ओर है, इसलिए इसका $x$-निर्देशांक सबसे बड़ा है, जिसका अर्थ है कि $V_{D}$ सबसे कम है।
$3$. बिंदु $A$ और $B$ एक ही ऊर्ध्वाधर रेखा पर हैं, इसलिए $V_{A} = V_{B}$ है।
$4$. चूंकि $C$, $D$ के बाईं ओर है, इसलिए $V_{C} > V_{D}$ है।
अतः, सही संबंध $V_{A} = V_{B}$ और $V_{C} > V_{D}$ है।

(A) एक समान विद्युत क्षेत्र में,किसी बिंदु $(x, y, z)$ पर विद्युत विभव $V = -E \cdot r + C$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $E$ विद्युत क्षेत्र सदिश है और $r$ स्थिति सदिश है।
$x$-अक्ष की दिशा में एक समान विद्युत क्षेत्र के लिए,विभव केवल $x$-निर्देशांक पर निर्भर करता है $(V = -Ex + C)$।
इसलिए,विद्युत क्षेत्र रेखाओं के लंबवत तल पर स्थित सभी बिंदुओं का विद्युत विभव समान होता है।
दिए गए चित्र में,$4$ पंक्तियों में प्रत्येक में $3$ बिंदु हैं,जो $12$ बिंदुओं का एक ग्रिड बनाते हैं।
छायांकित बिंदु मध्य स्तंभ में है।
वे बिंदु जिनका विभव छायांकित बिंदु के समान है,वे उसी ऊर्ध्वाधर रेखा पर स्थित हैं (जो विद्युत क्षेत्र रेखाओं के लंबवत है)।
उस ऊर्ध्वाधर स्तंभ में छायांकित बिंदु सहित कुल $3$ बिंदु हैं।
इस प्रकार,छायांकित बिंदु के अलावा $2$ अन्य बिंदु हैं जिनका विद्युत विभव छायांकित बिंदु के समान है।

(B) कथन $(A)$ के लिए:
विभवांतर $dV = -\vec{E} \cdot d\vec{r}$ द्वारा दिया जाता है। यदि विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = 0$ है,तो $dV = 0$ होगा,जिसका अर्थ है कि पूरे क्षेत्र में विभव $V$ स्थिर रहता है।
कारण $(R)$ के लिए:
गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi_E = \oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$ होता है।
यदि क्षेत्र में हर जगह $\vec{E} = 0$ है,तो फ्लक्स $\phi_E = 0$ होगा,जिसका अर्थ है कि $q_{enclosed} = 0$ है। अतः,कारण सही है।
हालाँकि,कारण यह बताता है कि यदि क्षेत्र शून्य है तो आवेश शून्य क्यों होना चाहिए,लेकिन यह यह नहीं बताता कि उस क्षेत्र में विभव स्थिर क्यों है (जो $E = -\nabla V$ संबंध से प्राप्त होता है)। इसलिए,$(R)$,$(A)$ की सही व्याख्या नहीं है।

(B) एक समान विद्युत क्षेत्र में,विद्युत क्षेत्र की दिशा में आगे बढ़ने पर विद्युत विभव घटता है।
चूंकि $BC$,विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E}$ के समानांतर है और बिंदु $C$,बिंदु $B$ की तुलना में क्षेत्र की दिशा में आगे है,इसलिए $V_B > V_C$ है।
साथ ही,विद्युत क्षेत्र की दिशा के लंबवत रेखा पर विद्युत विभव स्थिर रहता है।
चूंकि $AB$,विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E}$ के लंबवत है,इसलिए $A$ पर विभव $B$ पर विभव के बराबर है,अर्थात $V_A = V_B$ है।
इन दोनों परिणामों को मिलाने पर,हमें $V_A = V_B > V_C$ प्राप्त होता है।

(B) परिभाषा के अनुसार,एक समविभव पृष्ठ वह पृष्ठ है जहाँ विद्युत विभव सभी बिंदुओं पर समान होता है।
चूंकि पृष्ठ पर आवेश $q$ को ले जाने में किया गया कार्य $W = 0$ होता है,और $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{l} = q \int \vec{E} \cdot d\vec{l} = 0$,इसका अर्थ है कि विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ को पृष्ठ के प्रत्येक बिंदु पर विस्थापन सदिश $d\vec{l}$ के लंबवत होना चाहिए।
इसलिए,विद्युत बल रेखाएं हमेशा समविभव पृष्ठ के लंबवत होती हैं।

(D) समविभव पृष्ठ वह पृष्ठ है जहाँ प्रत्येक बिंदु पर विद्युत विभव समान होता है।
इसलिए,समविभव पृष्ठ पर किन्हीं दो बिंदुओं के बीच विभवांतर $(V_1 - V_2)$ $0$ होता है।
विद्युत विभव की परिभाषा के अनुसार,किसी आवेश $(q)$ को एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक ले जाने में किया गया कार्य $(W)$,$W = q(V_1 - V_2)$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $V_1 - V_2 = 0$,इसलिए किया गया कार्य $W = q \times 0 = 0$ होता है।
अतः,समविभव पृष्ठ पर एक इकाई धनात्मक आवेश को ले जाने में कोई कार्य नहीं किया जाता है।

(D) बिंदु आवेश $q$ से $r$ दूरी पर विद्युत विभव $V = \frac{kq}{r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k = 9 \times 10^9 \text{ Nm}^2\text{C}^{-2}$ है।
चित्र से,$V = 60 \text{ V}$ विभव वाले समविभव पृष्ठ के लिए,त्रिज्या $r = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$ है।
इन मानों को विभव के सूत्र में रखने पर:
$60 = \frac{kq}{0.1}$
$kq = 60 \times 0.1 = 6 \text{ Vm}$.
बिंदु आवेश से $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र का परिमाण $E = \frac{kq}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
$kq = 6$ का मान विद्युत क्षेत्र के सूत्र में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$E = \frac{6}{r^2} \text{ Vm}^{-1}$.

(B) समविभव पृष्ठ वह पृष्ठ है जहाँ प्रत्येक बिंदु पर विद्युत विभव समान होता है।
परिभाषा के अनुसार,एक समविभव पृष्ठ पर आवेश $q$ को ले जाने में किया गया कार्य शून्य होता है,क्योंकि $W = q \Delta V$ और $\Delta V = 0$ होता है।
चूंकि किया गया कार्य $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{l} = q \int \vec{E} \cdot d\vec{l} = 0$ है,इसलिए विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ को पृष्ठ के अनुदिश विस्थापन $d\vec{l}$ के लंबवत होना चाहिए।
अतः,विद्युत बल रेखाएं हमेशा समविभव पृष्ठ के लंबवत होती हैं,जिसका अर्थ है कि उनके बीच का कोण $90^{\circ}$ है।

(C) स्थिर वैद्युत क्षेत्र में किसी आवेश को स्थानांतरित करने में किया गया कार्य निकाय की स्थिर वैद्युत स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W = U_{f} - U_{i}$
$U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q_{1} q_{2}}{r}$
जब $+5 \text{ C}$ का आवेश $A(2, 0) \text{ m}$ पर होता है,तब प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_{i}$:
$U_{i} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{(2)(5)}{2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} (5)$
जब $+5 \text{ C}$ का आवेश $B(0, 2) \text{ m}$ पर होता है,तब अंतिम स्थितिज ऊर्जा $U_{f}$:
$U_{f} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{(2)(5)}{2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} (5)$
चूंकि मूल बिंदु $O$ से बिंदु $A$ की दूरी $2 \text{ m}$ है और मूल बिंदु $O$ से बिंदु $B$ की दूरी भी $2 \text{ m}$ है,इसलिए स्थितिज ऊर्जा समान रहती है।
$W = U_{f} - U_{i} = 0 \text{ J}$.