सिद्ध कीजिए कि एक बंद समविभव पृष्ठ जिसके भीतर कोई आवेश नहीं है, वह एक समविभव आयतन को घेरता है।

(N/A) मान लीजिए कि एक बंद समविभव पृष्ठ $S$ है जो एक आयतन $V$ को घेरता है जिसमें कोई आवेश नहीं है $(q_{in} = 0)$.
विरोधाभास के लिए मान लीजिए कि आयतन के भीतर विभव स्थिर नहीं है। यदि विभव बदलता है, तो आयतन के भीतर एक गैर-शून्य विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ मौजूद होना चाहिए, जो $\vec{E} = -\nabla V$ संबंध द्वारा दिया जाता है।
गॉस के नियम के अनुसार, किसी भी बंद पृष्ठ से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स घिरे हुए आवेश के समानुपाती होता है: $\oint_S \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{q_{in}}{\epsilon_0}$.
चूंकि $q_{in} = 0$ है, इसलिए पृष्ठ से गुजरने वाला कुल फ्लक्स शून्य होना चाहिए।
यदि अंदर विभव बदलता है, तो विद्युत क्षेत्र रेखाओं को आयतन के भीतर के आवेशों पर उत्पन्न या समाप्त होना चाहिए। हालाँकि, चूंकि अंदर कोई आवेश नहीं है, इसलिए आयतन में प्रवेश करने वाली किसी भी क्षेत्र रेखा को उससे बाहर निकलना चाहिए, या क्षेत्र को हर जगह शून्य होना चाहिए।
यदि विभव स्थिर नहीं होता, तो क्षेत्र के भीतर विभव के स्थानीय अधिकतम या न्यूनतम मान होते। हार्मोनिक फलनों के गुणों (लाप्लास समीकरण $\nabla^2 V = 0$) के अनुसार, आवेश-मुक्त क्षेत्र में विभव का कोई स्थानीय अधिकतम या न्यूनतम मान नहीं हो सकता है।
इसलिए, पूरे आयतन में विभव स्थिर होना चाहिए, जिसका अर्थ है कि पूरा आयतन समविभव है।