Einstein's Photoelectric Equation and Energy Quantum of Radiation Questions in Hindi

(C) आइंस्टीन के फोटोइलेक्ट्रिक समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की गतिज ऊर्जा $E$ इस प्रकार है: $E = \frac{hc}{\lambda} - \Phi$,जहाँ $\Phi$ सतह का कार्य फलन (work function) है।
प्रारंभिक स्थिति के लिए: $E = \frac{hc}{\lambda} - \Phi$.
अंतिम स्थिति के लिए,ऊर्जा $2E$ हो जाती है: $2E = \frac{hc}{\lambda_1} - \Phi$.
पहले समीकरण से,$\Phi = \frac{hc}{\lambda} - E$.
इस मान को दूसरे समीकरण में रखने पर: $2E = \frac{hc}{\lambda_1} - (\frac{hc}{\lambda} - E)$.
$2E = \frac{hc}{\lambda_1} - \frac{hc}{\lambda} + E$.
$E = \frac{hc}{\lambda_1} - \frac{hc}{\lambda}$.
चूंकि $E > 0$,इसलिए $\frac{hc}{\lambda_1} > \frac{hc}{\lambda}$,जिसका अर्थ है कि $\lambda_1 < \lambda$.
साथ ही,$\frac{hc}{\lambda_1} = E + \frac{hc}{\lambda}$.
चूंकि $E = \frac{hc}{\lambda} - \Phi$,इसलिए $\frac{hc}{\lambda_1} = \frac{hc}{\lambda} - \Phi + \frac{hc}{\lambda} = \frac{2hc}{\lambda} - \Phi$.
चूंकि $\Phi > 0$,इसलिए $\frac{hc}{\lambda_1} < \frac{2hc}{\lambda}$,जिसका अर्थ है कि $\lambda_1 > \frac{\lambda}{2}$.
अतः,$\frac{\lambda}{2} < \lambda_1 < \lambda$.

(B) उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $K_{max} = \frac{1}{2}mv^2$ द्वारा दी जाती है।
निरोधी विभव $(V_s)$ पर,मंदक विभव द्वारा किया गया कार्य अधिकतम गतिज ऊर्जा के बराबर होता है: $eV_s = \frac{1}{2}mv^2$।
निरोधी विभव के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर,हमें $V_s = \frac{1}{2} \left(\frac{m}{e}\right) v^2$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\frac{e}{m} = 1.8 \times 10^{11} \ C/kg$,इसलिए $\frac{m}{e} = \frac{1}{1.8 \times 10^{11}} \ kg/C$।
मान रखने पर: $V_s = \frac{1}{2} \times \frac{1}{1.8 \times 10^{11}} \times (9 \times 10^5)^2$।
$V_s = \frac{1}{2} \times \frac{81 \times 10^{10}}{1.8 \times 10^{11}} = \frac{81}{3.6} = 22.5 \times 0.1 = 2.25 \ V$।
अतः,निरोधी विभव $2.25 \ V$ है।

(C) आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
प्रकाश वैद्युत प्रभाव होने के लिए,आपतित फोटॉन की ऊर्जा धातु के कार्य फलन $(\Phi)$ से अधिक या उसके बराबर होनी चाहिए।
कार्य फलन $\Phi = \frac{hc}{\lambda_0}$ के रूप में दिया गया है,जहाँ $\lambda_0$ देहली तरंगदैर्ध्य है।
इसलिए,प्रकाश वैद्युत प्रभाव के लिए शर्त $E \geqslant \Phi$ है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{hc}{\lambda} \geqslant \frac{hc}{\lambda_0}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $hc$ से विभाजित करने पर,$\frac{1}{\lambda} \geqslant \frac{1}{\lambda_0}$ प्राप्त होता है।
व्युत्क्रम लेने पर,असमानता का चिह्न बदल जाता है: $\lambda \leqslant \lambda_0$।
अतः,प्रकाश वैद्युत प्रभाव के लिए आपतित तरंगदैर्ध्य देहली तरंगदैर्ध्य से कम होनी चाहिए,इसलिए सही विकल्प $\lambda < \lambda_0$ है।

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $K_{max} = h\nu - \Phi$,जहाँ $\Phi$ कार्य फलन है।
प्रारंभ में: $0.4 = h\nu - \Phi$ --- $(1)$
जब आवृत्ति में $20 \%$ की वृद्धि होती है,तो नई आवृत्ति $\nu' = 1.2\nu$ होती है।
नई गतिज ऊर्जा: $0.7 = h(1.2\nu) - \Phi$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ से,$h\nu = 0.4 + \Phi$.
इस मान को $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $0.7 = 1.2(0.4 + \Phi) - \Phi$.
$0.7 = 0.48 + 1.2\Phi - \Phi$.
$0.7 - 0.48 = 0.2\Phi$.
$0.22 = 0.2\Phi$.
$\Phi = \frac{0.22}{0.2} = 1.1 \ eV$.

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार, अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = h v - \Phi_0$ होती है, जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है, $v$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति है और $\Phi_0 = h v_0$ कार्य फलन है ($v_0$ देहली आवृत्ति है)।
आवृत्ति $v_1$ के लिए, $K_1 = h v_1 - h v_0 = h(v_1 - v_0)$।
आवृत्ति $v_2$ के लिए, $K_2 = h v_2 - h v_0 = h(v_2 - v_0)$।
दिया गया अनुपात $K_1 : K_2 = 1 : k$ है, इसलिए $\frac{K_1}{K_2} = \frac{1}{k}$।
समीकरणों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{h(v_1 - v_0)}{h(v_2 - v_0)} = \frac{1}{k}$।
यह $k(v_1 - v_0) = v_2 - v_0$ में सरल हो जाता है।
पदों का विस्तार करने पर: $k v_1 - k v_0 = v_2 - v_0$।
$v_0$ के लिए हल करने पर: $k v_1 - v_2 = k v_0 - v_0 = v_0(k - 1)$।
अतः, $v_0 = \frac{k v_1 - v_2}{k - 1}$।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$,जहाँ $K_{max} = \frac{1}{2}mv^2$ है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए: $\frac{1}{2}mV^2 = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ --- $(1)$
तरंगदैर्ध्य $\lambda' = \frac{2\lambda}{3}$ के लिए: $\frac{1}{2}mv'^2 = \frac{hc}{2\lambda/3} - \phi = \frac{3hc}{2\lambda} - \phi$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ से,$\frac{hc}{\lambda} = \frac{1}{2}mV^2 + \phi$ है।
इसे $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{2}mv'^2 = \frac{3}{2}(\frac{1}{2}mV^2 + \phi) - \phi = \frac{3}{4}mV^2 + \frac{1}{2}\phi$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\phi > 0$ है,इसलिए $\frac{1}{2}mv'^2 > \frac{3}{4}mV^2$ होगा।
अतः $v'^2 > \frac{3}{2}V^2$,जिसका अर्थ है कि $v' > \sqrt{\frac{3}{2}}V$।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = E - \Phi$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $E$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है और $\Phi$ धातु का कार्य फलन है।
स्थिति $1$: जब आपतित ऊर्जा $E_1 = 2\Phi$ हो,तो अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_1 = 2\Phi - \Phi = \Phi$ होती है।
चूँकि $K_1 = \frac{1}{2} m V_1^2$,इसलिए $\frac{1}{2} m V_1^2 = \Phi$,जिसका अर्थ है $V_1 = \sqrt{\frac{2\Phi}{m}}$।
स्थिति $2$: जब आपतित ऊर्जा $E_2 = 3\Phi$ हो,तो अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_2 = 3\Phi - \Phi = 2\Phi$ होती है।
चूँकि $K_2 = \frac{1}{2} m V_2^2$,इसलिए $\frac{1}{2} m V_2^2 = 2\Phi$,जिसका अर्थ है $V_2 = \sqrt{\frac{4\Phi}{m}}$।
अनुपात $V_1: V_2$ लेने पर:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\sqrt{\frac{2\Phi}{m}}}{\sqrt{\frac{4\Phi}{m}}} = \sqrt{\frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
अतः,अनुपात $V_1: V_2$ का मान $1: \sqrt{2}$ है।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,निरोधी विभव $V_s$ इस प्रकार दिया जाता है: $eV_s = \frac{hc}{\lambda} - \Phi$,जहाँ $\Phi = \frac{hc}{\lambda_0}$ कार्य फलन है और $\lambda_0$ देहली तरंगदैर्ध्य है।
प्रथम स्थिति के लिए: $eV_1 = \frac{hc}{\lambda_1} - \frac{hc}{\lambda_0} = hc \left( \frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_0} \right)$ --- $(1)$
दूसरी स्थिति के लिए: $e \left( \frac{V_1}{6} \right) = \frac{hc}{3\lambda_1} - \frac{hc}{\lambda_0} = hc \left( \frac{1}{3\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_0} \right)$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ को समीकरण $(2)$ से विभाजित करने पर:
$6 = \frac{\frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_0}}{\frac{1}{3\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_0}}$
$6 \left( \frac{1}{3\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_0} \right) = \frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_0}$
$\frac{2}{\lambda_1} - \frac{6}{\lambda_0} = \frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_0}$
$\frac{2}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_1} = \frac{6}{\lambda_0} - \frac{1}{\lambda_0}$
$\frac{1}{\lambda_1} = \frac{5}{\lambda_0}$
$\lambda_0 = 5\lambda_1$. अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = E - \Phi$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $E$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है और $\Phi$ धातु का कार्य फलन है।
चूंकि देहली आवृत्ति $v$ है,इसलिए कार्य फलन $\Phi = hv$ है।
$4v$ आवृत्ति वाले आपतित विकिरण की ऊर्जा $E = h(4v) = 4hv$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$K_{max} = 4hv - hv = 3hv$.
चूंकि $K_{max} = \frac{1}{2}mv_{max}^2$,इसलिए:
$\frac{1}{2}mv_{max}^2 = 3hv$.
$v_{max}$ के लिए हल करने पर:
$v_{max}^2 = \frac{6hv}{m}$.
$v_{max} = \sqrt{\frac{6hv}{m}}$.

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,निरोधी विभव $V_s$ को इस प्रकार दिया जाता है:
$eV_s = h\nu - \phi$
$V_s = (h/e)\nu - (\phi/e)$
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,हमें ढाल $m = h/e$ प्राप्त होती है।
यहाँ,$h$ प्लांक नियतांक है और $e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है।
चूंकि $h$ और $e$ दोनों सार्वभौमिक नियतांक हैं,निरोधी विभव बनाम आवृत्ति के ग्राफ की ढाल पदार्थ के कार्य फलन $\phi$ से स्वतंत्र होती है।
इसलिए,दोनों पदार्थों के लिए ढाल समान है,अर्थात $h/e$।
अतः,ढाल का अनुपात $1: 1$ है।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,निरोधी विभव $V_s$ और आपतित विकिरण की आवृत्ति $\nu$ के बीच संबंध निम्न है:
$eV_s = h\nu - \phi$
जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है,और $\phi$ धातु का कार्य फलन (work function) है।
$V_s$ के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$V_s = \frac{h}{e}\nu - \frac{\phi}{e}$
यह एक सीधी रेखा का समीकरण $y = mx + c$ है,जहाँ ढाल (slope) $m = \frac{h}{e}$ है।
दिए गए ग्राफ से,दो बिंदुओं $( \nu_1, V_1 )$ और $( \nu_2, V_2 )$ का उपयोग करके रेखा की ढाल की गणना की जा सकती है:
ढाल $= \frac{V_2 - V_1}{\nu_2 - \nu_1}$
ढाल के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\frac{h}{e} = \frac{V_2 - V_1}{\nu_2 - \nu_1}$
अतः,प्लांक नियतांक $h$ का मान है:
$h = \frac{e(V_2 - V_1)}{\nu_2 - \nu_1}$

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $\frac{hc}{\lambda} = \Phi + K_{max}$,जहाँ $\Phi$ कार्य फलन है और $K_{max} = \frac{1}{2}mv^2$ है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda_1$ और वेग $V$ के लिए: $\frac{hc}{\lambda_1} = \Phi + \frac{1}{2}mV^2$ --- $(1)$
तरंगदैर्ध्य $\lambda_2$ और वेग $2V$ के लिए: $\frac{hc}{\lambda_2} = \Phi + \frac{1}{2}m(2V)^2 = \Phi + 2mV^2$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ से,$\frac{1}{2}mV^2 = \frac{hc}{\lambda_1} - \Phi$। इसे $4$ से गुणा करने पर,$2mV^2 = \frac{4hc}{\lambda_1} - 4\Phi$ प्राप्त होता है।
इस मान को $(2)$ में रखने पर: $\frac{hc}{\lambda_2} = \Phi + \frac{4hc}{\lambda_1} - 4\Phi$।
$\frac{hc}{\lambda_2} = \frac{4hc}{\lambda_1} - 3\Phi$।
$3\Phi = \frac{4hc}{\lambda_1} - \frac{hc}{\lambda_2} = hc \left( \frac{4\lambda_2 - \lambda_1}{\lambda_1 \lambda_2} \right)$।
$\Phi = \frac{hc}{3 \lambda_1 \lambda_2} (4 \lambda_2 - \lambda_1)$।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = h\nu - \phi$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$\nu$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति है और $\phi$ धातु का कार्य फलन है।
चूंकि निरोधी विभव $V_s$ का अधिकतम गतिज ऊर्जा के साथ संबंध $K_{max} = eV_s$ है,इसलिए $eV_s = h\nu - \phi$ या $V_s = \frac{h\nu}{e} - \frac{\phi}{e}$ होता है।
प्रारंभ में,मान लीजिए आवृत्ति $\nu_1$ है और निरोधी विभव $V_{s1} = \frac{h\nu_1}{e} - \frac{\phi}{e}$ है।
जब आवृत्ति को दोगुना किया जाता है,$\nu_2 = 2\nu_1$,तो नया निरोधी विभव $V_{s2} = \frac{h(2\nu_1)}{e} - \frac{\phi}{e} = \frac{2h\nu_1}{e} - \frac{\phi}{e}$ होता है।
$V_{s2}$ की $V_{s1}$ के साथ तुलना करने पर,हम देखते हैं कि $V_{s2} = 2V_{s1} + \frac{\phi}{e}$।
चूंकि $\frac{\phi}{e} > 0$,इसलिए यह स्पष्ट है कि $V_{s2} > 2V_{s1}$।
अतः,निरोधी विभव दोगुने से अधिक हो जाएगा।

(D) पदार्थ की थ्रेशोल्ड आवृत्ति $\nu_0$ है। प्रारंभिक आपतित आवृत्ति $\nu_1 = 3\nu_0$ है।
जब आपतित आवृत्ति को बदलकर $\nu_2 = \frac{1}{4} \nu_1 = \frac{1}{4} (3\nu_0) = 0.75 \nu_0$ कर दिया जाता है।
प्रकाश-विद्युत प्रभाव होने के लिए,आपतित आवृत्ति थ्रेशोल्ड आवृत्ति से अधिक या उसके बराबर $(\nu \ge \nu_0)$ होनी चाहिए।
चूंकि नई आवृत्ति $\nu_2 = 0.75 \nu_0$,थ्रेशोल्ड आवृत्ति $\nu_0$ से कम है,इसलिए आपतित प्रकाश की तीव्रता चाहे कितनी भी हो,कोई भी फोटोइलेक्ट्रॉन उत्सर्जित नहीं होगा।
अतः,प्रकाश-विद्युत धारा शून्य हो जाएगी।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = E - W$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $E$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है और $W$ कार्य फलन है।
स्थिति $1$: $E_1 = 4W$.
$K_1 = 4W - W = 3W$.
चूँकि $K = \frac{1}{2}mv^2$,इसलिए $\frac{1}{2}mv_1^2 = 3W$,जिससे $v_1 = \sqrt{\frac{6W}{m}}$.
स्थिति $2$: $E_2 = 6W$.
$K_2 = 6W - W = 5W$.
इसी प्रकार,$\frac{1}{2}mv_2^2 = 5W$,जिससे $v_2 = \sqrt{\frac{10W}{m}}$.
वेगों का अनुपात $\frac{v_1}{v_2} = \frac{\sqrt{6W/m}}{\sqrt{10W/m}} = \sqrt{\frac{6}{10}} = \sqrt{\frac{3}{5}} = \sqrt{3}: \sqrt{5}$ है।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार, अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = E - \phi$ होती है, जहाँ $E$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है और $\phi$ कार्य फलन है।
प्रथम स्थिति के लिए: $E_1 = 3\phi$. अतः, $K_{max1} = 3\phi - \phi = 2\phi$.
हम जानते हैं कि $K_{max} = \frac{1}{2}mv^2$, इसलिए $\frac{1}{2}mv_1^2 = 2\phi$ --- $(1)$.
दूसरी स्थिति के लिए: $E_2 = 7\phi$. अतः, $K_{max2} = 7\phi - \phi = 6\phi$.
इसलिए, $\frac{1}{2}mv_2^2 = 6\phi$ --- $(2)$.
समीकरण $(2)$ को समीकरण $(1)$ से विभाजित करने पर: $\frac{v_2^2}{v_1^2} = \frac{6\phi}{2\phi} = 3$.
अतः, $v_2 = v_1 \sqrt{3}$.
चूंकि $v_1 = 4 \times 10^6 \,m/s$ दिया गया है, इसलिए $v_2 = 4 \sqrt{3} \times 10^6 \,m/s$ प्राप्त होता है।

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\max} = h\nu - \phi$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h\nu$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है और $\phi$ धातु का कार्य फलन है।
धातु $A$ के लिए: $K_{A} = hf - \phi_A$
धातु $B$ के लिए: $K_{B} = h(2f) - \phi_B = 2hf - \phi_B$
कार्य फलनों का अनुपात $\frac{\phi_A}{\phi_B} = \frac{1}{2}$ दिया गया है,इसलिए $\phi_B = 2\phi_A$ है।
इस मान को $K_B$ के समीकरण में रखने पर: $K_B = 2hf - 2\phi_A = 2(hf - \phi_A)$ प्राप्त होता है।
अतः,गतिज ऊर्जाओं का अनुपात $\frac{K_A}{K_B} = \frac{hf - \phi_A}{2(hf - \phi_A)} = \frac{1}{2}$ है।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,$K_{max} = eV_0 = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$,जहाँ $\lambda_0$ देहली तरंगदैर्ध्य है।
प्रथम स्थिति के लिए: $\frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0} = eV$ $(i)$
द्वितीय स्थिति के लिए: $\frac{hc}{3\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0} = e\left(\frac{V}{6}\right)$ (ii)
समीकरण $(i)$ को समीकरण (ii) से विभाजित करने पर:
$\frac{\frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}}{\frac{hc}{3\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}} = \frac{eV}{eV/6} = 6$
$\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} = 6 \left( \frac{1}{3\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right)$
$\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} = \frac{2}{\lambda} - \frac{6}{\lambda_0}$
$\frac{6}{\lambda_0} - \frac{1}{\lambda_0} = \frac{2}{\lambda} - \frac{1}{\lambda}$
$\frac{5}{\lambda_0} = \frac{1}{\lambda}$
$\lambda_0 = 5\lambda$

(C) उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K.E.)_{\max}$ और निरोधी विभव $V_s$ के बीच संबंध निम्नलिखित समीकरण द्वारा दिया जाता है:
$(K.E.)_{\max} = e V_s$
यहाँ दिया गया है कि निरोधी विभव $V_s = 10 \ V$ है और इलेक्ट्रॉन का आवेश $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$ है। इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$(K.E.)_{\max} = (1.6 \times 10^{-19} \ C) \times (10 \ V)$
$(K.E.)_{\max} = 1.6 \times 10^{-18} \ J$
अतः,अधिकतम गतिज ऊर्जा $1.6 \times 10^{-18} \ J$ है।

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $k$ इस प्रकार दी जाती है:
$k = h\nu - E_0$
इससे,हम कार्य फलन $E_0$ को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं:
$E_0 = h\nu - k$
जब आपतित विकिरण की आवृत्ति दोगुनी $(2\nu)$ कर दी जाती है,तो मान लीजिए कि नई अधिकतम गतिज ऊर्जा $k'$ है। नया समीकरण होगा:
$k' = h(2\nu) - E_0$
समीकरण में $E_0$ का मान रखने पर:
$k' = 2h\nu - (h\nu - k)$
$k' = 2h\nu - h\nu + k$
$k' = h\nu + k$

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K.E_{\max} = h\nu - W$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h\nu$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है और $W$ पदार्थ का कार्य फलन (work function) है।
प्रारंभ में,$K_1 = h\nu - W$ है।
जब आवृत्ति को दोगुना किया जाता है,तो नई आवृत्ति $2\nu$ हो जाती है। नई अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_2$ है:
$K_2 = h(2\nu) - W = 2h\nu - W$।
हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
$K_2 = 2(h\nu - W) + W = 2K_1 + W$।
चूंकि कार्य फलन $W$ एक धनात्मक स्थिरांक है,इसलिए $K_2 > 2K_1$ होगा।
अतः,उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा उसके प्रारंभिक मान की दोगुनी से अधिक होगी।

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,निरोधी विभव $V_s$ को इस प्रकार दिया जाता है:
$e V_s = h \nu - \phi$
$V_s = \frac{h}{e} \nu - \frac{\phi}{e}$
इस समीकरण की तुलना एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ से करने पर,आवृत्ति अक्ष पर अंतःखंड (जहाँ $V_s = 0$ है) देहली आवृत्ति $\nu_0$ है,जो $\nu_0 = \frac{\phi}{h}$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $\phi = h \nu_0$।
ग्राफ से यह स्पष्ट है कि धातु $X$ के लिए देहली आवृत्ति $(\nu_0)$ धातु $Y$ की देहली आवृत्ति $(\nu_0^{\prime})$ से कम है,अर्थात $\nu_0 < \nu_0^{\prime}$।
चूंकि कार्य फलन $\phi$ देहली आवृत्ति $\nu_0$ के सीधे आनुपातिक है,इसलिए $\phi_x < \phi_y$ होगा।

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max}$ इस प्रकार दी जाती है:
$K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - W_0$
हम यह भी जानते हैं कि अधिकतम गतिज ऊर्जा और निरोधी विभव $V$ के बीच संबंध है:
$K_{max} = eV$
$K_{max}$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$eV = \frac{hc}{\lambda} - W_0$
$\lambda$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{hc}{\lambda} = W_0 + eV$
$\lambda = \frac{hc}{W_0 + eV}$

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K.E._{\max} = hF - \Phi$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\Phi = hF_0$ कार्य फलन (work function) है।
स्थिति $1$: जब आपतित आवृत्ति $F = 2F_0$ हो,
$\frac{1}{2}mV_1^2 = h(2F_0) - hF_0 = hF_0$
स्थिति $2$: जब आपतित आवृत्ति $F = 5F_0$ हो,
$\frac{1}{2}mV_2^2 = h(5F_0) - hF_0 = 4hF_0$
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर:
$\frac{V_1^2}{V_2^2} = \frac{hF_0}{4hF_0} = \frac{1}{4}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{V_1}{V_2} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K.E_{\max} = E - \phi$ द्वारा दी जाती है।
प्रथम स्थिति के लिए,$E_1 = 3\phi$,अतः $K.E_1 = 3\phi - \phi = 2\phi$.
दूसरी स्थिति के लिए,$E_2 = 9\phi$,अतः $K.E_2 = 9\phi - \phi = 8\phi$.
चूंकि $K.E = \frac{1}{2}mv^2$,इसलिए अनुपात $\frac{K.E_1}{K.E_2} = \frac{v_1^2}{v_2^2}$ होगा।
मान रखने पर,$\frac{2\phi}{8\phi} = \frac{1}{4} = \frac{v_1^2}{v_2^2}$.
वर्गमूल लेने पर,$\frac{v_1}{v_2} = \frac{1}{2}$,जिसका अर्थ है कि $v_2 = 2v_1$.
यहाँ $v_1 = 6 \times 10^6 \ m/s$ दिया गया है,इसलिए $v_2 = 2 \times 6 \times 10^6 = 12 \times 10^6 \ m/s$ होगा।

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K.E. = h n - \phi$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\phi$ धातु का कार्य फलन है।
पहले फोटोकैथोड के लिए: $\frac{1}{2}mV_1^2 = hn_1 - \phi$ $(1)$
दूसरे फोटोकैथोड के लिए: $\frac{1}{2}mV_2^2 = hn_2 - \phi$ $(2)$
समीकरण $(1)$ में से समीकरण $(2)$ को घटाने पर:
$\frac{1}{2}mV_1^2 - \frac{1}{2}mV_2^2 = (hn_1 - \phi) - (hn_2 - \phi)$
$\frac{1}{2}m(V_1^2 - V_2^2) = h(n_1 - n_2)$
$V_1^2 - V_2^2 = \frac{2h}{m}(n_1 - n_2)$

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,निरोधी विभव (stopping potential) $V_0$ आपतित विकिरण की आवृत्ति $f$ से इस समीकरण द्वारा संबंधित है: $eV_0 = hf - \Phi$,जहाँ $e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है,$h$ प्लांक नियतांक है,और $\Phi$ धातु का कार्य फलन (work function) है।
ग्राफ से,निरोधी विभव का परिमाण $|V_0^1| < |V_0^2| < |V_0^3| < |V_0^4|$ है।
चूंकि किसी दी गई धातु के लिए निरोधी विभव $V_0$ आवृत्ति $f$ के सीधे समानुपाती होता है,इसलिए निरोधी विभव का बड़ा परिमाण आपतित विकिरण की उच्च आवृत्ति के अनुरूप होता है।
अतः,आवृत्तियों का क्रम $f_a > f_b > f_c > f_d$ है।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा इस प्रकार दी जाती है: $K_{max} = hv - \phi$,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$v$ आपतित विकिरण की आवृत्ति है,और $\phi$ धातु का कार्य फलन है।
इस समीकरण की तुलना एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ से करने पर,हमें $y = K_{max}$,$x = v$,ढाल $m = h$,और अंतःखंड $c = -\phi$ प्राप्त होता है।
चूँकि ढाल $h$ धनात्मक है और अंतःखंड $-\phi$ ऋणात्मक है,इसलिए ग्राफ एक सीधी रेखा है जो देहली आवृत्ति $v_0$ (जहाँ $K_{max} = 0$ होता है) से शुरू होती है और आवृत्ति $v$ के साथ रैखिक रूप से बढ़ती है।
यह ग्राफ $(1)$ के अनुरूप है।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda} - W_0$ होती है,जहाँ $W_0$ कार्य फलन है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda_1$ के लिए,$E_1 = \frac{hc}{\lambda_1} - W_0 \implies E_1 \lambda_1 = hc - W_0 \lambda_1 \implies hc = E_1 \lambda_1 + W_0 \lambda_1$ ... $(i)$
तरंगदैर्ध्य $\lambda_2$ के लिए,$E_2 = \frac{hc}{\lambda_2} - W_0 \implies E_2 \lambda_2 = hc - W_0 \lambda_2 \implies hc = E_2 \lambda_2 + W_0 \lambda_2$ ... (ii)
समीकरण $(i)$ और (ii) की तुलना करने पर:
$E_1 \lambda_1 + W_0 \lambda_1 = E_2 \lambda_2 + W_0 \lambda_2$
$E_1 \lambda_1 - E_2 \lambda_2 = W_0 \lambda_2 - W_0 \lambda_1$
$E_1 \lambda_1 - E_2 \lambda_2 = W_0 (\lambda_2 - \lambda_1)$
$W_0 = \frac{E_1 \lambda_1 - E_2 \lambda_2}{\lambda_2 - \lambda_1}$

(C) आइंस्टीन के फोटोइलेक्ट्रिक समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $E_k = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ है,जहाँ $\phi$ कार्य फलन है।
पहले मामले के लिए तरंगदैर्ध्य $\lambda$ है:
$E_1 = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ ... $(i)$
दूसरे मामले के लिए तरंगदैर्ध्य $\frac{\lambda}{2}$ है:
$E_2 = \frac{hc}{\lambda/2} - \phi = \frac{2hc}{\lambda} - \phi$ ... (ii)
दिया गया है कि $E_1 = \frac{1}{4} E_2$,जिसका अर्थ है $4E_1 = E_2$ ... (iii)
समीकरण $(i)$ और (ii) को (iii) में रखने पर:
$4\left(\frac{hc}{\lambda} - \phi\right) = \frac{2hc}{\lambda} - \phi$
$\frac{4hc}{\lambda} - 4\phi = \frac{2hc}{\lambda} - \phi$
$\frac{4hc}{\lambda} - \frac{2hc}{\lambda} = 4\phi - \phi$
$\frac{2hc}{\lambda} = 3\phi$
$\phi = \frac{2hc}{3\lambda}$

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = hv - W_0$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$v$ आपतित विकिरण की आवृत्ति है,और $W_0$ धातु का कार्य फलन है।
चूंकि निरोधी विभव $V_s$ अधिकतम गतिज ऊर्जा से $eV_s = K_{max}$ द्वारा संबंधित है,इसलिए $eV_s = hv - W_0$ होगा।
$V_s$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर,हमें $V_s = \frac{h}{e}v - \frac{W_0}{e}$ प्राप्त होता है।
इस समीकरण से यह स्पष्ट है कि निरोधी विभव $V_s$ आपतित विकिरण की आवृत्ति $v$ के सीधे समानुपाती है।
इसलिए,यदि आवृत्ति $v$ को बढ़ाया जाता है,तो निरोधी विभव $V_s$ भी बढ़ेगा।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\phi$ कार्य फलन है।
पहले मामले के लिए,तरंगदैर्ध्य $\lambda$ है:
$K_1 = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ ... $(i)$
दूसरे मामले के लिए,तरंगदैर्ध्य $\lambda / 3$ है:
$K_2 = \frac{hc}{\lambda / 3} - \phi = \frac{3hc}{\lambda} - \phi$ ... $(ii)$
दिया गया है कि $K_2 = 4K_1$,मान रखने पर:
$\frac{3hc}{\lambda} - \phi = 4 \left( \frac{hc}{\lambda} - \phi \right)$
समीकरण का विस्तार करने पर:
$\frac{3hc}{\lambda} - \phi = \frac{4hc}{\lambda} - 4\phi$
$\phi$ के लिए हल करने पर:
$4\phi - \phi = \frac{4hc}{\lambda} - \frac{3hc}{\lambda}$
$3\phi = \frac{hc}{\lambda}$
$\phi = \frac{hc}{3\lambda}$

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K_{max})$ इस प्रकार है: $K_{max} = h\nu - \Phi_0$,जहाँ $\Phi_0$ कार्य फलन है।
चूंकि $K_{max} = eV_0$,हम लिख सकते हैं: $eV_0 = h\nu - \Phi_0$.
$e$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $V_0 = (\frac{h}{e})\nu - \frac{\Phi_0}{e}$.
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ से तुलना करने पर,जहाँ $y = V_0$ और $x = \nu$,ढाल $(m) = \frac{h}{e}$ है।
ढाल को इलेक्ट्रॉन के आवेश $(e)$ से गुणा करने पर,हमें मिलता है: $m \times e = (\frac{h}{e}) \times e = h$.
अतः,यह गुणनफल प्लांक नियतांक $(h)$ प्रदान करता है।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K.E_{\max} = E - \phi_0$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $E$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है और $\phi_0$ कार्य फलन है।
पहली स्थिति के लिए,$E_1 = 2\phi_0$,इसलिए $K.E_1 = 2\phi_0 - \phi_0 = \phi_0$.
दूसरी स्थिति के लिए,$E_2 = 3\phi_0$,इसलिए $K.E_2 = 3\phi_0 - \phi_0 = 2\phi_0$.
चूंकि $K.E. = \frac{1}{2}mv^2$,इसलिए $\frac{K.E_1}{K.E_2} = \frac{v_1^2}{v_2^2}$ होगा।
मान रखने पर,$\frac{v_1^2}{v_2^2} = \frac{\phi_0}{2\phi_0} = \frac{1}{2}$.
अतः,अधिकतम वेगों का अनुपात $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार, निरोधी विभव $V_s$ को इस प्रकार दिया जाता है:
$e V_s = h \nu - \Phi_0$
$V_s = \frac{h}{e} \nu - \frac{\Phi_0}{e}$
जहाँ $\Phi_0$ कार्य फलन है और $\nu_0$ देहली आवृत्ति (threshold frequency) है, जिससे $\Phi_0 = h \nu_0$ होता है।
दिए गए ग्राफ से, आवृत्ति अक्ष पर अंतःखंड देहली आवृत्ति $\nu_0$ को दर्शाता है।
चूंकि सतह $A$ के लिए देहली आवृत्ति $\nu_{0,A}$, सतह $B$ के लिए देहली आवृत्ति $\nu_{0,B}$ से कम है ( $\nu_{0,A} < \nu_{0,B}$ ),
इसलिए कार्य फलन $\Phi_{0,A} = h \nu_{0,A}$, कार्य फलन $\Phi_{0,B} = h \nu_{0,B}$ से छोटा है।
अतः, $A$ का कार्य फलन $B$ से छोटा है।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण का उपयोग करते हुए,$h \nu = \phi_0 + KE_{\text{max}}$.
चूंकि $KE_{\text{max}} = eV_s$,हमारे पास है $\frac{hc}{\lambda} = \phi_0 + e(4V_0)$ ....$(i)$
इसी प्रकार,$3\lambda$ तरंगदैर्ध्य के लिए,$\frac{hc}{3\lambda} = \phi_0 + eV_0$ ....(ii)
समीकरण (ii) को $4$ से गुणा करने पर:
$\frac{4hc}{3\lambda} = 4\phi_0 + 4eV_0$ ....(iii)
समीकरण (iii) में से समीकरण $(i)$ को घटाने पर:
$\frac{4hc}{3\lambda} - \frac{hc}{\lambda} = (4\phi_0 + 4eV_0) - (\phi_0 + 4eV_0)$
$\frac{hc}{3\lambda} = 3\phi_0$
$\phi_0 = \frac{hc}{9\lambda}$
चूंकि कार्य फलन $\phi_0 = \frac{hc}{\lambda_0}$,जहाँ $\lambda_0$ देहली तरंगदैर्ध्य है,इसलिए हमें $\lambda_0 = 9\lambda$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $(A)$ सही है।

(C) प्रकाश-विद्युत प्रभाव में निरोधी विभव $(V_0)$ उत्सर्जित प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा द्वारा निर्धारित होता है, जो आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण $eV_0 = h\nu - \Phi$ के अनुसार केवल आपतित प्रकाश की आवृत्ति और धातु के कार्य फलन पर निर्भर करता है।
प्रकाश के बिंदु स्रोत को दूर ले जाने से धातु की सतह पर आपतित प्रकाश की तीव्रता बदल जाती है, लेकिन आपतित फोटॉनों की आवृत्ति नहीं बदलती है।
चूंकि निरोधी विभव आपतित प्रकाश की तीव्रता पर निर्भर नहीं करता है, इसलिए यह स्थिर रहेगा।

(B) आइंस्टीन के फोटोइलेक्ट्रिक समीकरण के अनुसार,स्टॉपिंग पोटेंशियल $V_0$ को $eV_0 = h\nu - h\nu_0$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\nu_0$ देहली आवृत्ति है।
आवृत्ति $\nu$ के लिए: $eV_0 = h\nu - h\nu_0$ ... $(i)$
आवृत्ति $\frac{\nu}{2}$ के लिए: $e\frac{V_0}{4} = h\frac{\nu}{2} - h\nu_0$ ... $(ii)$
समीकरण $(i)$ को समीकरण $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$4 = \frac{h\nu - h\nu_0}{\frac{h\nu}{2} - h\nu_0} = \frac{\nu - \nu_0}{\frac{\nu}{2} - \nu_0}$
$4(\frac{\nu}{2} - \nu_0) = \nu - \nu_0$
$2\nu - 4\nu_0 = \nu - \nu_0$
$2\nu - \nu = 4\nu_0 - \nu_0$
$\nu = 3\nu_0$
$\nu_0 = \frac{\nu}{3}$

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K.E_{\max} = E - \phi_0$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $E$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है और $\phi_0$ धातु का कार्य फलन है।
प्रथम स्थिति के लिए,$E_1 = 2\phi_0$. अतः,$K.E_1 = 2\phi_0 - \phi_0 = \phi_0$.
चूंकि $K.E_1 = \frac{1}{2}mv_1^2$,इसलिए $\frac{1}{2}mv_1^2 = \phi_0$ --- $(1)$
द्वितीय स्थिति के लिए,$E_2 = 3\phi_0$. अतः,$K.E_2 = 3\phi_0 - \phi_0 = 2\phi_0$.
चूंकि $K.E_2 = \frac{1}{2}mv_2^2$,इसलिए $\frac{1}{2}mv_2^2 = 2\phi_0$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ को समीकरण $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\frac{1}{2}mv_1^2}{\frac{1}{2}mv_2^2} = \frac{\phi_0}{2\phi_0}$
$\frac{v_1^2}{v_2^2} = \frac{1}{2}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{v_1}{v_2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
अतः,अनुपात $v_1: v_2$ का मान $1: \sqrt{2}$ है।

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $E = \frac{hc}{\lambda} - \phi_0$ ... $(i)$
दिया गया है कि जब तरंगदैर्ध्य $\lambda' = \frac{\lambda}{3}$ हो जाती है,तो गतिज ऊर्जा $E' = 4E$ हो जाती है।
इन मानों को प्रकाश-विद्युत समीकरण में रखने पर: $4E = \frac{hc}{\lambda/3} - \phi_0$
$4E = \frac{3hc}{\lambda} - \phi_0$ ... (ii)
समीकरण $(i)$ से $E$ का मान समीकरण (ii) में रखने पर:
$4\left(\frac{hc}{\lambda} - \phi_0\right) = \frac{3hc}{\lambda} - \phi_0$
$\frac{4hc}{\lambda} - 4\phi_0 = \frac{3hc}{\lambda} - \phi_0$
$\frac{4hc}{\lambda} - \frac{3hc}{\lambda} = 4\phi_0 - \phi_0$
$\frac{hc}{\lambda} = 3\phi_0$
$\phi_0 = \frac{hc}{3\lambda}$

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार, फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K_{max})$ इस प्रकार दी जाती है:
$K_{max} = h\nu - \Phi_0$
जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है, $\nu$ आपतित विकिरण की आवृत्ति है, और $\Phi_0$ धातु का कार्य फलन है।
इस समीकरण से यह स्पष्ट है कि $K_{max}$ आपतित विकिरण की आवृत्ति $(\nu)$ के साथ रैखिक रूप से बदलती है।
इसके अलावा, अधिकतम गतिज ऊर्जा आपतित विकिरण की तीव्रता से स्वतंत्र होती है, क्योंकि तीव्रता केवल प्रति इकाई समय में उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की संख्या को प्रभावित करती है।

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\phi$ धातु का कार्य फलन (work function) है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda_1$ के लिए,$K_1 = \frac{hc}{\lambda_1} - \phi$ $(i)$
तरंगदैर्ध्य $\lambda_2$ के लिए,$K_2 = \frac{hc}{\lambda_2} - \phi$ (ii)
दिया गया है कि $\lambda_1 = 3 \lambda_2$,इसे समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$K_1 = \frac{hc}{3 \lambda_2} - \phi$ (iii)
समीकरण (ii) से,$\frac{hc}{\lambda_2} = K_2 + \phi$। इसे समीकरण (iii) में प्रतिस्थापित करने पर:
$K_1 = \frac{1}{3} (K_2 + \phi) - \phi$
$K_1 = \frac{K_2}{3} + \frac{\phi}{3} - \phi$
$K_1 = \frac{K_2}{3} - \frac{2\phi}{3}$
चूंकि कार्य फलन $\phi > 0$ है,इसलिए यह सिद्ध होता है कि $K_1 < \frac{K_2}{3}$।

(B) आपतित प्रकाश की ऊर्जा $(E)$:
$E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{1240 eV \cdot nm}{310 nm} = 4 eV$
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार:
$K_{max} = E - \phi_0$
जहाँ $\phi_0$ कार्य फलन है।
$K_{max} = 4 eV - 1.13 eV = 2.87 eV$
निरोधी विभव (stopping potential) $(V_0)$ को $K_{max} = eV_0$ द्वारा दिया जाता है।
अतः, $V_0 = 2.87 V$.

(D) प्रकाश-विद्युत समीकरण $eV_0 = hc \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\lambda_0$ देहली तरंगदैर्ध्य है।
प्रथम स्थिति के लिए: $eV = hc \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right) \dots (i)$
द्वितीय स्थिति के लिए: $e \left( \frac{V}{6} \right) = hc \left( \frac{1}{3\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right) \dots (ii)$
समीकरण $(i)$ को समीकरण $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$6 = \frac{\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}}{\frac{1}{3\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}} = \frac{\frac{\lambda_0 - \lambda}{\lambda \lambda_0}}{\frac{\lambda_0 - 3\lambda}{3\lambda \lambda_0}} = \frac{3(\lambda_0 - \lambda)}{\lambda_0 - 3\lambda}$
$6(\lambda_0 - 3\lambda) = 3\lambda_0 - 3\lambda$
$6\lambda_0 - 18\lambda = 3\lambda_0 - 3\lambda$
$3\lambda_0 = 15\lambda$
$\lambda_0 = 5\lambda$

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K.E._{\max})$ को $K.E._{\max} = E - \phi_0$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $E$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है और $\phi_0$ धातु का कार्य फलन है।
पहली स्थिति के लिए,$E_1 = 2\phi_0$,इसलिए $K.E._{\max 1} = 2\phi_0 - \phi_0 = \phi_0$.
दूसरी स्थिति के लिए,$E_2 = 5\phi_0$,इसलिए $K.E._{\max 2} = 5\phi_0 - \phi_0 = 4\phi_0$.
अधिकतम गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{K.E._{\max 1}}{K.E._{\max 2}} = \frac{\phi_0}{4\phi_0} = \frac{1}{4}$ है।
चूंकि $K.E._{\max} = \frac{1}{2}mv_{\max}^2$,इसलिए वेग का अनुपात $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{K.E._{\max 1}}{K.E._{\max 2}}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$ होगा।

(B) एक फोटोइलेक्ट्रिक उत्सर्जक का कार्य फलन $\phi_0$ सूत्र $\phi_0 = \frac{hc}{\lambda_0}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$c$ प्रकाश की गति है,और $\lambda_0$ देहली तरंगदैर्ध्य (threshold wavelength) है।
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $\phi_0 \propto \frac{1}{\lambda_0}$ है।
पहले उत्सर्जक के लिए,आपतित तरंगदैर्ध्य $300 \ nm$ है। चूंकि फोटोइलेक्ट्रॉन उत्सर्जित होते हैं,इसलिए देहली तरंगदैर्ध्य $\lambda_{0_1}$ कम से कम $300 \ nm$ होनी चाहिए।
दूसरे उत्सर्जक के लिए,देहली तरंगदैर्ध्य $\lambda_{0_2}$ का मान $600 \ nm$ दिया गया है।
यह मानते हुए कि पहला उत्सर्जक $300 \ nm$ पर देहली स्थिति में है,हमारे पास $\lambda_{0_1} = 300 \ nm$ और $\lambda_{0_2} = 600 \ nm$ है।
कार्य फलनों का अनुपात $\frac{\phi_{0_1}}{\phi_{0_2}} = \frac{\lambda_{0_2}}{\lambda_{0_1}} = \frac{600 \ nm}{300 \ nm} = \frac{2}{1}$ है।
अतः,अनुपात $2: 1$ है।

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,निरोधी विभव $V_s$ को $eV_s = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\phi$ कार्य फलन है।
प्रथम स्थिति के लिए: $4.8 = \frac{hc}{e\lambda} - \frac{\phi}{e} \quad \dots(i)$
दूसरी स्थिति के लिए,जहाँ तरंगदैर्ध्य $2\lambda$ है: $1.6 = \frac{hc}{e(2\lambda)} - \frac{\phi}{e} \quad \dots(ii)$
समीकरण $(i)$ से समीकरण $(ii)$ को घटाने पर:
$4.8 - 1.6 = \left(\frac{hc}{e\lambda} - \frac{\phi}{e}\right) - \left(\frac{hc}{2e\lambda} - \frac{\phi}{e}\right)$
$3.2 = \frac{hc}{e\lambda} - \frac{hc}{2e\lambda} = \frac{hc}{2e\lambda}$
अतः,$\frac{hc}{e\lambda} = 6.4$.
इस मान को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$4.8 = 6.4 - \frac{\phi}{e} \Rightarrow \frac{\phi}{e} = 6.4 - 4.8 = 1.6$.
देहली तरंगदैर्ध्य $\lambda_0$ को $\phi = \frac{hc}{\lambda_0}$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए $\frac{\phi}{e} = \frac{hc}{e\lambda_0} = 1.6$.
चूंकि $\frac{hc}{e\lambda} = 6.4$,इसलिए $\frac{hc}{e\lambda_0} = \frac{1}{4} \left(\frac{hc}{e\lambda}\right)$.
अतः,$\lambda_0 = 4\lambda$.

(B) अवधारणा: प्रकाश-विद्युत प्रभाव और चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत दिशा में आवेश की गति।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K$ है:
$K = E - W_0$
चूंकि $K = \frac{1}{2} m v^2$,इसलिए:
$v = \sqrt{\frac{2(E - W_0)}{m}}$
जब $e$ आवेश वाला इलेक्ट्रॉन $v$ वेग से $B$ चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत गति करता है,तो उस पर लगने वाला चुंबकीय बल अभिकेंद्र बल के रूप में कार्य करता है,जिससे वह $r$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ पर चलता है:
$e v B = \frac{m v^2}{r}$
$r$ के लिए हल करने पर:
$r = \frac{m v}{e B}$
$v$ का मान रखने पर:
$r = \frac{m}{e B} \sqrt{\frac{2(E - W_0)}{m}} = \frac{\sqrt{m^2 \cdot \frac{2(E - W_0)}{m}}}{e B} = \frac{\sqrt{2m(E - W_0)}}{e B}$

(B) आइंस्टीन के फोटोइलेक्ट्रिक समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\phi$ कार्य फलन है।
प्रथम स्थिति के लिए ($\lambda$ तरंगदैर्ध्य): $K_1 = \frac{hc}{\lambda} - \phi$.
द्वितीय स्थिति के लिए ($\frac{\lambda}{2}$ तरंगदैर्ध्य): $K_2 = \frac{hc}{\lambda/2} - \phi = \frac{2hc}{\lambda} - \phi$.
दिया गया है कि $K_1 = \frac{1}{3} K_2$,इसलिए $3K_1 = K_2$.
समीकरणों को प्रतिस्थापित करने पर: $3(\frac{hc}{\lambda} - \phi) = \frac{2hc}{\lambda} - \phi$.
$\frac{3hc}{\lambda} - 3\phi = \frac{2hc}{\lambda} - \phi$.
$\frac{3hc}{\lambda} - \frac{2hc}{\lambda} = 3\phi - \phi$.
$\frac{hc}{\lambda} = 2\phi$.
अतः,$\phi = \frac{hc}{2\lambda}$.