Einstein's Photoelectric Equation and Energy Quantum of Radiation Questions in Hindi

(B) कार्य फलन $\phi_{0}$ को सूत्र $\phi_{0} = h \nu_{0}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक $(6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s)$ है और $\nu_{0}$ देहली आवृत्ति है।
ऊर्जा को जूल से इलेक्ट्रॉन-वोल्ट $(eV)$ में बदलने के लिए,हम इसे इलेक्ट्रॉन के आवेश $(e = 1.6 \times 10^{-19} \ C)$ से विभाजित करते हैं।
$\phi_{0} = \frac{h \nu_{0}}{e} = \frac{6.626 \times 10^{-34} \times 5.16 \times 10^{14}}{1.6 \times 10^{-19}} \ eV$.
$\phi_{0} \approx \frac{34.19 \times 10^{-20}}{1.6 \times 10^{-19}} \ eV$.
$\phi_{0} \approx 2.137 \ eV$.
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $\phi_{0} \approx 2.14 \ eV$ प्राप्त होता है।

(A) फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K_{\text{max}})$ और स्टॉपिंग पोटेंशियल (कट-ऑफ वोल्टेज,$V_0$) के बीच का संबंध निम्नलिखित समीकरण द्वारा दिया जाता है:
$K_{\text{max}} = e V_0$
यह दिया गया है कि कट-ऑफ वोल्टेज $V_0 = 1.5 \ V$ है,इसलिए इस मान को समीकरण में रखने पर:
$K_{\text{max}} = e \times 1.5 \ V$
$K_{\text{max}} = 1.5 \ eV$
अतः,उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $1.5 \ eV$ है।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार, $K_{max} = h\nu - \phi_0$, जहाँ $K_{max}$ उत्सर्जित प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा है, $h$ प्लांक नियतांक है, $\nu$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति है और $\phi_0$ धातु का कार्य फलन (work function) है。
चूंकि $K_{max} = eV_s$ (जहाँ $e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है और $V_s$ निरोधी विभव है), इसलिए $eV_s = h\nu - \phi_0$ होता है。
निरोधी विभव के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर, $V_s = \frac{h}{e}\nu - \frac{\phi_0}{e}$ प्राप्त होता है。
जैसे-जैसे आपतित प्रकाश की आवृत्ति $\nu$ बढ़ती है, पद $\frac{h}{e}\nu$ बढ़ता है, जिससे निरोधी विभव $V_s$ में वृद्धि होती है。
प्रकाश-विद्युत धारा आपतित प्रकाश की तीव्रता पर निर्भर करती है, न कि उसकी आवृत्ति पर, बशर्ते आवृत्ति देहली आवृत्ति (threshold frequency) से अधिक हो।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = h\nu - \phi_{0}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि स्टॉपिंग विभव $V_{0}$ अधिकतम गतिज ऊर्जा से $K_{max} = eV_{0}$ द्वारा संबंधित है,हम लिख सकते हैं $eV_{0} = h\nu - \phi_{0}$।
दोनों पक्षों को $e$ से विभाजित करने पर,हमें $V_{0} = \frac{h}{e}\nu - \frac{\phi_{0}}{e}$ प्राप्त होता है।
इस समीकरण की तुलना एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ से करने पर,जहाँ $y = V_{0}$,$x = \nu$,और $c = -\frac{\phi_{0}}{e}$,रेखा की ढाल $m = \frac{h}{e}$ है।

(C) दिया गया है,आपतित प्रकाश की ऊर्जा $E$ है और कार्य फलन $\phi_0 = \frac{E}{3}$ है।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\max}$ इस प्रकार है:
$K_{\max} = E - \phi_0$
$K_{\max} = E - \frac{E}{3} = \frac{2E}{3}$.
चूंकि धातु के भीतर टक्करों के कारण फोटोइलेक्ट्रॉन $0$ से $K_{\max}$ तक की ऊर्जा के साथ उत्सर्जित होते हैं,इसलिए फोटोइलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $K$ का मान $0 \leq K \leq \frac{2E}{3}$ की सीमा में होता है।

(C) दिया गया है,कार्य फलन $\phi_0 = 2.4 \ eV$।
प्रकाश-उत्सर्जन तभी होता है जब आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E \ge \phi_0$ हो,जिसका अर्थ है कि आपतित तरंगदैर्ध्य $\lambda \le \lambda_0$ होनी चाहिए।
देहली तरंगदैर्ध्य (threshold wavelength) $\lambda_0$ की गणना इस प्रकार है:
$\lambda_0 = \frac{1240 \ eV \cdot nm}{\phi_0} = \frac{1240}{2.4} \approx 516.7 \ nm$।
यदि आपतित तरंगदैर्ध्य $\lambda > \lambda_0$ है,तो प्रकाश-उत्सर्जन नहीं होगा।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर:
$A) 200 \ nm < 516.7 \ nm$ (उत्सर्जन होता है)
$B) 300 \ nm < 516.7 \ nm$ (उत्सर्जन होता है)
$C) 700 \ nm > 516.7 \ nm$ (उत्सर्जन नहीं होता है)
$D) 400 \ nm < 516.7 \ nm$ (उत्सर्जन होता है)
अतः,$700 \ nm$ के लिए प्रकाश-उत्सर्जन नहीं होगा।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K_{max})$ इस प्रकार दी जाती है:
$K_{max} = h\nu - \phi_0$
चूंकि $K_{max} = eV_0$,जहाँ $V_0$ निरोधी विभव है,हमारे पास है:
$eV_0 = h\nu - \phi_0$
$e$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$V_0 = \left(\frac{h}{e}\right)\nu - \frac{\phi_0}{e}$
इस समीकरण की तुलना सरल रेखा के समीकरण $y = mx + c$ से करने पर,जहाँ $y = V_0$ और $x = \nu$ है:
ढाल $(m)$ = $\frac{h}{e}$
$y$-अंतःखंड $(c)$ = $-\frac{\phi_0}{e}$
चूंकि कार्य फलन (work function) $\phi_0 = h\nu_0$ है,जहाँ $\nu_0$ देहली आवृत्ति (threshold frequency) है,इसलिए $y$-अंतःखंड होगा:
$c = -\frac{h\nu_0}{e}$
अतः,ढाल $\frac{h}{e}$ है और $y$-अंतःखंड $-\frac{h\nu_0}{e}$ है।

(A) दिया गया है,फोटोइलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta K = 0.52 eV$ है। प्रारंभिक तरंगदैर्ध्य $\lambda_1 = 500 \,nm$ है।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण का उपयोग करते हुए,$K = \frac{hc}{\lambda} - \phi$.
दो अलग-अलग तरंगदैर्ध्य $\lambda_1$ और $\lambda_2$ के लिए,गतिज ऊर्जा में परिवर्तन इस प्रकार है:
$\Delta K = K_2 - K_1 = hc \left( \frac{1}{\lambda_2} - \frac{1}{\lambda_1} \right)$.
$hc \approx 1242 \,eV \cdot nm$ का उपयोग करते हुए,मान रखने पर:
$0.52 = 1242 \left( \frac{1}{\lambda_2} - \frac{1}{500} \right)$.
$\frac{0.52}{1242} = \frac{1}{\lambda_2} - 0.002$.
$0.000418 = \frac{1}{\lambda_2} - 0.002$.
$\frac{1}{\lambda_2} = 0.002418$.
$\lambda_2 = \frac{1}{0.002418} \approx 413.5 \,nm$.
निकटतम विकल्प को देखते हुए,नई तरंगदैर्ध्य लगभग $400 \,nm$ है।

(D) दिया गया है: कार्य-फलन, $\phi_{0} = 1 eV = 1.6 \times 10^{-19} J$.
तरंगदैर्ध्य, $\lambda = 3000 \text{Å} = 3000 \times 10^{-10} m$.
आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
$E = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}{3000 \times 10^{-10}} = 6.63 \times 10^{-19} J$.
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार, $E = \phi_{0} + KE_{max}$.
$KE_{max} = E - \phi_{0} = 6.63 \times 10^{-19} - 1.6 \times 10^{-19} = 5.03 \times 10^{-19} J$.
चूंकि $KE_{max} = \frac{1}{2}mv^{2}$, इसलिए $v = \sqrt{\frac{2 \times KE_{max}}{m}}$.
$v = \sqrt{\frac{2 \times 5.03 \times 10^{-19}}{9.1 \times 10^{-31}}} = \sqrt{1.105 \times 10^{12}} \approx 1.05 \times 10^{6} m/s$.
अतः, वेग लगभग $1 \times 10^{6} m/s$ है।

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित प्रकाश-इलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max}$ इस प्रकार दी जाती है:
$K_{max} = h\nu - \phi_0$
जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$\nu$ आपतित विकिरण की आवृत्ति है,और $\phi_0$ धातु का कार्य फलन है।
चूंकि $\phi_0 = h\nu_0$,जहाँ $\nu_0$ देहली आवृत्ति है,हम लिख सकते हैं:
$K_{max} = h\nu - h\nu_0 = h(\nu - \nu_0)$
यह समीकरण $y = mx + c$ के रूप की एक सीधी रेखा को दर्शाता है,जहाँ ढाल $h$ है और आवृत्ति अक्ष पर अंतःखंड $\nu_0$ है।
$\nu < \nu_0$ आवृत्तियों के लिए,गतिज ऊर्जा शून्य होती है क्योंकि प्रकाश-विद्युत उत्सर्जन नहीं होता है। $\nu \geq \nu_0$ के लिए,गतिज ऊर्जा आवृत्ति के साथ रैखिक रूप से बढ़ती है। यह व्यवहार ग्राफ $D$ द्वारा सही ढंग से दर्शाया गया है।

(B) प्रकाश-विद्युत प्रभाव (photoelectric effect) में,उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा आपतित विकिरण की आवृत्ति पर निर्भर करती है।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार:
$KE_{\max} = h\nu - \phi$
जहाँ:
$KE_{\max}$ उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा है।
$h$ प्लांक नियतांक है।
$\nu$ आपतित विकिरण की आवृत्ति है।
$\phi$ धातु का कार्य फलन (work function) है।
चूंकि किसी दी गई धातु के लिए कार्य फलन $\phi$ एक नियतांक है,इसलिए अधिकतम गतिज ऊर्जा $(KE_{\max})$ सीधे आपतित विकिरण की आवृत्ति $\nu$ पर निर्भर करती है।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,निरोधी विभव (stopping potential) $V_{0}$ और आपतित विकिरण की आवृत्ति $v$ के बीच संबंध $eV_{0} = h\nu - \phi$ है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है और $\phi$ धातु का कार्य फलन (work function) है।
ग्राफ से,तीन आवृत्तियों के लिए निरोधी विभव क्रमशः $V_{01}, V_{02}$ और $V_{03}$ हैं।
यह देखा गया है कि $|V_{03}| > |V_{02}| > |V_{01}|$.
चूंकि निरोधी विभव आपतित विकिरण की आवृत्ति के सीधे आनुपातिक होता है,इसलिए निरोधी विभव का उच्च परिमाण उच्च आवृत्ति के अनुरूप होता है।
अतः,आवृत्तियों के बीच संबंध $v_{3} > v_{2} > v_{1}$ है,जो $v_{1} < v_{2} < v_{3}$ के बराबर है।

(D) इलेक्ट्रॉन के $n_i$ से $n_f$ स्तर में संक्रमण के दौरान उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $E = 13.6 \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right) \text{ eV}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
$n=3$ से $n=2$ के संक्रमण के लिए ऊर्जा $E_{3-2} = 13.6 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = 13.6 \left( \frac{5}{36} \right) \approx 1.89 \text{ eV}$ है।
चूंकि फोटोइलेक्ट्रॉन बस उत्सर्जित हो रहे हैं, इसलिए धातु का कार्य फलन (work function) $\Phi = 1.89 \text{ eV}$ है।
फोटोइलेक्ट्रिक प्रभाव के लिए, आपतित फोटॉन की ऊर्जा कार्य फलन से अधिक या उसके बराबर होनी चाहिए $(E \ge \Phi)$।
दिए गए विकल्पों के लिए ऊर्जा की गणना करते हैं:
$A$: $n=2$ से $n=1$: $E = 13.6 (1 - 1/4) = 10.2 \text{ eV} > 1.89 \text{ eV}$ (संभव है)।
$B$: $n=3$ से $n=1$: $E = 13.6 (1 - 1/9) = 12.09 \text{ eV} > 1.89 \text{ eV}$ (संभव है)।
$C$: $n=5$ से $n=2$: $E = 13.6 (1/4 - 1/25) = 13.6 (21/100) = 2.856 \text{ eV} > 1.89 \text{ eV}$ (संभव है)।
$D$: $n=4$ से $n=3$: $E = 13.6 (1/9 - 1/16) = 13.6 (7/144) \approx 0.66 \text{ eV} < 1.89 \text{ eV}$ (संभव नहीं है)।
अतः, $n=4$ से $n=3$ के संक्रमण के लिए फोटोइलेक्ट्रिक प्रभाव संभव नहीं है।

(C) दिया गया है: अधिकतम वेग $v = 1.8 \times 10^{6} \ m/s$ और विशिष्ट आवेश $\frac{e}{m} = 1.8 \times 10^{11} \ C/kg$ है।
सबसे तेज़ फोटोइलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा निरोधी विभव $V_{0}$ द्वारा किए गए कार्य के बराबर होती है,जिसे समीकरण $e V_{0} = \frac{1}{2} m v^{2}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
दोनों पक्षों को $m$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $V_{0} \left(\frac{e}{m}\right) = \frac{v^{2}}{2}$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$V_{0} \times (1.8 \times 10^{11}) = \frac{(1.8 \times 10^{6})^{2}}{2}$।
$V_{0} \times 1.8 \times 10^{11} = \frac{3.24 \times 10^{12}}{2}$।
$V_{0} \times 1.8 \times 10^{11} = 1.62 \times 10^{12}$।
$V_{0} = \frac{1.62 \times 10^{12}}{1.8 \times 10^{11}} = 0.9 \times 10 = 9 \ V$।

(D) आइंस्टीन के फोटोइलेक्ट्रिक समीकरण के अनुसार,आपतित फोटॉन की ऊर्जा कार्य फलन $(W)$ और उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(KE)$ के योग के बराबर होती है।
$E = W + KE$
$KE = E - W$
चूंकि $E = \frac{hc}{\lambda}$ और $W = \frac{hc}{\lambda_{0}}$,इसलिए:
$KE = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_{0}}$
$KE = hc \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_{0}} \right)$
$KE = hc \left( \frac{\lambda_{0} - \lambda}{\lambda \lambda_{0}} \right)$

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार:
$KE_{max} = h\nu - \phi_{0}$
इसकी तुलना एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ से करने पर,जहाँ $y = KE_{max}$,$x = \nu$,$m$ ढाल है,और $c$ y-अंतःखंड है:
$KE_{max} = h\nu + (-\phi_{0})$
यहाँ,ढाल $m = h$ (प्लांक नियतांक) है।
चूंकि $h$ एक सार्वत्रिक नियतांक है,इसलिए ढाल सभी धातुओं के लिए समान होती है और आपतित विकिरण की तीव्रता से स्वतंत्र होती है।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $eV = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_{0}} = hc \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_{0}} \right)$.
प्रथम स्थिति के लिए: $3 eV_{s} = hc \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_{0}} \right)$ --- $(i)$
द्वितीय स्थिति के लिए: $eV_{s} = hc \left( \frac{1}{2 \lambda} - \frac{1}{\lambda_{0}} \right)$ --- (ii)
समीकरण $(i)$ को समीकरण (ii) से विभाजित करने पर:
$\frac{3 eV_{s}}{eV_{s}} = \frac{hc \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_{0}} \right)}{hc \left( \frac{1}{2 \lambda} - \frac{1}{\lambda_{0}} \right)}$
$3 = \frac{\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_{0}}}{\frac{1}{2 \lambda} - \frac{1}{\lambda_{0}}}$
$3 \left( \frac{1}{2 \lambda} - \frac{1}{\lambda_{0}} \right) = \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_{0}}$
$\frac{3}{2 \lambda} - \frac{3}{\lambda_{0}} = \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_{0}}$
$\frac{3}{2 \lambda} - \frac{1}{\lambda} = \frac{3}{\lambda_{0}} - \frac{1}{\lambda_{0}}$
$\frac{1}{2 \lambda} = \frac{2}{\lambda_{0}}$
$\lambda_{0} = 4 \lambda$.

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार, उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = h\nu - \Phi_0$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है, $\nu$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति है, और $\Phi_0$ धातु का कार्य फलन है।
चूँकि $\nu = c / \lambda$ होता है, इसलिए गतिज ऊर्जा आपतित प्रकाश की आवृत्ति $\nu$ और तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के साथ-साथ पदार्थ के कार्य फलन $\Phi_0$ पर निर्भर करती है।
आपतित प्रकाश की तीव्रता प्रति इकाई समय में सतह पर टकराने वाले फोटॉनों की संख्या निर्धारित करती है, जो उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की संख्या (प्रकाश-विद्युत धारा) को प्रभावित करती है, लेकिन यह व्यक्तिगत उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा को प्रभावित नहीं करती है।

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार:
$E_{k} = h\nu - \Phi$
जहाँ $E_{k}$ अधिकतम गतिज ऊर्जा है,$h$ प्लांक नियतांक है,$\nu$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति है,और $\Phi = h\nu_{0}$ धातु की सतह का कार्य फलन (work function) है ($\nu_{0}$ देहली आवृत्ति है)।
यह समीकरण $y = mx + c$ के रूप में है,जहाँ:
$y = E_{k}$
$x = \nu$
$m = h$ (ढाल)
$c = -\Phi$ (y-अंतःखंड)
$1$. जब $\nu < \nu_{0}$ होता है,तो आपतित फोटॉन की ऊर्जा कार्य फलन से कम होती है,इसलिए कोई प्रकाश-विद्युत उत्सर्जन नहीं होता है और $E_{k} = 0$ रहता है।
$2$. जब $\nu = \nu_{0}$ होता है,तो $E_{k} = 0$ होता है।
$3$. जब $\nu > \nu_{0}$ होता है,तो $E_{k}$ आवृत्ति $\nu$ के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है।
ग्राफ $D$ सही ढंग से दर्शाता है कि देहली आवृत्ति $\nu_{0}$ तक $E_{k}$ शून्य रहता है,जिसके बाद यह रैखिक रूप से बढ़ता है।

(B) देहली ऊर्जा (कार्य फलन) $\Phi = h \nu_0$ द्वारा दी जाती है। दिया गया है $h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \cdot s$ और $1 \ eV = 1.6 \times 10^{-19} \ J$.
धातु $A$ के लिए:
$\Phi_A = h \nu_A = (6.6 \times 10^{-34}) \times (1.8 \times 10^{14}) \ J = 11.88 \times 10^{-20} \ J$.
$eV$ में परिवर्तित करने पर: $\Phi_A = \frac{11.88 \times 10^{-20}}{1.6 \times 10^{-19}} \ eV = 0.7425 \ eV$.
धातु $B$ के लिए:
$\Phi_B = h \nu_B = (6.6 \times 10^{-34}) \times (2.2 \times 10^{14}) \ J = 14.52 \times 10^{-20} \ J$.
$eV$ में परिवर्तित करने पर: $\Phi_B = \frac{14.52 \times 10^{-20}}{1.6 \times 10^{-19}} \ eV = 0.9075 \ eV$.
आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = 0.825 \ eV$ है।
चूंकि $E > \Phi_A$ $(0.825 \ eV > 0.7425 \ eV)$ और $E < \Phi_B$ $(0.825 \ eV < 0.9075 \ eV)$,इसलिए फोटोइलेक्ट्रॉन केवल धातु $A$ से उत्सर्जित होंगे।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = E - \Phi$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $E$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है और $\Phi$ धातु का कार्य फलन है।
पहले फोटॉन के लिए जिसकी ऊर्जा $E_1 = 1 \text{ eV}$ है:
$K_1 = 1 \text{ eV} - 0.5 \text{ eV} = 0.5 \text{ eV}$.
दूसरे फोटॉन के लिए जिसकी ऊर्जा $E_2 = 2.5 \text{ eV}$ है:
$K_2 = 2.5 \text{ eV} - 0.5 \text{ eV} = 2.0 \text{ eV}$.
चूंकि $K_{max} = \frac{1}{2}mv^2$,गतिज ऊर्जाओं का अनुपात है:
$\frac{K_1}{K_2} = \frac{0.5}{2.0} = \frac{1}{4}$.
गतिज ऊर्जा के व्यंजक को रखने पर:
$\frac{\frac{1}{2}mv_1^2}{\frac{1}{2}mv_2^2} = \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{v_1^2}{v_2^2} = \frac{1}{4}$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
अतः,अधिकतम चालों का अनुपात $1:2$ होगा।

(B) जब उपयुक्त आवृत्ति का प्रकाश धातु की प्लेट पर गिरता है,तो इलेक्ट्रॉन उत्सर्जित होते हैं। इस घटना को प्रकाश-विद्युत प्रभाव (photoelectric effect) कहा जाता है।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित फोटो-इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K_{\max})$ इस प्रकार दी जाती है:
$K_{\max} = hf - \phi_0$
जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$f$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति है,और $\phi_0$ धातु का कार्य फलन (work function) है।
चूंकि किसी दी गई धातु के लिए $h$ और $\phi_0$ नियतांक हैं,इसलिए अधिकतम गतिज ऊर्जा केवल आपतित प्रकाश की आवृत्ति $(f)$ पर निर्भर करती है।

(D) पाश्चन श्रेणी में,इलेक्ट्रॉन उच्च ऊर्जा अवस्था से $n=3$ अवस्था में संक्रमण करता है। पाश्चन श्रेणी में फोटॉन की ऊर्जा $E = 13.6 \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{n^2} \right) \text{ eV}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = 4, 5, 6, \dots$
न्यूनतम ऊर्जा $n=4$ से $n=3$ के संक्रमण के अनुरूप है:
$E_{\min} = 13.6 \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right) = 13.6 \left( \frac{16-9}{144} \right) = 13.6 \left( \frac{7}{144} \right) \approx 0.66 \text{ eV}$.
अधिकतम ऊर्जा $n=\infty$ से $n=3$ के संक्रमण के अनुरूप है:
$E_{\max} = 13.6 \left( \frac{1}{9} - 0 \right) = \frac{13.6}{9} \approx 1.51 \text{ eV}$.
फोटॉन द्वारा फोटोइलेक्ट्रॉन उत्सर्जित करने के लिए,उसकी ऊर्जा धातु के कार्य फलन $\phi_0$ से अधिक या उसके बराबर होनी चाहिए। अतः,$\phi_0 \leq E_{\text{photon}}$। चूंकि पाश्चन फोटॉन की अधिकतम ऊर्जा $1.51 \text{ eV}$ है,इसलिए कार्य फलन $\phi_0 \leq 1.51 \text{ eV}$ होना चाहिए।
दिए गए विकल्पों में से,$1.1 \text{ eV}$ ही एकमात्र मान है जो इस शर्त को पूरा करता है।

(B) कार्य फलन $\Phi$ का सूत्र $\Phi = \frac{hc}{\lambda_0}$ है, जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है, $c$ प्रकाश की गति है और $\lambda_0$ देहली तरंगदैर्ध्य है।
दिया गया है: $h = 6.6 \times 10^{-34} \ \text{Js}$, $c = 3 \times 10^8 \ \text{m/s}$, और $\lambda_0 = 6250 \ \text{Å} = 6250 \times 10^{-10} \ \text{m}$.
मान रखने पर:
$\Phi = \frac{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{6250 \times 10^{-10}} \ \text{J}$.
$\Phi = \frac{19.8 \times 10^{-26}}{6250 \times 10^{-10}} = \frac{19.8}{6250} \times 10^{-16} \ \text{J} = 3.168 \times 10^{-20} \ \text{J}$.
इसे इलेक्ट्रॉन-वोल्ट (eV) में बदलने के लिए, इलेक्ट्रॉन के आवेश $e = 1.6 \times 10^{-19} \ \text{C}$ से विभाजित करने पर:
$\Phi = \frac{3.168 \times 10^{-20}}{1.6 \times 10^{-19}} \ \text{eV} = 1.98 \ \text{eV}$.
अतः, सही विकल्प $B$ है।

(A) आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = 8 \times 10^{-19} \ J$ है।
इसे इलेक्ट्रॉन-वोल्ट में बदलने पर,$E = \frac{8 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} \ eV = 5 \ eV$।
उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = 10 \ Å = 10^{-9} \ m$ है।
फोटोइलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $K_{max} = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $K_{max} = \frac{(6.63 \times 10^{-34})^2}{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times (10^{-9})^2} \approx 2.41 \times 10^{-19} \ J$।
इसे $eV$ में बदलने पर: $K_{max} = \frac{2.41 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} \ eV \approx 1.5 \ eV$।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण का उपयोग करने पर: $E = \phi + K_{max}$,जहाँ $\phi$ कार्य फलन है।
$\phi = E - K_{max} = 5 \ eV - 1.5 \ eV = 3.5 \ eV$।

(A) दिया गया है: कार्य फलन $\phi_0 = 4.2 \text{ eV}$,तरंगदैर्ध्य $\lambda = 2000 \text{ Å}$।
आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{12400}{\lambda(\text{in Å})} \text{ eV} = \frac{12400}{2000} = 6.2 \text{ eV}$।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\max} = E - \phi_0$।
$K_{\max} = 6.2 \text{ eV} - 4.2 \text{ eV} = 2 \text{ eV}$।
गतिज ऊर्जा को जूल में बदलने पर: $K_{\max} = 2 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ J} = 3.2 \times 10^{-19} \text{ J}$।
$K_{\max} = \frac{1}{2} m v_{\max}^2$ का उपयोग करते हुए,जहाँ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $m = 9.1 \times 10^{-31} \text{ kg}$ है।
$v_{\max}^2 = \frac{2 \times K_{\max}}{m} = \frac{2 \times 3.2 \times 10^{-19}}{9.1 \times 10^{-31}} \approx 0.703 \times 10^{12} \text{ m}^2/\text{s}^2$।
$v_{\max} = \sqrt{0.703 \times 10^{12}} \approx 8.38 \times 10^5 \text{ m/s} \approx 8.4 \times 10^5 \text{ m/s}$।

(A) धातु का कार्य फलन $\phi_0 = 9 \ eV$ दिया गया है।
देहली तरंगदैर्ध्य $\lambda_0$ वह अधिकतम तरंगदैर्ध्य है जो प्रकाश वैद्युत प्रभाव शुरू कर सकती है।
कार्य फलन और देहली तरंगदैर्ध्य के बीच संबंध $\phi_0 = \frac{hc}{\lambda_0}$ है।
स्थिरांक $hc \approx 1240 \ eV \cdot nm$ का उपयोग करने पर:
$\lambda_0 = \frac{1240 \ eV \cdot nm}{9 \ eV} \approx 137.77 \ nm$.
नैनोमीटर को मीटर में बदलने पर:
$\lambda_0 \approx 137.77 \times 10^{-9} \ m = 1.3777 \times 10^{-7} \ m$.
निकटतम विकल्प के अनुसार,हमें $1.37 \times 10^{-7} \ m$ प्राप्त होता है।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\max}$ इस प्रकार दी जाती है:
$K_{\max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi_0 = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$
चूंकि $K_{\max} = \frac{1}{2}mv_{\max}^2$,इसलिए:
$\frac{1}{2}mv_{\max}^2 = hc \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right)$
$v_{\max} = \sqrt{\frac{2hc}{m} \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right)}$
प्रथम पुंज के लिए $\lambda_1 = \frac{\lambda_0}{3}$:
$v_1 = \sqrt{\frac{2hc}{m} \left( \frac{3}{\lambda_0} - \frac{1}{\lambda_0} \right)} = \sqrt{\frac{2hc}{m} \cdot \frac{2}{\lambda_0}}$
द्वितीय पुंज के लिए $\lambda_2 = \frac{\lambda_0}{9}$:
$v_2 = \sqrt{\frac{2hc}{m} \left( \frac{9}{\lambda_0} - \frac{1}{\lambda_0} \right)} = \sqrt{\frac{2hc}{m} \cdot \frac{8}{\lambda_0}}$
अधिकतम वेगों का अनुपात:
$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{2/\lambda_0}{8/\lambda_0}} = \sqrt{\frac{2}{8}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$

(D) दिया गया है: $\lambda_1 = 300 \ nm$,$\lambda_2 = 500 \ nm$,और अधिकतम वेग का अनुपात $\frac{v_1}{v_2} = 3$ है।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण का उपयोग करते हुए: $E = \phi_0 + K_{max}$,जहाँ $K_{max} = \frac{1}{2}mv^2$ है।
अतः,$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{hc}{\lambda} - \phi_0$.
दोनों स्थितियों के लिए अनुपात लेने पर:
$\left(\frac{v_1}{v_2}\right)^2 = \frac{E_1 - \phi_0}{E_2 - \phi_0} = \frac{\frac{1240}{\lambda_1} - \phi_0}{\frac{1240}{\lambda_2} - \phi_0}$.
मान रखने पर: $3^2 = \frac{\frac{1240}{300} - \phi_0}{\frac{1240}{500} - \phi_0}$.
$9 = \frac{4.133 - \phi_0}{2.48 - \phi_0}$.
$9(2.48 - \phi_0) = 4.133 - \phi_0$.
$22.32 - 9\phi_0 = 4.133 - \phi_0$.
$8\phi_0 = 18.187$.
$\phi_0 \approx 2.273 \ eV \approx 2.28 \ eV$.

(B) दिया गया है:
कार्य फलन,$\phi_0 = 2 \text{ eV}$
अधिकतम गतिज ऊर्जा,$K_{\max} = 2 \text{ eV}$
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार:
$E = \phi_0 + K_{\max}$
$E = 2 \text{ eV} + 2 \text{ eV} = 4 \text{ eV}$
फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
संबंध $\lambda = \frac{12400 \text{ eV Å}}{E \text{ (in eV)}}$ का उपयोग करने पर:
$\lambda = \frac{12400}{4} \text{ Å} = 3100 \text{ Å}$
अतः,आपतित फोटॉन की तरंगदैर्ध्य $3100 \text{ Å}$ है।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार:
$h \nu = \phi + K.E._{max}$
$h \nu = \phi + \frac{1}{2} m v^2$
हम जानते हैं कि डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{mv}$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $v = \frac{h}{m \lambda}$।
$v$ का मान गतिज ऊर्जा समीकरण में रखने पर:
$h \nu = \phi + \frac{1}{2} m \left( \frac{h}{m \lambda} \right)^2$
$h \nu = \phi + \frac{1}{2} m \left( \frac{h^2}{m^2 \lambda^2} \right)$
$h \nu = \phi + \frac{h^2}{2 m \lambda^2}$
दोनों पक्षों को $h$ से विभाजित करने पर:
$\nu = \frac{\phi}{h} + \frac{h}{2 m \lambda^2}$

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = h\nu - \phi$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि $\nu$ आवृत्ति के लिए,अधिकतम गतिज ऊर्जा $E$ है,इसलिए:
$E = h\nu - \phi$ --- $(1)$
जब आवृत्ति को बढ़ाकर $3\nu$ कर दिया जाता है,तो नई अधिकतम गतिज ऊर्जा $K'_{max}$ होगी:
$K'_{max} = h(3\nu) - \phi = 3h\nu - \phi$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ से,हम $h\nu$ को $h\nu = E + \phi$ के रूप में लिख सकते हैं।
इस मान को समीकरण $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$K'_{max} = 3(E + \phi) - \phi$
$K'_{max} = 3E + 3\phi - \phi$
$K'_{max} = 3E + 2\phi$.

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = h\nu - h\nu_0$ होती है,जहाँ $\nu_0$ देहली आवृत्ति है।
चूँकि $K_{max} = \frac{P^2}{2m}$,इसलिए $\frac{P^2}{2m} = h\nu - h\nu_0$ होगा।
प्रथम स्थिति के लिए,$\nu = 2v$ और $\nu_0 = v$:
$\frac{P^2}{2m} = h(2v) - hv = hv$ ... $(1)$
दूसरी स्थिति के लिए,मान लीजिए कि नई आवृत्ति $\nu'$ है और नया संवेग $2P$ है:
$\frac{(2P)^2}{2m} = h\nu' - hv$
$\frac{4P^2}{2m} = h\nu' - hv$ ... $(2)$
समीकरण $(1)$ से $\frac{P^2}{2m}$ का मान समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$4(hv) = h\nu' - hv$
$4hv + hv = h\nu'$
$h\nu' = 5hv$
$\nu' = 5v$

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $E$ इस प्रकार है: $E = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ ... $(i)$,
जहाँ $\phi$ कार्य फलन है।
जब तरंगदैर्ध्य में $50 \%$ की कमी की जाती है,तो नई तरंगदैर्ध्य $\lambda' = \lambda - 0.5\lambda = 0.5\lambda = \frac{\lambda}{2}$ हो जाती है।
नई अधिकतम गतिज ऊर्जा $E' = 3E$ है।
इन मानों को प्रकाश-विद्युत समीकरण में रखने पर: $3E = \frac{hc}{\lambda/2} - \phi = \frac{2hc}{\lambda} - \phi$ ... $(ii)$.
समीकरण $(i)$ से,$E = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ प्राप्त होता है। इस मान को समीकरण $(ii)$ में रखने पर:
$3(\frac{hc}{\lambda} - \phi) = \frac{2hc}{\lambda} - \phi$
$\frac{3hc}{\lambda} - 3\phi = \frac{2hc}{\lambda} - \phi$
$\frac{3hc}{\lambda} - \frac{2hc}{\lambda} = 3\phi - \phi$
$\frac{hc}{\lambda} = 2\phi$
$\phi = \frac{hc}{2\lambda}$.

(B) प्रकाश-विद्युत समीकरण $eV_s = h\nu - \phi$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $V_s$ निरोधी विभव है,$h$ प्लांक नियतांक है,$\nu$ आवृत्ति है और $\phi$ कार्य फलन है।
$V_s$ को $\nu$ के फलन के रूप में व्यवस्थित करने पर: $V_s = (\frac{h}{e})\nu - \frac{\phi}{e}$.
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,जहाँ $y = V_s$ और $x = \nu$,$X$-अक्ष के सापेक्ष ग्राफ की ढाल $m = \frac{h}{e}$ प्राप्त होती है।
हालाँकि,प्रश्न में उल्लेख है कि कोण $\theta$,$Y$-अक्ष के साथ बनता है। रेखा $y = mx + c$ के लिए,ढाल $m = \tan(\alpha)$ है जहाँ $\alpha$,$X$-अक्ष के साथ बना कोण है। $Y$-अक्ष के साथ कोण $\theta$,$X$-अक्ष के साथ कोण $\alpha$ से $\theta = 90^\circ - \alpha$ के रूप में संबंधित है।
अतः,$\tan \theta = \tan(90^\circ - \alpha) = \cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{1}{h/e} = \frac{e}{h}$.

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = hf - \phi$ द्वारा दी जाती है।
प्रथम स्थिति के लिए: $f_1 = 3f$,$\phi = 2hf$,और $v_1 = v$।
$\frac{1}{2}mv^2 = 3hf - 2hf = hf$ --- $(1)$
द्वितीय स्थिति के लिए: $f_2 = 4.25f$,$\phi = 2hf$,और $v_2 = ?$।
$\frac{1}{2}mv_2^2 = 4.25hf - 2hf = 2.25hf$ --- $(2)$
समीकरण $(2)$ को समीकरण $(1)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\frac{1}{2}mv_2^2}{\frac{1}{2}mv^2} = \frac{2.25hf}{hf}$
$\frac{v_2^2}{v^2} = 2.25$
$v_2^2 = 2.25v^2$
$v_2 = \sqrt{2.25}v = 1.5v$.

(C) बामर श्रेणी की $H_{\alpha}$ रेखा की आवृत्ति $\nu_0 = Rc(\frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2}) = Rc(\frac{1}{4} - \frac{1}{9}) = \frac{5Rc}{36}$ द्वारा दी जाती है। यह पदार्थ की देहली आवृत्ति $\nu_0$ है।
बामर श्रेणी की $H_{\beta}$ रेखा की आवृत्ति $\nu = Rc(\frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2}) = Rc(\frac{1}{4} - \frac{1}{16}) = \frac{3Rc}{16}$ द्वारा दी जाती है।
आइंस्टीन के प्रकाश-वैद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = h\nu - h\nu_0$ होती है।
मान रखने पर:
$K_{max} = h(\frac{3Rc}{16}) - h(\frac{5Rc}{36})$
$K_{max} = Rhc(\frac{3}{16} - \frac{5}{36})$
$K_{max} = Rhc(\frac{27 - 20}{144}) = \frac{7 Rhc}{144}$.

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = h\nu - \phi_0$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$\nu$ आपतित विकिरण की आवृत्ति है और $\phi_0$ धातु का कार्य फलन (work function) है।
यह समीकरण दर्शाता है कि $K_{max}$ केवल आपतित विकिरण की आवृत्ति पर निर्भर करता है और आपतित विकिरण की तीव्रता से स्वतंत्र है।
इसलिए,विकल्प $(C)$ सही है।
दी गई आवृत्ति के लिए,प्रकाश-विद्युत धारा आपतित विकिरण की तीव्रता के सीधे आनुपातिक होती है।
निरोधी विभव केवल आपतित विकिरण की आवृत्ति पर निर्भर करता है और तीव्रता से स्वतंत्र होता है।
यदि आपतित विकिरण की आवृत्ति देहली (कट-ऑफ) आवृत्ति से कम है,तो तीव्रता को कितना भी बढ़ाने पर प्रकाश-विद्युत उत्सर्जन संभव नहीं है।

(C) दिया गया तरंग समीकरण: $E = E_0 \sin [k(x - ct)]$,जहाँ $k = \frac{2\pi}{\lambda} = 1.57 \times 10^7 \text{ m}^{-1}$.
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ की गणना: $\lambda = \frac{2 \times 3.14}{1.57 \times 10^7} = 4 \times 10^{-7} \text{ m}$.
आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E_p = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6.64 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{4 \times 10^{-7}} = 4.98 \times 10^{-19} \text{ J}$.
कार्य फलन $\phi_0$ को जूल में बदलने पर: $\phi_0 = 1.9 \text{ eV} = 1.9 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ J} = 3.04 \times 10^{-19} \text{ J}$.
आइंस्टीन के फोटोइलेक्ट्रिक समीकरण का उपयोग करते हुए: $E_p = \phi_0 + eV_0$.
$eV_0 = 4.98 \times 10^{-19} - 3.04 \times 10^{-19} = 1.94 \times 10^{-19} \text{ J}$.
$V_0 = \frac{1.94 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} \text{ V} = 1.2125 \text{ V}$.
निकटतम विकल्प के अनुसार,स्टॉपिंग पोटेंशियल $1.1 \text{ V}$ है।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi = \frac{1}{2}mv^2$।
$\lambda_1 = 200 \,nm$ के लिए,मान लें कि वेग $v$ है। तब $\frac{hc}{200 \times 10^{-9}} - \phi = \frac{1}{2}mv^2$ $(i)$।
$\lambda_2 = 600 \,nm$ के लिए,वेग $\frac{v}{3}$ है। तब $\frac{hc}{600 \times 10^{-9}} - \phi = \frac{1}{2}m(\frac{v}{3})^2 = \frac{1}{9}(\frac{1}{2}mv^2)$ (ii)।
$(i)$ से,$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{hc}{200 \times 10^{-9}} - \phi$।
इसे (ii) में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{hc}{600 \times 10^{-9}} - \phi = \frac{1}{9}(\frac{hc}{200 \times 10^{-9}} - \phi)$।
$9$ से गुणा करने पर: $\frac{9hc}{600 \times 10^{-9}} - 9\phi = \frac{hc}{200 \times 10^{-9}} - \phi$।
$8\phi = hc(\frac{9}{600 \times 10^{-9}} - \frac{1}{200 \times 10^{-9}}) = hc(\frac{9-3}{600 \times 10^{-9}}) = hc(\frac{6}{600 \times 10^{-9}}) = hc(\frac{1}{100 \times 10^{-9}}) = hc \times 10^7$।
अतः,$\phi = \frac{hc}{8} \times 10^7 \,J$।

(C) दिया गया है: कार्य फलन $\phi_0 = 2.5 eV$,आवृत्ति $f = 3.2 \times 10^{15} Hz$,प्लांक नियतांक $h = 6.6 \times 10^{-34} J-s$.
आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = hf$.
$E = (6.6 \times 10^{-34} J-s) \times (3.2 \times 10^{15} Hz) = 21.12 \times 10^{-19} J$.
ऊर्जा को $eV$ में बदलने के लिए,$1.6 \times 10^{-19} J/eV$ से विभाजित करें:
$E = \frac{21.12 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} eV = 13.2 eV$.
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = E - \phi_0$.
$K_{max} = 13.2 eV - 2.5 eV = 10.7 eV$.

(B) तीव्रता $I = 100 \ W \ m^{-2}$ दी गई है। एक फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ होती है।
प्रति इकाई क्षेत्रफल और प्रति इकाई समय में आपतित फोटॉनों की संख्या $(N)$ $N = \frac{I}{E} = \frac{I \lambda}{hc}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $N = \frac{100 \times 300 \times 10^{-9}}{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8} \approx 1.51 \times 10^{20} \ m^{-2} \ s^{-1}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $2 \%$ आपतित फोटॉन फोटोइलेक्ट्रॉन उत्पन्न करते हैं,इसलिए प्रति इकाई क्षेत्रफल और प्रति इकाई समय में उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की संख्या $n' = 0.02 \times N = 0.02 \times 1.51 \times 10^{20} = 3.02 \times 10^{18} \ m^{-2} \ s^{-1}$ है।
$A = 2 \ cm^2 = 2 \times 10^{-4} \ m^2$ क्षेत्रफल के लिए,प्रति सेकंड उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की संख्या $n = n' \times A = 3.02 \times 10^{18} \times 2 \times 10^{-4} = 6.04 \times 10^{14}$ है।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार:
$h\nu = h\nu_0 + \frac{1}{2}mv_{\text{max}}^2$
जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$\nu$ आपतित विकिरण की आवृत्ति है,$\nu_0$ देहली आवृत्ति है,$m$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है,और $v_{\text{max}}$ फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गति है।
$v_{\text{max}}$ के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\frac{1}{2}mv_{\text{max}}^2 = h(\nu - \nu_0)$
$v_{\text{max}}^2 = \frac{2h}{m}(\nu - \nu_0)$
$v_{\text{max}} = \sqrt{\frac{2h}{m}} \sqrt{\nu - \nu_0}$
$\nu < \nu_0$ के लिए,$v_{\text{max}} = 0$ है। $\nu \ge \nu_0$ के लिए,$v_{\text{max}}$,$\nu$ के साथ बढ़ता है। यह संबंध $v_{\text{max}} \propto \sqrt{\nu - \nu_0}$ है। यह आवृत्ति अक्ष पर देहली आवृत्ति $\nu_0$ से शुरू होने वाला एक परवलयिक वक्र दर्शाता है,जहाँ जैसे-जैसे $\nu$ बढ़ता है,ढलान कम होती जाती है। अतः,विकल्प $C$ सही निरूपण है।

(B) आइंस्टीन का प्रकाश-विद्युत समीकरण है: $K E_{\max} = \frac{hc}{\lambda} - W$,जहाँ $W$ कार्य फलन है और $\lambda$ आपतित प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है।
दिया गया है $\lambda = 1240 \mathring{A}$ और निरोधी विभव $V_0 = 8 \text{ V}$।
आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{12400 \text{ eV} \cdot \mathring{A}}{1240 \mathring{A}} = 10 \text{ eV}$ है।
चूँकि $K E_{\max} = eV_0 = 8 \text{ eV}$,इसलिए $8 \text{ eV} = 10 \text{ eV} - W$।
अतः,कार्य फलन $W = 10 \text{ eV} - 8 \text{ eV} = 2 \text{ eV}$।
देहली तरंगदैर्ध्य $\lambda_0$ के लिए,$W = \frac{hc}{\lambda_0}$।
$\lambda_0 = \frac{12400 \text{ eV} \cdot \mathring{A}}{W} = \frac{12400 \text{ eV} \cdot \mathring{A}}{2 \text{ eV}} = 6200 \mathring{A}$।

(B) प्रकाश-विद्युत प्रभाव के अध्ययन में,प्रकाश ऊर्जा को छोटे पैकेटों के रूप में माना जाता है। ऊर्जा के इस प्रत्येक पैकेट को फोटॉन कहा जाता है।
एक फोटॉन की ऊर्जा $E = h \nu$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है और $\nu$ फोटॉन की आवृत्ति है।
चूंकि ऊर्जा असतत मानों ($h\nu$ के गुणज) तक सीमित है,इसलिए प्रकाश-विद्युत प्रभाव का अध्ययन ऊर्जा के क्वांटीकरण को समझने में सहायक है।

(C) दिया गया है, प्रकाश की तरंगदैर्ध्य, $\lambda = 4900 Å$.
निरोधी विभव (Stopping potential), $V_s = 2 \,V$.
आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
$E \approx \frac{12400}{\lambda (Å)} eV$ सन्निकटन का उपयोग करते हुए:
$E = \frac{12400}{4900} eV \approx 2.53 eV$.
उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = e V_s = 2 eV$ है।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार, $K_{max} = E - \phi$, जहाँ $\phi$ कार्य-फलन है।
मान रखने पर: $2 eV = 2.53 eV - \phi$.
अतः, $\phi = 2.53 eV - 2 eV = 0.53 eV$.

(A) आपतित पराबैंगनी विकिरण की ऊर्जा,$E = 6.2 eV$ है।
एल्युमीनियम सतह का कार्य-फलन,$\phi = 4.2 eV$ है।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K_{\max})$ इस प्रकार दी जाती है:
$K_{\max} = E - \phi$
$K_{\max} = 6.2 eV - 4.2 eV = 2.0 eV$।
इस ऊर्जा को जूल (Joule) में बदलने के लिए,हम रूपांतरण कारक $1 eV = 1.6 \times 10^{-19} J$ का उपयोग करते हैं:
$K_{\max} = 2.0 \times 1.6 \times 10^{-19} J = 3.2 \times 10^{-19} J$।

(C) दिया गया है: कार्य फलन $\phi_0 = 1.24 eV$.
तरंगदैर्ध्य $\lambda = 4.36 \times 10^{-7} m$.
संबंध $E = \frac{hc}{\lambda}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $hc \approx 1240 eV \cdot nm = 1240 \times 10^{-9} eV \cdot m$.
$E = \frac{1240 \times 10^{-9} eV \cdot m}{4.36 \times 10^{-7} m} \approx 2.844 eV$.
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = E - \phi_0$.
$K_{max} = 2.844 eV - 1.24 eV = 1.604 eV$.
चूंकि $K_{max} = eV_0$,इसलिए मंदक विभव $V_0 = 1.604 V \approx 1.60 V$ है।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा इस प्रकार है:
$K_{\max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$
चूंकि $K_{\max} = \frac{1}{2}mv_{\max}^2$,इसलिए:
$\frac{1}{2}mv_{\max}^2 = \frac{hc}{\lambda} - \phi$
$\frac{1}{2}mv_{\max}^2 = \frac{hc - \lambda\phi}{\lambda}$
$v_{\max}^2 = \frac{2(hc - \lambda\phi)}{m\lambda}$
$v_{\max} = \sqrt{\frac{2(hc - \lambda\phi)}{m\lambda}}$

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार, उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K_{max})$ $K_{max} = h\nu - \Phi$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है, $\nu$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति है और $\Phi$ धातु का कार्य फलन है।
यह समीकरण दर्शाता है कि $K_{max}$ केवल आपतित प्रकाश की आवृत्ति और धातु की सतह की प्रकृति पर निर्भर करता है।
प्रकाश की तीव्रता प्रति इकाई क्षेत्रफल और प्रति इकाई समय में आपतित फोटॉनों की संख्या को प्रभावित करती है, जो बदले में उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की संख्या (प्रकाश-विद्युत धारा) को प्रभावित करती है, लेकिन यह व्यक्तिगत फोटोइलेक्ट्रॉन की ऊर्जा को प्रभावित नहीं करती है।
इसलिए, जब तीव्रता को घटाकर एक-चौथाई कर दिया जाता है, तो उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा अपरिवर्तित रहती है।